Mga gawain, ang solusyon nito ay pag-convert ng logarithmic expression, medyo madalas na matatagpuan sa pagsusulit.

Upang matagumpay na makayanan ang mga ito sa isang minimum na paggasta ng oras, bilang karagdagan sa mga pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan, kinakailangang malaman at wastong gumamit ng ilang higit pang mga formula.

Ito ay: a log a b = b, kung saan a, b > 0, a ≠ 1 (Direkta itong sumusunod sa kahulugan ng logarithm).

log a b = log c b / log c a o log a b = 1/log b a
kung saan a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
kung saan ang a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

isang log c b = b log c a
kung saan ang a, b, c > 0 at a, b, c ≠ 1

Upang ipakita ang bisa ng ikaapat na pagkakapantay-pantay, kinukuha namin ang logarithm ng kaliwa at kanang panig sa base a. Nakukuha natin ang log a (a log c b) = log a (b log c a) o log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log with b = log with b.

Napatunayan namin ang pagkakapantay-pantay ng logarithms, na nangangahulugan na ang mga expression sa ilalim ng logarithms ay pantay din. Napatunayan ang Formula 4.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang 81 log 27 5 log 5 4 .

Desisyon.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Samakatuwid,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Pagkatapos ay 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Maaari mong kumpletuhin ang sumusunod na gawain sa iyong sarili.

Kalkulahin (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0.2 5.

Bilang pahiwatig, 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0.2 5 = -1.

Sagot: 5.

Halimbawa 2

Kalkulahin (√11) log √3 9 log 121 81 .

Desisyon.

Palitan natin ang mga expression: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (Ginamit ang Formula 3).

Pagkatapos (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Desisyon.

Papalitan namin ang logarithms na nakapaloob sa halimbawa ng logarithms na may base 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Pagkatapos log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Pagkatapos buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino, makukuha natin ang numero 3. (Kapag pinasimple ang expression, ang log 2 3 ay maaaring tukuyin ng n at gawing simple ang expression

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Sagot: 3.

Maaari mong gawin ang sumusunod sa iyong sarili:

Kalkulahin (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Narito ito ay kinakailangan upang gumawa ng isang paglipat sa logarithms sa base 3 at agnas sa mga pangunahing kadahilanan ng malalaking numero.

Sagot: 1/2

Halimbawa 4

Tatlong numero ang binibigyan ng A \u003d 1 / (log 3 0.5), B \u003d 1 / (log 0.5 3), C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3. Ayusin ang mga ito sa pataas na pagkakasunud-sunod.

Desisyon.

Ibahin natin ang mga numerong A \u003d 1 / (log 3 0.5) \u003d log 0.5 3; C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3 \u003d log 0.5 12/3 \u003d log 0.5 4 \u003d -2.

Ikumpara natin sila

log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 at log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

O 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Sagot. Samakatuwid, ang pagkakasunud-sunod ng paglalagay ng mga numero: C; NGUNIT; AT.

Halimbawa 5

Ilang integer ang nasa pagitan (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Desisyon.

Alamin natin kung anong kapangyarihan ng numero 3 ang bilang 1/16. Nakakuha kami ng 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Dahil ang function na y \u003d log 3 x ay tumataas, pagkatapos ay mag-log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Ihambing ang log 6 (4 / 3) at 1 / 5 . At para dito inihambing namin ang mga numero 4 / 3 at 6 1/5. Itaas ang parehong mga numero sa ika-5 kapangyarihan. Nakukuha namin ang (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

log 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Samakatuwid, kasama sa pagitan (log 3 1 / 16 ; log 6 48) ang pagitan [-2; 4] at integers -2 ay inilalagay dito; -isa; 0; isa; 2; 3; 4.

Sagot: 7 integers.

Halimbawa 6

Kalkulahin ang 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Desisyon.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Pagkatapos 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1.

Sagot: -1.

Halimbawa 7

Alam na ang log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Hanapin ang log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Desisyon.

Mga Numero (√3 + 1) at (√3 - 1); Ang (√6 - 2) at (√6 + 2) ay conjugate.

Isagawa natin ang sumusunod na pagbabago ng mga ekspresyon

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Pagkatapos ay log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Sagot: 2 - A.

Halimbawa 8.

Pasimplehin at hanapin ang tinatayang halaga ng expression (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Desisyon.

Binabawasan namin ang lahat ng logarithms sa isang karaniwang base na 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0.3010. (Ang tinatayang halaga ng lg 2 ay matatagpuan gamit ang isang talahanayan, slide rule o calculator).

Sagot: 0.3010.

Halimbawa 9.

Kalkulahin ang log a 2 b 3 √(a 11 b -3) kung log √ a b 3 = 1. (Sa halimbawang ito, a 2 b 3 ang base ng logarithm).

Desisyon.

Kung log √ a b 3 = 1, pagkatapos ay 3/(0.5 log a b = 1. At log a b = 1/6.

Pagkatapos ay mag-log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) na log at b = 1/6 makuha natin ang (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10.5/5 = 2.1.

Sagot: 2.1.

Maaari mong gawin ang sumusunod sa iyong sarili:

Kalkulahin ang log √3 6 √2.1 kung log 0.7 27 = a.

Sagot: (3 + a) / (3a).

Halimbawa 10

Kalkulahin ang 6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Desisyon.

6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formula 4))

Nakukuha namin ang 9 + 6 = 15.

Sagot: 15.

Mayroon ka bang anumang mga katanungan? Hindi sigurado kung paano mahahanap ang halaga ng isang logarithmic expression?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Logarithmic expression, solusyon ng mga halimbawa. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtataas ng tanong ng paghahanap ng halaga ng expression. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming gawain at napakahalagang maunawaan ang kahulugan nito. Tulad ng para sa USE, ang logarithm ay ginagamit sa paglutas ng mga equation, sa mga inilapat na problema, at gayundin sa mga gawain na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga function.

Narito ang mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Mga katangian ng logarithms na dapat mong laging tandaan:

*Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.

* * *

*Transition sa bagong base

* * *

Higit pang mga katangian:

* * *

Ang computing logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.

Inilista namin ang ilan sa kanila:

Ang kakanyahan ng ari-arian na ito ay kapag inilipat ang numerator sa denominator at kabaligtaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:

Bunga ng ari-arian na ito:

* * *

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.

* * *

Tulad ng makikita mo, ang mismong konsepto ng logarithm ay simple. Ang pangunahing bagay ay ang mahusay na kasanayan ay kinakailangan, na nagbibigay ng isang tiyak na kasanayan. Tiyak na ang kaalaman sa mga formula ay obligado. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, kung gayon kapag ang paglutas ng mga simpleng gawain, ang isa ay madaling magkamali.

Magsanay, lutasin muna ang pinakasimpleng mga halimbawa mula sa kurso sa matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalutas ang mga "pangit" na logarithms, walang mga ganyan sa pagsusulit, ngunit interesado sila, huwag palampasin ito!

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Ang mga nakalistang equality kapag nagko-convert ng mga expression na may logarithms ay ginagamit pareho mula kanan pakaliwa at mula kaliwa papuntang kanan.

Kapansin-pansin na hindi kinakailangang kabisaduhin ang mga kahihinatnan ng mga pag-aari: kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo, maaari mong makuha ang mga pangunahing katangian ng logarithms at iba pang mga katotohanan (halimbawa, para sa b≥0), kung saan ang kaukulang kasunod ang mga kahihinatnan. Ang "side effect" ng diskarteng ito ay ang solusyon ay tatagal ng kaunti. Halimbawa, upang magawa nang walang kinahinatnan, na ipinahayag ng formula , at simula lamang sa mga pangunahing katangian ng logarithms, kakailanganin mong magsagawa ng isang hanay ng mga pagbabagong-anyo ng sumusunod na anyo: .

Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa huling pag-aari mula sa listahan sa itaas, na tumutugma sa formula , dahil sumusunod din ito sa mga pangunahing katangian ng logarithms. Ang pangunahing bagay na dapat maunawaan ay palaging posible para sa antas ng isang positibong numero na may logarithm sa exponent na palitan ang base ng antas at ang numero sa ilalim ng tanda ng logarithm. In fairness, napapansin namin na ang mga halimbawang kinasasangkutan ng pagpapatupad ng ganitong uri ng pagbabago ay bihira sa pagsasanay. Magbibigay kami ng ilang halimbawa sa ibaba.

Pag-convert ng mga numeric na expression na may logarithms

Naalala namin ang mga katangian ng logarithms, ngayon ay oras na upang matutunan kung paano isasagawa ang mga ito upang baguhin ang mga expression. Natural na magsimula sa pagbabago ng mga numeric na expression, at hindi mga expression na may mga variable, dahil ito ay mas maginhawa at mas madaling matutunan ang mga pangunahing kaalaman sa mga ito. Kaya't gagawin natin ito, at magsisimula tayo sa napakasimpleng mga halimbawa upang matutunan kung paano piliin ang nais na pag-aari ng logarithm, ngunit unti-unti nating gagawing kumplikado ang mga halimbawa, hanggang sa punto kung saan ang ilang mga katangian ay kailangang ilapat sa isang hilera upang makuha ang huling resulta.

Pagpili ng nais na pag-aari ng logarithms

Mayroong hindi gaanong mga katangian ng logarithms, at malinaw na kailangan mong pumili ng naaangkop na isa mula sa kanila, na sa partikular na kaso na ito ay hahantong sa nais na resulta. Karaniwang hindi ito mahirap gawin sa pamamagitan ng paghahambing ng anyo ng logarithm o expression na kino-convert sa mga uri ng kaliwa at kanang bahagi ng mga formula na nagpapahayag ng mga katangian ng logarithms. Kung ang kaliwa o kanang bahagi ng isa sa mga formula ay tumutugma sa ibinigay na logarithm o expression, malamang na ang property na ito ang dapat gamitin sa panahon ng pagbabago. Ang mga sumusunod na halimbawa ay malinaw na nagpapakita nito.

Magsimula tayo sa mga halimbawa ng pagbabago ng mga expression gamit ang kahulugan ng logarithm, na tumutugma sa formula a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Halimbawa.

Kalkulahin, kung maaari: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Desisyon.

Sa halimbawa, ang titik a) ay malinaw na nagpapakita ng istraktura a log a b , kung saan a=5 , b=4 . Ang mga numerong ito ay nakakatugon sa mga kundisyon a>0 , a≠1 , b>0 , upang ligtas mong magamit ang equality a log a b =b . Mayroon kaming 5 log 5 4=4 .

b) Dito a=10 , b=1+2 π , mga kondisyon a>0 , a≠1 , b>0 ay natutupad. Sa kasong ito, nagaganap ang pagkakapantay-pantay na 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

c) At sa halimbawang ito tayo ay nakikitungo sa isang antas ng anyo a log a b , kung saan at b=ln15 . Kaya .

Sa kabila ng pag-aari sa parehong anyo a log a b (dito a=2 , b=−7 ), ang expression sa ilalim ng letrang d) ay hindi mako-convert ng formula a log a b =b . Ang dahilan ay hindi ito makatuwiran dahil naglalaman ito ng negatibong numero sa ilalim ng logarithm sign. Bukod dito, ang bilang na b=−7 ay hindi nakakatugon sa kundisyon b>0 , na ginagawang imposibleng gamitin ang formula na a log a b =b , dahil nangangailangan ito ng mga kundisyon a>0 , a≠1 , b>0 . Kaya, hindi natin maaaring pag-usapan ang pag-compute ng value 2 log 2 (−7) . Sa kasong ito, ang pagsulat ng 2 log 2 (−7) = −7 ay magiging isang error.

Katulad nito, sa halimbawa sa ilalim ng titik e) imposibleng magbigay ng solusyon ng form , dahil walang saysay ang orihinal na expression.

Sagot:

a) 5 log 5 4 =4 , b) 10 log(1+2 π) =1+2 π , c) , d), e) walang saysay ang mga expression.

Madalas na kapaki-pakinabang ang pag-convert ng positibong numero bilang kapangyarihan ng ilang positibong hindi isang numero na may logarithm sa exponent. Ito ay batay sa parehong kahulugan ng logarithm a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , ngunit ang formula ay inilapat mula kanan pakaliwa, iyon ay, sa anyong b=a log a b . Halimbawa, 3=e ln3 o 5=5 log 5 5 .

Magpatuloy tayo sa paggamit ng mga katangian ng logarithms upang baguhin ang mga expression.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng expression: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3.75 1, h) log 5 π 7 1 .

Desisyon.

Sa mga halimbawa sa ilalim ng mga titik a), b) at c), ang mga expression na log −2 1 , log 1 1 , log 0 1 ay ibinigay, na hindi makatwiran, dahil ang base ng logarithm ay hindi dapat maglaman ng negatibong numero, zero o isa, dahil tinukoy namin ang logarithm para lamang sa positibo at hindi unit na base. Samakatuwid, sa mga halimbawa a) - c) walang tanong sa paghahanap ng halaga ng expression.

Sa lahat ng iba pang mga gawain, malinaw naman, ang mga base ng logarithms ay naglalaman ng positibo at di-unit na mga numero 7 , e , 10 , 3.75 at 5 π 7 ayon sa pagkakabanggit, at ang mga yunit ay nasa lahat ng dako sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms. At alam natin ang pag-aari ng logarithm ng pagkakaisa: log a 1=0 para sa anumang a>0 , a≠1 . Kaya, ang mga halaga ng mga expression b) - f) ay katumbas ng zero.

Sagot:

a), b), c) ang mga expression ay walang kahulugan, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0 .

Halimbawa.

Kalkulahin: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Desisyon.

Malinaw na kailangan nating gamitin ang property ng logarithm ng base, na tumutugma sa formula log a a=1 para sa a>0 , a≠1 . Sa katunayan, sa mga gawain sa ilalim ng lahat ng mga titik, ang numero sa ilalim ng tanda ng logarithm ay tumutugma sa base nito. Kaya, gusto kong sabihin kaagad na ang halaga ng bawat isa sa mga ibinigay na expression ay 1 . Gayunpaman, huwag magmadali sa mga konklusyon: sa mga gawain sa ilalim ng mga titik a) - d) ang mga halaga ng mga expression ay talagang katumbas ng isa, at sa mga gawain e) at f) ang orihinal na mga expression ay hindi makatwiran, kaya hindi sabihin na ang mga halaga ng mga expression na ito ay katumbas ng 1.

Sagot:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) walang saysay ang mga expression.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Desisyon.

Malinaw, sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms ay ilang antas ng base. Batay dito, naiintindihan namin na ang katangian ng antas ng base ay kapaki-pakinabang dito: log a a p =p, kung saan ang a>0, a≠1 at p ay anumang tunay na numero. Isinasaalang-alang ito, mayroon kaming mga sumusunod na resulta: a) log 3 3 11 =11 , b) , sa) . Posible bang magsulat ng katulad na pagkakapantay-pantay para sa halimbawa sa ilalim ng letrang d) ng form log −10 (−10) 6 =6? Hindi, hindi mo magagawa, dahil ang log −10 (−10) 6 ay walang saysay.

Sagot:

a) log 3 3 11 =11, b) , sa) d) walang katuturan ang ekspresyon.

Halimbawa.

Ipahayag ang expression bilang kabuuan o pagkakaiba ng logarithms sa parehong base: a) , b) , c) log((−5) (−12)) .

Desisyon.

a) Ang produkto ay nasa ilalim ng sign ng logarithm, at alam natin ang property ng logarithm ng product log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . Sa aming kaso, ang numero sa base ng logarithm at ang mga numero sa produkto ay positibo, iyon ay, natutugunan nila ang mga kondisyon ng napiling pag-aari, samakatuwid, maaari naming ligtas na mailapat ito: .

b) Dito ginagamit namin ang property ng logarithm ng quotient , kung saan a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . Sa aming kaso, ang base ng logarithm ay isang positibong numero e, ang numerator at denominator π ay positibo, na nangangahulugang natutugunan nila ang mga kondisyon ng ari-arian, kaya may karapatan kaming gamitin ang napiling formula: .

c) Una, tandaan na ang ekspresyong lg((−5) (−12)) ay may katuturan. Ngunit sa parehong oras, wala kaming karapatang ilapat ang formula para sa logarithm ng produkto log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , dahil ang mga numero −5 at −12 ay negatibo at hindi nakakatugon sa mga kundisyon x>0 , y>0 . Iyon ay, imposibleng isagawa ang gayong pagbabago: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Ngunit ano ang gagawin? Sa ganitong mga kaso, ang orihinal na expression ay kailangang pre-transform upang maiwasan ang mga negatibong numero. Tatalakayin namin nang detalyado ang tungkol sa mga katulad na kaso ng pag-convert ng mga expression na may mga negatibong numero sa ilalim ng tanda ng logarithm sa isa, ngunit sa ngayon ay magbibigay kami ng solusyon sa halimbawang ito, na malinaw nang maaga at walang paliwanag: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Sagot:

a) , b) , c) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

Halimbawa.

Pasimplehin ang expression: a) log 3 0.25 + log 3 16 + log 3 0.5, b) .

Desisyon.

Dito, lahat ng parehong mga katangian ng logarithm ng produkto at ang logarithm ng quotient na ginamit namin sa mga nakaraang halimbawa ay makakatulong sa amin, ngayon lamang namin ilalapat ang mga ito mula kanan hanggang kaliwa. Iyon ay, kino-convert namin ang kabuuan ng logarithms sa logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ng logarithms sa logarithm ng quotient. Meron kami
a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 (0.25 16 0.5)=log 3 2.
b) .

Sagot:

a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 2, b) .

Halimbawa.

Alisin ang degree sa ilalim ng sign ng logarithm: a) log 0.7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Desisyon.

Madaling makita na nakikipag-usap tayo sa mga expression tulad ng log a b p . Ang katumbas na katangian ng logarithm ay log a b p =p log a b , kung saan ang a>0 , a≠1 , b>0 , p ay anumang tunay na numero. Ibig sabihin, sa ilalim ng mga kundisyon a>0 , a≠1 , b>0 mula sa logarithm ng degree log a b p maaari tayong pumunta sa produkto p·log a b . Isagawa natin ang pagbabagong ito gamit ang mga ibinigay na expression.

a) Sa kasong ito a=0.7 , b=5 at p=11 . Kaya log 0.7 5 11 =11 log 0.7 5 .

b) Dito , ang mga kundisyon a>0 , a≠1 , b>0 ay natutupad. Kaya

c) Ang expression log 3 (−5) 6 ay may parehong structure log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Ngunit para sa b, ang kundisyon b>0 ay hindi nasiyahan, na ginagawang imposibleng ilapat ang formula log a b p =p log a b . Kaya bakit hindi mo magawa ang trabaho? Posible ito, ngunit kinakailangan ang isang paunang pagbabago ng expression, na tatalakayin natin nang detalyado sa ibaba sa talata sa ilalim ng heading . Ang solusyon ay magiging ganito: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Sagot:

a) log 0.7 5 11 =11 log 0.7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Kadalasan, ang pormula para sa logarithm ng degree kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo ay kailangang mailapat mula kanan hanggang kaliwa sa form na p log a b \u003d log a b p (nangangailangan ito ng parehong mga kondisyon para sa a, b at p). Halimbawa, 3 ln5=ln5 3 at lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Halimbawa.

a) Kalkulahin ang halaga ng log 2 5 kung alam na ang lg2≈0.3010 at lg5≈0.6990. b) Isulat ang fraction bilang logarithm hanggang base 3.

Desisyon.

a) Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay nagpapahintulot sa amin na katawanin ang logarithm na ito bilang isang ratio ng mga decimal logarithm, ang mga halaga nito ay alam sa amin: . Ito ay nananatiling lamang upang isakatuparan ang mga kalkulasyon, mayroon kami .

b) Dito sapat na gamitin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base, at ilapat ito mula kanan hanggang kaliwa, iyon ay, sa anyo . Nakukuha namin .

Sagot:

a) log 2 5≈2.3223, b) .

Sa yugtong ito, mas masusing isinaalang-alang namin ang pagbabago ng pinakasimpleng expression gamit ang mga pangunahing katangian ng logarithms at ang kahulugan ng logarithm. Sa mga halimbawang ito, kailangan naming gumamit ng isang pag-aari at wala nang iba pa. Ngayon, na may malinis na budhi, maaari kang magpatuloy sa mga halimbawa na ang pagbabago ay nangangailangan ng paggamit ng ilang mga katangian ng logarithms at iba pang mga karagdagang pagbabago. Haharapin natin sila sa susunod na talata. Ngunit bago iyon, isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga kahihinatnan mula sa mga pangunahing katangian ng logarithms.

Halimbawa.

a) Tanggalin ang ugat sa ilalim ng tanda ng logarithm. b) I-convert ang fraction sa isang base 5 logarithm. c) Alisin ang mga kapangyarihan sa ilalim ng tanda ng logarithm at sa base nito. d) Kalkulahin ang halaga ng expression . e) Palitan ang expression ng isang kapangyarihan na may base 3.

Desisyon.

a) Kung aalalahanin natin ang corollary mula sa ari-arian ng logarithm ng degree , pagkatapos ay maaari mong sagutin kaagad: .

b) Dito ginagamit natin ang formula mula kanan hanggang kaliwa, mayroon kami .

c) Sa kasong ito, ang formula ay humahantong sa resulta . Nakukuha namin .

d) At dito sapat na upang ilapat ang corollary kung saan ang formula ay tumutugma . Kaya .

e) Ang ari-arian ng logarithm nagbibigay-daan sa amin upang makamit ang ninanais na resulta: .

Sagot:

a) . b) . sa) . G) . e) .

Patuloy na Paglalapat ng Maramihang Mga Katangian

Ang mga tunay na gawain para sa pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng logarithms ay kadalasang mas kumplikado kaysa sa mga natalakay namin sa nakaraang talata. Sa kanila, bilang isang patakaran, ang resulta ay hindi nakuha sa isang hakbang, ngunit ang solusyon ay binubuo na sa sunud-sunod na aplikasyon ng isang pag-aari pagkatapos ng isa pa, kasama ang mga karagdagang magkaparehong pagbabago, tulad ng pagbubukas ng mga bracket, pagbabawas ng mga katulad na termino, pagbabawas ng mga fraction, atbp. . Kaya't lumapit tayo sa gayong mga halimbawa. Walang kumplikado tungkol dito, ang pangunahing bagay ay kumilos nang maingat at pare-pareho, na obserbahan ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga aksyon ay ginanap.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng isang expression (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Desisyon.

Ang pagkakaiba ng logarithm sa mga bracket ayon sa property ng logarithm ng quotient ay maaaring mapalitan ng logarithm log 3 (15:5) , at pagkatapos ay kalkulahin ang value nito log 3 (15:5)=log 3 3=1 . At ang halaga ng expression 7 log 7 5 sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm ay 5 . Ang pagpapalit ng mga resultang ito sa orihinal na expression, nakukuha namin (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Narito ang isang solusyon nang walang paliwanag:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

Sagot:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Halimbawa.

Ano ang halaga ng numerical expression log 3 log 2 2 3 −1 ?

Desisyon.

Ibahin muna natin ang logarithm, na nasa ilalim ng sign ng logarithm, ayon sa formula ng logarithm ng degree: log 2 2 3 =3. Kaya log 3 log 2 2 3 =log 3 3 at pagkatapos ay log 3 3=1 . Kaya log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Sagot:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Halimbawa.

Pasimplehin ang expression.

Desisyon.

Ang formula para sa pag-convert sa isang bagong base ng logarithm ay nagbibigay-daan sa ratio ng logarithms sa isang base na kinakatawan bilang log 3 5 . Sa kasong ito, ang orihinal na expression ay kukuha ng form . Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm 3 log 3 5 =5 , iyon ay , at ang halaga ng resultang expression, sa bisa ng parehong kahulugan ng logarithm, ay katumbas ng dalawa.

Narito ang isang maikling bersyon ng solusyon, na karaniwang ibinibigay: .

Sagot:

.

Para sa isang maayos na paglipat sa impormasyon ng susunod na talata, tingnan natin ang mga expression na 5 2+log 5 3 , at lg0.01 . Ang kanilang istraktura ay hindi magkasya sa alinman sa mga katangian ng logarithms. Kaya ano ang mangyayari kung hindi sila ma-convert gamit ang mga katangian ng logarithms? Posible kung magsasagawa ka ng mga paunang pagbabagong naghahanda sa mga expression na ito para sa paglalapat ng mga katangian ng logarithms. Kaya 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, at lg0,01=lg10 −2 = −2 . Dagdag pa, mauunawaan natin nang detalyado kung paano isinasagawa ang naturang paghahanda ng mga expression.

Paghahanda ng mga expression upang ilapat ang mga katangian ng logarithms

Ang mga logarithm sa na-convert na expression ay madalas na naiiba sa istraktura ng notasyon mula sa kaliwa at kanang bahagi ng mga formula na tumutugma sa mga katangian ng logarithms. Ngunit tulad ng madalas, ang pagbabago ng mga expression na ito ay nagsasangkot ng paggamit ng mga katangian ng logarithms: ang kanilang paggamit ay nangangailangan lamang ng paunang paghahanda. At ang paghahandang ito ay binubuo sa pagsasagawa ng ilang magkatulad na pagbabagong-anyo na nagdadala ng mga logarithms sa isang form na maginhawa para sa paglalapat ng mga katangian.

Sa pagiging patas, tandaan namin na halos anumang pagbabago ng mga expression ay maaaring kumilos bilang mga paunang pagbabago, mula sa banal na pagbawas ng mga katulad na termino hanggang sa paggamit ng mga trigonometrikong formula. Naiintindihan ito, dahil ang mga na-convert na expression ay maaaring maglaman ng anumang mga bagay na pangmatematika: mga bracket, module, fraction, ugat, degree, atbp. Kaya, dapat maging handa ang isa na magsagawa ng anumang kinakailangang pagbabago upang higit na makinabang mula sa mga katangian ng logarithms.

Sabihin natin kaagad na sa seksyong ito ay hindi natin itinakda ang ating sarili ang gawain ng pag-uuri at pagsusuri sa lahat ng maiisip na paunang pagbabago na nagpapahintulot sa atin na ilapat ang mga katangian ng logarithms o ang kahulugan ng isang logarithm sa hinaharap. Dito kami ay tumutuon sa apat lamang sa kanila, na kung saan ay ang pinaka-katangian at madalas na nakatagpo sa pagsasanay.

At ngayon nang detalyado tungkol sa bawat isa sa kanila, pagkatapos nito, sa loob ng balangkas ng aming paksa, nananatili lamang upang harapin ang pagbabago ng mga expression na may mga variable sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms.

Pagpili ng mga kapangyarihan sa ilalim ng tanda ng logarithm at sa base nito

Magsimula tayo kaagad sa isang halimbawa. Magkaroon tayo ng logarithm. Malinaw, sa form na ito, ang istraktura nito ay hindi nakakatulong sa paggamit ng mga katangian ng logarithms. Posible bang ibahin ang anyo ng expression na ito upang gawing simple ito, o mas mahusay na kalkulahin ang halaga nito? Upang masagot ang tanong na ito, tingnan natin ang mga numero 81 at 1/9 sa konteksto ng ating halimbawa. Madaling makita dito na ang mga numerong ito ay maaaring katawanin bilang isang kapangyarihan ng 3 , sa katunayan, 81=3 4 at 1/9=3 −2 . Sa kasong ito, ang orihinal na logarithm ay ipinakita sa form at nagiging posible na ilapat ang formula . Kaya, .

Ang pagsusuri sa nasuri na halimbawa ay nagbibigay ng sumusunod na ideya: kung maaari, maaari mong subukang i-highlight ang antas sa ilalim ng tanda ng logarithm at sa base nito upang mailapat ang ari-arian ng logarithm ng degree o ang kinahinatnan nito. Ito ay nananatiling lamang upang malaman kung paano iisa-isa ang mga degree na ito. Magbibigay kami ng ilang rekomendasyon sa isyung ito.

Minsan medyo halata na ang numero sa ilalim ng sign ng logarithm at / o sa base nito ay kumakatawan sa ilang integer na kapangyarihan, tulad ng sa halimbawang tinalakay sa itaas. Halos palagiang kailangan mong harapin ang mga kapangyarihan ng dalawa, na pamilyar na pamilyar: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10 . Ang parehong ay maaaring masabi tungkol sa mga antas ng triple: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Sa pangkalahatan, hindi masakit kung mayroong talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga natural na numero sa loob ng sampu. Hindi rin mahirap magtrabaho sa mga integer na kapangyarihan ng sampu, daan, libo, atbp.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga o pasimplehin ang expression: a) log 6 216 , b) , c) log 0.000001 0.001 .

Desisyon.

a) Malinaw, 216=6 3 , kaya log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) Ang talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga natural na numero ay nagpapahintulot sa amin na katawanin ang mga numerong 343 at 1/243 bilang mga kapangyarihan ng 7 3 at 3 −4, ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid, ang sumusunod na pagbabago ng ibinigay na logarithm ay posible:

c) Dahil 0.000001=10 −6 at 0.001=10 −3, kung gayon log 0.000001 0.001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Sagot:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0.000001 0.001=1/2 .

Sa mas kumplikadong mga kaso, upang i-highlight ang mga kapangyarihan ng mga numero, kailangan mong gawin.

Halimbawa.

Baguhin ang expression sa mas simpleng form log 3 648 log 2 3 .

Desisyon.

Tingnan natin kung ano ang pagkabulok ng numerong 648 sa mga pangunahing kadahilanan:

Ibig sabihin, 648=2 3 3 4 . kaya, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Ngayon i-convert namin ang logarithm ng produkto sa kabuuan ng logarithms, pagkatapos nito ay inilalapat namin ang mga katangian ng logarithm ng degree:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Sa pamamagitan ng kabutihan ng corollary ng ari-arian ng logarithm ng degree, na tumutugma sa formula , ang produkto log32 log23 ay ang produkto , at ito ay kilala na katumbas ng isa. Isinasaalang-alang ito, nakukuha namin 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Sagot:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Kadalasan, ang mga expression sa ilalim ng tanda ng logarithm at sa base nito ay mga produkto o ratio ng mga ugat at / o kapangyarihan ng ilang mga numero, halimbawa, , . Ang mga katulad na expression ay maaaring katawanin bilang isang degree. Upang gawin ito, ang paglipat mula sa mga ugat hanggang sa mga degree ay isinasagawa, at at inilapat. Ang mga pagbabagong ito ay nagpapahintulot sa iyo na piliin ang mga degree sa ilalim ng tanda ng logarithm at sa base nito, at pagkatapos ay ilapat ang mga katangian ng logarithms.

Halimbawa.

Kalkulahin: a) , b).

Desisyon.

a) Ang expression sa base ng logarithm ay produkto ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, sa pamamagitan ng kaukulang pag-aari ng mga kapangyarihan na mayroon tayo 5 2 5 −0.5 5 −1 =5 2−0.5−1 =5 0.5.

Ngayon ay baguhin natin ang bahagi sa ilalim ng tanda ng logarithm: lumipat tayo mula sa ugat hanggang sa antas, pagkatapos nito ay gagamitin natin ang pag-aari ng ratio ng mga degree na may parehong mga base: .

Ito ay nananatiling palitan ang mga resulta na nakuha sa orihinal na expression, gamitin ang formula at tapusin ang pagbabagong-anyo:

b) Dahil 729=3 6 , at 1/9=3 −2 , ang orihinal na expression ay maaaring muling isulat bilang .

Susunod, ilapat ang pag-aari ng ugat ng exponent, lumipat mula sa ugat patungo sa exponent, at gamitin ang ratio na katangian ng mga kapangyarihan upang i-convert ang base ng logarithm sa isang kapangyarihan: .

Isinasaalang-alang ang huling resulta, mayroon kami .

Sagot:

a) , b).

Malinaw na sa pangkalahatang kaso, upang makakuha ng mga kapangyarihan sa ilalim ng tanda ng logarithm at sa base nito, maaaring kailanganin ang iba't ibang pagbabago ng iba't ibang mga expression. Magbigay tayo ng ilang halimbawa.

Halimbawa.

Ano ang halaga ng expression: a) , b) .

Desisyon.

Dagdag pa, tandaan namin na ang ibinigay na expression ay may form na log A B p , kung saan A=2 , B=x+1 at p=4 . Binago namin ang mga numerical expression ng ganitong uri ayon sa pag-aari ng logarithm ng degree log a b p \u003d p log a b, samakatuwid, sa isang naibigay na expression, gusto kong gawin ang parehong, at mula sa log 2 (x + 1) 4 go hanggang 4 log 2 (x + 1) . At ngayon kalkulahin natin ang halaga ng orihinal na expression at ang expression na nakuha pagkatapos ng pagbabagong-anyo, halimbawa, na may x=−2 . Mayroon kaming log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , at 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- walang kahulugan na pagpapahayag. Nagbangon ito ng isang lehitimong tanong: "Ano ang ginawa nating mali"?

At ang dahilan ay ang mga sumusunod: ginawa namin ang pagbabagong-anyo log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , batay sa formula log a b p =p log a b , ngunit may karapatan kaming ilapat ang formula na ito lamang kung ang mga kundisyon a >0 , a≠1 , b>0 , p - anumang tunay na numero. Iyon ay, ang pagbabagong ginawa natin ay magaganap kung x+1>0 , na pareho x>−1 (para sa A at p, ang mga kundisyon ay natutugunan). Gayunpaman, sa aming kaso, ang ODZ ng variable x para sa orihinal na expression ay binubuo hindi lamang ng interval x> −1 , kundi pati na rin ng interval x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Ang pangangailangan na isaalang-alang ang ODZ

Patuloy nating pag-aralan ang pagbabago ng expression na log 2 (x+1) 4 na napili natin, at ngayon tingnan natin kung ano ang mangyayari sa ODZ kapag pumasa sa expression 4 log 2 (x+1) . Sa nakaraang talata, nakita namin ang ODZ ng orihinal na expression - ito ang set (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Ngayon hanapin natin ang lugar ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable x para sa expression 4 log 2 (x+1) . Ito ay tinutukoy ng kundisyon x+1>0 , na tumutugma sa set (−1, +∞) . Malinaw na kapag mula sa log 2 (x+1) 4 hanggang 4·log 2 (x+1), lumiliit ang hanay ng mga tinatanggap na halaga. At sumang-ayon kaming iwasan ang mga reporma na humahantong sa pagpapaliit ng ODZ, dahil maaari itong humantong sa iba't ibang negatibong kahihinatnan.

Narito ito ay nagkakahalaga ng pagpuna para sa iyong sarili na ito ay kapaki-pakinabang upang kontrolin ang ODZ sa bawat hakbang ng pagbabagong-anyo at hindi pinapayagan itong makitid. At kung biglang sa ilang yugto ng pagbabagong-anyo ay nagkaroon ng pagpapaliit ng ODZ, kung gayon ito ay nararapat na maingat na tingnan kung ang pagbabagong ito ay pinahihintulutan at kung mayroon tayong karapatang isagawa ito.

Sa patas, sinasabi namin na sa pagsasanay ay karaniwang kailangan naming magtrabaho sa mga expression kung saan ang ODZ ng mga variable ay tulad na nagbibigay-daan sa amin na gamitin ang mga katangian ng logarithms nang walang mga paghihigpit sa form na alam na sa amin, parehong mula kaliwa hanggang kanan at mula sa kanan pakaliwa, kapag nagsasagawa ng mga pagbabago. Mabilis kang masanay dito, at sinimulan mong isagawa ang mga pagbabagong mekanikal, nang hindi iniisip kung posible bang isagawa ang mga ito. At sa mga sandaling iyon, tulad ng swerte, ang mas kumplikadong mga halimbawa ay dumaan, kung saan ang hindi tumpak na aplikasyon ng mga katangian ng logarithms ay humahantong sa mga pagkakamali. Kaya kailangan mong laging maging alerto, at siguraduhing walang pagkipot ng ODZ.

Hindi masakit na hiwalay na i-highlight ang mga pangunahing pagbabagong-anyo batay sa mga katangian ng logarithms, na dapat isagawa nang maingat, na maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng DPV, at bilang isang resulta, sa mga pagkakamali:

Ang ilang mga pagbabagong-anyo ng mga expression ayon sa mga katangian ng logarithms ay maaari ding humantong sa kabaligtaran - ang pagpapalawak ng ODZ. Halimbawa, ang pagpunta mula sa 4 log 2 (x+1) hanggang log 2 (x+1) 4 ay nagpapalawak ng ODZ mula sa set (−1, +∞) hanggang (−∞, −1)∪(−1, +∞ ). Nagaganap ang mga ganitong pagbabago kung mananatili ka sa loob ng ODZ para sa orihinal na expression. Kaya ang pagbabagong binanggit na 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 ay nagaganap sa ODZ variable x para sa orihinal na expression 4 log 2 (x+1) , iyon ay, kapag x+1> 0 , na kapareho ng (−1, +∞) .

Ngayong napag-usapan na natin ang mga nuances na kailangan mong bigyang pansin kapag nagko-convert ng mga expression na may mga variable gamit ang mga katangian ng logarithms, nananatili itong malaman kung paano dapat isagawa nang tama ang mga conversion na ito.

X+2>0 . Gumagana ba ito sa aming kaso? Upang masagot ang tanong na ito, tingnan natin ang DPV ng x variable. Ito ay tinutukoy ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay , na katumbas ng kundisyon x+2>0 (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo solusyon ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay). Kaya, maaari nating ligtas na ilapat ang pag-aari ng logarithm ng degree.

Meron kami
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Maaari kang kumilos nang iba, dahil pinapayagan ka ng ODZ na gawin ito, halimbawa tulad nito:

Sagot:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

At ano ang gagawin kapag ang mga kondisyon na nauugnay sa mga katangian ng logarithms ay hindi natutugunan sa ODZ? Haharapin natin ito sa mga halimbawa.

Hihilingin sa atin na pasimplehin ang expression na lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Ang pagbabagong-anyo ng expression na ito, hindi tulad ng expression mula sa nakaraang halimbawa, ay hindi pinapayagan ang libreng paggamit ng pag-aari ng logarithm ng degree. Bakit? Ang ODZ ng variable x sa kasong ito ay ang unyon ng dalawang pagitan x>−2 at x<−2 . При x>−2 maaari nating ligtas na ilapat ang pag-aari ng logarithm ng degree at magpatuloy tulad ng sa halimbawa sa itaas: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Ngunit ang ODZ ay naglalaman ng isa pang interval x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 at higit pa, dahil sa mga katangian ng kapangyarihan ng lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. Ang resultang expression ay maaaring mabago ayon sa pag-aari ng logarithm ng degree, dahil |x+2|>0 para sa anumang mga halaga ng variable. Meron kami log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Ngayon ay maaari mong alisin ang module, dahil nagawa na nito ang trabaho nito. Dahil tayo ay nagbabago sa x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa upang gawing pamilyar ang pagtatrabaho sa mga module. Magisip tayo mula sa expression pumasa sa kabuuan at pagkakaiba ng logarithms ng mga linear binomials x−1 , x−2 at x−3 . Una naming mahanap ang ODZ:

Sa pagitan (3, +∞), ang mga halaga ng mga expression na x−1 , x−2 at x−3 ay positibo, upang ligtas nating mailapat ang mga katangian ng logarithm ng kabuuan at pagkakaiba:

At sa pagitan (1, 2), ang mga halaga ng expression na x−1 ay positibo, at ang mga halaga ng mga expression na x−2 at x−3 ay negatibo. Samakatuwid, sa pagitan na isinasaalang-alang, kinakatawan namin ang x−2 at x−3 gamit ang modulo bilang −|x−2| at −|x−3| ayon sa pagkakabanggit. Kung saan

Ngayon ay maaari nating ilapat ang mga katangian ng logarithm ng produkto at ang quotient, dahil sa itinuturing na pagitan (1, 2) ang mga halaga ng mga expression x−1 , |x−2| at |x−3| - positibo.

Meron kami

Ang mga resulta na nakuha ay maaaring pagsamahin:

Sa pangkalahatan, ang katulad na pangangatwiran ay nagbibigay-daan, batay sa mga formula para sa logarithm ng produkto, ratio at degree, upang makakuha ng tatlong praktikal na kapaki-pakinabang na mga resulta na medyo maginhawang gamitin:

• Ang logarithm ng produkto ng dalawang arbitrary na expression X at Y ng form na log a (X·Y) ay maaaring palitan ng kabuuan ng logarithms log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• Ang espesyal na logarithm log a (X:Y) ay maaaring palitan ng pagkakaiba ng logarithms log a |X|−log a |Y| Ang , a>0 , a≠1 , X at Y ay mga arbitrary na expression.
• Mula sa logarithm ng ilang expression B hanggang sa pantay na kapangyarihan p ng form na log a B p, maaaring ipasa ang isa sa expression na p log a |B| , kung saan ang a>0 , a≠1 , p ay isang even na numero at ang B ay isang arbitrary na expression.

Ang mga katulad na resulta ay ibinibigay, halimbawa, sa mga tagubilin para sa paglutas ng mga exponential at logarithmic equation sa koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga aplikante sa mga unibersidad, na na-edit ni M. I. Skanavi.

Halimbawa.

Pasimplehin ang expression .

Desisyon.

Mainam na ilapat ang mga katangian ng logarithm ng antas, kabuuan at pagkakaiba. Ngunit magagawa ba natin ito dito? Upang masagot ang tanong na ito, kailangan nating malaman ang ODZ.

Tukuyin natin ito:

Halatang halata na ang mga expression na x+4 , x−2 at (x+4) 13 sa hanay ng mga posibleng halaga ng variable x ay maaaring tumagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Samakatuwid, kailangan nating magtrabaho sa pamamagitan ng mga module.

Nagbibigay-daan sa iyo ang mga katangian ng module na muling isulat bilang , kaya

Gayundin, walang pumipigil sa iyo na gamitin ang pag-aari ng logarithm ng degree, at pagkatapos ay magdala ng mga katulad na termino:

Ang isa pang pagkakasunud-sunod ng mga pagbabago ay humahantong sa parehong resulta:

at dahil ang expression na x−2 ay maaaring kumuha ng parehong positibo at negatibong mga halaga sa ODZ, kapag kumukuha ng pantay na exponent 14

Uri ng aralin: aral ng paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman

Mga layunin:

• upang i-update ang kaalaman ng mga mag-aaral sa logarithms at ang kanilang mga katangian bilang bahagi ng isang pangkalahatang pag-uulit at paghahanda para sa pagsusulit;
• upang itaguyod ang pag-unlad ng aktibidad ng kaisipan ng mga mag-aaral, ang mga kasanayan sa paglalapat ng teoretikal na kaalaman kapag nagsasagawa ng mga pagsasanay;
• upang itaguyod ang pagbuo ng mga personal na katangian ng mga mag-aaral, mga kasanayan sa pagpipigil sa sarili at pagtatasa sa sarili ng kanilang mga aktibidad; linangin ang kasipagan, pasensya, tiyaga, pagsasarili.

Kagamitan: kompyuter, projector, presentasyon (Apendise 1), mga card na may araling-bahay (maaari kang mag-attach ng isang file na may isang gawain sa isang electronic diary).

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali. Kumusta, maghanda para sa aralin.

II. Pagtalakay sa takdang-aralin.

III. Mensahe tungkol sa paksa at layunin ng aralin. Pagganyak.(Slide 1) Pagtatanghal.

Ipinagpapatuloy namin ang pangkalahatang pag-uulit ng kurso ng matematika bilang paghahanda para sa pagsusulit. At ngayon sa aralin ay pag-uusapan natin ang tungkol sa logarithms at ang kanilang mga katangian.

Ang mga gawain para sa pagkalkula ng mga logarithms at ang pagbabago ng mga logarithmic na expression ay kinakailangang naroroon sa kontrol at pagsukat ng mga materyales ng parehong mga basic at profile na antas. Samakatuwid, ang layunin ng aming aralin ay upang maibalik ang mga ideya tungkol sa kahulugan ng konsepto ng "logarithm" at i-update ang mga kasanayan sa pag-convert ng mga logarithmic expression. Isulat ang paksa ng aralin sa iyong kuwaderno.

IV. Pag-update ng kaalaman.

1. /Pasalita/ Una, tandaan natin ang tinatawag na logarithm. (Slide 2)

(Ang logarithm ng isang positibong numero b sa base a (kung saan ang a > 0, a? 1) ay ang exponent kung saan kailangan mong itaas ang numero a upang makuha ang numerong b)

Mag-log a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Kaya, ang "LOGARIFM" ay "EXPONENT"!

(Slide 3) Pagkatapos ay maaaring muling isulat ang a n = b bilang = b ay ang pangunahing logarithmic identity.

Kung ang base ay \u003d 10, kung gayon ang logarithm ay tinatawag na decimal at tinutukoy ang lgb.

Kung ang isang \u003d e, kung gayon ang logarithm ay tinatawag na natural at tinutukoy ng lnb.

2. /Nakasulat/ (Slide 4) Punan ang mga puwang upang makuha ang tamang pagkakapantay-pantay:

log? x + Log a ? = Log ? (?y)

log a ? - Log ? y = Log ? (x/?)

Log x ? = pLog ? (?)

Pagsusuri:

isa; isa; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

Ito ang mga katangian ng logarithms. At isa pang pangkat ng mga pag-aari: (Slide 5)

Pagsusuri:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Oral na gawain

(Slide 6) No. 1. Kalkulahin:

a B C D) ; e).

Mga sagot : a) 4; b) - 2; sa 2; d) 7; e) 27.

(Slide 7) No. 2. Hanapin ang X:

a) ; b) (Mga sagot: a) 1/4; b) 9).

No. 3. Makatuwiran bang isaalang-alang ang gayong logarithm:

a) ; b); sa) ? (Hindi)

VI. Independiyenteng trabaho sa mga grupo, malakas na mag-aaral - mga consultant. (Slide 8)

#1 Kalkulahin: .

#2 Pasimplehin:

Hindi. 3. Hanapin ang halaga ng expression na kung

#4 Pasimplehin ang expression:

#5 Kalkulahin:

#6 Kalkulahin:

#7 Kalkulahin:

#8 Kalkulahin:

Pagkatapos makumpleto - pag-verify at talakayan sa inihandang solusyon o sa tulong ng isang camera ng dokumento.

VII. Paglutas ng isang gawain ng tumaas na pagiging kumplikado(isang malakas na estudyante ang nasa pisara, ang iba ay nasa mga notebook) (Slide 9)

Hanapin ang halaga ng expression:

VIII. Naiiba ang takdang-aralin (sa mga card).(Slide 10)

No. 1. Kalkulahin:

Pagtuturo

Isulat ang ibinigay na logarithmic expression. Kung ang expression ay gumagamit ng logarithm ng 10, ang notasyon nito ay pinaikli at ganito ang hitsura: lg b ay ang decimal logarithm. Kung ang logarithm ay may numerong e bilang batayan, ang expression ay nakasulat: ln b ay ang natural na logarithm. Nauunawaan na ang resulta ng alinman ay ang kapangyarihan kung saan ang batayang numero ay dapat na itaas upang makuha ang numero b.

Kapag hinahanap ang kabuuan ng dalawang function, kailangan mo lamang na ibahin ang mga ito nang paisa-isa, at idagdag ang mga resulta: (u+v)" = u"+v";

Kapag hinahanap ang derivative ng produkto ng dalawang function, kinakailangang i-multiply ang derivative ng unang function sa pangalawa at idagdag ang derivative ng pangalawang function, na pinarami ng unang function: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Upang mahanap ang derivative ng quotient ng dalawang function, kinakailangan, mula sa produkto ng derivative ng dibidendo na pinarami ng divisor function, upang ibawas ang produkto ng derivative ng divisor na pinarami ng divisor function, at hatiin lahat ng ito sa pamamagitan ng divisor function squared. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Kung ang isang kumplikadong function ay ibinigay, pagkatapos ito ay kinakailangan upang i-multiply ang derivative ng panloob na function at ang derivative ng panlabas na isa. Hayaan ang y=u(v(x)), pagkatapos ay y"(x)=y"(u)*v"(x).

Gamit ang nakuha sa itaas, maaari mong iiba ang halos anumang function. Kaya tingnan natin ang ilang halimbawa:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Mayroon ding mga gawain para sa pagkalkula ng derivative sa isang punto. Hayaang maibigay ang function na y=e^(x^2+6x+5), kailangan mong hanapin ang halaga ng function sa puntong x=1.
1) Hanapin ang derivative ng function: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Kalkulahin ang halaga ng function sa ibinigay na punto y"(1)=8*e^0=8

Mga kaugnay na video

Nakatutulong na payo

Alamin ang talahanayan ng mga elementary derivatives. Makakatipid ito ng maraming oras.

Mga pinagmumulan:

• patuloy na derivative

Kaya ano ang pagkakaiba sa pagitan ng isang hindi makatwiran na equation at isang nakapangangatwiran? Kung ang hindi kilalang variable ay nasa ilalim ng square root sign, ang equation ay itinuturing na hindi makatwiran.

Pagtuturo

Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay ang paraan ng pagtaas ng magkabilang panig mga equation sa isang parisukat. Gayunpaman. ito ay natural, ang unang hakbang ay upang mapupuksa ang sign. Sa teknikal, ang pamamaraang ito ay hindi mahirap, ngunit kung minsan maaari itong humantong sa problema. Halimbawa, ang equation v(2x-5)=v(4x-7). Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig, makakakuha ka ng 2x-5=4x-7. Ang ganitong equation ay hindi mahirap lutasin; x=1. Ngunit ang numero 1 ay hindi ibibigay mga equation. Bakit? Palitan ang unit sa equation sa halip na ang x value. At ang kanan at kaliwang panig ay maglalaman ng mga expression na hindi makatuwiran, ibig sabihin. Ang nasabing halaga ay hindi wasto para sa isang square root. Samakatuwid, ang 1 ay isang extraneous na ugat, at samakatuwid ang equation na ito ay walang mga ugat.

Kaya, ang hindi makatwiran na equation ay nalutas gamit ang paraan ng pag-squaring ng parehong bahagi nito. At nang malutas ang equation, kinakailangan na putulin ang mga extraneous na ugat. Upang gawin ito, palitan ang mga natagpuang ugat sa orihinal na equation.

Isaalang-alang ang isa pa.
2x+vx-3=0
Siyempre, ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang parehong equation tulad ng nauna. Ilipat ang mga Compound mga equation, na walang square root, sa kanang bahagi at pagkatapos ay gamitin ang squaring method. lutasin ang nagresultang rational equation at mga ugat. Pero isa pa, mas elegante. Magpasok ng bagong variable; vx=y. Alinsunod dito, makakakuha ka ng isang equation tulad ng 2y2+y-3=0. Iyon ang karaniwang quadratic equation. Hanapin ang mga ugat nito; y1=1 at y2=-3/2. Susunod, lutasin ang dalawa mga equation vx=1; vx \u003d -3/2. Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, mula sa una ay makikita natin na x=1. Huwag kalimutan ang tungkol sa pangangailangan na suriin ang mga ugat.

Ang paglutas ng mga pagkakakilanlan ay medyo madali. Nangangailangan ito ng paggawa ng magkatulad na pagbabago hanggang sa makamit ang layunin. Kaya, sa tulong ng pinakasimpleng mga operasyon ng aritmetika, malulutas ang gawain.

Kakailanganin mong

• - papel;
• - panulat.

Pagtuturo

Ang pinakasimpleng mga pagbabagong ito ay ang algebraic abbreviated multiplications (tulad ng parisukat ng kabuuan (pagkakaiba), ang pagkakaiba ng mga parisukat, ang kabuuan (pagkakaiba), ang kubo ng kabuuan (pagkakaiba)). Bilang karagdagan, mayroong maraming mga trigonometrikong formula na mahalagang magkaparehong pagkakakilanlan.

Sa katunayan, ang parisukat ng kabuuan ng dalawang termino ay katumbas ng parisukat ng unang plus dalawang beses ang produkto ng una at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawa, iyon ay, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Pasimplehin Pareho

Pangkalahatang mga prinsipyo ng solusyon

Ulitin mula sa isang aklat-aralin sa mathematical analysis o mas mataas na matematika, na isang tiyak na integral. Tulad ng alam mo, ang solusyon ng isang tiyak na integral ay isang function na ang derivative ay magbibigay ng integrand. Ang function na ito ay tinatawag na antiderivative. Ayon sa prinsipyong ito, ang mga pangunahing integral ay itinayo.
Tukuyin ayon sa anyo ng integrat kung alin sa mga integral ng talahanayan ang angkop sa kasong ito. Hindi laging posible na matukoy ito kaagad. Kadalasan, ang tabular form ay nagiging kapansin-pansin lamang pagkatapos ng ilang pagbabago upang gawing simple ang integrand.

Paraan ng pagpapalit ng variable

Kung ang integrand ay isang trigonometric function na ang argumento ay ilang polynomial, pagkatapos ay subukang gamitin ang paraan ng pagbabago ng mga variable. Upang gawin ito, palitan ang polynomial sa argument ng integrand ng ilang bagong variable. Batay sa ratio sa pagitan ng bago at lumang variable, tukuyin ang mga bagong limitasyon ng pagsasama. Sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng expression na ito, maghanap ng bagong pagkakaiba sa . Kaya, makakakuha ka ng isang bagong anyo ng lumang integral, malapit o kahit na tumutugma sa ilang tabular.

Solusyon ng mga integral ng pangalawang uri

Kung ang integral ay integral ng pangalawang uri, ang vector form ng integrand, kakailanganin mong gamitin ang mga patakaran para sa paglipat mula sa mga integral na ito patungo sa mga scalar. Ang isang naturang panuntunan ay ang ratio ng Ostrogradsky-Gauss. Ginagawang posible ng batas na ito na maipasa mula sa rotor flow ng ilang function ng vector patungo sa isang triple integral sa divergence ng isang binigay na vector field.

Pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama

Matapos mahanap ang antiderivative, kinakailangan na palitan ang mga limitasyon ng pagsasama. Una, palitan ang halaga ng pinakamataas na limitasyon sa expression para sa antiderivative. Makakatanggap ka ng ilang numero. Susunod, ibawas mula sa resultang numero ang isa pang numero, ang nagresultang mas mababang limitasyon sa antiderivative. Kung ang isa sa mga limitasyon ng pagsasama ay infinity, kung gayon kapag pinapalitan ito sa antiderivative function, kinakailangang pumunta sa limitasyon at hanapin kung ano ang gawi ng expression.
Kung ang integral ay two-dimensional o three-dimensional, kakailanganin mong kumatawan sa mga geometric na limitasyon ng integration upang maunawaan kung paano kalkulahin ang integral. Sa katunayan, sa kaso ng, sabihin nating, isang three-dimensional na integral, ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mga buong eroplano na naglilimita sa volume na isasama.