"Ang isang mathematician ay isang taong nakakaalam kung paano maghanap ng mga pagkakatulad sa pagitan ng mga pahayag. Ang pinakamahusay na matematiko ay ang nagtatag ng pagkakatulad ng mga patunay. Ang mas malakas ay maaaring mapansin ang mga pagkakatulad ng mga teorya. Ngunit may mga nakakakita ng mga pagkakatulad sa pagitan ng mga pagkakatulad.
Stefan Banach

Mga istatistika ng matematika para sa mga dummies

Kadalasan, pinag-aaralan ang mga istatistika ng matematika kasama ng probability theory(course "Teorya ng Probability at Mathematics Statistics", TViMS). Mga kapaki-pakinabang na materyales sa teorya ng posibilidad (online na aklat-aralin, mga calculator, mga halimbawa ng mga solusyon, atbp.) sa iyo.

Mga Paksa: 1. Pangkalahatang populasyon at sampling 2. Paghahambing ng mga paraan 3. Pag-uugnay at regression.

Mga mapagkukunan sa online

• Klokov S.A., Mga Problema sa Probability Theory at Mathematical Statistics. Para sa mga mag-aaral ng mga espesyalidad sa matematika, mga problema sa mga sagot, ang ilan ay may mga solusyon.
• Manita AD, Teorya ng Probability at Mathematical Statistics. Ang libro ay naglalayong sa mga mag-aaral ng natural na faculties ng Moscow State University. M.V. Lomonosov. Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa naka-print na bersyon ng aklat-aralin, makikita mo sa site na ito ang buong teksto ng aklat, kabilang ang mga maikling istatistikal na talahanayan.

  Mga seksyon ng pangunahing nilalaman: Mga kaganapan at ang kanilang mga posibilidad. Mga discrete random variable at ang kanilang mga distribusyon. Pangkalahatang random na mga variable. Pinagsamang pamamahagi ng mga pangkalahatang random na variable. Limitahan ang mga batas ng teorya ng posibilidad. Pagsusuri ng mga pamamaraan ng mga istatistika ng matematika. Pinakamababang parisukat na pamamaraan. Mga pagitan ng kumpiyansa. istatistikal na hypotheses. Mga talahanayan (standard normal na batas, quantiles ng chi-squared distribution, quantiles ng Student's distribution).

• Chernova NI, Mga lektura sa mga istatistika ng matematika Semester na kurso ng mga lektura. Napaka detalyado at malinaw, inirerekomenda para sa mga mag-aaral sa ekonomiya.
• Elektronikong aklat-aralin sa mga istatistika ng matematika.
  

  Kasama sa tutorial ang: 1) Kurso ng mga lektura sa mga istatistika ng matematika: V.V. Shelomovsky. Mathematical Statistics (Murmansk: MGPU, 2005. - 128 p.), 2) Isang cycle ng laboratory work na isinagawa gamit ang Maple, na nagbibigay-daan sa iyo upang mas maunawaan ang mga paraan ng pagkalkula, 3) Isang cycle ng mga pagsubok upang subukan ang kaalaman.

Higit pang mga filter

Sa tutor o estudyante

Sa tutor

Sa estudyante

malayuan

Presyo kada oras

Mula sa

dati

kuskusin

Ipakita

Lamang na may larawan

Lamang na may mga review

Na-verify lang

Graduate student

guro sa paaralan

propesor ng unibersidad

Pribadong guro

Katutubong nagsasalita

Mahigit 10 taon

Mahigit 50 taong gulang

Mga istatistika:

501 tutor ang natagpuan

2260 mga review iniwan ng mga estudyante

Average na marka: 4.5 5 1 Average na rating ng mga tutor na natagpuan sa pamamagitan ng filter

Nakahanap ng 501 tutor

I-reset ang mga filter

PAGGAMIT NG OGE (GIA). paghahanda para sa olympiad kursong Algebra sa paaralan Analytic geometry mas mataas na matematika+8 Geometry Combinatorics Linear algebra Mga istatistika sa matematika Pagsusuri sa matematika Applied Mathematics Teorya ng posibilidad Trigonometry

Mga batang 6-7 taong gulang Mga mag-aaral 1-11 baitang Mga Mag-aaral Matanda

m. Ozernaya m. Yugo-Zapadnaya m. Kuntsevskaya (Filyovskaya)

Alexander Alexandrovich

Karanasan ng guro sa unibersidad 17 taon

mula sa 2 000 kuskusin / oras

libreng Contact

Sa tutor

Isang napaka-epektibong tagapagturo at mahuhusay na guro - alam niya kung paano ipakita ang programa ng mas mataas na matematika ng unibersidad sa paraang ang kurso ng matematika mula sa isang bangungot ay naging nakakainis Palawakin pangangailangan - sa kabila ng katotohanan na mula sa kurso ng paaralan ang mag-aaral ay may kumpiyansa na alam lamang ang programa ng mga baitang 5-6. Lahat ng review (46)

Analytic geometry Calculus ng mga pagkakaiba-iba Pagsusuri ng Vector +33 mas mataas na matematika Geometry Discrete Math Differential geometry Mga Differential Equation Kombinatorika Linear algebra Linear na geometry Linear programming Mga istatistika sa matematika Pisikang matematika Mga modelo ng matematika Pagsusuri sa matematika Pinakamainam na paraan ng pagpapasya Mga paraan ng pag-optimize Pinakamainam na kontrol Applied Mathematics Sopromat Pagsusuri ng Tensor Teoretikal na mekanika Teorya ng posibilidad Teorya ng graph Teorya ng laro Teorya ng pag-optimize Teorya ng numero Topology Trigonometry TFKT Mga partial differential equation Mga equation ng mathematical physics matematika sa pananalapi functional analysis Econometrics

Mga mag-aaral sa grade 9-11 Mga Mag-aaral Matanda

m. Dmitry Donskoy Boulevard

Alexey Vasilyevich

Karanasan ng guro sa unibersidad 44 na taon

mula sa 1 500 kuskusin / oras

libreng Contact

Tutor sa Matematika Statistics

Sa tutor

Doktor ng Physical and Mathematical Sciences. Nangungunang Mananaliksik sa Moscow State University (Faculty of Mechanics and Mathematics), Propesor sa Faculty of Additional Education Expand Si MGIMO, ay miyembro ng mga komite ng pagsusulit sa matematika ng Moscow State University, MGIMO, MGUDT.

Si Alexey Vasilievich ang eksaktong guro na matagal na nating hinahanap. Alam niya kung paano maghanap ng diskarte sa mag-aaral at may kakayahang ipakita ang materyal na pang-edukasyon. Lahat ng review (29)

Mga mag-aaral na nasa 10-11 baitang mga mag-aaral

m. Ramenki

Aleksey Aleksandrovich

Pribadong guro Karanasan 11 taon

mula sa 1 600 kuskusin / oras

libreng Contact

Tutor sa Matematika Statistics

Prize-winner ng Olympiad Lomonosov 2007 sa mga paksa - oral at nakasulat na matematika, komposisyon. Kalahok ng interfaculty espesyal na kurso ng mga problema sa Olympiad Expand Kagawaran ng Pagsusuri ng Matematika ng Mekh-mat ng Moscow State University. Karanasan sa pagsasagawa ng mga bilog ng maliit na fur-mat 2007-2012. Opsyonal na matematika sa lyceum 1553. Guro ng algebra, geometry, computer science, English sa lyceum 1553 noong 2011. Kasama ang edukasyon ng mga bata sa mga kampo ng wika sa England at Malta 2011-2012. Tatlong taong karanasan sa pamamahala ng tingi sa sentral na tanggapan ng pinakamalaking bangko sa CIS. Nagsasagawa ako ng mga klase gamit ang isang Wacom graphics tablet at isang online na whiteboard (bayad, na may kakayahang gumamit ng ilang tao nang sabay-sabay, magkasanib na pag-edit, video at tunog). Pagkatapos ng aralin, nananatili ang mga link sa silid - ang mag-aaral ay palaging may access sa kung ano ang nakasulat sa aralin at may access sa mga tala para sa buong kurso, lahat ng mga materyales na nakasulat sa board ay ipinapadala din sa kliyente sa format na PDF. Ginagamit ito para sa komunikasyon sa parehong Skype at sa online na silid mismo. Ang bilang ng mga mag-aaral na inihanda para sa mga pagsusulit ay higit sa 100, naghahanda para sa OGE, Unified State Examination, pagpasok sa mga lyceum sa MEPhI, Moscow State University. Inihanda para sa mga pagsusulit ng mga mag-aaral ng iba't ibang unibersidad ng Moscow State University Mechanics and Mathematics, Faculty of Physics, Faculty of Economics, Moscow State Pedagogical University, Plekhanov, Financial Academy sa ilalim ng Pangulo, MGIMO, MEPhI, atbp. Inihahanda ko ang mga bata para sa All-Russian, Lomonosov at Vuzovsky Olympiads sa ilalim ng Bauman at Mifi, MIPT. Pagtuturo ang aking pangunahing gawain. Naghahanda din ako para sa pagpasok sa mga kolehiyo sa Ingles at Swiss. Pagpasa ng pinag-isang A-level na pagsusulit sa English sa matematika at pisika. Inihahanda ko ang mga mag-aaral para makapasa sa English OGE at sa Unified State Examination.

Nag-aral ako kasama si Alexei Alexandrovich, at sa isang buwan ay nagawa kong maghanda kasama niya para sa isang muling pagkuha sa pagsusuri sa matematika. Malinaw at malinaw na ipinaliwanag sa akin ang paksa, Palawakin pumasa ng walang problema salamat sa kanya. Lahat ng review (52)

OGE (GIA) GAMITIN ang kursong Algebra sa paaralan Analytic geometry mas mataas na matematika Geometry +12 Discrete Math Mga Differential Equation Linear algebra Linear na geometry Mga istatistika sa matematika Pagsusuri sa matematika Sa Ingles Teorya ng posibilidad Teorya ng Graph Game Teorya Trigonometry Econometrics

Mga mag-aaral 1-11 baitang Mga Mag-aaral Matanda

m. Krasnogvardeyskaya

Maxim Alekseevich

Pribadong guro Karanasan 9 taon

mula sa 1 500 kuskusin / oras

libreng Contact

Tutor sa Matematika Statistics

Sa tutor, sa estudyante, malayo

Nagtapos ng mech-mat ng Moscow State University. May karanasan sa sektor ng pagbabangko bilang analyst, karanasan bilang system analyst sa larangan ng IT development. Lumawak ang Kaalaman programming, relational database (sql). Unang kategorya sa chess. May matagumpay na karanasan sa pagtatrabaho sa lahat ng kategorya ng mga mag-aaral: Mga Mag-aaral (OGE, Pinag-isang Estado na Pagsusuri, pagpapabuti ng pagganap sa akademiko) Mga mag-aaral (halos lahat ng mga seksyon ng mas mataas na matematika at mekanika) Mga nasa hustong gulang (mga klase "para sa sarili", tulong may mga isyu sa trabaho).

Kurso ng Probability Theory at Mathematical Statistics. Sevastyanov B.A.

M.: Agham. Ch. ed. Phys.-Math. lit., 1982.- 256 p.

Ang aklat ay batay sa isang isang taong kurso ng mga lektura na ibinigay ng may-akda sa loob ng ilang taon sa Departamento ng Matematika ng Faculty of Mechanics at Mathematics ng Moscow State University. Ang mga pangunahing konsepto at katotohanan ng teorya ng posibilidad ay ipinakilala sa simula para sa isang may hangganang pamamaraan. Ang pag-asa sa matematika ay karaniwang tinukoy sa parehong paraan tulad ng integral ng Lebesgue, ngunit ang mambabasa ay hindi inaasahang magkaroon ng anumang paunang kaalaman sa pagsasama ng Lebesgue.

Ang aklat ay naglalaman ng mga sumusunod na seksyon: mga independiyenteng pagsusulit at Markov chain, de Moivre-Laplace at Poisson limit theorems, random variable, katangian at pagbuo ng mga function, batas ng malalaking numero, central limit theorem, pangunahing konsepto ng matematikal na istatistika, pagsubok ng mga istatistikal na hypotheses, istatistikal na pagtatantya, mga pagitan ng kumpiyansa .

Para sa mga undergraduate na estudyante ng mga unibersidad at teknikal na kolehiyo na nag-aaral ng probability theory.

Format: djvu/zip

Ang sukat: 2.5 7 Mb

/ I-download ang file

TALAAN NG NILALAMAN
Paunang Salita 7
Kabanata 1 Probability Space 9
§ 1. Ang paksa ng teorya ng posibilidad 9
§ 2. Mga Pangyayari 12
§ 3. Probability space 16
§ 4. May hangganang espasyo ng posibilidad. Klasikong kahulugan ng posibilidad 19
§ 5 Geometric na probabilidad 23
Mga Gawain 24
Kabanata 2. Mga probabilidad na may kondisyon. Kalayaan 26
§ 6. Mga probabilidad na may kundisyon 26
§ 7. Total probability formula 28
§ 8. Mga Formula ng Bayes 29
§ 9. Kalayaan ng mga kaganapan 30
§ 10. Kalayaan ng mga partisyon, algebra at a-algebras.... 33
§ 11. Mga independiyenteng pagsusulit 35
Mga Gawain 39
Kabanata 3. Mga Random na Variable (Final Scheme). 41
§ 12. Random na mga variable. Mga tagapagpahiwatig 41
§ 13. Pag-asa sa matematika 45
§ 14. Multidimensional na mga batas ng pamamahagi 50
§ 15. Kalayaan ng mga random na variable 53
§ 10. Euclidean space ng mga random na variable. . . . ika-5
§ 17. May kundisyon na mga inaasahan 5E
§ 18. Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev. Batas ng malalaking numero.... 61
Mga Gawain 64
Kabanata 4. Limitahan ang theorems sa Bernoulli scheme. 65
§ 19. Binomial na pamamahagi 65
§ 20. Poisson's theorem 66
§ 21. Lokal na limit theorem ng De Moivre - Laplace. . 70
§ 22. Integral limit theorem ng De Moivre - Laplace 71
§ 23. Mga aplikasyon ng limit theorems. 73
Mga Gawain 76
Kabanata 5. Mga Kadena ng Markov 77
§ 24. Markov dependence test 77
§ 25. Mga posibilidad ng paglipat 78
§ 26. Ang teorama sa paglilimita sa mga probabilidad 80
Mga Gawain 83
Kabanata 6. Mga random na variable (pangkalahatang kaso) 84
§ 27. Random na mga variable at ang kanilang mga distribusyon 84
§ 28. Multivariate distributions 92
§ 29. Kalayaan ng mga random na variable 96
Mga Gawain 98
Kabanata 7. Inaasahan 100
§ 30. Kahulugan ng mathematical na inaasahan 100
§ 31. Mga formula para sa pagkalkula ng mathematical na inaasahan 108
Mga Gawain 115
Kabanata 8 Pagbuo ng mga Tungkulin 117
§ 32. Integer na random na mga variable at ang kanilang pagbuo ng mga function 117
§ 33. Factorial moments 118
§ 34. Multiplicative na ari-arian 120
§ 35. Continuity theorem 123
§ 36. Mga proseso ng pagsasanga 125
Mga Gawain 127
Kabanata 9 Mga Katangiang Pag-andar 129
§ 37. Kahulugan at elementarya na mga katangian ng mga katangiang pag-andar 129
§ 38. Inversion formula para sa mga katangiang function 136
§ 39. Continuous correspondence theorem sa pagitan ng set ng mga katangiang function at ang set ng distribution functions 140
Mga Gawain 145
Kabanata 10. Central Limit Theorem 146
§ 40. Central limit theorem para sa identically distributed independent terms 146
§ 41. Ang teorama ni Lyapunov 147
§ 42. Mga aplikasyon ng central limit theorem 150
Mga Gawain 153
Kabanata 11
§ 43. Kahulugan at elementarya na mga katangian 154
§ 44. Conversion formula 158
§ 45. Limitahan ang mga theorems para sa mga katangiang function 159
§ 46. Multivariate normal distribution at mga kaugnay na distribution 164
Mga Gawain 173
Kabanata 12
§ 47. Borel-Cantelli Lemma. Batas "0 o 1" Kolmogorov 174
§ 48 Iba't ibang uri ng convergence ng mga random na variable. . . 177
§ 49. Malakas na batas ng malalaking numero 181
Mga Gawain 188
Kabanata 13. Istatistika 189
§ 50. Mga pangunahing gawain ng mga istatistika ng matematika .... 189
§ 51. Paraan ng sampling 190
Mga Gawain 194
Kabanata 14. Mga pagsusulit sa istatistika 195
§ 52. Statistical hypotheses 195
§ 53. Antas ng kahalagahan at kapangyarihan ng pagsubok 197
§ 54. Ang pinakamainam na Neumann-Pearson criterion .... 199
§ 55. Pinakamainam na pamantayan para sa pagsubok ng mga hypotheses tungkol sa mga parameter ng normal at binomial na pamamahagi 201
§ 56. Pamantayan para sa pagsubok ng mga kumplikadong hypotheses 2E4
§ 57. Mga pagsubok na hindi parametric 206
Mga Gawain 211
Kabanata 15 Mga Pagtatantya ng Parameter 213
§ 58. Mga pagtatantya ng istatistika at ang kanilang mga katangian 213
§ 59. Mga may kondisyong batas ng pamamahagi 216
§ 60. Sapat na mga istatistika 220
§ 61. Kahusayan ng mga pagtatasa 223
§ 62. Mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga pagtatantya 228
Mga Gawain 232
Kabanata 16. Mga pagitan ng kumpiyansa 234
§ 63. Pagpapasiya ng mga pagitan ng kumpiyansa 234
§ 64. Mga agwat ng kumpiyansa para sa mga parameter ng normal na pamamahagi 236
§ 65. Mga pagitan ng kumpiyansa para sa posibilidad ng tagumpay sa Bernoulli scheme 240
Mga Gawain 244
Mga sagot sa mga problema 245
Normal na mga talahanayan ng pamamahagi 251
Panitikan 253
Index 254

Ministri ng Russian Federation para sa Komunikasyon at Impormasyon

Siberian State University of Telecommunications and Informatics

N. I. Chernova

MATHEMATICAL

STATISTICS

Pagtuturo

Novosibirsk

Associate Professor, Cand. Phys.-Math. Mga Agham N. I. Chernova. Mga istatistika ng matematika: Teksbuk / SibGUTI - Novosibirsk, 2009. - 90 p.

Ang aklat-aralin ay naglalaman ng isang semi-taunang kurso ng mga lektura sa mga istatistika ng matematika para sa mga mag-aaral ng mga espesyalidad sa ekonomiya. Ang aklat-aralin ay sumusunod sa mga kinakailangan ng Pamantayan sa Pang-edukasyon ng Estado para sa mga propesyonal na programang pang-edukasyon sa espesyalidad na 080116 - "Mga Paraan ng Matematika sa Economics".

Tagapangulo ng MMBP Tab. 7, mga guhit - 9, listahan ng lit. - 8 pangalan

Mga Reviewer: A.P. Kovalevsky, Ph.D. Phys.-Math. Sci., Associate Professor ng Department of Higher Mathematics, NSTU V. I. Lotov, Doctor of Physics and Mathematics. Sciences, Propesor ng Departamento

teorya ng probabilidad at mathematical statistics NSU

Para sa espesyalidad 080116 - "Mga Paraan sa Matematika sa Economics"

Inaprubahan ng editoryal at publishing council ng SibGUTI bilang isang aklat-aralin

c Siberian State University

telekomunikasyon at impormasyon, 2009

Paunang Salita. . . . . . . . . .
	I. Pangunahing konsepto ng mga istatistika ng matematika. . . . . . . .
	Mga problema sa mga istatistika ng matematika . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Sampol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Mga napiling katangian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Mga katangian ng empirical distribution function. . . . . . . . .

§ 5. Mga katangian ng sample na sandali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 6. Histogram bilang isang pagtatantya ng density. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 7. Mga tanong at pagsasanay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

KABANATA II. Pagtataya ng Punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 1. Mga pagtatantya ng punto at ang kanilang mga katangian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 2. Paraan ng mga sandali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

	Mga katangian ng mga pagtatantya ng paraan ng mga sandali. . . . . . . . . . . . . . . . .
	Paraan ng Maximum Likelihood. . . . . . . . . . . . . . .
	Asymptotic Normality ng Estimates. . . . . . . . . . . . . .
	Mga tanong at pagsasanay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Paghahambing ng Marka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Root Mean Square Approach sa Paghahambing ng mga Estimates. . . . . . . . .
	Rao-Cramer hindi pagkakapantay-pantay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Mga tanong at pagsasanay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	IV. pagtatantya ng pagitan. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Mga pagitan ng kumpiyansa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Mga prinsipyo para sa pagbuo ng mga agwat ng kumpiyansa. . . . . . . .
	Mga tanong at pagsasanay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Mga distribusyon na nauugnay sa normal. . . . . . . . . .
	Pangunahing istatistikal na pamamahagi. . . . . . . . . . . . . .
	Mga pagbabagong-anyo ng mga normal na sample. . . . . . . . . . . . . . .
	Mga agwat ng kumpiyansa para sa normal na pamamahagi. . .

§ 1. Hypotheses at pamantayan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§ 2. Mga tanong at pagsasanay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Kabanata VII. Pamantayan ng Pahintulot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 1. Pangkalahatang pagtingin sa goodness of fit na pamantayan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 2. Pagsubok ng mga simpleng hypotheses tungkol sa mga parameter. . . . . . . . . . . . . . 53

§ 3. Pamantayan para sa pagsubok sa pamamahagi ng hypothesis. . . . . . . . 56

§ 4. Pamantayan para sa pagsubok ng parametric hypotheses. . . . . . . . 59

§ 5. Pamantayan para sa pagsubok ng homogeneity. . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 6. Criterion χ 2 para sa pagsubok ng kalayaan. . . . . . . . . . . . . 70

§ 7. Mga tanong at pagsasanay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§ 2. Pinakamataas na paraan ng posibilidad.. . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 3. Paraan ng hindi bababa sa mga parisukat.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

PAUNANG SALITA

Ang aklat-aralin ay naglalaman ng isang buong kurso ng mga lektura sa mga istatistika ng matematika para sa mga mag-aaral na nag-aaral sa espesyalidad na "Mathematical Methods in Economics" ng Siberian State University of Telecommunications and Informatics. Ang nilalaman ng kurso ay ganap na sumusunod sa mga pamantayang pang-edukasyon para sa paghahanda ng mga bachelor sa tinukoy na espesyalidad.

Ang kurso sa mathematical statistics ay nakabatay sa semestre course sa probability theory at ang batayan para sa taunang kurso sa econometrics. Bilang resulta ng pag-aaral ng paksa, ang mga mag-aaral ay dapat na makabisado ang mga pamamaraan ng matematika sa pag-aaral ng iba't ibang mga modelo ng mga istatistika ng matematika.

Ang kurso ay binubuo ng walong kabanata. Ang unang kabanata ay ang pangunahing isa para sa pag-unawa sa paksa. Ipinakilala nito ang mambabasa sa mga pangunahing konsepto ng mga istatistika ng matematika. Ang ikalawang kabanata ay nakatuon sa mga pamamaraan para sa pagtatantya ng punto ng hindi kilalang mga parameter ng pamamahagi: mga sandali at pinakamataas na posibilidad.

Ang ikatlong kabanata ay tumatalakay sa paghahambing ng mga pagtatantya sa root mean square sense. Dito, pinag-aaralan din ang hindi pagkakapantay-pantay ng Rao-Cramer bilang paraan ng pagsuri sa bisa ng mga pagtatantya.

Ang ikaapat na kabanata ay tumatalakay sa pagtatantya ng pagitan ng mga parameter, na nagtatapos sa susunod na kabanata sa pagbuo ng mga pagitan para sa mga parameter ng normal na distribusyon. Upang gawin ito, ang mga espesyal na distribusyon ng istatistika ay ipinakilala, na pagkatapos ay ginagamit sa mga pagsubok sa goodness-of-fit sa ikawalong kabanata. Ang ikaanim na kabanata ay nagbibigay ng mga kinakailangang pangunahing konsepto ng teorya ng pagsubok sa hypothesis, kaya dapat itong pag-aralan nang mabuti ng mambabasa.

Panghuli, ang mga kabanata pito at walo ay nagbibigay ng isang listahan ng mga pinakakaraniwang ginagamit na pamantayan sa pagpapahintulot sa pagsasanay. Sa ikasiyam na kabanata, ang mga simpleng modelo at pamamaraan ng pagsusuri ng regression ay isinasaalang-alang at ang mga pangunahing katangian ng mga pagtatantya na nakuha ay napatunayan.

Halos bawat kabanata ay nagtatapos sa isang listahan ng mga pagsasanay sa teksto ng kabanata. Ang application ay naglalaman ng mga talahanayan na may isang listahan ng mga pangunahing katangian ng discrete at ganap na tuluy-tuloy na mga pamamahagi, mga talahanayan ng mga pangunahing istatistikal na pamamahagi.

PAUNANG SALITA

May isang detalyadong index sa dulo ng libro. Ang listahan ng mga sanggunian ay naglilista ng mga aklat-aralin na maaaring magamit bilang karagdagan sa kurso, at mga koleksyon ng mga gawain para sa mga praktikal na pagsasanay.

Ang bilang ng mga talata sa bawat kabanata ay hiwalay. Ang mga pormula, halimbawa, pahayag, atbp. ay magkakasunod na binibilang. Kapag tumutukoy sa isang bagay mula sa isa pang kabanata, para sa kaginhawahan ng mambabasa, ang numero ng pahina kung saan nakapaloob ang bagay ay ipinahiwatig. Kapag tumutukoy sa isang bagay mula sa parehong kabanata, ang bilang lamang ng formula, halimbawa, pahayag ay ibinigay. Ang dulo ng mga patunay ay minarkahan ng .

KABANATA I

MGA BATAYANG KONSEPTO NG MATHEMATICAL STATISTICS

Ang mga istatistika ng matematika ay batay sa mga pamamaraan ng teorya ng posibilidad, ngunit nalulutas ang iba pang mga problema. Sa teorya ng posibilidad, ang mga random na variable na may ibinigay na pamamahagi o mga random na eksperimento ay isinasaalang-alang, ang mga katangian ng kung saan ay ganap na kilala. Ngunit saan nanggagaling ang kaalaman tungkol sa mga pamamahagi sa mga praktikal na eksperimento? Ano ang posibilidad, halimbawa, na lumitaw ang isang coat of arm sa isang ibinigay na barya? Upang matukoy ang posibilidad na ito, maaari nating i-flip ang barya nang maraming beses. Ngunit sa anumang kaso, ang mga konklusyon ay kailangang iguguhit mula sa mga resulta ng isang may hangganan na bilang ng mga obserbasyon. Kaya, ang pagmamasid sa 5,035 coats of arms pagkatapos ng 10,000 tosses ng isang coin, imposibleng makagawa ng tumpak na konklusyon tungkol sa posibilidad ng isang coat of arms na bumagsak: kahit na ang posibilidad na ito ay naiiba sa 0.5, ang coat of arms ay maaaring mahulog ng 5035 beses . Ang mga tumpak na konklusyon tungkol sa pamamahagi ay maaari lamang gawin kapag ang isang walang katapusang bilang ng mga pagsubok ay naisagawa, na hindi magagawa. Binibigyang-daan ng mga istatistika ng matematika, batay sa mga resulta ng isang may hangganang bilang ng mga eksperimento, na gumuhit ng higit pa o hindi gaanong tumpak na mga konklusyon tungkol sa mga distribusyon ng mga random na variable na naobserbahan sa mga eksperimentong ito.

§ 1. Mga problema ng mga istatistika ng matematika

Ipagpalagay na ulitin natin ang parehong random na eksperimento sa ilalim ng parehong mga kondisyon. Bilang resulta ng bawat pag-uulit ng eksperimento, ang isang tiyak na hanay ng data (numerical o kung hindi man) ay sinusunod.

Itinataas nito ang mga sumusunod na katanungan.

1. Kung ang isang random na variable ay sinusunod, paano makakagawa ng pinakatumpak na konklusyon tungkol sa pamamahagi nito batay sa isang hanay ng mga halaga nito sa ilang mga eksperimento?

2. Kung ang pagpapakita ng dalawa o higit pang mga palatandaan ay sinusunod, ano ang masasabi tungkol sa uri at lakas ng pag-asa ng naobserbahang mga random na variable?

Kadalasan ay posible na gumawa ng ilang mga pagpapalagay tungkol sa naobserbahang pamamahagi o tungkol sa mga katangian nito. Sa kasong ito, ayon sa pang-eksperimentong data, kinakailangan upang kumpirmahin o pabulaanan ang mga pagpapalagay na ito ("hypotheses"). Kasabay nito, dapat nating tandaan na ang sagot na "oo" o "hindi" ay maaari lamang ibigay nang may tiyak na antas ng katiyakan, at habang mas matagal natin maipagpapatuloy ang eksperimento, mas tumpak ang mga konklusyon. Minsan posible na igiit nang maaga ang presensya

8 KABANATA I. BATAYANG KONSEPTO NG MATHEMATICAL STATISTICS

ilang mga katangian ng naobserbahang eksperimento - halimbawa, tungkol sa functional dependence sa pagitan ng mga sinusunod na dami, tungkol sa normalidad ng pamamahagi, tungkol sa simetrya nito, tungkol sa pagkakaroon ng density sa pamamahagi o tungkol sa discrete na kalikasan nito, atbp.

Kaya, gumagana ang mga istatistika ng matematika kung saan mayroong random na eksperimento, ang mga katangian nito ay bahagyang o ganap na hindi alam, at kung saan maaari nating kopyahin ang eksperimentong ito sa ilalim ng parehong mga kundisyon nang ilang beses (o mas mabuti, anuman).

Ang mga pang-eksperimentong resulta ay maaaring quantitative o qualitative. Ang dami ng mga resulta ay maaaring, halimbawa, ay buod. Kaya, ang isa sa kanilang mga makabuluhang katangian ay ang arithmetic mean ng mga obserbasyon. Walang kabuluhan ang pagdaragdag ng mga resulta ng husay, bagama't maaari silang ilagay sa numerical form. Sabihin nating ang buwan ng kapanganakan ng kinapanayam ay isang qualitative, hindi isang quantitative observation: bagama't maaari itong ibigay bilang isang numero, ang arithmetic mean ng mga numerong ito ay nagdadala ng mas maraming makatwirang impormasyon gaya ng mensahe na, sa karaniwan, ang isang tao ay ipinanganak. sa pagitan ng Hunyo at Hulyo.

Sa mga unang kabanata, pag-aaralan natin ang pagtatrabaho sa mga resulta ng quantitative observational.

§ 2. Pagpili

Hayaang ang ξ : Ω → R ay isang random variable na sinusunod sa isang random na eksperimento. Sa pagsasagawa ng eksperimentong ito nang n beses sa ilalim ng parehong mga kundisyon, makukuha natin ang mga numerong X1 , X2 , . . . , Xn - mga halaga ng naobserbahang random na variable sa una, pangalawa, atbp. na mga eksperimento. Ang random variable na ξ ay may ilang pamamahagi F, na bahagyang o ganap na hindi alam sa amin.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang set X = (X1 , . . . , Xn ), na tinatawag na sample.

Sa isang serye ng mga eksperimento na ginawa na, ang isang sample ay isang hanay ng mga numero. Ngunit bago gawin ang eksperimento, makatuwirang isaalang-alang ang sample bilang isang hanay ng mga random na variable (independyente at ibinahagi sa parehong paraan tulad ng ξ ). Sa katunayan, bago magsagawa ng mga eksperimento, hindi namin masasabi kung anong mga halaga ang kukunin ng mga elemento ng sample: ito ang ilan sa mga halaga ng random variable ξ. Samakatuwid, makatuwirang isaalang-alang na bago ang eksperimento, ang Xi ay isang random na variable na pantay na ibinahagi sa ξ , at pagkatapos ng eksperimento ito ay ang numero na aming naobserbahan sa i-th na eksperimento, ibig sabihin, isa sa mga posibleng halaga ng random variable Xi .

Depinisyon 1. Ang sample na X = (X1 , . . . , Xn ) ng laki n mula sa isang distribution F ay isang set ng n independent at magkaparehong distributed na random variable na may distribution F.

Ang mga sample na elemento ay madalas na binago para sa kaginhawaan ng pagtatrabaho sa isang malaking set ng data - sila ay inayos o pinagsama-sama.

Kung ang mga elemento ng sample ay X1 , . . . , Xn sort sa pataas na pagkakasunud-sunod, nakakakuha kami ng isang set ng mga bagong random na variable, na tinatawag na variational series:

X(1) 6 X(2) 6 . . . 6 X(n−1) 6 X(n) .

Dito X(1) = min(X1 , . . . , Xn ), X(n) = max(X1 , . . . , Xn ). Ang elementong X(k) ay tinatawag na k -th na miyembro ng variational series o ang k -th order statistic.

Kapag ang pagpapangkat ng data, maraming mga grupo ng mga sample na halaga ng elemento ang nakikilala, ang bilang ng mga elemento sa bawat pangkat ay binibilang, at pagkatapos ay ang bagong set ng data na ito lamang ang haharapin. Ang parehong pagpapangkat at pag-order ng data ay itinatapon ang ilan sa impormasyong nakapaloob sa sample.

Ang gawain ng mga istatistika ng matematika ay upang gumuhit ng mga konklusyon mula sa isang sample tungkol sa hindi kilalang pamamahagi F, kung saan ito ay nakuha. Ang pamamahagi ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang function ng pamamahagi, density o talahanayan, isang hanay ng mga numerical na katangian: E ξ = E X1 , Dξ = D X1 , Eξ k = E X1 k . Batay sa sample, ang isa ay dapat na makabuo ng mga pagtatantya para sa lahat ng mga katangiang ito. Ang ganitong mga pagtatantya ay tinatawag na mga pagtatantya. Ang terminong "iskor" ay walang kinalaman sa hindi pagkakapantay-pantay. Ang pagtatantya para sa ilang hindi kilalang katangian ng isang distribusyon ay isang random na variable na binuo mula sa isang sample, na sa ilang kahulugan ay isang pagtatantya ng hindi kilalang katangiang ito ng pamamahagi.

Halimbawa 1. Ang isang anim na panig na die ay iginugulong ng 100 beses. Ang unang mukha ay nahulog ng 25 beses, ang pangalawa at ikalima - 14 beses bawat isa, ang pangatlo - 21 beses, ang ikaapat - 15 beses, ang ikaanim - 11 beses. Nakikitungo kami sa isang sample na numero, na, para sa kaginhawahan, ay pinagsama-sama sa bilang ng mga puntos na ibinaba.

Ayon sa mga resulta ng eksperimento, imposibleng matukoy ang mga probabilidad p1 , . . . , p6 patak ng mukha. Masasabi lang natin na ang mga numerical na pagtatantya ay nakuha para sa mga probabilities na ito: 0.25 para sa p1, 0.14 para sa p2 at para sa p5, atbp.

Kahit na hindi nagsasagawa ng gayong eksperimento, maaari nating sabihin nang maaga na ang pagtatantya para sa hindi kilalang probabilidad na p1 ay magiging isang random na variable.

at ang pagtatantya para sa probabilidad p2 ay ang random variable

Sa seryeng ito ng mga eksperimento, kinuha ng mga random na variable na ito ang mga halaga 0.25 at 0.14, ayon sa pagkakabanggit. Sa ibang serye, magbabago ang kanilang mga kahulugan.

KABANATA I. BATAYANG KONSEPTO NG MATHEMATICAL STATISTICS

§ 3. Mga napiling katangian

Mula sa teorya ng posibilidad, alam natin ang isang unibersal na tool para sa tinatayang pagkalkula ng lahat ng uri ng mga inaasahan sa matematika: ang batas ng malalaking numero. Ang batas na ito ay ginagarantiyahan na ang arithmetic na paraan ng mga independyente at magkaparehong distributed na mga termino sa ilang kahulugan ay lumalapit sa inaasahan ng isang tipikal na termino (kung, siyempre, ang matematikal na inaasahan na ito ay umiiral).

Samakatuwid, bilang isang pagtatantya (pagtantiya) para sa hindi kilalang mathematical na inaasahan E X1, maaari mong gamitin ang arithmetic mean ng lahat ng sample na elemento: ang sample mean

X1 + . . . +Xn

Bilang pagtatantya para sa E X1 k, ang sample na k -th moment

X1 k + . . . + Xn k

Xi k =

at bilang pagtatantya para sa pagkakaiba D X1 = E (X1 − E X1 )2 = E X1 2 − (E X1 )2

ginagamit ang sample variance

S2 =n 1

(Xi − X)2 = X2 − X

Sa pangkalahatan, ang halaga

g(X1 ) + . . . + g(Xn )

g(Xi ) =

maaaring gamitin upang tantyahin ang dami E g(X1 ).

Katulad nito, pinapayagan tayo ng batas ng malalaking numero ni Bernoulli na matantya ang iba't ibang mga probabilidad. Halimbawa, ang posibilidad ng isang kaganapan (X1< 3} можно заменить на долю успешных испытаний в схеме Бернулли: если для каждого элемента выборки успехом считать событие {Xi < 3}, то доля успехов

p = halaga ng Xi< 3n

ay magsasama-sama (sa posibilidad) sa posibilidad ng tagumpay P(X1< 3). Оценивать неизвестную функцию распределения F (y) = P(X1 < y) мож-

ngunit sa tulong ng empirical distribution function

Gusto mo bang makahanap ng tagapagturo ng istatistika ng matematika sa Moscow? Mayroong 164 sa kanila sa aming database!

Kung wala kang oras upang pumili ng isang tutor sa mga istatistika ng matematika sa iyong sarili, tinitingnan ang lahat ng mga profile, maaari mong isulat kung anong uri ng tagapagturo ang kailangan mo, at ang administrator libre piliin ang mga tamang opsyon para sa iyo.

Mga tagapagturo ng istatistika ng matematika

Pribadong tagapagturo sa mga istatistika ng matematika sa Moscow.
Pagtuturo sa mga mag-aaral na 5 - 11   klase, mag-aaral, matanda. Paghahanda para sa pagsusulit, OGE. Mataas na kalidad na pagpasa ng programa ng paaralan. Paghahanda sa lahat ng nangungunang pisikal at mathematical na paaralan, lyceums. Tulungan ang mga mag-aaral sa sariling pag-aaral ng matematika. Available ang mga klase sa tag-init.
Ang mga aralin sa isang mini-group (2-4 na tao) ay posible sa presyong mas mababa kaysa sa opisyal.
Nagtatrabaho ako para sa mga resulta. Nag-aaplay ako ng paraan ng pagtuturo kung saan ang mga mag-aaral ay nagpapaunlad ng kanilang mga malikhaing kakayahan at lohikal na pag-iisip nang lubos, pati na rin ang pagiging interesado sa matematika. Nagtatrabaho ako ayon sa aking sariling mga espesyal na manual at pamamaraan (sa pamamagitan ng paraan, nasubok sa pagsasanay) ...
  

• Gastos sa aralin: 1500 kuskusin. / 60 min
• Mga item:
• lungsod: Moscow
• Mga pinakamalapit na istasyon ng metro: Electrozavodskaya, Aviamotornaya
• Pagbisita sa bahay: Hindi
• Katayuan: guro sa paaralan
• Edukasyon: Nag-aral siya sa Physics and Mathematics School. A. N. Kolmogorova (ngayon ay SUNC sa Moscow State University) noong 1986-1988. Nagtapos mula sa Faculty of Physics ng Moscow State University. M.V. Lomonosov noong 1994. Ako ay isang guro sa matematika mula noong 1994...

Matematika para sa mga mag-aaral sa mga baitang 2-11, mga aplikante, mga mag-aaral. Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. Paghahanda para sa SU-HSE Olympiad at mga pagsusulit sa pasukan sa Moscow State University. Tulong sa lahat ng bahagi ng kurikulum ng paaralan, karanasan sa paaralan. Payo sa mga mag-aaral sa lahat ng larangan ng mas mataas na matematika (mathematical analysis, linear algebra, analytic geometry, probability theory, mathematical statistics, econometrics, discrete mathematics, at iba pa).
  

• Gastos sa aralin: 2000 kuskusin. / 60 min
• Mga item:
• lungsod: Moscow
• Pinakamalapit na istasyon ng metro: Kuntsevskaya
• Pagbisita sa bahay: magagamit
• Katayuan: propesor ng unibersidad
• Edukasyon: Moscow State University M. V. Lomonosov (MSU), Faculty of Mechanics and Mathematics, nagtapos noong 1981. Kandidato ng Physical and Mathematical Sciences. Nagtuturo ako sa SU-HSE.

Mga serbisyo ng isang tutor sa mga istatistika ng matematika.
Paghahanda para sa pagsusulit, GIA. Inihahanda ang mga mag-aaral sa anumang larangan ng matematika, inaalis ang mga puwang sa mga mag-aaral at mag-aaral. Paghahanda ng mga aplikante para sa entrance exam sa alinmang unibersidad. Informatics at programming.
  

• Gastos sa aralin: 1500 kuskusin. / 60 min
• Mga item: Mathematics, Calculus, Probability Theory, Computer Science
• Lungsod: Moscow, Krasnogorsk
• Mga pinakamalapit na istasyon ng metro: Kabataan, Strogino
• Pagbisita sa bahay: magagamit
• Katayuan: Pribadong guro
• Edukasyon: Moscow State University M. V. Lomonosov, Faculty of Mechanics and Mathematics, nagtapos noong 1996.

Indibidwal na tagapagturo sa mga istatistika ng matematika.
Mathematics: paghahanda para sa Unified State Examination at GIA, algebra (kabilang ang trigonometry, arithmetic, mathematical logic), geometry (planimetry, stereometry), mathematical analysis, higher mathematics, probability theory, linear algebra, discrete mathematics at iba pang mga disiplina ng matematika, paghahanda para sa pagpasok sa isang unibersidad para sa mga pagsusulit sa unibersidad. Physics: kurikulum ng paaralan, paghahanda para sa pagsusulit, GIA.
Heograpiya: kurikulum ng paaralan, paghahanda para sa pagsusulit, GIA.
Ang diskarte sa bawat mag-aaral ay indibidwal. Sabihin mo sa akin ang resulta na gusto mong makuha mula sa mga klaseng ito, at sama-sama nating nakamit ito.
Ang diskarte sa bawat mag-aaral ay indibidwal ...
  

• Gastos sa aralin: 60 minuto / 2200-2900 rubles (depende sa lokasyon ng aralin at antas ng pagsasanay);
  90 minuto / 3200 - 4000 rubles (depende sa lokasyon ng aralin at antas ng pagsasanay);
  120 minuto/410...
• Mga item: Matematika, Physics, Heograpiya, Teorya ng Probability
• Lungsod: Moscow, Odintsovo
• Pinakamalapit na istasyon ng metro: Krylatskoye
• Pagbisita sa bahay: magagamit
• Katayuan: Pribadong guro
• Edukasyon: Moscow State University M. V. Lomonosov, Faculty of Mechanics and Mathematics, nagtapos noong 2010. Ang average na iskor ay 4.5. Nakatapos ng pag-aaral na may medalya.

Pribadong guro sa mga istatistika ng matematika.
Inihahanda ang mga mag-aaral para sa Unified State Examination at mga panloob na pagsusulit, para sa pagpasok sa mga dayuhang paaralan, pagtulong sa mga mag-aaral na punan ang mga kakulangan sa pagsusuri sa matematika, TFKP, mas mataas na matematika (linear algebra, analytical geometry, mas mataas na matematika).
Sertipikadong eksperto sa USE sa matematika, 12 taong karanasan sa paghahanda para sa USE, higit sa 30 taong karanasan sa pagtuturo. Ang mga mag-aaral ay pumasok sa badyet sa Faculty of Economics ng Moscow State University, sa State University-Higher School of Economics, FA. Mayroong matagumpay na karanasan sa paghahanda para sa GSCE, A-Level.
  

• Gastos sa aralin: 60 minuto / 2000 rubles;
  120 minuto / 4000 kuskusin.
• Mga item: Mathematics, Calculus, Probability Theory, Linear Algebra
• lungsod: Moscow
• Mga pinakamalapit na istasyon ng metro: Kitay-gorod, Lubyanka
• Pagbisita sa bahay: magagamit
• Katayuan: propesor ng unibersidad
• Edukasyon: Ang Ural Pedagogical Institute, Faculty of Physics and Mathematics, ay nagtapos noong 1982, diploma na may karangalan. Kandidato ng Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor ng State University.

• Gastos sa aralin: 1500 r.-2000 r./60 min. depende sa klase.
• Mga item: Mathematics, Calculus, Linear Algebra, Probability Theory
• lungsod: Moscow
• Pinakamalapit na istasyon ng metro: Novogireevo
• Pagbisita sa bahay: magagamit
• Katayuan: guro sa paaralan
• Edukasyon: Sverdlovsk Pedagogical Institute, specialty: matematika, computer science at computer science, nagtapos noong 1991.

Sanay na guro sa mga istatistika ng matematika.
Propesyonal at mataas na kalidad na paghahanda para sa ika-9 na baitang ng HSE Lyceum sa 2019. Masinsinang gawain sa mga variant ng HSE Comprehensive Tests, pati na rin sa mga takdang-aralin na mahigpit na tumutugma sa mga variant ng pagsusulit! Maingat na pagbuo ng mga pamamaraan para sa paglutas ng lahat ng mga gawain ng Comprehensive Test! Maghahanda nang husto ang estudyante!
Systematization ng kaalaman para sa grade 5 - 11. Mabisa at makabuluhang pull-up sa programa (algebra at geometry). Tinitiyak ang patuloy na mataas na pagganap sa akademiko (para sa "4" at "5"). Masusing paghahanda para sa OGE - 2019. Pag-aaral upang malutas ang mga problema ng 1st at 2nd na bahagi ng mga opsyon sa OGE ...
  

Pribadong tagapagturo sa mga istatistika ng matematika.
Mga mag-aaral sa grade 5-11, mga aplikante (Paghahanda sa Moscow State University o para sa mga gawain C5 at C6 sa Unified State Examination), mga mag-aaral (mga klase sa pangkalahatang kurso ng mas mataas na matematika: mathematical analysis, analytical geometry, linear algebra, probability theory) .
Nagbibigay ako ng mga seryosong klase sa mga materyales ng may-akda, mga indibidwal na piniling gawain para sa bawat mag-aaral. Bilang karagdagan, sinusuri ko ang mga kumplikadong numero ng Olympiad at C6 sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.
Ang pinakamababang presyo para sa isang aralin ay 90 min. 3300 kuskusin.
Kung paghahanda sa Moscow State University o para sa mga gawain C5 at C6 sa Unified State Examination - sa loob ng 3800-4000 rubles.
Propesyonal na tagapagturo ng matematika. Garantisadong kalidad ng trabaho. Indibidwal na diskarte at pagpili ng mga pamamaraan para sa bawat mag-aaral...
  

• Gastos sa aralin: 2200 kuskusin. / 60 min
• Mga item: Mathematics, Calculus, Probability Theory, Linear Algebra
• lungsod: Moscow
• Pinakamalapit na istasyon ng metro: Schukinskaya
• Pagbisita sa bahay: Hindi
• Katayuan: Pribadong guro
• Edukasyon: Mas mataas na edukasyong pedagogical: Faculty of Mathematics, Moscow State Pedagogical University. Nagtapos noong 1996.

Kwalipikadong tutor sa mga istatistika ng matematika.
Mga Paksa: Mathematics (paaralan at mas mataas, OGE at EGE), Physics (paaralan, OGE at EGE), Teorya ng probabilidad, istatistika ng matematika, Combinatorics.
Mga mag-aaral, aplikante, mag-aaral. Paghahanda para sa anumang unibersidad, USE, Olympiad. Mga Paksa: matematika, physics, mathematical analysis, linear algebra, analytical geometry, probability theory, mathematical statistics, random na proseso.
Guro ng mga kurso sa paghahanda sa unibersidad.
  

• Gastos sa aralin: Ang rate ko sa bahay sa Dolgoprudny ay 3000 rubles/60 min. , sa bahay ng mag-aaral - 3700 rubles / 60 min. , mga malalayong klase (Skype) - 2700 rubles / 60 min.
• Mga item: Mathematics, Physics, Probability Theory, Calculus
• Lungsod: Moscow, Lobnya, Dolgoprudny, Dmitrov
• Mga pinakamalapit na istasyon ng metro: Altufievo, Istasyon ng Ilog
• Pagbisita sa bahay: magagamit
• Katayuan: propesor ng unibersidad
• Edukasyon: Moscow Institute of Physics and Technology (MIPT), Faculty of Control at Applied Mathematics, Ph.D.

Sanay na tutor sa math.
Matematika at pisika para sa mga mag-aaral sa gitna at mataas na paaralan, mag-aaral, matanda, paghahanda para sa OGE at sa PAGGAMIT. Mga klase sa mga aplikante sa unibersidad. Ang mga indibidwal na aralin ay ang pinaka-epektibo. Ang mahusay na karanasan sa pagtuturo ay ginagarantiyahan ang matagumpay na pag-aaral ng mga pinaka kumplikadong isyu.
  

• Gastos sa aralin: Matematika at Physics: 90 min. / 900 rubles para sa mga mag-aaral.
  Mga mag-aaral at matatanda 90 min. / 1200 rubles.
• Mga item: Matematika, Calculus, Physics
• Lungsod: Moscow, Zhukovsky, Zhukovsky, Zhukovsky, Zhukovsky
• Mga pinakamalapit na istasyon ng metro: Kotelniki, Vykhino
• Pagbisita sa bahay: magagamit
• Katayuan: Pribadong guro
• Edukasyon: Moscow State University M. V. Lomonosov, Faculty of Physics, Department of Mathematics para sa Faculty of Physics, 1976. Russian Academy of Entrepreneurship, 1994