Pagtuturo

Paraan ng pagdaragdag.
Kailangan mong magsulat ng dalawa nang mahigpit sa ilalim ng bawat isa:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Sa isang arbitraryong pinili (mula sa system) equation, ipasok ang numero 11 sa halip na ang nahanap na "laro" at kalkulahin ang pangalawang hindi alam:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Ang sagot ng sistemang ito ng mga equation: x=116, y=11.

Graphic na paraan.
Binubuo ito sa praktikal na paghahanap ng mga coordinate ng punto kung saan ang mga linya ay nakasulat sa matematika sa sistema ng mga equation. Dapat kang gumuhit ng mga graph ng parehong linya nang hiwalay sa parehong coordinate system. Pangkalahatang view: - y \u003d kx + b. Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na upang mahanap ang mga coordinate ng dalawang puntos, at ang x ay pinili nang arbitraryo.
Hayaang ibigay ang system: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Ang isang tuwid na linya ay itinayo ayon sa una, para sa kaginhawahan kailangan itong isulat: y \u003d 2x-4. Bumuo ng (mas madaling) mga halaga para sa x, palitan ito sa equation, lutasin ito, hanapin ang y. Dalawang puntos ang nakuha, kung saan itinayo ang isang tuwid na linya. (tingnan ang pic.)
x 0 1

y -4 -2
Ang isang tuwid na linya ay itinayo ayon sa pangalawang equation: y \u003d -3x + 1.
Bumuo din ng linya. (tingnan ang pic.)

1-5
Hanapin ang mga coordinate ng intersection point ng dalawang itinayong linya sa graph (kung ang mga linya ay hindi nagsalubong, kung gayon ang sistema ng mga equation ay walang - kaya).

Mga kaugnay na video

Nakatutulong na payo

Kung ang parehong sistema ng mga equation ay nalutas sa tatlong magkakaibang paraan, ang sagot ay magiging pareho (kung ang solusyon ay tama).

Mga Pinagmumulan:

• Algebra Baitang 8
• lutasin ang isang equation na may dalawang hindi alam online
• Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawa

Sistema mga equation ay isang koleksyon ng mga mathematical record, bawat isa ay naglalaman ng isang tiyak na bilang ng mga variable. Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang mga ito.

Kakailanganin mong

• -Pamumuno at lapis;
• -calculator.

Pagtuturo

Isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ng paglutas ng sistema, na binubuo ng mga linear na equation na may anyo: a1x + b1y = c1 at a2x + b2y = c2. Kung saan ang x at y ay mga hindi kilalang variable at ang b,c ay mga libreng miyembro. Kapag inilalapat ang pamamaraang ito, ang bawat sistema ay ang mga coordinate ng mga puntos na naaayon sa bawat equation. Una, sa bawat kaso, ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa. Pagkatapos ay itakda ang x variable sa anumang bilang ng mga halaga. Dalawa ay sapat na. Isaksak sa equation at hanapin ang y. Bumuo ng isang sistema ng coordinate, markahan ang mga nakuha na puntos dito at gumuhit ng isang tuwid na linya sa kanila. Ang mga katulad na kalkulasyon ay dapat isagawa para sa iba pang bahagi ng system.

Ang sistema ay may natatanging solusyon kung ang mga itinayong linya ay nagsalubong at may isang karaniwang punto. Ito ay hindi naaayon kung sila ay parallel sa isa't isa. At mayroon itong walang katapusang maraming mga solusyon kapag ang mga linya ay sumanib sa isa't isa.

Ang pamamaraang ito ay itinuturing na napakalinaw. Ang pangunahing kawalan ay ang mga kalkuladong hindi alam ay may tinatayang mga halaga. Ang isang mas tumpak na resulta ay ibinibigay ng tinatawag na algebraic na pamamaraan.

Ang anumang solusyon sa isang sistema ng mga equation ay nagkakahalaga ng pagsusuri. Upang gawin ito, palitan ang nakuha na mga halaga sa halip na ang mga variable. Maaari mo ring mahanap ang solusyon nito sa maraming paraan. Kung ang solusyon ng system ay tama, kung gayon ang lahat ay dapat na maging pareho.

Kadalasan mayroong mga equation kung saan ang isa sa mga termino ay hindi alam. Upang malutas ang isang equation, kailangan mong tandaan at gawin ang isang tiyak na hanay ng mga aksyon sa mga numerong ito.

Kakailanganin mong

• - papel;
• - Panulat o lapis.

Pagtuturo

Isipin na mayroon kang 8 kuneho sa harap mo, at mayroon ka lamang 5 karot. Isipin na kailangan mong bumili ng mas maraming karot upang ang bawat kuneho ay makakuha ng isang karot.

Katawanin natin ang problemang ito sa anyo ng isang equation: 5 + x = 8. I-substitute natin ang numero 3 para sa x. Sa katunayan, 5 + 3 = 8.

Kapag pinalitan mo ang isang numero para sa x, ginagawa mo ang parehong operasyon tulad ng pagbabawas ng 5 mula sa 8. Kaya, upang mahanap hindi kilala termino, ibawas ang kilalang termino mula sa kabuuan.

Sabihin nating mayroon kang 20 kuneho at 5 karot lamang. Mag-compose tayo. Ang isang equation ay isang pagkakapantay-pantay na humahawak lamang para sa ilang mga halaga ng mga titik na kasama dito. Tinatawag ang mga titik na ang mga halaga ay nais mong hanapin. Sumulat ng isang equation na may isang hindi alam, tawagan itong x. Kapag nilutas ang aming problema tungkol sa mga kuneho, ang sumusunod na equation ay nakuha: 5 + x = 20.

Hanapin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng 20 at 5. Kapag ang pagbabawas, ang bilang kung saan ito ay binabawasan ay nababawasan. Ang bilang na ibinawas ay tinatawag na , at ang huling resulta ay tinatawag na pagkakaiba. Kaya, x = 20 - 5; x = 15. Kailangan mong bumili ng 15 carrots para sa mga kuneho.

Gumawa ng tsek: 5 + 15 = 20. Tama ang equation. Siyempre, pagdating sa ganoong kasimple , hindi kailangan ang tseke. Gayunpaman, pagdating sa mga equation na may tatlong-digit, apat na-digit, at iba pa, kinakailangang magsagawa ng pagsusuri upang maging ganap na sigurado sa resulta ng iyong trabaho.

Mga kaugnay na video

Nakatutulong na payo

Upang mahanap ang hindi kilalang minuend, kailangan mong idagdag ang subtrahend sa pagkakaiba.

Upang mahanap ang hindi kilalang subtrahend, kailangang ibawas ang pagkakaiba sa minuend.

Tip 4: Paano lutasin ang isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam

Ang isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam ay maaaring walang mga solusyon, sa kabila ng sapat na bilang ng mga equation. Maaari mong subukang lutasin ito gamit ang paraan ng pagpapalit o gamit ang paraan ng Cramer. Ang pamamaraan ni Cramer, bilang karagdagan sa paglutas ng system, ay nagbibigay-daan sa isa na masuri kung ang sistema ay nalulusaw bago mahanap ang mga halaga ng mga hindi alam.

Pagtuturo

Ang paraan ng pagpapalit ay binubuo ng sunud-sunod na isang hindi alam sa pamamagitan ng dalawang iba at pinapalitan ang resulta na nakuha sa mga equation ng system. Hayaang ibigay ang isang sistema ng tatlong equation sa pangkalahatang anyo:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Ipahayag ang x mula sa unang equation: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - at palitan sa pangalawa at pangatlong equation, pagkatapos ay ipahayag ang y mula sa pangalawang equation at palitan sa pangatlo. Makakakuha ka ng isang linear na expression para sa z sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation ng system. Ngayon ay "bumalik": isaksak ang z sa pangalawang equation at hanapin ang y, pagkatapos ay isaksak ang z at y sa unang equation at hanapin ang x. Ang proseso ay karaniwang ipinapakita sa figure hanggang z matagpuan. Dagdag pa, ang talaan sa pangkalahatang anyo ay magiging masyadong masalimuot, sa pagsasagawa, pagpapalit , madali mong mahahanap ang lahat ng tatlong hindi alam.

Ang pamamaraan ng Cramer ay binubuo sa pag-compile ng system matrix at pagkalkula ng determinant ng matrix na ito, pati na rin ang tatlong karagdagang auxiliary matrice. Ang matrix ng system ay binubuo ng mga coefficient sa mga hindi kilalang termino ng mga equation. Ang column na naglalaman ng mga numero sa kanang bahagi ng mga equation, ang column ng kanang bahagi. Hindi ito ginagamit sa system, ngunit ginagamit kapag nilulutas ang system.

Mga kaugnay na video

tala

Ang lahat ng mga equation sa system ay dapat magbigay ng karagdagang impormasyon na independyente sa iba pang mga equation. Kung hindi, ang sistema ay hindi matukoy at hindi magiging posible na makahanap ng isang hindi malabo na solusyon.

Nakatutulong na payo

Matapos malutas ang sistema ng mga equation, palitan ang mga nahanap na halaga sa orihinal na sistema at suriin na nasiyahan ang mga ito sa lahat ng mga equation.

Mag-isa ang equation kasama ang tatlo hindi kilala ay may maraming solusyon, kaya kadalasan ay dinadagdagan ito ng dalawa pang equation o kundisyon. Depende sa kung ano ang paunang data, ang kurso ng desisyon ay higit na nakasalalay.

Kakailanganin mong

• - isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.

Pagtuturo

Kung dalawa sa tatlong sistema ay mayroon lamang dalawa sa tatlong hindi alam, subukang ipahayag ang ilang mga variable sa mga tuntunin ng iba at isaksak ang mga ito sa ang equation kasama ang tatlo hindi kilala. Ang layunin mo dito ay gawing normal ito ang equation kasama ang hindi alam. Kung ito ay , ang karagdagang solusyon ay medyo simple - palitan ang nahanap na halaga sa iba pang mga equation at hanapin ang lahat ng iba pang hindi alam.

Ang ilang mga sistema ng mga equation ay maaaring ibawas mula sa isang equation ng isa pa. Tingnan kung posible na i-multiply ang isa sa pamamagitan ng o isang variable upang ang dalawang hindi alam ay mabawasan nang sabay-sabay. Kung mayroong ganoong pagkakataon, gamitin ito, malamang, ang kasunod na desisyon ay hindi magiging mahirap. Huwag kalimutan na kapag nagpaparami sa isang numero, dapat mong i-multiply ang parehong kaliwang bahagi at kanang bahagi. Katulad nito, kapag binabawasan ang mga equation, tandaan na ang kanang bahagi ay dapat ding ibawas.

Kung ang mga nakaraang pamamaraan ay hindi nakatulong, gamitin ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng anumang mga equation na may tatlo hindi kilala. Upang gawin ito, muling isulat ang mga equation sa anyo na a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Ngayon gumawa ng isang matrix ng mga coefficient sa x (A), isang matrix ng mga hindi alam (X) at isang matrix ng mga libre (B). Magbayad ng pansin, pagpaparami ng matrix ng mga coefficient sa matrix ng mga hindi alam, makakakuha ka ng isang matrix, isang matrix ng mga libreng miyembro, iyon ay, A * X \u003d B.

Hanapin ang matrix A sa kapangyarihan (-1) pagkatapos mahanap ang , tandaan na hindi ito dapat katumbas ng zero. Pagkatapos nito, i-multiply ang nagresultang matrix sa matrix B, bilang isang resulta makakakuha ka ng nais na matrix X, na nagpapahiwatig ng lahat ng mga halaga.

Makakahanap ka rin ng solusyon sa isang sistema ng tatlong equation gamit ang Cramer method. Upang gawin ito, hanapin ang third-order determinant ∆ na naaayon sa matrix ng system. Pagkatapos ay sunud-sunod na maghanap ng tatlo pang determinant ∆1, ∆2 at ∆3, na pinapalitan ang mga halaga ng mga libreng termino sa halip na ang mga halaga ng kaukulang mga hanay. Ngayon hanapin ang x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Mga Pinagmumulan:

• mga solusyon ng mga equation na may tatlong hindi alam

Simula sa paglutas ng isang sistema ng mga equation, alamin kung ano ang mga equation na ito. Ang mga paraan ng paglutas ng mga linear equation ay mahusay na pinag-aralan. Ang mga nonlinear na equation ay kadalasang hindi nalulutas. Mayroon lamang isang espesyal na kaso, ang bawat isa ay halos indibidwal. Samakatuwid, ang pag-aaral ng mga pamamaraan ng solusyon ay dapat magsimula sa mga linear na equation. Ang ganitong mga equation ay maaaring malutas kahit na puro algorithmically.

Pagtuturo

Simulan ang proseso ng pag-aaral sa pamamagitan ng pag-aaral kung paano lutasin ang isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam na X at Y sa pamamagitan ng pag-aalis. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Ang mga coefficient ng mga equation ay ipinahiwatig ng mga indeks na nagpapahiwatig ng kanilang mga lokasyon. Kaya binibigyang-diin ng koepisyent na a21 ang katotohanang ito ay nakasulat sa pangalawang equation sa unang lugar. Sa pangkalahatang tinatanggap na notasyon, ang sistema ay isinulat ng mga equation na matatagpuan sa ibaba ng isa, magkasanib na tinutukoy ng isang kulot na bracket sa kanan o kaliwa (para sa higit pang mga detalye, tingnan ang Fig. 1a).

Ang pag-numero ng mga equation ay arbitrary. Piliin ang pinakasimpleng isa, tulad ng isa kung saan ang isa sa mga variable ay pinangungunahan ng isang factor na 1, o hindi bababa sa isang integer. Kung ito ay equation (1), pagkatapos ay ipahayag pa, sabihin, ang hindi kilalang Y sa mga tuntunin ng X (ang kaso ng pag-aalis ng Y). Upang gawin ito, ibahin ang anyo (1) sa form na a12*Y=b1-a11*X (o a11*X=b1-a12*Y kung ang X ay hindi kasama)) at pagkatapos ay Y=(b1-a11*X)/a12 . Ang pagpapalit sa huli sa equation (2) ay isulat ang a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Lutasin ang equation na ito para sa X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) o X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Gamit ang nahanap na relasyon sa pagitan ng Y at X, sa wakas ay makuha ang pangalawang hindi kilalang Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Kung ang sistema ay ibinigay na may mga tiyak na numerical coefficients, kung gayon ang mga kalkulasyon ay magiging mas mahirap. Sa kabilang banda, ang pangkalahatang solusyon ay ginagawang posible na isaalang-alang ang katotohanan na, para sa mga hindi alam na natagpuan, sila ay eksaktong pareho. Oo, at ang mga numerator ay makikita ang ilang mga pattern ng kanilang pagbuo. Kung ang sukat ng sistema ng mga equation ay mas malaki kaysa sa dalawa, kung gayon ang paraan ng pag-aalis ay hahantong sa napakahirap na mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang mga ito, puro algorithmic na solusyon ang binuo. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang algorithm ng Cramer (mga formula ng Cramer). Para dapat matutunan ang pangkalahatang sistema ng mga equation ng n equation.

Ang sistema ng n linear algebraic equation na may n hindi alam ay may anyo (tingnan ang Fig. 1a). Sa loob nito, ang aij ay ang mga coefficient ng system,
хj – hindi alam, bi – libreng miyembro (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Ang ganitong sistema ay maaaring maisulat sa matrix form na AX=B. Narito ang A ay ang coefficient matrix ng system, X ay ang column matrix ng mga hindi alam, B ay ang column matrix ng mga libreng termino (tingnan ang Fig. 1b). Ayon sa pamamaraan ni Cramer, ang bawat hindi kilalang xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Ang determinant ∆ ng matrix ng mga coefficient ay tinatawag na pangunahing determinant, at ∆i ay tinatawag na auxiliary. Para sa bawat hindi alam, ang isang pantulong na determinant ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpapalit sa i-th column ng pangunahing determinant ng isang column ng mga libreng termino. Ang pamamaraan ng Cramer para sa kaso ng mga sistema ng pangalawa at pangatlong pagkakasunud-sunod ay ipinakita nang detalyado sa Fig. 2.

Ang sistema ay isang unyon ng dalawa o higit pang pagkakapantay-pantay, bawat isa ay may dalawa o higit pang hindi alam. Mayroong dalawang pangunahing paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation na ginagamit sa kurikulum ng paaralan. Ang isa sa kanila ay tinatawag na pamamaraan, ang isa ay ang paraan ng pagdaragdag.

Standard form ng isang sistema ng dalawang equation

Sa karaniwang anyo, ang unang equation ay a1*x+b1*y=c1, ang pangalawang equation ay a2*x+b2*y=c2, at iba pa. Halimbawa, sa kaso ng dalawang bahagi ng system sa parehong ibinigay na a1, a2, b1, b2, c1, c2 ay ilang mga numerical coefficient na ipinakita sa mga partikular na equation. Sa turn, ang x at y ay hindi alam na ang mga halaga ay kailangang matukoy. Ang mga nais na halaga ay ginagawa ang parehong mga equation nang sabay-sabay sa tunay na pagkakapantay-pantay.

Solusyon ng system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag

Upang malutas ang system, iyon ay, upang mahanap ang mga halaga ng x at y na gagawing tunay na pagkakapantay-pantay, kailangan mong gumawa ng ilang simpleng hakbang. Ang una sa mga ito ay ang pagbabago ng alinman sa mga equation sa paraang ang mga numerical coefficient para sa variable na x o y sa parehong mga equation ay nag-tutugma sa absolute value, ngunit naiiba sa sign.

Halimbawa, hayaang magbigay ng isang sistema na binubuo ng dalawang equation. Ang una sa kanila ay may anyo na 2x+4y=8, ang pangalawa ay may anyo na 6x+2y=6. Ang isa sa mga pagpipilian para sa pagkumpleto ng gawain ay upang i-multiply ang pangalawang equation sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng -2, na hahantong ito sa anyo -12x-4y=-12. Ang tamang pagpili ng koepisyent ay isa sa mga pangunahing gawain sa proseso ng paglutas ng system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag, dahil tinutukoy nito ang buong karagdagang kurso ng pamamaraan para sa paghahanap ng mga hindi alam.

Ngayon ay kinakailangan upang idagdag ang dalawang equation ng system. Malinaw, ang magkaparehong pagkasira ng mga variable na may katumbas na halaga ngunit kabaligtaran sa sign coefficients ay hahantong ito sa anyo -10x=-4. Pagkatapos nito, kinakailangan upang malutas ang simpleng equation na ito, kung saan malinaw na sinusunod ang x=0.4.

Ang huling hakbang sa proseso ng solusyon ay ang palitan ang nahanap na halaga ng isa sa mga variable sa alinman sa mga unang pagkakapantay-pantay na magagamit sa system. Halimbawa, ang pagpapalit ng x=0.4 sa unang equation, maaari mong makuha ang expression na 2*0.4+4y=8, kung saan y=1.8. Kaya, ang x=0.4 at y=1.8 ay ang mga ugat ng system na ipinapakita sa halimbawa.

Upang matiyak na ang mga ugat ay natagpuan nang tama, ito ay kapaki-pakinabang upang suriin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa pangalawang equation ng system. Halimbawa, sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay ng form na 0.4 * 6 + 1.8 * 2 = 6 ay nakuha, na tama.

Mga kaugnay na video

Ang isang linear equation na may dalawang variable ay may pangkalahatang anyo na ax + by + c = 0. Sa loob nito, ang a, b at c ay mga coefficient - ilang mga numero; at x at y ay mga variable - hindi kilalang mga numero na mahahanap.

Ang solusyon ng isang linear equation na may dalawang variable ay isang pares ng mga numerong x at y, kung saan ang ax + by + c = 0 ay isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Ang isang partikular na linear equation na may dalawang variable (halimbawa, 3x + 2y - 1 = 0) ay may isang set ng mga solusyon, iyon ay, isang set ng mga pares ng mga numero kung saan ang equation ay totoo. Ang isang linear equation na may dalawang variable ay binago sa isang linear function ng form na y = kx + m, na isang linya sa coordinate plane. Ang mga coordinate ng lahat ng mga punto na nakahiga sa linyang ito ay mga solusyon ng isang linear equation sa dalawang variable.

Kung ang dalawang linear na equation ng form na ax + by + c = 0 ay ibinigay at kinakailangan upang mahanap ang mga naturang halaga ng x at y kung saan pareho silang magkakaroon ng mga solusyon, pagkatapos ay sinasabi nila na ito ay kinakailangan lutasin ang sistema ng mga equation. Ang sistema ng mga equation ay nakasulat sa ilalim ng isang karaniwang kulot na bracket. Halimbawa:

Ang isang sistema ng mga equation ay maaaring walang solusyon kung ang mga linya na ang mga graph ng kaukulang linear function ay hindi magsalubong (iyon ay, sila ay parallel sa isa't isa). Upang tapusin na walang solusyon, ito ay sapat na upang baguhin ang parehong mga linear equation na may dalawang mga variable sa form na y = kx + m. Kung ang k ay ang parehong numero sa parehong mga equation, kung gayon ang sistema ay walang mga solusyon.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay lumabas na binubuo ng dalawang magkatulad na equation (na maaaring hindi agad-agad na halata, ngunit pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo), kung gayon mayroon itong walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa kawalan ng katiyakan.

Sa lahat ng iba pang mga kaso, ang sistema ay may isang solusyon. Ang konklusyon na ito ay maaaring makuha mula sa katotohanan na ang anumang dalawang di-parallel na linya ay maaaring magsalubong sa isang punto lamang. Ang intersection point na ito ay magsisinungaling sa unang linya at sa pangalawa, iyon ay, ito ang magiging solusyon ng parehong unang equation at ang pangalawa. Samakatuwid, upang maging isang solusyon sa isang sistema ng mga equation. Gayunpaman, kinakailangan upang itakda ang mga sitwasyon kung saan ang ilang mga paghihigpit ay ipinapataw sa mga halaga ng x at y (karaniwan ay ayon sa kondisyon ng problema). Halimbawa, x > 0, y > 0. Sa kasong ito, kahit na ang sistema ng mga equation ay may solusyon, ngunit hindi nito natutugunan ang kondisyon, pagkatapos ay napagpasyahan na ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon.

Mayroong tatlong mga paraan upang malutas ang isang sistema ng mga equation:

1. paraan ng pagpili. Kadalasan ito ay napakahirap gawin.
2. Paraan ng graphic. Kapag ang dalawang linya ay iginuhit sa coordinate plane (mga graph ng mga function ng kaukulang equation) at ang kanilang intersection point ay natagpuan. Ang pamamaraang ito ay maaaring magbigay ng mga hindi tumpak na resulta kung ang mga coordinate ng intersection point ay mga fractional na numero.
3. Algebraic na pamamaraan. Ang mga ito ay maraming nalalaman at maaasahan.

Pamilyar na tayo sa konsepto ng isang linear equation sa dalawang hindi alam. Ang mga equation ay maaaring naroroon sa isang problema sa parehong indibidwal at ilang mga equation nang sabay-sabay. Sa ganitong mga kaso, ang mga equation ay pinagsama sa isang sistema ng mga equation.

Ano ang isang sistema ng mga linear equation

Sistema ng mga equation ay dalawa o higit pang mga equation kung saan kinakailangan upang mahanap ang lahat ng kanilang mga karaniwang solusyon. Karaniwan, upang magsulat ng isang sistema ng mga equation, ang mga ito ay nakasulat sa isang hanay at gumuhit ng isang karaniwang kulot na bracket. Ang sistema ng mga linear equation ay nakasulat sa ibaba.

(4x + 3y = 6
( 2x + y = 4

Ang rekord na ito ay nangangahulugan na ang isang sistema ng dalawang equation ay ibinigay, na may dalawang variable. Kung mayroong tatlong equation sa system, ito ay magiging isang sistema ng tatlong equation. At kaya para sa anumang bilang ng mga equation.

Kung ang lahat ng mga equation na naroroon sa sistema ay linear, pagkatapos ay sinasabi nila na ang isang sistema ng mga linear na equation ay ibinigay. Sa halimbawa sa itaas, ang isang sistema ng dalawang linear na equation ay ipinakita lamang. Tulad ng nabanggit sa itaas, ang system ay maaaring magkaroon ng mga pangkalahatang solusyon. Tatalakayin natin ang terminong "pangkalahatang solusyon" sa ibaba.

Ano ang solusyon?

Ang isang solusyon sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam ay isang pares ng mga numero (x, y) na kung ang mga numerong ito ay ihahalili sa mga equation ng system, ang bawat isa sa mga equation ng system ay magiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Halimbawa, mayroon tayong sistema ng dalawang linear na equation. Ang solusyon sa unang equation ay ang lahat ng pares ng mga numero na makakatugon sa equation na ito.

Para sa pangalawang equation, ang solusyon ay mga pares ng mga numero na nakakatugon sa equation na ito. Kung mayroong ganoong pares ng mga numero na nakakatugon sa una at pangalawang equation, ang pares na ito ng mga numero ang magiging solusyon sa sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam.

Graphic na solusyon

Sa graphically, ang solusyon ng isang linear equation ay lahat ng mga punto ng ilang linya sa eroplano.

Para sa isang sistema ng mga linear na equation, magkakaroon tayo ng ilang linya (ayon sa bilang ng mga equation). At ang solusyon sa sistema ng mga equation ay ang punto kung saan ang LAHAT ng mga linya ay nagsalubong. Kung walang ganoong punto, kung gayon ang sistema ay walang mga solusyon. Ang punto kung saan ang lahat ng mga linya ay nagsalubong ay kabilang sa bawat isa sa mga linyang ito, kaya ang solusyon ay tinatawag na pangkalahatan.

Sa pamamagitan ng paraan, ang paglalagay ng mga equation ng system at paghahanap ng kanilang karaniwang punto ay isa sa mga paraan upang malutas ang sistema ng mga equation. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na graphic.

Iba pang Mga Paraan para Malutas ang mga Linear Equation

Mayroong iba pang mga paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable. Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam.

Susuriin namin ang dalawang uri ng mga sistema ng paglutas ng mga equation:

1. Solusyon ng system sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit.
2. Solusyon ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas) ng mga equation ng system.

Upang malutas ang sistema ng mga equation paraan ng pagpapalit kailangan mong sundin ang isang simpleng algorithm:
1. Ipinapahayag namin. Mula sa anumang equation, nagpapahayag kami ng isang variable.
2. Kapalit. Pinapalitan namin sa isa pang equation sa halip na ang ipinahayag na variable, ang resultang halaga.
3. Nilulutas namin ang resultang equation na may isang variable. Nakahanap kami ng solusyon sa system.

Lutasin sistema sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas) kailangan:
1. Pumili ng variable kung saan gagawa tayo ng parehong coefficient.
2. Idinaragdag o binabawasan natin ang mga equation, bilang resulta nakakakuha tayo ng equation na may isang variable.
3. Nilulutas namin ang nagresultang linear equation. Nakahanap kami ng solusyon sa system.

Ang solusyon ng system ay ang mga intersection point ng mga graph ng function.

Isaalang-alang natin nang detalyado ang solusyon ng mga system gamit ang mga halimbawa.

Halimbawa #1:

Lutasin natin sa paraan ng pagpapalit

Paglutas ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

2x+5y=1 (1 equation)
x-10y=3 (2nd equation)

1. Ipahayag
Makikita na sa pangalawang equation ay mayroong variable x na may coefficient na 1, kaya lumalabas na pinakamadaling ipahayag ang variable x mula sa pangalawang equation.
x=3+10y

2. Pagkatapos ipahayag, pinapalitan natin ang 3 + 10y sa unang equation sa halip na ang variable na x.
2(3+10y)+5y=1

3. Nilulutas namin ang resultang equation na may isang variable.
2(3+10y)+5y=1 (mga bukas na bracket)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

Ang solusyon ng sistema ng mga equation ay ang mga intersection point ng mga graph, kaya't kailangan nating hanapin ang x at y, dahil ang intersection point ay binubuo ng x at y. Hanapin natin ang x, sa unang talata kung saan ipinahayag natin ay pinapalitan natin ang y doon.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Nakaugalian na magsulat ng mga puntos sa unang lugar, isinusulat namin ang variable na x, at sa pangalawang lugar ang variable na y.
Sagot: (1; -0.2)

Halimbawa #2:

Lutasin natin sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas).

Paglutas ng isang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag

3x-2y=1 (1 equation)
2x-3y=-10 (2nd equation)

1. Pumili ng variable, sabihin nating pipiliin natin ang x. Sa unang equation, ang variable x ay may coefficient na 3, sa pangalawa - 2. Kailangan nating gawin ang mga coefficient na pareho, para dito may karapatan tayong i-multiply ang mga equation o hatiin sa anumang numero. I-multiply namin ang unang equation sa pamamagitan ng 2, at ang pangalawa sa pamamagitan ng 3 at makakuha ng kabuuang koepisyent ng 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Mula sa unang equation, ibawas ang pangalawa upang maalis ang variable na x. Nilulutas natin ang linear equation.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Hanapin ang x. Pinapalitan natin ang nahanap na y sa alinman sa mga equation, sabihin natin sa unang equation.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Ang punto ng intersection ay magiging x=4.6; y=6.4
Sagot: (4.6; 6.4)

Gusto mo bang maghanda para sa mga pagsusulit nang libre? Tutor online libre. Walang biro.

Mas maaasahan kaysa sa graphical na pamamaraan na tinalakay sa nakaraang talata.

Pamamaraan ng Pagpapalit

Ginamit namin ang paraang ito sa ika-7 baitang upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation. Ang algorithm na binuo sa ika-7 baitang ay medyo angkop para sa paglutas ng mga sistema ng anumang dalawang equation (hindi kinakailangang linear) na may dalawang variable na x at y (siyempre, ang mga variable ay maaaring ipahiwatig ng iba pang mga titik, na hindi mahalaga). Sa katunayan, ginamit namin ang algorithm na ito sa nakaraang talata, kapag ang problema ng isang dalawang-digit na numero ay humantong sa isang modelo ng matematika, na isang sistema ng mga equation. Nalutas namin ang sistemang ito ng mga equation sa itaas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit (tingnan ang halimbawa 1 mula sa § 4).

Algorithm para sa paggamit ng paraan ng pagpapalit kapag nilulutas ang isang sistema ng dalawang equation na may dalawang variable na x, y.

1. Ipahayag ang y sa mga tuntunin ng x mula sa isang equation ng system.
2. Palitan ang resultang expression sa halip na y sa isa pang equation ng system.
3. Lutasin ang resultang equation para sa x.
4. Palitan naman ang bawat ugat ng equation na matatagpuan sa ikatlong hakbang sa halip na x sa expression na y hanggang x na nakuha sa unang hakbang.
5. Isulat ang sagot sa anyo ng mga pares ng mga halaga (x; y), na natagpuan, ayon sa pagkakabanggit, sa ikatlo at ikaapat na hakbang.

4) Palitan naman ang bawat isa sa mga nahanap na halaga ng y sa formula x \u003d 5 - Zy. Kung noon
5) Mga pares (2; 1) at mga solusyon ng isang ibinigay na sistema ng mga equation.

Sagot: (2; 1);

Algebraic na paraan ng pagdaragdag

Ang pamamaraang ito, tulad ng paraan ng pagpapalit, ay pamilyar sa iyo mula sa kursong algebra sa ika-7 baitang, kung saan ginamit ito upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation. Naaalala namin ang kakanyahan ng pamamaraan sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 2 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

I-multiply namin ang lahat ng mga termino ng unang equation ng system sa pamamagitan ng 3, at iwanan ang pangalawang equation na hindi nagbabago:
Ibawas ang pangalawang equation ng system mula sa unang equation nito:

Bilang resulta ng algebraic na pagdaragdag ng dalawang equation ng orihinal na sistema, nakuha ang isang equation na mas simple kaysa sa una at pangalawang equation ng ibinigay na sistema. Sa mas simpleng equation na ito, may karapatan kaming palitan ang anumang equation ng isang ibinigay na system, halimbawa, ang pangalawa. Pagkatapos ang ibinigay na sistema ng mga equation ay papalitan ng isang mas simpleng sistema:

Ang sistemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit. Mula sa pangalawang equation nakita namin Ang pagpapalit ng expression na ito sa halip na y sa unang equation ng system, nakuha namin

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng x sa formula

Kung x = 2 kung gayon

Kaya, nakahanap kami ng dalawang solusyon sa system:

Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable

Nakilala mo ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable kapag nilulutas ang mga rational equation na may isang variable sa kursong algebra sa ika-8 baitang. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation ay pareho, ngunit mula sa isang teknikal na punto ng view mayroong ilang mga tampok na tatalakayin natin sa mga sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 3 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Magpakilala tayo ng bagong variable Pagkatapos ay maaaring muling isulat ang unang equation ng system sa isang mas simpleng anyo: Lutasin natin ang equation na ito na may paggalang sa variable t:

Pareho sa mga halagang ito ay nakakatugon sa kundisyon, at samakatuwid ay ang mga ugat ng isang rational equation na may variable na t. Ngunit nangangahulugan ito ng alinman mula sa kung saan natin makikita na x = 2y, o
Kaya, sa tulong ng paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, nagawa namin, parang, na "pagsapin-sapin" ang unang equation ng system, na medyo kumplikado sa hitsura, sa dalawang mas simpleng equation:

x = 2 y; y - 2x.

Anong susunod? At pagkatapos ang bawat isa sa dalawang simpleng equation na nakuha ay dapat isaalang-alang sa turn sa isang sistema na may equation x 2 - y 2 \u003d 3, na hindi pa natin naaalala. Sa madaling salita, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng dalawang sistema ng mga equation:

Ito ay kinakailangan upang makahanap ng mga solusyon para sa unang sistema, ang pangalawang sistema, at isama ang lahat ng mga resultang pares ng mga halaga sa sagot. Lutasin natin ang unang sistema ng mga equation:

Gamitin natin ang paraan ng pagpapalit, lalo na dahil handa na ang lahat para dito: pinapalitan natin ang expression na 2y sa halip na x sa pangalawang equation ng system. Kunin

Dahil ang x \u003d 2y, nakita namin ang x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2, ayon sa pagkakabanggit. Kaya, dalawang solusyon sa ibinigay na sistema ang nakuha: (2; 1) at (-2; -1). Lutasin natin ang pangalawang sistema ng mga equation:

Gamitin nating muli ang paraan ng pagpapalit: pinapalitan natin ang expression na 2x sa halip na y sa pangalawang equation ng system. Kunin

Ang equation na ito ay walang mga ugat, na nangangahulugan na ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon. Kaya, ang mga solusyon lamang ng unang sistema ang dapat isama sa sagot.

Sagot: (2; 1); (-2;-1).

Ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable kapag ang paglutas ng mga sistema ng dalawang equation na may dalawang variable ay ginagamit sa dalawang bersyon. Unang opsyon: isang bagong variable ang ipinakilala at ginagamit sa isang equation lamang ng system. Ganito mismo ang nangyari sa halimbawa 3. Ang pangalawang opsyon: dalawang bagong variable ang ipinakilala at ginamit nang sabay-sabay sa parehong mga equation ng system. Ito ang magiging kaso sa halimbawa 4.

Halimbawa 4 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Ipakilala natin ang dalawang bagong variable:

Natutunan natin yan

Ito ay magpapahintulot sa amin na muling isulat ang ibinigay na sistema sa isang mas simpleng anyo, ngunit may kinalaman sa mga bagong variable na a at b:

Dahil ang isang \u003d 1, pagkatapos ay mula sa equation na a + 6 \u003d 2 nakita namin: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Kaya, para sa mga variable a at b, nakakuha kami ng isang solusyon:

Pagbabalik sa mga variable na x at y, nakuha namin ang sistema ng mga equation

Inilapat namin ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic upang malutas ang sistemang ito:

Mula noon mula sa equation na 2x + y = 3 nakita namin:
Kaya, para sa mga variable na x at y, nakakuha kami ng isang solusyon:

Tapusin natin ang seksyong ito sa isang maikli ngunit seryosong teoretikal na talakayan. Nakakuha ka na ng ilang karanasan sa paglutas ng iba't ibang equation: linear, square, rational, irrational. Alam mo na ang pangunahing ideya ng paglutas ng isang equation ay ang unti-unting paglipat mula sa isang equation patungo sa isa pa, mas simple ngunit katumbas ng ibinigay na isa. Sa nakaraang seksyon, ipinakilala namin ang paniwala ng equivalence para sa mga equation na may dalawang variable. Ginagamit din ang konseptong ito para sa mga sistema ng mga equation.

Kahulugan.

Dalawang sistema ng mga equation na may mga variable na x at y ay sinasabing katumbas kung mayroon silang parehong mga solusyon o kung ang parehong mga sistema ay walang mga solusyon.

Ang lahat ng tatlong pamamaraan (pagpapalit, algebraic na karagdagan, at pagpapakilala ng mga bagong variable) na aming tinalakay sa seksyong ito ay ganap na tama mula sa punto ng view ng pagkakapareho. Sa madaling salita, gamit ang mga pamamaraang ito, pinapalitan namin ang isang sistema ng mga equation ng isa pa, mas simple, ngunit katumbas ng orihinal na sistema.

Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Natutunan na natin kung paano lutasin ang mga sistema ng mga equation sa mga karaniwan at maaasahang paraan gaya ng paraan ng pagpapalit, pagdaragdag ng algebraic at ang pagpapakilala ng mga bagong variable. At ngayon, alalahanin natin ang pamamaraan na iyong napag-aralan sa nakaraang aralin. Ibig sabihin, ulitin natin ang alam mo tungkol sa paraan ng graphical na solusyon.

Ang paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation sa graphical na paraan ay ang pagbuo ng isang graph para sa bawat isa sa mga partikular na equation na kasama sa sistemang ito at nasa parehong coordinate plane, at kung saan kinakailangan din na hanapin ang intersection ng mga punto ng mga graph na ito. . Upang malutas ang sistemang ito ng mga equation ay ang mga coordinate ng puntong ito (x; y).

Dapat tandaan na para sa isang graphical na sistema ng mga equation ay karaniwan na magkaroon ng alinman sa isang solong tamang solusyon, o isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, o walang mga solusyon sa lahat.

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa mga solusyong ito. At kaya, ang sistema ng mga equation ay maaaring magkaroon ng isang natatanging solusyon kung ang mga linya, na siyang mga graph ng mga equation ng system, ay magsalubong. Kung ang mga linyang ito ay magkatulad, kung gayon ang gayong sistema ng mga equation ay ganap na walang mga solusyon. Sa kaso ng pagkakataon ng mga direktang graph ng mga equation ng system, kung gayon ang ganitong sistema ay nagpapahintulot sa iyo na makahanap ng maraming mga solusyon.

Kaya, ngayon tingnan natin ang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng dalawang equation na may 2 hindi alam gamit ang isang graphical na pamamaraan:

Una, sa una ay bumuo kami ng isang graph ng 1st equation;
Ang ikalawang hakbang ay ang pag-plot ng graph na nauugnay sa pangalawang equation;
Pangatlo, kailangan nating hanapin ang mga intersection point ng mga graph.
At bilang resulta, nakukuha natin ang mga coordinate ng bawat intersection point, na magiging solusyon sa sistema ng mga equation.

Tingnan natin ang pamamaraang ito nang mas detalyado sa isang halimbawa. Binigyan tayo ng isang sistema ng mga equation na dapat lutasin:

Paglutas ng mga Equation

1. Una, bubuo tayo ng graph ng equation na ito: x2+y2=9.

Ngunit dapat tandaan na ang graph na ito ng mga equation ay magiging isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan, at ang radius nito ay magiging katumbas ng tatlo.

2. Ang susunod nating hakbang ay ang magplano ng equation tulad ng: y = x - 3.

Sa kasong ito, dapat tayong bumuo ng isang linya at hanapin ang mga puntos (0;−3) at (3;0).

3. Tingnan natin kung ano ang nakuha natin. Nakita namin na ang linya ay nag-intersect sa bilog sa dalawa sa mga punto nito A at B.

Ngayon hinahanap namin ang mga coordinate ng mga puntong ito. Nakikita namin na ang mga coordinate (3;0) ay tumutugma sa punto A, at ang mga coordinate (0;−3) ay tumutugma sa punto B.

At ano ang makukuha natin bilang resulta?

Ang mga numero (3;0) at (0;−3) na nakuha sa intersection ng isang tuwid na linya na may bilog ay tiyak na mga solusyon ng parehong mga equation ng system. At mula dito ay sumusunod na ang mga numerong ito ay mga solusyon din ng sistemang ito ng mga equation.

Ibig sabihin, ang sagot sa solusyon na ito ay ang mga numero: (3;0) at (0;−3).