Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.
Ang vector ng direksyon ay tuwid. Normal na vector

Ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay isa sa mga pinakasimpleng geometric na hugis, pamilyar sa iyo mula noong elementarya, at ngayon ay matututunan natin kung paano haharapin ito gamit ang mga pamamaraan ng analytical geometry. Upang makabisado ang materyal, kinakailangan upang makabuo ng isang tuwid na linya; alamin kung aling equation ang tumutukoy sa isang tuwid na linya, sa partikular, isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan at mga tuwid na linya na kahanay sa mga coordinate axes. Ang impormasyong ito ay matatagpuan sa manwal. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar, nilikha ko ito para sa matan, ngunit ang seksyon sa linear function ay naging napaka-matagumpay at detalyado. Samakatuwid, mahal na mga teapot, magpainit muna doon. Bilang karagdagan, kailangan mong magkaroon ng pangunahing kaalaman sa mga vector kung hindi ay hindi kumpleto ang pag-unawa sa materyal.

Sa araling ito, titingnan natin ang mga paraan kung paano mo maisusulat ang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Inirerekumenda ko na huwag pabayaan ang mga praktikal na halimbawa (kahit na ito ay tila napakasimple), dahil bibigyan ko sila ng elementarya at mahahalagang katotohanan, mga teknikal na pamamaraan na kakailanganin sa hinaharap, kasama ang iba pang mga seksyon ng mas mataas na matematika.

• Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na may slope?
• paano ?
• Paano mahahanap ang vector ng direksyon sa pamamagitan ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya?
• Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector?

at magsisimula tayo:

Line Equation na may Slope

Ang kilalang "paaralan" na anyo ng equation ng isang tuwid na linya ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na may slope. Halimbawa, kung ang isang tuwid na linya ay ibinigay ng equation, kung gayon ang slope nito: . Isaalang-alang ang geometric na kahulugan ng koepisyent na ito at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa lokasyon ng linya:

Sa kurso ng geometry ito ay pinatunayan na ang slope ng tuwid na linya ay padaplis ng isang anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng axisat binigay na linya: , at ang sulok ay “unscrew” nang pakaliwa.

Upang hindi makalat ang pagguhit, gumuhit ako ng mga anggulo para lamang sa dalawang tuwid na linya. Isaalang-alang ang "pula" na tuwid na linya at ang slope nito. Ayon sa itaas: (anggulo "alpha" ay ipinahiwatig ng isang berdeng arko). Para sa "asul" na tuwid na linya na may slope, ang pagkakapantay-pantay ay totoo (ang anggulo na "beta" ay ipinahiwatig ng brown arc). At kung ang tangent ng anggulo ay kilala, kung kinakailangan ay madaling mahanap at ang sulok gamit ang inverse function - arc tangent. Tulad ng sinasabi nila, isang trigonometric table o isang calculator sa kamay. kaya, ang slope ay nagpapakilala sa antas ng pagkahilig ng tuwid na linya sa x-axis.

Sa kasong ito, posible ang mga sumusunod na kaso:

1) Kung ang slope ay negatibo: , pagkatapos ay ang linya, sa halos pagsasalita, ay mula sa itaas hanggang sa ibaba. Ang mga halimbawa ay "asul" at "pulang-pula" na mga tuwid na linya sa pagguhit.

2) Kung ang slope ay positibo: , pagkatapos ay ang linya ay mula sa ibaba hanggang sa itaas. Ang mga halimbawa ay "itim" at "pula" na mga tuwid na linya sa pagguhit.

3) Kung ang slope ay katumbas ng zero: , kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo , at ang kaukulang linya ay parallel sa axis. Ang isang halimbawa ay ang "dilaw" na linya.

4) Para sa isang pamilya ng mga tuwid na linya na kahanay sa axis (walang halimbawa sa pagguhit, maliban sa axis mismo), ang slope ay wala (hindi tinukoy ang tangent ng 90 degrees).

Kung mas malaki ang slope modulo, mas matarik ang line graph.

Halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Dito , kaya ang tuwid na linya ay may mas matarik na dalisdis. Ipinaaalala ko sa iyo na pinapayagan ka ng module na huwag pansinin ang sign, interesado lamang kami ganap na mga halaga angular coefficients.

Sa turn, ang isang tuwid na linya ay mas matarik kaysa sa mga tuwid na linya. .

Vice versa: mas maliit ang slope modulo, mas flat ang tuwid na linya.

Para sa mga tuwid na linya ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, kaya, ang tuwid na linya ay higit pa sa isang canopy. Pag-slide ng mga bata, upang hindi magtanim ng mga pasa at bukol.

Bakit kailangan ito?

Patagalin ang iyong pagdurusa Ang pag-alam sa mga katotohanan sa itaas ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na makita ang iyong mga pagkakamali, lalo na, ang mga pagkakamali kapag nagpaplano ng mga graph - kung ang pagguhit ay "malinaw na may mali". Ito ay kanais-nais na ikaw kaagad malinaw na, halimbawa, ang isang tuwid na linya ay napakatarik at napupunta mula sa ibaba hanggang sa itaas, at isang tuwid na linya ay napaka-flat, malapit sa axis at mula sa itaas hanggang sa ibaba.

Sa mga problemang geometriko, maraming mga tuwid na linya ang madalas na lumilitaw, kaya't maginhawa upang tukuyin ang mga ito kahit papaano.

Notasyon: Ang mga tuwid na linya ay isinasaad ng maliliit na letrang Latin: . Ang isang popular na opsyon ay ang pagtatalaga ng parehong titik na may natural na mga subscript. Halimbawa, ang limang linya na ating napag-isipan ay maaaring tukuyin ng .

Dahil ang anumang tuwid na linya ay natatanging tinutukoy ng dalawang puntos, maaari itong tukuyin ng mga puntong ito: atbp. Ang notasyon ay medyo malinaw na nagpapahiwatig na ang mga punto ay kabilang sa linya.

Oras upang lumuwag ng kaunti:

Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na may slope?

Kung ang isang punto ay kilala na kabilang sa isang tiyak na linya, at ang slope ng linyang ito, kung gayon ang equation ng linyang ito ay ipinahayag ng formula:

Halimbawa 1

Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na may slope kung alam na ang punto ay kabilang sa tuwid na linyang ito.

Desisyon: Bubuo tayo ng equation ng isang tuwid na linya ayon sa formula . Sa kasong ito:

Sagot:

Pagsusulit ginanap sa elementarya. Una, tinitingnan namin ang nagresultang equation at siguraduhin na ang aming slope ay nasa lugar nito. Pangalawa, ang mga coordinate ng punto ay dapat matugunan ang ibinigay na equation. Isaksak natin sila sa equation:

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Konklusyon: Tamang nakita ang equation.

Isang mas nakakalito na halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 2

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung alam na ang anggulo ng pagkahilig nito sa positibong direksyon ng axis ay , at ang punto ay kabilang sa tuwid na linyang ito.

Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, muling basahin ang teoretikal na materyal. Mas tiyak, mas praktikal, nakakaligtaan ko ang maraming patunay.

Tumunog ang huling kampana, namatay ang bola ng pagtatapos, at sa likod ng mga tarangkahan ng aming katutubong paaralan, sa katunayan, naghihintay sa amin ang analytical geometry. Tapos na ang mga biro... Nagsisimula pa lang siguro =)

Nostalgically iwagayway namin ang hawakan sa pamilyar at pamilyar sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Dahil sa analytic geometry ito ay tiyak na ginagamit:

Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: , nasaan ang ilang mga numero. Kasabay nito, ang mga coefficient sabay-sabay ay hindi katumbas ng zero, dahil nawawalan ng kahulugan ang equation.

Magsuot tayo ng suit at itali ang isang equation na may slope. Una, inililipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:

Ang terminong may "x" ay dapat ilagay sa unang lugar:

Sa prinsipyo, ang equation ay mayroon nang anyo , ngunit ayon sa mga tuntunin ng mathematical etiquette, ang coefficient ng unang termino (sa kasong ito ) ay dapat na positibo. Pagbabago ng mga palatandaan:

Tandaan ang teknikal na tampok na ito! Ginagawa naming positibo ang unang koepisyent (madalas)!

Sa analytic geometry, ang equation ng isang tuwid na linya ay halos palaging ibibigay sa isang pangkalahatang anyo. Well, kung kinakailangan, madaling dalhin ito sa isang form na "paaralan" na may slope (maliban sa mga tuwid na linya na kahanay sa y-axis).

Tanungin natin ang ating sarili kung ano tama na marunong gumawa ng tuwid na linya? Dalawang puntos. Ngunit tungkol sa kasong ito sa pagkabata mamaya, ngayon ay nananatili sa panuntunan ng mga arrow. Ang bawat tuwid na linya ay may isang mahusay na tinukoy na slope, kung saan ito ay madaling "iangkop" vector.

Ang isang vector na kahanay ng isang linya ay tinatawag na vector ng direksyon ng linyang iyon.. Malinaw, ang anumang tuwid na linya ay may walang katapusang maraming mga vector ng direksyon, at lahat ng mga ito ay magiging collinear (co-directed o hindi - hindi mahalaga).

Ipapahiwatig ko ang vector ng direksyon tulad ng sumusunod: .

Ngunit ang isang vector ay hindi sapat upang bumuo ng isang tuwid na linya, ang vector ay libre at hindi nakakabit sa anumang punto ng eroplano. Samakatuwid, kinakailangan din na malaman ang ilang punto na kabilang sa linya.

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon?

Kung ang isang tiyak na punto na kabilang sa linya at ang nagdidirekta na vector ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay maaaring maipon ng formula:

Minsan ito ay tinatawag canonical equation ng linya .

Ano ang gagawin kapag isa sa mga coordinate ay zero, titingnan natin ang mga praktikal na halimbawa sa ibaba. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan - sabay sabay Ang mga coordinate ay hindi maaaring maging zero, dahil ang zero vector ay hindi tumutukoy ng isang tiyak na direksyon.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon

Desisyon: Bubuo tayo ng equation ng isang tuwid na linya ayon sa formula. Sa kasong ito:

Gamit ang mga katangian ng proporsyon, inaalis namin ang mga praksyon:

At dinadala namin ang equation sa isang pangkalahatang anyo:

Sagot:

Ang pagguhit sa gayong mga halimbawa, bilang panuntunan, ay hindi kinakailangan, ngunit para sa kapakanan ng pag-unawa:

Sa pagguhit, nakikita natin ang panimulang punto, ang orihinal na vector ng direksyon (maaari itong ipagpaliban mula sa anumang punto sa eroplano) at ang itinayong linya. Sa pamamagitan ng paraan, sa maraming mga kaso, ang pagtatayo ng isang tuwid na linya ay pinaka-maginhawang isinasagawa gamit ang slope equation. Ang aming equation ay madaling i-convert sa form at nang walang anumang problema, kumuha ng isa pang punto upang bumuo ng isang tuwid na linya.

Tulad ng nabanggit sa simula ng seksyon, ang isang linya ay may walang katapusan na maraming mga vector ng direksyon, at lahat sila ay collinear. Halimbawa, gumuhit ako ng tatlong tulad ng mga vector: . Alinmang direksyon na vector ang pipiliin natin, ang resulta ay palaging magiging parehong straight line equation.

Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nakadirekta na vector:

Paghiwa-hiwalayin ang proporsyon:

Hatiin ang magkabilang panig sa -2 at makuha ang pamilyar na equation:

Ang mga nais ay maaari ring subukan ang mga vectors o anumang iba pang collinear vector.

Ngayon lutasin natin ang kabaligtaran na problema:

Paano mahahanap ang vector ng direksyon sa pamamagitan ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya?

Napakasimple:

Kung ang isang tuwid na linya ay ibinibigay ng isang pangkalahatang equation sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung gayon ang vector ay ang vector ng direksyon ng tuwid na linya na ito.

Mga halimbawa ng paghahanap ng mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:

Binibigyang-daan kami ng pahayag na makahanap lamang ng isang vector ng direksyon mula sa isang walang katapusang set, ngunit hindi na namin kailangan ng higit pa. Bagaman sa ilang mga kaso, ipinapayong bawasan ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon:

Kaya, ang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na parallel sa axis, at ang mga coordinate ng resultang steering vector ay maginhawang hinati ng -2, pagkuha ng eksakto ang batayang vector bilang ang steering vector. Logically.

Katulad nito, ang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay sa axis, at hinahati ang mga coordinate ng vector sa pamamagitan ng 5, nakuha namin ang ort bilang direksyon ng vector.

Ngayon i-execute natin suriin ang halimbawa 3. Ang halimbawa ay tumaas, kaya ipinaalala ko sa iyo na sa loob nito ginawa namin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon.

Una sa lahat, ayon sa equation ng isang tuwid na linya, ibinabalik namin ang nagdidirekta na vector nito: - lahat ay maayos, nakuha namin ang orihinal na vector (sa ilang mga kaso, maaari itong maging collinear sa orihinal na vector, at ito ay karaniwang madaling makita sa pamamagitan ng proporsyonalidad ng kaukulang mga coordinate).

Pangalawa, ang mga coordinate ng punto ay dapat matugunan ang equation. Pinapalitan namin ang mga ito sa equation:

Nakuha na ang tamang pagkakapantay-pantay, na labis naming ikinatutuwa.

Konklusyon: Nakumpleto nang tama ang trabaho.

Halimbawa 4

Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Ito ay lubos na kanais-nais na gumawa ng isang tseke ayon sa algorithm na isinasaalang-alang lamang. Subukang palaging (kung maaari) suriin ang isang draft. Ito ay hangal na gumawa ng mga pagkakamali kung saan sila ay maaaring 100% iwasan.

Kung ang isa sa mga coordinate ng vector ng direksyon ay zero, napakasimpleng gawin:

Halimbawa 5

Desisyon: Ang formula ay hindi wasto dahil ang denominator sa kanang bahagi ay zero. May labasan! Gamit ang mga katangian ng proporsyon, muling isinulat namin ang formula sa form , at ang natitira ay pinagsama sa isang malalim na rut:

Sagot:

Pagsusulit:

1) Ibalik ang vector ng direksyon ng tuwid na linya:
– ang resultang vector ay collinear sa orihinal na vector ng direksyon.

2) Palitan ang mga coordinate ng punto sa equation:

Nakukuha ang tamang pagkakapantay-pantay

Konklusyon: natapos nang tama ang trabaho

Ang tanong ay lumitaw, bakit mag-abala sa formula kung mayroong isang unibersal na bersyon na gagana pa rin? May dalawang dahilan. Una, ang fractional formula mas mabuting tandaan. At pangalawa, ang disadvantage ng unibersal na formula ay iyon kapansin-pansing tumaas na panganib ng pagkalito kapag pinapalitan ang mga coordinate.

Halimbawa 6

Bumuo ng equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.

Bumalik tayo sa nasa lahat ng dako ng dalawang punto:

Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng dalawang puntos?

Kung ang dalawang puntos ay kilala, kung gayon ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito ay maaaring i-compile gamit ang formula:

Sa katunayan, ito ay isang uri ng formula, at narito kung bakit: kung ang dalawang puntos ay kilala, kung gayon ang vector ang magiging direksyon ng vector ng linyang ito. Sa aralin Mga vector para sa mga dummies isinasaalang-alang namin ang pinakasimpleng problema - kung paano hanapin ang mga coordinate ng isang vector mula sa dalawang puntos. Ayon sa problemang ito, ang mga coordinate ng vector ng direksyon:

Tandaan : ang mga puntos ay maaaring "mapalitan" at gamitin ang formula . Magiging pantay ang gayong desisyon.

Halimbawa 7

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya mula sa dalawang puntos .

Desisyon: Gamitin ang formula:

Sinusuklay namin ang mga denominador:

At i-shuffle ang deck:

Maginhawa na ngayon na alisin ang mga fractional na numero. Sa kasong ito, kailangan mong i-multiply ang parehong bahagi ng 6:

Buksan ang mga bracket at isaisip ang equation:

Sagot:

Pagsusulit ay halata - ang mga coordinate ng mga paunang punto ay dapat matugunan ang resultang equation:

1) Palitan ang mga coordinate ng punto:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

2) Palitan ang mga coordinate ng punto:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

Konklusyon: tama ang equation ng tuwid na linya.

Kung ang kahit isa ng mga puntos ay hindi nasiyahan ang equation, maghanap ng isang error.

Ito ay nagkakahalaga na tandaan na ang graphical na pag-verify sa kasong ito ay mahirap, dahil upang bumuo ng isang linya at makita kung ang mga puntos ay nabibilang dito , hindi ganoon kadali.

Mapapansin ko ang ilang mga teknikal na punto ng solusyon. Marahil sa problemang ito ay mas kapaki-pakinabang na gamitin ang formula ng salamin at, para sa parehong mga puntos gumawa ng equation:

Mayroong mas kaunting mga fraction. Kung gusto mo, maaari mong kumpletuhin ang solusyon hanggang sa dulo, ang resulta ay dapat na ang parehong equation.

Ang pangalawang punto ay tingnan ang panghuling sagot at tingnan kung maaari pa itong mas pasimplehin? Halimbawa, kung ang isang equation ay nakuha, pagkatapos ito ay ipinapayong bawasan ito ng dalawa: - ang equation ay magtatakda ng parehong tuwid na linya. Gayunpaman, ito ay isang paksa ng pag-uusap tungkol sa magkaparehong pag-aayos ng mga tuwid na linya.

Pagkatanggap ng sagot sa Halimbawa 7, kung sakali, sinuri ko kung ang LAHAT ng mga coefficient ng equation ay nahahati sa 2, 3 o 7. Bagaman, kadalasan ang mga naturang pagbawas ay ginagawa sa panahon ng solusyon.

Halimbawa 8

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos .

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, na magbibigay-daan lamang sa iyo upang mas maunawaan at gawin ang pamamaraan ng pagkalkula.

Katulad ng naunang talata: kung nasa formula ang isa sa mga denominator (direction vector coordinate) ay naglalaho, pagkatapos ay isusulat namin itong muli bilang . At muli, pansinin kung gaano siya naging awkward at nalilito. Wala akong nakikitang punto sa pagbibigay ng mga praktikal na halimbawa, dahil nalutas na natin ang gayong problema (tingnan ang Blg. 5, 6).

Tuwid na linyang normal na vector (normal na vector)

Ano ang normal? Sa madaling salita, ang normal ay isang patayo. Iyon ay, ang normal na vector ng isang linya ay patayo sa ibinigay na linya. Ito ay malinaw na ang anumang tuwid na linya ay may isang walang katapusang bilang ng mga ito (pati na rin ang pagdidirekta ng mga vectors), at ang lahat ng mga normal na vector ng tuwid na linya ay magiging collinear (codirectional o hindi - hindi mahalaga).

Ang pakikitungo sa kanila ay magiging mas madali kaysa sa mga vector ng direksyon:

Kung ang isang tuwid na linya ay ibinibigay ng isang pangkalahatang equation sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung gayon ang vector ay ang normal na vector ng tuwid na linyang ito.

Kung ang mga coordinate ng vector ng direksyon ay kailangang maingat na "hugot" mula sa equation, kung gayon ang mga coordinate ng normal na vector ay maaaring "matanggal".

Ang normal na vector ay palaging orthogonal sa direksyon ng vector ng linya. Ive-verify namin ang orthogonality ng mga vectors na ito gamit produkto ng tuldok:

Magbibigay ako ng mga halimbawa na may parehong mga equation tulad ng para sa vector ng direksyon:

Posible bang magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya, alam ang isang punto at isang normal na vector? Parang posible. Kung ang normal na vector ay kilala, kung gayon ang direksyon ng tuwid na linya mismo ay katangi-tanging tinutukoy - ito ay isang "matibay na istraktura" na may anggulo na 90 degrees.

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector?

Kung ang ilang punto na kabilang sa linya at ang normal na vector ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay ipinahayag ng formula:

Dito napunta ang lahat nang walang mga fraction at iba pang mga sorpresa. Ganyan ang ating normal na vector. Mahal ito. At respeto =)

Halimbawa 9

Bumuo ng equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector. Hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Desisyon: Gamitin ang formula:

Ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya ay nakuha, suriin natin:

1) "Alisin" ang mga coordinate ng normal na vector mula sa equation: - oo, sa katunayan, ang orihinal na vector ay nakuha mula sa kundisyon (o ang vector ay dapat na collinear sa orihinal na vector).

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa equation:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

Pagkatapos nating kumbinsihin na tama ang equation, kukumpletuhin natin ang pangalawa, mas madaling bahagi ng gawain. Hinugot namin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya:

Sagot:

Sa pagguhit, ang sitwasyon ay ang mga sumusunod:

Para sa mga layunin ng pagsasanay, isang katulad na gawain para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 10

Bumuo ng equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector. Hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Ang huling seksyon ng aralin ay ilalaan sa hindi gaanong karaniwan, ngunit pati na rin ang mahahalagang uri ng mga equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.
Equation ng isang tuwid na linya sa parametric form

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment ay may anyo , kung saan ang mga nonzero constants. Ang ilang uri ng mga equation ay hindi maaaring katawanin sa form na ito, halimbawa, direktang proporsyonalidad (dahil ang libreng termino ay zero at walang paraan upang makuha ang isa sa kanang bahagi).

Ito ay, sa makasagisag na pagsasalita, isang "teknikal" na uri ng equation. Ang karaniwang gawain ay upang kumatawan sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya bilang isang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment. Bakit ito maginhawa? Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment ay nagbibigay-daan sa mabilis mong mahanap ang mga punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may mga coordinate axes, na napakahalaga sa ilang mga problema ng mas mataas na matematika.

Hanapin ang punto ng intersection ng linya na may axis. Ni-reset namin ang "y", at ang equation ay nasa anyo . Ang nais na punto ay awtomatikong nakuha: .

Pareho sa axis ay ang punto kung saan ang linya ay nag-intersect sa y-axis.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at ang mga constants A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at C, posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Ni + C \u003d 0) - ang linya ay kahanay sa axis ng Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Oy axis

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis ng Ox

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ipakita sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, ang isang vector na may mga bahagi (A, B) ay patayo sa linyang ibinigay ng equation na Ax + By + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A(1, 2) patayo sa (3, -1).

Desisyon. Sa A = 3 at B = -1, binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya: 3x - y + C = 0. Upang mahanap ang coefficient C, pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na point A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid, C = -1 . Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos

Hayaang ibigay sa espasyo ang dalawang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa eroplano, ang straight line equation na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1 kung x 1 = x 2.

Fraction = k ay tinatawag slope factor tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Desisyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang slope

Kung ang kabuuang Ax + Wu + C = 0 ay humahantong sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang resultang equation equation ng isang tuwid na linya na may slopek.

Equation ng isang tuwid na linya na may vector ng punto at direksyon

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa talata na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang pagtatalaga ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direktang vector ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Ang bawat non-zero vector (α 1, α 2), ang mga bahagi nito ay nakakatugon sa kondisyon A α 1 + B α 2 = 0 ay tinatawag na directing vector ng linya

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Desisyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Alinsunod sa kahulugan, ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. para sa x = 1, y = 2, nakukuha namin ang C / A = -3, i.e. gustong equation:

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, paghahati sa –C, nakukuha natin: o

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may x-axis, at b- ang coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang Oy axis.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linyang x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya

Kung ang magkabilang panig ng equation na Ax + Vy + C = 0 ay i-multiply sa numero , na tinatawag na normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normal na equation ng isang tuwid na linya. Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang ang μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng equation para sa linyang ito.

ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

; cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya na kahanay sa mga axes o dumadaan sa pinagmulan.

Halimbawa. Pinutol ng tuwid na linya ang pantay na positibong mga segment sa mga coordinate axes. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung ang lugar ng tatsulok na nabuo ng mga segment na ito ay 8 cm 2.

Desisyon. Ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A (-2, -3) at ang pinagmulan.

Desisyon. Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: , kung saan x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

.

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 . Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama. Ang mga tuwid na linya Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang mga coefficient A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ay proporsyonal. Kung din С 1 = λС, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang ibinigay na linya

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M patungo sa isang naibigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang x 1 at y 1 na mga coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Napatunayan na ang theorem.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Desisyon. Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Desisyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Ang linyang dumadaan sa puntong K(x 0; y 0) at kahanay ng linyang y = kx + a ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Kung saan ang k ay ang slope ng tuwid na linya.

Alternatibong formula:
Ang linyang dumadaan sa puntong M 1 (x 1 ; y 1) at kahanay ng linyang Ax+By+C=0 ay kinakatawan ng equation

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong K( ;) parallel sa linyang y = x + .

Halimbawa #1. Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 0 (-2.1) at sa parehong oras:
a) parallel sa tuwid na linya 2x+3y -7 = 0;
b) patayo sa linya 2x+3y -7 = 0.
Desisyon . Katawanin natin ang slope equation bilang y = kx + a . Upang gawin ito, ililipat namin ang lahat ng mga halaga maliban sa y sa kanang bahagi: 3y = -2x + 7 . Pagkatapos ay hatiin natin ang kanang bahagi sa coefficient 3 . Nakukuha namin ang: y = -2/3x + 7/3
Hanapin ang equation na NK na dumadaan sa puntong K(-2;1) parallel sa tuwid na linya y = -2 / 3 x + 7 / 3
Ang pagpapalit ng x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 ay nakukuha namin:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
o
y = -2 / 3 x - 1 / 3 o 3y + 2x +1 = 0

Halimbawa #2. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na kahanay ng tuwid na linya 2x + 5y = 0 at bumubuo, kasama ng mga coordinate axes, isang tatsulok na ang lugar ay 5.
Desisyon . Dahil ang mga linya ay parallel, ang equation ng nais na linya ay 2x + 5y + C = 0. Ang lugar ng isang right triangle, kung saan ang a at b ang mga binti nito. Hanapin ang mga punto ng intersection ng nais na linya na may mga coordinate axes:
;
.
Kaya, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Palitan sa formula para sa lugar: . Kumuha kami ng dalawang solusyon: 2x + 5y + 10 = 0 at 2x + 5y - 10 = 0 .

Halimbawa #3. Isulat ang equation ng linyang dumadaan sa punto (-2; 5) at ang parallel na linya 5x-7y-4=0 .
Desisyon. Ang tuwid na linyang ito ay maaaring katawanin ng equation na y = 5/7 x – 4/7 (dito a = 5/7). Ang equation ng gustong linya ay y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Halimbawa #4. Ang paglutas ng halimbawa 3 (A=5, B=-7) gamit ang formula (2), makikita natin ang 5(x+2)-7(y-5)=0.

Halimbawa numero 5. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto (-2;5) at isang parallel na tuwid na linya 7x+10=0.
Desisyon. Dito A=7, B=0. Ang formula (2) ay nagbibigay ng 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. Ang pormula (1) ay hindi naaangkop, dahil ang equation na ito ay hindi malulutas nang may kinalaman sa y (ang tuwid na linyang ito ay parallel sa y-axis).

Mga katangian ng isang tuwid na linya sa Euclidean geometry.

Mayroong walang katapusang maraming mga linya na maaaring iguhit sa anumang punto.

Sa pamamagitan ng alinmang dalawang di-nagtutugmang punto, mayroon lamang isang tuwid na linya.

Dalawang di-nagkataon na linya sa eroplano ay maaaring mag-intersect sa isang punto, o ay

parallel (sumusunod mula sa nauna).

Sa tatlong-dimensional na espasyo, mayroong tatlong opsyon para sa relatibong posisyon ng dalawang linya:

• nagsalubong ang mga linya;

• tuwid na mga linya ay parallel;

• nagsalubong ang mga tuwid na linya.

Diretso linya- algebraic curve ng unang order: sa Cartesian coordinate system, isang tuwid na linya

ay ibinigay sa eroplano sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree (linear equation).

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at pare-pareho A, B hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatan

straight line equation. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at Sa Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Ni + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis Oh

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring kinakatawan sa iba't ibang anyo depende sa anumang ibinigay

paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, isang vector na may mga bahagi (A, B)

patayo sa linya na ibinigay ng equation

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto A(1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Desisyon. Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C

pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid

C = -1. Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang magbigay ng dalawang puntos sa espasyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) at M2 (x 2, y 2 , z 2), pagkatapos straight line equation,

dumaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa

eroplano, ang equation ng isang tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1, kung x 1 = x 2 .

Maliit na bahagi = k tinawag slope factor tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Desisyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 dalhin sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang resultang equation

equation ng isang tuwid na linya na may slope k.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang punto at isang nakadirekta na vector.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang gawain

isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang vector ng direksyon ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Bawat di-zero na vector (α 1 , α 2), na ang mga bahagi ay nakakatugon sa kondisyon

Aα 1 + Bα 2 = 0 tinawag vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Desisyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Ayon sa kahulugan,

ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

sa x=1, y=2 nakukuha natin C/ A = -3, ibig sabihin. gustong equation:

x + y - 3 = 0

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, paghahati ng -C, nakukuha natin:

o , saan

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng intersection point

tuwid na may ehe oh a b- ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may axis OU.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya.

Kung magkabilang panig ng equation Ah + Wu + C = 0 hatiin sa bilang , na tinatawag na

normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal na equation ng isang tuwid na linya.

Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang μ * C< 0.

R- ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinagmulan hanggang sa linya,

a φ - ang anggulo na nabuo ng patayo na ito sa positibong direksyon ng axis Oh.

Halimbawa. Ibinigay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng mga equation

itong tuwid na linya.

Ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

Ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

Equation ng isang tuwid na linya:

cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya,

parallel sa mga palakol o dumadaan sa pinanggalingan.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung dalawang linya ang ibinigay y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, pagkatapos ay ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito

ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo

kung k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorama.

Direkta Ah + Wu + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay parallel kapag ang mga coefficient ay proporsyonal

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kung din С 1 \u003d λС, pagkatapos ay nagtutugma ang mga linya. Mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya

ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto ay patayo sa isang ibinigay na linya.

Kahulugan. Isang linyang dumadaan sa isang punto M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y = kx + b

kinakatawan ng equation:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung ang isang punto ay ibinigay M(x 0, y 0), tapos ang layo ng pila Ah + Wu + C = 0 tinukoy bilang:

Patunay. Hayaan ang punto M 1 (x 1, y 1)- ang base ng patayo ay bumaba mula sa punto M para sa isang naibigay

direkta. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga puntos M at M 1:

(1)

Mga coordinate x 1 at 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo

binigay na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Napatunayan na ang theorem.

Ang artikulong ito ay nagpapakita ng derivation ng equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto sa isang rectangular coordinate system na matatagpuan sa isang eroplano. Nakukuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto sa isang rectangular coordinate system. Biswal naming ipapakita at lutasin ang ilang mga halimbawa na nauugnay sa materyal na sakop.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bago makuha ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto, ito ay kinakailangan upang bigyang-pansin ang ilang mga katotohanan. Mayroong isang axiom na nagsasabing sa pamamagitan ng dalawang di-nagkataon na mga punto sa isang eroplano ay posible na gumuhit ng isang tuwid na linya at isa lamang. Sa madaling salita, ang dalawang ibinigay na mga punto ng eroplano ay tinutukoy ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito.

Kung ang eroplano ay ibinigay ng rectangular coordinate system na Oxy, kung gayon ang anumang tuwid na linya na inilalarawan dito ay tumutugma sa equation ng tuwid na linya sa eroplano. Mayroon ding koneksyon sa nagdidirekta na vector ng tuwid na linya. Ang mga datos na ito ay sapat na upang iguhit ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na punto.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paglutas ng katulad na problema. Kinakailangang buuin ang equation ng isang tuwid na linya a na dumadaan sa dalawang hindi magkatugmang puntos na M 1 (x 1, y 1) at M 2 (x 2, y 2) na matatagpuan sa Cartesian coordinate system.

Sa canonical equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano, na may anyo na x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , ang isang rectangular coordinate system O x y ay tinukoy na may isang tuwid na linya na nag-intersect dito sa isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) na may gabay na vector a → = (a x , a y) .

Kinakailangang buuin ang canonical equation ng tuwid na linya a, na dadaan sa dalawang puntos na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) at M 2 (x 2, y 2) .

Ang tuwid na linya a ay may nakadirekta na vector M 1 M 2 → na may mga coordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1), dahil ito ay nag-intersect sa mga puntos na M 1 at M 2. Nakuha namin ang kinakailangang data upang mabago ang canonical equation na may mga coordinate ng vector ng direksyon M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) at ang mga coordinate ng mga puntos na M 1 na nakahiga sa kanila (x 1, y 1) at M 2 (x 2 , y 2) . Nakukuha namin ang isang equation ng anyong x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Kasunod ng mga kalkulasyon, isinusulat namin ang mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano na dumadaan sa dalawang puntos na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) at M 2 (x 2, y 2) . Nakukuha namin ang isang equation ng form x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ o x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 1

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa 2 ibinigay na puntos na may mga coordinate M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Desisyon

Ang canonical equation para sa isang tuwid na linya na nagsasalubong sa dalawang puntos na may mga coordinate x 1 , y 1 at x 2 , y 2 ay nasa anyong x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Ayon sa kondisyon ng problema, mayroon kaming x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Kinakailangang palitan ang mga numerical na halaga sa equation x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Mula dito nakuha natin na ang canonical equation ay kukuha ng anyo x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Sagot: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Kung kinakailangan upang malutas ang isang problema sa isang iba't ibang uri ng equation, pagkatapos ay para sa isang panimula maaari kang pumunta sa kanonikal, dahil mas madaling makarating sa iba pa mula dito.

Halimbawa 2

Buuin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate M 1 (1, 1) at M 2 (4, 2) sa O x y coordinate system.

Desisyon

Una kailangan mong isulat ang canonical equation ng isang naibigay na linya na dumadaan sa ibinigay na dalawang puntos. Nakakuha tayo ng equation ng anyong x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Dinadala namin ang canonical equation sa nais na anyo, pagkatapos ay makuha namin:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Sagot: x - 3 y + 2 = 0 .

Ang mga halimbawa ng naturang mga gawain ay isinasaalang-alang sa mga aklat-aralin sa paaralan sa mga aralin sa algebra. Ang mga gawain sa paaralan ay naiiba sa na ang equation ng isang tuwid na linya na may isang slope coefficient ay kilala, na may form na y \u003d k x + b. Kung kailangan mong hanapin ang halaga ng slope k at ang numero b, kung saan ang equation y \u003d k x + b ay tumutukoy sa isang linya sa O x y system na dumadaan sa mga puntos na M 1 (x 1, y 1) at M 2 (x 2, y 2) , kung saan x 1 ≠ x 2 . Kapag x 1 = x 2 , pagkatapos ay ang slope ay tumatagal sa halaga ng infinity, at ang tuwid na linya M 1 M 2 ay tinukoy ng isang pangkalahatang hindi kumpletong equation ng form na x - x 1 = 0 .

Dahil ang mga tuldok M 1 at M 2 ay nasa isang tuwid na linya, kung gayon ang kanilang mga coordinate ay nakakatugon sa equation na y 1 = k x 1 + b at y 2 = k x 2 + b. Kinakailangang lutasin ang sistema ng mga equation na y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b na may paggalang sa k at b.

Upang gawin ito, nakita namin ang k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Sa ganitong mga halaga ng k at b, ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa ibinigay na dalawang puntos ay tumatagal ng sumusunod na anyo y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ang pagsasaulo ng napakalaking bilang ng mga formula nang sabay-sabay ay hindi gagana. Upang gawin ito, kinakailangan upang madagdagan ang bilang ng mga pag-uulit sa paglutas ng mga problema.

Halimbawa 3

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na may slope na dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate M 2 (2, 1) at y = k x + b.

Desisyon

Upang malutas ang problema, gumagamit kami ng isang formula na may slope na may form na y \u003d k x + b. Ang mga coefficient k at b ay dapat kumuha ng ganoong halaga na ang equation na ito ay tumutugma sa isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos na may mga coordinate M 1 (- 7 , - 5) at M 2 (2 , 1) .

puntos M 1 at M 2 na matatagpuan sa isang tuwid na linya, kung gayon ang kanilang mga coordinate ay dapat baligtarin ang equation na y = k x + b ang tamang pagkakapantay-pantay. Mula dito nakuha natin na - 5 = k · (- 7) + b at 1 = k · 2 + b. Pagsamahin natin ang equation sa system - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b at lutasin.

Sa pagpapalit, nakuha namin iyon

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Ngayon ang mga halaga k = 2 3 at b = - 1 3 ay inihahalili sa equation na y = k x + b . Nakuha namin na ang nais na equation na dumadaan sa mga ibinigay na puntos ay isang equation na may anyo na y = 2 3 x - 1 3 .

Ang ganitong paraan ng paglutas ay paunang tinutukoy ang paggasta ng isang malaking halaga ng oras. Mayroong isang paraan kung saan ang gawain ay malulutas nang literal sa dalawang hakbang.

Isinulat namin ang canonical equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa M 2 (2, 1) at M 1 (- 7, - 5) , na may anyong x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Ngayon ay lumipat tayo sa equation ng slope. Nakukuha natin iyon: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Sagot: y = 2 3 x - 1 3 .

Kung sa tatlong-dimensional na espasyo mayroong isang hugis-parihaba na coordinate system O x y z na may dalawang ibinigay na di-nagkataon na mga puntos na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), ang tuwid na linya M na dumadaan sa kanila 1 M 2 , ito ay kinakailangan upang makuha ang equation ng linyang ito.

Mayroon tayong mga kanonikal na equation ng anyong x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z at parametric equation ng anyong x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ay nagagawang magtakda ng isang linya sa O x y z coordinate system na dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate (x 1, y 1, z 1) na may nakadirekta na vector a → = (a x, a y, a z) .

Tuwid M 1 M 2 ay may vector ng direksyon sa anyong M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , kung saan dumadaan ang linya sa puntong M 1 (x 1 , y 1 , z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), kaya ang canonical equation ay maaaring nasa anyong x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, naman, parametric x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Isaalang-alang ang isang figure na nagpapakita ng 2 ibinigay na mga puntos sa espasyo at ang equation ng isang tuwid na linya.

Halimbawa 4

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na tinukoy sa isang rectangular coordinate system O x y z ng tatlong-dimensional na espasyo, na dumadaan sa ibinigay na dalawang puntos na may mga coordinate M 1 (2, - 3, 0) at M 2 (1, - 3, - 5 ).

Desisyon

Kailangan nating hanapin ang canonical equation. Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa tatlong-dimensional na espasyo, nangangahulugan ito na kapag ang isang tuwid na linya ay dumaan sa mga ibinigay na punto, ang nais na canonical equation ay kukuha ng anyo na x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon tayong x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Ito ay sumusunod na ang mga kinakailangang equation ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Sagot: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter