Ang ilang mga algebraic na halimbawa ng isang uri ay may kakayahang nakakatakot sa mga mag-aaral. Ang mga mahabang expression ay hindi lamang nakakatakot, ngunit napakahirap ding kalkulahin. Sinusubukang agad na maunawaan kung ano ang kasunod at kung ano ang kasunod, upang hindi malito nang matagal. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang mga mathematician ay palaging nagsisikap na gawing simple ang "kakila-kilabot" na gawain hangga't maaari at pagkatapos lamang magpatuloy upang malutas ito. Kakatwa, ang gayong panlilinlang ay lubos na nagpapabilis sa proseso.

Ang pagpapasimple ay isa sa mga pangunahing punto sa algebra. Kung sa mga simpleng gawain posible pa ring gawin nang wala ito, kung gayon ang mas mahirap na kalkulahin ang mga halimbawa ay maaaring "masyadong matigas". Dito nagagamit ang mga kasanayang ito! Higit pa rito, hindi kinakailangan ang kumplikadong kaalaman sa matematika: sapat na upang matandaan at matutunan kung paano isabuhay ang ilang mga pangunahing pamamaraan at formula.

Anuman ang pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon, kapag nilulutas ang anumang expression, ito ay mahalaga sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na may mga numero:

1. panaklong;
2. exponentiation;
3. pagpaparami;
4. dibisyon;
5. karagdagan;
6. pagbabawas.

Ang huling dalawang puntos ay maaaring ligtas na mapalitan at hindi ito makakaapekto sa resulta sa anumang paraan. Ngunit ang pagdaragdag ng dalawang kalapit na numero, kapag sa tabi ng isa sa mga ito ay may isang tanda ng pagpaparami, ay ganap na imposible! Ang sagot, kung mayroon man, ay mali. Samakatuwid, kailangan mong tandaan ang pagkakasunud-sunod.

Ang paggamit ng ganyan

Ang mga nasabing elemento ay kinabibilangan ng mga numero na may variable ng parehong pagkakasunud-sunod o parehong antas. Mayroon ding mga tinatawag na libreng miyembro na wala sa tabi nila ang letter designation of the unknown.

Ang ilalim na linya ay na sa kawalan ng panaklong Maaari mong pasimplehin ang expression sa pamamagitan ng pagdaragdag o pagbabawas ng like.

Ang ilang mga mapaglarawang halimbawa:

• 8x 2 at 3x 2 - ang parehong mga numero ay may parehong pangalawang variable na pagkakasunud-sunod, kaya sila ay magkatulad at kapag idinagdag, sila ay pinasimple sa (8+3)x 2 =11x 2, habang kapag ibawas, ito ay lumalabas na (8-3) x 2 =5x 2;
• 4x 3 at 6x - at dito ang "x" ay may ibang degree;
• 2y 7 at 33x 7 - naglalaman ng iba't ibang mga variable, samakatuwid, tulad ng sa nakaraang kaso, hindi sila nabibilang sa mga katulad.

Pag-factor ng Numero

Ang maliit na mathematical trick na ito, kung matututunan mo kung paano gamitin ito nang tama, ay makakatulong sa iyo na makayanan ang isang nakakalito na problema nang higit sa isang beses sa hinaharap. At madaling maunawaan kung paano gumagana ang "system": ang isang agnas ay isang produkto ng ilang mga elemento, ang pagkalkula kung saan ay nagbibigay ng orihinal na halaga. Kaya, ang 20 ay maaaring katawanin bilang 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, o iba pang paraan.

Sa isang tala: ang mga multiplier ay palaging pareho sa mga divisors. Kaya kailangan mong maghanap ng gumaganang "pares" para sa pagpapalawak sa mga numero kung saan ang orihinal ay nahahati nang walang natitira.

Maaari kang magsagawa ng naturang operasyon kapwa sa mga libreng miyembro at may mga digit na naka-attach sa isang variable. Ang pangunahing bagay ay hindi mawala ang huli sa panahon ng mga kalkulasyon - kahit na pagkatapos ng agnas, ang hindi alam ay hindi maaaring dalhin at "wala saan." Ito ay nananatili sa isa sa mga kadahilanan:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 \u003d (15y 2) 4.

Mga pangunahing numero na maaari lamang hatiin ng kanilang mga sarili o 1 hindi kailanman kadahilanan - ito ay walang katuturan..

Pangunahing Paraan ng Pagpapasimple

Ang unang bagay na nakakakuha ng mata:

• ang pagkakaroon ng mga bracket;
• mga fraction;
• mga ugat.

Ang mga algebraic na halimbawa sa kurikulum ng paaralan ay madalas na pinagsama-sama sa pag-aakalang maaari silang pasimplehin nang maganda.

Mga Pagkalkula ng Bracket

Bigyang-pansin ang karatula sa harap ng mga bracket! Ang multiplikasyon o paghahati ay inilalapat sa bawat elemento sa loob, at minus - binabaligtad ang umiiral na "+" o "-" na mga palatandaan.

Ang mga panaklong ay kinakalkula ayon sa mga patakaran o ayon sa mga pormula ng pinaikling multiplikasyon, pagkatapos ay ibinigay ang mga katulad.

Pagbabawas ng fraction

Bawasan ang mga fraction ay madali din. Sila mismo ay "kusang tumakas" paminsan-minsan, ito ay nagkakahalaga ng paggawa ng mga operasyon sa pagdadala ng mga naturang miyembro. Ngunit maaari mong pasimplehin ang halimbawa kahit na bago ito: bigyang pansin ang numerator at denominator. Kadalasan ay naglalaman ang mga ito ng tahasan o nakatagong mga elemento na maaaring bawasan sa isa't isa. Totoo, kung sa unang kaso kailangan mo lamang tanggalin ang labis, sa pangalawa ay kailangan mong mag-isip, na nagdadala ng bahagi ng expression sa form para sa pagpapasimple. Mga paraan na ginamit:

• paghahanap at bracketing ng pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator;
• paghahati sa bawat nangungunang elemento ng denominator.

Kapag ang isang ekspresyon o bahagi nito ay nasa ilalim ng ugat, ang pangunahing problema sa pagpapasimple ay halos kapareho ng kaso sa mga fraction. Kinakailangan na maghanap ng mga paraan upang ganap na mapupuksa ito o, kung hindi ito posible, upang mabawasan ang tanda na nakakasagabal sa mga kalkulasyon. Halimbawa, sa hindi nakakagambala √(3) o √(7).

Ang isang tiyak na paraan upang pasimplehin ang radikal na pagpapahayag ay subukang i-factor ito, ang ilan sa mga ito ay nasa labas ng karatula. Isang mapaglarawang halimbawa: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Iba pang maliliit na trick at nuances:

• ang pagpapasimpleng operasyon na ito ay maaaring isagawa gamit ang mga praksyon, na alisin ito mula sa pag-sign pareho sa kabuuan at hiwalay bilang isang numerator o denominator;
• imposibleng mabulok at kunin ang isang bahagi ng kabuuan o pagkakaiba sa kabila ng ugat;
• kapag nagtatrabaho sa mga variable, siguraduhing isaalang-alang ang antas nito, dapat itong katumbas ng o isang multiple ng root para sa posibilidad ng pag-render: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• minsan pinahihintulutan na alisin ang radical variable sa pamamagitan ng pagtaas nito sa fractional power: √ (y 3)=y 3/2.

Pagpapasimple ng Power Expression

Kung sa kaso ng mga simpleng kalkulasyon sa pamamagitan ng minus o plus, ang mga halimbawa ay pinasimple sa pamamagitan ng pagdadala ng mga katulad, paano naman kapag nagpaparami o naghahati ng mga variable na may iba't ibang kapangyarihan? Madali silang gawing simple sa pamamagitan ng pag-alala sa dalawang pangunahing punto:

1. Kung mayroong multiplication sign sa pagitan ng mga variable, idaragdag ang mga exponent.
2. Kapag sila ay hinati sa isa't isa, ang parehong denominator ay ibabawas mula sa antas ng numerator.

Ang tanging kundisyon para sa naturang pagpapasimple ay ang parehong mga termino ay may parehong batayan. Mga halimbawa para sa kalinawan:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Napansin namin na ang mga operasyon na may mga numerong halaga sa harap ng mga variable ay nangyayari ayon sa karaniwang mga panuntunan sa matematika. At kung titingnan mong mabuti, nagiging malinaw na ang mga elemento ng kapangyarihan ng expression na "gumagana" sa katulad na paraan:

• Ang pagpapataas ng isang miyembro sa isang kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami nito sa sarili nitong isang tiyak na bilang ng beses, ibig sabihin, x 2 \u003d x × x;
• Ang dibisyon ay magkatulad: kung palawakin mo ang antas ng numerator at denominator, kung gayon ang ilan sa mga variable ay mababawasan, habang ang iba ay "natipon", na katumbas ng pagbabawas.

Tulad ng sa anumang negosyo, kapag pinasimple ang mga expression ng algebraic, hindi lamang ang kaalaman sa mga pangunahing kaalaman ay kinakailangan, kundi pati na rin ang pagsasanay. Pagkatapos lamang ng ilang mga aralin, ang mga halimbawa na minsan ay tila kumplikado ay mababawasan nang walang kahirap-hirap, na magiging maikli at madaling malutas.

Video

Tutulungan ka ng video na ito na maunawaan at matandaan kung paano pinasimple ang mga expression.

Hindi nakakuha ng sagot sa iyong tanong? Magmungkahi ng paksa sa mga may-akda.

Noong ikalimang siglo BC, ang sinaunang pilosopong Griyego na si Zeno ng Elea ay nagbalangkas ng kanyang tanyag na aporias, na ang pinakatanyag ay ang aporia na "Achilles at ang pagong". Narito kung paano ito tunog:

Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at nasa likod nito ng isang libong hakbang. Sa panahon kung saan tumatakbo si Achilles sa distansyang ito, gumagapang ang pagong ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay nakatakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Magpapatuloy ang proseso nang walang hanggan, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.

Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Lahat sila, sa isang paraan o iba pa, ay itinuturing na aporias ni Zeno. Napakalakas ng shock kaya" ... ang mga talakayan ay nagpapatuloy sa kasalukuyang panahon, ang komunidad na pang-agham ay hindi pa nakarating sa isang karaniwang opinyon tungkol sa kakanyahan ng mga kabalintunaan ... mathematical analysis, set theory, bagong pisikal at pilosopiko na mga diskarte ay kasangkot sa pag-aaral ng isyu ; wala sa kanila ang naging isang pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang panlilinlang.

Mula sa pananaw ng matematika, malinaw na ipinakita ni Zeno sa kanyang aporia ang paglipat mula sa halaga hanggang. Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng paglalapat sa halip na mga constant. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paglalapat ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nailalapat sa aporia ni Zeno. Ang paggamit ng aming karaniwang lohika ay humahantong sa amin sa isang bitag. Tayo, sa pamamagitan ng pagkawalang-kilos ng pag-iisip, ay naglalapat ng pare-parehong mga yunit ng oras sa kapalit. Sa pisikal na pananaw, mukhang bumagal ang oras hanggang sa tuluyang huminto sa sandaling naabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na maabutan ni Achilles ang pagong.

Kung ibabalik natin ang lohika na nakasanayan natin, lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na segment ng landas nito ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."

Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa mga katumbas na halaga. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:

Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras, katumbas ng una, si Achilles ay tatakbo ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay walong daang mga hakbang sa unahan ng pagong.

Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi masusupil na bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles at ang pagong". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.

Ang isa pang kawili-wiling aporia ni Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:

Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nakapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.

Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay napagtagumpayan nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang lumilipad na arrow ay nakapahinga sa iba't ibang mga punto sa kalawakan, na, sa katunayan, ay paggalaw. May isa pang punto na dapat pansinin dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada, imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy ang katotohanan ng paggalaw ng kotse, dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa magkaibang mga punto sa oras ay kailangan, ngunit hindi ito magagamit upang matukoy ang distansya. Upang matukoy ang distansya sa kotse, kailangan mo ng dalawang litrato na kinuha mula sa magkakaibang mga punto sa espasyo nang sabay, ngunit hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw mula sa kanila (natural, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya). Ang gusto kong ituro sa partikular ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay dalawang magkaibang bagay na hindi dapat malito dahil nagbibigay sila ng magkakaibang pagkakataon para sa paggalugad.

Miyerkules, Hulyo 4, 2018

Napakahusay na inilarawan sa Wikipedia ang mga pagkakaiba sa pagitan ng set at multiset. Tumingin kami.

Tulad ng nakikita mo, "ang set ay hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaparehong elemento", ngunit kung mayroong magkaparehong elemento sa set, ang nasabing set ay tinatawag na "multiset". Hindi kailanman mauunawaan ng mga makatwirang nilalang ang gayong lohika ng kahangalan. Ito ang antas ng pakikipag-usap ng mga parrot at sinanay na unggoy, kung saan ang isip ay wala sa salitang "ganap." Ang mga mathematician ay kumikilos bilang mga ordinaryong tagapagsanay, na ipinangangaral sa amin ang kanilang mga walang katotohanan na ideya.

Noong unang panahon, ang mga inhinyero na gumawa ng tulay ay nasa isang bangka sa ilalim ng tulay sa panahon ng mga pagsubok sa tulay. Kung gumuho ang tulay, namatay ang pangkaraniwang inhinyero sa ilalim ng mga durog na bato ng kanyang nilikha. Kung ang tulay ay makatiis sa karga, ang mahuhusay na inhinyero ay gumawa ng iba pang mga tulay.

Gaano man magtago ang mga mathematician sa likod ng pariralang "isipin mo, nasa bahay ako", o sa halip ay "pag-aaral ng matematika ng mga abstract na konsepto", mayroong isang pusod na hindi mapaghihiwalay na nag-uugnay sa kanila sa katotohanan. Ang pusod na ito ay pera. Ilapat natin ang mathematical set theory sa mga mathematician mismo.

Nag-aral kami ng mabuti sa matematika at ngayon ay nakaupo kami sa cash desk, nagbabayad ng suweldo. Narito ang isang mathematician ay pumunta sa amin para sa kanyang pera. Binibilang namin ang buong halaga sa kanya at inilalatag ito sa aming mesa sa iba't ibang mga tambak, kung saan naglalagay kami ng mga bill ng parehong denominasyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng isang bill mula sa bawat tumpok at ibibigay sa mathematician ang kanyang "mathematical salary set". Ipinaliwanag namin ang matematika na matatanggap niya ang natitirang mga bayarin kapag napatunayan niya na ang set na walang magkatulad na elemento ay hindi katumbas ng set na may magkaparehong elemento. Dito nagsisimula ang saya.

Una sa lahat, gagana ang lohika ng mga kinatawan: "maaari mong ilapat ito sa iba, ngunit hindi sa akin!" Dagdag pa, magsisimula ang mga katiyakan na mayroong iba't ibang mga numero ng banknote sa mga banknote ng parehong denominasyon, na nangangahulugang hindi sila maituturing na magkakaparehong elemento. Well, binibilang namin ang suweldo sa mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito maaalala ng mathematician ang pisika: ang iba't ibang mga barya ay may iba't ibang dami ng dumi, ang kristal na istraktura at pag-aayos ng mga atomo para sa bawat barya ay natatangi ...

At ngayon mayroon akong pinaka-kagiliw-giliw na tanong: nasaan ang hangganan kung saan ang mga elemento ng isang multiset ay nagiging mga elemento ng isang set at vice versa? Ang ganitong linya ay hindi umiiral - ang lahat ay napagpasyahan ng mga shaman, ang agham dito ay hindi kahit na malapit.

Tumingin dito. Pumili kami ng mga football stadium na may parehong lugar ng field. Ang lugar ng mga patlang ay pareho, na nangangahulugang mayroon kaming multiset. Ngunit kung isasaalang-alang natin ang mga pangalan ng parehong mga istadyum, marami tayong makukuha, dahil magkaiba ang mga pangalan. Gaya ng nakikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong set at multiset sa parehong oras. Paano tama? At dito ang mathematician-shaman-shuller ay kumuha ng isang trump ace mula sa kanyang manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa isang set o isang multiset. Sa anumang kaso, kukumbinsihin niya tayo na tama siya.

Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shaman sa teorya ng set, tinali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: paano naiiba ang mga elemento ng isang set mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "maiisip bilang hindi isang solong kabuuan" o "hindi maiisip bilang isang solong kabuuan."

Linggo, Marso 18, 2018

Ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay isang sayaw ng mga shaman na may tamburin, na walang kinalaman sa matematika. Oo, sa mga aralin sa matematika ay tinuturuan tayong hanapin ang kabuuan ng mga digit ng isang numero at gamitin ito, ngunit sila ay mga shaman para doon, upang turuan ang kanilang mga inapo ng kanilang mga kasanayan at karunungan, kung hindi, ang mga shaman ay mamamatay lamang.

Kailangan mo ba ng patunay? Buksan ang Wikipedia at subukang hanapin ang pahina ng "Sum of Digits of a Number". Wala siya. Walang formula sa matematika kung saan makikita mo ang kabuuan ng mga digit ng anumang numero. Pagkatapos ng lahat, ang mga numero ay mga graphic na simbolo kung saan namin isinusulat ang mga numero, at sa wika ng matematika, ang gawain ay ganito ang tunog: "Hanapin ang kabuuan ng mga graphic na simbolo na kumakatawan sa anumang numero." Hindi malulutas ng mga mathematician ang problemang ito, ngunit magagawa ito ng mga shamans.

Alamin natin kung ano at paano natin gagawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng isang naibigay na numero. At kaya, sabihin nating mayroon tayong numerong 12345. Ano ang kailangang gawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito? Isaalang-alang natin ang lahat ng mga hakbang sa pagkakasunud-sunod.

1. Isulat ang numero sa isang papel. Ano'ng nagawa natin? Na-convert namin ang numero sa isang numerong graphic na simbolo. Ito ay hindi isang mathematical operation.

2. Pinutol namin ang isang natanggap na larawan sa ilang mga larawan na naglalaman ng magkakahiwalay na mga numero. Ang pagputol ng larawan ay hindi isang mathematical operation.

3. I-convert ang mga indibidwal na graphic na character sa mga numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

4. Pagsamahin ang mga resultang numero. Ngayon ay matematika na.

Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 12345 ay 15. Ito ang "mga kurso sa pagputol at pananahi" mula sa mga shaman na ginagamit ng mga mathematician. Ngunit hindi lang iyon.

Mula sa punto ng view ng matematika, hindi mahalaga kung aling sistema ng numero ang isinusulat namin ang numero. Kaya, sa iba't ibang mga sistema ng numero, mag-iiba ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero. Sa matematika, ang sistema ng numero ay ipinahiwatig bilang isang subscript sa kanan ng numero. Sa isang malaking bilang ng 12345, hindi ko nais na lokohin ang aking ulo, isaalang-alang ang numero 26 mula sa artikulo tungkol sa. Isulat natin ang numerong ito sa binary, octal, decimal at hexadecimal number system. Hindi namin isasaalang-alang ang bawat hakbang sa ilalim ng mikroskopyo, nagawa na namin iyon. Tingnan natin ang resulta.

Tulad ng nakikita mo, sa iba't ibang mga sistema ng numero, ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay iba. Ang resultang ito ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay tulad ng paghahanap ng lugar ng isang parihaba sa metro at sentimetro ay magbibigay sa iyo ng ganap na magkakaibang mga resulta.

Ang zero sa lahat ng mga sistema ng numero ay mukhang pareho at walang kabuuan ng mga digit. Ito ay isa pang argumento na pabor sa katotohanan na . Isang tanong para sa mga mathematician: paano ito tinutukoy sa matematika na hindi isang numero? Ano, para sa mga mathematician, walang iba kundi mga numero ang umiiral? Para sa mga shaman, maaari kong payagan ito, ngunit para sa mga siyentipiko, hindi. Ang katotohanan ay hindi lamang tungkol sa mga numero.

Ang resulta na nakuha ay dapat isaalang-alang bilang patunay na ang mga sistema ng numero ay mga yunit ng pagsukat ng mga numero. Pagkatapos ng lahat, hindi natin maihahambing ang mga numero sa iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Kung ang parehong mga aksyon na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat ng parehong dami ay humantong sa iba't ibang mga resulta pagkatapos ihambing ang mga ito, kung gayon ito ay walang kinalaman sa matematika.

Ano ang tunay na matematika? Ito ay kapag ang resulta ng isang mathematical na aksyon ay hindi nakasalalay sa halaga ng numero, ang yunit ng pagsukat na ginamit, at kung sino ang nagsasagawa ng pagkilos na ito.

Sign sa pinto Binuksan ang pinto at sinabing:

Aray! Hindi ba ito ang palikuran ng mga babae?
- Batang babae! Ito ay isang laboratoryo para sa pag-aaral ng walang katapusang kabanalan ng mga kaluluwa sa pag-akyat sa langit! Nimbus sa itaas at arrow pataas. Anong palikuran?

Babae... Isang halo sa itaas at isang arrow pababa ay lalaki.

Kung mayroon kang isang gawa ng sining ng disenyo na kumikislap sa harap ng iyong mga mata nang maraming beses sa isang araw,

Kung gayon hindi nakakagulat na bigla kang makakita ng kakaibang icon sa iyong sasakyan:

Sa personal, nagsusumikap ako sa aking sarili na makita ang minus apat na degree sa isang taong tumatae (isang larawan) (komposisyon ng ilang larawan: minus sign, numero apat, pagtatalaga ng degree). At hindi ko itinuturing ang babaeng ito na isang tanga na hindi marunong sa pisika. Mayroon lang siyang arc stereotype ng perception ng mga graphic na larawan. At itinuturo ito sa amin ng mga mathematician sa lahat ng oras. Narito ang isang halimbawa.

Ang 1A ay hindi "minus four degrees" o "one a". Ito ay "pooping man" o ang bilang na "dalawampu't anim" sa hexadecimal number system. Ang mga taong patuloy na nagtatrabaho sa sistemang ito ng numero ay awtomatikong nakikita ang numero at titik bilang isang graphic na simbolo.

Unang antas

Pagbabagong ekspresyon. Detalyadong Teorya (2019)

Pagbabagong ekspresyon

Kadalasan naririnig natin ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa isang (lamang!) ordinaryong numero (oo, sa impiyerno gamit ang mga titik na ito).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Basahin? Kung oo, handa ka na.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimple sa kanila ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Napagdaanan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan, tulad ng mga termino ay at.

Naalala?

Upang magdala ng mga katulad na termino ay nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.

Ngunit paano natin pagsasama-samahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Saka ano ang expression? Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito:

Upang hindi malito, hayaan ang iba't ibang mga titik na magpahiwatig ng iba't ibang mga bagay. Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:

Mga halimbawa:

Magdala ng katulad:

Mga sagot:

2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Kadalasan ito ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang nagreresultang expression ay dapat na salik, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: pagkatapos ng lahat, upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga detalyadong paraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, lutasin ang ilan mga halimbawa(isasaalang-alang):

Mga solusyon:

3. Pagbabawas ng fraction.

Buweno, ano ang maaaring mas maganda kaysa sa ekis ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Yan ang kagandahan ng abbreviation.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mo:

1) numerator at denominator i-factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang tanggalin.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang tipikal na pagkakamali sa pagdadaglat. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon putulin- ibig sabihin hatiin numerator at denominator sa parehong numero.

Walang pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.

Halimbawa: kailangan mong gawing simple.

Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

"The smartest" will do this:.

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang kadahilanan ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay nabulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:

Upang maiwasan ang mga ganitong pagkakamali, tandaan ang isang madaling paraan upang matukoy kung ang isang expression ay naka-factor:

Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing". Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi naka-factor (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang ayusin ito, lutasin ito sa iyong sarili ng ilang mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na i-factorize:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang kilalang operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominator at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Dito, una sa lahat, ginagawa namin ang mga halo-halong praksiyon sa mga hindi wasto, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa simple:

a) Ang mga denominador ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:

ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominator ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng common denominator na walang mga titik:

Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;

Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga simpleng salik:

Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idinaragdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Bumalik tayo sa mga titik. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

Binubulok namin ang mga denominador sa mga salik;

tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na multiplier;

isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

Kaya ang karaniwang denominador ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominator, lahat lamang ay may magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

hanggang sa

hanggang sa

hanggang sa

sa degree.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan para sa iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag nagdala ka ng mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Dito at paramihin. At i-multiply sa:

Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementarya na mga kadahilanan". Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.

Paano naman ang expression? Elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.

Nakikita natin na ang parehong denominator ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).

Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

ayos! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang mga karaniwang kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang totoo ay:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Ngayon suriin natin.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito dapat nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito:

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Paano kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, pareho! Una sa lahat, titiyakin namin na ang maximum na bilang ng mga salik sa mga denominator ay pareho:

Bigyang-pansin: kung babaguhin mo ang mga palatandaan sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga senyales sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay mababaligtad muli. Bilang resulta, siya (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin nang buo ang unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idinagdag namin dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisusulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Ibig sabihin, ito ay ganito:

Hmm ... Sa mga fraction, malinaw kung ano ang gagawin. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan mong tiyakin na ang deuce ay magiging isang fraction! Tandaan: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling bigla mong nakalimutan). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na. At nasa unahan natin ang pinakasimpleng, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, pinaalalahanan kita.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!

Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit hindi iyon katulad ng isang ekspresyon na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga pagpapatakbo ng aritmetika ay kinakailangan na gawin ang mga pagpapatakbo ng algebraic, iyon ay, ang mga pagpapatakbo na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong gamitin ang i o alisin lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon mayroon tayong pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay i-represent ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idagdag:

Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

Ayan yun. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan. Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas. Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko nang eskematiko ang mga hakbang:

Ngayon ay ipapakita ko ang buong proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon na may pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.

2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang pagbubukod ay ang mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominator, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At nangako sa simula pa lang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
• Pagbabawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
  1) numerator at denominator i-factorize
  2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

Kadalasan sa mga gawain ay kinakailangang magbigay ng pinasimpleng sagot. Bagama't pareho ang pinasimple at hindi pinasimple na mga sagot ay tama, maaaring ibaba ng iyong tagapagturo ang iyong marka kung hindi mo pasimplehin ang iyong sagot. Bukod dito, ang isang pinasimple na pagpapahayag ng matematika ay mas madaling gamitin. Samakatuwid, napakahalagang matutunan kung paano gawing simple ang mga expression.

Mga hakbang

Tamang pagkakasunud-sunod ng mga pagpapatakbo sa matematika

1. Tandaan ang tamang pagkakasunud-sunod ng paggawa ng mga operasyon sa matematika. Kapag pinasimple ang isang mathematical expression, mayroong isang tiyak na pagkakasunud-sunod na dapat sundin, dahil ang ilang mga mathematical na operasyon ay mauuna kaysa sa iba at dapat gawin muna (sa katunayan, ang hindi pagsunod sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ay magdadala sa iyo sa maling resulta). Alalahanin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga pagpapatakbo ng matematika: expression sa mga bracket, exponentation, multiplication, division, addition, subtraction.

   • Tandaan na ang pag-alam sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ay magbibigay-daan sa iyong pasimplehin ang karamihan sa mga pinakasimpleng expression, ngunit upang gawing simple ang isang polynomial (isang expression na may variable) kailangan mong malaman ang mga espesyal na trick (tingnan ang susunod na seksyon).

2. Magsimula sa pamamagitan ng paglutas ng expression sa panaklong. Sa matematika, ipinahihiwatig ng mga panaklong na dapat suriin muna ang nakapaloob na expression. Samakatuwid, kapag pinasimple ang anumang mathematical expression, magsimula sa pamamagitan ng paglutas ng expression na nakapaloob sa mga bracket (hindi mahalaga kung anong mga operasyon ang kailangan mong gawin sa loob ng mga bracket). Ngunit tandaan na kapag nagtatrabaho sa isang expression na nakapaloob sa mga bracket, dapat mong sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon, iyon ay, ang mga termino sa mga bracket ay unang pinarami, hinati, idinagdag, binabawasan, at iba pa.

   • Halimbawa, pasimplehin natin ang expression 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Dito tayo magsisimula sa mga expression sa mga bracket: 5 + 2 = 7 at 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Ang expression sa pangalawang pares ng mga bracket ay pinasimple sa 5 dahil ang 4/2 ay dapat na hatiin muna (ayon sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon). Kung hindi mo susundin ang utos na ito, makakakuha ka ng maling sagot: 3 + 4 = 7 at 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Kung may isa pang pares ng panaklong sa loob ng mga panaklong, simulan ang pagpapasimple sa pamamagitan ng paglutas ng expression sa panloob na mga panaklong, at pagkatapos ay magpatuloy sa paglutas ng expression sa mga panlabas na panaklong.

3. Itaas sa isang kapangyarihan. Pagkatapos malutas ang mga expression sa mga bracket, magpatuloy sa pagtaas sa isang kapangyarihan (tandaan na ang isang kapangyarihan ay may isang exponent at isang base). Itaas ang katumbas na expression (o numero) sa isang kapangyarihan at palitan ang resulta sa expression na ibinigay sa iyo.

   • Sa aming halimbawa, ang tanging expression (numero) sa kapangyarihan ay 3 2: 3 2 = 9. Sa expression na ibinigay sa iyo, palitan ang 9 sa halip na 3 2 at makakakuha ka ng: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Paramihin. Tandaan na ang pagpaparami ng pagpaparami ay maaaring tukuyin ng mga sumusunod na simbolo: "x", "∙" o "*". Ngunit kung walang mga simbolo sa pagitan ng isang numero at isang variable (halimbawa, 2x) o sa pagitan ng isang numero at isang numero sa mga bracket (halimbawa, 4(7)), ito ay isa ring multiplication operation.

   • Sa aming halimbawa, mayroong dalawang pagpaparami: 2x (dalawang beses x) at 4(7) (apat na beses na pito). Hindi namin alam ang halaga ng x, kaya iiwan namin ang expression na 2x kung ano ito. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Ngayon ay maaari mong muling isulat ang expression na ibinigay sa iyo tulad nito: 2x + 28 + 9 - 5.

5. hatiin. Tandaan na ang operasyon ng paghahati ay maaaring tukuyin ng mga sumusunod na simbolo: "/", "÷" o "-" (makikita mo ang huling simbolo sa mga fraction). Halimbawa, ang 3/4 ay tatlo na hinati sa apat.

   • Sa aming halimbawa, wala nang dibisyon dahil hinati mo na ang 4 sa 2 (4/2) kapag nilulutas ang nakakulong na expression. Samakatuwid, maaari kang magpatuloy sa susunod na hakbang. Tandaan na karamihan sa mga expression ay wala ang lahat ng mga operasyon sa matematika nang sabay-sabay (ilan lang sa kanila).

6. Tupi. Kapag nagdaragdag ng mga termino ng isang expression, maaari kang magsimula sa pinakalabas (kaliwa) na termino, o maaari mo munang idagdag ang mga terminong iyon na madaling madagdagan. Halimbawa, sa expression na 49 + 29 + 51 +71, mas madaling magdagdag ng 49 + 51 = 100, pagkatapos ay 29 + 71 = 100, at sa wakas ay 100 + 100 = 200. Mas mahirap magdagdag ng ganito. : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Sa aming 2x + 28 + 9 + 5 halimbawa, mayroong dalawang pagpapatakbo ng karagdagan. Magsimula tayo sa pinakasukdulan (kaliwa) na termino: 2x + 28; hindi mo maaaring magdagdag ng 2x at 28 dahil hindi mo alam ang halaga ng x. Samakatuwid, magdagdag ng 28 + 9 = 37. Ngayon ang expression ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: 2x + 37 - 5.

7. Ibawas. Ito ang huling operasyon sa tamang pagkakasunod-sunod magsagawa ng mathematical operations. Sa yugtong ito, maaari ka ring magdagdag ng mga negatibong numero, o magagawa mo ito sa yugto ng pagdaragdag ng mga miyembro - hindi ito makakaapekto sa panghuling resulta sa anumang paraan.

   • Sa aming halimbawa 2x + 37 - 5, mayroon lamang isang operasyon ng pagbabawas: 37 - 5 = 32.

8. Sa yugtong ito, nang magawa ang lahat ng mga pagpapatakbo ng matematika, dapat kang makakuha ng isang pinasimple na expression. Ngunit kung ang expression na ibinigay sa iyo ay naglalaman ng isa o higit pang mga variable, pagkatapos ay tandaan na ang miyembro na may variable ay mananatiling tulad nito. Ang paglutas (sa halip na gawing simple) ang isang expression na may isang variable ay nagsasangkot ng paghahanap ng halaga ng variable na iyon. Minsan ang mga expression na may variable ay maaaring gawing simple gamit ang mga espesyal na pamamaraan (tingnan ang susunod na seksyon).

   • Sa aming halimbawa, ang huling sagot ay 2x + 32. Hindi ka maaaring magdagdag ng dalawang termino hangga't hindi mo nalalaman ang halaga ng x. Kapag nalaman mo na ang halaga ng variable, madali mong mapapasimple ang binomial na ito.

   Pinapasimple ang Mga Kumplikadong Ekspresyon

   1. Pagdaragdag ng mga katulad na miyembro. Tandaan na maaari ka lamang magbawas at magdagdag ng mga katulad na termino, iyon ay, mga termino na may parehong variable at parehong exponent. Halimbawa, maaari kang magdagdag ng 7x at 5x, ngunit hindi ka maaaring magdagdag ng 7x at 5x 2 (dahil iba ang mga exponent dito).

      • Nalalapat din ang panuntunang ito sa mga miyembrong may maraming variable. Halimbawa, maaari kang magdagdag ng 2xy 2 at -3xy 2 , ngunit hindi mo maaaring magdagdag ng 2xy 2 at -3x 2 y o 2xy 2 at -3y 2 .
      • Isaalang-alang ang isang halimbawa: x 2 + 3x + 6 - 8x. Narito ang mga katulad na termino ay 3x at 8x, kaya maaari silang idagdag nang magkasama. Ang pinasimpleng expression ay ganito ang hitsura: x 2 - 5x + 6.

   2. Pasimplehin ang numero. Sa naturang fraction, ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga numero (walang variable). Ang isang numerical fraction ay pinasimple sa maraming paraan. Una, hatiin lamang ang denominator sa numerator. Pangalawa, i-factor ang numerator at denominator at kanselahin ang parehong mga kadahilanan (dahil kapag hinati mo ang isang numero sa sarili nito, makakakuha ka ng 1). Sa madaling salita, kung ang numerator at denominator ay may parehong salik, maaari mo itong itapon at makakuha ng isang pinasimpleng bahagi.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang fraction na 36/60. Gamit ang isang calculator, hatiin ang 36 sa 60 at makakuha ng 0.6. Ngunit maaari mong pasimplehin ang fraction na ito sa ibang paraan sa pamamagitan ng pag-factor ng numerator at denominator: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Mula noong 6/6 \u003d 1, pagkatapos ay ang pinasimple na bahagi: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Ngunit ang bahaging ito ay maaari ding gawing simple: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Kung ang fraction ay naglalaman ng isang variable, maaari mong bawasan ang parehong mga kadahilanan sa variable. I-factor ang numerator at denominator at kanselahin ang parehong mga salik kahit na naglalaman ang mga ito ng variable (tandaan na dito ang parehong mga kadahilanan ay maaaring naglalaman ng variable o hindi).

      • Isaalang-alang ang isang halimbawa: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Ang expression na ito ay maaaring muling isulat (factored) bilang: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Dahil ang terminong 3x ay nasa numerator at denominator, maaari itong bawasan upang mabigyan ka ng pinasimpleng expression: (x + 1)/(5 - x). Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Pakitandaan na hindi mo maaaring kanselahin ang anumang mga termino - tanging ang parehong mga kadahilanan na naroroon sa parehong numerator at denominator ay kinansela. Halimbawa, sa expression (x(x + 2))/x, ang variable (multiplier) "x" ay nasa numerator at denominator, kaya maaaring bawasan ang "x" at makakuha ng pinasimpleng expression: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Gayunpaman, sa expression (x + 2)/x, ang variable na "x" ay hindi maaaring bawasan (dahil sa numerator "x" ay hindi isang kadahilanan).

   4. Buksan ang panaklong. Upang gawin ito, i-multiply ang termino sa labas ng bracket sa bawat termino sa mga bracket. Minsan nakakatulong na gawing simple ang isang kumplikadong expression. Nalalapat ito sa parehong mga miyembro na prime number at mga miyembro na naglalaman ng variable.

      • Halimbawa, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 at 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Pakitandaan na sa mga fractional na expression, ang mga panaklong ay hindi kailangang buksan kung ang numerator at ang denominator ay naglalaman ng parehong salik. Halimbawa, sa expression (3(x 2 + 8)) / 3x, hindi mo kailangang palawakin ang mga bracket, dahil dito maaari mong bawasan ang factor 3 at makakuha ng pinasimple na expression (x 2 + 8) / x. Ang expression na ito ay mas madaling gamitin; kung pinalawak mo ang mga bracket, makukuha mo ang sumusunod na kumplikadong expression: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. I-factor ang polynomials. Gamit ang pamamaraang ito, maaari mong gawing simple ang ilang mga expression at polynomial. Ang pag-factor ay ang kabaligtaran ng pagpapalawak ng panaklong, iyon ay, ang isang expression ay isinulat bilang isang produkto ng dalawang expression, na ang bawat isa ay nakapaloob sa mga panaklong. Sa ilang mga kaso, pinapayagan ka ng factoring na paikliin ang parehong expression. Sa mga espesyal na kaso (karaniwan ay may mga quadratic equation), ang factoring ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation.

      • Isaalang-alang ang expression na x 2 - 5x + 6. Nabulok ito sa mga salik: (x - 3) (x - 2). Kaya, kung, halimbawa, ang isang expression ay ibinigay (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), maaari mo itong muling isulat bilang (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), bawasan ang expression (x - 2) at kumuha ng pinasimple na expression (x - 3) / 2.
      • Ang factoring polynomials ay ginagamit upang lutasin (hanapin ang mga ugat) equation (ang isang equation ay isang polynomial equated sa 0). Halimbawa, isaalang-alang ang equation x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Ang pag-factor nito sa mga salik, makakakuha ka ng (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Dahil ang anumang expression na pinarami ng 0 ay 0, maaari nating isulat ito ganito : x - 3 = 0 at x - 2 = 0. Kaya, x = 3 at x = 2, ibig sabihin, natagpuan mo ang dalawang ugat ng equation na ibinigay sa iyo.

Kabilang sa iba't ibang mga expression na isinasaalang-alang sa algebra, ang mga kabuuan ng monomials ay sumasakop sa isang mahalagang lugar. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga expression:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag na polynomial. Ang mga termino sa isang polynomial ay tinatawag na mga miyembro ng polynomial. Ang mga monomial ay tinutukoy din bilang mga polynomial, na isinasaalang-alang ang isang monomial bilang isang polynomial na binubuo ng isang miyembro.

Halimbawa, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
maaaring gawing simple.

Kinakatawan namin ang lahat ng mga termino bilang monomials ng karaniwang anyo:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa nagresultang polynomial:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Ang resulta ay isang polynomial, ang lahat ng mga miyembro nito ay monomials ng karaniwang anyo, at kasama ng mga ito ay walang mga katulad. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo.

sa likod polynomial degree karaniwang anyo ang pinakamalaki sa mga kapangyarihan ng mga miyembro nito. Kaya, ang binomial \(12a^2b - 7b \) ay may ikatlong antas, at ang trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) ay may pangalawa.

Karaniwan, ang mga tuntunin ng mga karaniwang anyo na polynomial na naglalaman ng isang variable ay nakaayos sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga exponent nito. Halimbawa:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Ang kabuuan ng ilang polynomial ay maaaring i-convert (pinasimple) sa isang karaniwang anyo na polynomial.

Minsan ang mga miyembro ng isang polynomial ay kailangang hatiin sa mga grupo, na nakapaloob sa bawat pangkat sa mga panaklong. Dahil ang mga panaklong ay kabaligtaran ng mga panaklong, madali itong bumalangkas mga panuntunan sa pagbubukas ng panaklong:

Kung ang + sign ay inilalagay bago ang mga bracket, ang mga terminong nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may parehong mga palatandaan.

Kung ang isang "-" na palatandaan ay inilagay sa harap ng mga bracket, ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may kabaligtaran na mga palatandaan.

Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng isang monomial at isang polynomial

Gamit ang distributive property ng multiplication, maaaring ibahin (pasimplehin) ng isa ang produkto ng isang monomial at isang polynomial sa isang polynomial. Halimbawa:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at bawat isa sa mga termino ng polynomial.

Ang resultang ito ay kadalasang binabalangkas bilang panuntunan.

Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, dapat isa paramihin ang monomial na ito sa bawat isa sa mga tuntunin ng polynomial.

Paulit-ulit naming ginamit ang panuntunang ito para sa pagpaparami ng kabuuan.

Ang produkto ng polynomials. Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng dalawang polynomial

Sa pangkalahatan, ang produkto ng dalawang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng produkto ng bawat termino ng isang polynomial at bawat termino ng isa.

Karaniwang gamitin ang sumusunod na panuntunan.

Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa at idagdag ang mga resultang produkto.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Mga parisukat ng Kabuuan, Pagkakaiba, at Pagkakaiba

Ang ilang mga expression sa algebraic transformations ay kailangang harapin nang mas madalas kaysa sa iba. Marahil ang pinakakaraniwang mga expression ay \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) at \(a^2 - b^2 \), iyon ay, ang parisukat ng kabuuan, ang parisukat ng pagkakaiba, at parisukat na pagkakaiba. Napansin mo na ang mga pangalan ng mga expression na ito ay tila hindi kumpleto, kaya, halimbawa, \((a + b)^2 \) ay, siyempre, hindi lamang ang parisukat ng kabuuan, ngunit ang parisukat ng kabuuan ng a at b. Gayunpaman, ang parisukat ng kabuuan ng a at b ay hindi pangkaraniwan, bilang panuntunan, sa halip na mga titik a at b, naglalaman ito ng iba't ibang, minsan medyo kumplikadong mga expression.

Ang mga ekspresyong \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ay madaling i-convert (pasimplehin) sa mga polynomial ng karaniwang anyo, sa katunayan, natugunan mo na ang ganoong gawain kapag nagpaparami ng mga polynomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ang mga resultang pagkakakilanlan ay kapaki-pakinabang na tandaan at ilapat nang walang mga intermediate na kalkulasyon. Ang mga maikling pormulasyon sa salita ay nakakatulong dito.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ang parisukat ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat at ang dobleng produkto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ang parisukat ng pagkakaiba ay ang kabuuan ng mga parisukat nang hindi nadodoble ang produkto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ang pagkakaiba ng mga parisukat ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan.

Ang tatlong pagkakakilanlan na ito ay nagpapahintulot sa mga pagbabagong palitan ang kanilang mga kaliwang bahagi ng mga kanan at vice versa - mga kanang bahagi ng mga kaliwa. Ang pinakamahirap na bagay sa kasong ito ay upang makita ang kaukulang mga expression at maunawaan kung ano ang mga variable na a at b ay pinapalitan sa kanila. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.