Sa lahat ng triangles, mayroong dalawang espesyal na uri: right triangles at isosceles triangles. Bakit napakaespesyal ng mga ganitong uri ng tatsulok? Una, ang mga tatsulok na ito ay madalas na nagiging pangunahing mga aktor sa mga gawain ng Pinag-isang Pagsusuri ng Estado ng unang bahagi. At pangalawa, ang mga problema tungkol sa right-angled at isosceles triangles ay mas madaling lutasin kaysa sa iba pang mga problema sa geometry. Kailangan mo lang malaman ang ilang mga patakaran at katangian. Ang lahat ng mga pinaka-kagiliw-giliw ay tinalakay sa kaukulang paksa, at ngayon ay isasaalang-alang natin ang mga isosceles triangles. At una sa lahat, ano ang isosceles triangle. O, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, ano ang kahulugan ng isosceles triangle?

Tingnan kung ano ang hitsura nito:

Tulad ng right triangle, ang isosceles triangle ay may mga espesyal na pangalan para sa mga gilid nito. Dalawang magkaparehong panig ang tinatawag panig, at ang ikatlong partido batayan.

At muli, tingnan ang larawan:

Siyempre, maaaring ganito:

Kaya mag-ingat: lateral side - isa sa dalawang magkapantay na panig sa isang isosceles triangle, at ang batayan ay isang ikatlong partido.

Bakit napakahusay ng isosceles triangle? Upang maunawaan ito, iguhit natin ang taas sa base. Naaalala mo ba kung ano ang taas?

Anong nangyari? Mula sa isang isosceles triangle, dalawang right-angled ang lumabas.

Ito ay mabuti na, ngunit ito ay mangyayari sa alinman, ang pinaka "pahilig" na tatsulok.

Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng larawan para sa isang isosceles triangle? Tingnan muli:

Buweno, una, siyempre, hindi sapat para sa mga kakaibang mathematician na ito na makita lamang - tiyak na dapat nilang patunayan. At pagkatapos ay biglang ang mga tatsulok na ito ay bahagyang naiiba, at isasaalang-alang namin silang pareho.

Ngunit huwag mag-alala: sa kasong ito, ang pagpapatunay ay halos kasingdali ng nakikita.

Magsisimula na ba tayo? Tingnan mong mabuti, mayroon kaming:

At, samakatuwid,! Bakit? Oo, nahanap lang natin at, at mula sa Pythagorean theorem (naaalala nang sabay-sabay iyon)

Sigurado ka ba? Well, ngayon mayroon kami

At sa tatlong panig - ang pinakamadaling (ikatlong) tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Buweno, ang ating isosceles triangle ay nahahati sa dalawang magkaparehong hugis-parihaba.

Tingnan kung gaano kawili-wili? Ito pala ay:

Paano nakaugalian para sa mga mathematician na pag-usapan ito? Umayos tayo:

(Naaalala namin dito na ang median ay isang linya na iginuhit mula sa vertex na naghahati sa gilid, at ang panggitnang bahagi ay ang anggulo.)

Well, dito napag-usapan kung ano ang magandang makikita kung bibigyan ng isosceles triangle. Napagpasyahan namin na sa isang isosceles triangle ang mga anggulo sa base ay pantay, at ang taas, bisector at median na iginuhit sa base ay pareho.

At ngayon ang isa pang tanong ay lumitaw: kung paano makilala ang isang isosceles triangle? Iyon ay, tulad ng sinasabi ng mga mathematician, kung ano ang mga palatandaan ng isosceles triangle?

At lumalabas na kailangan mo lamang "iikot" ang lahat ng mga pahayag sa kabaligtaran. Ito, siyempre, ay hindi palaging nangyayari, ngunit ang isang isosceles triangle ay isang magandang bagay pa rin! Ano ang mangyayari pagkatapos ng "reversal"?

Well, tingnan mo dito:
Kung magkapareho ang taas at median, kung gayon:

Kung ang taas at bisector ay pareho, kung gayon:


Kung ang bisector at median ay pareho, kung gayon:

Well, huwag kalimutan at gamitin ang:

• Kung bibigyan ng isosceles triangle, huwag mag-atubiling gumuhit ng taas, kumuha ng dalawang right triangle at lutasin na ang problema tungkol sa right triangle.
• Kung ibibigay yan dalawang anggulo ay pantay, pagkatapos ay ang tatsulok eksakto isosceles at maaari kang gumuhit ng taas at .... (Ang bahay na itinayo ni Jack ...).
• Kung ang taas ay nahahati sa kalahati sa gilid, kung gayon ang tatsulok ay isosceles kasama ang lahat ng kasunod na mga bonus.
• Kung ito ay naka-out na ang taas ay hinati ang anggulo sa mga sahig - din isosceles!
• Kung hinati ng bisector ang gilid sa kalahati o ang median - ang anggulo, kung gayon ito ay nangyayari din lamang sa isang isosceles triangle

Tingnan natin kung ano ang hitsura nito sa mga gawain.

Gawain 1(pinakasimple)

Sa isang tatsulok, ang mga gilid at ay pantay, a. Hanapin.

Nagpasya kami:

Una sa isang pagguhit.

Ano ang batayan dito? Tiyak, .

Naaalala natin na kung, pagkatapos at.

Na-update na pagguhit:

Italaga natin para sa. Ano ang kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok? ?

Ginagamit namin ang:

Iyon ay sagot: .

Madali lang diba? Hindi ko na kinailangan pang tumaas.

Gawain 2(Hindi rin masyadong nakakalito, ngunit kailangan mong ulitin ang tema)

Sa isang tatsulok, Hanapin.

Nagpasya kami:

Isosceles ang triangle! Gumuhit kami ng taas (ito ang pokus, sa tulong kung saan ang lahat ay magpapasya ngayon).

Ngayon "tinatanggal namin sa buhay", isasaalang-alang lamang namin.

Kaya, mayroon kaming:

Naaalala namin ang mga tabular na halaga ng mga cosine (mabuti, o tingnan ang cheat sheet ...)

Ito ay nananatiling mahanap: .

Sagot: .

Tandaan na nandito kami napaka kinakailangang kaalaman tungkol sa tamang tatsulok at ang "tabular" na mga sine at cosine. Kadalasan nangyayari ito: ang mga paksa, "Isosceles Triangle" at sa mga puzzle ay magkakasama, ngunit hindi sila masyadong palakaibigan sa iba pang mga paksa.

Isosceles triangle. Gitnang antas.

Ang mga ito dalawang magkapantay na panig tinawag panig, a ang ikatlong panig ay ang base ng isang isosceles triangle.

Tingnan ang larawan: at - ang mga gilid, - ang base ng isang isosceles triangle.

Tingnan natin sa isang larawan kung bakit ganito. Gumuhit ng taas mula sa isang punto.

Nangangahulugan ito na ang lahat ng kaukulang elemento ay pantay.

Lahat! Sa isang iglap (taas) lahat ng mga pahayag ay napatunayan nang sabay-sabay.

At tandaan mo: upang malutas ang problema sa isosceles triangle, kadalasan ay lubhang kapaki-pakinabang na ibaba ang taas sa base ng isosceles triangle at hatiin ito sa dalawang pantay na right triangle.

Mga palatandaan ng isang isosceles triangle

Ang kabaligtaran na mga pahayag ay totoo rin:

Halos lahat ng mga pahayag na ito ay muling mapapatunayan "sa isang iglap".

1. Kaya, hayaan ang v naging pantay at.

Kunin natin ang taas. Pagkatapos

2. a) Ngayon ipasok ang ilang tatsulok parehong taas at bisector.

2. b) At kung magkapareho ang taas at median? Ang lahat ay halos pareho, walang mas kumplikado!

- sa dalawang paa

2. c) Ngunit kung walang taas, na ibinababa sa base ng isang isosceles triangle, pagkatapos ay walang mga unang tamang tatsulok. Grabe!

Ngunit mayroong isang paraan out - basahin ito sa susunod na antas ng teorya, dahil ang patunay ay mas kumplikado dito, ngunit sa ngayon tandaan lamang na kung ang median at ang bisector ay magkasabay, kung gayon ang tatsulok ay magiging isosceles din, at ang taas ay kasabay pa rin ng mga bisector at median na ito.

Upang ibuod:

1. Kung ang tatsulok ay isosceles, kung gayon ang mga anggulo sa base ay pantay, at ang taas, bisector at median na iginuhit sa base ay pareho.
2. Kung sa ilang tatsulok mayroong dalawang pantay na anggulo, o ilang dalawa sa tatlong linya (bisector, median, taas) ay nag-tutugma, kung gayon ang gayong tatsulok ay isosceles.

Isosceles triangle. Maikling paglalarawan at mga pangunahing formula

Ang isosceles triangle ay isang tatsulok na may dalawang magkapantay na gilid.

Mga palatandaan ng isang isosceles triangle:

1. Kung ang isang tatsulok ay may dalawang pantay na anggulo, ito ay isosceles.
2. Kung sa ilang tatsulok ay nag-tutugma:
   a) taas at bisector o
   b) taas at median o
   sa) median at bisector,
   iginuhit sa isang gilid, kung gayon ang gayong tatsulok ay isosceles.

ANG NATITING 2/3 ARTIKULO AY AVAILABLE LAMANG SA INYONG MGA MAG-AARAL NA MATALINO!

Maging isang mag-aaral ng YouClever,

Maghanda para sa OGE o PAGGAMIT sa matematika sa presyong "isang tasa ng kape kada buwan",

At makakuha din ng walang limitasyong pag-access sa "YouClever" na aklat-aralin, ang "100gia" na programa sa pagsasanay (solution book), walang limitasyong pagsubok na PAGGAMIT at OGE, 6000 mga gawain na may pagsusuri ng mga solusyon at iba pang serbisyo ng YouClever at 100gia.

Binanggit ng mga unang mananalaysay ng ating sibilisasyon - ang mga sinaunang Griyego - ang Ehipto bilang lugar ng kapanganakan ng geometry. Mahirap na hindi sumang-ayon sa kanila, alam kung gaano kahanga-hangang katumpakan ang itinayo ng mga higanteng libingan ng mga pharaoh. Ang magkaparehong pag-aayos ng mga eroplano ng mga pyramids, ang kanilang mga proporsyon, oryentasyon sa mga kardinal na punto - hindi maiisip na makamit ang gayong pagiging perpekto nang hindi nalalaman ang mga pangunahing kaalaman sa geometry.

Ang mismong salitang "geometry" ay maaaring isalin bilang "pagsukat ng lupa." Bukod dito, ang salitang "lupa" ay lilitaw hindi bilang isang planeta - bahagi ng solar system, ngunit bilang isang eroplano. Ang pagmamarka ng mga lugar para sa agrikultura, malamang, ay ang napaka orihinal na batayan ng agham ng mga geometric na hugis, ang kanilang mga uri at katangian.

Ang isang tatsulok ay ang pinakasimpleng spatial figure ng planimetry, na naglalaman lamang ng tatlong puntos - vertices (walang mas mababa). Ang pundasyon ng mga pundasyon, marahil, ay kung bakit ang isang bagay na misteryoso at sinaunang tila nasa loob nito. Ang all-seeing eye sa loob ng isang tatsulok ay isa sa mga pinakaunang kilalang okultismo, at ang heograpiya ng pamamahagi at time frame nito ay kamangha-mangha. Mula sa sinaunang Egyptian, Sumerian, Aztec at iba pang mga sibilisasyon hanggang sa mas modernong mga komunidad ng mga mahilig sa okultismo na nakakalat sa buong mundo.

Ano ang mga tatsulok

Ang ordinaryong scalene triangle ay isang saradong geometric na figure, na binubuo ng tatlong segment na may iba't ibang haba at tatlong anggulo, wala sa mga ito ay tuwid. Bilang karagdagan dito, mayroong ilang mga espesyal na uri.

Ang isang talamak na tatsulok ay may lahat ng mga anggulo na mas mababa sa 90 degrees. Sa madaling salita, ang lahat ng mga anggulo ng naturang tatsulok ay talamak.

Ang isang right-angled na tatsulok, kung saan ang mga mag-aaral ay umiyak sa lahat ng oras dahil sa kasaganaan ng mga theorems, ay may isang anggulo na may halaga na 90 degrees, o, kung tawagin din ito, isang tama.

Ang isang obtuse triangle ay nakikilala sa pamamagitan ng katotohanan na ang isa sa mga anggulo nito ay obtuse, iyon ay, ang halaga nito ay higit sa 90 degrees.

Ang isang equilateral triangle ay may tatlong gilid ng parehong haba. Sa gayong figure, ang lahat ng mga anggulo ay pantay din.

At sa wakas, sa isang isosceles triangle ng tatlong panig, dalawa ay pantay sa bawat isa.

Mga natatanging tampok

Tinutukoy din ng mga katangian ng isang isosceles triangle ang pangunahing, pangunahing pagkakaiba nito - ang pagkakapantay-pantay ng dalawang panig. Ang pantay na panig na ito ay karaniwang tinatawag na hips (o, mas madalas, ang mga gilid), ngunit ang ikatlong bahagi ay tinatawag na "base".

Sa figure na isinasaalang-alang, a = b.

Ang pangalawang tanda ng isang isosceles triangle ay sumusunod mula sa sine theorem. Dahil ang mga panig a at b ay pantay, ang mga sine ng kanilang magkasalungat na mga anggulo ay pantay din:

a/sin γ = b/sin α, kung saan mayroon tayo: sin γ = sin α.

Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga sine ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo: γ = α.

Kaya, ang pangalawang tanda ng isang isosceles triangle ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang anggulo na katabi ng base.

Pangatlong tanda. Sa isang tatsulok, ang mga elemento tulad ng taas, bisector at median ay nakikilala.

Kung sa proseso ng paglutas ng problema ay lumalabas na sa tatsulok na isinasaalang-alang, alinman sa dalawa sa mga elementong ito ay nag-tutugma: ang taas sa bisector; bisector na may median; median na may taas - tiyak na mahihinuha natin na ang tatsulok ay isosceles.

Mga geometric na katangian ng isang pigura

1. Mga katangian ng isang isosceles triangle. Ang isa sa mga natatanging katangian ng figure ay ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na katabi ng base:

<ВАС = <ВСА.

2. Isa pang ari-arian na tinalakay sa itaas: ang median, bisector at taas sa isang isosceles triangle ay pareho kung ang mga ito ay binuo mula sa tuktok nito hanggang sa base.

3. Ang pagkakapantay-pantay ng mga bisector na nakuha mula sa mga vertex sa base:

Kung ang AE ay ang bisector ng anggulo BAC at ang CD ay ang bisector ng angle BCA, kung gayon: AE = DC.

4. Ang mga katangian ng isang isosceles triangle ay nagbibigay din para sa pagkakapantay-pantay ng mga taas na iginuhit mula sa mga vertices sa base.

Kung bubuo tayo ng mga taas ng tatsulok na ABC (kung saan ang AB = BC) mula sa mga vertices A at C, kung gayon ang mga resultang segment na CD at AE ay magiging pantay.

5. Ang mga median na iginuhit mula sa mga sulok sa base ay magiging pantay din.

Kaya, kung ang AE at DC ay median, iyon ay, AD = DB, at BE = EC, pagkatapos ay AE = DC.

Taas ng isosceles triangle

Ang pagkakapantay-pantay ng mga gilid at anggulo sa kanila ay nagpapakilala ng ilang mga tampok sa pagkalkula ng mga haba ng mga elemento ng figure na pinag-uusapan.

Ang taas sa isang isosceles triangle ay naghahati sa figure sa 2 simetriko right-angled triangles, ang mga hypotenuse na kung saan ay ang mga gilid. Ang taas sa kasong ito ay tinutukoy ayon sa Pythagorean theorem, bilang isang binti.

Ang isang tatsulok ay maaaring magkapantay ang lahat ng tatlong panig, pagkatapos ay tatawagin itong equilateral. Ang taas sa isang equilateral triangle ay tinutukoy sa katulad na paraan, para lamang sa mga kalkulasyon sapat na upang malaman lamang ang isang halaga - ang haba ng gilid ng tatsulok na ito.

Maaari mong matukoy ang taas sa ibang paraan, halimbawa, alam ang base at ang anggulo na katabi nito.

Median ng isang isosceles triangle

Ang uri ng tatsulok na isinasaalang-alang, dahil sa mga geometric na tampok, ay nalutas nang simple sa pamamagitan ng pinakamababang hanay ng paunang data. Dahil ang median sa isang isosceles triangle ay pareho sa taas at bisector nito, ang algorithm para sa pagtukoy nito ay hindi naiiba sa pagkakasunud-sunod kung saan kinakalkula ang mga elementong ito.

Halimbawa, matutukoy mo ang haba ng median sa pamamagitan ng kilalang lateral side at ang halaga ng anggulo sa vertex.

Paano matukoy ang perimeter

Dahil ang planimetric figure na isinasaalang-alang ay may dalawang panig na palaging pantay, upang matukoy ang perimeter sapat na upang malaman ang haba ng base at ang haba ng isa sa mga gilid.

Isaalang-alang ang isang halimbawa kapag kailangan mong matukoy ang perimeter ng isang tatsulok na ibinigay sa kilalang base at taas.

Ang perimeter ay katumbas ng kabuuan ng base at dalawang beses ang haba ng gilid. Ang lateral side, naman, ay tinutukoy gamit ang Pythagorean theorem bilang hypotenuse ng isang right triangle. Ang haba nito ay katumbas ng parisukat na ugat ng kabuuan ng parisukat ng taas at parisukat ng kalahati ng base.

Lugar ng isang isosceles triangle

Hindi nagiging sanhi, bilang panuntunan, ng mga paghihirap at pagkalkula ng lugar ng isang isosceles triangle. Ang pangkalahatang tuntunin para sa pagtukoy ng lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas nito ay naaangkop, siyempre, sa aming kaso. Gayunpaman, ang mga katangian ng isang isosceles triangle ay muling ginagawang mas madali ang gawain.

Ipagpalagay natin na alam natin ang taas at anggulong katabi ng base. Kailangan mong matukoy ang lugar ng figure. Magagawa mo ito sa ganitong paraan.

Dahil ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay 180°, hindi mahirap matukoy ang magnitude ng anggulo. Dagdag pa, gamit ang proporsyon na iginuhit ayon sa sine theorem, ang haba ng base ng tatsulok ay tinutukoy. Lahat, base at taas - sapat na data upang matukoy ang lugar - ay magagamit.

Iba pang mga katangian ng isang isosceles triangle

Ang posisyon ng gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang isosceles triangle ay nakasalalay sa anggulo ng vertex. Kaya, kung ang isang isosceles triangle ay acute-angled, ang gitna ng bilog ay matatagpuan sa loob ng figure.

Nasa labas nito ang gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang obtuse isosceles triangle. At, sa wakas, kung ang halaga ng anggulo sa vertex ay 90 °, ang sentro ay eksaktong nasa gitna ng base, at ang diameter ng bilog ay dumadaan sa base mismo.

Upang matukoy ang radius ng isang bilog na nakapaligid sa isang isosceles triangle, sapat na upang hatiin ang haba ng lateral side sa dalawang beses ang cosine ng kalahati ng anggulo sa vertex.

Ang mga katangian ng isang isosceles triangle ay nagpapahayag ng mga sumusunod na theorems.

Theorem 1. Sa isang isosceles triangle, ang mga anggulo sa base ay pantay.

Theorem 2. Sa isang isosceles triangle, ang bisector na iginuhit sa base ay ang median at taas.

Theorem 3. Sa isang isosceles triangle, ang median na iginuhit sa base ay ang bisector at taas.

Theorem 4. Sa isang isosceles triangle, ang taas na iginuhit sa base ay ang bisector at ang median.

Patunayan natin ang isa sa kanila, halimbawa, Theorem 2.5.

Patunay. Isaalang-alang ang isosceles triangle ABC na may base BC at patunayan na ∠ B = ∠ C. Hayaang AD ang bisector ng triangle ABC (Fig. 1). Ang mga Triangles ABD at ACD ay pantay ayon sa unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok (AB = AC ayon sa kundisyon, AD ang karaniwang panig, ∠ 1 = ∠ 2, dahil ang AD ay ang bisector). Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito na ∠ B = ∠ C. Ang teorama ay napatunayan.

Gamit ang Theorem 1, itinatag namin ang sumusunod na theorem.

Theorem 5. Ang ikatlong pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga naturang tatsulok ay pantay (Larawan 2).

Magkomento. Ang mga pangungusap na itinatag sa mga halimbawa 1 at 2 ay nagpapahayag ng mga katangian ng perpendicular bisector sa segment. Ito ay sumusunod mula sa mga panukalang ito na ang perpendicular bisectors ng mga gilid ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.

Halimbawa 1 Patunayan na ang punto ng eroplano na katumbas ng layo mula sa mga dulo ng segment ay nasa perpendicular bisector sa segment na ito.

Desisyon. Hayaang ang puntong M ay katumbas ng layo mula sa mga dulo ng segment AB (Larawan 3), ibig sabihin, AM = VM.

Pagkatapos ang ΔAMV ay isosceles. Gumuhit tayo ng isang linya p sa pamamagitan ng punto M at ang midpoint O ng segment AB. Sa pamamagitan ng pagbuo, ang segment MO ay ang median ng isosceles triangle AMB, at samakatuwid (Theorem 3), at ang taas, ibig sabihin, ang tuwid na linya MO, ay ang perpendicular bisector sa segment AB.

Halimbawa 2 Patunayan na ang bawat punto ng perpendicular bisector ng isang segment ay katumbas ng layo mula sa mga dulo nito.

Desisyon. Hayaang p ang perpendicular bisector sa segment AB at point O ang midpoint ng segment AB (tingnan ang Fig. 3).

Isaalang-alang ang isang di-makatwirang punto M na nakahiga sa linya p. Gumuhit tayo ng mga segment na AM at VM. Ang mga tatsulok na AOM at VOM ay pantay, dahil ang kanilang mga anggulo sa vertex O ay tuwid, ang leg OM ay karaniwan, at ang leg OA ay katumbas ng leg OB ayon sa kondisyon. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na AOM at BOM ay sumusunod na ang AM = BM.

Halimbawa 3 Sa tatsulok na ABC (tingnan ang Fig. 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; sa tatsulok DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Paghambingin ang mga tatsulok na ABC at DEF. Maghanap ng mga katumbas na pantay na anggulo.

Desisyon. Ang mga tatsulok na ito ay pantay sa ikatlong pamantayan. Alinsunod dito, ang mga pantay na anggulo: A at E (nakahiga sila sa tapat ng pantay na panig BC at FD), B at F (nakahiga sila sa tapat ng pantay na panig AC at DE), C at D (nakahiga sila sa tapat ng pantay na panig AB at EF).

Halimbawa 4 Sa figure 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

Hanapin ang anggulo D.

Desisyon. Isaalang-alang ang mga tatsulok na ABC at ADC. Pantay-pantay ang mga ito sa ikatlong feature (AB = DC, BC = AD ayon sa kundisyon at pangkaraniwan ang side AC). Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito ay sumusunod na ∠ B = ∠ D, ngunit ang anggulo B ay 100°, kaya ang anggulo D ay 100°.

Halimbawa 5 Sa isang isosceles triangle na ABC na may base AC, ang panlabas na anggulo sa vertex C ay 123°. Hanapin ang anggulong ABC. Ibigay ang iyong sagot sa antas.

Solusyon sa video.