Ang pamamaraang Gaussian ay may ilang mga disadvantages: imposibleng malaman kung ang sistema ay pare-pareho o hindi hanggang ang lahat ng mga pagbabagong kinakailangan sa pamamaraang Gaussian ay naisagawa; ang Gaussian method ay hindi angkop para sa mga system na may mga letter coefficient.

Isaalang-alang ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ginagamit ng mga pamamaraang ito ang konsepto ng ranggo ng isang matrix at binabawasan ang solusyon ng anumang pinagsamang sistema sa solusyon ng isang sistema kung saan nalalapat ang panuntunan ni Cramer.

Halimbawa 1 Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng sumusunod na sistema ng mga linear equation gamit ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng pinababang homogenous na sistema at isang partikular na solusyon ng inhomogeneous system.

1. Gumagawa kami ng matrix A at ang augmented matrix ng system (1)

2. Galugarin ang system (1) para sa compatibility. Upang gawin ito, nakita namin ang mga ranggo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kung ito ay lumabas na , pagkatapos ay ang system (1) hindi magkatugma. Kung makuha natin iyon , kung gayon ang sistemang ito ay pare-pareho at malulutas namin ito. (Ang consistent na pag-aaral ay batay sa Kronecker-Capelli theorem).

a. Nahanap namin rA.

Hanapin rA, isasaalang-alang namin ang sunud-sunod na hindi zero na mga menor de edad ng una, pangalawa, atbp. na mga order ng matrix A at ang mga menor de edad na nakapaligid sa kanila.

M1=1≠0 (1 ay kinuha mula sa itaas na kaliwang sulok ng matrix PERO).

Bordering M1 ang pangalawang row at pangalawang column ng matrix na ito. . Nagpatuloy kami sa hangganan M1 ang pangalawang linya at ang pangatlong column..gif" width="37" height="20 src=">. Ngayon, border namin ang non-zero minor M2′ pangalawang utos.

Meron kami: (dahil ang unang dalawang column ay pareho)

(dahil proporsyonal ang pangalawa at pangatlong linya).

Nakikita natin yan rA=2, at ang batayang minor ng matrix A.

b. Nahanap namin.

Sapat na pangunahing menor de edad M2′ matrice A hangganan na may hanay ng mga libreng miyembro at lahat ng linya (mayroon lang tayong huling linya).

. Ito ay sumusunod mula dito na M3′′ nananatiling batayang minor ng matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Bilang M2′- batayang minor ng matrix A mga sistema (2) , kung gayon ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (3) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (2) (para sa M2′ ay nasa unang dalawang hanay ng matrix A).

(3)

Dahil ang pangunahing menor de edad ay https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Sa sistemang ito, dalawang libreng hindi alam ( x2 at x4 ). Kaya FSR mga sistema (4) ay binubuo ng dalawang solusyon. Upang mahanap ang mga ito, nagtatalaga kami ng mga libreng hindi alam (4) mga halaga muna x2=1 , x4=0 , at pagkatapos - x2=0 , x4=1 .

Sa x2=1 , x4=0 makuha namin:

.

Ang sistemang ito ay mayroon na ang tanging bagay solusyon (maaari itong matagpuan sa pamamagitan ng panuntunan ng Cramer o ng anumang iba pang paraan). Ang pagbabawas ng unang equation mula sa pangalawang equation, nakukuha natin:

Ang magiging desisyon niya x1= -1 , x3=0 . Ibinigay ang mga halaga x2 at x4 , na ibinigay namin, nakukuha namin ang unang pangunahing solusyon ng system (2) : .

Ngayon ay ipinasok namin (4) x2=0 , x4=1 . Nakukuha namin:

.

Niresolba namin ang sistemang ito gamit ang teorem ni Cramer:

.

Nakukuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon ng system (2) : .

Mga solusyon β1 , β2 at make up FSR mga sistema (2) . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon nito ay

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Dito C1 , C2 ay mga di-makatwirang pare-pareho.

4. Maghanap ng isa pribado desisyon heterogenous na sistema(1) . Tulad ng sa talata 3 , sa halip na ang sistema (1) isaalang-alang ang katumbas na sistema (5) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (1) .

(5)

Inilipat namin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi x2 at x4.

(6)

Bigyan natin ng libreng hindi alam x2 at x4 mga arbitrary na halaga, halimbawa, x2=2 , x4=1 at isaksak ang mga ito (6) . Kunin natin ang sistema

Ang sistemang ito ay may natatanging solusyon (dahil ang determinant nito М2′0). Ang paglutas nito (gamit ang Cramer theorem o ang Gauss method), nakuha natin x1=3 , x3=3 . Ibinigay ang mga halaga ng mga libreng hindi alam x2 at x4 , nakukuha namin partikular na solusyon ng isang inhomogeneous system(1)α1=(3,2,3,1).

5. Ngayon ay nananatiling magsulat pangkalahatang solusyon α ng isang inhomogeneous system(1) : ito ay katumbas ng kabuuan pribadong desisyon ang sistemang ito at pangkalahatang solusyon ng pinababang homogenous na sistema nito (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Ibig sabihin: (7)

6. Pagsusulit. Upang suriin kung nalutas mo nang tama ang system (1) , kailangan namin ng pangkalahatang solusyon (7) kapalit sa (1) . Kung ang bawat equation ay nagiging pagkakakilanlan ( C1 at C2 dapat sirain), kung gayon ang solusyon ay matatagpuan nang tama.

Papalitan namin (7) halimbawa, sa huling equation lamang ng system (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Nakukuha namin ang: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Saan -1=-1. Nagkaroon kami ng identity. Ginagawa namin ito sa lahat ng iba pang mga equation ng system (1) .

Magkomento. Karaniwang medyo mahirap ang pag-verify. Maaari naming irekomenda ang sumusunod na "bahagyang pag-verify": sa pangkalahatang solusyon ng system (1) magtalaga ng ilang mga halaga sa mga di-makatwirang constant at palitan lamang ang nagresultang partikular na solusyon sa mga itinapon na equation (ibig sabihin, sa mga equation na iyon mula sa (1) na hindi kasama sa (5) ). Kung nakakuha ka ng mga pagkakakilanlan, kung gayon parang, solusyon ng system (1) natagpuan nang tama (ngunit ang naturang tseke ay hindi nagbibigay ng buong garantiya ng kawastuhan!). Halimbawa, kung sa (7) ilagay C2=- 1 , C1=1, pagkatapos ay makukuha natin ang: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Ang pagpapalit sa huling equation ng system (1), mayroon tayong: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ibig sabihin, –1=–1. Nagkaroon kami ng identity.

Halimbawa 2 Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation (1) , na nagpapahayag ng mga pangunahing hindi alam sa mga tuntunin ng mga libre.

Desisyon. Tulad ng sa halimbawa 1, bumuo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ng mga matrice na ito. Ngayon, iiwan na lang namin ang mga equation ng system (1) , ang mga coefficient nito ay kasama sa basic minor na ito (ibig sabihin, mayroon tayong unang dalawang equation) at isaalang-alang ang system na binubuo ng mga ito, na katumbas ng system (1).

Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation na ito.

sistema (9) nalulutas namin sa pamamagitan ng pamamaraang Gaussian, isinasaalang-alang ang mga tamang bahagi bilang mga libreng miyembro.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opsyon 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opsyon 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opsyon 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opsyon 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogeneous na sistema ng mga linear na equation sa isang field

DEPINISYON. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang sistema ng mga equation (1) ay isang walang laman na linearly independent system ng mga solusyon nito na ang linear span ay tumutugma sa set ng lahat ng solusyon ng system (1).

Tandaan na ang isang homogenous na sistema ng mga linear na equation na mayroon lamang isang zero na solusyon ay walang pangunahing sistema ng mga solusyon.

PANUKALA 3.11. Anumang dalawang pangunahing sistema ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay binubuo ng parehong bilang ng mga solusyon.

Patunay. Sa katunayan, anumang dalawang pangunahing sistema ng mga solusyon ng homogenous na sistema ng mga equation (1) ay katumbas at linearly independyente. Samakatuwid, ayon sa Proposisyon 1.12, ang kanilang mga ranggo ay pantay. Samakatuwid, ang bilang ng mga solusyon na kasama sa isang pangunahing sistema ay katumbas ng bilang ng mga solusyon na kasama sa anumang iba pang pangunahing sistema ng mga solusyon.

Kung ang pangunahing matrix A ng homogenous na sistema ng mga equation (1) ay zero, kung gayon ang anumang vector mula sa ay isang solusyon sa system (1); sa kasong ito, ang anumang koleksyon ng mga linearly independent na vectors mula sa ay isang pangunahing sistema ng mga solusyon. Kung ang ranggo ng hanay ng matrix A ay , kung gayon ang sistema (1) ay may isang solusyon lamang - zero; samakatuwid, sa kasong ito, ang sistema ng mga equation (1) ay walang pangunahing sistema ng mga solusyon.

TEOREM 3.12. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ng homogenous na sistema ng mga linear na equation (1) ay mas mababa sa bilang ng mga variable , kung gayon ang system (1) ay may pangunahing sistema ng mga solusyon na binubuo ng mga solusyon.

Patunay. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix A ng homogenous system (1) ay katumbas ng zero o , kung gayon ipinakita sa itaas na ang teorama ay totoo. Samakatuwid, ipinapalagay sa ibaba na Sa pag-aakalang , ipagpapalagay natin na ang mga unang column ng matrix A ay linearly independent. Sa kasong ito, ang matrix A ay rowwise equivalent sa reduced step matrix, at ang system (1) ay katumbas ng sumusunod na reduced step system ng mga equation:

Madaling suriin na ang anumang sistema ng mga halaga ng mga libreng variable ng system (2) ay tumutugma sa isa at isang solusyon lamang ng system (2) at, samakatuwid, ng system (1). Sa partikular, tanging ang zero na solusyon ng system (2) at system (1) ang tumutugma sa sistema ng mga zero value.

Sa system (2), magtatalaga kami ng isang halaga na katumbas ng 1 sa isa sa mga libreng variable, at zero na halaga sa iba pang mga variable. Bilang resulta, nakakakuha kami ng mga solusyon sa sistema ng mga equation (2), na isinusulat namin bilang mga hilera ng sumusunod na matrix C:

Ang row system ng matrix na ito ay linearly independent. Sa katunayan, para sa anumang mga scalar mula sa pagkakapantay-pantay

sumusunod ang pagkakapantay-pantay

at samakatuwid ay pagkakapantay-pantay

Patunayan natin na ang linear span ng system ng mga row ng matrix C ay tumutugma sa set ng lahat ng solusyon ng system (1).

Arbitrary na solusyon ng system (1). Tapos yung vector

ay isa ring solusyon sa system (1), at

Ang isang sistema ng mga linear equation kung saan ang lahat ng mga libreng termino ay katumbas ng zero ay tinatawag homogenous :

Ang anumang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, dahil palagi itong mayroon sero (walang kuwenta ) solusyon. Ang tanong ay lumitaw sa ilalim ng kung anong mga kondisyon ang isang homogenous na sistema ay magkakaroon ng isang di-maliit na solusyon.

Teorama 5.2.Ang isang homogenous na sistema ay may isang non-trivial na solusyon kung at kung ang ranggo ng pinagbabatayan na matrix ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam nito.

Bunga. Ang isang parisukat na homogenous na sistema ay may isang non-trivial na solusyon kung at kung ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero.

Halimbawa 5.6. Tukuyin ang mga halaga ng parameter l kung saan ang sistema ay may mga hindi kapansin-pansing solusyon at hanapin ang mga solusyong ito:

Desisyon. Ang sistemang ito ay magkakaroon ng di-trivial na solusyon kapag ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero:

Kaya, ang sistema ay hindi mahalaga kapag l=3 o l=2. Para sa l=3, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 1. Pagkatapos, iiwan lamang ang isang equation at ipagpalagay na y=a at z=b, nakukuha namin x=b-a, ibig sabihin.

Para sa l=2, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 2. Pagkatapos, ang pagpili bilang pangunahing minor:

nakakakuha tayo ng pinasimpleng sistema

Mula dito makikita natin iyan x=z/4, y=z/2. Ipagpalagay z=4a, nakukuha namin

Ang hanay ng lahat ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ay may napakahalaga linear na ari-arian : kung X column 1 at X 2 - mga solusyon ng homogenous na sistema AX = 0, pagkatapos ay anumang linear na kumbinasyon ng mga ito a X 1+b X 2 magiging solusyon din ng sistemang ito. Sa katunayan, mula noon AX 1 = 0 at AX 2 = 0 , pagkatapos A(a X 1+b X 2) = a AX 1+b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Dahil sa katangiang ito, kung ang isang linear system ay may higit sa isang solusyon, magkakaroon ng walang katapusang marami sa mga solusyong ito.

Mga Linearly Independent Column E 1 , E 2 , E k, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema, ay tinatawag pangunahing sistema ng pagpapasya homogenous na sistema ng mga linear equation kung ang pangkalahatang solusyon ng sistemang ito ay maaaring isulat bilang isang linear na kumbinasyon ng mga column na ito:

Kung ang isang homogenous na sistema ay may n mga variable, at ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng r, pagkatapos k = n-r.

Halimbawa 5.7. Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng sumusunod na sistema ng mga linear equation:

Desisyon. Hanapin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system:

Kaya, ang hanay ng mga solusyon ng sistemang ito ng mga equation ay bumubuo ng isang linear na subspace ng dimensyon n - r= 5 - 2 = 3. Pinipili namin bilang pangunahing menor de edad

.

Pagkatapos, iiwan lamang ang mga pangunahing equation (ang natitira ay magiging isang linear na kumbinasyon ng mga equation na ito) at ang mga pangunahing variable (inilipat namin ang natitira, ang tinatawag na mga libreng variable sa kanan), nakakakuha kami ng isang pinasimple na sistema ng mga equation:

Ipagpalagay x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, nahanap namin

, .

Ipagpalagay a= 1, b=c= 0, nakuha namin ang unang pangunahing solusyon; ipagpalagay b= 1, a = c= 0, nakuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon; ipagpalagay c= 1, a = b= 0, nakukuha namin ang ikatlong pangunahing solusyon. Bilang resulta, ang normal na pangunahing sistema ng mga solusyon ay nagkakaroon ng anyo

Gamit ang pangunahing sistema, ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistema ay maaaring isulat bilang

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a

Tandaan natin ang ilang mga katangian ng mga solusyon ng hindi magkakatulad na sistema ng mga linear na equation AX=B at ang kanilang kaugnayan sa katumbas na homogenous na sistema ng mga equation AX = 0.

Pangkalahatang solusyon ng isang hindi magkakatulad na sistemaay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous na sistema AX = 0 at isang di-makatwirang partikular na solusyon ng inhomogeneous system. Sa katunayan, hayaan Y 0 ay isang di-makatwirang partikular na solusyon ng isang hindi magkakatulad na sistema, i.e. AY 0 = B, at Y ay ang pangkalahatang solusyon ng isang inhomogeneous system, i.e. AY=B. Ang pagbabawas ng isang pagkakapantay-pantay mula sa isa, nakukuha natin
A(Y-Y 0) = 0, ibig sabihin. Y-Y Ang 0 ay ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system AX=0. Kaya naman, Y-Y 0 = X, o Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Hayaang magkaroon ng anyong AX = B ang isang inhomogeneous system 1 + B 2 . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng naturang sistema ay maaaring isulat bilang X = X 1 + X 2 , kung saan si AX 1 = B 1 at AX 2 = B 2. Ang property na ito ay nagpapahayag ng unibersal na pag-aari ng anumang linear system sa pangkalahatan (algebraic, differential, functional, atbp.). Sa pisika, ang ari-arian na ito ay tinatawag prinsipyo ng superposisyon, sa electrical at radio engineering - prinsipyo ng overlay. Halimbawa, sa teorya ng mga linear na electrical circuit, ang kasalukuyang sa anumang circuit ay maaaring makuha bilang isang algebraic na kabuuan ng mga alon na dulot ng bawat pinagmumulan ng enerhiya nang hiwalay.

Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho at may maliit na solusyon
. Para umiral ang isang nontrivial na solusyon, kinakailangan na ang ranggo ng matrix ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam:

.

Pangunahing sistema ng pagpapasya homogenous na sistema
tawagan ang sistema ng mga solusyon sa anyo ng mga vector ng haligi
, na tumutugma sa kanonikal na batayan, i.e. batayan kung saan arbitrary constants
ay halili na itinakda katumbas ng isa, habang ang iba ay nakatakda sa zero.

Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistema ay may anyo:

saan
ay mga di-makatwirang pare-pareho. Sa madaling salita, ang pangkalahatang solusyon ay isang linear na kumbinasyon ng pangunahing sistema ng mga solusyon.

Kaya, ang mga pangunahing solusyon ay maaaring makuha mula sa pangkalahatang solusyon kung ang mga libreng hindi alam ay salit-salit na binibigyan ng halaga ng pagkakaisa, sa pag-aakalang ang lahat ng iba ay katumbas ng zero.

Halimbawa. Maghanap tayo ng solusyon sa sistema

Tinatanggap namin , pagkatapos ay makuha namin ang solusyon sa form:

Bumuo tayo ngayon ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon:

.

Ang pangkalahatang solusyon ay maaaring isulat bilang:

Ang mga solusyon sa isang sistema ng homogenous na linear equation ay may mga sumusunod na katangian:

Sa madaling salita, ang anumang linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ay muling solusyon.

Solusyon ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng Gauss method

Ang paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation ay naging interesado sa mga mathematician sa loob ng ilang siglo. Ang mga unang resulta ay nakuha noong ika-XVII siglo. Noong 1750, inilathala ni G. Kramer (1704–1752) ang kanyang mga gawa sa mga determinant ng square matrices at nagmungkahi ng algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix. Noong 1809, binalangkas ni Gauss ang isang bagong paraan ng solusyon na kilala bilang paraan ng pag-aalis.

Ang pamamaraang Gauss, o ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, ay binubuo sa katotohanan na, sa tulong ng mga elementarya na pagbabago, ang sistema ng mga equation ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang stepped (o triangular) na anyo. Ang ganitong mga sistema ay nagbibigay-daan sa iyo upang patuloy na mahanap ang lahat ng mga hindi alam sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod.

Ipagpalagay na sa system (1)
(na laging posible).

(1)

Ang pagpaparami ng unang equation sa turn sa tinatawag na angkop na mga numero

at pagdaragdag ng resulta ng multiplikasyon sa mga katumbas na equation ng system, nakakakuha tayo ng katumbas na sistema kung saan ang lahat ng equation, maliban sa una, ay walang alam. X 1

(2)

Pina-multiply natin ngayon ang pangalawang equation ng system (2) sa mga naaangkop na numero, sa pag-aakalang iyon

,

at idagdag ito sa mga mas mababa, inaalis namin ang variable ng lahat ng equation, simula sa pangatlo.

Ang pagpapatuloy ng prosesong ito, pagkatapos
mga hakbang na nakukuha namin:

(3)

Kung hindi bababa sa isa sa mga numero
ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang katumbas na pagkakapantay-pantay ay hindi naaayon at ang sistema (1) ay hindi naaayon. Sa kabaligtaran, para sa anumang pinagsamang sistema ng numero
ay katumbas ng zero. Numero ay walang iba kundi ang ranggo ng system matrix (1).

Ang paglipat mula sa system (1) hanggang (3) ay tinatawag sa isang tuwid na linya Gaussian method, at paghahanap ng mga hindi alam mula sa (3) - paurong .

Magkomento : Mas maginhawang magsagawa ng mga pagbabagong-anyo hindi sa mga equation mismo, ngunit sa pinahabang matrix ng system (1).

Halimbawa. Maghanap tayo ng solusyon sa sistema

.

Isulat natin ang augmented matrix ng system:

.

Idagdag natin sa mga linya 2,3,4 ang una, pinarami ng (-2), (-3), (-2) ayon sa pagkakabanggit:

.

Pagpalitin natin ang mga row 2 at 3, pagkatapos ay sa resultang matrix idagdag ang row 2 sa row 4, na pinarami ng :

.

Idagdag sa linya 4 na linya 3 na pinarami ng
:

.

Obvious naman yun
, kaya ang sistema ay pare-pareho. Mula sa nagresultang sistema ng mga equation

nahanap namin ang solusyon sa pamamagitan ng reverse substitution:

,
,
,
.

Halimbawa 2 Maghanap ng solusyon sa system:

.

Obvious naman na inconsistent ang system, kasi
, a
.

Mga kalamangan ng pamamaraang Gauss :

Mas kaunting oras ang pag-ubos kaysa sa pamamaraan ni Cramer.

Hindi malabo na itinatatag ang pagiging tugma ng system at nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng solusyon.

Nagbibigay ng kakayahang matukoy ang ranggo ng anumang matrice.

Hayaan M Ang 0 ay ang hanay ng mga solusyon ng homogenous na sistema (4) ng mga linear na equation.

Kahulugan 6.12. Mga vector kasama 1 ,kasama 2 , …, may p, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, ay tinatawag pangunahing hanay ng mga solusyon(pinaikling FNR) kung

1) mga vector kasama 1 ,kasama 2 , …, may p linearly independent (iyon ay, wala sa kanila ang maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba);

2) anumang iba pang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga solusyon kasama 1 ,kasama 2 , …, may p.

Tandaan na kung kasama 1 ,kasama 2 , …, may p ay ilang f.n.r., pagkatapos ay sa pamamagitan ng expression k 1× kasama 1 + k 2× kasama 2 + … + kp× may p maaaring ilarawan ang buong set M 0 solusyon sa system (4), kaya ito ay tinatawag na pangkalahatang pagtingin sa solusyon ng system (4).

Teorama 6.6. Ang anumang hindi tiyak na homogenous na sistema ng mga linear na equation ay may pangunahing hanay ng mga solusyon.

Ang paraan upang mahanap ang pangunahing hanay ng mga solusyon ay ang mga sumusunod:

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation;

Build ( n – r) bahagyang mga solusyon ng sistemang ito, habang ang mga halaga ng mga libreng hindi alam ay dapat bumuo ng isang identity matrix;

Isulat ang pangkalahatang anyo ng solusyon na kasama sa M 0 .

Halimbawa 6.5. Hanapin ang pangunahing hanay ng mga solusyon ng sumusunod na sistema:

Desisyon. Hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng sistemang ito.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Ang sistemang ito ay may limang hindi alam ( n= 5), kung saan mayroong dalawang pangunahing hindi alam ( r= 2), tatlong libreng hindi alam ( n – r), iyon ay, ang pangunahing hanay ng mga solusyon ay naglalaman ng tatlong mga vector ng solusyon. Buuin natin sila. Meron kami x 1 at x 3 - pangunahing hindi alam, x 2 , x 4 , x 5 - libreng hindi alam

Mga halaga ng mga libreng hindi alam x 2 , x 4 , x 5 bumuo ng identity matrix E ikatlong order. Nakuha na ang mga vectors kasama 1 ,kasama 2 , kasama 3 anyo f.n.r. sistemang ito. Kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng homogenous na sistemang ito ay magiging M 0 = {k 1× kasama 1 + k 2× kasama 2 + k 3× kasama 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Alamin natin ngayon ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng mga nonzero na solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, sa madaling salita, ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang pangunahing hanay ng mga solusyon.

Ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay may mga non-zero na solusyon, iyon ay, ito ay hindi tiyak kung

1) ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;

2) sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;

3) kung sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero (i.e. | A| = 0).

Halimbawa 6.6. Sa anong halaga ng parameter a homogenous na sistema ng mga linear na equation may mga non-zero na solusyon?

Desisyon. Buuin natin ang pangunahing matrix ng sistemang ito at hanapin ang determinant nito: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero kapag a = –4.

Sagot: –4.

7. Arithmetic n-dimensional na espasyo ng vector

Pangunahing konsepto

Sa mga nakaraang seksyon, nakatagpo na namin ang konsepto ng isang hanay ng mga totoong numero na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ito ay isang row matrix (o column matrix) at isang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation na may n hindi kilala. Maaaring ibuod ang impormasyong ito.

Kahulugan 7.1. n-dimensional na arithmetic vector ay tinatawag na isang ordered set ng n tunay na mga numero.

ibig sabihin a= (a 1 , a 2 , …, a n), kung saan a iО R, i = 1, 2, …, n ay ang pangkalahatang view ng vector. Numero n tinawag sukat vector, at ang mga numero a i tumawag sa kanya mga coordinate.

Halimbawa: a= (1, –8, 7, 4, ) ay isang limang-dimensional na vector.

All set n-dimensional vectors ay karaniwang denoted bilang R n.

Kahulugan 7.2. Dalawang vector a= (a 1 , a 2 , …, a n) at b= (b 1 , b 2 , …, b n) ng parehong dimensyon pantay kung at kung magkapantay lamang ang kani-kanilang mga coordinate, i.e. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Kahulugan 7.3.sum dalawa n-dimensional na mga vector a= (a 1 , a 2 , …, a n) at b= (b 1 , b 2 , …, b n) ay tinatawag na vector a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Kahulugan 7.4. trabaho totoong numero k bawat vector a= (a 1 , a 2 , …, a n) ay tinatawag na vector k× a = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)

Kahulugan 7.5. Vector tungkol sa= (0, 0, …, 0) ay tinatawag sero(o null-vector).

Madaling suriin na ang mga aksyon (operasyon) ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami sa kanila sa isang tunay na numero ay may mga sumusunod na katangian: a, b, c Î R n, " k, lОR:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + tungkol sa = a;

4) a+ (–a) = tungkol sa;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Kahulugan 7.6. Isang grupo ng R n sa mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vectors at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero na ibinigay dito ay tinatawag arithmetic n-dimensional na vector space.