Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at ang mga constants A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Depende sa mga halaga pare-pareho ang A, B at C, posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Ni + C \u003d 0) - ang linya ay kahanay sa axis ng Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Oy axis

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis ng Ox

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring katawanin sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector

Kahulugan. Sa Cartesian hugis-parihaba na sistema coordinate vector na may mga bahagi (A, B) ay patayo sa linya, ibinigay ng equation Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A(1, 2) patayo sa (3, -1).

Desisyon. Sa A = 3 at B = -1, binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya: 3x - y + C = 0. Upang mahanap ang coefficient C, pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na point A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid, C = -1 . Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos

Hayaang ibigay sa espasyo ang dalawang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito:

Kung alinman sa mga denominador sero, ang katumbas na numerator ay dapat itumbas sa zero. Sa eroplano, ang equation ng tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1 kung x 1 = x 2.

Fraction = k ay tinatawag slope factor tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Desisyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang slope

Kung ang kabuuang Ax + Wu + C = 0 ay humahantong sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang resultang equation equation ng isang tuwid na linya na may slopek.

Equation ng isang tuwid na linya na may vector ng punto at direksyon

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa talata na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang pagtatalaga ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direktang vector ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Ang bawat non-zero vector (α 1, α 2), ang mga bahagi nito ay nakakatugon sa kondisyon A α 1 + B α 2 = 0 ay tinatawag na directing vector ng linya

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Desisyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Alinsunod sa kahulugan, ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. para sa x = 1, y = 2, nakukuha namin ang C / A = -3, i.e. gustong equation:

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, paghahati sa –C, nakukuha natin: o

geometric na kahulugan coefficients sa na ang coefficient a ay ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may x-axis, at b- ang coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang Oy axis.

Halimbawa. Ibinigay pangkalahatang equation line x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya

Kung ang magkabilang panig ng equation na Ax + Vy + C = 0 ay i-multiply sa numero , na tinatawag na normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normal na equation ng isang tuwid na linya. Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang ang μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya 12x - 5y - 65 \u003d 0. Kinakailangang isulat Iba't ibang uri mga equation ng linyang ito.

ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

; cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya na kahanay sa mga axes o dumadaan sa pinagmulan.

Halimbawa. Direktang pagputol coordinate axes pantay na positibong mga segment. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung ang lugar ng tatsulok na nabuo ng mga segment na ito ay 8 cm 2.

Desisyon. Ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A (-2, -3) at ang pinagmulan.

Desisyon. Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: , kung saan x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

.

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 . Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama. Ang mga tuwid na linya Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang mga coefficient A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ay proporsyonal. Kung din С 1 = λС, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang ibinigay na linya

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang x 1 at y 1 na mga coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan ibinigay na punto Ang M 0 ay patayo sa isang ibinigay na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, makuha namin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Napatunayan na ang theorem.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Desisyon. Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Desisyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ay nasiyahan ang mga coordinate nito equation na ito: saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Hayaang magbigay ng dalawang puntos M(X 1 ,Sa 1) at N(X 2,y 2). Hanapin natin ang equation ng tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito.

Dahil ang linyang ito ay dumadaan sa punto M, pagkatapos ay ayon sa formula (1.13) ang equation nito ay may anyo

Sa – Y 1 = K(X-x 1),

saan K– hindi kilala dalisdis.

Ang halaga ng koepisyent na ito ay tinutukoy mula sa kondisyon na ang nais na tuwid na linya ay dumaan sa punto N, na nangangahulugan na ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Mula dito mahahanap mo ang slope ng linyang ito:

,

O pagkatapos ng conversion

(1.14)

Tinutukoy ng Formula (1.14). Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos M(X 1, Y 1) at N(X 2, Y 2).

Sa partikular na kaso kapag ang mga puntos M(A, 0), N(0, B), PERO ¹ 0, B¹ 0, nakahiga sa mga coordinate axes, ang equation (1.14) ay may mas simpleng anyo

Equation (1.15) tinawag Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, dito PERO at B tukuyin ang mga segment na pinutol ng isang tuwid na linya sa mga palakol (Larawan 1.6).

Larawan 1.6

Halimbawa 1.10. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos M(1, 2) at B(3, –1).

. Ayon sa (1.14), ang equation ng nais na tuwid na linya ay may anyo

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Ang paglilipat ng lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi, sa wakas ay nakuha namin ang nais na equation

3X + 2Y – 7 = 0.

Halimbawa 1.11. Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto M(2, 1) at ang punto ng intersection ng mga linya X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Nahanap namin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya sa pamamagitan ng paglutas ng mga equation na ito nang magkasama

Kung idaragdag natin ang mga equation na ito sa pamamagitan ng termino, makakakuha tayo ng 2 X+ 1 = 0, kung saan . Ang pagpapalit ng nahanap na halaga sa anumang equation, hanapin ang halaga ordinates Sa:

Ngayon ay isulat natin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos (2, 1) at :

o .

Kaya o -5( Y – 1) = X – 2.

Sa wakas, nakuha namin ang equation ng nais na tuwid na linya sa form X + 5Y – 7 = 0.

Halimbawa 1.12. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos M(2.1) at N(2,3).

Gamit ang formula (1.14), makuha natin ang equation

Hindi makatwiran dahil ang pangalawang denominator ay sero. Ito ay makikita mula sa kondisyon ng problema na ang abscissas ng parehong mga punto ay may parehong halaga. Samakatuwid, ang kinakailangang linya ay parallel sa axis OY at ang equation nito ay: x = 2.

Magkomento . Kung, kapag isinusulat ang equation ng isang tuwid na linya ayon sa formula (1.14), ang isa sa mga denominator ay lumabas na katumbas ng zero, kung gayon ang nais na equation ay maaaring makuha sa pamamagitan ng equating ng kaukulang numerator sa zero.

Isaalang-alang natin ang iba pang mga paraan ng pagtatakda ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

1. Hayaang ang isang di-zero na vector ay patayo sa isang ibinigay na linya L, at ang punto M 0(X 0, Y 0) ay nasa linyang ito (Larawan 1.7).

Larawan 1.7

Magpakilala M(X, Y) di-makatwirang punto sa isang tuwid na linya L. Mga vector at Orthogonal. Gamit ang mga kondisyon ng orthogonality para sa mga vector na ito, nakukuha namin ang o PERO(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Nakuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto M 0 ay patayo sa vector. Ang vector na ito ay tinatawag na Normal na vector sa isang tuwid na linya L. Ang resultang equation ay maaaring muling isulat bilang

Oh + Wu + Sa= 0, kung saan Sa = –(PEROX 0 + Sa pamamagitan ng 0), (1.16),

saan PERO at AT ay ang mga coordinate ng normal na vector.

Nakukuha namin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa isang parametric form.

2. Ang isang linya sa isang eroplano ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod: hayaan ang isang di-zero na vector ay parallel sa isang ibinigay na linya L at tuldok M 0(X 0, Y 0) namamalagi sa linyang ito. Muli, kumuha ng di-makatwirang punto M(X, y) sa isang tuwid na linya (Figure 1.8).

Larawan 1.8

Mga vector at collinear.

Isulat natin ang kondisyon ng collinearity ng mga vector na ito: , kung saan T ay isang arbitrary na numero, na tinatawag na isang parameter. Isulat natin ang pagkakapantay-pantay na ito sa mga coordinate:

Ang mga equation na ito ay tinatawag Parametric equation Diretso. Ibukod natin sa mga equation na ito ang parameter T:

Ang mga equation na ito ay maaaring isulat sa anyo

. (1.18)

Ang resultang equation ay tinatawag Canonical equation tuwid. Tawag ng vector Direksyon ng vector tuwid .

Magkomento . Madaling makita na kung ang normal na vector sa linya L, kung gayon ang vector ng direksyon nito ay maaaring maging vector , dahil , ibig sabihin.

Halimbawa 1.13. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto M 0(1, 1) parallel sa line 3 X + 2Sa– 8 = 0.

Desisyon . Ang vector ay ang normal na vector sa ibinigay at ninanais na mga linya. Gamitin natin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto M 0 na may ibinigay na normal na vector 3( X –1) + 2(Sa– 1) = 0 o 3 X + 2y- 5 \u003d 0. Nakuha namin ang equation ng nais na tuwid na linya.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos. Sa artikulo" " Ipinangako ko sa iyo na pag-aralan ang pangalawang paraan upang malutas ang mga iniharap na problema para sa paghahanap ng derivative, na may ang tsart na ito function at isang padaplis sa graph na ito. Susuriin natin ang pamamaraang ito sa , huwag palampasin! Bakit susunod?

Ang katotohanan ay ang formula ng equation ng isang tuwid na linya ay gagamitin doon. Siyempre, maaari lamang ipakita ng isa ang formula na ito at payuhan kang pag-aralan ito. Ngunit mas mainam na ipaliwanag kung saan ito nanggaling (kung paano ito hinango). Ito ay kinakailangan! Kung nakalimutan mo ito, pagkatapos ay mabilis na ibalik itohindi magiging mahirap. Ang lahat ay detalyado sa ibaba. Kaya, mayroon kami coordinate plane mayroong dalawang puntos A(x 1; y 1) at B (x 2; y 2), ang isang tuwid na linya ay iguguhit sa pamamagitan ng mga ipinahiwatig na mga punto:

Narito ang direktang formula:

*Iyon ay, kapag pinapalitan ang mga tiyak na coordinate ng mga puntos, nakakakuha tayo ng equation ng form na y=kx+b.

** Kung "kabisado" lang ang formula na ito, malaki ang posibilidad na malito sa mga indeks kung kailan X. Bilang karagdagan, ang mga index ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan, halimbawa:

Kaya naman mahalagang maunawaan ang kahulugan.

Ngayon ang derivation ng formula na ito. Ang lahat ay napaka-simple!

Ang mga Triangles ABE at ACF ay magkatulad sa matalim na sulok(ang unang tanda ng pagkakatulad kanang tatsulok). Ito ay sumusunod mula dito na ang mga ratios ng mga kaukulang elemento ay pantay, iyon ay:

Ngayon ay ipinahayag lamang namin ang mga segment na ito sa mga tuntunin ng pagkakaiba sa mga coordinate ng mga punto:

Siyempre, walang magiging error kung isusulat mo ang mga ugnayan ng mga elemento sa ibang pagkakasunud-sunod (ang pangunahing bagay ay panatilihin ang mga sulat):

Ang resulta ay ang parehong equation ng isang tuwid na linya. Lahat na lang!

Iyon ay, gaano man ang mga punto sa kanilang sarili (at ang kanilang mga coordinate) ay itinalaga, sa pag-unawa sa formula na ito, palagi mong mahahanap ang equation ng isang tuwid na linya.

Ang formula ay maaaring deduced gamit ang mga katangian ng mga vectors, ngunit ang prinsipyo ng derivation ay magiging pareho, dahil pag-uusapan natin ang proporsyonalidad ng kanilang mga coordinate. Sa kasong ito, gumagana ang parehong pagkakapareho ng mga tamang tatsulok. Sa palagay ko, ang konklusyon na inilarawan sa itaas ay mas nauunawaan)).

Tingnan ang output sa pamamagitan ng vector coordinates >>>

Hayaang bumuo ng isang tuwid na linya sa coordinate plane na dumadaan sa dalawa binigay na puntos A (x 1; y 1) at B (x 2; y 2). Markahan natin ang isang di-makatwirang punto C sa linya na may mga coordinate ( x; y). Tinutukoy din namin ang dalawang vectors:

Ito ay kilala na para sa mga vectors na nakahiga sa mga parallel na linya (o sa isang linya), ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal, iyon ay:

- isinulat namin ang pagkakapantay-pantay ng mga ratios ng kaukulang mga coordinate:

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos na may mga coordinate (2;5) at (7:3).

Hindi mo man lang mabuo ang linya mismo. Inilapat namin ang formula:

Mahalagang mahuli mo ang mga sulat kapag gumuhit ng ratio. Hindi ka maaaring magkamali kung isusulat mo:

Sagot: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Upang matiyak na ang resultang equation ay natagpuan nang tama, siguraduhing suriin ito - palitan ang mga coordinate ng data dito sa kondisyon ng mga puntos. Dapat kang makakuha ng tamang pagkakapantay-pantay.

Iyon lang. Umaasa ako na ang materyal ay naging kapaki-pakinabang sa iyo.

Taos-puso, Alexander.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Hayaang dumaan ang tuwid na linya sa mga puntos na M 1 (x 1; y 1) at M 2 (x 2; y 2). Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 ay may anyo y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

saan k - hindi pa rin alam na koepisyent.

Dahil ang tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M 2 (x 2 y 2), kung gayon ang mga coordinate ng puntong ito ay dapat matugunan ang equation (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Mula dito makikita natin ang Pagpapalit sa nahanap na halaga k sa equation (10.6), nakuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 at M 2:

Ipinapalagay na sa equation na ito x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Kung x 1 \u003d x 2, kung gayon ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 (x 1, y I) at M 2 (x 2, y 2) ay kahanay sa y-axis. Ang equation nito ay x = x 1 .

Kung y 2 \u003d y I, kung gayon ang equation ng tuwid na linya ay maaaring isulat bilang y \u003d y 1, ang tuwid na linya M 1 M 2 ay kahanay sa x-axis.

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

Hayaang magsalubong ang tuwid na linya sa axis ng Ox sa puntong M 1 (a; 0), at sa axis ng Oy - sa puntong M 2 (0; b). Ang equation ay kukuha ng anyo:
mga.
. Ang equation na ito ay tinatawag ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, dahil ang mga numerong a at b ay nagpapahiwatig kung aling mga segment ang pinuputol ng tuwid na linya sa mga coordinate axes.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector

Hanapin natin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto Mo (x O; y o) patayo sa isang ibinigay na di-zero na vector n = (A; B).

Kumuha ng arbitrary point M(x; y) sa tuwid na linya at isaalang-alang ang vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (tingnan ang Fig. 1). Dahil ang mga vectors n at M o M ay patayo, ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero: iyon ay,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ang equation (10.8) ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector .

Ang vector n = (A; B) patayo sa linya ay tinatawag na normal normal na vector ng linyang ito .

Ang equation (10.8) ay maaaring muling isulat bilang Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kung saan ang A at B ay ang mga coordinate ng normal na vector, C \u003d -Ax o - Vu o - libreng miyembro. Equation (10.9) ay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya(tingnan ang Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Canonical equation ng tuwid na linya

,

saan
ay ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at
- vector ng direksyon.

Mga kurba ng pangalawang order na Circle

Ang bilog ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng isang eroplano na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag na sentro.

Canonical equation ng isang bilog ng radius R nakasentro sa isang punto
:

Sa partikular, kung ang sentro ng stake ay tumutugma sa pinanggalingan, ang equation ay magiging ganito:

Ellipse

Ang isang ellipse ay isang hanay ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa kanila hanggang sa dalawang ibinigay na mga punto at , na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga
, mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci
.

Ang canonical equation ng isang ellipse na ang foci ay nasa Ox axis at ang pinagmulan ay nasa gitna sa pagitan ng foci ay may anyo.
G de a ang haba ng pangunahing semiaxis; b ay ang haba ng minor semiaxis (Larawan 2).