Kabanata III. Mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod
§ 40. Hyperbole.
Hyperbole ay tinatawag na set mga punto ng eroplano, para sa bawat isa kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplano ay pare-pareho at mas kaunting distansya sa pagitan ng mga puntong ito.
Ang mga puntong ito ay tinatawag mga trick hyperbolas, at ang distansya sa pagitan ng mga ito ay nakatutok distansya.
Tukuyin ang foci ng hyperbola sa pamamagitan ng mga titik F 1 at F 2 .
Hayaan Focal length| F 1 F 2 | = 2 kasama.
Kung ang M ay isang di-makatwirang punto ng hyperbola (Larawan 112), pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng hyperbola, ang modulus ng pagkakaiba | F 1 M | - | F 2 M | pare-pareho. Tinutukoy ito sa pamamagitan ng 2 a, nakukuha namin
| | F 1 M | - | F 2 M | | = 2 a. (1)
Tandaan na sa pamamagitan ng kahulugan ng hyperbola 2 a< 2kasama, ibig sabihin. a< с .
Ang pagkakapantay-pantay (1) ay ang equation ng isang hyperbola.
Pumili kami ng coordinate system upang ang abscissa axis ay dumaan sa foci ng hyperbola; iguhit ang y-axis sa gitna ng segment F 1 F 2 patayo dito (Larawan 113).
Pagkatapos ang foci ng hyperbola ay ang mga puntos na F 1 (- c; 0) at F 2 ( c; 0).
Hayaan mo si M( X; sa) ay anumang punto ng hyperbola, kung gayon
| F 1 M | = √( x+c) 2 + y 2 at | F 2 M | = √( x-c) 2 + y 2 .
Pagpapalit ng mga halaga | F 1 M | at | F 2 M | sa equation (1), nakukuha natin
| √(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 | = 2a. (2)
Ang equation na aming nakuha ay ang equation ng isang hyperbola sa napiling coordinate system. Ang equation na ito ay maaaring bawasan sa isang mas simpleng anyo.
Hayaan X > 0, kung gayon ang equation (2) ay maaaring isulat nang walang modulus sign tulad ng sumusunod:
√(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 = 2a,
√(x+c) 2 + y 2 =2a + √(x-c) 2 + y 2 (3)
I-square natin ang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay:
(x + c) 2 + sa 2 = 4a 2 + 4a √(x-c) 2 + y 2 + (x - c) 2 + sa 2 .
Pagkatapos ng naaangkop na mga pagpapasimple at pagbabago:
√(x-c) 2 + y 2 = c / a x - a, (4)
(x - c) 2 + sa 2 = (c / a x - a) 2 ,
dumating tayo sa equation
(5)
Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang hyperbole a< kasama, Kaya naman kasama 2 - a 2 - positibong numero. Tukuyin natin ito sa pamamagitan ng b 2 , ibig sabihin, ilagay b 2 = kasama 2 - a 2. Pagkatapos ang equation (5) ay kunin ang anyo
Hinati ang termino sa pamamagitan ng termino sa b 2 , makuha namin ang equation
Kung ang X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:
√(x-c) 2 + y 2 - √(x+c) 2 + y 2 = 2a,
at sa parehong paraan tulad ng sa kaso X > 0 ay na-convert sa form (6).
Ang equation (6) ay tinatawag ang canonical equation ng hyperbola.
Magkomento. Ang pag-square sa magkabilang bahagi ng Eqs. (3) at (4) ay hindi lumalabag sa equivalence ng mga equation. Ang parehong bahagi ng equation (3) ay malinaw na hindi negatibo para sa lahat ng mga halaga X at sa. Ang kaliwang bahagi ng equation (4) ay palaging hindi negatibo. Sa X > a kanang bahagi equation (4) ay positibo, dahil
c / a x - a > c / a a - a = c - a > 0
Kaya, ang mga extraneous na puntos ay maaaring lumitaw lamang sa ilalim ng kundisyon 0 < X< а , ngunit mula sa equation (6) ito ay sumusunod na x 2 /a 2 > 1, ibig sabihin. | x | > a.
Gawain 1. Sumulat canonical equation hyperbola na dumadaan sa isang punto
M (-5; 9/4) kung ang focal length ng hyperbola ay 10.
Dahil |F 1 F 2 |= 10, pagkatapos kasama= 5. Isulat natin ang canonical equation ng hyperbola
Sa kondisyon, ang puntong M (-5; 9/4) ay kabilang sa hyperbola, samakatuwid,
Ang pangalawang equation upang matukoy a 2 at b 2 ay nagbibigay ng ratio
b 2 = kasama 2 -a 2 = 25 -a 2 .
Ang pagkakaroon ng solusyon sa sistema
hanapin a 2 =16, b 2 = 9. Ang nais na equation ay ang equation
Gawain 2. Patunayan na ang equation
20x 2 - 29y 2 = 580
ay ang equation ng isang hyperbola. Maghanap ng mga coordinate ng mga trick.
Ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 580, nakukuha natin
Ito ang hyperbolic equation kung saan a 2 = 29, b 2 = 20.
Mula sa relasyon c 2 = a 2 + b 2 mahanap c 2 = 29 + 20 = 49, kasama= 7. Samakatuwid, ang foci ng hyperbola ay nasa mga puntong F 1 (-7; 0) at F 2 (7; 0).
1. Pangkalahatang equation ng mga curve ng pangalawang order.
Anumang equation ng pangalawang degree na may paggalang sa x at y, iyon ay, isang equation ng form
kung saan - ibinigay pare-pareho ang mga koepisyent, at 
, ay tumutukoy sa isang linya sa eroplano, na karaniwang tinatawag na curve ng pangalawang pagkakasunud-sunod. Ang baligtad ay totoo rin. May apat na uri ng second order curves: circle, ellipse, hyperbola at parabola. Ang lahat ng mga ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagputol ng isang kono na may isang eroplano at samakatuwid sila ay tinatawag din mga kabayo.
Ang mga curve equation ay maaaring makuha mula sa kanilang geometric na katangian bilang ilang locus ng mga punto na nakakatugon sa ilang mga kundisyon.
2. Bilog. Ang bilog ay tinatawag geometric na lugar mga punto ng eroplano na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag na sentro.
Kung ang r ay ang radius ng bilog, at ang punto C () ay ang sentro nito, kung gayon ang equation ng bilog ay may anyo:
. (12.2)
Kung ang sentro ng bilog ay tumutugma sa pinagmulan, kung gayon ang equation ng bilog ay may pinakasimpleng canonical form: 
.
Halimbawa 14. Sumulat ng isang equation para sa isang bilog na dumadaan sa mga puntos
A(5; 0) at B(1; 4), kung ang sentro nito ay nasa linyang x - y - 3 = 0.
Hanapin ang mga coordinate ng punto M - sa gitna ng chord AB:
, ibig sabihin, M(3; 2).
Ang gitna ng bilog ay nasa perpendikular na naibalik mula sa gitna ng segment AB. Buuin natin ang equation ng tuwid na linya AB:
, o x + y - 5 = 0.
Ang slope ng linya AB ay -1, kaya ang slope ng patayo 
. Perpendicular equation
y - 2 \u003d 1 (x - 3), o x - y - 1 \u003d 0.
Ang gitna ng bilog C ay namamalagi sa linya x + y - 3 = 0 ayon sa kondisyon ng problema, pati na rin sa patayo x - y - 1 = 0, iyon ay, ang mga coordinate ng sentro ay nagbibigay-kasiyahan sa system ng mga equation:
x - y - 3 = 0
x - y - 1 \u003d 0.
Samakatuwid x = 2, y = 1, at ang puntong C(2; 1).
Radius ng bilog katumbas ng haba segment CA:
Circle equation: (x - 2) 2 + (y-1) 2 \u003d 10.
3. Ellipse. Ang isang ellipse ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci. Ang canonical equation ng isang ellipse ay:
. (12.3)
dito - semi-major axis ellipse, ay ang minor semiaxis, at kung ang distansya sa pagitan ng foci ay 2c, kung gayon 
. Halaga 
ay tinatawag na eccentricity ng ellipse at nailalarawan ang sukat ng compression. Mula noong kasama< , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .
Direkta 
at 
ay tinatawag na mga directrix ng ellipse. Ang mga directrix ng isang ellipse ay may sumusunod na katangian: kung ang r ay ang focal radius vector ng puntong M, ang d ay ang distansya mula sa puntong ito hanggang sa one-sided directrix na may focus, kung gayon .
Halimbawa15. Sumulat ng isang equation para sa isang ellipse na ang foci ay nasa x-axis, simetriko tungkol sa pinagmulan, alam na ang pangunahing axis nito ay 8 at ang distansya sa pagitan ng mga directrix ay 16.
Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema Directtrix equation 
; distansya ng directrix 
, samakatuwid 
; bilang 
, pagkatapos 
, ibig sabihin, c = 2.
Bilang 
, pagkatapos 
.
Ellipse equation: 
.
Tandaan: kung nasa canonical equation ng isang ellipse 
, pagkatapos ay ang foci ng ellipse ay nasa y-axis at ; mga equation ng directrix: 
; Ang mga focal radius vector ay tinutukoy ng mga formula: .
Halimbawa 16 Sumulat ng equation para sa isang ellipse na ang foci ay simetriko sa y-axis na may paggalang sa pinagmulan, alam na ang distansya sa pagitan ng foci ay 2c = 24, ang eccentricity 
.
Ang canonical equation ng isang ellipse ay: 
.
Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema c = 12. dahil 
, pagkatapos 
, ibig sabihin 
.
Bilang 
, pagkatapos .
Ellipse equation: 
.
4. Hyperbola. Ang hyperbola ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano kung saan ganap na halaga ang pagkakaiba sa mga distansya sa dalawang nakapirming punto ng parehong eroplano, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng , mas mababa sa distansya sa pagitan ng foci ( 
).
Ang canonical equation ng isang hyperbola ay may anyo:
, (12.4)
saan 
.
Ang hyperbola ay binubuo ng dalawang sangay at matatagpuan sa simetriko tungkol sa mga coordinate axes. puntos 
at 
tinatawag na vertices ng hyperbola. Segment ng linya 
ay tinatawag na tunay na axis ng hyperbola, at ang segment 
nagdudugtong na mga punto 
at 
, - haka-haka na aksis. Ang hyperbola ay may dalawang asymptotes na ang mga equation ay 
. Saloobin 
ay tinatawag na eccentricity ng hyperbola. tuwid, ibinigay ng mga equation 
ay tinatawag na mga directrix ng isang hyperbola. Focal radius vectors ng kanang sangay ng hyperbola: .
Focal radius vectors ng kaliwang sangay ng hyperbola: .
Ang equation 
ay isa ring equation ng hyperbola, ngunit ang tunay na axis ng hyperbola na ito ay isang segment ng OY axis ng haba . puntos 
at 
nagsisilbing vertex ng hyperbola. Ang mga sanga ng hyperbola ay matatagpuan sa itaas at ibaba coordinate na eroplano. Dalawang hyperbola 
at 
ay tinatawag na conjugate hyperbolas.
Halimbawa17. Ang eccentricity ng hyperbola ay . Bumuo ng pinakasimpleng equation ng isang hyperbola na dumadaan sa puntong M( 
).
Sa pamamagitan ng kahulugan ng eccentricity, mayroon tayo 
, o 
.
Pero 
, kaya naman . Mula sa punto M( 
) ay nasa hyperbola, kung gayon 
. Mula rito 
.
Kaya, ang equation ng nais na hyperbola ay may anyo: 
.
Halimbawa 18. Ang anggulo sa pagitan ng mga asymptotes ng hyperbola ay 60°. Kalkulahin ang eccentricity ng hyperbola.
Slope ng hyperbola asymptote 
. Eccentricity ng isang hyperbola 
.
Pagpapalit ng halaga dalisdis, nakukuha namin
.
Halimbawa 19. Sumulat ng isang equation para sa isang hyperbola na dumadaan sa isang punto
M(9; 8) kung ang mga asymptotes ng hyperbola ay ibinibigay ng mga equation 
.
Mula sa asymptote equation na mayroon tayo 
. Dahil ang puntong M(9; 8) ay kabilang sa hyperbola, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng hyperbola, i.e. 
.
Upang mahanap ang mga semiax ng hyperbola, mayroon kaming system:
Ang paglutas ng sistema, nakukuha namin 
Ang nais na equation ng hyperbola ay may anyo: 
.
5. Parabola. Ang parabola ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano na katumbas ng distansya mula sa isang partikular na punto, na tinatawag na focus, at mula sa isang partikular na linya, na tinatawag na directrix. Kung ang directrix ay ibinigay ng equation 
, at ang focus ay nasa puntong F(), kung gayon ang parabola equation ay may anyo:
. (12.5)
Ang parabola na ito ay matatagpuan sa simetriko tungkol sa x-axis.
Ang equation 
ay ang equation ng isang parabola simetriko tungkol sa y-axis.
Ang haba ng focal radius vector ng parabola 
ay tinutukoy ng formula 
.
Halimbawa 20. Buuin ang equation ng isang parabola na may vertex sa pinanggalingan, simetriko tungkol sa axis ng OY at pinutol ang isang chord na may haba na 8 sa bisector ng una at ikatlong mga anggulo ng coordinate.
Ang nais na parabola equation ay may anyo 
.
Bisector equation y \u003d x. Tukuyin natin ang mga intersection point ng parabola at ng bisector: 
Nang malutas ang system, nakukuha natin ang O(0; 0) at M(2p; 2p).
Haba ng chord OM = 
.
Sa kondisyon, mayroon kaming: OM \u003d 8, kung saan 2p \u003d 8.
Ang nais na parabola equation 
.
Equation ng eroplano
AT Mga coordinate ng Cartesian ang bawat eroplano ay tinukoy ng isang first-degree na equation sa mga hindi alam na x, y, at z, at ang bawat first-degree na equation sa tatlong hindi alam ay tumutukoy sa isang eroplano.
Kumuha tayo ng isang di-makatwirang vector na may simula sa punto 
. Kunin natin ang equation ng locus ng mga puntos na M(x, y, z), para sa bawat isa kung saan ang vector 
patayo sa vector. Isulat natin ang kondisyon ng perpendicularity ng mga vectors:
Ang resultang equation ay linear sa x, y, z, samakatuwid, ito ay tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa puntong patayo sa vector . Vector 
ay tinatawag na normal na vector ng eroplano. Pagpapalawak ng mga bracket sa nagresultang equation ng eroplano at tinutukoy ang numero 
titik D, kinakatawan namin ito sa anyo:
Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)
Ang equation na ito ay tinatawag ang pangkalahatang equation ng eroplano. Ang A, B, C at D ay ang mga coefficient ng equation, A 2 + B 2 + C 2 0.
1. Mga Hindi Kumpletong Equation mga eroplano.
Kung sa pangkalahatang equation ng eroplano isa, dalawa o tatlong coefficient ay katumbas ng zero, kung gayon ang equation ng eroplano ay tinatawag na hindi kumpleto. Maaaring magpakilala mga sumusunod na kaso:
1) D = 0 - ang eroplano ay dumaan sa pinanggalingan;
2) A = 0 - ang eroplano ay parallel sa Ox axis;
3) B = 0 - ang eroplano ay parallel sa Oy axis;
4) C = 0 - ang eroplano ay parallel sa Oz axis;
5) A = B = 0 - ang eroplano ay parallel sa XOY plane;
6) A \u003d C \u003d 0 - ang eroplano ay kahanay sa XOZ na eroplano;
7) B = C = 0 - ang eroplano ay parallel sa YOZ plane;
8) A \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay dumadaan sa axis ng Ox;
9) B = D = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa Oy axis;
10) C \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay dumadaan sa Oz axis;
11) A = B = D = 0 - ang eroplano ay tumutugma sa XOY na eroplano;
12) A = C = D = 0 - ang eroplano ay tumutugma sa XOZ na eroplano;
13) C \u003d B \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay tumutugma sa YOZ na eroplano.
2. Equation ng isang eroplano sa mga segment.
Kung sa pangkalahatang equation ng eroplano D 0, maaari itong mabago sa anyo
, (13.3)
na tinatawag na equation ng eroplano sa mga segment. 
- matukoy ang haba ng mga segment na pinutol ng eroplano sa mga coordinate axes.
3. Normal na equation ng eroplano.
Ang equation
saan 
ay ang mga cosines ng direksyon ng normal na vector ng eroplano 
, tinawag normal na equation mga eroplano. Upang dalhin ang pangkalahatang equation ng eroplano sa normal na anyo, dapat itong i-multiply sa normalizing factor: 
,
sa kasong ito, ang tanda sa harap ng ugat ay pinili mula sa kondisyon 
.
Distansya d mula sa punto 
sa eroplano ay tinutukoy ng formula: .
4. Equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos
Kumuha tayo ng di-makatwirang punto ng eroplanong M(x,y,z) at ikonekta ang puntong M1 sa bawat isa sa tatlong natitira. Kumuha kami ng tatlong vectors. Para sa tatlong vectors na mapabilang sa parehong eroplano, ito ay kinakailangan at sapat na sila ay coplanar. Ang kondisyon para sa complanarity ng tatlong vectors ay ang pagkakapantay-pantay sa zero ng kanilang pinaghalong produkto, ibig sabihin.
Ang pagsulat ng pagkakapantay-pantay na ito sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga puntos, nakuha namin ang nais na equation:
. (13.5)
5. Anggulo sa pagitan ng mga eroplano.
Ang mga eroplano ay maaaring magkatulad, magkasabay o magsalubong, na bumubuo dihedral na anggulo. Hayaang bigyan ang dalawang eroplano pangkalahatang equation at . Para mag-coincide ang mga eroplano, kinakailangan na ang mga coordinate ng anumang punto na nakakatugon sa unang equation ay makakatugon din sa pangalawang equation.
Ito ay magaganap kung 
.
Kung ang 
, pagkatapos ay ang mga eroplano ay parallel.
Ang anggulo na nabuo ng dalawang magkasalubong na eroplano, katumbas ng anggulo nabuo sa pamamagitan ng kanilang mga normal na vectors. Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ay tinutukoy ng formula: 
Kung , kung gayon ang mga eroplano ay patayo.
Halimbawa 21. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa dalawang puntos 
at 
patayo sa eroplano.
Isinulat namin ang nais na equation sa pangkalahatang pananaw: . Dahil ang eroplano ay dapat na dumaan sa mga punto at , ang mga coordinate ng mga punto ay dapat matugunan ang equation ng eroplano. Ang pagpapalit sa mga coordinate ng mga puntos at , makuha namin ang: at .
Mula sa kondisyon ng perpendicularity ng mga eroplano na mayroon kami: 
. Vector 
matatagpuan sa nais na eroplano at, samakatuwid, patayo sa normal na vector: .
Pinagsasama ang nakuha na mga equation, mayroon kaming:
Ang paglutas ng system, nakukuha namin: 
, 
, 
, 
.
Ang nais na equation ay may anyo: .
Ang pangalawang paraan. normal na vector binigay na eroplano may mga coordinate 
. Vector 
. Ang normal na vector ng kinakailangang eroplano ay patayo sa vector at ng vector 
, ibig sabihin. collinear sa produkto ng vector 
. Compute produkto ng vector: 
.
Vector 
. Isulat natin ang equation ng eroplanong dumadaan sa puntong patayo sa vector:
O ang nais na equation.
Kahulugan . Ang hyperbola ay isang locus ng mga puntos, ang pagkakaiba mula sa bawat isa sa dalawang ibinigay na mga punto, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga.
Kumuha tayo ng isang sistema ng coordinate upang ang foci ay nasa abscissa axis, at ang pinagmulan ng mga coordinate ay naghahati sa segment na F 1 F 2 sa kalahati (Larawan 30). Ipahiwatig ang F 1 F 2 = 2c. Pagkatapos ay F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)
MF 2 \u003d r 2, MF 1 \u003d r 1 - focal radii hyperbole.
Ayon sa kahulugan ng hyperbola, r 1 - r 2 = const.
Tukuyin natin ito ng 2a
Pagkatapos r 2 - r 1 = ±2a kaya:
=>
canonical equation ng isang hyperbola
Dahil ang equation ng hyperbola x at y ay nasa magkapantay na kapangyarihan, kung gayon kung ang puntong M 0 (x 0; y 0) ay nasa hyperbola, kung gayon ang mga puntos na M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).
Samakatuwid, ang hyperbola ay simetriko tungkol sa parehong coordinate axes.
Kapag y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. Ang mga vertex ng hyperbola ay magiging mga puntos A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0).
. Dahil sa simetrya, ang pag-aaral ay isinasagawa sa unang quarter 
1) sa 
y ay may haka-haka na halaga, kaya ang mga punto ng hyperbola na may abscissas 
ay wala
2) sa x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) ay kabilang sa isang hyperbola
3) para sa x > a; y > 0. Bukod dito, na may walang limitasyong pagtaas sa x, ang sangay ng hyperbola ay napupunta sa infinity.
Kasunod nito na ang hyperbola ay isang kurba na binubuo ng dalawang walang katapusang sangay.
P 6. Asymptotes ng hyperbola
Isaalang-alang kasama ang equation 
straight line equation 
Upang 
ang kurba ay nasa ibaba ng tuwid na linya (Larawan 31). Isaalang-alang ang mga puntos na N (x, Y) at M (x, y) na ang mga abscissas ay pareho, at Y - y \u003d MN. Isaalang-alang ang haba ng segment na MN
Hanapin natin 
Kaya, kung ang punto M, na gumagalaw kasama ang hyperbola sa unang quarter, ay lumayo sa infinity, kung gayon ang distansya nito mula sa tuwid na linya. 
bumababa at nagiging zero.
Dahil sa mahusay na proporsyon, ang tuwid na linya ay may parehong katangian. 
.
Kahulugan. Direktang mga linya kung saan
ang kurba ay lumalapit nang walang katiyakan ay tinatawag na asymptotes.
At 
kaya, ang equation ng mga asymptotes ng hyperbola 
.
Ang mga asymptotes ng hyperbola ay matatagpuan sa kahabaan ng mga dayagonal ng isang rektanggulo, ang isang gilid nito ay kahanay ng x-axis at katumbas ng 2a, at ang isa ay parallel sa y-axis at katumbas ng 2b, at ang sentro namamalagi sa pinanggalingan (Larawan 32).
P 7. Eccentricity at directrixes ng isang hyperbola
r 2 – r 1 = ± 2a sign + ay tumutukoy sa kanang sangay ng hyperbola
sign - tumutukoy sa kaliwang sangay ng hyperbola
Kahulugan. Ang eccentricity ng hyperbola ay ang ratio ng distansya sa pagitan ng foci ng hyperbola na ito sa distansya sa pagitan ng mga vertices nito.
. Dahil c > a, ε > 1
Ipinapahayag namin ang focal radii ng hyperbola sa mga tuntunin ng eccentricity:
Kahulugan
. Tawagan natin ang mga linya
, patayo sa focal axis ng hyperbola at matatagpuan sa malayomula sa gitna nito sa pamamagitan ng directrix ng hyperbola na tumutugma sa kanan at kaliwang foci.
T 
parang hyperbole 
dahil dito, ang mga directrix ng hyperbola ay matatagpuan sa pagitan ng mga vertices nito (Larawan 33). Ipakita natin na ang ratio ng mga distansya ng anumang punto ng hyperbola sa focus at ang kaukulang directrix ay pare-pareho at katumbas ng ε.
P. 8 Parabola at ang equation nito
O 
kahulugan.
Ang parabola ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang partikular na punto, na tinatawag na focus, at mula sa isang partikular na linya, na tinatawag na directrix.
Upang buuin ang equation ng isang parabola, kinukuha namin bilang x-axis ang isang tuwid na linya na dumadaan sa focus F 1 patayo sa directrix at isasaalang-alang namin ang x-axis na nakadirekta mula sa directrix patungo sa focus. Para sa pinagmulan ng mga coordinate, kinukuha namin ang midpoint O ng segment mula sa punto F hanggang sa ibinigay na tuwid na linya, ang haba kung saan tinutukoy namin ng p (Larawan 34). Ang dami ng p ay tatawaging parameter ng parabola. Itutok ang coordinate point 
.
Hayaang ang M(x, y) ay isang arbitraryong punto ng parabola.
Sa pamamagitan ng kahulugan 
sa 2 Ang = 2px ay ang canonical equation ng parabola
Upang matukoy ang uri ng parabola, binabago namin ang equation nito 
ito ay nagpapahiwatig . Samakatuwid, ang vertex ng parabola ay nasa pinanggalingan at ang axis ng symmetry ng parabola ay x. Ang equation y 2 \u003d -2px na may positibong p ay nabawasan sa equation na y 2 \u003d 2px sa pamamagitan ng pagpapalit ng x ng -x at ang graph nito ay parang (Fig. 35).
Sa 
ang equation x 2 \u003d 2ru ay ang equation ng isang parabola na may vertex sa punto O (0; 0) na ang mga sanga ay nakadirekta paitaas.
X 
2 \u003d -2ru - ang equation ng isang parabola na nakasentro sa pinanggalingan ay simetriko tungkol sa y-axis, ang mga sanga nito ay nakadirekta pababa (Larawan 36).
Ang isang parabola ay may isang axis ng symmetry.
Kung ang x ay sa unang kapangyarihan at y ay sa pangalawang kapangyarihan, kung gayon ang axis ng simetrya ay x.
Kung ang x ay sa pangalawang kapangyarihan at ang y ay sa unang kapangyarihan, kung gayon ang axis ng symmetry ay ang y-axis.
Puna 1.
Ang directrix equation ng isang parabola ay may anyo
.
Puna 2.
Dahil para sa isang parabola
, pagkataposε
ang parabola ay 1.ε
= 1
.
Dahil sa equation ng isang ellipse.
Desisyon:
Isinulat namin ang equation ng ellipse sa canonical form: 
.
Mula rito 
. Gamit ang kaugnayan 
, nahanap namin 
. Kaya naman, 
.
Ayon sa formula 
hanapin 
.
Mga equation ng Directtrix 
kamukha 
, ang layo ng pagitan nila 
.
Ayon sa formula 
hanapin ang abscissa ng mga punto, ang distansya mula sa kung saan patungo sa punto 
katumbas ng 12:
. Pagpapalit ng halaga x sa equation ng isang ellipse, makikita natin ang mga ordinate ng mga puntong ito:
Kaya, ang punto A(7;0) ay nakakatugon sa kondisyon ng problema.
Suliranin 56.
Sumulat ng isang equation para sa isang ellipse na dumadaan sa mga puntos.
Desisyon:
Hinahanap namin ang ellipse equation sa form 
.
Dahil ang ellipse ay dumadaan sa mga punto 
, pagkatapos ay natutugunan ng kanilang mga coordinate ang ellipse equation: 
. Ang pagpaparami ng pangalawang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng (-4) at pagdaragdag sa una, makikita natin 
.
Pagpapalit sa nahanap na halaga 
sa unang equation, nakita namin 
. Kaya, ang nais na equation 
.
Suliranin 57.
;
.
Hyperbola
Hyperbole ay tinatawag na isang linya na binubuo ng lahat ng mga punto ng eroplano, ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto 
at 
ay isang pare-parehong halaga (hindi katumbas ng zero at mas mababa sa distansya sa pagitan ng mga puntos 
at 
).
puntos 
at 
tinawag mga trick hyperbole. Hayaan ang distansya sa pagitan ng foci 
. Module ng mga distansya mula sa hyperbola point hanggang foci 
at 
tukuyin ng 
. Sa kondisyon, 
.
,
saan 
- mga coordinate di-makatwirang punto hyperbole,
.
Ang equation 
tinawag canonical equation hyperbole.
Ang hyperbole ay may dalawa asymptotes
.
eccentricity ang hyperbola ay tinatawag na numero 
. Para sa anumang hyperbole 
.
Ang focal radii ng isang hyperbola point tinatawag na mga segment ng linya na nag-uugnay sa puntong ito sa foci 
at 
. Ang haba nila 
at 
ay ibinigay ng mga formula:
Direkta 
ay tinatawag na mga directrix ng hyperbola. Tulad ng sa kaso ng isang ellipse, ang mga punto ng isang hyperbola ay nailalarawan sa pamamagitan ng kaugnayan 
.
Suliranin 58.
Hanapin ang distansya sa pagitan ng foci at ang eccentricity ng hyperbola 
.
Sagot:
.
Suliranin 59.
Isulat ang canonical equation ng hyperbola kung ( 
). Tukuyin ang eccentricity ng hyperbola.
Sagot:
.
Suliranin 60.
Isulat ang canonical equation ng hyperbola symmetric tungkol sa mga coordinate axes kung ito ay dumaan sa isang punto 
, at ang eccentricity ay 
.
Sagot:
.
Gawain 61.
Hanapin ang mga equation ng hyperbola na ang vertices ay nasa foci at ang foci ay nasa vertices ng isang ellipse 
.
Sagot:
.
Suliranin 62.
Tukuyin ang locus ng mga puntos 
, ang mga distansya mula sa kung saan patungo sa tuwid na linya 
kalahati ng mas maraming bago ang punto 
.
Sagot:
.
Suliranin 63.
Isulat ang equation ng hyperbola symmetric na may kinalaman sa coordinate system kung ito ay dumaan sa mga puntos 
,
.
Sagot:
.
Gawain 64.
Sumulat ng isang equation para sa isang hyperbola kung ang mga asymptotes nito ay ibinigay ng equation 
, at ang hyperbola ay dumadaan sa punto 
.
Sagot:
.
Suliranin 65.
Paano matatagpuan ang mga punto sa eroplano, ang mga coordinate na kung saan ay nakakatugon sa mga kondisyon:
.
Parabola
parabola tinatawag na isang linya na binubuo ng lahat ng mga punto ng eroplano na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto 
(focus) at ibinigay na linya 
(mga direktor).
Upang makuha ang canonical equation ng parabola, ang axis 
dumaan sa focus 
patayo sa directrix 
sa direksyon mula sa directrix hanggang sa pokus; ang pinagmulan ng mga coordinate ay kinuha sa gitna ng segment sa pagitan ng focus 
at tuldok 
axis intersection 
kasama ang punong guro 
. Kung tinutukoy ng 
distansya ng focus mula sa directrix, pagkatapos 
at ang directrix equation ang magiging hitsura 
.
Sa napiling coordinate system, ang parabola equation ay may anyo: 
. Ang equation na ito ay tinatawag ang canonical equation ng parabola.
