Isaalang-alang ngayon ang quadratic equation

kung saan ang hindi kilalang dami, ay ang mga parameter (coefficients) ng equation.

Ang mga kritikal na halaga ng parameter ay dapat kasama, una sa lahat, ang halaga Sa tinukoy na halaga ng parameter, ang equation (1) ay kumukuha ng form

samakatuwid, ang pagkakasunud-sunod ng equation ay binabawasan ng isa. Ang equation (2) ay isang linear na equation at ang paraan ng solusyon nito ay isinasaalang-alang nang mas maaga.

Para sa iba pang mga kritikal na halaga ng mga parameter ay tinutukoy ng discriminant ng equation. Ito ay kilala na sa , equation (1) ay walang mga ugat; dahil mayroon itong iisang ugat para sa equation (1) ay may dalawang magkaibang ugat at

isa). Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter kung saan ang quadratic equation

a) may dalawang magkaibang ugat;

b) walang mga ugat;

c) may dalawang magkapantay na ugat.

Desisyon. Ang equation na ito ay quadratic ayon sa kundisyon, at samakatuwid ay Isaalang-alang ang discriminant ng equation na ito

Kapag ang equation ay may dalawang magkaibang ugat, dahil

Kapag ang equation ay walang mga ugat, dahil Ang quadratic equation na ito ay hindi maaaring magkaroon ng dalawang pantay na ugat, dahil para sa at ito ay sumasalungat sa kalagayan ng problema.

Sagot: Kapag ang equation ay may dalawang magkaibang ugat.

Kapag ang equation ay walang mga ugat.

2) Lutasin ang equation. Para sa bawat tinatanggap na halaga ng parameter, lutasin ang equation

Desisyon. Isaalang-alang muna ang kaso kung kailan

(sa kasong ito, ang orihinal na equation ay magiging isang linear equation). Kaya, ang halaga ng parameter at ang mga kritikal na halaga nito. Malinaw na para sa , ang ugat ng equation na ito ay at para sa , ang ugat nito ay

Kung ang mga. at pagkatapos ang equation na ito ay parisukat. Hanapin natin ang diskriminasyon nito:

Para sa lahat ng mga halaga, ang discriminant ay kumukuha ng mga hindi negatibong halaga, at ito ay naglalaho sa (ang mga halagang ito ng parameter ay ang mga kritikal na halaga din nito).

Samakatuwid, kung ang equation na ito ay may iisang ugat

Sa kasong ito, ang halaga ng parameter ay tumutugma sa ugat

at ang halaga ay tumutugma sa ugat

Kung ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Hanapin natin ang mga ugat na ito.

Sagot. Kung noon kung saka kung pagkatapos

kung gayon,.

3) Lutasin ang equation. Sa anong mga halaga ng parameter a may natatanging solusyon ba ang equation?

Desisyon. Ang equation na ito ay katumbas ng system

Ang pagkakaroon ng isang quadratic equation at ang kundisyon para sa uniqueness ng solusyon ay natural na hahantong sa paghahanap para sa mga ugat ng discriminant. Gayunpaman, ang kundisyong x ≠ -3 ay dapat makaakit ng pansin. At ang "pinong punto" ay ang quadratic equation ng system ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat! Ngunit isa lamang sa kanila ang dapat na katumbas ng -3. Meron kami

D= a 2 - 4 , kaya D = 0 kung a= ±2; x \u003d -3 - ang ugat ng equation x 2 - a x +1 = 0 sa

a= -10/3, at may ganitong halaga a iba ang pangalawang ugat ng quadratic equation

Sagot. a= ±2 o a = -10/3.

4) Lutasin ang equation. Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation

(a- 2)x 2 + (4 - 2a) X Ang +3 = 0 ay may natatanging solusyon?

Desisyon. Ito ay malinaw na ito ay kinakailangan upang magsimula sa kaso a= 2. Ngunit sa a = 2 Ang orihinal na equation ay walang mga solusyon sa lahat. Kung ang a ≠ 2, kung gayon ang equation na ito ay quadratic, at, tila, ang mga nais na halaga ng parameter ay ang mga ugat ng discriminant. Gayunpaman, ang discriminant ay naglalaho kapag a = 2 o a = 5. Since na-establish natin yan a=2 hindi magkasya, kung gayon

Sagot, a = 5.

9) Lutasin ang equation. Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation Oh 2 - 4X + a+ 3 = 0 ay may higit sa isang ugat?

Desisyon. Sa a= 0 ang equation ay may iisang ugat, na hindi nakakatugon sa kundisyon. Sa a≠ 0 ang orihinal na equation, na parisukat, ay may dalawang ugat kung ang discriminant nito ay 16 – 4 a 2 – 12a positibo. Mula dito ay nakukuha natin ang -4<a<1.

Gayunpaman, kasama sa resultang interval (-4; 1) ang numero 0. Sagot. -4<a<0 или 0<a<1.

sampu). Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation a(a+3)X 2 + (2a+6)X– 3a– 9 = 0 ay may higit sa isang ugat?

Desisyon. Standard na hakbang - magsimula sa mga kaso a= 0 at a= -3. Sa a= 0 ang equation ay may natatanging solusyon. Nakaka-curious na sa a= -3 ang solusyon ng equation ay anumang tunay na numero. Sa a≠ -3 at a≠ 0, na hinahati ang magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan ng a + 3, nakukuha natin ang quadratic equation Oh 2 + 2X- 3 = 0, na ang discriminant ay 4 (1 + Z a) ay positibo para sa isang > ⅓. Ang karanasan ng mga nakaraang halimbawa ay nagmumungkahi na mula sa pagitan

(-⅓ ;∞) kailangan mong ibukod ang punto a= 0, at huwag kalimutang isama a = -3.

Sagot. a= -3, o - ⅓< а < 0, или а > 0.

11). Lutasin ang equation :

Desisyon. Una, tandaan na para sa equation na ito ay katumbas ng isang equation na walang mga solusyon. Kung

1. Gawain.
Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 ay may eksaktong isang ugat?

1. Desisyon.
Sa a= 1 equation ang may form 2 x= 0 at halatang may iisang ugat x= 0. Kung a No. 1, kung gayon ang equation na ito ay quadratic at may isang solong ugat para sa mga halaga ng parameter kung saan ang discriminant ng square trinomial ay katumbas ng zero. Ang equating ang discriminant sa zero, nakakakuha kami ng equation para sa parameter a 4a 2 - 8a= 0, saan a= 0 o a = 2.

1. Sagot: ang equation ay may iisang ugat sa a O(0; 1; 2).

2. Gawain.
Hanapin ang lahat ng value ng parameter a, kung saan ang equation ay may dalawang magkaibang ugat x 2 +4palakol+8a+3 = 0.
2. Desisyon.
Ang equation x 2 +4palakol+8a Ang +3 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat kung at kung lamang D = 16a 2 -4(8a+3) > 0. Nakukuha namin (pagkatapos ng pagbabawas ng karaniwang salik na 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, kung saan

2. Sagot:

a O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) AT (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Gawain.
Ito ay kilala na
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) I-graph ang function f 1 (x) sa a = 1.
b) Sa anong halaga a mga function graph f 1 (x) at f 2 (x) may iisang karaniwang punto?

3. Solusyon.
3.a. Magtransform tayo f 1 (x) sa sumusunod na paraan
Ang graph ng function na ito a= 1 ay ipinapakita sa figure sa kanan.
3.b. Agad naming tandaan na ang function graphs y = kx+b at y = palakol 2 +bx+c (a Hindi. 0) bumalandra sa isang punto kung at kung ang quadratic equation kx+b = palakol 2 +bx+c may iisang ugat. Gamit ang View f 1 ng 3.a, tinutumbasan namin ang discriminant ng equation a = 6x-x 2 -6 hanggang zero. Mula sa Equation 36-24-4 a= 0 ang nakukuha natin a= 3. Gayon din ang paggawa sa equation 2 x-a = 6x-x 2 -6 mahanap a= 2. Madaling i-verify na ang mga halaga ng parameter na ito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema. Sagot: a= 2 o a = 3.

4. Gawain.
Hanapin ang lahat ng mga halaga a, kung saan ang hanay ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay x 2 -2palakol-3a i 0 ay naglalaman ng segment .

4. Solusyon.
Ang unang coordinate ng vertex ng parabola f(x) = x 2 -2palakol-3a ay katumbas ng x 0 = a. Mula sa mga katangian ng isang quadratic function, ang kundisyon f(x) i 0 sa pagitan ay katumbas ng kabuuan ng tatlong sistema
may eksaktong dalawang solusyon?

5. Desisyon.
Isulat muli natin ang equation na ito sa anyo x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Ito ay isang quadratic equation, mayroon itong eksaktong dalawang solusyon kung ang discriminant nito ay mahigpit na mas malaki sa zero. Ang pagkalkula ng discriminant, nakuha namin na ang kondisyon para sa pagkakaroon ng eksaktong dalawang ugat ay ang katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay. a 2 +a-6 > 0. Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay, makikita natin a < -3 или a> 2. Malinaw, ang una sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon sa natural na mga numero, at ang pinakamaliit na natural na solusyon ng pangalawa ay ang numero 3.

5. Sagot: 3.

6. Gawain (10 cell)
Hanapin ang lahat ng mga halaga a, kung saan ang graph ng function o, pagkatapos ng mga halatang pagbabago, a-2 = | 2-a| . Ang huling equation ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay a ako 2.

6. Sagot: a O )