Ang mga pagpapalagay tungkol sa likas na katangian ng Poisson ng daloy ng mga kahilingan at tungkol sa exponential distribution ng oras ng serbisyo ay mahalaga dahil pinapayagan nila kaming ilapat ang apparatus ng tinatawag na Markov random na proseso sa teorya ng pagpila.
Ang prosesong nagaganap sa isang pisikal na sistema ay tinatawag na proseso ng Markov (o isang prosesong walang epekto) kung sa bawat sandali ng panahon ang posibilidad ng anumang estado ng sistema sa hinaharap ay nakasalalay lamang sa estado ng sistema sa kasalukuyang sandali at hindi nakasalalay sa kung paano dumating ang sistema sa ganitong estado.
Isaalang-alang ang isang elementarya na halimbawa ng isang random na proseso ng Markov. Ang isang punto ay gumagalaw nang random sa kahabaan ng x-axis. Sa sandali ng oras, ang punto ay nasa pinanggalingan at nananatili doon nang isang segundo. Pagkaraan ng isang segundo, ang isang barya ay inihagis; kung ang coat of arms ay nahulog - ang punto ay gumagalaw ng isang yunit ng haba sa kanan, kung ang numero - sa kaliwa. Pagkalipas ng isang segundo, ang isang barya ay itinapon muli at ang parehong random na paggalaw ay ginanap, atbp. Ang proseso ng pagbabago ng posisyon ng isang punto (o, gaya ng sinasabi nila, "paglalakbay") ay isang random na proseso na may discrete time at isang countable set ng mga estado
Ang scheme ng posibleng mga transition para sa prosesong ito ay ipinapakita sa fig. 19.7.1.
Ipakita natin na ang prosesong ito ay isang Markov. Sa katunayan, isipin na sa isang punto sa oras ang sistema ay, halimbawa, sa estado - isang yunit sa kanan ng pinagmulan. Ang mga posibleng posisyon ng punto sa isang yunit ng oras ay magiging at may probabilidad na 1/2 at 1/2; sa pamamagitan ng dalawang yunit - , , na may probabilidad na 1/4, ½, 1/4 at iba pa. Malinaw, ang lahat ng mga probabilidad na ito ay nakasalalay lamang sa kung saan ang punto ay nasa isang partikular na sandali, at ganap na independyente kung paano ito nakarating doon.
Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Mayroong isang teknikal na aparato na binubuo ng mga elemento (mga bahagi) ng mga uri at may iba't ibang tibay. Maaaring mabigo ang mga elementong ito sa mga random na oras at hiwalay sa isa't isa. Ang tamang operasyon ng bawat elemento ay tiyak na kinakailangan para sa pagpapatakbo ng device sa kabuuan. Ang uptime ng isang elemento ay isang random na variable na ibinahagi ayon sa isang exponential law; para sa mga elemento ng uri at , ang mga parameter ng batas na ito ay iba at katumbas ng at , ayon sa pagkakabanggit. Sa kaganapan ng isang pagkabigo ng aparato, ang mga hakbang ay agad na isinasagawa upang matukoy ang mga sanhi at ang nakitang may sira na elemento ay agad na pinapalitan ng bago. Ang oras na kinakailangan upang ibalik (repair) ang device ay ibinahagi ayon sa isang exponential law na may parameter (kung ang isang elemento ng uri ay nabigo) at (kung ang isang elemento ng uri ay nabigo).
Sa halimbawang ito, ang random na proseso na tumatakbo sa system ay isang proseso ng Markov na may tuloy-tuloy na oras at may hangganan na hanay ng mga estado:
Ang lahat ng mga elemento ay maayos, gumagana ang system,
Ang elemento ng uri ay may depekto, ang sistema ay inaayos,
Ang elemento ng uri ay may sira, ang sistema ay inaayos.
Ang scheme ng posibleng mga transition ay ibinibigay sa fig. 19.7.2.
Sa katunayan, ang proseso ay may ari-arian ng Markov. Hayaan, halimbawa, sa sandaling ang sistema ay nasa estado (malusog). Dahil ang uptime ng bawat elemento ay indicative, ang sandali ng pagkabigo ng bawat elemento sa hinaharap ay hindi nakadepende sa kung gaano katagal na ito gumana (kapag naihatid). Samakatuwid, ang posibilidad na sa hinaharap ang sistema ay mananatili sa estado o umalis dito ay hindi nakasalalay sa "prehistory" ng proseso. Ipagpalagay natin ngayon na sa sandaling ang sistema ay nasa isang estado (isang elemento ng uri ay may sira). Dahil ang oras ng pag-aayos ay nagpapahiwatig din, ang posibilidad na makumpleto ang pag-aayos anumang oras pagkatapos ay hindi nakasalalay sa kung kailan nagsimula ang pagkumpuni at kung kailan naihatid ang mga natitirang (magagamit) na elemento. Kaya, ang proseso ay Markovian.
Tandaan na ang exponential distribution ng element operation time at exponential distribution ng repair time ay mga mahahalagang kondisyon kung wala ang proseso ay hindi magiging Markovian. Sa katunayan, ipagpalagay na ang oras ng tamang operasyon ng elemento ay ibinahagi hindi ayon sa isang exponential na batas, ngunit ayon sa ilang iba pang batas - halimbawa, ayon sa batas ng pare-parehong density sa seksyon . Nangangahulugan ito na ang bawat elemento na may garantiya ay gumagana para sa oras , at sa seksyon mula sa ito ay maaaring mabigo anumang sandali na may parehong probability density. Ipagpalagay na sa isang punto ng oras ang elemento ay gumagana nang maayos. Malinaw, ang posibilidad na ang elemento ay mabibigo sa isang punto sa hinaharap ay depende sa kung gaano katagal ang nakalipas na ang elemento ay naihatid, ibig sabihin, ito ay nakasalalay sa prehistory, at ang proseso ay hindi magiging Markov.
Ang sitwasyon ay katulad ng oras ng pagkumpuni; kung ito ay hindi nagpapahiwatig at ang elemento ay inaayos sa ngayon, kung gayon ang natitirang oras ng pag-aayos ay depende sa kung kailan ito nagsimula; ang proseso ay muling hindi magiging isang Markovian.
Sa pangkalahatan, ang exponential distribution ay gumaganap ng isang espesyal na papel sa teorya ng Markov random na mga proseso na may tuluy-tuloy na oras. Madaling makita na sa isang nakatigil na proseso ng Markov, ang oras kung saan nananatili ang system sa ilang estado ay palaging ipinamamahagi ayon sa isang exponential na batas (na may isang parameter na depende, sa pangkalahatan, sa estadong ito). Sa katunayan, ipagpalagay na sa sandaling ang sistema ay nasa isang estado at bago iyon ay nasa loob na ito ng ilang panahon. Ayon sa kahulugan ng proseso ng Markov, ang posibilidad ng anumang kaganapan sa hinaharap ay hindi nakasalalay sa prehistory; sa partikular, ang posibilidad na umalis ang system sa isang estado sa loob ng oras na t ay hindi dapat nakadepende sa kung gaano katagal na ang ginugol ng system sa estadong iyon. Samakatuwid, ang oras na ginugugol ng system sa isang estado ay dapat na ipamahagi ayon sa isang exponential na batas.
Sa kaso kapag ang prosesong nagaganap sa isang pisikal na sistema na may mabibilang na hanay ng mga estado at tuluy-tuloy na oras ay Markovian, ang prosesong ito ay maaaring ilarawan gamit ang mga ordinaryong differential equation, kung saan ang hindi kilalang mga function ay ang mga probabilities ng estado . Ipapakita namin ang compilation at solusyon ng mga naturang equation sa mga sumusunod gamit ang halimbawa ng pinakasimpleng queuing system.
PROSESO NG MARKOV
Proseso nang walang epekto, - random na proseso, na ang ebolusyon pagkatapos ng anumang ibinigay na halaga ng parameter ng oras t ay hindi nakadepende sa ebolusyon na nauna t, sa kondisyon na ang halaga ng proseso sa ito ay naayos (sa madaling salita: ang "hinaharap" at "nakaraan" ng proseso ay hindi nakasalalay sa isa't isa kapag ang "kasalukuyan" ay kilala).
Ang ari-arian na tumutukoy sa M. p. ay tinatawag. Markovian; ito ay unang binuo ni A. A. Markov. Gayunpaman, nasa akda na ni L. Bachelier ang isang pagtatangka na bigyang-kahulugan ang Brownian bilang isang M. p., isang pagtatangka na nakatanggap ng pagpapatibay pagkatapos ng mga pag-aaral ni N. Wiener (N. Wiener, 1923). Inilatag ni A. N. Kolmogorov ang mga pundasyon para sa pangkalahatang teorya ng M. p. na may tuluy-tuloy na oras.
ari-arian ni Markov. Mayroong iba't ibang kahulugan ng M. n. Isa sa mga pinakakaraniwan ay ang mga sumusunod. Hayaang magbigay ng random na proseso sa isang probability space na may mga value mula sa isang masusukat na espasyo kung saan T - subset ng totoong axis Let N t(ayon sa pagkakabanggit N t).ay isang s-algebra sa
nabuo ng (mga) X.
saan
Sa ibang salita, N t(ayon sa pagkakabanggit N t) ay isang set ng mga kaganapan na nauugnay sa ebolusyon ng proseso hanggang sa sandaling t (nagsisimula sa t) .
Proseso X(t). Ang proseso ng Markov kung (halos tiyak) ang pag-aari ng Markov ay nagtataglay para sa lahat:
o, ano ang pareho, kung para sa alinman
Isang m.p., kung saan ang T ay nakapaloob sa hanay ng mga natural na numero, na tinatawag. kadena ng Markov(gayunpaman, ang huling termino ay kadalasang nauugnay sa kaso ng hindi mabilang na E) .
Kung ang T ay isang pagitan sa at ang En ay higit sa mabibilang, M. p. Markov chain na may tuloy-tuloy na oras. Ang mga halimbawa ng tuluy-tuloy na oras na MT ay ibinibigay ng mga proseso ng diffusion at mga proseso na may mga independiyenteng pagtaas, kabilang ang mga proseso ng Poisson at Wiener.
Sa mga sumusunod, para sa katiyakan, isasaalang-alang lamang natin ang kaso 
Ang mga pormula (1) at (2) ay nagbibigay ng isang malinaw na interpretasyon ng prinsipyo ng pagsasarili ng "nakaraan" at "hinaharap" na may kilalang "kasalukuyan", ngunit ang kahulugan ng M.p. batay sa mga ito ay naging hindi sapat na kakayahang umangkop sa mga maraming mga sitwasyon kung kailan ang isa ay hindi dapat isaalang-alang ang isa, ngunit isang hanay ng mga kondisyon ng uri (1) o (2) na tumutugma sa iba't ibang, kahit na napagkasunduan sa isang tiyak na paraan, mga panukala. tingnan mo, ).
Hayaang ibigay:
a) kung saan ang s-algebra ay naglalaman ng lahat ng one-point set sa E;
b) masusukat na pinagkalooban ng isang pamilya ng mga s-algebra na kung
sa) (" ") x t = xt(w) ,
pagtukoy para sa anumang masusukat na pagmamapa
d) para sa bawat isa at isang sukatan ng probabilidad sa s-algebra na ang function 
masusukat na may kinalaman sa kung at
Itakda ang pangalan (hindi pagwawakas) proseso ng Markov na ibinigay sa kung -halos tiyak
anuman ang mga ito Narito ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan, ang phase space o ang espasyo ng mga estado, Р( s, x, t, V)- function ng paglipat o ang posibilidad ng paglipat ng proseso X(t) .
Kung Pinagkalooban ng topology, ang a ay ang koleksyon ng mga Borel set in E, pagkatapos ito ay kaugalian na sabihin na ang M. p. ay ibinigay sa E. Karaniwan, kasama sa kahulugan ng M. p. ang pangangailangan na kahit na pagkatapos ay bigyang-kahulugan bilang isang posibilidad, sa kondisyon na x s = x.
Ang tanong ay lumitaw kung ang anumang Markov transition function P( s, x;t, V),
na ibinigay sa isang nasusukat na espasyo ay maaaring ituring bilang isang transition function ng ilang M. p. Ang sagot ay positibo kung, halimbawa, ang E ay isang mapaghihiwalay na lokal na compact na espasyo, at isang koleksyon ng mga Borel set sa E. Bukod dito, hayaan E - buong sukatan espasyo at hayaan
para sa kahit saan a ay ang pandagdag ng e-kapitbahayan ng punto X. Kung gayon ang kaukulang M. p. ay maaaring ituring na tuloy-tuloy sa kanan at may mga limitasyon sa kaliwa (iyon ay, ang mga tilapon nito ay maaaring mapili nang ganoon). Ang pagkakaroon ng tuluy-tuloy na M. p. ay sinisiguro ng kondisyon para sa (tingnan ang , ). Sa teorya ng M. p., ang pangunahing pansin ay binabayaran sa mga proseso na homogenous (sa oras). Ipinapalagay ng kaukulang kahulugan ang isang ibinigay na sistema mga bagay a) - d) na may pagkakaiba na para sa mga parameter na s at u na lumabas sa paglalarawan nito, tanging ang value na 0 na lang ang pinapayagan ngayon. Ang notasyon ay pinasimple din:
Susunod, ang homogeneity ng space W ay postulated, ibig sabihin, ito ay kinakailangan para sa alinman 
nagkaroon ng ganyan 
(w) para sa Dahil dito, sa s-algebra N, ang pinakamaliit na s-algebra sa W na naglalaman ng anumang kaganapan ng form 
mga operator ng time shift q t, na nagpapanatili ng mga operasyon ng unyon, intersection, at pagbabawas ng mga set at kung saan
Itakda ang pangalan (non-terminating) homogenous na proseso ng Markov na ibinigay sa kung -halos tiyak
para sa Lumilipas na function ng proseso X(t).P( t, x, V), saka, kung walang mga espesyal na reserbasyon, kailangan din nila iyon 
at na sa (4) palagi F t maaaring mapalitan ng s-algebra na katumbas ng intersection ng mga pagkumpleto F t sa lahat ng posibleng hakbang Kadalasan, sa pag-aayos ng probability measure m ("initial") at isinasaalang-alang ang isang random na function ng Markov 
nasaan ang sukat na ibinigay ng pagkakapantay-pantay
M. p. progresibong masusukat kung para sa bawat t>0 ang function ay nag-uudyok ng isang masusukat kung saan ang isang s-algebra
Borel subsets in . Ang right-continuous na M. p. ay progresibong nasusukat. Mayroong isang paraan upang bawasan ang isang hindi homogenous na kaso sa isang homogenous (tingnan ), at sa mga sumusunod ay haharapin natin ang homogenous M. p.
Mahigpit. Hayaang mabigyan ng M. p.
Function ng pangalan sandali ni Markov, kung 
para sa lahat
Sa kasong ito, tinutukoy nila ang pamilyang F t kung sa (kadalasan ay binibigyang-kahulugan ang F t bilang isang hanay ng mga kaganapang nauugnay sa ebolusyon ng X(t). hanggang sa sandaling t). Maniwala
Progressively nasusukat M. n. Xnaz. mahigpit na proseso ng Markov (s.m.p.) kung para sa anumang sandali ng Markov m at lahat 
at ratio
(mahigpit na pag-aari ng Markov) ay humahawak -halos tiyak sa set W t . Kapag nilagyan ng tsek ang (5), sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga hanay ng form kung saan 
sa kasong ito ang isang S. m. s. ay, halimbawa, anumang right-continuous Feller M. s. space E. M. p. Feller Markov proseso kung ang function
ay tuloy-tuloy sa tuwing ang f ay tuloy-tuloy at may hangganan.
Sa klase na may m. p. ang ilang mga subclass ay nakikilala. Hayaan ang Markov P( t, x, V),
tinukoy sa isang sukatan na lokal na compact na espasyo E, stochastically tuloy-tuloy:
para sa anumang kapitbahayan U ng bawat punto Pagkatapos kung ang mga operator ay kumuha sa kanilang mga sarili ng tuloy-tuloy at naglalaho sa mga infinity function, kung gayon ang mga function Р( t, x, V). nakakatugon sa pamantayang L. p. x, i.e. tuloy-tuloy sa kanan na may. m.p., para saan
- halos tiyak sa set 
a ay mga PMarkov na sandali na hindi nababawasan sa paglaki. Pagwawakas ng proseso ng Markov. Kadalasang pisikal. Ito ay kapaki-pakinabang upang ilarawan ang mga sistema sa tulong ng isang non-terminating MT, ngunit lamang sa isang agwat ng oras ng random na haba. Bilang karagdagan, kahit na ang mga simpleng pagbabago ng M.p. ay maaaring humantong sa isang proseso na may mga trajectory na ibinigay sa isang random na pagitan (tingnan. Functional mula sa proseso ng Markov). Ginagabayan ng mga pagsasaalang-alang na ito, ang konsepto ng pagwawakas ng M. p.
Hayaan ang isang homogenous na M. p. sa puwang ng phase na mayroong isang function ng paglipat 
at hayaang mayroong isang punto at isang function 
tulad na may at kung hindi man (kung walang mga espesyal na reserbasyon, isaalang-alang ). Bagong trajectory x t(w) ay ibinibigay lamang para sa ) sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay 
a F t tinukoy bilang sa set
Itakda kung saan 
tinawag pagwawakas ng proseso ng Markov (c.m.p.) na nakuha mula sa pamamagitan ng pagwawakas (o pagpatay) sa oras na z. Ang halaga ng z na tinatawag. breaking point, o habang-buhay, o. m. p. Ang phase space ng bagong proseso ay kung saan ang trace ng s-algebra in E. Transition function o. Ang m.p. ay ang paghihigpit sa set 
Proseso X(t). isang mahigpit na proseso ng Markov, o isang karaniwang proseso ng Markov, kung ang kaukulang pag-aari ay nagmamay-ari. m.p. na may sandali ng pagkasira Ang m.p. ay tinukoy sa katulad na paraan. M.
Mga proseso ni Markov at . M. p. ng uri ng Brownian motion ay malapit na nauugnay sa mga differential equation ng parabolic. uri. Transition p(s, x, t, y) ng proseso ng pagsasabog ay nakakatugon, sa ilalim ng ilang mga karagdagang pagpapalagay, ang kabaligtaran at direktang Kolmogorov differential equation:
Function p( s, x, t, y ay ang function ng Green ng mga equation (6) - (7), at ang mga unang kilalang pamamaraan para sa pagbuo ng mga proseso ng diffusion ay batay sa mga teorema ng pag-iral para sa function na ito para sa mga differential equation (6) - (7). Para sa isang oras-homogeneous na proseso L( s, x)= L(x) sa makinis na mga pag-andar ay tumutugma sa katangian. operator ng M. p. (tingnan Lumilipas na mga operator semigroup).
Matematika ang mga inaasahan ng iba't ibang functional mula sa mga proseso ng diffusion ay nagsisilbing solusyon sa mga katumbas na problema sa halaga ng hangganan para sa differential equation (1). Hayaan - mathematical. inaasahan sa pamamagitan ng sukat Pagkatapos ang function ay nasiyahan para sa s
Gayundin, ang pag-andar
nasiyahan kapag s
at kundisyon at 2 ( T, x) = 0.
Hayaang t ang sandali ng unang pag-abot sa hangganan DD mga lugar
trajectory ng proseso
Pagkatapos, sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang function
natutugunan ang equation
at kinukuha ang mga halaga ng cp sa set
Solusyon ng 1st boundary value na problema para sa isang pangkalahatang linear parabolic. 2nd order equation
sa ilalim ng medyo pangkalahatang pagpapalagay, ay maaaring isulat bilang
Sa kaso kapag L at function c, f huwag umasa sa s, ang isang representasyon na katulad ng (9) ay posible rin para sa paglutas ng isang linear elliptic. mga equation. Mas tiyak, ang pag-andar
sa ilalim ng ilang mga pagpapalagay may mga problema
Sa kaso kapag ang operator L ay bumagsak (del b( s, x) = 0
).o DD hindi sapat na "mabuti", ang mga halaga ng hangganan ay maaaring hindi tanggapin ng mga function (9), (10) sa mga indibidwal na punto o sa buong set. Ang konsepto ng isang regular na boundary point para sa isang operator L may probabilistikong interpretasyon. Sa mga regular na punto ng hangganan, ang mga halaga ng hangganan ay naabot ng mga function (9), (10). Ang solusyon ng mga problema (8), (11) ay ginagawang posible na pag-aralan ang mga katangian ng kaukulang mga proseso ng pagsasabog at paggana mula sa kanila.
Mayroong mga pamamaraan para sa pagbuo ng M. p. na hindi umaasa sa pagbuo ng mga solusyon sa mga equation (6), (7), halimbawa. paraan stochastic differential equation, ganap na tuluy-tuloy na pagbabago ng sukat, atbp. Ang pangyayaring ito, kasama ng mga formula (9), (10), ay nagpapahintulot sa amin na bumuo at pag-aralan ang mga katangian ng mga problema sa halaga ng hangganan para sa equation (8) sa probabilistikong paraan, gayundin ang mga katangian ng ang solusyon ng kaukulang elliptic. mga equation.
Dahil ang solusyon ng stochastic differential equation ay insensitive sa pagkabulok ng matrix b( s, x), pagkatapos Ang mga probabilistic na pamamaraan ay ginamit upang makabuo ng mga solusyon upang mabulok ang mga elliptic at parabolic differential equation. Ang extension ng average na prinsipyo ng N. M. Krylov at N. N. Bogolyubov sa stochastic differential equation ay naging posible, gamit ang (9), upang makuha ang kaukulang mga resulta para sa elliptic at parabolic differential equation. Ang ilang mga mahihirap na problema sa pag-aaral ng mga katangian ng mga solusyon ng mga equation ng ganitong uri na may isang maliit na parameter sa pinakamataas na derivative ay naging posible upang malutas sa tulong ng mga probabilistikong pagsasaalang-alang. Ang solusyon ng problema sa 2nd boundary value para sa Eq. (6) ay mayroon ding probabilistikong kahulugan. Ang pagbabalangkas ng mga problema sa halaga ng hangganan para sa isang walang hangganang domain ay malapit na nauugnay sa pag-ulit ng kaukulang proseso ng pagsasabog.
Sa kaso ng isang time-homogeneous na proseso (L ay hindi nakasalalay sa s), ang positibong solusyon ng equation, hanggang sa isang multiplicative constant, ay nag-tutugma, sa ilalim ng ilang mga pagpapalagay, na may nakatigil na distribution density ng M.p. mga equation. R. 3. Khasminsky.
Lit.: Markov A. A., "Izv. Phys.-Mat. Ob. Kazan. Unibersidad", 1906, v. 15, No. 4, p. 135-56; B a with h e l i e r L., "Ann. scient. Ecole norm, super.", 1900, v. 17, p. 21-86; Kolmogorov A. N., "Math. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415-458; Ruso transl.-"Advances in Mathematical Sciences", 1938, c. 5, p. 5-41; Chzhu n Kai-lai, Homogeneous Markov chain, transl. mula sa English, M., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, p. 417-36; Dynkin E. B., Yushkevitch A. A., "Teorya ng probabilidad at mga aplikasyon nito", 1956, tomo 1, c. 1, p. 149-55; X at n t J.-A., mga proseso at potensyal ni Markov, trans. mula sa English, M., 1962; Dellasher at K., Mga kapasidad at random na proseso, trans. mula sa French, Moscow, 1975; D y n k at n E. V., Mga Pundasyon ng teorya ng mga proseso ng Markov, M., 1959; kanyang sarili, mga proseso ni Markov, M., 1963; I. I. G at Khman, A. V. S ko r oh o d, Teorya ng mga random na proseso, tomo 2, M., 1973; Freidlin M.I., sa aklat: Resulta ng Agham. Teorya ng posibilidad, . - Teoretikal. 1966, M., 1967, p. 7-58; Xa's'minskii R. 3., "Probability theory and its applications", 1963, vol. 8, sa
proseso ni Markov- discrete o tuloy-tuloy na random na proseso X(t) , na maaaring ganap na tukuyin gamit ang dalawang dami: ang posibilidad na P(x,t) na ang random variable x(t) sa oras na t ay katumbas ng x at ang probabilidad na P(x2, t2½x1t1) na…… Diksyunaryong Pang-ekonomiya at Matematika
proseso ni Markov- Discrete o tuloy-tuloy na random na proseso X(t) , na maaaring ganap na tukuyin gamit ang dalawang dami: ang posibilidad na P(x,t) na ang random variable na x(t) sa oras na t ay katumbas ng x at ang probabilidad na P(x2, t2? x1t1) na kung x sa t = t1… … Handbook ng Teknikal na Tagasalin
Isang mahalagang espesyal na uri ng mga random na proseso. Ang isang halimbawa ng proseso ng Markov ay ang pagkabulok ng isang radioactive substance, kung saan ang posibilidad ng pagkabulok ng isang partikular na atom sa maikling panahon ay hindi nakasalalay sa takbo ng proseso sa nakaraang panahon. ... ... Big Encyclopedic Dictionary - Markovo procesas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Markovprocess vok. Markovprozess, m rus. proseso ng Markov, m; Proseso ni Markov, m pranc. processus markovien, m … Automatikos terminų žodynas
proseso ni Markov- Markovo vyksmas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proseso ng Markov; Markovian proseso vok. Markow Prozess, m; Markowscher Prozess, m rus. proseso ng Markov, m; Proseso ni Markov, m pranc. processus de Markoff, m; processus marcovien, m;… … Fizikos terminų žodynas
Isang mahalagang espesyal na uri ng mga random na proseso. Ang isang halimbawa ng proseso ng Markov ay ang pagkabulok ng isang radioactive substance, kung saan ang posibilidad ng pagkabulok ng isang partikular na atom sa isang maikling panahon ay hindi nakasalalay sa kurso ng proseso sa nakaraang panahon. ... ... encyclopedic Dictionary
Isang mahalagang espesyal na uri ng mga prosesong stochastic, na may malaking kahalagahan sa mga aplikasyon ng teorya ng posibilidad sa iba't ibang sangay ng natural na agham at teknolohiya. Ang isang halimbawa ng M. p. ay ang pagkabulok ng isang radioactive substance. ... ... Great Soviet Encyclopedia
Isang pambihirang pagtuklas sa larangan ng matematika, na ginawa noong 1906 ng Russian scientist na si A.A. Markov.
Istraktura at pag-uuri ng mga sistema ng pagpila
Mga sistema ng pagpila
Kadalasan mayroong pangangailangang lutasin ang mga probabilistikong problema na nauugnay sa mga queuing system (QS), ang mga halimbawa nito ay maaaring:
Mga opisina ng tiket;
Mga tindahan ng pagkumpuni;
kalakalan, transportasyon, mga sistema ng enerhiya;
Mga sistema ng komunikasyon;
Ang pagkakatulad ng naturang mga sistema ay nahayag sa pagkakaisa ng mga pamamaraan at modelo ng matematika na ginamit sa pag-aaral ng kanilang mga aktibidad.
kanin. 4.1. Ang mga pangunahing lugar ng aplikasyon ng TMT
Ang input sa QS ay tumatanggap ng stream ng mga kahilingan sa serbisyo. Halimbawa, mga customer o pasyente, mga pagkasira ng kagamitan, mga tawag sa telepono. Dumarating ang mga kahilingan nang hindi regular, sa mga random na oras. Ang tagal ng serbisyo ay random din. Lumilikha ito ng mga iregularidad sa gawain ng QS, nagiging sanhi ng mga overload at underload nito.
Ang mga sistema ng pagpila ay may ibang istraktura, ngunit karaniwan ay maaari silang makilala apat na pangunahing elemento:
1. Daloy ng papasok na demand.
2. Accumulator (pila).
3. Mga aparato (mga channel ng serbisyo).
4. Daloy ng output.
kanin. 4.2. Pangkalahatang pamamaraan ng mga sistema ng pagpila
kanin. 4.3. Modelo ng pagpapatakbo ng system
(ipinapakita ng mga arrow ang mga sandali ng pagdating ng mga kinakailangan sa
system, mga parihaba - oras ng serbisyo)
Ipinapakita ng Figure 4.3a ang isang modelo ng system na may regular na daloy ng mga kinakailangan. Dahil alam ang agwat sa pagitan ng pagdating ng mga paghahabol, ang oras ng serbisyo ay pinili upang ganap na mai-load ang system. Para sa isang sistema na may stochastic na daloy ng mga kinakailangan, ang sitwasyon ay ganap na naiiba - ang mga kinakailangan ay dumating sa iba't ibang mga punto sa oras at ang oras ng serbisyo ay isa ring random na variable, na maaaring ilarawan ng isang tiyak na batas sa pamamahagi (Larawan 4.3 b).
Depende sa mga patakaran para sa pagbuo ng queue, ang mga sumusunod na QS ay nakikilala:
1) mga sistema na may mga pagkabigo , kung saan, kapag ang lahat ng mga channel ng serbisyo ay abala, ang kahilingan ay iniiwan ang system na hindi naihatid;
2) mga system na may walang limitasyong pila , kung saan ang kahilingan ay pumapasok sa pila kung sa oras ng pagdating nito ang lahat ng mga channel ng serbisyo ay abala;
3) mga sistemang may naghihintay at limitadong pila , kung saan ang oras ng paghihintay ay nililimitahan ng ilang kundisyon o may mga paghihigpit sa bilang ng mga application na nakatayo sa pila.
Isaalang-alang ang mga katangian ng papasok na daloy ng mga kinakailangan.
Ang daloy ng mga kahilingan ay tinatawag nakatigil , kung ang posibilidad na matamaan ang isa o isa pang bilang ng mga kaganapan sa isang segment ng oras ng isang tiyak na haba ay nakasalalay lamang sa haba ng segment na ito.
Ang daloy ng mga pangyayari ay tinatawag dumaloy nang walang kahihinatnan , kung ang bilang ng mga kaganapang bumabagsak sa isang tiyak na agwat ng oras ay hindi nakadepende sa bilang ng mga kaganapang bumabagsak sa iba.
Ang daloy ng mga pangyayari ay tinatawag karaniwan kung ang dalawa o higit pang mga kaganapan ay hindi maaaring mangyari sa parehong oras.
Ang daloy ng mga kahilingan ay tinatawag Poisson (o ang pinakasimple) kung mayroon itong tatlong katangian: nakatigil, karaniwan at walang kahihinatnan. Ang pangalan ay dahil sa katotohanan na sa ilalim ng mga tinukoy na kundisyon, ang bilang ng mga kaganapan na bumabagsak sa anumang nakapirming agwat ng oras ay ipapamahagi ayon sa batas ng Poisson.
intensity daloy ng mga aplikasyon λ ay ang average na bilang ng mga aplikasyon na nagmumula sa daloy sa bawat yunit ng oras.
Para sa isang nakatigil na daloy, ang intensity ay pare-pareho. Kung ang τ ay ang average na halaga ng agwat ng oras sa pagitan ng dalawang magkatabing kahilingan, kung gayon Sa kaso ng daloy ng Poisson, ang posibilidad na makapasok sa serbisyo m mga kahilingan para sa isang yugto ng panahon t ay tinutukoy ng batas ni Poisson:
Ang oras sa pagitan ng mga katabing kahilingan ay ipinamamahagi nang exponentially na may probability density
Ang oras ng serbisyo ay isang random na variable at sumusunod sa exponential distribution law na may probability density 
kung saan ang μ ay ang intensity ng daloy ng serbisyo, i.e. ang average na bilang ng mga kahilingang inihatid sa bawat yunit ng oras,
Ang ratio ng intensity ng papasok na daloy sa intensity ng daloy ng serbisyo ay tinatawag boot ng system
Ang isang queuing system ay isang discrete type system na may hangganan o mabibilang na hanay ng mga estado, at ang paglipat ng system mula sa isang estado patungo sa isa pa ay nangyayari nang biglaan kapag may nangyaring kaganapan.
Ang proseso ay tinatawag discrete na proseso ng estado , kung ang mga posibleng estado nito ay maaaring muling mabilang nang maaga, at ang paglipat ng system mula sa estado patungo sa estado ay nangyayari halos kaagad.
Ang ganitong mga proseso ay may dalawang uri: may discrete o tuloy-tuloy na oras.
Sa kaso ng discrete time, ang mga paglipat mula sa estado patungo sa estado ay maaaring mangyari sa mahigpit na tinukoy na mga oras. Ang mga prosesong may tuluy-tuloy na oras ay nagkakaiba dahil ang paglipat ng system sa isang bagong estado ay posible anumang oras.
Ang isang random na proseso ay isang pagsusulatan kung saan ang bawat halaga ng argumento (sa kasong ito, isang sandali mula sa pagitan ng oras ng eksperimento) ay itinalaga ng isang random na variable (sa kasong ito, ang estado ng QS). Random variable ay tinatawag na dami na, bilang resulta ng karanasan, ay maaaring tumagal ng isa, ngunit hindi alam nang maaga kung saan, numerical na halaga mula sa isang ibinigay na hanay ng numero.
Samakatuwid, upang malutas ang mga problema ng teorya ng queuing, kinakailangan na pag-aralan ang random na proseso na ito, i.e. buuin at suriin ang mathematical model nito.
random na proseso tinawag Markovian , kung sa anumang sandali ang mga probabilistikong katangian ng proseso sa hinaharap ay nakasalalay lamang sa estado nito sa sandaling ito at hindi nakadepende sa kung kailan at paano dumating ang sistema sa estadong ito.
Ang mga paglipat ng system mula sa estado patungo sa estado ay nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng ilang mga daloy (ang daloy ng mga aplikasyon, ang daloy ng mga pagkabigo). Kung ang lahat ng mga daloy ng mga kaganapan na nagdadala ng system sa isang bagong estado ay ang pinakasimpleng Poisson, kung gayon ang proseso na magaganap sa system ay magiging Markovian, dahil ang pinakasimpleng daloy ay walang kahihinatnan: sa loob nito ang hinaharap ay hindi nakasalalay sa nakaraan.
Ang ebolusyon kung saan pagkatapos ng anumang ibinigay na halaga ng parameter ng oras t (\displaystyle t) hindi nakadepende mula sa ebolusyon na nauna t (\displaystyle t), sa kondisyon na ang halaga ng proseso sa sandaling ito ay naayos (“ang kinabukasan” ng proseso ay hindi nakasalalay sa “nakaraan” na may kilalang “kasalukuyan”; isa pang interpretasyon (Wentzel): ang “hinaharap” ng proseso ay nakasalalay sa "nakaraan" lamang sa pamamagitan ng "kasalukuyan").
Encyclopedic YouTube
1 / 3
✪ Lecture 15: Markov Stochastic Processes
✪ Pinagmulan ng mga tanikala ng Markov
✪ Pangkalahatang modelo ng proseso ng Markov
Mga subtitle
Kwento
Ang pag-aari na tumutukoy sa isang proseso ng Markov ay karaniwang tinatawag na isang pag-aari ng Markov; sa unang pagkakataon ito ay binuo ni A. A. Markov, na sa mga gawa ng 1907 ay inilatag ang pundasyon para sa pag-aaral ng mga pagkakasunud-sunod ng mga umaasa na pagsubok at ang mga kabuuan ng mga random na variable na nauugnay sa kanila. Ang linya ng pananaliksik na ito ay kilala bilang theory of Markov chains.
Ang mga pundasyon ng pangkalahatang teorya ng mga proseso ng Markov na may tuluy-tuloy na oras ay inilatag ni Kolmogorov.
ari-arian ni Markov
Pangkalahatang kaso
Hayaan (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- puwang ng posibilidad na may pag-filter (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T)) higit sa ilang (bahagyang inayos) set T (\displaystyle T); bumitaw (S , S) (\displaystyle (S,(\mathcal (S))))- masusukat space. random na proseso X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T)), na tinukoy sa na-filter na espasyo ng posibilidad, ay itinuturing na masiyahan ari-arian ni Markov kung para sa bawat isa A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S))) at s , t ∈ T: s<
t
{\displaystyle s,t\in T:s
proseso ni Markov ay isang random na proseso na nagbibigay-kasiyahan ari-arian ni Markov na may natural na pagsasala.
Para sa mga chain ng Markov na may discrete time
Kung S (\displaystyle S) ay isang discrete set at T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) ), ang kahulugan ay maaaring reformulated:
P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1 , X n - 2 = x n - 2 , ... , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1),X_(n-2)=x_(n-2),\ tuldok , X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).Isang halimbawa ng proseso ng Markov
Isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa ng proseso ng stochastic ng Markov. Ang isang punto ay gumagalaw nang random sa kahabaan ng x-axis. Sa oras na zero, ang punto ay nasa pinanggalingan at nananatili doon sa loob ng isang segundo. Pagkalipas ng isang segundo, ang isang barya ay itinapon - kung ang coat of arm ay nahulog, pagkatapos ay ang puntong X ay gumagalaw ng isang yunit ng haba sa kanan, kung ang numero - sa kaliwa. Pagkalipas ng isang segundo, ang barya ay ihahagis muli at ang parehong random na paggalaw ay ginawa, at iba pa. Ang proseso ng pagbabago ng posisyon ng isang punto ("wandering") ay isang random na proseso na may discrete time (t=0, 1, 2, ...) at isang mabibilang na hanay ng mga estado. Ang ganitong random na proseso ay tinatawag na Markovian, dahil ang susunod na estado ng punto ay nakasalalay lamang sa kasalukuyang (kasalukuyang) estado at hindi nakasalalay sa mga nakaraang estado (hindi mahalaga kung aling paraan at kung anong oras ang punto ay nakarating sa kasalukuyang coordinate) .
Sa ilalim random na proseso maunawaan ang pagbabago sa oras ng mga estado ng ilang pisikal na sistema sa isang hindi kilalang random na paraan. Kung saan sa pamamagitan ng isang pisikal na sistema ang ibig nating sabihin anumang teknikal na aparato, pangkat ng mga aparato, negosyo, industriya, biological system, atbp.
random na proseso na dumadaloy sa sistema ay tinatawag Markovsky – kung sa anumang sandali ng oras , ang mga probabilistikong katangian ng proseso sa hinaharap (t > ) ay nakasalalay lamang sa estado nito sa isang partikular na oras ( kasalukuyan ) at hindi umaasa sa kung kailan at paano dumating ang sistema sa ganitong estado sa nakaraan .(Halimbawa, isang Geiger counter na nagrerehistro ng bilang ng mga cosmic particle).
Ang mga proseso ng Markov ay karaniwang nahahati sa 3 uri:
1. kadena ng Markov – isang proseso kung saan ang mga estado ay discrete (ibig sabihin, ang mga ito ay maaaring muling bilangin), at ang oras kung saan ito ay isinasaalang-alang ay discrete din (ibig sabihin, ang proseso ay maaaring baguhin ang mga estado nito lamang sa ilang mga punto ng oras). Ang ganitong proseso ay napupunta (nagbabago) sa mga hakbang (sa madaling salita, sa mga cycle).
2. Discrete na proseso ng Markov - ang hanay ng mga estado ay discrete (maaaring enumerated), at ang oras ay tuloy-tuloy (transition mula sa isang estado patungo sa isa pa - anumang oras).
3. Patuloy na Proseso ng Markov – ang hanay ng mga estado at oras ay tuloy-tuloy.
Sa pagsasagawa, ang mga proseso ng Markov sa kanilang dalisay na anyo ay hindi madalas na nakatagpo. Gayunpaman, madalas na kailangang harapin ng isang tao ang mga proseso kung saan ang impluwensya ng prehistory ay maaaring mapabayaan. Bilang karagdagan, kung ang lahat ng mga parameter mula sa "nakaraan", kung saan nakasalalay ang "hinaharap", ay kasama sa estado ng sistema sa "kasalukuyan", kung gayon maaari rin itong ituring bilang Markovian. Gayunpaman, madalas itong humahantong sa isang makabuluhang pagtaas sa bilang ng mga variable na isinasaalang-alang at ang imposibilidad ng pagkuha ng solusyon sa problema.
Sa operations research, ang tinatawag na Markov stochastic na mga proseso na may mga discrete states at tuloy-tuloy na oras.
Ang proseso ay tinatawag discrete na proseso ng estado, kung ang lahat ng posibleng estado nito , ,... ay maaring mabilang (renumered) nang maaga. Ang paglipat ng system mula sa estado patungo sa estado ay pumasa halos kaagad - tumalon.
Ang proseso ay tinatawag tuluy-tuloy na proseso ng oras, kung ang mga sandali ng paglipat mula sa estado patungo sa estado ay maaaring tumagal ng anumang mga random na halaga sa axis ng oras.
Halimbawa : Teknikal na kagamitan Ang S ay binubuo ng dalawang node , na ang bawat isa sa isang random na sandali ng oras ay maaaring mabigo ( tanggihan). Pagkatapos nito, magsisimula kaagad ang pag-aayos ng node ( pagbawi) na nagpapatuloy sa isang random na oras.
Posible ang mga sumusunod na estado ng system:
Ang parehong mga node ay OK;
Ang unang node ay inaayos, ang pangalawa ay gumagana.
- ang pangalawang node ay inaayos, ang una ay gumagana
Ang parehong mga node ay inaayos.
Ang paglipat ng system mula sa estado patungo sa estado ay nangyayari sa mga random na oras halos kaagad. Ito ay maginhawa upang ipakita ang mga estado ng system at ang relasyon sa pagitan ng mga ito gamit graph ng estado .
estado
Mga transition
Transitions at wala dahil Ang mga pagkabigo at pagbawi ng mga elemento ay nangyayari nang independyente at random, at ang posibilidad ng sabay-sabay na pagkabigo (pagbawi) ng dalawang elemento ay infinitesimal at maaaring mapabayaan.
Kung ang lahat ng mga stream ng mga kaganapan sa pagsasalin ng system S mula sa estado hanggang estado protozoa, pagkatapos proseso, dumadaloy sa ganoong sistema magiging Markovsky. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang pinakasimpleng daloy ay walang epekto, i.e. sa loob nito, ang "hinaharap" ay hindi nakasalalay sa "nakaraan" at, bilang karagdagan, mayroon itong pag-aari ng pagiging ordinaryo - ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw ng dalawa o higit pang mga kaganapan ay walang katapusan na maliit, ibig sabihin, imposibleng lumipat mula sa estado. sa estado nang hindi pumasa sa ilang mga intermediate na estado.
Para sa kalinawan, sa graph ng estado, maginhawang ibaba ang intensity ng daloy ng mga kaganapan na naglilipat ng system mula sa estado patungo sa estado kasama ang ibinigay na arrow sa bawat transition arrow ( - ang intensity ng daloy ng mga kaganapan na naglilipat ng system mula sa estado sa. Ang ganitong graph ay tinatawag na minarkahan.
Gamit ang may label na graph ng mga estado ng system, posible na bumuo ng isang mathematical na modelo ng prosesong ito.
Isaalang-alang ang mga paglipat ng system mula sa ilang estado patungo sa nakaraan o susunod. Ang isang fragment ng graph ng estado sa kasong ito ay magiging ganito:
Hayaan ang sistema sa oras t ay nasa estado ng .
Ipahiwatig (t)- probabilidad ng i-th na estado ng system ay ang posibilidad na ang sistema sa oras t ay nasa estado ng . Para sa anumang sandali ng oras t =1 ay totoo.
Tukuyin natin ang posibilidad na sa sandali ng oras t+∆t ang sistema ay nasa estado. Ito ay maaaring sa mga sumusunod na kaso:
1) at hindi ito iniwan sa panahon ng ∆ t. Nangangahulugan ito na sa panahon ng ∆t hindi bumangon isang kaganapan na nagdadala ng system sa isang estado (daloy na may intensity ) o isang kaganapan na naglalagay nito sa isang estado (daloy na may intensity ). Tukuyin natin ang posibilidad nito para sa maliit na ∆t.
Sa ilalim ng exponential law ng pamamahagi ng oras sa pagitan ng dalawang magkalapit na kinakailangan, na tumutugma sa pinakasimpleng daloy ng mga kaganapan, ang posibilidad na, sa pagitan ng oras ∆t, walang mga kinakailangan na babangon sa daloy na may intensity λ1 ay magiging katumbas ng
Ang pagpapalawak ng function na f(t) sa isang Taylor series (t>0) ay nakukuha natin (para sa t=∆t)
f(∆t)=f(0)+ (0)* ∆t + *∆ + *∆ +…=
= +(-l) *∆t+ (∆ + *(∆ +…” 1-l*∆t para sa ∆t®0
Katulad nito, para sa isang daloy na may intensity λ 2 nakuha namin 
.
Ang posibilidad na sa pagitan ng oras ∆t (para sa ∆t®0) walang magiging katumbas na pangangailangan
(∆t)/ = (∆t/ * (∆t/ = (1- *∆t)(1- *∆t) =
1 - - *∆t + 
1 - (
+
)*∆t + b.m.
Kaya, ang posibilidad na ang sistema ay hindi umalis sa estado sa panahon ng ∆t, para sa maliit na ∆t ay magiging katumbas ng
P( / )=1 – ( + )* ∆t
2) Ang sistema ay nasa isang estado S i -1 at para sa oras naipasa sa estado S i . Iyon ay, hindi bababa sa isang kaganapan ang naganap sa daloy na may intensity. Ang posibilidad na ito ay katumbas ng pinakasimpleng daloy na may intensity λ kalooban
Para sa aming kaso, ang posibilidad ng naturang paglipat ay magiging katumbas ng
3)Ang sistema ay nasa isang estado at sa panahon ng ∆t pumasa sa estado . Ang posibilidad na ito ay magiging
Kung gayon ang posibilidad na ang sistema sa oras (t+∆t) ay nasa estado S i ay katumbas ng
Ibawas ang P i (t) mula sa parehong bahagi, hatiin sa ∆t at, pagpasa sa limitasyon, na may ∆t→0, makuha natin
Ang pagpapalit ng kaukulang mga halaga ng mga intensity ng mga paglipat mula sa mga estado patungo sa mga estado, nakakakuha kami ng isang sistema ng mga equation ng kaugalian na naglalarawan ng pagbabago sa mga probabilidad ng mga estado ng system bilang mga pag-andar ng oras.
Ang mga equation na ito ay tinatawag na equation Kolmogorov-Chapman para sa isang discrete na proseso ng Markov.
Ang pagkakaroon ng itakda ang mga paunang kondisyon (halimbawa, P 0 (t=0)=1,P i (t=0)=0 i≠0) at paglutas ng mga ito, nakakakuha tayo ng mga expression para sa mga probabilidad ng estado ng system bilang mga function ng oras . Ang mga analytical na solusyon ay medyo madaling makuha kung ang bilang ng mga equation ay ≤ 2.3. Kung mayroong higit pa sa kanila, ang mga equation ay kadalasang nalulutas ayon sa numero sa isang computer (halimbawa, sa paraan ng Runge-Kutta).
Sa teorya ng mga random na proseso napatunayan , Ano kung numero n estado ng system tiyak at mula sa bawat isa sa kanila posible (sa isang may hangganang bilang ng mga hakbang) na pumunta sa alinmang iba pa, tapos may limitasyon , kung saan ang mga probabilidad ay may posibilidad kung kailan t→ . Ang ganitong mga probabilidad ay tinatawag panghuling probabilidad estado, at ang matatag na estado - nakatigil na mode paggana ng system.
Since in stationary mode lahat 
, samakatuwid, lahat =0. Ang equating sa kaliwang bahagi ng sistema ng mga equation na may 0 at dagdagan ang mga ito ng equation =1, nakakakuha kami ng isang sistema ng linear algebraic equation, paglutas kung saan nakita namin ang mga halaga ng mga huling probabilities.
Halimbawa. Ipaalam sa aming system ang mga rate ng pagkabigo at pagpapanumbalik ng mga elemento ay ang mga sumusunod
Mga kabiguan 1el: 
2el: 
Pagkukumpuni 1el: 
2el: 
P 0 + P 1 + P 2 + P 3 \u003d 1
0=-(1+2)P 0 +2P 1 +3 P 2
0=-(2+2)P 1 +1P 0 +3P 3
0=-(1+3)P 2 +2P 0 +2P 3
0=-(2+3)P 3 +2P 1 +1P 2
Ang paglutas ng sistemang ito, nakukuha natin
P 0 =6/15=0.4; P 1 =3/15=0.2; P2=4/15=0.27; P3=2/15≈0.13.
Yung. sa isang nakatigil na estado, ang sistema sa karaniwan
40% ay nasa estado S 0 (parehong mga node ay malusog),
20% - sa kondisyon S 1 (ang 1st elemento ay inaayos, ang 2nd ay nasa mabuting kondisyon),
27% - nasa kondisyon S 2 (pinaaayos ang 2nd electric, 1 nasa mabuting kondisyon),
13% - sa kondisyon ng S 3 - ang parehong mga elemento ay nasa ilalim ng pag-aayos.
Ang pag-alam sa mga huling probabilidad ay nagpapahintulot Suriin ang average na pagganap ng system at pag-load ng serbisyo sa pag-aayos.
Hayaan ang sistema sa estado S 0 na magdala ng kita na 8 yunit. bawat yunit ng oras; sa estado S 1 - kita 3 sr.u.; sa estado S 2 - kita 5; sa estado S 3 - kita \u003d 0
Presyo pagkukumpuni bawat yunit ng oras para sa el-ta 1- 1 (S 1, S 3) arb. unit, el-ta 2- (S 2, S 3) 2 arb. Pagkatapos ay sa nakatigil na mode:
Sistema ng kita bawat yunit ng oras ay magiging:
W max =8P 0 +3P 1 +5P 2 +0P 3 =8 0.4+3 0.2+5 0.27+0 0.13=5.15 c.u.
Gastos sa pag-aayos sa mga unit oras:
W rem =0P 0 +1P 1 +2P 2 +(1+2)P 3 =0 0.4+1 0.2+2 0.27+3 0.13=1.39 c.u.
Kita bawat yunit ng oras
W \u003d W doh -W rem \u003d 5.15-1.39 \u003d 3.76 na mga yunit
Ang pagkakaroon ng paggastos ng ilang mga gastos, posible na baguhin ang intensity λ at μ at, nang naaayon, ang kahusayan ng system. Ang pagiging posible ng mga naturang gastos ay maaaring masuri sa pamamagitan ng muling pagkalkula ng P i. at mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng system.
