Ang mga equation kung saan ang isang variable ay nakapaloob sa ilalim ng tanda ng ugat ay tinatawag na hindi makatwiran.
Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation, bilang panuntunan, ay batay sa posibilidad ng pagpapalit (sa tulong ng ilang mga pagbabagong-anyo) ng isang hindi makatwirang equation na may isang rational equation na alinman ay katumbas ng orihinal na irrational equation o ang kinahinatnan nito. Kadalasan, ang magkabilang panig ng equation ay nakataas sa parehong kapangyarihan. Sa kasong ito, ang isang equation ay nakuha, na isang kinahinatnan ng orihinal.
Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, ang mga sumusunod ay dapat isaalang-alang:
1) kung ang root index ay isang even na numero, kung gayon ang radikal na expression ay dapat na hindi negatibo; ang halaga ng ugat ay hindi rin negatibo (ang kahulugan ng isang ugat na may pantay na exponent);
2) kung ang root index ay isang kakaibang numero, kung gayon ang radikal na expression ay maaaring maging anumang tunay na numero; sa kasong ito, ang tanda ng ugat ay kapareho ng tanda ng pagpapahayag ng ugat.
Halimbawa 1 lutasin ang equation
I-square natin ang magkabilang panig ng equation.
x 2 - 3 \u003d 1;
Inilipat namin ang -3 mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanang bahagi at ginagawa ang pagbawas ng mga katulad na termino.
x 2 \u003d 4;
Ang resultang hindi kumpletong quadratic equation ay may dalawang ugat -2 at 2.
Suriin natin ang nakuha na mga ugat, para dito ay papalitan natin ang mga halaga ng variable x sa orihinal na equation.
Pagsusulit.
Kapag x 1 \u003d -2 - totoo:
Kapag x 2 \u003d -2- totoo.
Kasunod nito na ang orihinal na hindi makatwiran na equation ay may dalawang ugat -2 at 2.
Halimbawa 2 lutasin ang equation .
Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang parehong paraan tulad ng sa unang halimbawa, ngunit gagawin namin ito nang iba.
Hanapin natin ang ODZ ng equation na ito. Mula sa kahulugan ng square root, sumusunod na sa equation na ito dalawang kondisyon ang dapat matugunan nang sabay-sabay:
ODZ ng ibinigay na equation: x.
Sagot: walang ugat.
Halimbawa 3 lutasin ang equation =+ 2.
Ang paghahanap ng ODZ sa equation na ito ay medyo mahirap na gawain. I-square natin ang magkabilang panig ng equation:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x2=0.
Pagkatapos suriin, itinatag namin na ang x 2 \u003d 0 ay isang karagdagang ugat.
Sagot: x 1 \u003d 1.
Halimbawa 4 Lutasin ang equation x =.
Sa halimbawang ito, ang ODZ ay madaling mahanap. ODZ ng equation na ito: x[-1;).
I-square natin ang magkabilang panig ng equation na ito, bilang resulta makuha natin ang equation x 2 \u003d x + 1. Ang mga ugat ng equation na ito:
Mahirap suriin ang mga natagpuang ugat. Ngunit, sa kabila ng katotohanan na ang parehong mga ugat ay nabibilang sa ODZ, imposibleng igiit na ang parehong mga ugat ay ang mga ugat ng orihinal na equation. Magreresulta ito sa isang error. Sa kasong ito, ang hindi makatwirang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay at isang equation:
x+10 at x0 at x 2 \u003d x + 1, kung saan sumusunod na ang negatibong ugat para sa hindi makatwiran na equation ay extraneous at dapat na itapon.
Halimbawa 5 . Lutasin ang equation += 7.
I-square natin ang magkabilang panig ng equation at gawin ang pagbabawas ng magkatulad na termino, ilipat ang mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa at i-multiply ang parehong bahagi sa 0.5. Bilang resulta, nakukuha namin ang equation
= 12, (*) na bunga ng orihinal. I-square natin muli ang magkabilang panig ng equation. Nakukuha natin ang equation (x + 5) (20 - x) = 144, na resulta ng orihinal. Ang resultang equation ay binabawasan sa anyong x 2 - 15x + 44 =0.
Ang equation na ito (na bunga din ng orihinal) ay may mga ugat x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Ang parehong mga ugat, tulad ng ipinapakita ng pagsubok, ay nakakatugon sa orihinal na equation.
Sinabi ni Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.
Magkomento. Kapag nag-square ng mga equation, ang mga mag-aaral ay madalas sa mga equation tulad ng (*) multiply root expression, iyon ay, sa halip na equation = 12, isinulat nila ang equation = 12. Hindi ito humahantong sa mga pagkakamali, dahil ang mga equation ay mga kahihinatnan ng mga equation. Gayunpaman, dapat itong isipin na sa pangkalahatang kaso, ang gayong pagpaparami ng mga radikal na expression ay nagbibigay ng hindi katumbas na mga equation.
Sa mga halimbawang tinalakay sa itaas, posibleng ilipat muna ang isa sa mga radical sa kanang bahagi ng equation. Pagkatapos ay mananatili ang isang radikal sa kaliwang bahagi ng equation, at pagkatapos i-square ang magkabilang panig ng equation, isang rational function ang makukuha sa kaliwang bahagi ng equation. Ang pamamaraan na ito (solitude of the radical) ay kadalasang ginagamit sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation.
Halimbawa 6. Lutasin ang equation-= 3.
Ang pagkakaroon ng isolated ang unang radical, nakuha namin ang equation
=+ 3, na katumbas ng orihinal.
Pag-squaring sa magkabilang panig ng equation na ito, makuha natin ang equation
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, na katumbas ng equation
4x - 5 = 3(*). Ang equation na ito ay bunga ng orihinal na equation. Pag-squaring sa magkabilang panig ng equation, dumating tayo sa equation
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), o
7x2 - 13x - 2 = 0.
Ang equation na ito ay bunga ng equation (*) (at samakatuwid ay ang orihinal na equation) at may mga ugat. Ang unang ugat x 1 = 2 ay nakakatugon sa orihinal na equation, at ang pangalawang x 2 =- ay hindi.
Sagot: x = 2.
Tandaan na kung agad-agad, nang hindi ibinubukod ang isa sa mga radical, ay i-square ang parehong bahagi ng orihinal na equation, kailangan nating magsagawa ng medyo masalimuot na pagbabago.
Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, bilang karagdagan sa paghihiwalay ng mga radical, ginagamit din ang iba pang mga pamamaraan. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paggamit ng paraan ng pagpapalit ng hindi alam (ang paraan ng pagpapakilala ng isang auxiliary variable).
Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa palakasan. Ang mga equation ay ginagamit ng tao mula pa noong unang panahon, at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Kadalasan, ang root sign ay matatagpuan sa mga equation, at marami ang nagkakamali na naniniwala na ang mga naturang equation ay mahirap lutasin. Para sa gayong mga equation sa matematika mayroong isang espesyal na termino, na tinatawag na mga equation na may isang ugat - hindi makatwiran na mga equation.
Ang pangunahing pagkakaiba sa paglutas ng mga equation na may ugat mula sa iba pang mga equation, halimbawa, square, logarithmic, linear, ay wala silang karaniwang algorithm ng solusyon. Samakatuwid, upang malutas ang isang hindi makatwirang equation, kinakailangan upang pag-aralan ang paunang data at pumili ng isang mas angkop na solusyon.
Sa karamihan ng mga kaso, upang malutas ang ganitong uri ng mga equation, ang paraan ng pagtaas ng parehong bahagi ng equation sa parehong kapangyarihan ay ginagamit.
Sabihin nating ang sumusunod na equation ay ibinigay:
\[\sqrt((5x-16))=x-2\]
Namin parisukat ang magkabilang panig ng equation:
\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], kung saan sunod-sunod nating nakukuha ang:
Ang pagkakaroon ng nakatanggap ng isang quadratic equation, nakita namin ang mga ugat nito:
Sagot: \
Kung papalitan natin ang mga halagang ito sa equation, makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay, na nagpapahiwatig ng kawastuhan ng data na nakuha.
Saan ko malulutas ang isang equation na may mga ugat sa isang online solver?
Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https: // site. Ang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang online na equation ng anumang kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring panoorin ang pagtuturo ng video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming Vkontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.
Ang irrational equation ay anumang equation na naglalaman ng function sa ilalim ng root sign. Halimbawa:
Ang mga equation na ito ay palaging nalulutas sa 3 hakbang:
- Paghiwalayin ang ugat. Sa madaling salita, kung may iba pang mga numero o function sa kaliwa ng pantay na tanda bilang karagdagan sa ugat, ang lahat ng ito ay dapat ilipat sa kanan sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda. Kasabay nito, ang radikal lamang ang dapat manatili sa kaliwa - nang walang anumang mga coefficient.
- 2. Namin parisukat ang magkabilang panig ng equation. Kasabay nito, tandaan na ang saklaw ng ugat ay lahat ng hindi negatibong numero. Kaya ang function sa kanan hindi makatwirang equation dapat ding hindi negatibo: g (x) ≥ 0.
- Ang ikatlong hakbang ay lohikal na sumusunod mula sa pangalawa: kailangan mong magsagawa ng tseke. Ang katotohanan ay na sa ikalawang hakbang maaari tayong magkaroon ng karagdagang mga ugat. At upang maputol ang mga ito, kinakailangang i-substitute ang mga resultang numero ng kandidato sa orihinal na equation at suriin: nakuha ba talaga ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero?
Paglutas ng hindi makatwirang equation
Harapin natin ang ating hindi makatwirang equation na ibinigay sa pinakasimula ng aralin. Narito ang ugat ay liblib na: sa kaliwa ng pantay na tanda ay walang iba kundi ang ugat. I-square natin ang magkabilang panig:
2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0
Niresolba namin ang nagresultang quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant:
D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2
Ito ay nananatiling lamang upang palitan ang mga numerong ito sa orihinal na equation, i.e. magsagawa ng tseke. Ngunit kahit dito maaari mong gawin ang tamang bagay upang pasimplehin ang pinal na desisyon.
Paano gawing simple ang solusyon
Isipin natin: bakit natin sinusuri sa dulo ng paglutas ng hindi makatwirang equation? Gusto naming tiyakin na kapag pinapalitan ang aming mga ugat, magkakaroon ng di-negatibong numero sa kanan ng equal sign. Pagkatapos ng lahat, alam na natin na tiyak na ito ay isang hindi negatibong numero sa kaliwa, dahil ang arithmetic square root (dahil kung saan ang ating equation ay tinatawag na irrational) sa pamamagitan ng kahulugan ay hindi maaaring mas mababa sa zero.
Samakatuwid, ang kailangan lang nating suriin ay ang function na g ( x ) = 5 − x , na nasa kanan ng equal sign, ay hindi negatibo:
g(x) ≥ 0
Pinapalitan namin ang aming mga ugat sa function na ito at makakuha ng:
g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0
Mula sa mga halaga na nakuha, sumusunod na ang ugat x 1 = 6 ay hindi angkop sa amin, dahil kapag pinapalitan sa kanang bahagi ng orihinal na equation, nakakakuha kami ng negatibong numero. Ngunit ang ugat x 2 \u003d −2 ay angkop para sa amin, dahil:
- Ang ugat na ito ay ang solusyon sa quadratic equation na nakuha sa pamamagitan ng pagtaas ng magkabilang panig hindi makatwirang equation sa isang parisukat.
- Ang kanang bahagi ng orihinal na hindi makatwirang equation, kapag ang ugat na x 2 = −2 ay pinalitan, ay nagiging positibong numero, i.e. ang hanay ng arithmetic root ay hindi nilalabag.
Iyan ang buong algorithm! Tulad ng nakikita mo, ang paglutas ng mga equation na may mga radical ay hindi napakahirap. Ang pangunahing bagay ay huwag kalimutang suriin ang natanggap na mga ugat, kung hindi man ay malamang na makakuha ng mga karagdagang sagot.
Ang bawat bagong aksyon sa matematika ay agad na bumubuo ng kabaligtaran nito. Noong unang panahon, natuklasan ng mga sinaunang Griyego na ang isang parisukat na piraso ng lupa na 2 metro ang haba at 2 metro ang lapad ay magkakaroon ng lawak na 2 * 2 = 4 metro kuwadrado (mula dito ay tinutukoy bilang m ^ 2). At ngayon, sa kabaligtaran, kung alam ng Griyego na ang kanyang kapirasong lupa ay parisukat at may sukat na 4 m^2, paano niya malalaman kung gaano kahaba at gaano kalawak ang kanyang kapirasong lupa? Ang isang operasyon ay ipinakilala na ang kabaligtaran ng operasyon ng squaring at naging kilala bilang ang pagkuha ng square root. Nagsimulang maunawaan ng mga tao na ang 2 squared (2^2) ay katumbas ng 4. Sa kabaligtaran, ang square root ng 4 (simula dito ay tinutukoy bilang √ (4)) ay magiging katumbas ng dalawa. Naging mas kumplikado ang mga modelo, naging mas kumplikado rin ang mga talaan na naglalarawan sa mga prosesong may mga ugat. Ang tanong ay lumitaw nang maraming beses kung paano lutasin ang isang equation na may ugat.
Hayaan ang ilang halaga ng x, kapag pinarami sa sarili nito nang isang beses, ay nagbibigay ng 9. Maaari itong isulat bilang x * x \u003d 9. O sa pamamagitan ng antas: x^2=9. Upang mahanap ang x, dapat mong kunin ang ugat ng 9, na sa ilang lawak ay isang equation na may radical: x=√(9) . Ang ugat ay maaaring makuha nang pasalita o gumamit ng calculator para dito. Susunod, isaalang-alang ang kabaligtaran na problema. Ang isang tiyak na halaga, kapag kinukuha ang square root mula dito, ay nagbibigay ng halaga na 7. Kung isusulat natin ito bilang isang hindi makatwiran na equation, makakakuha tayo ng: √ (x) = 7. Upang malutas ang naturang problema, ang parehong bahagi ng expression ay dapat na squared . Dahil sa √(x) *√(x) =x, lumalabas na x = 49. Ang ugat ay kaagad na handa sa dalisay nitong anyo. Susunod, dapat nating pag-aralan ang mas kumplikadong mga halimbawa ng isang equation na may mga ugat.
Hayaang ibawas ang 5 mula sa isang tiyak na halaga, pagkatapos ay itinaas ang expression sa kapangyarihan ng 1/2. Bilang resulta, nakuha ang numero 3. Ngayon ang kundisyong ito ay dapat na isulat bilang isang equation: √ (x-5) =3. Susunod, ang bawat bahagi ng equation ay dapat na i-multiply sa sarili nito: x-5 = 3. Pagkatapos itaas sa pangalawang kapangyarihan, ang expression ay napalaya mula sa mga radical. Ngayon ay sulit na lutasin ang pinakasimpleng linear equation sa pamamagitan ng paglipat ng lima sa kanang bahagi at pagbabago ng sign nito. x = 5+3. x = 8. Sa kasamaang palad, hindi lahat ng proseso ng buhay ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng mga simpleng equation. Kadalasan maaari kang makahanap ng mga expression na may ilang mga radikal, kung minsan ang antas ng ugat ay maaaring mas mataas kaysa sa pangalawa. Walang solong algorithm ng solusyon para sa mga naturang pagkakakilanlan. Para sa bawat equation, ito ay nagkakahalaga ng paghahanap ng isang espesyal na diskarte. Ang isang halimbawa ay ibinigay kung saan ang equation na may ugat ay may ikatlong antas.
Ang ugat ng kubo ay lalagyan ng 3√. Hanapin ang volume ng isang lalagyan na may hugis ng isang kubo na may gilid na 5 metro. Hayaang ang volume ay x m^3. Pagkatapos ang cube root ng volume ay magiging katumbas ng gilid ng cube at katumbas ng limang metro. Nakuha ang equation: 3√(x) =5. Upang malutas ito, kinakailangang itaas ang parehong bahagi sa ikatlong kapangyarihan, x = 125. Sagot: 125 metro kubiko. Nasa ibaba ang isang halimbawa ng isang equation na may kabuuan ng mga ugat. √(x) +√(x-1) =5. Una kailangan mong parisukat ang parehong bahagi. Upang gawin ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa pinaikling pormula ng pagpaparami para sa parisukat ng kabuuan: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Ang paglalapat sa equation, lumalabas na: x + 2 * √ (x) * √ (x-1) + x-1 = 25. Dagdag pa, ang mga ugat ay naiwan sa kaliwang bahagi, at lahat ng iba pa ay inilipat sa kanan : 2 * √ (x) * √ (x-1) = 26 - 2x. Maginhawang hatiin ang parehong bahagi ng expression sa pamamagitan ng 2: √((x) (x-1)) = 13 - x. Ang isang mas simpleng irrational equation ay nakuha.
Pagkatapos ay muli, ang parehong mga bahagi ay dapat na parisukat: x * (x-1) \u003d 169 - 26x + x ^ 2. Kinakailangang buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino: x ^ 2 - x \u003d 169 - 26x + x ^ 2. Ang pangalawang kapangyarihan ay nawawala, kaya 25x = 169. x = 169/25 = 6.6. Matapos makumpleto ang tseke, pinapalitan ang nagresultang ugat sa orihinal na equation: √ (6.6) + √ (6.6-1) \u003d 2.6 + √ (5.6) \u003d 2.6 + 2.4 \u003d 5, makakakuha ka ng kasiya-siyang sagot. Napakahalaga din na maunawaan na ang isang expression na may pantay na ugat ay hindi maaaring negatibo. Sa katunayan, ang pagpaparami ng anumang numero sa sarili nito ng kahit na bilang ng beses, imposibleng makakuha ng halagang mas mababa sa zero. Samakatuwid, ang mga equation tulad ng √ (x ^ 2 + 7x-11) = -3 ay maaaring ligtas na hindi malutas, ngunit nakasulat na ang equation ay walang mga ugat. Tulad ng nabanggit sa itaas, ang solusyon ng mga equation na may mga radical ay maaaring magkaroon ng iba't ibang uri ng anyo.
Isang simpleng halimbawa ng isang equation kung saan kailangan mong baguhin ang mga variable. √(y) - 5*4√(y) +6 = 0, kung saan ang 4√(y) ay ang pang-apat na ugat ng y. Ang iminungkahing kapalit ay ang mga sumusunod: x = 4√(y) . Pagkatapos isagawa ito, lumalabas na: x ^ 2 - 5x + 6 = 0. Nakuha ang resultang quadratic equation. Ang discriminant nito: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Ang unang ugat x1 ay magiging katumbas ng (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. Ang pangalawang ugat x2 = (5 - √1) / 2 = 4/ 2 = 2. Mahahanap mo rin ang mga ugat gamit ang corollary ng theorem ni Vieta. Ang mga ugat ay natagpuan, ang isang reverse na kapalit ay dapat isagawa. 4√(y) = 3, kaya y1 = 1.6. Gayundin ang 4√(y) = 2, kapag kinuha ang ika-4 na ugat, lumalabas na y2 = 1.9. Ang mga halaga ay kinakalkula sa calculator. Ngunit hindi nila magagawa, iniiwan ang sagot sa anyo ng mga radikal.