Ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko ay kadalasang nalulutas ng mga formula. Ipaalala ko sa iyo na ang mga sumusunod na trigonometric equation ay tinatawag na pinakasimpleng:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ay ang anggulo na mahahanap,
a ay anumang numero.

At narito ang mga formula kung saan maaari mong agad na isulat ang mga solusyon ng mga pinakasimpleng equation na ito.

Para sa sinus:

Para sa cosine:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Para sa tangent:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Para sa cotangent:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Sa totoo lang, ito ang teoretikal na bahagi ng paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko. At, ang kabuuan!) Wala man lang. Gayunpaman, lumilipat lang ang bilang ng mga error sa paksang ito. Lalo na, na may bahagyang paglihis ng halimbawa mula sa template. Bakit?

Oo, dahil maraming tao ang nagsusulat ng mga liham na ito, nang hindi nauunawaan ang kanilang kahulugan! May pangamba na isinulat niya, anuman ang mangyari ...) Kailangang harapin ito. Trigonometry para sa mga tao, o mga tao para sa trigonometry, pagkatapos ng lahat!?)

Alamin natin ito?

Ang isang anggulo ay magiging katumbas ng arccos a, pangalawa: -arccos a.

At iyan ay palaging gagana. Para sa anumang a.

Kung hindi ka naniniwala sa akin, i-hover ang iyong mouse sa ibabaw ng larawan, o pindutin ang larawan sa tablet.) Pinalitan ko ang numero a sa ilang negatibo. Anyway, may isang sulok kami arccos a, pangalawa: -arccos a.

Samakatuwid, ang sagot ay maaaring palaging isulat bilang dalawang serye ng mga ugat:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pinagsasama namin ang dalawang seryeng ito sa isa:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

At lahat ng bagay. Nakakuha kami ng isang pangkalahatang formula para sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometric equation na may cosine.

Kung naiintindihan mo na ito ay hindi isang uri ng super-siyentipikong karunungan, ngunit isang pinaikling tala lamang ng dalawang serye ng mga sagot, ikaw at ang mga gawaing "C" ay nasa balikat. Sa mga hindi pagkakapantay-pantay, sa pagpili ng mga ugat mula sa isang naibigay na agwat ... Doon, ang sagot na may plus / minus ay hindi gumulong. At kung ituturing mo ang sagot na parang negosyo, at hatiin ito sa dalawang magkahiwalay na sagot, lahat ay napagpasyahan.) Sa totoo lang, para dito naiintindihan namin. Ano, paano at saan.

Sa pinakasimpleng trigonometric equation

sinx = a

makakuha din ng dalawang serye ng mga ugat. Laging. At ang dalawang seryeng ito ay maaari ding maitala isang linya. Tanging ang linyang ito ay magiging mas matalino:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Ngunit ang kakanyahan ay nananatiling pareho. Ang mga mathematician ay gumawa lamang ng isang formula upang makagawa ng isa sa halip na dalawang talaan ng mga serye ng mga ugat. At ayun na nga!

Suriin natin ang mga mathematician? At hindi iyon sapat...)

Sa nakaraang aralin, ang solusyon (nang walang anumang mga formula) ng trigonometric equation na may isang sine ay nasuri nang detalyado:

Ang sagot ay naging dalawang serye ng mga ugat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Kung malulutas natin ang parehong equation gamit ang formula, makukuha natin ang sagot:

x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

Sa totoo lang, kalahating tapos na itong sagot.) Dapat alam iyon ng estudyante arcsin 0.5 = π /6. Ang buong sagot ay:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Dito lumitaw ang isang kawili-wiling tanong. Sumagot sa pamamagitan ng x 1; x 2 (ito ang tamang sagot!) and through the lonely X (at ito ang tamang sagot!) - ang parehong bagay, o hindi? Alamin natin ngayon.)

Palitan bilang tugon ng x 1 mga halaga n =0; isa; 2; atbp., isinasaalang-alang namin, nakakakuha kami ng isang serye ng mga ugat:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 atbp.

Sa parehong pagpapalit bilang tugon sa x 2 , nakukuha natin:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 atbp.

At ngayon pinapalitan namin ang mga halaga n (0; 1; 2; 3; 4...) sa pangkalahatang pormula para sa malungkot X . Iyon ay, itinaas namin ang minus one sa zero na kapangyarihan, pagkatapos ay sa una, pangalawa, at iba pa. At, siyempre, pinapalitan namin ang 0 sa pangalawang termino; isa; 2 3; 4 atbp. At iniisip namin. Kumuha kami ng isang serye:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 atbp.

Iyon lang ang makikita mo.) Ibinibigay sa atin ng pangkalahatang formula eksaktong parehong mga resulta na magkahiwalay ang dalawang sagot. Sabay-sabay, sa pagkakasunud-sunod. Hindi nanlinlang ang mga mathematician.)

Ang mga formula para sa paglutas ng mga trigonometric equation na may tangent at cotangent ay maaari ding suriin. Pero wag na lang.) Napaka unpretentious nila.

Sinadya kong ipininta ang lahat ng pagpapalit at pagpapatunay na ito. Mahalagang maunawaan ang isang simpleng bagay dito: may mga pormula para sa paglutas ng mga elementarya na trigonometric equation, buod lamang ng mga sagot. Para sa kaiklian na ito, kailangan kong magpasok ng plus/minus sa solusyon ng cosine at (-1) n sa solusyon ng sine.

Ang mga pagsingit na ito ay hindi nakikialam sa anumang paraan sa mga gawain kung saan kailangan mo lamang isulat ang sagot sa isang elementary equation. Ngunit kung kailangan mong lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay, o pagkatapos ay kailangan mong gumawa ng isang bagay sa sagot: piliin ang mga ugat sa isang agwat, suriin para sa ODZ, atbp., ang mga pagsingit na ito ay madaling makagambala sa isang tao.

At ano ang gagawin? Oo, ipinta ang sagot sa dalawang serye, o lutasin ang equation / inequality sa isang trigonometric na bilog. Pagkatapos ang mga pagsingit na ito ay mawawala at ang buhay ay nagiging mas madali.)

Maaari mong buod.

Upang malutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, mayroong mga handa na mga formula ng sagot. Apat na piraso. Ang mga ito ay mabuti para sa agarang pagsulat ng solusyon sa isang equation. Halimbawa, kailangan mong lutasin ang mga equation:

sinx = 0.3

Madaling: x = (-1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

Walang problema: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

Madaling: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3.7

Umalis ang isa: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1.8

Kung ikaw, nagniningning sa kaalaman, agad na isulat ang sagot:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

pagkatapos ay nagniningning ka na, ito ... na ... mula sa isang puddle.) Ang tamang sagot ay: walang solusyon. Hindi maintindihan kung bakit? Basahin kung ano ang arccosine. Bilang karagdagan, kung sa kanang bahagi ng orihinal na equation mayroong mga tabular na halaga ng sine, cosine, tangent, cotangent, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 atbp. - ang sagot sa pamamagitan ng mga arko ay hindi natapos. Ang mga arko ay dapat i-convert sa mga radian.

At kung nakatagpo ka na ng hindi pagkakapantay-pantay, tulad ng

tapos ang sagot ay:

x πn, n ∈ Z

mayroong isang bihirang bagay na walang kapararakan, oo ...) Narito ito ay kinakailangan upang magpasya sa isang trigonometriko bilog. Ano ang gagawin natin sa kaukulang paksa.

Para sa mga magiting na nagbabasa hanggang sa mga linyang ito. Hindi ko lang maiwasang ma-appreciate ang iyong titanic efforts. bonus ka.)

Bonus:

Kapag nagsusulat ng mga formula sa isang nakababahalang sitwasyon ng labanan, kahit na ang mga tumigas na nerds ay madalas nalilito kung saan pn, At saan 2πn. Narito ang isang simpleng trick para sa iyo. Sa lahat mga formula pn. Maliban sa nag-iisang formula na may arc cosine. Nakatayo ito doon 2πn. Dalawa pien. Keyword - dalawa. Sa parehong solong formula ay dalawa sign sa simula. Plus at minus. Dito at doon - dalawa.

Kaya kung nagsulat ka dalawa mag-sign sa harap ng arc cosine, mas madaling matandaan kung ano ang mangyayari sa dulo dalawa pien. At vice versa ang nangyayari. Laktawan ang tanda ng lalaki ± , makarating sa dulo, magsulat ng tama dalawa pien, oo, at hulihin ito. Nauna sa isang bagay dalawa tanda! Babalik ang tao sa umpisa, pero itatama niya ang pagkakamali! Ganito.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Aralin at pagtatanghal sa paksa: "Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga manual at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 10 mula 1C
Niresolba namin ang mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain para sa pagbuo sa espasyo
Kapaligiran ng software "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ano ang ating pag-aaralan:
1. Ano ang mga trigonometric equation?

3. Dalawang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation.
4. Mga homogenous na trigonometric equation.
5. Mga halimbawa.

Ano ang mga trigonometric equation?

Guys, napag-aralan na natin ang arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent. Ngayon tingnan natin ang mga trigonometric equation sa pangkalahatan.

Trigonometric equation - mga equation kung saan ang variable ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng trigonometric function.

Inuulit namin ang anyo ng paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko:

1) Kung |а|≤ 1, ang equation na cos(x) = a ay may solusyon:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kung |а|≤ 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a ay may solusyon:

3) Kung |a| > 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a at cos(x) = a ay walang mga solusyon 4) Ang equation na tg(x)=a ay may solusyon: x=arctg(a)+ πk

5) Ang equation na ctg(x)=a ay may solusyon: x=arcctg(a)+ πk

Para sa lahat ng mga formula, ang k ay isang integer

Ang pinakasimpleng trigonometriko equation ay may anyo: Т(kx+m)=a, T- anumang trigonometriko function.

Halimbawa.

Lutasin ang mga equation: a) sin(3x)= √3/2

Desisyon:

A) Tukuyin natin ang 3x=t, pagkatapos ay muling isusulat natin ang ating equation sa anyo:

Ang solusyon sa equation na ito ay magiging: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Mula sa talahanayan ng mga halaga ay nakukuha natin: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Bumalik tayo sa ating variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Pagkatapos x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Sagot: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kung saan ang n ay isang integer. (-1)^n - minus one sa kapangyarihan ng n.

Higit pang mga halimbawa ng trigonometric equation.

Lutasin ang mga equation: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Desisyon:

A) Sa pagkakataong ito, diretso tayo sa pagkalkula ng mga ugat ng equation kaagad:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Pagkatapos x/5= πk => x=5πk

Sagot: x=5πk, kung saan ang k ay isang integer.

B) Sumulat tayo sa anyong: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Alam namin na: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Sagot: x=2π/9 + πk/3, kung saan ang k ay isang integer.

Lutasin ang mga equation: cos(4x)= √2/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment.

Desisyon:

Lutasin natin ang ating equation sa pangkalahatang anyo: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ngayon tingnan natin kung anong mga ugat ang nahuhulog sa ating segment. Para sa k Para sa k=0, x= π/16, tayo ay nasa ibinigay na segment .
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, muli silang tumama.
Para sa k=2, x= π/16+ π=17π/16, ngunit dito hindi kami tumama, ibig sabihin, hindi rin kami tatama para sa malaking k.

Sagot: x= π/16, x= 9π/16

Dalawang pangunahing paraan ng solusyon.

Isinaalang-alang namin ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, ngunit may mga mas kumplikado. Upang malutas ang mga ito, ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable at ang paraan ng factorization ay ginagamit. Tingnan natin ang mga halimbawa.

Lutasin natin ang equation:

Desisyon:
Upang malutas ang aming equation, ginagamit namin ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, na tinutukoy: t=tg(x).

Bilang resulta ng pagpapalit, nakukuha natin ang: t 2 + 2t -1 = 0

Hanapin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-1 at t=1/3

Pagkatapos tg(x)=-1 at tg(x)=1/3, nakuha namin ang pinakasimpleng trigonometric equation, hanapin natin ang mga ugat nito.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Sagot: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation

Lutasin ang mga equation: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Desisyon:

Gamitin natin ang pagkakakilanlan: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ang aming equation ay nagiging: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ipakilala natin ang kapalit na t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Ang solusyon sa ating quadratic equation ay ang mga ugat: t=2 at t=-1/2

Pagkatapos cos(x)=2 at cos(x)=-1/2.

kasi Ang cosine ay hindi maaaring kumuha ng mga halaga na higit sa isa, pagkatapos ay ang cos(x)=2 ay walang mga ugat.

Para sa cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Sagot: x= ±2π/3 + 2πk

Mga homogenous na trigonometric equation.

Kahulugan: Ang isang equation ng anyong sin(x)+b cos(x) ay tinatawag na homogenous na trigonometric equation ng unang degree.

Mga equation ng form

homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree.

Upang malutas ang isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree, hinahati namin ito sa cos(x): Imposibleng hatiin sa cosine kung ito ay katumbas ng zero, tiyakin natin na hindi ganito:
Hayaan ang cos(x)=0, pagkatapos asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ngunit ang sine at cosine ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, nakakuha tayo ng kontradiksyon, upang ligtas nating hatiin sa pamamagitan ng zero.

Lutasin ang equation:
Halimbawa: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Desisyon:

Alisin ang karaniwang salik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pagkatapos ay kailangan nating lutasin ang dalawang equation:

cos(x)=0 at cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 para sa x= π/2 + πk;

Isaalang-alang ang equation cos(x)+sin(x)=0 Hatiin ang aming equation sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Sagot: x= π/2 + πk at x= -π/4+πk

Paano malutas ang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree?
Guys, manatili sa mga patakarang ito palagi!

1. Tingnan kung ano ang katumbas ng coefficient a, kung a \u003d 0 kung gayon ang aming equation ay kukuha ng anyo na cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), isang halimbawa ng solusyon kung saan ay nasa naunang slide

2. Kung a≠0, kailangan mong hatiin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng squared cosine, nakukuha natin ang:

Ginagawa namin ang pagbabago ng variable t=tg(x) nakukuha namin ang equation:

Lutasin ang Halimbawa #:3

Lutasin ang equation:
Desisyon:

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cosine square:

Gumagawa kami ng pagbabago ng variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Hanapin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-3 at t=1

Pagkatapos: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Sagot: x=-arctg(3) + πk at x= π/4+ πk

Lutasin ang Halimbawa #:4

Lutasin ang equation:

Desisyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Maaari nating lutasin ang mga naturang equation: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Sagot: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Lutasin ang Halimbawa #:5

Lutasin ang equation:

Desisyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Ipinakilala namin ang kapalit na tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Ang solusyon sa ating quadratic equation ay ang mga ugat: t=-2 at t=1/2

Pagkatapos ay makukuha natin ang: tg(2x)=-2 at tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Sagot: x=-arctg(2)/2 + πk/2 at x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Mga gawain para sa malayang solusyon.

1) Lutasin ang equation

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Lutasin ang mga equation: sin(3x)= √3/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment [π/2; π].

3) Lutasin ang equation: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lutasin ang equation: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lutasin ang equation: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lutasin ang equation: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kabilang sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic na equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation, at mga equation na bumababa sa mga quadratic. Ang prinsipyo ng matagumpay na solusyon ng bawat isa sa mga nabanggit na gawain ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang maitatag kung anong uri ng gawain ang nalutas, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa nais na resulta, i.e. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw, ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito, kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba't ibang sitwasyon ang nangyayari sa trigonometriko equation. Hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Minsan mahirap matukoy ang uri nito sa pamamagitan ng hitsura ng isang equation. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang trigonometric equation, dapat nating subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong anggulo";
2. dalhin ang equation sa "parehong mga function";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isipin mo mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.

Hakbang 2 Maghanap ng argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3 Maghanap ng hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Desisyon.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation sa isang algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2 Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3 Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4 Gumawa ng reverse substitution.

Hakbang 5 Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Desisyon.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2 ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) kasalanan (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear gamit ang mga formula ng pagbabawas ng kapangyarihan:

kasalanan 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos2x + cos2x = 5/4.

Desisyon.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation na ito sa form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2 Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hakbang 3 Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Desisyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 o t = -4, kaya

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan para sa pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng uri ng trigonometric formula, dalhin ang equation na ito sa isang equation na maaaring malutas sa pamamagitan ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Desisyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng malaking pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at ng guro.

Maraming problema ng stereometry, physics, atbp. ang nauugnay sa solusyon ng mga trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema, kumbaga, ay naglalaman ng maraming kaalaman at kasanayan na nakukuha kapag pinag-aaralan ang mga elemento ng trigonometry.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pagtuturo ng matematika at pag-unlad ng personalidad sa pangkalahatan.

Mayroon ka bang anumang mga katanungan? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.

Mas kumplikadong trigonometriko equation

Mga equation

kasalanan x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ay ang pinakasimpleng trigonometric equation. Sa seksyong ito, gamit ang mga kongkretong halimbawa, isasaalang-alang namin ang mas kumplikadong mga equation ng trigonometriko. Ang kanilang solusyon, bilang panuntunan, ay nabawasan sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

Halimbawa 1 . lutasin ang equation

kasalanan 2 X= cos X kasalanan 2 x.

Ang paglilipat ng lahat ng mga termino ng equation na ito sa kaliwang bahagi at pag-decomposing ng nagresultang expression sa mga kadahilanan, nakuha namin ang:

kasalanan 2 X(1 - cos X) = 0.

Ang produkto ng dalawang expression ay katumbas ng zero kung at kung ang isa man lang sa mga salik ay katumbas ng zero, at ang isa ay kumukuha ng anumang numerical na halaga, hangga't ito ay tinukoy.

Kung ang kasalanan 2 X = 0 , pagkatapos 2 X=n π ; X = π / 2n.

Kung 1 - cos X = 0 , pagkatapos cos X = 1; X = 2kπ .

Kaya, nakakuha kami ng dalawang grupo ng mga ugat: X = π / 2n; X = 2kπ . Ang pangalawang pangkat ng mga ugat ay malinaw na nakapaloob sa una, dahil para sa n = 4k ang expression X = π / 2n nagiging
X = 2kπ .

Samakatuwid, ang sagot ay maaaring isulat sa isang formula: X = π / 2n, saan n-anumang integer.

Tandaan na ang equation na ito ay hindi malulutas sa pamamagitan ng pagbabawas ng kasalanan 2 x. Sa katunayan, pagkatapos ng pagbawas, makakakuha tayo ng 1 - cos x = 0, kung saan X= 2k π . Kaya, mawawalan tayo ng ilang mga ugat, halimbawa π / 2 , π , 3π / 2 .

HALIMBAWA 2. lutasin ang equation

Ang isang fraction ay zero lamang kung ang numerator nito ay zero.
Kaya kasalanan 2 X = 0 , saan 2 X=n π ; X = π / 2n.

Mula sa mga halagang ito X dapat itapon bilang extraneous ang mga halagang iyon kasalananX naglalaho (walang kahulugan ang mga praksiyon na may zero denominator: hindi tinukoy ang paghahati sa zero). Ang mga halagang ito ay mga numero na maramihan ng π . Sa formula
X = π / 2n sila ay nakuha para sa kahit na n. Samakatuwid, ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga numero

X = π / 2 (2k + 1),

kung saan ang k ay anumang integer.

Halimbawa 3 . lutasin ang equation

2 kasalanan 2 X+ 7 cos x - 5 = 0.

Express kasalanan 2 X sa pamamagitan ng cosx : kasalanan 2 X = 1 - cos 2x . Pagkatapos ang equation na ito ay maaaring muling isulat bilang

2 (1 - cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 , o

2cos 2 x- 7cos x + 3 = 0.

nagsasaad cosx sa pamamagitan ng sa, dumating tayo sa quadratic equation

2y 2 - 7y + 3 = 0,

na ang mga ugat ay ang mga numero 1 / 2 at 3. Samakatuwid, alinman sa cos x= 1 / 2 o cos X= 3. Gayunpaman, ang huli ay imposible, dahil ang ganap na halaga ng cosine ng anumang anggulo ay hindi lalampas sa 1.

Ito ay nananatiling kilalanin na cos x = 1 / 2 , saan

x = ± 60° + 360° n.

Halimbawa 4 . lutasin ang equation

2 kasalanan X+ 3cos x = 6.

Dahil kasalanan x at cos x huwag lumampas sa 1 sa ganap na halaga, pagkatapos ay ang expression
2 kasalanan X+ 3cos x hindi maaaring kumuha ng mga halaga na mas malaki kaysa sa 5 . Samakatuwid, ang equation na ito ay walang mga ugat.

Halimbawa 5 . lutasin ang equation

kasalanan X+ cos x = 1

Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng equation na ito, nakukuha natin ang:

kasalanan 2 X+ 2 kasalanan x cos x+ cos2 x = 1,

ngunit kasalanan 2 X + dahil 2 x = 1 . Kaya 2 kasalanan x cos x = 0 . Kung ang kasalanan x = 0 , pagkatapos X = nπ ; kung
cos x , pagkatapos X = π / 2 + kπ . Ang dalawang pangkat ng mga solusyon na ito ay maaaring isulat sa isang formula:

X = π / 2n

Dahil na-square namin ang magkabilang bahagi ng equation na ito, hindi inaalis ang posibilidad na sa mga ugat na nakuha namin ay mayroong mga extraneous. Iyon ang dahilan kung bakit sa halimbawang ito, hindi tulad ng lahat ng nauna, kinakailangan na gumawa ng tseke. Lahat ng halaga

X = π / 2n maaaring hatiin sa 4 na pangkat

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

Sa X = 2kπ kasalanan x+ cos x= 0 + 1 = 1. Samakatuwid, X = 2kπ ay ang mga ugat ng equation na ito.

Sa X = π / 2 + 2kπ. kasalanan x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ ay din ang mga ugat ng equation na ito.

Sa X = π + 2kπ kasalanan x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Samakatuwid, ang mga halaga X = π + 2kπ ay hindi mga ugat ng equation na ito. Katulad nito, ito ay ipinapakita na X = 3π / 2 + 2kπ. ay hindi mga ugat.

Kaya, ang equation na ito ay may mga sumusunod na ugat: X = 2kπ at X = π / 2 + 2mp., saan k at m- anumang buong numero.