Alam mo ba kung ano ang midpoint ng isang linya? Syempre ginagawa mo. At ang gitna ng bilog? masyadong.

Ano ang midpoint ng isang anggulo?

Masasabi mong hindi ito nangyayari. Ngunit bakit, ang segment ay maaaring hatiin sa kalahati, ngunit ang anggulo ay hindi? Ito ay lubos na posible - hindi lamang isang tuldok, ngunit .... linya.

Naaalala mo ba ang biro: ang bisector ay isang daga na tumatakbo sa mga sulok at pinaghiwa-hiwalay ang sulok. Kaya, ang tunay na kahulugan ng bisector ay halos kapareho sa biro na ito:

Bisector ng isang tatsulok ay isang segment ng bisector ng anggulo ng isang tatsulok, na nagkokonekta sa vertex ng anggulong ito na may isang punto sa kabilang panig.

Noong unang panahon, natuklasan ng mga sinaunang astronomo at mathematician ang maraming mga kagiliw-giliw na katangian ng bisector. Ang kaalamang ito ay lubos na nagpasimple sa buhay ng mga tao.

Ang unang kaalaman na makakatulong dito ay...

Siyanga pala, natatandaan mo ba ang lahat ng mga katagang ito? Naaalala mo ba kung paano sila naiiba sa isa't isa? Hindi? Hindi nakakatakot. Ngayon ay alamin natin ito.

• Base ng isang isosceles triangle- ito ang panig na hindi katumbas ng iba. Tingnan mo ang larawan, sa tingin mo aling bahagi ito? Tama iyon - ito ay isang panig.
• Ang median ay isang linya na iginuhit mula sa tuktok ng isang tatsulok at hinahati ang magkabilang panig (ito muli). Pansinin na hindi namin sinasabi, "Ang median ng isang isosceles triangle." Alam mo ba kung bakit? Dahil ang median na iginuhit mula sa vertex ng isang tatsulok ay hinahati ang kabaligtaran na bahagi sa ANUMANG tatsulok.
• Ang taas ay isang linya na iginuhit mula sa itaas at patayo sa base. Napansin mo? Muli nating pinag-uusapan ang anumang tatsulok, hindi lamang isang isosceles. Ang taas sa ANUMANG tatsulok ay palaging patayo sa base.

Kaya, naisip mo na ba ito? halos.

Upang mas maunawaan at matandaan magpakailanman kung ano ang bisector, median at taas, kailangan nila ikumpara sa isa't isa at maunawaan kung paano sila magkatulad at kung paano sila naiiba sa isa't isa.

Kasabay nito, upang mas matandaan, mas mahusay na ilarawan ang lahat sa "wika ng tao".

Pagkatapos ay madali kang magpapatakbo gamit ang wika ng matematika, ngunit sa una ay hindi mo naiintindihan ang wikang ito at kailangan mong maunawaan ang lahat sa sarili mong wika.

Kaya paano sila magkatulad?

Ang bisector, median at taas - lahat sila ay "lumabas" mula sa tuktok ng tatsulok at umabot sa tapat na direksyon at "gumawa ng isang bagay" alinman sa anggulo kung saan sila lumabas, o sa kabaligtaran.

I think simple lang, no?

At paano sila nagkakaiba?

• Hinahati ng bisector ang anggulo kung saan ito lumalabas.
• Hinahati ng median ang kabaligtaran.
• Ang taas ay palaging patayo sa kabaligtaran.

Ayan yun. Madaling maunawaan. Kapag naintindihan mo, maaalala mo.

Ngayon ang susunod na tanong.

Bakit, kung gayon, sa kaso ng isang isosceles triangle, ang bisector ay lumalabas na parehong median at ang taas sa parehong oras?

Maaari mo lamang tingnan ang figure at siguraduhin na ang median ay nahahati sa dalawang ganap na pantay na tatsulok.

Iyon lang! Ngunit ang mga mathematician ay hindi gustong maniwala sa kanilang mga mata. Kailangan nilang patunayan ang lahat.

Nakakatakot na salita?

Walang katulad nito - lahat ay simple! Tingnan: at may pantay na panig at, mayroon silang isang karaniwang panig at. (- bisector!) At kaya, lumabas na ang dalawang tatsulok ay may dalawang pantay na gilid at isang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Naaalala namin ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok (hindi mo naaalala, tingnan ang paksa) at tapusin iyon, na nangangahulugang = at.

Maganda na ito - ibig sabihin ito pala ang median.

Ngunit ano ito?

Tingnan natin ang larawan -. At nakuha namin iyon. Kaya, masyadong! Sa wakas, hurray! at.

Nahirapan ka ba sa patunay na ito? Tingnan ang larawan - dalawang magkaparehong tatsulok ang nagsasalita para sa kanilang sarili.

Sa anumang kaso, mangyaring tandaan:

Ngayon mas mahirap: magbibilang tayo anggulo sa pagitan ng mga bisector sa anumang tatsulok! Huwag matakot, hindi lahat ng ito ay nakakalito. Tingnan ang larawan:

Bilangin natin. Naalala mo ba yun ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay?

Ilapat natin ang kamangha-manghang katotohanang ito.

Sa isang banda, mula sa:

I.e.

Ngayon tingnan natin:

Ngunit bisectors, bisectors!

Tandaan natin ang tungkol sa:

Ngayon sa pamamagitan ng mga titik

Hindi ba nakakagulat?

Yun pala ang anggulo sa pagitan ng mga bisector ng dalawang anggulo ay nakasalalay lamang sa ikatlong anggulo!

Well, tumingin kami sa dalawang bisector. Paano kung tatlo??!! Magsa-intersect ba silang lahat sa iisang punto?

O magiging?

Paano sa tingin mo? Dito naisip at naisip at pinatunayan ng mga mathematician:

Talaga, mahusay?

Gusto mo bang malaman kung bakit ito nangyayari?

Pumunta sa susunod na antas - handa ka nang lupigin ang mga bagong taas ng kaalaman tungkol sa bisector!

BISECTOR. GITNANG ANTAS

Naaalala mo ba kung ano ang bisector?

Ang bisector ay isang linya na naghahati sa isang anggulo.

Nakilala mo ba ang bisector sa problema? Subukang ilapat ang isa (at kung minsan ay maaari mong ilan) sa mga sumusunod na kamangha-manghang katangian.

1. Bisector sa isang isosceles triangle.

Natatakot ka ba sa salitang "theorem"? Kung natatakot ka, kung gayon - walang kabuluhan. Ang mga mathematician ay nakaugalian na na tawagan ang anumang pahayag na kahit papaano ay mahihinuha mula sa iba, mas simpleng mga pahayag, isang teorama ng matematika.

Kaya, pansin, ang teorama!

Patunayan natin ang teorama na ito, ibig sabihin, mauunawaan natin kung bakit ito nangyayari? Tingnan ang isosceles.

Tingnan natin silang mabuti. At pagkatapos ay makikita natin iyon

1. - pangkalahatan.

At nangangahulugan ito (sa halip, tandaan ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok!), Iyon.

E ano ngayon? Gusto mo bang sabihin ito? At ang katotohanan na hindi pa natin tinitingnan ang mga ikatlong panig at ang natitirang mga anggulo ng mga tatsulok na ito.

At ngayon tingnan natin. Minsan, pagkatapos ay ganap na eksakto at kahit sa karagdagan,.

Kaya nangyari yun

1. hinati ang panig sa kalahati, ibig sabihin, naging median
2. , na nangangahulugang pareho silang naka-on, dahil (tingnan muli ang figure).

Kaya pala bisector at taas din!

Hooray! Napatunayan namin ang teorama. Pero guess what, hindi lang iyon. Tapat at converse theorem:

Patunay? Interesado ka ba? Basahin ang susunod na antas ng teorya!

At kung hindi ka interesado, kung gayon tandaan na mabuti:

Bakit ang hirap tandaan? Paano ito makakatulong? Isipin na mayroon kang gawain:

Ibinigay: .

Hanapin: .

Naisip mo kaagad, bisector at, narito, hinati niya ang gilid sa kalahati! (sa kondisyon…). Kung matatag mong tandaan na ito ay nangyayari lamang sa isang isosceles triangle, pagkatapos ay tapusin mo, ibig sabihin, isulat ang sagot:. Ang galing diba? Siyempre, hindi lahat ng mga gawain ay magiging napakadali, ngunit ang kaalaman ay tiyak na makakatulong!

At ngayon ang susunod na pag-aari. handa na?

2. Ang bisector ng isang anggulo ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulo.

Natatakot? Sa totoo lang, wala itong dapat ipag-alala. Ang mga tamad na mathematician ay nagtago ng apat sa dalawang linya. Kaya, ano ang ibig sabihin, "Bisector - lokus ng mga puntos"? At nangangahulugan ito na agad silang pinapatay dalawamga pahayag:

1. Kung ang isang punto ay nasa isang bisector, kung gayon ang mga distansya mula dito hanggang sa mga gilid ng anggulo ay pantay.
2. Kung sa ilang mga punto ang mga distansya sa mga gilid ng anggulo ay pantay, kung gayon ang puntong ito kinakailangan nakahiga sa bisector.

Nakikita mo ba ang pagkakaiba sa pagitan ng mga pahayag 1 at 2? Kung hindi, tandaan ang Hatter mula sa "Alice in Wonderland": "Kaya mayroon ka pa ring magandang sasabihin, na parang "Nakikita ko ang kinakain ko" at "Kumakain ako ng nakikita ko" ay pareho!

Kaya, kailangan nating patunayan ang mga pahayag 1 at 2, at pagkatapos ay ang pahayag: "ang panggitnang guhit ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulo" ay mapapatunayan!

Bakit tama ang 1?

Kunin ang anumang punto sa bisector at tawagan ito.

Let us drop perpendiculars mula sa puntong ito sa mga gilid ng anggulo.

At ngayon ... maghanda upang matandaan ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok! Kung nakalimutan mo ang mga ito, pagkatapos ay tingnan ang seksyon.

Kaya ... dalawang tamang tatsulok: at. Meron sila:

• karaniwang hypotenuse.
• (dahil - ang bisector!)

Kaya - sa pamamagitan ng anggulo at hypotenuse. Samakatuwid, ang kaukulang mga binti ng mga tatsulok na ito ay pantay! I.e.

Pinatunayan namin na ang punto ay pantay (o pantay) na inalis mula sa mga gilid ng anggulo. Napag-usapan ang punto 1. Ngayon lumipat tayo sa point 2.

Bakit tama ang 2?

At ikonekta ang mga tuldok.

Kaya, iyon ay, namamalagi sa bisector!

Iyon lang!

Paano mailalapat ang lahat ng ito sa paglutas ng problema? Halimbawa, sa mga gawain ay madalas na tulad ng isang parirala: "Ang bilog ay humipo sa mga gilid ng anggulo ...". Well, kailangan mong maghanap ng isang bagay.

Mabilis mong napagtanto iyon

At maaari mong gamitin ang pagkakapantay-pantay.

3. Tatlong bisector sa isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto

Mula sa pag-aari ng bisector upang maging locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulo, ang sumusunod na pahayag ay sumusunod:

Paano nga ba ito dumadaloy? Ngunit tingnan mo: dalawang bisector ay tiyak na magsalubong, tama?

At ang ikatlong bisector ay maaaring maging ganito:

Ngunit sa katunayan, ang lahat ay mas mahusay!

Isaalang-alang natin ang intersection point ng dalawang bisectors. Tawagan natin siya.

Ano ang ginamit namin dito pareho? Oo talata 1, syempre! Kung ang isang punto ay nasa bisector, kung gayon ito ay pantay na malayo sa mga gilid ng anggulo.

At nangyari nga.

Ngunit tingnang mabuti ang dalawang pagkakapantay-pantay na ito! Pagkatapos ng lahat, ito ay sumusunod mula sa kanila na at, samakatuwid, .

At ngayon ito ay gagana punto 2: kung ang mga distansya sa mga gilid ng anggulo ay pantay, kung gayon ang punto ay nasa bisector ... ng anong anggulo? Tingnan muli ang larawan:

at ang mga distansya sa mga gilid ng anggulo, at sila ay pantay, na nangangahulugan na ang punto ay nasa bisector ng anggulo. Ang ikatlong bisector ay dumaan sa parehong punto! Lahat ng tatlong bisector ay nagsalubong sa isang punto! At, bilang karagdagang regalo -

Radii nakasulat mga bilog.

(Para sa katapatan, tumingin sa ibang paksa).

Well, ngayon ay hindi mo malilimutan:

Ang punto ng intersection ng mga bisectors ng isang tatsulok ay ang sentro ng bilog na nakasulat dito.

Lumipat tayo sa susunod na pag-aari ... Wow, at ang bisector ay may maraming mga pag-aari, tama? At ito ay mahusay, dahil mas maraming mga katangian, mas maraming mga tool para sa paglutas ng mga problema tungkol sa bisector.

4. Bisector at parallelism, bisectors ng mga katabing anggulo

Ang katotohanan na hinahati ng bisector ang anggulo sa ilang mga kaso ay humahantong sa ganap na hindi inaasahang mga resulta. Halimbawa,

Kaso 1

Ang galing diba? Intindihin natin kung bakit.

Sa isang banda, gumuguhit kami ng bisector!

Ngunit, sa kabilang banda, - tulad ng mga crosswise na nakahiga na sulok (tandaan ang paksa).

At ngayon lumalabas na; itapon ang gitna: ! - isosceles!

Kaso 2

Isipin ang isang tatsulok (o tumingin sa isang larawan)

Ipagpatuloy natin ang magkatabi. Ngayon ay may dalawang sulok:

• - panloob na sulok
• - panlabas na sulok - ito ay nasa labas, tama?

Kaya, at ngayon ang isang tao ay nais na gumuhit hindi isa, ngunit dalawang bisector nang sabay-sabay: kapwa para sa at para sa. Ano ang mangyayari?

At ito ay lalabas parihaba!

Nakapagtataka, ganoon talaga iyon.

Nakakaintindi kami.

Ano sa tingin mo ang halaga?

Siyempre, dahil lahat sila ay magkakasamang gumawa ng isang anggulo na ito ay lumalabas na isang tuwid na linya.

At ngayon naaalala natin iyon at mga bisector at makikita natin na sa loob ng anggulo ay eksakto kalahati mula sa kabuuan ng lahat ng apat na anggulo: at - - iyon ay, eksakto. Maaari rin itong isulat bilang isang equation:

Kaya, hindi kapani-paniwala ngunit totoo:

Ang anggulo sa pagitan ng mga bisector ng panloob at panlabas na mga anggulo ng tatsulok ay pantay.

Kaso 3

Tingnan na ang lahat ay pareho dito tulad ng para sa panloob at panlabas na mga sulok?

O iniisip natin muli kung bakit ganito?

Muli, para sa mga katabing sulok,

(bilang naaayon sa mga parallel na base).

At muli, make up eksaktong kalahati mula sa kabuuan

Konklusyon: Kung may mga bisector sa problema kaugnay mga anggulo o bisector kanya-kanyang anggulo ng isang paralelogram o trapezoid, pagkatapos ay sa problemang ito tiyak isang tamang tatsulok ang kasangkot, at marahil kahit isang buong parihaba.

5. Bisector at kabaligtaran

Ito ay lumiliko na ang bisector ng anggulo ng isang tatsulok ay naghahati sa kabaligtaran na bahagi hindi sa anumang paraan, ngunit sa isang espesyal at napaka-kagiliw-giliw na paraan:

I.e:

Kamangha-manghang katotohanan, hindi ba?

Ngayon ay patunayan natin ang katotohanang ito, ngunit maghanda: ito ay magiging mas mahirap ng kaunti kaysa dati.

Muli - isang exit sa "espasyo" - isang karagdagang gusali!

Diretso na tayo.

Para saan? Ngayon makikita natin.

Ipinagpapatuloy namin ang bisector sa intersection na may linya.

Isang pamilyar na larawan? Oo, oo, oo, eksaktong kapareho ng sa talata 4, kaso 1 - lumalabas na (- bisector)

Parang nakahiga crosswise

Kaya, ito rin.

Ngayon tingnan natin ang mga tatsulok at.

Ano ang masasabi tungkol sa kanila?

Magkatulad sila. Well, oo, ang kanilang mga anggulo ay katumbas ng vertical. Kaya dalawang sulok.

Ngayon ay may karapatan kaming isulat ang mga relasyon ng mga kaukulang partido.

At ngayon sa maikling notasyon:

Aray! May naaalala ako, tama? Hindi ba iyon ang gusto nating patunayan? Oo, oo, iyon lang!

Nakita mo kung gaano kahusay ang "spacewalk" - ang pagtatayo ng karagdagang tuwid na linya - walang mangyayari kung wala ito! At kaya, napatunayan namin iyon

Ngayon ay maaari mo na itong ligtas na gamitin! Suriin natin ang isa pang pag-aari ng mga bisector ng mga anggulo ng isang tatsulok - huwag matakot, ngayon ang pinakamahirap na bagay ay tapos na - ito ay magiging mas madali.

Nakukuha namin iyon

Teorama 1:

Teorama 2:

Teorama 3:

Teorama 4:

Teorama 5:

Teorama 6:

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo na hanggang dulo, ikaw ay nasa 5%!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naisip mo na ang teorya sa paksang ito. At, uulitin ko, ito ay ... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...

Para saan?

Para sa matagumpay na pagpasa sa pagsusulit, para sa pagpasok sa instituto sa badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...

Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa kanila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kinakailangan upang makatiyak na maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?

PUNO ANG IYONG KAMAY, PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.

Kakailanganin mong lutasin ang mga problema sa oras.

At, kung hindi mo pa nasolusyunan ang mga ito (MARAMING!), tiyak na gagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi mo ito gagawin sa tamang oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Maghanap ng koleksyon kahit saan mo gusto kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at tiyak na inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang makakuha ng tulong sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
2. I-unlock ang access sa lahat ng nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng tutorial - Bumili ng isang aklat-aralin - 899 rubles

Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aklat-aralin at ang pag-access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.

Sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin!

Sa araling ito, isasaalang-alang natin nang detalyado kung anong mga katangian ang mayroon ang mga puntong nakahiga sa bisector ng anggulo at ang mga puntong nasa perpendicular bisector sa segment.

Tema: Bilog

Aralin: Mga katangian ng angle bisector at perpendicular bisector ng isang line segment

Isaalang-alang ang mga katangian ng isang punto na nakahiga sa angle bisector (tingnan ang Fig. 1).

kanin. isa

Dahil sa isang anggulo , ang bisector AL nito, ang point M ay nasa bisector.

Teorama:

Kung ang punto M ay namamalagi sa bisector ng anggulo, kung gayon ito ay katumbas ng distansya mula sa mga gilid ng anggulo, iyon ay, ang mga distansya mula sa puntong M hanggang AC at sa BC ng mga gilid ng anggulo ay pantay.

Patunay:

Isaalang-alang ang mga tatsulok at . Ang mga ito ay mga right-angled triangles, at sila ay pantay, dahil. ay may isang karaniwang hypotenuse AM, at ang mga anggulo at ay pantay, dahil ang AL ay ang bisector ng anggulo . Kaya, ang mga right-angled na tatsulok ay pantay-pantay sa hypotenuse at acute angle, kaya ito ay sumusunod na , na kinakailangan upang mapatunayan. Kaya, ang isang punto sa bisector ng isang anggulo ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulong iyon.

Ang converse theorem ay totoo.

Kung ang isang punto ay pantay-pantay ang layo mula sa mga gilid ng isang hindi pinalawak na anggulo, ito ay namamalagi sa bisector nito.

kanin. 2

Ang isang nakabukas na anggulo ay ibinibigay, point M, upang ang distansya mula dito hanggang sa mga gilid ng anggulo ay pareho (tingnan ang Fig. 2).

Patunayan na ang puntong M ay nasa bisector ng anggulo.

Patunay:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo. Gumuhit mula sa punto M patayo MK sa gilid AB at MP sa gilid AC.

Isaalang-alang ang mga tatsulok at . Ang mga ito ay mga right-angled triangles, at sila ay pantay, dahil. ay may karaniwang hypotenuse AM, ang mga binti MK at MR ay pantay sa kondisyon. Kaya, ang mga tamang tatsulok ay pantay sa hypotenuse at binti. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sinusunod ang pagkakapantay-pantay ng mga kaukulang elemento, ang pantay na mga anggulo ay namamalagi laban sa pantay na mga binti, kaya, , samakatuwid, ang punto M ay nasa bisector ng ibinigay na anggulo.

Maaaring pagsamahin ang direkta at kabaligtaran na mga theorems.

Teorama

Ang bisector ng isang hindi pinalawak na anggulo ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga gilid ng ibinigay na anggulo.

Teorama

Ang mga bisectors AA 1 , BB 1 , CC 1 ng tatsulok ay bumalandra sa isang punto O (tingnan ang Fig. 3).

kanin. 3

Patunay:

Isaalang-alang ang unang dalawang bisector na BB 1 at СС 1 . Sila ay bumalandra, ang intersection point O ay umiiral. Upang patunayan ito, ipagpalagay na ang kabaligtaran - hayaan ang ibinigay na mga bisector ay hindi magsalubong, kung saan sila ay parallel. Pagkatapos ang linyang BC ay isang secant, at ang kabuuan ng mga anggulo , ito ay sumasalungat sa katotohanan na sa buong tatsulok ang kabuuan ng mga anggulo ay .

Kaya, ang punto O ng intersection ng dalawang bisector ay umiiral. Isaalang-alang ang mga katangian nito:

Ang punto O ay nasa bisector ng anggulo , na nangangahulugan na ito ay katumbas ng layo mula sa mga gilid nito BA at BC. Kung ang OK ay patayo sa BC, ang OL ay patayo sa BA, kung gayon ang mga haba ng mga perpendicular na ito ay katumbas ng -. Gayundin, ang puntong O ay nasa bisector ng anggulo at pantay ang layo mula sa mga gilid nito CB at CA, ang mga perpendicular na OM at OK ay pantay.

Nakuha namin ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:

, iyon ay, ang lahat ng tatlong patayo na bumaba mula sa puntong O hanggang sa mga gilid ng tatsulok ay katumbas ng bawat isa.

Interesado kami sa pagkakapantay-pantay ng mga perpendicular na OL at OM. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagsasabi na ang punto O ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulo, kaya ito ay nasa bisector AA 1 nito.

Kaya, napatunayan namin na ang lahat ng tatlong bisector ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.

Lumipat tayo sa pagsasaalang-alang ng segment, ang perpendicular bisector nito at ang mga katangian ng punto na nasa perpendicular bisector.

Ang segment AB ay ibinigay, ang p ay ang perpendicular bisector. Nangangahulugan ito na ang linyang p ay dumadaan sa gitnang punto ng segment na AB at patayo dito.

Teorama

kanin. 4

Anumang punto na nakahiga sa perpendicular bisector ay katumbas ng distansya mula sa mga dulo ng segment (tingnan ang Fig. 4).

Patunayan mo yan

Patunay:

Isaalang-alang ang mga tatsulok at . Ang mga ito ay hugis-parihaba at pantay, dahil. ay may isang karaniwang binti OM, at ang mga binti ng AO at OB ay pantay-pantay ayon sa kondisyon, kaya, mayroon kaming dalawang right-angled na tatsulok na pantay sa dalawang binti. Kasunod nito na ang mga hypotenuse ng mga tatsulok ay pantay din, iyon ay, na dapat patunayan.

Tandaan na ang segment na AB ay isang karaniwang chord para sa maraming lupon.

Halimbawa, ang unang bilog ay nakasentro sa punto M at radius MA at MB; pangalawang bilog na nakasentro sa punto N, radius NA at NB.

Kaya, napatunayan namin na kung ang isang punto ay nasa perpendicular bisector sa isang segment, ito ay katumbas ng distansya mula sa mga dulo ng segment (tingnan ang Fig. 5).

kanin. 5

Ang converse theorem ay totoo.

Teorama

Kung ang ilang puntong M ay katumbas ng layo mula sa mga dulo ng isang segment, ito ay nasa perpendicular bisector sa segment na ito.

Ibinigay ang segment AB, ang median na patayo dito p, ang punto M, katumbas ng layo mula sa mga dulo ng segment (tingnan ang Fig. 6).

Patunayan na ang punto M ay nasa perpendicular bisector sa segment.

kanin. 6

Patunay:

Isaalang-alang natin ang isang tatsulok. Ito ay isosceles, ayon sa kondisyon. Isaalang-alang ang median ng tatsulok: ang point O ay ang midpoint ng base AB, ang OM ay ang median. Ayon sa pag-aari ng isang isosceles triangle, ang median na iginuhit sa base nito ay parehong taas at bisector. Kaya naman sinusunod iyon. Ngunit ang linya p ay patayo din sa AB. Alam namin na ang isang solong patayo sa segment na AB ay maaaring iguhit sa puntong O, na nangangahulugan na ang mga linyang OM at p ay nag-tutugma, kaya sumusunod na ang puntong M ay kabilang sa linyang p, na kinakailangang patunayan.

Ang direkta at kabaligtaran na mga theorems ay maaaring pangkalahatan.

Teorama

Ang perpendicular bisector ng isang segment ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga dulo nito.

Ang isang tatsulok, tulad ng alam mo, ay binubuo ng tatlong mga segment, na nangangahulugan na ang tatlong perpendicular bisector ay maaaring iguguhit dito. Ito ay lumiliko na sila ay nagsalubong sa isang punto.

Ang mga perpendicular bisector ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.

Isang tatsulok ang ibinigay. Perpendikular sa mga gilid nito: P 1 sa gilid BC, P 2 sa gilid AC, P 3 sa gilid AB (tingnan ang Fig. 7).

Patunayan na ang mga perpendicular na Р 1 , Р 2 at Р 3 ay nagsalubong sa punto O.

Ngayon ay magiging isang napakadaling aralin. Isaalang-alang lamang natin ang isang bagay - ang angle bisector - at patunayan ang pinakamahalagang pag-aari nito, na magiging lubhang kapaki-pakinabang sa atin sa hinaharap.

Huwag lang mag-relax: minsan ang mga mag-aaral na gustong makakuha ng mataas na marka sa parehong OGE o USE, sa unang aralin, ay hindi man lang makapagbalangkas ng eksaktong kahulugan ng bisector.

At sa halip na gumawa ng mga talagang kawili-wiling gawain, gumugugol kami ng oras sa mga simpleng bagay. Kaya basahin, panoorin - at gamitin. :)

Upang magsimula sa, isang bahagyang kakaibang tanong: ano ang isang anggulo? Tama iyan: ang anggulo ay dalawang sinag lamang na lumalabas sa parehong punto. Halimbawa:

Mga halimbawa ng mga anggulo: acute, obtuse at right

Tulad ng nakikita mo mula sa larawan, ang mga sulok ay maaaring matalim, mahina, tuwid - hindi mahalaga ngayon. Kadalasan, para sa kaginhawahan, ang isang karagdagang punto ay minarkahan sa bawat ray at sinasabi nila, sabi nila, mayroon kaming isang anggulo na $AOB$ (nakasulat bilang $\angle AOB$).

Ang kapitan ay tila nagpapahiwatig na bilang karagdagan sa mga sinag na $OA$ at $OB$, ang isa ay palaging maaaring gumuhit ng isang grupo ng mga sinag mula sa puntong $O$. Ngunit sa kanila ay magkakaroon ng isang espesyal - ito ay tinatawag na bisector.

Kahulugan. Ang bisector ng isang anggulo ay isang sinag na lumalabas sa tuktok ng anggulong iyon at hinahati ang anggulo.

Para sa mga anggulo sa itaas, magiging ganito ang hitsura ng mga bisector:

Mga halimbawa ng bisectors para sa acute, obtuse at right angles

Dahil sa totoong mga guhit ay malayo sa palaging halata na ang isang tiyak na sinag (sa aming kaso, ito ang $OM$ ray) ay naghahati sa paunang anggulo sa dalawang magkapantay, kaugalian na sa geometry na markahan ang magkaparehong mga anggulo na may parehong bilang ng mga arko (sa aming pagguhit ito ay 1 arko para sa isang matinding anggulo, dalawa para sa mapurol, tatlo para sa tuwid).

Okay, nalaman namin ang kahulugan. Ngayon ay kailangan mong maunawaan kung anong mga katangian ang mayroon ang bisector.

Pangunahing pag-aari ng angle bisector

Sa katunayan, ang bisector ay may maraming mga katangian. At tiyak na isasaalang-alang natin ang mga ito sa susunod na aralin. Ngunit mayroong isang trick na kailangan mong maunawaan ngayon:

Teorama. Ang bisector ng isang anggulo ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga gilid ng ibinigay na anggulo.

Isinalin mula sa matematika sa Russian, nangangahulugan ito ng dalawang katotohanan nang sabay-sabay:

1. Ang bawat punto na nakahiga sa bisector ng isang anggulo ay nasa parehong distansya mula sa mga gilid ng anggulong iyon.
2. At kabaligtaran: kung ang isang punto ay namamalagi sa parehong distansya mula sa mga gilid ng isang naibigay na anggulo, kung gayon ito ay garantisadong nakahiga sa bisector ng anggulong ito.

Bago patunayan ang mga pahayag na ito, linawin natin ang isang punto: ano, sa katunayan, ang tinatawag na distansya mula sa isang punto patungo sa isang gilid ng isang anggulo? Ang magandang lumang kahulugan ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay makakatulong sa atin dito:

Kahulugan. Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa puntong iyon hanggang sa linyang iyon.

Halimbawa, isaalang-alang ang isang linyang $l$ at isang puntong $A$ na hindi nakalagay sa linyang ito. Gumuhit ng patayo na $AH$, kung saan ang $H\in l$. Kung gayon ang haba ng patayo na ito ay ang distansya mula sa puntong $A$ hanggang sa linyang $l$.

Graphical na representasyon ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Dahil ang isang anggulo ay dalawang ray lamang, at ang bawat sinag ay isang piraso ng isang linya, madaling matukoy ang distansya mula sa isang punto hanggang sa mga gilid ng anggulo. Dalawang perpendicular lang ito:

Tukuyin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa mga gilid ng isang anggulo

Iyon lang! Ngayon alam na natin kung ano ang distansya at kung ano ang bisector. Samakatuwid, maaari naming patunayan ang pangunahing pag-aari.

Gaya ng ipinangako, hinati namin ang patunay sa dalawang bahagi:

1. Ang mga distansya mula sa isang punto sa bisector hanggang sa mga gilid ng anggulo ay pareho

Isaalang-alang ang isang arbitrary na anggulo na may vertex $O$ at bisector $OM$:

Patunayan natin na ang parehong puntong $M$ ay nasa parehong distansya mula sa mga gilid ng anggulo.

Patunay. Gumuhit tayo ng mga patayo mula sa puntong $M$ hanggang sa mga gilid ng anggulo. Tawagin natin silang $M((H)_(1))$ at $M((H)_(2))$:

Gumuhit ng mga patayo sa mga gilid ng sulok

Nakakuha kami ng dalawang right triangle: $\vartriangle OM((H)_(1))$ at $\vartriangle OM((H)_(2))$. Mayroon silang karaniwang hypotenuse na $OM$ at pantay na mga anggulo:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ sa pamamagitan ng pagpapalagay (dahil ang $OM$ ay isang bisector);
2. $\anggulo M((H)_(1))O=\anggulo M((H)_(2))O=90()^\circ $ sa pamamagitan ng pagbuo;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ dahil ang sum Ang mga acute na anggulo ng isang right triangle ay palaging katumbas ng 90 degrees.

Samakatuwid, ang mga tatsulok ay pantay sa gilid at dalawang magkatabing anggulo (tingnan ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok). Samakatuwid, sa partikular, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, i.e. ang mga distansya mula sa puntong $O$ hanggang sa mga gilid ng anggulo ay talagang pantay. Q.E.D. :)

2. Kung ang mga distansya ay pantay, ang punto ay nasa bisector

Ngayon ay bumaliktad ang sitwasyon. Hayaang magbigay ng isang anggulo na $O$ at isang puntong $M$ na katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulong ito:

Patunayan natin na ang sinag na $OM$ ay isang bisector, i.e. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Patunay. Upang magsimula, iguhit natin ang mismong sinag na ito na $OM$, kung hindi, walang mapapatunayan:

Ginugol ang sinag na $OM$ sa loob ng sulok

Nakakuha ulit kami ng dalawang right triangle: $\vartriangle OM((H)_(1))$ at $\vartriangle OM((H)_(2))$. Malinaw na pantay sila dahil:

1. Ang hypotenuse na $OM$ ay karaniwan;
2. Ang mga binti $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ ayon sa kondisyon (dahil ang puntong $M$ ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng sulok);
3. Ang natitirang mga binti ay pantay din, dahil sa pamamagitan ng Pythagorean theorem $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Samakatuwid, ang mga tatsulok na $\vartriangle OM((H)_(1))$ at $\vartriangle OM((H)_(2))$ sa tatlong panig. Sa partikular, ang kanilang mga anggulo ay pantay: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. At nangangahulugan lamang ito na ang $OM$ ay isang bisector.

Sa pagtatapos ng patunay, minarkahan namin ang nabuong pantay na mga anggulo na may mga pulang arko:

Hinati ng bisector ang anggulo $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ sa dalawang pantay

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Napatunayan namin na ang bisector ng isang anggulo ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng mga gilid ng anggulong ito. :)

Ngayon na kami ay may higit o mas kaunting nagpasya sa terminolohiya, oras na upang lumipat sa isang bagong antas. Sa susunod na aralin, susuriin natin ang mas kumplikadong mga katangian ng bisector at matutunan kung paano ilapat ang mga ito upang malutas ang mga tunay na problema.

Bisector ng isang tatsulok - isang segment ng bisector ng anggulo ng isang tatsulok, na nakapaloob sa pagitan ng vertex ng tatsulok at ang gilid na katapat nito.

Mga Katangian ng Bisector

1. Hinahati ng bisector ng isang tatsulok ang anggulo.

2. Ang angle bisector ng isang tatsulok ay naghahati sa kabaligtaran na bahagi sa isang ratio na katumbas ng ratio ng dalawang magkatabing panig ()

3. Ang mga bisector point ng isang anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulong iyon.

4. Ang mga bisector ng mga panloob na anggulo ng isang tatsulok ay bumalandra sa isang punto - ang gitna ng bilog na nakasulat sa tatsulok na ito.

Ilang formula na nauugnay sa bisector ng isang tatsulok

(patunay ng formula - )
, saan
- ang haba ng bisector na iginuhit sa gilid,
- ang mga gilid ng tatsulok laban sa mga vertex, ayon sa pagkakabanggit,
- ang haba ng mga segment kung saan hinahati ng bisector ang gilid,

Inaanyayahan ko kayong manood video tutorial, na nagpapakita ng paggamit ng lahat ng nasa itaas na katangian ng bisector.

Mga gawain na sakop sa video:
1. Sa tatsulok na ABC na may mga gilid AB=2 cm, BC=3 cm, AC=3 cm, ang bisector BM ay iguguhit. Hanapin ang mga haba ng mga segment na AM at MC
2. Ang bisector ng inner angle sa vertex A at ang bisector ng outer angle sa vertex C ng triangle ABC ay nagsalubong sa point M. Hanapin ang angle BMC, kung ang angle B ay 40, angle C ay 80 degrees
3. Hanapin ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok, na isinasaalang-alang ang mga gilid ng mga parisukat na cell na katumbas ng 1

Maaari ka ring maging interesado sa isang maikling video tutorial kung saan ang isa sa mga katangian ng bisector ay inilapat

Sa araling ito, aalalahanin natin ang konsepto ng angle bisector, bumalangkas at patunayan ang direkta at kabaligtaran na mga theorems sa mga katangian ng bisector, at gawing pangkalahatan ang mga ito. Malulutas namin ang isang problema kung saan, bilang karagdagan sa mga katotohanan tungkol sa bisector, inilalapat namin ang iba pang mga geometric na katotohanan.

Tema: Bilog

Aralin: Mga katangian ng isang angle bisector. Mga gawain

Ang tatsulok ay ang sentral na pigura ng lahat ng geometry, at ito ay pabirong sinabi na ito ay hindi mauubos, tulad ng isang atom. Ang mga pag-aari nito ay marami, kawili-wili, nakakaaliw. Isinasaalang-alang namin ang ilan sa mga katangiang ito.

Anumang tatsulok ay pangunahing tatlong anggulo at tatlong segment (tingnan ang Fig. 1).

kanin. isa

Isaalang-alang ang isang anggulo na may vertex A at mga gilid B at C - anggulo.

Sa anumang anggulo, kabilang ang anggulo ng isang tatsulok, maaari kang gumuhit ng bisector - iyon ay, isang tuwid na linya na naghahati sa anggulo sa kalahati (tingnan ang Fig. 2).

kanin. 2

Isaalang-alang ang mga katangian ng isang punto na nakahiga sa bisector ng isang anggulo (tingnan ang Fig. 3).

Isaalang-alang ang isang punto M na nakahiga sa bisector ng isang anggulo.

Alalahanin na ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo na bumaba mula sa puntong ito hanggang sa linya.

kanin. 3

Malinaw, kung kukuha tayo ng isang punto na hindi nakahiga sa bisector, kung gayon ang mga distansya mula sa puntong ito hanggang sa mga gilid ng anggulo ay magkakaiba. Ang distansya mula sa puntong M hanggang sa mga gilid ng sulok ay pareho.

Teorama

Ang bawat punto ng bisector ng isang hindi pinalawak na anggulo ay katumbas ng distansya mula sa mga gilid ng anggulo, iyon ay, ang mga distansya mula sa puntong M hanggang AC at sa BC ng mga gilid ng anggulo ay pantay.

Ang isang anggulo ay ibinigay, ang bisector nito ay AL, ang punto M ay nasa bisector (tingnan ang Fig. 4).

Patunayan mo yan.

kanin. 4

Patunay:

Isaalang-alang ang mga tatsulok at . Ang mga ito ay right-angled triangles, at ang mga ito ay pantay-pantay, dahil mayroon silang isang karaniwang hypotenuse AM, at ang mga anggulo at ay pantay, dahil ang AL ang angle bisector. Kaya, ang mga right-angled na tatsulok ay pantay-pantay sa hypotenuse at acute angle, kaya ito ay sumusunod na , na kinakailangan upang mapatunayan. Kaya, ang isang punto sa bisector ng isang anggulo ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulong iyon.

Ang converse theorem ay totoo.

Teorama

Kung ang isang punto ay pantay-pantay ang layo mula sa mga gilid ng isang hindi pinalawak na anggulo, ito ay namamalagi sa bisector nito.

Ang isang hindi nabuong anggulo ay ibinibigay, punto M, upang ang distansya mula dito hanggang sa mga gilid ng anggulo ay pareho.

Patunayan na ang punto M ay nasa bisector ng anggulo (tingnan ang Fig. 5).

kanin. 5

Patunay:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo. Gumuhit mula sa punto M patayo MK sa gilid AB at MP sa gilid AC.

Isaalang-alang ang mga tatsulok at . Ang mga ito ay right-angled triangles, at sila ay pantay-pantay, dahil mayroon silang isang karaniwang hypotenuse AM, ang mga binti ng MK at MR ay pantay sa kondisyon. Kaya, ang mga tamang tatsulok ay pantay sa hypotenuse at binti. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sinusunod ang pagkakapantay-pantay ng mga kaukulang elemento, ang pantay na mga anggulo ay namamalagi laban sa pantay na mga binti, kaya, , samakatuwid, ang punto M ay nasa bisector ng ibinigay na anggulo.

Minsan ang direkta at kabaligtaran na mga theorems ay pinagsama bilang mga sumusunod:

Teorama

Ang isang punto ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng isang anggulo kung at kung ito ay nasa bisector ng anggulong iyon.

Ang equidistance ng mga bisector point mula sa mga gilid ng anggulo ay malawakang ginagamit sa iba't ibang problema.

Problema #674 mula sa aklat-aralin ni Atanasyan, geometry, grade 7-9:

Mula sa puntong M ng bisector ng isang hindi pinalawak na anggulo, ang mga perpendicular MA at MB ay iginuhit sa mga gilid ng anggulong ito (tingnan ang Fig. 6). Patunayan mo yan.

Ibinigay: anggulo, bisector OM, perpendiculars MA at MB sa mga gilid ng anggulo.

kanin. 6

Patunayan na:

Patunay:

Ayon sa direktang teorama, ang puntong M ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulo, dahil sa kondisyon na ito ay nasa bisector nito. .

Isaalang-alang ang mga tamang tatsulok at (tingnan ang Fig. 7). Mayroon silang isang karaniwang hypotenuse OM, ang mga binti MA at MB ay pantay, tulad ng napatunayan namin kanina. Kaya dalawang parihaba

kanin. 7

ang mga tatsulok ay pantay sa binti at hypotenuse. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng kanilang mga kaukulang elemento, kaya ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo at pagkakapantay-pantay ng iba pang mga binti.

Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga binti OA at OB sumusunod na ang tatsulok ay isosceles, at AB ang base nito. Ang linyang OM ay ang bisector ng isang tatsulok. Ayon sa pag-aari ng isang isosceles triangle, ang bisector na ito ay isang taas din, na nangangahulugang ang mga linya ng OM at AB ay nagsalubong sa isang tamang anggulo, na dapat patunayan.

Kaya, isinasaalang-alang namin ang direkta at kabaligtaran na mga theorems sa pag-aari ng isang punto na nakahiga sa bisector ng isang anggulo, pangkalahatan ang mga ito at lutasin ang problema sa pamamagitan ng paglalapat ng iba't ibang mga geometric na katotohanan, kabilang ang teorama na ito.

Bibliograpiya

1. Aleksandrov A.D. atbp. Geometry, grade 8. - M.: Edukasyon, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometry, ika-8 baitang. - M.: Edukasyon, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometry, ika-8 baitang. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Bymath.net().
2. Oldskola1.narod.ru ().

Takdang aralin

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al. Geometry, 7-9, blg. 676-678, art. 180.