Ang pinaka-mapanlikhang pagtuklas sa agham ay maaaring radikal na magbago sa buhay ng tao. Ang naimbentong bakuna ay maaaring magligtas ng milyun-milyong tao, ang paglikha ng mga armas, sa kabaligtaran, ay kumitil sa mga buhay na ito. Kamakailan lamang (sa sukat ng ebolusyon ng tao) natutunan nating "paamoin" ang kuryente - at ngayon ay hindi natin maiisip ang buhay nang wala ang lahat ng mga maginhawang device na ito na gumagamit ng kuryente. Ngunit mayroon ding mga natuklasan na kakaunti ang binibigyang importansya ng mga tao, bagama't malaki rin ang impluwensya nito sa ating buhay.

Ang isa sa mga "hindi mahahalata" na pagtuklas ay mga fractals. Marahil ay narinig mo na ang nakakaakit na salitang ito, ngunit alam mo ba kung ano ang ibig sabihin nito at kung gaano karaming mga kawili-wiling bagay ang nakatago sa terminong ito?

Ang bawat tao ay may likas na pagkamausisa, isang pagnanais na malaman ang tungkol sa mundo sa paligid niya. At sa hangaring ito, sinusubukan ng isang tao na sumunod sa lohika sa mga paghuhusga. Sinusuri ang mga prosesong nagaganap sa paligid niya, sinusubukan niyang hanapin ang lohika ng mga nangyayari at maghinuha ng ilang regularidad. Ang pinakamalaking isip sa planeta ay abala sa gawaing ito. Sa halos pagsasalita, ang mga siyentipiko ay naghahanap ng isang pattern kung saan hindi ito dapat. Gayunpaman, kahit na sa kaguluhan, ang isa ay makakahanap ng koneksyon sa pagitan ng mga kaganapan. At ang koneksyon na ito ay isang fractal.

Ang aming munting anak na babae, apat at kalahating taong gulang, ay nasa napakagandang edad na ngayon kung kailan ang dami ng mga tanong na “Bakit?” maraming beses na mas malaki kaysa sa bilang ng mga sagot na may oras na ibigay ng mga matatanda. Hindi pa katagal, nakatingin sa isang sanga na nakataas mula sa lupa, biglang napansin ng aking anak na babae na ang sanga na ito, na may mga buhol at mga sanga, ay parang puno. At, siyempre, ang karaniwang tanong na "Bakit?" ay sumunod, kung saan ang mga magulang ay kailangang maghanap ng isang simpleng paliwanag na mauunawaan ng bata.

Ang pagkakapareho ng isang solong sanga na may isang buong puno na natuklasan ng isang bata ay isang napaka-tumpak na obserbasyon, na muling nagpapatotoo sa prinsipyo ng recursive na pagkakatulad sa sarili sa kalikasan. Napakaraming organiko at di-organikong mga anyo sa kalikasan ang nabuo nang katulad. Ang mga ulap, mga shell ng dagat, ang "bahay" ng isang snail, ang balat at korona ng mga puno, ang sistema ng sirkulasyon, at iba pa - ang mga random na hugis ng lahat ng mga bagay na ito ay maaaring ilarawan ng isang fractal algorithm.

⇡ Benoit Mandelbrot: ang ama ng fractal geometry

Ang mismong salitang "fractal" ay lumitaw salamat sa napakatalino na siyentipiko na si Benoît B. Mandelbrot.

Siya mismo ang lumikha ng termino noong 1970s, na humiram ng salitang fractus mula sa Latin, kung saan literal itong nangangahulugang "nasira" o "durog." Ano ito? Sa ngayon, ang salitang "fractal" ay kadalasang ginagamit upang nangangahulugang isang graphic na representasyon ng isang istraktura na katulad ng sarili nito sa mas malaking sukat.

Ang mathematical na batayan para sa paglitaw ng teorya ng fractals ay inilatag maraming taon bago ang kapanganakan ni Benoit Mandelbrot, ngunit maaari lamang itong umunlad sa pagdating ng mga aparatong computing. Sa simula ng kanyang pang-agham na karera, nagtrabaho si Benoit sa IBM research center. Sa oras na iyon, ang mga empleyado ng sentro ay nagtatrabaho sa paghahatid ng data sa isang distansya. Sa kurso ng pananaliksik, ang mga siyentipiko ay nahaharap sa problema ng malalaking pagkalugi na nagmumula sa pagkagambala sa ingay. Hinarap ni Benoit ang isang mahirap at napakahalagang gawain - upang maunawaan kung paano mahulaan ang paglitaw ng interference ng ingay sa mga electronic circuit kapag hindi epektibo ang istatistikal na paraan.

Sa pagtingin sa mga resulta ng mga sukat ng ingay, binigyang pansin ni Mandelbrot ang isang kakaibang pattern - ang mga graph ng ingay sa iba't ibang mga kaliskis ay mukhang pareho. Ang isang magkatulad na pattern ay naobserbahan hindi alintana kung ito ay isang plot ng ingay para sa isang araw, isang linggo, o isang oras. Ito ay nagkakahalaga ng pagbabago ng sukat ng graph, at ang larawan ay paulit-ulit sa bawat oras.

Sa kanyang buhay, paulit-ulit na sinabi ni Benoit Mandelbrot na hindi siya nakikitungo sa mga formula, ngunit naglaro lamang ng mga larawan. Ang taong ito ay napaka-figuratively nag-isip, at isinalin ang anumang algebraic problema sa larangan ng geometry, kung saan, ayon sa kanya, ang tamang sagot ay palaging halata.

Ito ay hindi nakakagulat na ito ay isang tao na may tulad na mayamang spatial na imahinasyon na naging ama ng fractal geometry. Pagkatapos ng lahat, ang pagsasakatuparan ng kakanyahan ng mga fractals ay dumating nang tumpak kapag nagsimula kang mag-aral ng mga guhit at mag-isip tungkol sa kahulugan ng mga kakaibang pattern ng swirl.

Ang isang fractal pattern ay walang magkatulad na elemento, ngunit may pagkakatulad sa anumang sukat. Dati imposible lamang na bumuo ng tulad ng isang imahe na may mataas na antas ng detalye nang manu-mano, nangangailangan ito ng isang malaking halaga ng mga kalkulasyon. Halimbawa, inilarawan ng Pranses na matematiko na si Pierre Joseph Louis Fatou ang set na ito higit sa pitumpung taon bago ang pagtuklas ni Benoit Mandelbrot. Kung pinag-uusapan natin ang mga prinsipyo ng pagkakatulad sa sarili, binanggit sila sa mga gawa nina Leibniz at Georg Cantor.

Ang isa sa mga unang guhit ng isang fractal ay isang graphical na interpretasyon ng set ng Mandelbrot, na ipinanganak mula sa pananaliksik ni Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (laging nakamaskara - pinsala sa WWI)

Ang French mathematician na ito ay nagtaka kung ano ang magiging hitsura ng isang set kung ito ay binuo mula sa isang simpleng formula na inuulit ng isang feedback loop. Kung ipinaliwanag "sa mga daliri", nangangahulugan ito na para sa isang tiyak na numero ay makakahanap kami ng isang bagong halaga gamit ang formula, pagkatapos nito ay pinapalitan namin itong muli sa formula at kumuha ng isa pang halaga. Ang resulta ay isang malaking pagkakasunod-sunod ng mga numero.

Upang makakuha ng isang kumpletong larawan ng naturang set, kailangan mong gumawa ng isang malaking halaga ng mga kalkulasyon - daan-daan, libu-libo, milyon-milyon. Imposibleng gawin ito nang manu-mano. Ngunit nang lumitaw ang makapangyarihang mga aparato sa pag-compute sa pagtatapon ng mga mathematician, nagawa nilang tingnan ang mga formula at expression na matagal nang interesado. Si Mandelbrot ang unang gumamit ng computer para kalkulahin ang classical fractal. Matapos maproseso ang isang sequence na binubuo ng isang malaking bilang ng mga halaga, inilipat ni Benoit ang mga resulta sa isang graph. Narito ang nakuha niya.

Kasunod nito, ang larawang ito ay kinulayan (halimbawa, ang isang paraan ng pangkulay ay sa pamamagitan ng bilang ng mga pag-ulit) at naging isa sa mga pinakasikat na larawang nilikha ng tao.

Tulad ng sinasabi ng sinaunang kasabihan na iniuugnay kay Heraclitus ng Ephesus, "Hindi ka maaaring pumasok sa parehong ilog ng dalawang beses." Ito ang pinakaangkop para sa pagbibigay-kahulugan sa geometry ng mga fractals. Gaano man kadetalye ang pagsusuri natin sa isang fractal na imahe, palagi tayong makakakita ng katulad na pattern.

Ang mga nagnanais na makita kung ano ang magiging hitsura ng isang imahe ng Mandelbrot space kapag pinalaki nang maraming beses ay maaaring gawin ito sa pamamagitan ng pag-upload ng isang animated na GIF.

⇡ Lauren Carpenter: sining na nilikha ng kalikasan

Ang teorya ng fractals ay nakahanap ng praktikal na aplikasyon. Dahil malapit itong nauugnay sa visualization ng mga larawang magkatulad sa sarili, hindi nakakagulat na ang unang gumamit ng mga algorithm at prinsipyo para sa pagbuo ng mga hindi pangkaraniwang anyo ay mga artista.

Ang hinaharap na co-founder ng maalamat na studio ng Pixar, si Loren C. Carpenter, ay nagsimulang magtrabaho sa Boeing Computer Services noong 1967, na isa sa mga dibisyon ng kilalang korporasyon na nakikibahagi sa pagbuo ng bagong sasakyang panghimpapawid.

Noong 1977, lumikha siya ng mga presentasyon na may mga prototype ng mga lumilipad na modelo. Si Lauren ay responsable para sa pagbuo ng mga larawan ng sasakyang panghimpapawid na idinisenyo. Kinailangan niyang lumikha ng mga larawan ng mga bagong modelo, na nagpapakita ng hinaharap na sasakyang panghimpapawid mula sa iba't ibang mga anggulo. Sa ilang mga punto, ang hinaharap na tagapagtatag ng Pixar Animation Studios ay nakaisip ng malikhaing ideya na gumamit ng larawan ng mga bundok bilang background. Ngayon, ang sinumang mag-aaral ay maaaring malutas ang gayong problema, ngunit sa pagtatapos ng dekada ikapitumpu ng huling siglo, ang mga computer ay hindi makayanan ang gayong kumplikadong mga kalkulasyon - walang mga graphic editor, hindi sa pagbanggit ng mga aplikasyon para sa tatlong-dimensional na mga graphic. Noong 1978, aksidenteng nakita ni Lauren ang aklat ni Benoit Mandelbrot na Fractals: Form, Randomness and Dimension sa isang tindahan. Sa aklat na ito, ang kanyang atensyon ay nakuha sa katotohanan na si Benoit ay nagbigay ng maraming mga halimbawa ng mga fractal form sa totoong buhay at pinatunayan na ang mga ito ay maaaring inilarawan sa pamamagitan ng isang matematikal na expression.

Ang pagkakatulad na ito ay pinili ng mathematician hindi sa pamamagitan ng pagkakataon. Ang katotohanan ay na sa sandaling nai-publish niya ang kanyang pananaliksik, kinailangan niyang harapin ang isang buong gulo ng pagpuna. Ang pangunahing bagay na sinisiraan siya ng kanyang mga kasamahan ay ang kawalan ng silbi ng nabuong teorya. “Oo,” sabi nila, “ito ay magagandang larawan, ngunit wala nang iba pa. Ang teorya ng fractals ay walang praktikal na halaga." Mayroon ding mga karaniwang naniniwala na ang mga fractal pattern ay isang by-product lamang ng gawain ng "devil machines", na sa huling bahagi ng seventies ay tila sa marami ay isang bagay na masyadong kumplikado at hindi napag-aralan upang lubos na mapagkakatiwalaan. Sinubukan ni Mandelbrot na makahanap ng isang malinaw na aplikasyon ng teorya ng fractals, ngunit, sa pangkalahatan, hindi niya kailangang gawin ito. Ang mga tagasunod ni Benoit Mandelbrot sa susunod na 25 taon ay napatunayang malaki ang pakinabang sa naturang "mathematical curiosity", at si Lauren Carpenter ay isa sa mga unang nagsagawa ng fractal method.

Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng libro, ang hinaharap na animator ay seryosong pinag-aralan ang mga prinsipyo ng fractal geometry at nagsimulang maghanap ng isang paraan upang maipatupad ito sa mga computer graphics. Sa loob lamang ng tatlong araw ng trabaho, nagawang makita ni Lauren ang isang makatotohanang larawan ng sistema ng bundok sa kanyang computer. Sa madaling salita, sa tulong ng mga formula, nagpinta siya ng isang ganap na nakikilalang tanawin ng bundok.

Ang prinsipyo na ginamit ni Lauren upang makamit ang kanyang layunin ay napaka-simple. Binubuo ito sa paghahati ng isang mas malaking geometric na figure sa maliliit na elemento, at ang mga ito, naman, ay nahahati sa magkatulad na mga figure na mas maliit na sukat.

Gamit ang mas malalaking tatsulok, hinati ni Carpenter ang mga ito sa apat na mas maliit at pagkatapos ay inulit ang pamamaraang ito nang paulit-ulit hanggang sa magkaroon siya ng makatotohanang tanawin ng bundok. Kaya, nagawa niyang maging unang artist na gumamit ng fractal algorithm sa computer graphics upang makabuo ng mga imahe. Sa sandaling malaman ang tungkol sa gawaing ginawa, kinuha ng mga mahilig sa buong mundo ang ideyang ito at nagsimulang gamitin ang fractal algorithm upang gayahin ang mga makatotohanang natural na anyo.

Isa sa mga unang 3D rendering gamit ang fractal algorithm

Pagkalipas lamang ng ilang taon, nailapat ni Lauren Carpenter ang kanyang mga tagumpay sa isang mas malaking proyekto. Ibinatay sila ng animator sa isang dalawang minutong demo, Vol Libre, na ipinakita sa Siggraph noong 1980. Ikinagulat ng video na ito ang lahat ng nakakita nito, at nakatanggap si Lauren ng imbitasyon mula sa Lucasfilm.

Ang animation ay nai-render sa isang VAX-11/780 na computer mula sa Digital Equipment Corporation sa bilis ng orasan na limang megahertz, at ang bawat frame ay tumagal ng halos kalahating oras upang gumuhit.

Nagtatrabaho para sa Lucasfilm Limited, gumawa ang animator ng parehong mga 3D na landscape para sa pangalawang feature sa Star Trek saga. Sa The Wrath of Khan, nakagawa si Carpenter ng isang buong planeta gamit ang parehong prinsipyo ng fractal surface modeling.

Sa kasalukuyan, ang lahat ng sikat na application para sa paglikha ng mga 3D na landscape ay gumagamit ng parehong prinsipyo ng pagbuo ng mga natural na bagay. Ang Terragen, Bryce, Vue at iba pang 3D editor ay umaasa sa isang fractal surface at texture modeling algorithm.

⇡ Fractal antenna: mas kaunti ang mas mabuti, ngunit mas mabuti

Sa nakalipas na kalahating siglo, mabilis na nagbago ang buhay. Karamihan sa atin ay binibigyang halaga ang mga pagsulong sa modernong teknolohiya. Lahat ng bagay na ginagawang mas komportable ang buhay, mabilis kang masanay. Bihirang may nagtatanong ng "Saan ito nanggaling?" At paano ito gumagana?". Ang microwave oven ay nagpapainit ng almusal - mabuti, mahusay, pinapayagan ka ng isang smartphone na makipag-usap sa ibang tao - mahusay. Ito ay tila isang malinaw na posibilidad sa amin.

Ngunit ang buhay ay maaaring maging ganap na naiiba kung ang isang tao ay hindi naghahanap ng paliwanag para sa mga kaganapang nagaganap. Kunin, halimbawa, ang mga cell phone. Tandaan ang mga maaaring iurong antenna sa mga unang modelo? Nakialam sila, pinalaki ang laki ng aparato, sa huli, madalas na sinira. Naniniwala kami na sila ay nalubog na sa limot magpakailanman, at bahagyang dahil dito ... fractals.

Ang mga guhit ng fractal ay nabighani sa kanilang mga pattern. Ang mga ito ay tiyak na kahawig ng mga larawan ng mga bagay sa kalawakan - nebulae, mga kumpol ng kalawakan, at iba pa. Samakatuwid, medyo natural na nang ipahayag ni Mandelbrot ang kanyang teorya ng fractals, ang kanyang pananaliksik ay nagpukaw ng pagtaas ng interes sa mga nag-aral ng astronomy. Ang isang baguhan na nagngangalang Nathan Cohen, pagkatapos dumalo sa isang panayam ni Benoit Mandelbrot sa Budapest, ay nabigyang inspirasyon ng ideya ng praktikal na aplikasyon ng kaalamang natamo. Totoo, ginawa niya ito nang intuitive, at ang pagkakataon ay may mahalagang papel sa kanyang pagtuklas. Bilang isang amateur sa radyo, hinangad ni Nathan na lumikha ng isang antenna na may pinakamataas na posibleng sensitivity.

Ang tanging paraan upang mapabuti ang mga parameter ng antenna, na kilala noong panahong iyon, ay upang madagdagan ang mga geometric na sukat nito. Gayunpaman, ang may-ari ng downtown Boston apartment na inupahan ni Nathan ay mahigpit na tutol sa pag-install ng malalaking device sa bubong. Pagkatapos ay nagsimulang mag-eksperimento si Nathan sa iba't ibang anyo ng mga antenna, sinusubukang makuha ang pinakamataas na resulta na may pinakamababang laki. Ang pagkakaroon ng apoy sa ideya ng mga fractal form, si Cohen, tulad ng sinasabi nila, ay random na ginawa ang isa sa mga pinakasikat na fractal mula sa wire - ang "Koch snowflake". Ang Swedish mathematician na si Helge von Koch ay gumawa ng kurba na ito noong 1904. Nakukuha ito sa pamamagitan ng paghahati ng segment sa tatlong bahagi at pagpapalit sa gitnang bahagi ng isang equilateral triangle na walang panig na tumutugma sa segment na ito. Ang kahulugan ay medyo mahirap unawain, ngunit ang pigura ay malinaw at simple.

Mayroon ding iba pang mga varieties ng "Koch curve", ngunit ang tinatayang hugis ng curve ay nananatiling pareho

Nang ikonekta ni Nathan ang antenna sa radio receiver, labis siyang nagulat - ang sensitivity ay tumaas nang husto. Pagkatapos ng isang serye ng mga eksperimento, napagtanto ng hinaharap na propesor sa Boston University na ang isang antena na ginawa ayon sa isang fractal pattern ay may mataas na kahusayan at sumasaklaw sa isang mas malawak na saklaw ng dalas kumpara sa mga klasikal na solusyon. Bilang karagdagan, ang hugis ng antena sa anyo ng isang fractal curve ay maaaring makabuluhang bawasan ang mga geometric na sukat. Nakabuo pa si Nathan Cohen ng teorama na nagpapatunay na para makalikha ng broadband antenna, sapat na itong bigyan ito ng hugis ng isang self-similar fractal curve.

Na-patent ng may-akda ang kanyang pagtuklas at nagtatag ng isang kompanya para sa pagbuo at disenyo ng mga fractal antenna na Fractal Antenna Systems, na tama ang paniniwala na sa hinaharap, salamat sa kanyang pagtuklas, ang mga cell phone ay makakaalis ng malalaking antenna at magiging mas compact.

Talaga, iyon ang nangyari. Totoo, hanggang ngayon, si Nathan ay nasa isang demanda sa malalaking korporasyon na ilegal na gumagamit ng kanyang natuklasan upang makagawa ng mga compact na kagamitan sa komunikasyon. Ang ilang kilalang tagagawa ng mobile device, gaya ng Motorola, ay umabot na sa isang kasunduan sa kapayapaan sa imbentor ng fractal antenna.

⇡ Mga sukat ng fractal: hindi naiintindihan ng isip

Hiniram ni Benoit ang tanong na ito mula sa sikat na Amerikanong siyentipiko na si Edward Kasner.

Ang huli, tulad ng maraming iba pang sikat na mathematician, ay mahilig makipag-usap sa mga bata, magtanong sa kanila at makakuha ng mga hindi inaasahang sagot. Minsan ito ay humantong sa nakakagulat na mga resulta. Kaya, halimbawa, ang siyam na taong gulang na pamangkin ni Edward Kasner ay nakabuo ng kilalang salitang "googol", na nagsasaad ng isang yunit na may isang daang mga zero. Ngunit bumalik sa fractals. Nagustuhan ng American mathematician na magtanong kung gaano kahaba ang baybayin ng US. Matapos makinig sa opinyon ng kausap, si Edward mismo ang nagsalita ng tamang sagot. Kung susukatin mo ang haba sa mapa na may mga sirang segment, kung gayon ang resulta ay magiging hindi tumpak, dahil ang baybayin ay may malaking bilang ng mga iregularidad. At ano ang mangyayari kung sukatin mo nang tumpak hangga't maaari? Kakailanganin mong isaalang-alang ang haba ng bawat hindi pagkakapantay-pantay - kakailanganin mong sukatin ang bawat kapa, bawat bay, bato, ang haba ng isang mabatong ungos, isang bato sa ibabaw nito, isang butil ng buhangin, isang atom, at iba pa. Dahil ang bilang ng mga iregularidad ay may posibilidad na infinity, ang sinusukat na haba ng baybayin ay tataas hanggang infinity sa bawat bagong iregularidad.

Kung mas maliit ang sukat kapag nagsusukat, mas malaki ang sinusukat na haba

Kapansin-pansin, ang pagsunod sa mga senyas ni Edward, ang mga bata ay mas mabilis kaysa sa mga matatanda sa pagsasabi ng tamang sagot, habang ang huli ay nahihirapang tanggapin ang gayong hindi kapani-paniwalang sagot.

Gamit ang problemang ito bilang isang halimbawa, iminungkahi ni Mandelbrot ang paggamit ng bagong diskarte sa mga sukat. Dahil ang baybayin ay malapit sa isang fractal curve, nangangahulugan ito na ang isang characterizing parameter, ang tinatawag na fractal na dimensyon, ay maaaring ilapat dito.

Ano ang karaniwang sukat ay malinaw sa sinuman. Kung ang sukat ay katumbas ng isa, nakakakuha kami ng isang tuwid na linya, kung dalawa - isang flat figure, tatlo - dami. Gayunpaman, ang gayong pag-unawa sa dimensyon sa matematika ay hindi gumagana sa mga fractal curve, kung saan ang parameter na ito ay may fractional na halaga. Ang dimensyon ng fractal sa matematika ay maaaring ituring na may kondisyon bilang "kagaspangan". Kung mas mataas ang roughness ng curve, mas malaki ang fractal na dimensyon nito. Isang curve na, ayon kay Mandelbrot, ay may fractal na dimensyon na mas mataas kaysa sa topological na dimensyon nito, ay may tinatayang haba na hindi nakadepende sa bilang ng mga dimensyon.

Sa kasalukuyan, ang mga siyentipiko ay nakakahanap ng higit at higit pang mga lugar para sa aplikasyon ng fractal theory. Sa tulong ng mga fractals, maaari mong suriin ang mga pagbabagu-bago sa mga presyo ng stock, galugarin ang lahat ng uri ng natural na proseso, tulad ng mga pagbabago sa bilang ng mga species, o gayahin ang dynamics ng mga daloy. Maaaring gamitin ang mga algorithm ng fractal para sa compression ng data, halimbawa para sa image compression. At siya nga pala, para makakuha ng magandang fractal sa screen ng iyong computer, hindi mo kailangang magkaroon ng doctoral degree.

⇡ Fractal sa browser

Marahil ang isa sa mga pinakamadaling paraan upang makakuha ng fractal pattern ay ang paggamit ng online vector editor mula sa isang batang mahuhusay na programmer na si Toby Schachman. Ang toolkit ng simpleng graphics editor na ito ay batay sa parehong prinsipyo ng pagkakatulad sa sarili.

Mayroon lamang dalawang simpleng hugis sa iyong pagtatapon - isang parisukat at isang bilog. Maaari mong idagdag ang mga ito sa canvas, scale (upang i-scale kasama ang isa sa mga axes, pindutin nang matagal ang Shift key) at i-rotate. Patong-patong sa prinsipyo ng mga pagpapatakbo ng pagdaragdag ng Boolean, ang mga pinakasimpleng elementong ito ay bumubuo ng mga bago, hindi gaanong kabuluhan na mga anyo. Dagdag pa, ang mga bagong form na ito ay maaaring idagdag sa proyekto, at uulitin ng programa ang pagbuo ng mga larawang ito nang walang katiyakan. Sa anumang yugto ng pagtatrabaho sa isang fractal, maaari kang bumalik sa anumang bahagi ng isang kumplikadong hugis at i-edit ang posisyon at geometry nito. Napakasaya nito, lalo na kapag isinasaalang-alang mo na ang tanging tool na kailangan mo upang maging malikhain ay isang browser. Kung hindi mo naiintindihan ang prinsipyo ng pagtatrabaho sa recursive vector editor na ito, ipinapayo namin sa iyo na panoorin ang video sa opisyal na website ng proyekto, na nagpapakita nang detalyado sa buong proseso ng paglikha ng fractal.

⇡ XaoS: fractals para sa bawat panlasa

Maraming mga graphic editor ang may built-in na tool para sa paglikha ng mga fractal pattern. Gayunpaman, ang mga tool na ito ay kadalasang pangalawa at hindi ka pinapayagang i-fine-tune ang nabuong fractal pattern. Sa mga kaso kung saan kinakailangan upang bumuo ng isang mathematically tumpak na fractal, ang XaoS cross-platform editor ay darating upang iligtas. Ang program na ito ay ginagawang posible hindi lamang upang bumuo ng isang self-katulad na imahe, ngunit din upang magsagawa ng iba't ibang mga manipulasyon dito. Halimbawa, sa real time, maaari kang "maglakad" sa isang fractal sa pamamagitan ng pagbabago ng sukat nito. Ang mga animated na paggalaw kasama ang isang fractal ay maaaring i-save bilang isang XAF file at pagkatapos ay i-play muli sa mismong programa.

Ang XaoS ay maaaring mag-load ng isang random na hanay ng mga parameter, pati na rin gumamit ng iba't ibang mga filter ng post-processing ng imahe - magdagdag ng isang blur na epekto ng paggalaw, pakinisin ang matalim na paglipat sa pagitan ng mga fractal point, gayahin ang isang 3D na imahe, at iba pa.

⇡ Fractal Zoomer: compact fractal generator

Kung ikukumpara sa iba pang mga generator ng fractal na imahe, mayroon itong ilang mga pakinabang. Una, ito ay medyo maliit sa laki at hindi nangangailangan ng pag-install. Pangalawa, ipinapatupad nito ang kakayahang tukuyin ang paleta ng kulay ng larawan. Maaari kang pumili ng mga shade sa RGB, CMYK, HVS at HSL na mga modelo ng kulay.

Napakaginhawa din na gamitin ang opsyon ng random na pagpili ng mga kulay na kulay at ang pag-andar ng pag-invert ng lahat ng mga kulay sa larawan. Upang ayusin ang kulay, mayroong isang function ng cyclic na pagpili ng mga shade - kapag ang kaukulang mode ay naka-on, ang programa ay nagbibigay-buhay sa imahe, cyclically pagbabago ng mga kulay dito.

Maaaring makita ng Fractal Zoomer ang 85 iba't ibang mga function ng fractal, at malinaw na ipinapakita ang mga formula sa menu ng programa. May mga filter para sa post-processing na mga imahe sa programa, kahit na sa maliit na halaga. Ang bawat nakatalagang filter ay maaaring kanselahin anumang oras.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fractal editor

Kapag ginamit ang terminong "fractal", madalas itong nangangahulugang isang flat two-dimensional na imahe. Gayunpaman, ang fractal geometry ay lumampas sa 2D na dimensyon. Sa kalikasan, mahahanap ng isa ang parehong mga halimbawa ng mga flat fractal form, halimbawa, ang geometry ng kidlat, at tatlong-dimensional na three-dimensional na mga numero. Ang mga fractal surface ay maaaring 3D, at ang isang napaka-graphic na paglalarawan ng 3D fractals sa pang-araw-araw na buhay ay isang ulo ng repolyo. Marahil ang pinakamahusay na paraan upang makita ang mga fractals ay sa Romanesco, isang hybrid ng cauliflower at broccoli.

At ang fractal na ito ay maaaring kainin

Ang Mandelbulb3D program ay maaaring lumikha ng mga three-dimensional na bagay na may katulad na hugis. Upang makakuha ng 3D surface gamit ang fractal algorithm, ginawa ng mga may-akda ng application na ito, sina Daniel White at Paul Nylander, ang Mandelbrot set sa spherical coordinates. Ang Mandelbulb3D program na nilikha nila ay isang tunay na three-dimensional na editor na nagmomodelo ng mga fractal na ibabaw ng iba't ibang hugis. Dahil madalas nating obserbahan ang mga pattern ng fractal sa kalikasan, ang isang artipisyal na nilikha na fractal na three-dimensional na bagay ay tila hindi kapani-paniwalang makatotohanan at kahit na "buhay".

Maaaring mukhang halaman, maaaring kahawig ng kakaibang hayop, planeta, o iba pa. Ang epektong ito ay pinahusay ng isang advanced na algorithm sa pag-render na ginagawang posible na makakuha ng mga makatotohanang pagmuni-muni, kalkulahin ang transparency at mga anino, gayahin ang epekto ng depth of field, at iba pa. Ang Mandelbulb3D ay may malaking halaga ng mga setting at mga opsyon sa pag-render. Maaari mong kontrolin ang mga shade ng light source, piliin ang background at ang antas ng detalye ng na-modelo na bagay.

Sinusuportahan ng Incendia fractal editor ang double image smoothing, naglalaman ng library ng limampung magkakaibang three-dimensional fractals at may hiwalay na module para sa pag-edit ng mga pangunahing hugis.

Gumagamit ang application ng fractal scripting, kung saan maaari mong independiyenteng ilarawan ang mga bagong uri ng fractal na istruktura. Ang Incendia ay may mga editor ng texture at materyal, at isang rendering engine na nagbibigay-daan sa iyong gumamit ng mga volumetric na fog effect at iba't ibang shader. May opsyon ang program na i-save ang buffer sa panahon ng pangmatagalang pag-render, sinusuportahan ang paggawa ng animation.

Binibigyang-daan ka ng Incendia na mag-export ng fractal na modelo sa mga sikat na 3D graphics format - OBJ at STL. Kasama sa Incendia ang isang maliit na Geometrica utility - isang espesyal na tool para sa pag-set up ng pag-export ng isang fractal surface sa isang three-dimensional na modelo. Gamit ang utility na ito, matutukoy mo ang resolution ng isang 3D surface, tukuyin ang bilang ng mga fractal na pag-ulit. Maaaring gamitin ang mga na-export na modelo sa mga 3D na proyekto kapag nagtatrabaho sa mga 3D editor gaya ng Blender, 3ds max at iba pa.

Kamakailan, medyo bumagal ang trabaho sa proyekto ng Incendia. Sa ngayon, ang may-akda ay naghahanap ng mga sponsor na tutulong sa kanya sa pagbuo ng programa.

Kung wala kang sapat na imahinasyon upang gumuhit ng magandang three-dimensional fractal sa program na ito, hindi mahalaga. Gamitin ang library ng parameter, na matatagpuan sa folder ng INCENDIA_EX\parameters. Sa tulong ng mga PAR file, mabilis mong mahahanap ang mga pinakahindi pangkaraniwang fractal na hugis, kabilang ang mga animated.

⇡ Aural: kung paano kumanta ang mga fractal

Karaniwang hindi namin pinag-uusapan ang tungkol sa mga proyektong ginagawa pa lang, ngunit sa kasong ito kailangan naming gumawa ng eksepsiyon, ito ay isang hindi pangkaraniwang aplikasyon. Ang isang proyekto na tinatawag na Aural ay dumating sa parehong tao bilang Incendia. Totoo, sa oras na ito ang programa ay hindi nakikita ang fractal set, ngunit tinig ito, ginagawa itong elektronikong musika. Ang ideya ay napaka-interesante, lalo na kung isasaalang-alang ang mga hindi pangkaraniwang katangian ng fractals. Ang Aural ay isang audio editor na bumubuo ng mga melodies gamit ang mga fractal algorithm, iyon ay, sa katunayan, ito ay isang audio synthesizer-sequencer.

Ang pagkakasunod-sunod ng mga tunog na ibinigay ng program na ito ay hindi karaniwan at ... maganda. Ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa pagsulat ng mga modernong ritmo at, sa aming opinyon, ay angkop lalo na para sa paglikha ng mga soundtrack para sa mga intro ng mga programa sa telebisyon at radyo, pati na rin ang "mga loop" ng background music para sa mga laro sa computer. Si Ramiro ay hindi pa nagbibigay ng isang demo ng kanyang programa, ngunit nangangako na kapag ginawa niya, upang makatrabaho si Aural, hindi niya kakailanganing matutunan ang teorya ng fractals - maglaro lamang sa mga parameter ng algorithm para sa pagbuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga tala . Makinig sa kung paano tumunog ang mga fractals, at.

Fractals: musical pause

Sa katunayan, ang mga fractals ay makakatulong sa pagsulat ng musika kahit na walang software. Ngunit ito ay magagawa lamang ng isang tao na tunay na puno ng ideya ng natural na pagkakaisa at sa parehong oras ay hindi naging isang kapus-palad na "nerd". Makatuwiran na kumuha ng cue mula sa isang musikero na nagngangalang Jonathan Coulton, na, bukod sa iba pang mga bagay, ay nagsusulat ng mga komposisyon para sa Popular Science magazine. At hindi tulad ng ibang mga artista, inilalathala ni Colton ang lahat ng kanyang mga gawa sa ilalim ng lisensyang Creative Commons Attribution-Noncommercial, na (kapag ginamit para sa mga di-komersyal na layunin) ay nagbibigay ng libreng pagkopya, pamamahagi, paglipat ng trabaho sa iba, pati na rin ang pagbabago nito (paglikha ng mga derivative works) upang maiangkop ito sa iyong mga pangangailangan.

Si Jonathan Colton, siyempre, ay may kanta tungkol sa mga fractals.

⇡ Konklusyon

Sa lahat ng bagay na nakapaligid sa atin, madalas nating nakikita ang kaguluhan, ngunit sa katunayan ito ay hindi isang aksidente, ngunit isang perpektong anyo, na tinutulungan tayo ng mga fractals na makilala. Ang kalikasan ang pinakamahusay na arkitekto, ang perpektong tagabuo at inhinyero. Ito ay nakaayos nang napaka-lohikal, at kung sa isang lugar ay hindi natin nakikita ang mga pattern, nangangahulugan ito na kailangan nating hanapin ito sa ibang sukat. Mas naiintindihan ito ng mga tao at mas mahusay, sinusubukang tularan ang mga natural na anyo sa maraming paraan. Ang mga inhinyero ay nagdidisenyo ng mga sistema ng speaker sa anyo ng isang shell, lumikha ng mga antenna na may snowflake geometry, at iba pa. Sigurado kami na ang mga fractals ay nagtatago pa rin ng maraming sikreto, at marami sa kanila ang hindi pa natutuklasan ng tao.

Ano ang pagkakatulad ng isang puno, dalampasigan, ulap, o mga daluyan ng dugo sa ating kamay? Sa unang tingin, maaaring mukhang ang lahat ng mga bagay na ito ay walang pagkakatulad. Gayunpaman, sa katunayan, mayroong isang pag-aari ng istraktura na likas sa lahat ng mga nakalistang bagay: sila ay magkatulad sa sarili. Mula sa sanga, pati na rin mula sa puno ng puno, ang mas maliliit na proseso ay umaalis, mula sa kanila - kahit na mas maliit, atbp., iyon ay, ang isang sanga ay katulad ng buong puno. Ang sistema ng sirkulasyon ay nakaayos sa isang katulad na paraan: ang mga arteriole ay umalis mula sa mga arterya, at mula sa kanila - ang pinakamaliit na mga capillary kung saan ang oxygen ay pumapasok sa mga organo at tisyu. Tingnan natin ang mga satellite images ng baybayin ng dagat: makikita natin ang mga look at peninsulas; tingnan natin ito, ngunit mula sa isang mata ng ibon: makikita natin ang mga look at kapa; ngayon isipin na tayo ay nakatayo sa dalampasigan at tumitingin sa ating mga paa: palaging may mga maliliit na bato na mas nakausli sa tubig kaysa sa iba. Ibig sabihin, ang baybayin ay nananatiling katulad ng sarili nito kapag naka-zoom in. Tinawag ng American mathematician na si Benoit Mandelbrot (kahit na itinaas sa France) ang pag-aari na ito ng fractality ng mga bagay, at ang mga naturang bagay mismo - fractals (mula sa Latin na fractus - nasira).

Ang konseptong ito ay walang mahigpit na kahulugan. Samakatuwid, ang salitang "fractal" ay hindi isang termino sa matematika. Karaniwan, ang fractal ay isang geometric figure na nakakatugon sa isa o higit pa sa mga sumusunod na katangian: Ito ay may isang kumplikadong istraktura sa anumang magnification (hindi katulad, halimbawa, isang tuwid na linya, ang anumang bahagi nito ay ang pinakasimpleng geometric figure - isang segment). Ito ay (humigit-kumulang) kapareho sa sarili. Mayroon itong fractional na Hausdorff (fractal) na dimensyon, na mas malaki kaysa sa topological. Maaaring itayo gamit ang mga recursive na pamamaraan.

Geometry at Algebra

Ang pag-aaral ng mga fractals sa pagliko ng ika-19 at ika-20 na siglo ay mas episodiko kaysa sa sistematiko, dahil ang mga naunang matematiko ay pangunahing nag-aral ng "magandang" mga bagay na maaaring pag-aralan gamit ang mga pangkalahatang pamamaraan at teorya. Noong 1872, ang German mathematician na si Karl Weierstrass ay bumuo ng isang halimbawa ng isang tuluy-tuloy na function na wala saanman naiba. Gayunpaman, ang pagbuo nito ay ganap na abstract at mahirap maunawaan. Samakatuwid, noong 1904, ang Swede na si Helge von Koch ay nakabuo ng isang tuluy-tuloy na kurba na walang tangent kahit saan, at ito ay medyo simple upang iguhit ito. Ito ay naka-out na ito ay may mga katangian ng isang fractal. Ang isang variation ng curve na ito ay tinatawag na Koch snowflake.

Ang mga ideya ng pagkakatulad sa sarili ng mga numero ay kinuha ng Pranses na si Paul Pierre Levy, ang hinaharap na tagapagturo ng Benoit Mandelbrot. Noong 1938, ang kanyang artikulong "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole" ay nai-publish, kung saan inilarawan ang isa pang fractal - ang Lévy C-curve. Ang lahat ng mga fractal na ito na nakalista sa itaas ay maaaring may kundisyon na maiugnay sa isang klase ng mga constructive (geometric) fractals.

Ang isa pang klase ay dynamic (algebraic) fractals, na kinabibilangan ng Mandelbrot set. Ang unang pananaliksik sa direksyong ito ay nagsimula sa simula ng ika-20 siglo at nauugnay sa mga pangalan ng mga Pranses na matematiko na sina Gaston Julia at Pierre Fatou. Noong 1918, halos dalawang daang pahina ng memoir ni Julia, na nakatuon sa mga pag-ulit ng mga kumplikadong rational function, ay nai-publish, kung saan inilarawan ang mga set ni Julia - isang buong pamilya ng mga fractals na malapit na nauugnay sa set ng Mandelbrot. Ang gawaing ito ay ginawaran ng premyo ng French Academy, ngunit hindi ito naglalaman ng isang solong paglalarawan, kaya imposibleng pahalagahan ang kagandahan ng mga natuklasang bagay. Sa kabila ng katotohanan na ang gawaing ito ay naging tanyag kay Julia sa mga mathematician noong panahong iyon, mabilis itong nakalimutan. Muli, nabaling ang atensyon dito pagkalipas lamang ng kalahating siglo sa pagdating ng mga kompyuter: sila ang nagpakita ng kayamanan at kagandahan ng mundo ng mga fractals.

Mga sukat ng fractal

Tulad ng alam mo, ang dimensyon (bilang ng mga sukat) ng isang geometric figure ay ang bilang ng mga coordinate na kinakailangan upang matukoy ang posisyon ng isang punto na nakahiga sa figure na ito.
Halimbawa, ang posisyon ng isang punto sa isang kurba ay tinutukoy ng isang coordinate, sa isang ibabaw (hindi kinakailangang isang eroplano) ng dalawang coordinate, sa tatlong-dimensional na espasyo ng tatlong coordinate.
Mula sa isang mas pangkalahatang matematikal na punto ng view, ang dimensyon ay maaaring tukuyin tulad ng sumusunod: isang pagtaas sa mga linear na dimensyon, sabihin nating, dalawang beses, para sa isang-dimensional (mula sa isang topological point of view) na mga bagay (segment) ay humahantong sa isang pagtaas sa laki (haba. ) sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng dalawa, para sa dalawang-dimensional (parisukat) ang parehong pagtaas sa mga linear na sukat ay humahantong sa isang pagtaas sa laki (lugar) ng 4 na beses, para sa tatlong-dimensional (kubo) - ng 8 beses. Iyon ay, ang dimensyon na "tunay" (tinatawag na Hausdorff) ay maaaring kalkulahin bilang ratio ng logarithm ng pagtaas sa "laki" ng isang bagay sa logarithm ng pagtaas sa linear na laki nito. Iyon ay, para sa isang segment D=log (2)/log (2)=1, para sa isang eroplano D=log (4)/log (2)=2, para sa isang volume D=log (8)/log (2 )=3.
Kalkulahin natin ngayon ang dimensyon ng Koch curve, para sa pagtatayo kung saan ang segment ng yunit ay nahahati sa tatlong pantay na bahagi at ang gitnang pagitan ay pinalitan ng isang equilateral triangle na walang segment na ito. Sa pagtaas ng mga linear na sukat ng minimum na segment ng tatlong beses, ang haba ng Koch curve ay tumataas sa log (4) / log (3) ~ 1.26. Iyon ay, ang dimensyon ng Koch curve ay fractional!

Agham at sining

Noong 1982, ang aklat ni Mandelbrot na "The Fractal Geometry of Nature" ay nai-publish, kung saan ang may-akda ay nakolekta at na-systematize ang halos lahat ng impormasyon tungkol sa mga fractals na magagamit sa oras na iyon at ipinakita ito sa isang madali at naa-access na paraan. Ginawa ni Mandelbrot ang pangunahing diin sa kanyang pagtatanghal hindi sa napakabigat na mga pormula at mga konstruksyon sa matematika, ngunit sa geometric na intuwisyon ng mga mambabasa. Salamat sa mga ilustrasyon na nabuo sa computer at mga makasaysayang kwento, kung saan mahusay na natunaw ng may-akda ang pang-agham na bahagi ng monograph, ang libro ay naging isang bestseller, at ang mga fractals ay naging kilala sa pangkalahatang publiko. Ang kanilang tagumpay sa mga hindi mathematician ay higit sa lahat dahil sa ang katunayan na sa tulong ng napakasimpleng mga konstruksyon at mga formula na kahit isang mag-aaral sa high school ay maaaring maunawaan, ang mga imahe ng kamangha-manghang pagiging kumplikado at kagandahan ay nakuha. Kapag ang mga personal na computer ay naging sapat na malakas, kahit na ang isang buong trend sa sining ay lumitaw - fractal painting, at halos anumang may-ari ng computer ay maaaring gawin ito. Ngayon sa Internet madali mong mahahanap ang maraming mga site na nakatuon sa paksang ito.

Scheme para sa pagkuha ng Koch curve

Digmaan at Kapayapaan

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang isa sa mga likas na bagay na may fractal properties ay ang baybayin. Ang isang kawili-wiling kwento ay konektado dito, o sa halip, sa isang pagtatangka na sukatin ang haba nito, na naging batayan ng artikulong pang-agham ni Mandelbrot, at inilarawan din sa kanyang aklat na "The Fractal Geometry of Nature". Pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang eksperimento na itinakda ni Lewis Richardson, isang napakatalino at sira-sira na mathematician, physicist at meteorologist. Isa sa mga direksyon ng kanyang pananaliksik ay isang pagtatangka upang mahanap ang isang matematikal na paglalarawan ng mga sanhi at posibilidad ng isang armadong labanan sa pagitan ng dalawang bansa. Kabilang sa mga parameter na kanyang isinasaalang-alang ay ang haba ng karaniwang hangganan sa pagitan ng dalawang naglalabanang bansa. Nang mangolekta siya ng data para sa mga numerical na eksperimento, nalaman niya na sa iba't ibang mapagkukunan ang data sa karaniwang hangganan ng Spain at Portugal ay malaki ang pagkakaiba. Ito ay humantong sa kanya sa sumusunod na pagtuklas: ang haba ng mga hangganan ng bansa ay nakasalalay sa pinuno kung saan namin sinusukat ang mga ito. Kung mas maliit ang sukat, magiging mas mahaba ang hangganan. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa mas mataas na pagpapalaki posible na isaalang-alang ang higit pa at higit pang mga liko ng baybayin, na dati nang hindi pinansin dahil sa pagkamagaspang ng mga sukat. At kung, sa bawat pag-zoom, ang dati nang hindi nabilang na mga liko ng mga linya ay nabuksan, kung gayon ito ay lumalabas na ang haba ng mga hangganan ay walang hanggan! Totoo, sa katunayan hindi ito nangyayari - ang katumpakan ng aming mga sukat ay may hangganan. Ang paradox na ito ay tinatawag na Richardson effect.

Nakabubuo (geometric) fractals

Ang algorithm para sa pagbuo ng constructive fractal sa pangkalahatang kaso ay ang mga sumusunod. Una sa lahat, kailangan natin ng dalawang angkop na geometric na hugis, tawagin natin silang base at fragment. Sa unang yugto, ang batayan ng hinaharap na fractal ay inilalarawan. Pagkatapos ang ilan sa mga bahagi nito ay pinalitan ng isang fragment na kinuha sa isang angkop na sukat - ito ang unang pag-ulit ng konstruksiyon. Pagkatapos, sa resultang figure, ang ilang bahagi ay muling nagbabago sa mga figure na katulad ng isang fragment, at iba pa. Kung ipagpapatuloy natin ang prosesong ito nang walang katiyakan, pagkatapos ay sa limitasyon ay makakakuha tayo ng fractal.

Isaalang-alang ang prosesong ito gamit ang halimbawa ng Koch curve (tingnan ang sidebar sa nakaraang pahina). Ang anumang curve ay maaaring kunin bilang batayan ng Koch curve (para sa Koch snowflake, ito ay isang tatsulok). Ngunit kinukulong namin ang aming sarili sa pinakasimpleng kaso - isang segment. Ang fragment ay isang putol na linya na ipinapakita sa tuktok ng figure. Pagkatapos ng unang pag-ulit ng algorithm, sa kasong ito, ang orihinal na segment ay mag-tutugma sa fragment, pagkatapos ang bawat isa sa mga bahagi ng bumubuo nito ay papalitan mismo ng isang putol na linya na katulad ng fragment, at iba pa. Ipinapakita ng figure ang unang apat hakbang ng prosesong ito.

Ang wika ng matematika: dynamic (algebraic) fractals

Ang mga fractals ng ganitong uri ay lumitaw sa pag-aaral ng mga nonlinear dynamical system (samakatuwid ang pangalan). Ang pag-uugali ng naturang sistema ay maaaring ilarawan ng isang kumplikadong nonlinear function (polynomial) f (z). Kumuha tayo ng ilang paunang punto z0 sa kumplikadong eroplano (tingnan ang sidebar). Ngayon isaalang-alang ang isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero sa kumplikadong eroplano, ang bawat isa ay nakuha mula sa nauna: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Depende sa paunang puntong z0, maaaring magkaiba ang pagkilos ng naturang sequence: may posibilidad na infinity bilang n -> ∞; magtagpo sa ilang dulong punto; cyclically kumuha ng isang bilang ng mga nakapirming halaga; mas kumplikadong mga opsyon ay posible.

Mga kumplikadong numero

Ang kumplikadong numero ay isang numero na binubuo ng dalawang bahagi - tunay at haka-haka, iyon ay, ang pormal na kabuuan x + iy (x at y dito ay tunay na mga numero). ako ang tinatawag na. imaginary unit, ibig sabihin, isang numero na nakakatugon sa equation i^ 2 = -1. Sa mga kumplikadong numero, ang mga pangunahing pagpapatakbo ng matematika ay tinukoy - karagdagan, pagpaparami, paghahati, pagbabawas (tanging ang operasyon ng paghahambing ay hindi tinukoy). Upang magpakita ng mga kumplikadong numero, madalas na ginagamit ang isang geometric na representasyon - sa eroplano (tinatawag itong kumplikado), ang tunay na bahagi ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang haka-haka na bahagi kasama ang ordinate axis, habang ang kumplikadong numero ay tumutugma sa isang punto. na may Cartesian coordinate x at y.

Kaya, ang anumang punto z ng kumplikadong eroplano ay may sariling katangian ng pag-uugali sa panahon ng mga pag-ulit ng function na f (z), at ang buong eroplano ay nahahati sa mga bahagi. Bukod dito, ang mga punto na nakahiga sa mga hangganan ng mga bahaging ito ay may mga sumusunod na pag-aari: para sa isang di-makatwirang maliit na pag-aalis, ang likas na katangian ng kanilang pag-uugali ay nagbabago nang malaki (ang mga nasabing punto ay tinatawag na mga punto ng bifurcation). Kaya, lumalabas na ang mga hanay ng mga punto na may isang partikular na uri ng pag-uugali, pati na rin ang mga hanay ng mga punto ng bifurcation, ay kadalasang may mga katangian ng fractal. Ito ang mga Julia set para sa function na f(z).

pamilya ng dragon

Sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng base at fragment, makakakuha ka ng nakamamanghang iba't ibang mga constructive fractals.
Bukod dito, ang mga katulad na operasyon ay maaaring isagawa sa tatlong-dimensional na espasyo. Ang mga halimbawa ng volumetric fractals ay ang "Menger's sponge", "Sierpinski's pyramid" at iba pa.
Ang pamilya ng mga dragon ay tinutukoy din sa mga constructive fractals. Minsan sila ay tinutukoy ng pangalan ng mga natuklasan bilang "mga dragon ng Heiwei-Harter" (kamukha nila ang mga dragon na Tsino sa kanilang hugis). Mayroong ilang mga paraan upang mabuo ang curve na ito. Ang pinakasimpleng at pinaka-halata sa kanila ay ito: kailangan mong kumuha ng sapat na mahabang strip ng papel (mas manipis ang papel, mas mabuti), at ibaluktot ito sa kalahati. Pagkatapos ay ibaluktot muli ito sa kalahati sa parehong direksyon tulad ng unang pagkakataon. Pagkatapos ng ilang pag-uulit (kadalasan pagkatapos ng lima o anim na tiklop ang strip ay nagiging masyadong makapal upang maingat na ibaluktot pa), kailangan mong ituwid ang strip pabalik, at subukang bumuo ng 90˚ anggulo sa mga fold. Pagkatapos ang curve ng dragon ay lalabas sa profile. Siyempre, ito ay magiging isang pagtatantya lamang, tulad ng lahat ng aming mga pagtatangka na ilarawan ang mga fractal na bagay. Ang computer ay nagbibigay-daan sa iyo upang ilarawan ang marami pang mga hakbang sa prosesong ito, at ang resulta ay isang napakagandang pigura.

Ang set ng Mandelbrot ay medyo naiiba. Isaalang-alang ang function na fc (z) = z 2 +c, kung saan ang c ay isang kumplikadong numero. Bumuo tayo ng sequence ng function na ito na may z0=0, depende sa parameter c, maaari itong mag-diverge sa infinity o manatiling may hangganan. Bukod dito, ang lahat ng mga halaga ng c kung saan ang pagkakasunud-sunod na ito ay nakatali sa Mandelbrot set. Ito ay pinag-aralan nang detalyado ni Mandelbrot mismo at iba pang mga mathematician, na natuklasan ang maraming mga kagiliw-giliw na katangian ng set na ito.

Ito ay makikita na ang mga kahulugan ng Julia at Mandelbrot set ay magkatulad sa bawat isa. Sa katunayan, ang dalawang set na ito ay malapit na nauugnay. Ibig sabihin, ang set ng Mandelbrot ay ang lahat ng mga halaga ng kumplikadong parameter c kung saan ang set ng Julia fc (z) ay konektado (tinatawag na konektado ang isang set kung hindi ito mahahati sa dalawang di-nagsalubong na bahagi, na may ilang karagdagang mga kondisyon).

fractals at buhay

Sa ngayon, ang teorya ng fractals ay malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao. Bilang karagdagan sa isang purong siyentipikong bagay para sa pananaliksik at ang nabanggit na fractal painting, ang mga fractals ay ginagamit sa teorya ng impormasyon upang i-compress ang graphic na data (dito, ang self-similarity property ng fractals ay pangunahing ginagamit - pagkatapos ng lahat, upang matandaan ang isang maliit na fragment ng isang pagguhit at mga pagbabagong kung saan maaari mong makuha ang natitirang bahagi ng mga bahagi, ito ay nangangailangan ng mas kaunting memorya kaysa sa pag-imbak ng buong file). Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga random na perturbation sa mga formula na tumutukoy sa fractal, makakakuha ang isang tao ng stochastic fractal na napaka-masasabing naghahatid ng ilang mga tunay na bagay - mga elemento ng relief, ang ibabaw ng mga anyong tubig, ilang mga halaman, na matagumpay na ginagamit sa pisika, heograpiya at computer graphics upang makamit higit na pagkakatulad ng mga kunwa na bagay sa tunay. Sa radio electronics, sa huling dekada, nagsimula silang gumawa ng mga antenna na may fractal na hugis. Gumagamit ng maliit na espasyo, nagbibigay sila ng medyo mataas na kalidad na pagtanggap ng signal. Gumagamit ang mga ekonomista ng fractals upang ilarawan ang mga curve ng pagbabagu-bago ng currency (ang ari-arian na ito ay natuklasan ni Mandelbrot mahigit 30 taon na ang nakakaraan). Ito ay nagtatapos sa maikling iskursiyon na ito sa mundo ng mga fractals, kamangha-mangha sa kagandahan at pagkakaiba-iba nito.

MINISTERYO NG MATAAS AT PROFESSIONAL NA EDUKASYON

IRKUTSK STATE ACADEMY OF ECONOMY

DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS

Ayon sa pang-ekonomiya at matematikal na mga modelo at pamamaraan

TEORYANG FRACTAL AT MGA APLIKASYON NITO

Inihanda ni: Pinuno:

Pogodaeva E.A. Tolstikova T.V.

Chetverikov S.V.

IRKUTSK 1997

Ang lahat ng mga larawan ay magkatulad at

Ngunit hindi isa sa isa

Hindi tulad ni Goy; kanilang mga koro

Ituturo ko ang lihim na batas

Yut, sa banal na bugtong...

J. W. Goethe.

metamorphosis ng halaman.

BAKIT TAYO NAG-UUSAP TUNGKOL SA MGA FRAKTAL?

Sa ikalawang kalahati ng ating siglo sa natural na agham ay mayroong
mga pangunahing pagbabago na nagbunga ng tinatawag na teorya
self-organization, o synergetics. Siya ay ipinanganak bigla, na parang on
tumatawid sa ilang linya ng siyentipikong pananaliksik. Isa sa mga mapagpasyahan
ang mga paunang impulses ay ipinagkanulo sa kanya ng mga siyentipikong Ruso sa pagliko ng
limampu - ikaanimnapung taon. Noong dekada limampu ang siyentipiko
Natuklasan ng analytical chemist na si B.P. Belousov ang redox
kemikal na reaksyon. Pagtuklas at pag-aaral ng self-oscillations at autowaves habang
Mga reaksyon ni Belousov

S. E. Shnolem, A. M. Zhabotinsky, V.I. Krinsky, A.N. Zaikin, G.R.
Ivanitsky - marahil ang pinaka napakatalino na pahina ng pangunahing
Ang agham ng Russia sa panahon ng postwar. Mabilis at matagumpay na pag-aaral
reaksyon Belousov - Nagtrabaho si Zhabotinsky sa agham bilang isang trigger
hook: agad nilang naalala na ang mga ganitong proseso ay kilala noon
mabait at maraming likas na phenomena mula sa pagbuo ng mga kalawakan
sa mga buhawi, bagyo at paglalaro ng liwanag sa mga mapanimdim na ibabaw (kaya
tinatawag na caustics), - sa katunayan, ang mga proseso ng self-organization. Sila ay
maaaring may kakaibang kalikasan: kemikal, mekanikal,
optical, elektrikal, atbp. At saka, ito pala
matagal nang handa at perpektong binuo ang teoryang matematika
sariling organisasyon. Ang batayan nito ay inilatag ng mga gawa ni A. Poincaré at A. A.
Lyapunov sa pagtatapos ng huling siglo. Disertasyon "Sa pagpapanatili
kilusan" ay isinulat ni Lyapunov noong 1892.

Pinipilit tayo ng teoryang matematika ng self-organization sa isang bagong paraan
tingnan mo ang mundo sa paligid natin. Ipaliwanag natin kung paano ito naiiba
klasikal na pananaw sa mundo, dahil kakailanganin nating malaman ito kung kailan
ang pag-aaral ng mga fractal na bagay.

"Ang klasikal na natatanging deterministikong pananaw sa mundo
ay maaaring simbolo ng isang patag, makinis na ibabaw kung saan
nagbanggaan ang mga bola, na nakatanggap ng isang tiyak na dami ng paggalaw.
Ang hinaharap na kapalaran ng bawat naturang katawan ay natatangi na tinutukoy ng nito
"nakaraan" sa nakaraang sandali ng oras (momentum, charge) at
pakikipag-ugnayan sa ibang mga katawan. Walang integridad ng ganitong sistema
ay hindi nagtataglay." (L. Belousov. Mga Mensahero ng isang buhay na bagyong kulog. \\ Ang kaalaman ay kapangyarihan. N
2. 1996. - p.32). Kaya ang klasikal na agham ay naniniwala na ang hinaharap
ang ganitong sistema ay mahigpit at hindi malabo na tinutukoy ng nakaraan nito at, napapailalim sa
kaalaman sa nakaraan, walang limitasyong mahuhulaan.

Ipinakita ng modernong matematika na sa ilang mga kaso ay hindi ito
tulad nito: halimbawa, kung ang mga bola ay tumama sa isang matambok na pader, kung gayon ang bale-wala
ang mga pagkakaiba sa kanilang mga trajectory ay lalago nang walang katiyakan, kaya na
nagiging unpredictable ang pag-uugali ng system sa isang punto.
Kaya, ang mga posisyon ng hindi malabo na determinismo ay pinahina kahit na
sa medyo simpleng sitwasyon.

Isang pananaw sa mundo batay sa teorya ng self-organization,
sinasagisag ng imahe ng isang bulubunduking bansa na may mga lambak kung saan dumadaloy ang mga ilog,
at mga tagaytay ng watershed. Ang bansang ito ay may malakas na feedback
- parehong negatibo at positibo. Kung ang katawan ay gumulong pababa
along the slope, tapos may positive
ang feedback, kung susubukan nitong umakyat, ay negatibo.
Ang mga nonlinear (sapat na malakas) na mga feedback ay isang kailangang-kailangan na kondisyon
sariling organisasyon. Nonlinearity sa ideological kahulugan ay nangangahulugan
multivariate na mga landas ng ebolusyon, ang pagkakaroon ng isang pagpipilian ng mga alternatibong landas
at isang tiyak na rate ng ebolusyon, pati na rin ang hindi maibabalik na ebolusyon
mga proseso. Halimbawa, isaalang-alang ang pakikipag-ugnayan ng dalawang katawan: A at B. B -
nababanat na puno ng kahoy, A ay isang batis ng bundok sa ating bansa. Baluktot ang daloy
puno ng kahoy sa direksyon ng paggalaw ng tubig, ngunit sa pag-abot sa isang tiyak
baluktot ang puno ng kahoy sa ilalim ng pagkilos ng isang nababanat na puwersa ay maaaring ituwid, repelling
mga particle ng tubig pabalik. Ibig sabihin, may nakikita tayong alternatibong interaksyon
dalawang katawan A at B. Bukod dito, ang pakikipag-ugnayang ito ay nangyayari sa paraang
na ang A-B na relasyon ay positibo, at ang B-A na relasyon ay negatibo. Ang kundisyon ay natutugunan
non-linearity.

Bukod dito, sa teorya ng self-organization, maaari nating pilitin ang ating
bulubunduking bansa upang "mabuhay", iyon ay, magbago sa panahon. Kasabay nito, ito ay mahalaga
pumili ng mga variable ng iba't ibang pagkakasunud-sunod. Ang nasabing hierarchy ng mga variable
Ang oras ay isang kinakailangang kondisyon para sa pag-order ng sariling organisasyon.
Hatiin ito, "ihalo" ang mga oras - darating ang kaguluhan (halimbawa, isang lindol,
kapag ang mga pagbabago sa geological order ay nangyari sa loob ng ilang minuto, at
dapat - para sa ilang millennia). Gayunpaman, sa lumalabas, nabubuhay
Ang mga sistema ay hindi masyadong natatakot sa kaguluhan: nabubuhay sila sa limitasyon nito sa lahat ng oras,
minsan kahit nahuhulog dito, ngunit alam pa rin nila kung paano, kung kinakailangan, mula dito
labas. Sa kasong ito, ang pinakamahalaga ay ang pinakamabagal
mga variable ng oras (tinatawag silang mga parameter). Ito ay ang mga halaga ng parameter
tukuyin kung anong hanay ng mga napapanatiling solusyon ang magkakaroon at,
kaya, anong mga istruktura ang maaaring ipatupad dito. AT
parehong oras mas mabilis

Ang mga (dynamic) na variable ay may pananagutan para sa partikular na pagpili ng nagagawa
matatag na estado sa mga posibleng.

Ang mga prinsipyo ng non-linearity at mga alternatibo para sa pagpili ng pagbuo ng anuman
proseso, ang pag-unlad ng sistema ay ipinatupad din sa pagbuo ng mga fractals.

Dahil ito ay naging malinaw sa mga nagdaang dekada (dahil sa pag-unlad ng teorya
self-organization), nangyayari ang pagkakatulad sa sarili sa iba't ibang bagay at
phenomena. Halimbawa, ang pagkakatulad sa sarili ay makikita sa mga sanga ng puno at
shrubs, kapag hinahati ang isang fertilized zygote, snowflakes, kristal
yelo, na may pag-unlad ng mga sistemang pang-ekonomiya (Kondratiev waves), ang istraktura
mga sistema ng bundok, sa istruktura ng mga ulap. Lahat ng nasa itaas at iba pa
katulad sa kanila sa kanilang istraktura ay tinatawag na fractal. Ibig sabihin, sila
nagtataglay ng mga katangian ng self-similarity, o scale invariance. At ito
nangangahulugan na ang ilang mga fragment ng kanilang istraktura ay mahigpit na paulit-ulit
ilang spatial na pagitan. Ito ay malinaw na ang mga bagay na ito
maaaring maging anumang kalikasan, at ang kanilang anyo at anyo ay nananatiling hindi nagbabago
anuman ang sukat.

Kaya, maaari nating sabihin na ang mga fractals bilang mga modelo ay ginagamit sa
kaso kapag ang tunay na bagay ay hindi mairepresenta sa anyo ng klasikal
mga modelo. At nangangahulugan ito na nakikipag-ugnayan tayo sa mga hindi linear na relasyon at
hindi deterministikong katangian ng data. Nonlinearity sa worldview
kahulugan ay nangangahulugan ng multivariance ng development path, ang pagkakaroon ng isang pagpipilian mula sa
mga alternatibong landas at isang tiyak na bilis ng ebolusyon, pati na rin ang hindi maibabalik
mga proseso ng ebolusyon. Non-linearity sa matematikal na kahulugan ay nangangahulugan
isang tiyak na uri ng mathematical equation (nonlinear differential
equation) na naglalaman ng nais na dami sa mga kapangyarihang higit sa isa o
coefficients depende sa mga katangian ng medium. Ibig sabihin, kapag ginamit natin
mga klasikal na modelo (halimbawa, trend, regression, atbp.), kami
sinasabi namin na ang kinabukasan ng bagay ay natatanging tinutukoy. At kaya natin
hulaan ito, alam ang nakaraan ng bagay (input data para sa
pagmomodelo). At ang mga fractals ay ginagamit kapag ang isang bagay ay may
ilang mga opsyon sa pag-unlad at ang estado ng system ay tinutukoy
ang posisyon nito sa kasalukuyan. Ibig sabihin, kami
sinusubukang gayahin ang isang magulong pag-unlad.

Ano ang nagbibigay sa atin ng paggamit ng fractals?

Pinapayagan ka nila na lubos na gawing simple ang mga kumplikadong proseso at bagay, na napaka
mahalaga sa pagmomodelo. Binibigyang-daan kang ilarawan ang mga hindi matatag na sistema at
mga proseso at, higit sa lahat, upang mahulaan ang hinaharap ng mga naturang bagay.

TEORYANG FRAKTAL

BACKGROUND NG Hitsura

Ang teorya ng fractals ay may napakabata na edad. Siya ay lumitaw sa
late sixties sa intersection ng matematika, computer science, linguistics
at biology. Sa oras na iyon, ang mga computer ay lalong tumatagos sa buhay.
mga tao, sinimulang ilapat ng mga siyentipiko ang mga ito sa kanilang pananaliksik, ang bilang ng
mga gumagamit ng kompyuter. Para sa mass use
computer, naging kinakailangan upang mapadali ang proseso ng komunikasyon sa pagitan ng isang tao at
makina. Kung sa simula pa lang ng panahon ng kompyuter ay iilan
Ang mga programmer-user ay walang pag-iimbot na nagpasok ng mga utos sa makina
code at nakatanggap ng mga resulta sa anyo ng walang katapusang mga teyp na papel, pagkatapos ay may
Ang napakalaking at load na mode ng paggamit ng mga computer ay lumitaw
ang pangangailangang mag-imbento ng isang programming language noon
ay mauunawaan ng makina, at sa parehong oras, ay magiging madaling matutunan at
aplikasyon. Ibig sabihin, isa lang ang kailangan ng user
command, at ang computer ay mabubulok ito sa mas simple, at isasagawa
magkakaroon na ng mga ito. Upang mapadali ang pagsulat ng mga tagasalin, sa intersection ng computer science
at linguistics, isang teorya ng fractals ang lumitaw, na nagpapahintulot sa iyo na mahigpit na itakda
ugnayan sa pagitan ng mga algorithmic na wika. At ang Danish mathematician at
Ang biologist na si A. Lindenmeer ay nakaisip ng isang ganoong grammar noong 1968,
na tinawag niyang L-system, na, gaya ng kanyang pinaniniwalaan, ay modelo rin ng paglago
mga buhay na organismo, lalo na ang pagbuo ng mga palumpong at mga sanga sa mga halaman.

Narito ang hitsura ng kanyang modelo. Itakda ang alpabeto - arbitrary set
mga karakter. Maglaan ng isa, ang paunang salita, na tinatawag na axiom, - magagawa mo
isaalang-alang na ito ay tumutugma sa paunang estado ng organismo - ang embryo.
At pagkatapos ay inilalarawan nila ang mga patakaran para sa pagpapalit ng bawat karakter ng alpabeto ng isang tiyak
isang hanay ng mga simbolo, iyon ay, itinakda nila ang batas ng pag-unlad ng embryo. Magpatakbo
ang mga patakaran ay ang mga sumusunod: binabasa namin ang bawat simbolo ng axiom sa pagkakasunud-sunod at palitan
ito sa salitang tinukoy sa tuntunin ng pagpapalit.

Kaya, pagkatapos basahin ang axiom isang beses, nakakakuha kami ng isang bagong linya
mga character, kung saan muli naming inilalapat ang parehong pamamaraan. Hakbang-hakbang
lumilitaw ang isang mas mahabang string - ang bawat isa sa mga hakbang na ito ay maaaring
itinuturing na isa sa mga sunud-sunod na yugto sa pag-unlad ng "organismo".
Sa pamamagitan ng paglilimita sa bilang ng mga hakbang, tukuyin kung kailan itinuturing na kumpleto ang pagbuo.

ANG PINAGMULAN NG TEORYA NG FRAKTALS

Si Benoit Mandelbrot ay nararapat na ituring na ama ng mga fractals.
Si Mandelbrot ang imbentor ng terminong "fractal". Mandelbrot
ay sumulat: "Nakaisip ako ng salitang" fractal ", batay sa Latin
pang-uri "fractus", ibig sabihin ay hindi regular, recursive,
pira-piraso. Ang unang kahulugan ng fractals ay ibinigay din ni B. Mandelbrot:

Ang fractal ay isang istrukturang magkatulad sa sarili na hindi nakadepende ang imahe
sukat. Ito ay isang recursive na modelo, ang bawat bahagi nito ay umuulit sa sarili nitong
pag-unlad ng pag-unlad ng buong modelo sa kabuuan.

Sa ngayon, maraming iba't ibang mga modelo ng matematika
fractals. Ang natatanging katangian ng bawat isa sa kanila ay iyon
ang mga ito ay batay sa ilang recursive function, halimbawa: xi=f(xi-1).
Sa paggamit ng kompyuter, may pagkakataon ang mga mananaliksik na makakuha
mga graphic na larawan ng fractals. Ang pinakasimpleng mga modelo ay hindi nangangailangan ng malaki
mga kalkulasyon at maaari silang ipatupad nang direkta sa isang aralin sa computer science, habang
iba pang mga modelo ay kaya hinihingi sa kapangyarihan ng computer na sila
Ang pagpapatupad ay isinasagawa gamit ang isang supercomputer. Nagkataon, sa US
Ang mga fractal na modelo ay pinag-aaralan ng National Application Center
para sa Supercomputers (NCSA). Sa gawaing ito, gusto lang naming ipakita
ilang fractal na modelo na nakuha namin.

Modelo ng Mandelbrot.

Iminungkahi ni Benoit Mandelbrot ang isang fractal na modelo, na naging
classic at kadalasang ginagamit para ipakita kung gaano ka-typical
halimbawa ng fractal mismo, at upang ipakita ang kagandahan ng fractal,
which also attracts researchers, artists, just
mga taong interesado.

Ang mathematical na paglalarawan ng modelo ay ang mga sumusunod: sa complex plane in
ilang agwat para sa bawat punto na may recursive function ay kinakalkula
Z=Z2+c. Tila, ano ang espesyal sa pagpapaandar na ito? Ngunit pagkatapos ng N
pag-uulit ng pamamaraang ito para sa pagkalkula ng mga coordinate ng mga puntos, sa
kumplikadong eroplano, lumilitaw ang isang nakakagulat na magandang pigura, isang bagay
parang peras.

Sa modelong Mandelbrot, ang pagbabagong kadahilanan ay ang panimulang punto
c, at ang parameter na z, ay nakasalalay. Samakatuwid, upang bumuo ng isang fractal
Mandelbrot mayroong isang panuntunan: ang paunang halaga ng z ay zero (z=0)!
Ang paghihigpit na ito ay ipinakilala upang ang unang derivative ng function
Ang z sa panimulang punto ay katumbas ng zero. At ito ay nangangahulugan na sa inisyal
point, ang function ay may isang minimum, at mula ngayon ito ay kukuha lamang
malalaking halaga.

Gusto naming tandaan na kung ang fractal recursive formula ay may iba
view, pagkatapos ay dapat kang pumili ng isa pang halaga ng panimulang punto para sa
parameter Z. Halimbawa, kung ang formula ay mukhang z=z2+z+c, kung gayon ang inisyal
ang magiging punto ay:

2*z+1=0 ???z= -1/2.

Sa gawaing ito, mayroon kaming pagkakataong magdala ng mga larawan ng fractal,
na itinayo sa NCSA. Natanggap namin ang mga file ng imahe sa pamamagitan ng
Internet network.

Fig.1 Mandelbrot fractal

Alam mo na ang mathematical model ng Mandelbrot fractal. ngayon tayo
Ipakita natin kung paano ito ipinatupad nang graphical. Panimulang punto ng modelo
katumbas ng zero. Sa graphically, tumutugma ito sa gitna ng katawan ng peras. Sa pamamagitan ni N
pupunuin ng mga hakbang ang buong katawan ng peras at sa lugar kung saan ito natapos
ang huling pag-ulit, ang "ulo" ng fractal ay nagsisimulang mabuo.
Ang "ulo" ng fractal ay eksaktong apat na beses na mas maliit kaysa sa katawan, dahil
ang mathematical formula ng isang fractal ay isang parisukat
polinomyal. Pagkatapos ay muli, pagkatapos ng N pag-ulit, ang "katawan" ay nagsisimulang mabuo
"kidney" (sa kanan at kaliwa ng "katawan"). atbp. Ang daming binigay
ang bilang ng mga pag-ulit N, mas magiging detalyado ang imahe ng fractal,
mas maraming iba't ibang proseso ang magkakaroon nito. Eskematiko na representasyon
Ang mga yugto ng paglago ng Mandelbrot fractal ay ipinapakita sa Fig. 2:

Fig.2 Scheme ng pagbuo ng Mandelbrot fractal

Ipinapakita ng mga figure 1 at 2 na ang bawat kasunod na pagbuo sa "katawan"
eksaktong umuulit sa istraktura nito ang katawan mismo. Ito ang katangi-tangi
tampok na ang modelong ito ay isang fractal.

Ang mga sumusunod na figure ay nagpapakita kung paano magbabago ang posisyon ng punto,
naaayon sa parameter na z, para sa iba't ibang mga panimulang posisyon ng punto
c.

A) Panimulang punto sa "katawan" B) Panimulang punto
tuldok sa ulo

C) Panimulang punto sa "kidney" D) Panimulang punto sa
"kidney" ng ikalawang antas

E) Panimulang punto sa "kidney" ng ikatlong antas

Mula sa mga figure A - E ito ay malinaw na nakikita kung paano sa bawat hakbang ng higit pa at higit pa
ang istraktura ng fractal ay nagiging mas kumplikado at ang parameter na z ay nagiging mas kumplikado
tilapon.

Mga limitasyon sa modelong Mandelbrot: may katibayan na sa
ang modelong Mandelbrot |z|

Julia model (Julia set)

Ang modelong Julia fractal ay may parehong equation gaya ng modelo
Mandelbrot: Z=Z2+c, dito lang ang variable na parameter
hindi c, ngunit z.

Alinsunod dito, ang buong istraktura ng fractal ay nagbabago, mula ngayon
ang panimulang posisyon ay hindi napapailalim sa anumang mga paghihigpit. sa pagitan ng
mga modelo ng Mandelbrot at Julia, mayroong ganoong pagkakaiba: kung ang modelo
Ang Mandelbrot ay static (dahil ang paunang z ay palaging
zero), kung gayon ang modelong Julia ay isang dynamic na fractal na modelo. Sa
kanin. 4 ay nagpapakita ng isang graphical na representasyon ng Julia fractal.

kanin. 4 Modelong Julia

Tulad ng makikita mula sa fractal drawing, ito ay simetriko na may paggalang sa gitna
hugis tuldok, habang ang Mandelbrot fractal ay may hugis na simetriko
tungkol sa axis.

Sierpinski carpet

Ang Sierpinski carpet ay itinuturing na isa pang fractal pattern. Ito ay under construction
tulad ng sumusunod: isang parisukat ang kinuha, nahahati sa siyam na parisukat,
gupitin ang gitnang parisukat. Pagkatapos sa bawat isa sa walo na natitira
parisukat, ang isang katulad na pamamaraan ay ginaganap. At iba pa ang ad infinitum. AT
Bilang isang resulta, sa halip na isang buong parisukat, nakakakuha kami ng isang karpet na may kakaiba
simetriko pattern. Ang modelong ito ay unang iminungkahi ng mathematician
Sierpinsky, kung kanino nakuha ang pangalan nito. Halimbawa ng karpet
Ang Sierpinski ay makikita sa Fig. 4d.

Fig.4 Konstruksyon ng Sierpinski carpet

4. Koch curve

Sa simula ng ika-20 siglo, ang mga mathematician ay naghahanap ng mga kurba na hindi matatagpuan saanman.
walang tangent ang mga puntos. Nangangahulugan ito na ang curve ay biglang nagbago nito
direksyon, at, bukod dito, sa napakataas na bilis (ang hinango
ay katumbas ng infinity). Ang paghahanap para sa mga kurba na ito ay sanhi hindi lamang ng
walang kabuluhang interes ng mga mathematician. Ang katotohanan ay na sa simula ng ikadalawampu siglo, napaka
mabilis na umunlad ang quantum mechanics. Mananaliksik M.Brown
nag-sketch ng trajectory ng paggalaw ng mga suspendido na particle sa tubig at ipinaliwanag ito
phenomenon ay ang mga sumusunod: random na gumagalaw na mga atomo ng isang likido ay nabangga
nasuspinde ang mga particle at sa gayon ay itinatakda ang mga ito sa paggalaw. Pagkatapos ng ganyan
paliwanag ng Brownian motion, ang mga siyentipiko ay nahaharap sa gawain ng paghahanap ng ganoon
curve na pinakamahusay na humigit-kumulang sa paggalaw
Brownian particle. Para dito, ang curve ay kailangang tumugma sa mga sumusunod
mga katangian: walang tangent sa anumang punto. Mathematician na si Koch
iminungkahi ang isang ganoong kurba. Hindi kami pupunta sa mga paliwanag
mga panuntunan para sa pagtatayo nito, ngunit ibigay lamang ang imahe nito, kung saan ang lahat
nagiging malinaw (Larawan 5).

Fig.5 Mga yugto ng pagbuo ng Koch curve

Ang Koch curve ay isa pang halimbawa ng isang fractal, dahil ang bawat isa nito
bahagi ay isang pinababang imahe ng buong curve.

6. Mga graphic na larawan ng iba't ibang fractal

Sa talatang ito, nagpasya kaming maglagay ng mga graphic na larawan ng iba't ibang
fractals na natanggap namin mula sa Internet. Sa kasamaang palad hindi tayo
ay nakahanap ng isang mathematical na paglalarawan ng mga fractals na ito, ngunit upang
upang maunawaan ang kanilang kagandahan, mga guhit lamang ang sapat.

kanin. 6 Mga halimbawa ng graphical na representasyon ng fractals

II SEKSYON

APLIKASYON NG TEORYA NG FRAKTAL SA EKONOMIYA

TECHNICAL ANALYSIS NG FINANCIAL MARKETS

Ang merkado sa pananalapi sa mga binuo na bansa sa mundo ay umiral nang higit sa isang daan
taon. Sa loob ng maraming siglo, ang mga tao ay bumili at nagbebenta ng mga securities.
Ang ganitong uri ng mga transaksyon sa mga securities ay nagdala ng kita sa mga kalahok sa merkado
dahil ang mga presyo ng mga stock at mga bono ay nagbabago sa lahat ng oras,
ay patuloy na nagbabago. Sa loob ng maraming siglo, ang mga tao ay bumili ng mga securities sa
parehong presyo at naibenta kapag sila ay naging mas mahal. Pero minsan
hindi natupad ang inaasahan ng mamimili at nagsimula ang mga presyo para sa mga biniling papel
pagkahulog, kaya, hindi lamang siya nakatanggap ng kita, ngunit nagdusa din
pagkalugi. Sa napakatagal na panahon, walang nag-isip tungkol sa kung bakit ito nangyayari:
ang presyo ay tumataas at pagkatapos ay bumababa. Nakita lang ng mga tao ang resulta ng aksyon at hindi
nag-iisip tungkol sa mekanismo ng sanhi na bumubuo nito.

Nangyari ito hanggang sa isang American financier, isa sa
mga publisher ng kilalang pahayagan na "Financial Times", hindi ginawa ni Charles Dow
naglathala ng ilang artikulo kung saan ipinaliwanag niya ang kanyang mga pananaw
paggana ng merkado sa pananalapi. Napansin ng Dow na ang mga presyo ng stock
napapailalim sa cyclical fluctuations: pagkatapos ng mahabang panahon ng paglago,
isang mahabang pagbagsak, pagkatapos ay isa pang pagtaas at pagbaba. kaya,
Unang napansin ni Charles Dow na posibleng hulaan ang hinaharap
ang pag-uugali ng presyo ng stock, kung ang direksyon nito ay kilala para sa ilan
huling period.

Fig.1 Pag-uugali ng presyo ayon sa Ch.Dow

Kasunod nito, sa batayan ng mga pagtuklas na ginawa ni Ch. Dow, isang kabuuan
teorya ng teknikal na pagsusuri ng merkado sa pananalapi, na natanggap
tinatawag na Dow Theory. Ang teoryang ito ay nagsimula noong dekada nobenta
ikalabinsiyam na siglo, nang ilathala ni C. Dow ang kanyang mga artikulo.

Ang teknikal na pagsusuri ng mga merkado ay isang paraan ng paghula sa hinaharap
pag-uugali ng takbo ng presyo, batay sa kaalaman sa kasaysayan ng pag-uugali nito.
Ang teknikal na pagsusuri para sa pagtataya ay gumagamit ng matematika
mga katangian ng mga uso, hindi ang pagganap ng ekonomiya ng mga mahalagang papel.

Sa kalagitnaan ng ikadalawampu siglo, nang ang buong siyentipikong mundo ay interesado lamang
na ang umuusbong na teorya ng fractals, isa pang kilalang Amerikano
iminungkahi ng financier na si Ralph Elliot ang kanyang teorya ng pag-uugali ng mga presyo ng stock,
na batay sa paggamit ng fractal theory.

Nagpatuloy si Elliot mula sa katotohanan na ang geometry ng fractals ay hindi umiiral.
lamang sa buhay na kalikasan, kundi pati na rin sa mga prosesong panlipunan. sa publiko
Iniugnay niya ang mga proseso sa pangangalakal ng mga pagbabahagi sa stock exchange.

TEORYANG ELLIOT WAVE

Ang Elliot Wave Theory ay isa sa mga pinakalumang teknikal na teorya.
pagsusuri. Mula nang magsimula ito, wala sa mga gumagamit ang nag-ambag dito
anumang kapansin-pansing pagbabago. Sa kabaligtaran, ang lahat ng pagsisikap ay nakadirekta sa
na ang mga prinsipyong binalangkas ni Elliot ay higit na lumalabas at
mas malinaw. Kitang-kita ang resulta. Sa tulong ng teorya ni Elliot,
ang pinakamahusay na mga pagtataya para sa paggalaw ng American Dow Jones index.

Ang batayan ng teorya ay ang tinatawag na wave diagram. Ang alon ay
nakikitang paggalaw ng presyo. Pagsunod sa mga tuntunin ng pag-unlad ng masa
sikolohikal na pag-uugali, ang lahat ng paggalaw ng presyo ay nahahati sa limang alon sa
direksyon ng mas malakas na takbo, at tatlong alon sa kabaligtaran na direksyon
direksyon. Halimbawa, sa kaso ng isang nangingibabaw na kalakaran, makikita natin ang lima
kumakaway kapag tumaas ang presyo at tatlo - kapag gumagalaw (nagwawasto) pababa.

Upang ipahiwatig ang isang limang-wave na trend, ang mga numero ay ginagamit at para sa
ang kabaligtaran ng tatlong-alon - mga titik. Ang bawat isa sa limang paggalaw ng alon
tinatawag na salpok, at bawat isa sa tatlong-nanalo - corrective. Kaya
bawat isa sa mga alon 1,3,5, A at C ay salpok, at 2,4, at B -
pagwawasto.

kanin. 7 Elliott Wave Chart

Si Elliot ay isa sa mga unang malinaw na tinukoy ang pagpapatakbo ng Geometry
Fractal sa kalikasan, sa kasong ito - sa tsart ng presyo. Siya
Iminungkahi na sa bawat isa sa ipinakita lamang na salpok at
Ang corrective waves ay isa ring Elliot wave chart.
Sa turn, ang mga alon na iyon ay maaari ding mabulok sa mga bahagi, at iba pa
Dagdag pa. Kaya inilapat ni Elliot ang teorya ng fractals sa decomposition
trend sa mas maliit at mas naiintindihan na mga bahagi. Kaalaman sa mga bahaging ito sa higit pa
mas maliit na sukat kaysa sa pinakamalaking waveform ay mahalaga dahil
na ang mga mangangalakal (pinansyal na mga kalahok sa merkado), alam kung saang bahagi
mga chart kung nasaan sila, may kumpiyansa na makakapagbenta ng mga securities kapag
magsisimula ang isang corrective wave at dapat bilhin ang mga ito kapag nagsimula na ito
impulse wave.

Fig.8 Fractal na istraktura ng Elliott diagram

MGA NUMERO NG FIBONACCCI AT MGA KATANGIAN NG WAVE

Unang nagkaroon ng ideya si Ralph Elliot na gumamit ng pagkakasunod-sunod ng numero
Fibonacci para sa paggawa ng mga pagtataya sa loob ng balangkas ng teknikal na pagsusuri. Sa
gamit ang mga numero at coefficient ng Fibonacci, maaari mong hulaan ang haba
bawat alon at ang oras ng pagkumpleto nito. Nang hindi ginalaw ang isyu ng oras,
Bumaling tayo sa pinakakaraniwang ginagamit na mga panuntunan para sa pagtukoy ng haba
Kumakaway si Elliot. Sa haba, sa kasong ito, ang ibig naming sabihin
pagtaas o pagbaba ng presyo.

mga impulse wave.

Ang wave 3 ay karaniwang may haba na 1.618 ng wave 1, mas madalas - katumbas ng
kanya.

Dalawa sa mga impulse wave ay kadalasang magkapareho ang haba, kadalasang waves 5
at 1. Karaniwang nangyayari ito kung ang wavelength 3 ay mas mababa sa 1.618
haba ng daluyong 1.

Kadalasan mayroong isang ratio kung saan ang wavelength 5 ay katumbas ng 0.382
o 0.618 ang distansyang nilakbay ng presyo mula sa simula ng wave 1 hanggang sa katapusan
alon 3.

Mga pagwawasto

Ang mga haba ng corrective wave ay bumubuo ng isang tiyak na koepisyent
Fibonacci mula sa haba ng nakaraang impulse wave. Alinsunod sa
sa pamamagitan ng alternation rule, ang wave 2 at 4 ay dapat magpalit-palit sa porsyento
ratio. Ang pinakakaraniwang halimbawa ay ang sumusunod:
Ang wave 2 ay 61.8% ng wave 1, habang ang wave 4 ay maaaring
38.2% o 50% lang ng wave 3.

KONGKLUSYON

Sa ating gawain, hindi lahat ng larangan ng kaalaman ng tao ay ibinibigay,
kung saan natagpuan ng teorya ng fractals ang aplikasyon nito. Yan lang ang gusto naming sabihin
hindi hihigit sa isang katlo ng isang siglo ang lumipas mula nang lumitaw ang teorya, ngunit para dito
time fractals para sa maraming mga mananaliksik ay naging isang biglaang maliwanag na liwanag
sa mga gabing nagpapaliwanag hanggang ngayon hindi kilalang mga katotohanan at mga pattern sa
tiyak na mga lugar ng data. Ang paggamit ng teorya ng fractals ay nagsimulang magpaliwanag
ang ebolusyon ng mga kalawakan at ang pag-unlad ng cell, ang paglitaw ng mga bundok at ang pagbuo
ulap, ang paggalaw ng mga presyo sa stock exchange at ang pag-unlad ng lipunan at pamilya. Siguro
marahil sa una ang pagkahilig para sa fractals ay kahit na masyadong
mabagyo at pagtatangkang ipaliwanag ang lahat gamit ang teorya ng fractals ay
hindi makatwiran. Ngunit, walang duda, ang teoryang ito ay may karapatan na
pag-iral, at ikinalulungkot namin na kamakailan lamang ay nakalimutan na ito
at nanatiling kapalaran ng napili. Sa paghahanda ng gawaing ito, kami
Ito ay napaka-interesante upang mahanap ang mga aplikasyon ng TEORY sa PRACTICE. kasi
Kadalasan mayroong isang pakiramdam na ang teoretikal na kaalaman ay nasa
malayo sa totoong buhay.

Sa pagtatapos ng aming trabaho, nais naming magdala ng masigasig na mga salita
ninong ng fractal theory, Benoit Mandelbrot: "Ang geometry ng kalikasan
fractal! Sa ngayon, parang matapang at walang katotohanan
ang tanyag na tandang ni G. Galileo: “Ngunit umiikot pa rin ito!” noong XVI
siglo.

LISTAHAN NG MGA GINAMIT NA PINAGMULAN

Sheipak ​​​​I.A. Fractals, graftals, bushes... //Chemistry and Life. 1996 №6

Pag-unawa sa kaguluhan //Chemistry at buhay. 1992 №8

Erlich A. Teknikal na pagsusuri ng mga kalakal at pamilihan ng sapi, M: Infra-M, 1996

Mga materyales mula sa Internet.

Ang Fibonacci sequence - isang sequence na iminungkahi noong 1202
ng medieval mathematician na si Leonardo Fibonacci. Tumutukoy sa mga species
pagbalik ng mga sequence. a1=1, a2=1, ai=ai-1+ai-2.
Fibonacci coefficients - ang quotient ng paghahati ng dalawang magkalapit na termino
Fibonacci sequence: K1=ai/ai-1=1.618,

K2=ai-1/ai=0.618. Ang mga coefficient na ito ay ang tinatawag na
"gintong seksyon".

presyo ng pagbabahagi

tsart ng presyo ng stock

Kadalasan, ang mga makikinang na pagtuklas na ginawa sa agham ay maaaring radikal na magbago ng ating buhay. Kaya, halimbawa, ang pag-imbento ng isang bakuna ay maaaring magligtas ng maraming tao, at ang paglikha ng isang bagong sandata ay humahantong sa pagpatay. Literal na kahapon (sa sukat ng kasaysayan) ang isang tao ay "pinaamo" ng kuryente, at ngayon ay hindi na niya maiisip ang kanyang buhay kung wala ito. Gayunpaman, mayroon ding mga naturang pagtuklas na, tulad ng sinasabi nila, ay nananatili sa mga anino, at sa kabila ng katotohanan na mayroon din silang ilang impluwensya sa ating buhay. Isa sa mga natuklasang ito ay ang fractal. Karamihan sa mga tao ay hindi pa nakarinig ng ganitong konsepto at hindi maipaliwanag ang kahulugan nito. Sa artikulong ito, susubukan naming harapin ang tanong kung ano ang isang fractal, isaalang-alang ang kahulugan ng terminong ito mula sa pananaw ng agham at kalikasan.

Order sa kaguluhan

Upang maunawaan kung ano ang fractal, dapat simulan ng isa ang debriefing mula sa posisyon ng matematika, gayunpaman, bago pag-aralan ito, pilosopiya namin ng kaunti. Ang bawat tao ay may likas na pagkamausisa, salamat sa kung saan natutunan niya ang mundo sa paligid niya. Kadalasan, sa kanyang pagnanais para sa kaalaman, sinusubukan niyang gumana nang may lohika sa kanyang mga paghatol. Kaya, ang pag-aaral ng mga proseso na nagaganap sa paligid, sinusubukan niyang kalkulahin ang mga relasyon at kumuha ng ilang mga pattern. Ang pinakamalaking isip sa planeta ay abala sa paglutas ng mga problemang ito. Sa halos pagsasalita, ang aming mga siyentipiko ay naghahanap ng mga pattern kung saan sila ay hindi, at hindi dapat. Gayunpaman, kahit na sa kaguluhan ay may koneksyon sa pagitan ng ilang mga kaganapan. Ang koneksyon na ito ay ang fractal. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang sirang sanga na nakahiga sa kalsada. Kung titingnan natin itong mabuti, makikita natin na ito, kasama ang lahat ng mga sanga at buhol nito, ay tila isang puno. Ang pagkakatulad na ito ng isang hiwalay na bahagi na may isang solong kabuuan ay nagpapatotoo sa tinatawag na prinsipyo ng recursive self-similarity. Ang mga fractals sa kalikasan ay matatagpuan sa lahat ng oras, dahil maraming mga inorganic at organic na anyo ang nabuo sa katulad na paraan. Ito ay mga ulap, at mga shell ng dagat, at mga shell ng snail, at mga korona ng puno, at maging ang sistema ng sirkulasyon. Ang listahang ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan. Ang lahat ng mga random na hugis ay madaling inilarawan ng fractal algorithm. Dito natin napag-isipan kung ano ang fractal mula sa pananaw ng mga eksaktong agham.

Ilang tuyong katotohanan

Ang salitang "fractal" mismo ay isinalin mula sa Latin bilang "partial", "divided", "fragmented", at kung tungkol sa nilalaman ng terminong ito, walang mga salita na tulad nito. Kadalasan ito ay itinuturing bilang isang self-similar set, isang bahagi ng kabuuan, na inuulit ng istraktura nito sa micro level. Ang terminong ito ay nilikha noong dekada setenta ng ikadalawampu siglo ni Benoit Mandelbrot, na kinikilala bilang ama. Ngayon, ang konsepto ng fractal ay nangangahulugan ng isang graphic na representasyon ng isang tiyak na istraktura, na, kapag pinalaki, ay magiging katulad sa sarili nito. Gayunpaman, ang matematikal na batayan para sa paglikha ng teoryang ito ay inilatag bago pa man ang kapanganakan ni Mandelbrot mismo, ngunit hindi ito maaaring umunlad hanggang sa lumitaw ang mga elektronikong kompyuter.

Makasaysayang sanggunian, o Paano nagsimula ang lahat

Sa pagliko ng ika-19 at ika-20 siglo, ang pag-aaral ng kalikasan ng mga fractals ay episodiko. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga mathematician ay ginustong pag-aralan ang mga bagay na maaaring siyasatin batay sa pangkalahatang mga teorya at pamamaraan. Noong 1872, ang German mathematician na si K. Weierstrass ay gumawa ng isang halimbawa ng tuluy-tuloy na function na wala saanman naiba. Gayunpaman, ang konstruksiyon na ito ay naging ganap na abstract at mahirap maunawaan. Sumunod ay dumating ang Swede na si Helge von Koch, na noong 1904 ay nagtayo ng tuluy-tuloy na kurba na walang tangent kahit saan. Ito ay medyo madali upang gumuhit, at, tulad ng nangyari, ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga katangian ng fractal. Ang isa sa mga variant ng curve na ito ay pinangalanan sa may-akda nito - "Koch's snowflake". Dagdag pa, ang ideya ng pagkakatulad sa sarili ng mga numero ay binuo ng hinaharap na tagapagturo ng B. Mandelbrot, ang Pranses na si Paul Levy. Noong 1938 inilathala niya ang papel na "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like a Whole". Sa loob nito, inilarawan niya ang isang bagong species - ang Levy C-curve. Ang lahat ng mga figure sa itaas ay may kondisyon na tumutukoy sa isang form bilang geometric fractals.

Dynamic o algebraic fractals

Ang Mandelbrot set ay kabilang sa klase na ito. Ang mga Pranses na matematiko na sina Pierre Fatou at Gaston Julia ang naging unang mga mananaliksik sa direksyong ito. Noong 1918, inilathala ni Julia ang isang papel batay sa pag-aaral ng mga pag-ulit ng mga rational complex function. Dito niya inilarawan ang isang pamilya ng mga fractals na malapit na nauugnay sa set ng Mandelbrot. Sa kabila ng katotohanan na ang gawaing ito ay niluwalhati ang may-akda sa mga mathematician, mabilis itong nakalimutan. At kalahating siglo lamang ang lumipas, salamat sa mga computer, ang trabaho ni Julia ay nakatanggap ng pangalawang buhay. Ginawang posible ng mga computer na ipakita sa bawat tao ang kagandahan at kayamanan ng mundo ng mga fractal na "makikita" ng mga mathematician sa pamamagitan ng pagpapakita sa kanila sa pamamagitan ng mga function. Si Mandelbrot ang unang gumamit ng computer para magsagawa ng mga kalkulasyon (imposibleng manu-manong magsagawa ng ganoong dami) na naging posible upang bumuo ng isang imahe ng mga figure na ito.

Lalaking may spatial na imahinasyon

Sinimulan ni Mandelbrot ang kanyang siyentipikong karera sa IBM Research Center. Ang pag-aaral ng mga posibilidad ng paghahatid ng data sa mahabang distansya, ang mga siyentipiko ay nahaharap sa katotohanan ng malalaking pagkalugi na lumitaw dahil sa pagkagambala sa ingay. Si Benoit ay naghahanap ng mga paraan upang malutas ang problemang ito. Sa pagtingin sa mga resulta ng pagsukat, iginuhit niya ang pansin sa isang kakaibang pattern, ibig sabihin: pareho ang hitsura ng mga graph ng ingay sa iba't ibang sukat ng oras.

Ang isang katulad na larawan ay naobserbahan kapwa para sa isang panahon ng isang araw, at para sa pitong araw, o para sa isang oras. Si Benoit Mandelbrot mismo ay madalas na paulit-ulit na hindi siya gumagana sa mga formula, ngunit naglalaro ng mga larawan. Ang siyentipikong ito ay nakikilala sa pamamagitan ng mapanlikhang pag-iisip, isinalin niya ang anumang algebraic na problema sa isang geometric na lugar, kung saan ang tamang sagot ay halata. Kaya't hindi nakakagulat, nakilala ng mayayaman at naging ama ng fractal geometry. Pagkatapos ng lahat, ang kamalayan ng figure na ito ay maaaring dumating lamang kapag pinag-aralan mo ang mga guhit at iniisip ang kahulugan ng mga kakaibang swirl na ito na bumubuo sa pattern. Ang mga guhit ng fractal ay walang magkaparehong elemento, ngunit magkapareho sila sa anumang sukat.

Julia - Mandelbrot

Ang isa sa mga unang guhit ng figure na ito ay isang graphic na interpretasyon ng set, na ipinanganak salamat sa gawain ni Gaston Julia at tinapos ni Mandelbrot. Sinusubukang isipin ni Gaston kung ano ang hitsura ng isang set kapag ito ay binuo mula sa isang simpleng formula na inuulit ng isang feedback loop. Subukan nating ipaliwanag kung ano ang sinabi sa wika ng tao, wika nga, sa mga daliri. Para sa isang partikular na numerical value, gamit ang formula, makakahanap kami ng bagong value. Pinapalitan namin ito sa formula at hanapin ang sumusunod. Malaki ang resulta. Upang kumatawan sa naturang set, kailangan mong gawin ang operasyong ito nang maraming beses: daan-daan, libo-libo, milyon-milyon. Ito ang ginawa ni Benoit. Pinoproseso niya ang pagkakasunud-sunod at inilipat ang mga resulta sa graphical na anyo. Kasunod nito, kinulayan niya ang nagresultang figure (bawat kulay ay tumutugma sa isang tiyak na bilang ng mga pag-ulit). Ang graphic na imaheng ito ay tinatawag na Mandelbrot fractal.

L. Carpenter: sining na nilikha ng kalikasan

Ang teorya ng fractals ay mabilis na nakahanap ng praktikal na aplikasyon. Dahil ito ay napakalapit na nauugnay sa visualization ng mga larawang magkatulad sa sarili, ang unang nagpatibay ng mga prinsipyo at algorithm para sa pagbuo ng mga hindi pangkaraniwang anyo na ito ay mga artista. Ang una sa mga ito ay ang magiging tagapagtatag ng Pixar studio na si Lauren Carpenter. Habang nagtatrabaho sa pagtatanghal ng mga prototype ng sasakyang panghimpapawid, nakaisip siya ng ideya na gamitin ang imahe ng mga bundok bilang background. Ngayon, halos lahat ng gumagamit ng computer ay maaaring makayanan ang ganoong gawain, at noong dekada ikapitumpu ng huling siglo, ang mga computer ay hindi nagawa ang mga naturang proseso, dahil walang mga graphic editor at mga aplikasyon para sa tatlong-dimensional na mga graphics sa oras na iyon. Nakita ni Loren ang Mandelbrot's Fractals: Shape, Randomness, at Dimension. Sa loob nito, nagbigay si Benois ng maraming mga halimbawa, na nagpapakita na mayroong mga fractals sa kalikasan (fiva), inilarawan niya ang kanilang iba't ibang anyo at pinatunayan na madali silang inilarawan ng mga ekspresyong matematika. Binanggit ng mathematician ang pagkakatulad na ito bilang isang argumento para sa pagiging kapaki-pakinabang ng teorya na kanyang binuo bilang tugon sa isang magulo ng kritisismo mula sa kanyang mga kasamahan. Nagtalo sila na ang isang fractal ay isang magandang larawan na walang halaga, isang by-product ng mga electronic machine. Nagpasya ang karpintero na subukan ang pamamaraang ito sa pagsasanay. Ang pagkakaroon ng maingat na pag-aaral ng libro, ang hinaharap na animator ay nagsimulang maghanap ng isang paraan upang ipatupad ang fractal geometry sa mga computer graphics. Tatlong araw lang ang inabot niya para makapagbigay ng ganap na makatotohanang larawan ng landscape ng bundok sa kanyang computer. At ngayon ang prinsipyong ito ay malawakang ginagamit. Tulad ng nangyari, ang paglikha ng mga fractals ay hindi nangangailangan ng maraming oras at pagsisikap.

Solusyon ng karpintero

Simple lang pala ang prinsipyong ginamit ni Lauren. Binubuo ito sa paghahati ng mas malaki sa mas maliliit na elemento, at sa mga katulad na mas maliit, at iba pa. Ang karpintero, gamit ang malalaking tatsulok, ay dinurog ang mga ito sa 4 na maliliit, at iba pa, hanggang sa makakuha siya ng makatotohanang tanawin ng bundok. Kaya, siya ang naging unang artist na nag-aplay ng fractal algorithm sa computer graphics upang bumuo ng kinakailangang imahe. Ngayon, ang prinsipyong ito ay ginagamit upang gayahin ang iba't ibang makatotohanang natural na anyo.

Ang unang 3D visualization batay sa fractal algorithm

Pagkalipas ng ilang taon, inilapat ni Lauren ang kanyang trabaho sa isang malakihang proyekto - isang animated na video na Vol Libre, na ipinakita sa Siggraph noong 1980. Ang video na ito ay nagulat sa marami, at ang lumikha nito ay inimbitahan na magtrabaho sa Lucasfilm. Dito, ganap na napagtanto ng animator ang kanyang sarili, lumikha siya ng mga three-dimensional na landscape (ang buong planeta) para sa tampok na pelikulang "Star Trek". Anumang modernong programa ("Fractals") o application para sa paglikha ng tatlong-dimensional na graphics (Terragen, Vue, Bryce) ay gumagamit ng parehong algorithm para sa pagmomodelo ng mga texture at surface.

Tom Beddard

Isang dating laser physicist at ngayon ay digital artist at artist, si Beddard ay lumikha ng isang serye ng mga nakakaintriga na geometric na hugis na tinawag niyang Faberge's fractals. Sa panlabas, sila ay kahawig ng mga pandekorasyon na itlog ng isang Ruso na alahero, mayroon silang parehong makinang na masalimuot na pattern. Gumamit si Beddard ng paraan ng template para gawin ang kanyang mga digital rendering ng mga modelo. Ang mga resultang produkto ay kapansin-pansin sa kanilang kagandahan. Bagaman marami ang tumatangging ihambing ang isang produktong gawa sa kamay sa isang computer program, dapat tanggapin na ang mga resultang anyo ay hindi pangkaraniwang maganda. Ang highlight ay ang sinuman ay maaaring bumuo ng tulad ng isang fractal gamit ang WebGL software library. Pinapayagan ka nitong galugarin ang iba't ibang mga fractal na istruktura sa real time.

fractals sa kalikasan

Ilang tao ang nagbibigay-pansin, ngunit ang mga kamangha-manghang figure na ito ay nasa lahat ng dako. Ang kalikasan ay binubuo ng magkatulad na pigura, hindi lang natin ito napapansin. Ito ay sapat na upang tumingin sa pamamagitan ng isang magnifying glass sa ating balat o isang dahon ng isang puno, at makikita natin ang mga fractals. O kunin, halimbawa, isang pinya o kahit isang buntot ng paboreal - binubuo sila ng magkatulad na mga pigura. At ang iba't ibang Romanescu broccoli ay karaniwang kapansin-pansin sa hitsura nito, dahil maaari itong tunay na tinatawag na isang himala ng kalikasan.

Paghinto ng musika

Lumalabas na ang mga fractals ay hindi lamang mga geometric na hugis, maaari rin silang maging mga tunog. Kaya, ang musikero na si Jonathan Colton ay nagsusulat ng musika gamit ang mga fractal algorithm. Sinasabi niya na tumutugma sa natural na pagkakaisa. Inilalathala ng kompositor ang lahat ng kanyang mga gawa sa ilalim ng lisensyang CreativeCommons Attribution-Noncommercial, na nagbibigay ng libreng pamamahagi, pagkopya, paglilipat ng mga gawa ng ibang tao.

Fractal indicator

Ang diskarteng ito ay nakahanap ng isang hindi inaasahang aplikasyon. Sa batayan nito, nilikha ang isang tool para sa pagsusuri ng stock exchange market, at, bilang resulta, nagsimula itong gamitin sa merkado ng Forex. Ngayon ang fractal indicator ay matatagpuan sa lahat ng mga trading platform at ginagamit sa isang trading technique na tinatawag na price breakout. Binuo ni Bill Williams ang pamamaraang ito. Tulad ng komento ng may-akda sa kanyang imbensyon, ang algorithm na ito ay isang kumbinasyon ng ilang "kandila", kung saan ang gitnang isa ay sumasalamin sa maximum o, sa kabaligtaran, ang pinakamababang extreme point.

Sa wakas

Kaya't isinaalang-alang namin kung ano ang isang fractal. Lumalabas na sa kaguluhang nakapaligid sa atin, sa katunayan, may mga perpektong anyo. Ang kalikasan ang pinakamahusay na arkitekto, ang perpektong tagabuo at inhinyero. Nakaayos ito nang napaka-lohikal, at kung hindi natin mahanap ang isang pattern, hindi ito nangangahulugan na wala ito. Siguro kailangan mong tumingin sa ibang sukat. Masasabi nating may kumpiyansa na ang mga fractals ay nagtatago pa rin ng maraming sikreto na hindi pa natin natutuklasan.

Kumusta kayong lahat! Ang pangalan ko ay, Ribenek Valeriya, Ulyanovsk at ngayon ay magpo-post ako ng ilan sa aking mga siyentipikong artikulo sa website ng LCI.

Ang aking unang siyentipikong artikulo sa blog na ito ay ilalaan sa fractals. Sasabihin ko kaagad na ang aking mga artikulo ay idinisenyo para sa halos anumang madla. Yung. Umaasa ako na magiging interesado sila sa mga mag-aaral at mag-aaral.

Kamakailan ay nalaman ko ang tungkol sa mga kagiliw-giliw na bagay ng mundo ng matematika bilang mga fractals. Ngunit umiiral ang mga ito hindi lamang sa matematika. Pinapalibutan nila kami kahit saan. Ang mga fractal ay natural. Tungkol sa kung ano ang mga fractals, tungkol sa mga uri ng fractals, tungkol sa mga halimbawa ng mga bagay na ito at ang kanilang aplikasyon, sasabihin ko sa artikulong ito. Upang magsimula, sasabihin ko sa iyo kung ano ang fractal.

Fractal(lat. fractus - durog, sira, sira) ay isang kumplikadong geometric figure na may pag-aari ng pagkakatulad sa sarili, iyon ay, ito ay binubuo ng ilang mga bahagi, na ang bawat isa ay katulad ng buong pigura sa kabuuan. Sa mas malawak na kahulugan, ang mga fractals ay nauunawaan bilang mga hanay ng mga punto sa Euclidean space na mayroong fractional metric na dimensyon (sa kahulugan ng Minkowski o Hausdorff), o isang sukatan na dimensyon maliban sa topological. Halimbawa, maglalagay ako ng larawan ng apat na magkakaibang fractals.

Hayaan akong sabihin sa iyo ng kaunti tungkol sa kasaysayan ng fractals. Ang mga konsepto ng fractal at fractal geometry, na lumitaw noong huling bahagi ng 70s, ay matatag na pumasok sa pang-araw-araw na buhay ng mga mathematician at programmer mula noong kalagitnaan ng 80s. Ang salitang "fractal" ay ipinakilala ni Benoit Mandelbrot noong 1975 upang sumangguni sa hindi regular ngunit magkatulad na mga istruktura na kanyang pinag-aralan. Ang pagsilang ng fractal geometry ay karaniwang nauugnay sa publikasyon noong 1977 ng aklat ni Mandelbrot na The Fractal Geometry of Nature. Ginamit ng kanyang mga gawa ang siyentipikong resulta ng iba pang mga siyentipiko na nagtrabaho sa panahon ng 1875-1925 sa parehong larangan (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Ngunit sa ating panahon lamang posible na pagsamahin ang kanilang trabaho sa isang solong sistema.

Maraming mga halimbawa ng fractals, dahil, tulad ng sinabi ko, pinalilibutan nila tayo kahit saan. Sa aking opinyon, kahit na ang ating buong Uniberso ay isang malaking fractal. Pagkatapos ng lahat, ang lahat ng nasa loob nito, mula sa istraktura ng atom hanggang sa istraktura ng Uniberso mismo, ay eksaktong umuulit sa bawat isa. Ngunit mayroong, siyempre, mas tiyak na mga halimbawa ng mga fractal mula sa iba't ibang lugar. Fractals, halimbawa, ay naroroon sa kumplikadong dinamika. Doon sila ay natural na lumilitaw sa pag-aaral ng nonlinear mga dynamic na sistema. Ang pinaka-pinag-aralan na kaso ay kapag ang dynamical system ay tinukoy sa pamamagitan ng mga pag-ulit polinomyal o holomorphic function ng isang complex ng mga variable sa ibabaw. Ang ilan sa mga pinakatanyag na fractals ng ganitong uri ay ang Julia set, ang Mandelbrot set at ang Newton basin. Sa ibaba, sa pagkakasunud-sunod, ipinapakita ng mga larawan ang bawat isa sa mga fractals sa itaas.

Ang isa pang halimbawa ng fractal ay fractal curves. Pinakamainam na ipaliwanag kung paano bumuo ng isang fractal gamit ang halimbawa ng mga fractal curves. Ang isa sa gayong kurba ay ang tinatawag na Koch Snowflake. Mayroong isang simpleng pamamaraan para sa pagkuha ng mga fractal curves sa isang eroplano. Tinutukoy namin ang isang di-makatwirang putol na linya na may limitadong bilang ng mga link, na tinatawag na generator. Susunod, pinapalitan namin ang bawat segment dito ng isang generator (mas tiyak, isang sirang linya na katulad ng isang generator). Sa nagresultang sirang linya, muli naming pinapalitan ang bawat segment ng generator. Sa pagpapatuloy sa infinity, sa limitasyon ay nakakakuha tayo ng fractal curve. Ang ipinapakita sa ibaba ay isang Koch snowflake (o curve).

Mayroon ding maraming fractal curves. Ang pinakasikat sa kanila ay ang nabanggit na Koch Snowflake, gayundin ang Levy curve, ang Minkowski curve, ang sirang Dragon, ang Piano curve at ang Pythagorean tree. Ang isang imahe ng mga fractals na ito at ang kanilang kasaysayan, sa tingin ko, kung gusto mo, madali mong mahahanap sa Wikipedia.

Ang ikatlong halimbawa o uri ng fractals ay stochastic fractals. Ang nasabing mga fractals ay kinabibilangan ng trajectory ng Brownian motion sa isang eroplano at sa espasyo, Schramm-Löwner evolutions, iba't ibang uri ng randomized fractals, iyon ay, fractals na nakuha gamit ang isang recursive procedure, kung saan ang isang random na parameter ay ipinakilala sa bawat hakbang.

Mayroon ding mga purong mathematical fractals. Ito ay, halimbawa, ang Cantor set, ang Menger sponge, ang Sierpinski triangle, at iba pa.

Ngunit marahil ang pinaka-kagiliw-giliw na mga fractal ay mga natural. Ang mga natural na fractal ay mga bagay sa kalikasan na may mga katangian ng fractal. At mayroon nang isang malaking listahan. Hindi ko ilista ang lahat, dahil, marahil, hindi ko mailista ang lahat ng mga ito, ngunit sasabihin ko ang tungkol sa ilan. Halimbawa, sa buhay na kalikasan, kabilang sa mga fractals ang ating circulatory system at baga. At gayundin ang mga korona at dahon ng mga puno. Dito rin maaari mong isama ang starfish, sea urchin, corals, sea shell, ilang halaman, tulad ng repolyo o broccoli. Sa ibaba, malinaw na ipinapakita ang ilang mga natural na fractal mula sa wildlife.

Kung isasaalang-alang natin ang walang buhay na kalikasan, kung gayon mayroong mas kawili-wiling mga halimbawa kaysa sa buhay na kalikasan. Kidlat, mga snowflake, mga ulap, na kilala ng lahat, mga pattern sa mga bintana sa mga araw na mayelo, mga kristal, mga hanay ng bundok - lahat ng ito ay mga halimbawa ng mga natural na fractal mula sa walang buhay na kalikasan.

Isinaalang-alang namin ang mga halimbawa at uri ng fractal. Kung tungkol sa paggamit ng fractals, ginagamit ang mga ito sa iba't ibang larangan ng kaalaman. Sa physics, natural na umusbong ang mga fractals kapag nagmomodelo ng mga nonlinear na proseso, tulad ng magulong daloy ng fluid, kumplikadong proseso ng diffusion-adsorption, apoy, ulap, atbp. Ginagamit ang mga fractals kapag nagmomodelo ng mga porous na materyales, halimbawa, sa petrochemistry. Sa biology, ginagamit ang mga ito upang magmodelo ng mga populasyon at upang ilarawan ang mga sistema ng mga panloob na organo (sistema ng mga daluyan ng dugo). Matapos ang paglikha ng Koch curve, iminungkahi na gamitin ito sa pagkalkula ng haba ng baybayin. Gayundin, ang mga fractals ay aktibong ginagamit sa radio engineering, sa computer science at computer technology, telekomunikasyon at maging sa ekonomiya. At, siyempre, ang fractal vision ay aktibong ginagamit sa kontemporaryong sining at arkitektura. Narito ang isang halimbawa ng fractal painting:

At kaya, sa tingin ko upang makumpleto ang aking kuwento tungkol sa isang hindi pangkaraniwang mathematical phenomenon bilang isang fractal. Ngayon natutunan namin ang tungkol sa kung ano ang fractal, paano ito lumitaw, tungkol sa mga uri at halimbawa ng fractal. At nakipag-usap din ako tungkol sa kanilang aplikasyon at malinaw na ipinakita ang ilan sa mga fractals. Sana ay nasiyahan ka sa maikling iskursiyon na ito sa mundo ng mga kamangha-manghang at nakakabighaning mga fractal na bagay.