Abstract ng mga lektura sa disiplina na "Teorya ng mga random na proseso"
PAKSA 1. MGA BATAYANG KONSEPTO NG TEORYA NG MGA RANDOM NA PROSESO 2
1.1. Kahulugan ng isang random na proseso. Mga pangunahing diskarte sa gawain ng mga random na proseso. Ang konsepto ng pagsasakatuparan at seksyon. Mga random na proseso sa elementarya. 2
1.2. Ilang klase at uri ng random na proseso 3
PAKSA 2. MGA ELEMENTO NG TEORYA NG KAUGNAY NG MGA RANDOM NA PROSESO 4
2.1. Ang konsepto ng teorya ng ugnayan ng mga random na proseso 4
2.2. Pag-asa sa matematika at pagkakaiba-iba ng isang random na proseso. Pamantayang paglihis 5
2.3. Correlation function ng isang random na proseso at mga katangian nito. Normalized na pag-andar ng ugnayan 5
2.4. Cross-correlation function at normalized cross-correlation function ng dalawang random na proseso 6
2.5 Mga probabilistikong katangian ng kabuuan ng dalawang random na variable 6
PAKSA 3. MGA ELEMENTO NG RANDOM ANALYSIS 7
3.1. Convergence at pagpapatuloy 7
3.2. Derivative ng isang random na proseso at mga katangian nito 8
3.3. Ang integral ng isang random na proseso at ang mga katangian nito 9
PAKSA 4. MGA CANONICAL EXPANSION NG RANDOM PROCESSES 10
4.1. Ang konsepto ng canonical decomposition ng isang random na proseso 10
4.2. Ang konsepto ng isang pangkalahatang function. Ang Dirac delta function. Integral na canonical na representasyon ng mga random na proseso. labing-isa
4.3. Linear at non-linear na pagbabago ng mga random na proseso 12
KABANATA 5. STATIONARY RANDOM PROCESSES 14
5.1. Ang konsepto ng isang nakatigil na random na proseso. Katatagan sa makitid at malawak na pandama 14
5.2 Mga katangian ng probabilistikong katangian ng isang nakatigil na random na proseso 15
5.3. Nakatigil na pinagsama-samang mga random na proseso. Derivative at integral ng isang nakatigil na random na proseso 15
5.4. Ergodic stationary random na proseso at ang kanilang mga katangian 16
5.5. Mga stream ng kaganapan 17
PAKSANG-ARALIN 6. MGA TINAWING MARKOV 19
6.1. Mga tanikala ng Markov. labinsiyam
PAKSA 1. MGA BATAYANG KONSEPTO NG TEORYA NG MGA RANDOM NA PROSESO
1.1. Kahulugan ng isang random na proseso. Mga pangunahing diskarte sa gawain ng mga random na proseso. Ang konsepto ng pagsasakatuparan at seksyon. Mga random na proseso sa elementarya.
Ang isang random (stochastic, probabilistic) na proseso ay isang function ng isang tunay na variable t, ang mga halaga nito ay ang kaukulang random variable X(t).
Sa teorya ng mga random na proseso, ang t ay itinuturing bilang isang oras na kumukuha ng mga halaga mula sa ilang subset T ng hanay ng mga tunay na numero (t T, T R).
Sa balangkas ng classical mathematical analysis, ang function na y=f(t) ay nauunawaan bilang isang uri ng dependence ng mga variable t at y, kapag ang isang partikular na numerical value ng argument t ay tumutugma sa tanging numerical value ng function na y. . Para sa mga random na proseso, ang sitwasyon ay sa panimula ay naiiba: ang pagtatakda ng isang tiyak na argumento t ay humahantong sa paglitaw ng isang random na variable X(t) na may isang kilalang batas sa pamamahagi (kung ito ay isang discrete random variable) o may isang ibinigay na density ng pamamahagi (kung ito ay ay isang tuluy-tuloy na random na variable). Sa madaling salita, ang katangiang pinag-aaralan sa bawat sandali ng oras ay random sa kalikasan na may di-random na pamamahagi.
Ang mga halaga na kinukuha ng ordinaryong function na y=f(t) sa bawat sandali ng oras ay ganap na tinutukoy ang istraktura at mga katangian ng function na ito. Para sa mga random na proseso, ang sitwasyon ay naiiba: dito ito ay ganap na hindi sapat upang malaman ang pamamahagi ng random variable X(t) para sa bawat halaga ng t, ang impormasyon ay kinakailangan tungkol sa mga inaasahang pagbabago at ang kanilang mga probabilities, iyon ay, impormasyon tungkol sa antas ng pag-asa ng paparating na halaga ng random na proseso sa kasaysayan nito.
Ang pinaka-pangkalahatang diskarte sa paglalarawan ng mga random na proseso ay ang itakda ang lahat ng multivariate na distribusyon nito, kapag natukoy ang posibilidad ng mga sumusunod na kaganapan na nangyari nang sabay-sabay:
T1, t2,…,tn T, n N: X(ti)≤xi; i=1,2,…,n;
F(t1;t2;…;tn;x1;x2;…;xn)=P(X(t1)≤ x1; X(t2)≤x2;…; X(tn)≤xn).
Ang ganitong paraan ng paglalarawan ng mga random na proseso ay pangkalahatan, ngunit napakahirap. Upang makakuha ng mga makabuluhang resulta, ang pinakamahalagang mga espesyal na kaso ay pinili, na nagpapahintulot sa paggamit ng isang mas advanced na analytical apparatus. Sa partikular, maginhawang isaalang-alang ang random na proseso X(t, ω) bilang isang function ng dalawang variable: t T, ω Ω, na para sa anumang nakapirming halaga ng t T ay nagiging random variable na tinukoy sa probability space (Ω, A, P), kung saan Ω - non-empty set ng elementary events ω; Ang A ay ang σ-algebra ng mga subset ng set Ω, iyon ay, ang set ng mga kaganapan; Ang P ay isang sukatan ng posibilidad na tinukoy sa A.
Ang isang hindi random na numerical function na x(t)=X(t,ω0) ay tinatawag na realization (trajectory) ng random na proseso X(t, ω).
Ang cross section ng random na proseso X(t, ω) ay isang random variable na tumutugma sa value na t=t0.
Kung ang argumentong t ay kumukuha ng lahat ng tunay na halaga o lahat ng halaga mula sa ilang pagitan ng T ng totoong axis, kung gayon ang isa ay nagsasalita ng isang random na proseso na may tuluy-tuloy na oras. Kung t tumatagal lamang ng mga nakapirming halaga, ang isa ay nagsasalita ng isang random na proseso na may discrete time.
Kung ang cross section ng isang random na proseso ay isang discrete random variable, kung gayon ang naturang proseso ay tinatawag na isang proseso na may discrete states. Kung ang anumang seksyon ay isang tuluy-tuloy na random na variable, kung gayon ang random na proseso ay tinatawag na isang proseso na may tuluy-tuloy na mga estado.
Sa pangkalahatang kaso, ito ay analytically imposible upang tukuyin ang isang random na proseso. Ang pagbubukod ay ang tinatawag na elementarya na mga random na proseso, ang anyo nito ay kilala, at ang mga random na variable ay kasama bilang mga parameter:
X(t)=X(t,A1,…,An), kung saan ang Ai, i=1,…,n ay mga di-makatwirang random na variable na may partikular na distribusyon.
1.2. Ilang klase at uri ng random na proseso
1.1.1. Gaussian stochastic na mga proseso
Ang random na proseso X(t) ay tinatawag na Gaussian kung normal ang lahat ng finite-dimensional distribution nito, i.e.
t1, t2,…,tn T
random na vector
(X(t1); X(t2);...; X(tn))
ay may sumusunod na density ng pamamahagi:
Where ai=MX(ti); =M(X(ti)-ai)2; сij= M((X(ti)-ai)(X(tj)-aj)); ;
-algebraic na pandagdag ng elementong сij.
1.1.2. Mga random na proseso na may mga independiyenteng pagdaragdag
Ang isang random na proseso X(t) ay tinatawag na isang proseso na may mga independiyenteng pagdaragdag kung ang mga pagdagdag nito sa hindi magkakapatong na mga agwat ng oras ay hindi nakasalalay sa isa't isa:
t1, t2,…,tn T: t1 ≤t2 ≤…≤tn,
mga random na variable
X(t2)-X(t1); X(t3)-X(t2); …; X(tn)-X(tn-1)
malaya.
1.1.3. Random na mga proseso na may mga uncorrelated increments
Ang isang random na proseso X(t) ay tinatawag na isang proseso na may mga uncorrelated increments kung ang mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:
1) t T: МX2(t)< ∞;
2) t1, t2, t3, t4 T: t1 ≤t2 ≤ t3≤ t4: М((X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3)))=0.
1.1.4. Mga Nakatigil na Proseso ng Stochastic (tingnan ang Kabanata 5)
1.1.5. Markov stochastic na mga proseso
Kinulong namin ang aming sarili sa kahulugan ng isang random na proseso ng Markov na may mga discrete states at discrete time (Markov chain).
Hayaang ang system A ay nasa isa sa mga hindi tugmang estado A1; A2;…;An, at kasabay nito, ang probabilidad na Рij(s) na sa s-th test ang system ay pumasa mula sa state to state Aj ay hindi nakadepende sa state ng system sa mga pagsubok bago ang s-1st . Ang isang random na proseso ng ganitong uri ay tinatawag na Markov chain.
1.1.6. Mga random na proseso ng Poisson
Ang random na proseso X(t) ay tinatawag na Poisson process na may parameter a (a>0) kung mayroon itong mga sumusunod na katangian:
1) t T; Ang T= ay tinatawag na limitasyon sa rms sa λ→0 (n→0)
Mga integral na kabuuan kung saan si (ti; ti+1); λ=max(ti+1 - ti), i=0,…,n-1.
Theorem 4. Ang mathematical expectation ng integral ng isang random na proseso ay katumbas ng integral ng mathematical expectation nito: , .
Theorem 5. Ang correlation function ng integral ng random na proseso X(t) ay katumbas ng double integral ng correlation function nito: .
Theorem 6. Ang mutual correlation function ng random na proseso X(t) at ang integral nito ay katumbas ng integral ng correlation function ng random na proseso X(t):
PAKSA 4. MGA CANONICAL EXPANSION NG RANDOM PROCESSES
4.1. Ang konsepto ng canonical decomposition ng isang random na proseso
Ang random variable V ay tinatawag na centered kung ang mathematical expectation nito ay katumbas ng 0. Ang elementary centered random na proseso ay produkto ng isang centered random variable V at isang non-random function φ(t): X(t)=V φ(t ). Ang isang elementary centered random na proseso ay may mga sumusunod na katangian:
Expression ng form, kung saan φk(t), k=1;2;…-non-random functions; , k=1;2;… - uncorrelated centered random variable, ay tinatawag na canonical expansion ng random na proseso X(t), habang ang random variables ay tinatawag na coefficients ng canonical expansion; at mga di-random na function φk(t) - coordinate function ng canonical expansion.
Isaalang-alang ang mga katangian ng isang random na proseso
Dahil sa kondisyon
Malinaw, ang parehong random na proseso ay may iba't ibang uri ng canonical expansion depende sa pagpili ng mga function ng coordinate. Bukod dito, kahit na ang pagpili ng mga function ng coordinate ay naganap, mayroong arbitrariness sa pamamahagi ng mga random na variable Vк. Sa pagsasagawa, batay sa mga resulta ng mga eksperimento, ang mga pagtatantya ay nakuha para sa mathematical na inaasahan at ang function ng ugnayan: . Pagkatapos lumawak sa dobleng serye ng Fourier sa mga tuntunin ng mga function ng coordinate φк(t):
Kunin ang mga halaga ng mga pagpapakalat ng mga random na variable Vk.
4.2. Ang konsepto ng isang pangkalahatang function. Ang Dirac delta function. Integral na canonical na representasyon ng mga random na proseso.
Ang isang pangkalahatang function ay isang limitasyon ng isang sequence ng isang isang-parameter na pamilya ng mga tuluy-tuloy na function.
Ang Dirac delta function ay isang pangkalahatang function na nagreresulta mula sa pagpasa sa limitasyon sa sa pamilya ng mga function
Kabilang sa mga katangian ng -function, tandaan namin ang sumusunod:
1.
2.
3. Kung ang f(t) ay isang tuluy-tuloy na function, kung gayon
Random na proseso X(t), na ang correlation function ay may anyo ay tinatawag na non-stationary na "white noise". Kung W(t1)=W - const, pagkatapos ay Х(t)-stationary "white noise".
Tulad ng sumusunod mula sa kahulugan, walang dalawa, kahit na arbitraryong malapit, "white noise" na mga cross section ang magkakaugnay. Ang expression na W(t) ay tinatawag na "white noise" intensity.
Isang integral canonical representasyon ng isang random na proseso X(t) ay isang expression ng form kung saan ay isang random centered function; - hindi random na function ng tuluy-tuloy na mga argumento
Ang pag-andar ng ugnayan ng naturang random na proseso ay may anyo:
.
Maaari itong ipakita na mayroong isang hindi random na function G(λ) tulad na
Kung saan ang G(λ1) ay ang dispersion density; δ(x) - Dirac delta function. Nakukuha namin
Samakatuwid, ang pagkakaiba ng random na proseso X(t):
.
4.3. Mga Linear at Nonlinear na Pagbabago ng Mga Stochastic na Proseso
Ang sumusunod na problema ay isinasaalang-alang: ang isang "input signal" ay ibinibigay sa input ng system (device, converter) S, na may katangian ng isang random na proseso X(t). Kino-convert ito ng system sa isang "output signal" Y(t):
.
Pormal, ang pagbabago ng isang random na proseso X(t) sa Y(t) ay maaaring ilarawan gamit ang tinatawag na system operator Аt:
Y(t)=Sa(X(t)).
Ang index t ay nagpapahiwatig na ang operator na ito ay nagsasagawa ng pagbabago sa oras. Ang mga sumusunod na pormulasyon ng problema ng pagbabago ng isang random na proseso ay posible.
1. Ang mga batas sa pamamahagi o mga pangkalahatang katangian ng random na proseso X(t) sa input sa system S ay kilala, ang operator Аt ng system S ay ibinigay, ito ay kinakailangan upang matukoy ang batas sa pamamahagi o ang mga pangkalahatang katangian ng random na proseso Y(t) sa output ng system S.
2. Ang mga batas ng pamamahagi (pangkalahatang katangian) ng random na proseso X(t) at ang mga kinakailangan para sa random na proseso Y(t) ay kilala; kinakailangan upang matukoy ang anyo ng operator Аt ng system S na pinakamahusay na nakakatugon sa ibinigay na mga kinakailangan para sa Y(t).
3. Ang mga batas ng pamamahagi (pangkalahatang katangian) ng random na proseso Y(t) ay kilala at ang operator Аt ng system S ay ibinigay; ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga batas ng pamamahagi o pangkalahatang katangian ng random na proseso X(t).
Ang sumusunod na pag-uuri ng mga operator Аt ng system S ay tinatanggap:
Mga operator ng system
Linear L Nonlinear N
Linear homogeneous L0 Linear inhomogeneous Lн
1. Isaalang-alang ang epekto ng isang linear inhomogeneous system
Lн(...)=L0(…)+φ(t)
sa isang random na proseso X(t) na mayroong sumusunod na canonical expansion:
.
Nakukuha namin ang:
Ipakilala natin ang notasyon
Pagkatapos ang canonical decomposition ng Y(t) ay kumukuha ng anyo:
.
Pag-asa sa matematika ng isang random na proseso Y(t):
Correlation function ng random na proseso Y(t):
Kaya naman,
.
Sa kabila
Pagpapakalat ng random na proseso Y(t):
Sa pagtatapos ng seksyong ito, tandaan namin na ang mga operator ng pagkita ng kaibhan at pagsasama ng mga random na proseso ay linear homogenous.
2. Ang isang quadratic transformation ay isinasaalang-alang:
Y(t)=(X(t))2,
Ang mga random na variable na nakasentro sa Vk ay may simetriko sa pamamahagi tungkol sa zero; alinman sa apat sa kanila ay sama-samang independyente. Pagkatapos
Ipinakilala namin ang mga hindi random na function
At mga random na variable
Pagkatapos ang random na proseso na Y(t) ay kumukuha ng form
Ang isang canonical decomposition ng random na proseso Y(t) ay nakuha. Correlation function Y(t):
pagpapakalat:
KABANATA 5. STATIONARY RANDOM PROCESSES
5.1. Ang konsepto ng isang nakatigil na random na proseso. Stationarity sa makitid at malawak na pandama
Ang nakatigil (homogeneous sa oras) ay isang random na proseso, ang mga istatistikal na katangian na kung saan ay hindi nagbabago sa paglipas ng panahon, iyon ay, ang mga ito ay invariant na may paggalang sa mga pagbabago sa oras.
Nakikilala ang mga random na prosesong nakatigil sa malawak at makitid na kahulugan.
Ang isang nakatigil na random na proseso sa makitid na kahulugan ay isang random na proseso X(t), ang lahat ng mga probabilistikong katangian na hindi nagbabago sa paglipas ng panahon, iyon ay, upang ang kundisyon
F(t1; t2;… ;tn; x1; x2;…; xn)=F(t1+τ; t2+τ;… ;tn+τ; x1; x2;…; xn), at samakatuwid lahat ng n -dimensional ang mga distribusyon ay hindi nakadepende sa mga time point t1; t2;… ;tn, ngunit sa tagal ng mga pagitan ng oras τi:
Sa partikular, ang isang-dimensional na density ng pamamahagi ay hindi nakasalalay sa oras t sa lahat:
Dalawang-Dimensional na Densidad ng Seksyon sa Mga Oras t1 at t2
N-dimensional density ng mga seksyon sa oras t1; t2...; tn:
Ang isang random na proseso X(t) ay tinatawag na nakatigil sa isang malawak na kahulugan kung ang una at ikalawang pagkakasunud-sunod ng mga sandali nito ay invariant na may kinalaman sa time shift, iyon ay, ang mathematical expectation nito ay hindi nakadepende sa time t at ito ay pare-pareho, at ang correlation function. depende lamang sa haba ng agwat ng oras sa pagitan ng mga seksyon:
Malinaw na ang isang nakatigil na random na proseso sa makitid na kahulugan ay isang nakatigil na random na proseso din sa malawak na kahulugan; hindi totoo ang kabaligtaran.
5.2 Mga katangian ng probabilistikong katangian ng isang nakatigil na random na proseso
1.
3. Ang function ng ugnayan ng isang nakatigil na random na proseso ay pantay na:
4. Ang pagkakaiba ng isang nakatigil na random na proseso ay pare-parehong katumbas ng
ang halaga ng pag-andar ng ugnayan nito sa punto:
5.
6. Ang function ng ugnayan ng isang nakatigil na random na proseso ay
positibong tiyak, iyon ay
Ang normalized correlation function ng isang nakatigil na random na proseso ay pantay din, positibong tiyak, at, bukod dito,
5.3. Nakatigil na pinagsama-samang mga random na proseso. Derivative at integral ng isang nakatigil na random na proseso
Ang mga random na proseso X(t) at Y(t) ay tinatawag na nakatigil kung ang kanilang mutual correlation function ay nakasalalay lamang sa pagkakaiba ng mga argumento τ =t2-t1: RXY(t1;t2)=rXY(τ).
Ang stationarity ng mga random na proseso X(t) at Y(t) sa kanilang sarili ay hindi nangangahulugan ng kanilang nakatigil na koneksyon.
Pansinin namin ang mga pangunahing katangian ng mga nakatigil na random na proseso, ang hinango at integral ng mga nakatigil na random na proseso,
1) rXY(τ)=rYX(-τ).
2)
3)
4)
saan
5) saan
6) ;
5.4. Ergodic Stationary Stochastic na Proseso at Ang Kanilang Mga Katangian
Sa mga nakatigil na random na proseso, mayroong isang espesyal na klase ng mga proseso na tinatawag na ergodic, na may mga sumusunod na katangian: ang kanilang mga katangian na nakuha sa pamamagitan ng pag-average ng hanay ng lahat ng mga pagsasakatuparan ay nag-tutugma sa mga kaukulang katangian na nakuha sa pamamagitan ng pag-average sa paglipas ng panahon ng isang realisasyon na naobserbahan sa pagitan (0, T) ng isang sapat na mahabang tagal. Iyon ay, sa isang sapat na malaking agwat ng oras, ang anumang pagpapatupad ay dumadaan sa anumang estado, anuman ang paunang estado ng system ay nasa t=0; at sa ganitong diwa, ang anumang realisasyon ay ganap na kumakatawan sa buong hanay ng mga realisasyon.
Ergodic Birkhoff-Khinchin theorem
Para sa anumang nakatigil na random na proseso sa makitid na kahulugan X(t) na may hangganan na inaasahan sa matematika na may posibilidad na 1, mayroong limitasyon
para sa SSP na may tuloy-tuloy na oras,
para sa SSP na may discrete time.
Kung, bilang karagdagan, ang X(t) ay isang ergodic stationary random na proseso, kung gayon
Sa kondisyon ng theorem, ang conditional mathematical expectation ng random na proseso X(t) na may paggalang sa Jx; Ang Jx ay ang -algebra ng mga pangyayaring invariant na may kinalaman sa X(t); ang isang kaganapan A ay sinasabing invariant sa ilalim ng X(t) kung ang B ay tulad na A=(ω: X(ω,t) B).
Sapat na mga kondisyon para sa ergodicity
Theorem 1. Ang isang nakatigil na random na proseso X(t) ay ergodic patungkol sa
mathematical expectation kung ang ugnayan nito
may posibilidad na zero bilang τ→∞;
kung saan: .
Theorem 2. Ang isang nakatigil na random na proseso X(t) ay ergodic na may kinalaman sa
pagpapakalat, kung ang ugnayan function ng nakatigil random
proseso ng tsaa Y(t)=X2(t) ay nagiging zero bilang τ→∞;
kung saan:
Theorem 3. Ang isang nakatigil na random na proseso X(t) ay ergodic na may kinalaman sa
function ng ugnayan kung may posibilidad na zero bilang τ→∞ cor-
relational function ng isang nakatigil na random na proseso
Z(t, τ)= ;
kung saan:
Sa mga praktikal na kalkulasyon, ang pagitan (0; T) ay nahahati sa n pantay na bahagi; sa bawat agwat, isang puntong ti ang pinipili (halimbawa, ang gitna). Kung ikukulong natin ang ating sarili sa formula ng mga parihaba, nakukuha natin
5.5. Mga stream ng kaganapan
Ang stream ng mga kaganapan ay isang pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan na nangyayari sa isang random na sandali sa oras.
Mga katangian ng stream ng kaganapan:
1) Nakatigil na daloy.
Ang isang daloy ay tinatawag na nakatigil kung ang posibilidad ng m kaganapan sa anumang agwat ng oras τ ay nakasalalay lamang sa bilang ng mga kaganapan m at sa haba ng pagitan τ at hindi nakasalalay sa sandali ng oras kung saan nagsimula ang agwat na ito.
2) Walang epekto.
Ang isang stream ng mga kaganapan ay sinasabing may pag-aari ng walang aftereffect kung ang posibilidad ng paglitaw ng m mga kaganapan sa anumang yugto ng panahon ay hindi nakasalalay sa kung ang mga kaganapan ay lumitaw o hindi sa mga sandali ng oras kaagad bago ang panahong ito.
Ang kasaysayan ng isang thread ay hindi nakakaapekto sa paglitaw ng mga kaganapan sa malapit na hinaharap. Kung ang daloy ay may pag-aari na walang aftereffect, kung gayon ang mga random na variable ng paglitaw ng mga kaganapan sa mga hindi intersecting na pagitan ay independyente sa bawat isa.
3) Ordinariness.
Ang isang daloy ay sinasabing may pag-aari ng pagiging ordinaryo kung hindi hihigit sa isang kaganapan ang maaaring mangyari sa isang walang katapusang maliit na agwat ng oras, i.e. ang paglitaw ng 2 o higit pang mga kaganapan sa isang maikling panahon ay halos imposible.
4) Daloy ng lason
Kung ang daloy ay sabay na nagtataglay ng mga katangian ng stationarity, kawalan ng aftereffect at ordinariness, kung gayon ito ay tinatawag na pinakasimpleng (Poisson) na daloy.
Teorama. Kung ang daloy ay ang kabuuan ng isang malaking bilang ng mga independiyenteng nakatigil na daloy, ang impluwensya ng bawat isa ay bale-wala, kung gayon ang kabuuang daloy, sa kondisyon na ito ay karaniwan, ay malapit sa pinakasimpleng.
Ang intensity ng daloy ay ang average na bilang ng mga kaganapan na nagaganap sa bawat yunit ng oras.
Kung ang daloy ay may pare-parehong intensity, kung gayon ang posibilidad ng paglitaw ng m mga kaganapan para sa mga pagitan ng oras ng tagal τ ay kinakalkula gamit ang Poisson formula.
– Daloy ng lason.
Ang problema ng isang simpleng telegraph wave.
Mayroong ilang device kung saan inilalapat ang signal. Ang mga signal na ito ay bumubuo ng pinakasimpleng daloy.
X(t) a -a
P 1/2 1/2
Siyasatin ang mga katangian ng SP X(t), na kumukuha ng mga halaga ±a sa di-makatwirang oras. Discrete SP na may tuloy-tuloy na oras. M(X(t)) = 0
X(t1)X(t2) a2 -a2
P P kahit P kakaiba
Hayaan ang t1< t2 => τ > 0
Dahil dito, ang telegraph wave ay isang ergodic SCS.
Rationale - Ang mga sumusunod na katangian ay dapat magkaroon
1) Stationarity - walang pag-asa sa pagpili ng agwat ng oras.
2) Kawalan ng aftereffect - mga sandali ng oras ay hindi lilitaw sa formula.
3) Ordinariness
Ang posibilidad ng higit sa isang kaganapan
Probability ng 1st event
Ang posibilidad ng higit sa 2 mga kaganapan
may =>
para sa maliit na τ ay may posibilidad na zero sa isang rate na hindi bababa sa isang parisukat.
PAKSANG-ARALIN 6. MARKOV CHAIN
6.1. Mga tanikala ng Markov.
Ang Markov chain ay isang pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan, kung saan ang bawat isa ay isa lamang sa mga hindi tugmang kaganapan na A1,A2...Ak ang lalabas, habang ang conditional probability pij(s) sa s-th test ay ang event Ai at ang kundisyon na sa ang s-1 na pagsubok ang pangyayaring naganap ay depende sa resulta ng mga nakaraang pangyayari.
Ang discrete-time na Markov chain ay isang chain na nagbabago ang estado sa mga takdang oras.
Ang Markov chain na may tuloy-tuloy na oras ay isang chain na ang mga pagbabago sa estado ay nangyayari sa isang arbitrary na sandali sa oras.
Ang isang Markov chain ay tinatawag na homogenous kung ang conditional probability pij(s) ng paglipat sa isang estado mula Ai hanggang Aj ay hindi nakadepende sa trial number, sa s.
Ang mga probabilidad na ang sistema ay pumasa mula Ai hanggang Aj bilang isang resulta ng pagsubok ay tinatawag na mga posibilidad ng paglipat ng isang homogenous na Markov chain.
Ang mga posibilidad ng paglipat ay bumubuo ng isang matrix ng mga posibilidad ng paglipat i=1;…;k
pagkakapantay-pantay ni Markov
Ang Pij(n) ay ang posibilidad ng paglipat ng system mula sa estadong Ai patungo sa Aj sa n pagsubok
Mga kahihinatnan
1) n=2; m=1
; Pij(1)=pi,j; P2=(Pi,j(2))=P1P1=P2
2) n=3; m=2
; P3=P3
3) Pn=P12.
1. Ang konsepto ng isang random na function, stochastic na mga proseso
Kapag nag-aaral ng maraming phenomena, sistematikong kailangang harapin ng isang tao ang mga random na variable na nagbabago sa proseso ng pagsubok para sa isang tiyak na oras. Nakatagpo na kami ng mga halimbawa ng gayong mga kababalaghan sa Mga Seksyon 6.2. at 9.2. kaugnay ng batas sa pamamahagi ng Poisson.
Mga halimbawa ng naturang r.v. ay: ang pagkabulok ng isang radioactive substance sa isang kemikal na reaksyon, ang signal sa output ng isang radio receiver sa ilalim ng impluwensya ng interference, ang haba ng pila para sa isang tiket para sa isang football match, ang mga pagbabago sa presyo sa mga mahahalagang produkto ng sistema ng kalakalan, ang workload ng mga mag-aaral sa akademikong semestre, ang trajectory ng mga particle sa Brownian motion, ang rating ng mga aplikante sa mga proseso ng elektoral, ang bilang ng mga tawag na dumarating sa palitan ng telepono, atbp.
Ang ganitong mga random na variable na nagbabago sa proseso ng karanasan (pagmamasid, pagsubok) ay tinatawag mga random na proseso (random mga function). Sa kasalukuyan, maraming sangay ng teknolohiya at agham (pisikal na istatistika, proseso ng pagsasabog, proseso ng reaksyong kemikal, atbp.) ay nagdulot ng mga bagong problema para sa teorya ng probabilidad na hindi umaangkop sa balangkas ng klasikal na teorya ng probabilidad. Sa oras na iyon, maraming mga sangay ng aktibidad ng tao ang interesado sa pag-aaral ng mga proseso, iyon ay, mga phenomena na nagaganap sa oras. Hiniling nila mula sa agham ng teorya ng posibilidad ang pagbuo ng isang pangkalahatang teorya ng tinatawag na mga random na proseso. Sa madaling salita, ang pagbuo ng isang teorya na mag-aaral ng mga random na variable na nakasalalay sa isa o higit pang patuloy na pagbabago ng mga parameter ng oras. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng gayong mga problema na naglalarawan ng pangangailangan ng pagbuo ng isang teorya ng mga random na proseso.
Isipin na gusto nating sundan ang paggalaw ng isang molekula ng isang gas o likido. Ang molekula na ito sa mga random na oras ay bumabangga sa iba pang mga molekula at binabago ang bilis at posisyon nito. Malinaw, ang estado ng molekula ay napapailalim sa mga random na pagbabago sa bawat sandali ng oras. Maraming mga phenomena ng kalikasan ang nangangailangan para sa kanilang pag-aaral ng kakayahang kalkulahin ang mga probabilidad na ang isang tiyak na bilang ng mga phenomena (mga molekula, mga pagbabago sa presyo, ang pagdating ng mga signal ng radyo, atbp.) ay nagbabago ng isa o ibang sitwasyon. Ang lahat ng ito at marami pang ibang katanungan ay sinasagot ng istatistikal na teorya ng mga random na proseso, o, gaya ng karaniwang tinatawag na " teorya ng stochastic na mga proseso ». Malinaw, ang mga katulad na problema ay lumitaw sa physics, chemistry, astronomy, economics, genetics, atbp. Halimbawa, kapag pinag-aaralan ang proseso ng isang kemikal na reaksyon, isang lehitimong tanong ang lumitaw:
Anong bahagi ng molekula ang nakapag-react na?
Paano nangyayari ang reaksyong ito sa paglipas ng panahon?
Kailan halos matapos ang reaksyon?
Ang isang malaking bilang ng mga phenomena ay nagpapatuloy ayon sa prinsipyo ng radioactive decay. Ang kakanyahan ng hindi pangkaraniwang bagay na ito ay ang mga atomo ng isang radioactive substance ay agad na nabubulok, na nagiging mga atomo ng isa pang elemento ng kemikal. Ang pagkabulok ng bawat atom ay nangyayari nang mabilis at sa isang mataas na bilis sa oras, tulad ng isang pagsabog, na may paglabas ng isang tiyak na halaga ng enerhiya. Bilang isang patakaran, maraming mga obserbasyon ang nagpapakita na ang pagkabulok ng iba't ibang mga atomo para sa tagamasid ay nangyayari sa random na kinuha na mga oras. Sa kasong ito, ang lokasyon ng mga sandaling ito ng oras ay hindi nakasalalay sa isa't isa sa kahulugan ng teorya ng posibilidad. Upang pag-aralan ang proseso ng radioactive decay, mahalagang matukoy kung ano ang posibilidad na ang isang tiyak na bilang ng mga atom ay mabulok sa isang tiyak na tagal ng panahon? Sa pormal na paraan, kung hihilingin lamang ng isang tao na ipaliwanag ang larawang pangmatematika ng gayong mga kababalaghan, kung gayon ang isang tao ay makakahanap ng isang simpleng solusyon sa mga problemang pangmatematika na humantong sa gayong mga phenomena.
Ilarawan natin nang maikli kung paano, batay sa pagsasaalang-alang ng problema ng mga particle na gumagala sa isang tuwid na linya, ang mga siyentipiko na sina Planck at Fokker ay nakakuha ng isang differential equation sa teorya ng diffusion.
Hayaan ang butil sa sandali ng oras sa punto 
, sa mga sandali 
nakakaranas ng mga random na shocks, bilang isang resulta kung saan ito gumagalaw sa bawat oras na may posibilidad 
sa dami 
sa kanan at may posibilidad 
sa dami din 
pa-kaliwa.
Tukuyin ng 
ang posibilidad na ang particle bilang isang resulta 
lilitaw ang mga pagkabigla sa oras na iyon 
buntis 
(malinaw na para sa pantay na bilang ng mga pagkabigla, ang halaga 
maaari lamang maging isang pantay na bilang ng mga hakbang 
, At kailan 
kakaiba - isang kakaibang bilang lamang ng mga hakbang 
. Kung sa pamamagitan ng 
tukuyin ang bilang ng mga hakbang na ginawa ng particle sa kanan (pagkatapos 
ay ang bilang ng mga hakbang na ginawa ng particle sa kaliwa), pagkatapos ay ayon sa Bernoulli formula, ang posibilidad na ito ay katumbas ng
Malinaw na ang mga dami na ito ay nauugnay sa pagkakapantay-pantay 
Maaaring direktang i-verify ng isa na ang function 
natutugunan ang difference equation
na may mga paunang kondisyon 
at sa 
. Ang pisikal na katangian ng problema ay magpipilit sa amin na pumunta sa ilang mga natural na paghihigpit sa ratio ng mga parameter 
. Ang pagkabigong sumunod sa ilang kinakailangang kundisyon, na tatalakayin sa ibaba, ay maaaring humantong sa katotohanan na sa loob ng isang takdang panahon ang isang particle na may posibilidad na katumbas ng isa ay maaaring pumunta sa infinity. Upang ibukod ang posibilidad na ito, ipinapataw namin ang mga sumusunod na kundisyon sa mga parameter na may 
kung saan ang halaga 
nagpapahayag bilis
agos, a 
diffusion coefficient.
Ibawas sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay (1) ang dami 
, nakukuha namin
Ipagpalagay natin na ang function 
naiba-iba hinggil sa 
dalawang beses at isang beses 
. Tapos meron kami
Matapos palitan ang mga nakuhang pagkakapantay-pantay sa (3), mayroon tayo
Mula dito, pumasa sa limitasyon 
at batay sa mga kondisyon (2) sa wakas ay nakuha natin
(4)
Kaya, nakuha namin ang kilalang equation, na tinatawag sa diffusion theory Mga equation ng Fokker–Planck.
Ang simula ng pangkalahatang teorya ng mga proseso ng stochastic ay inilatag sa mga pangunahing gawa ng A.N. Kolmogorov at A.Ya. Khinchin noong unang bahagi ng 1930s. Sa artikulo ni A.N. Kolmogorov "Sa Analytical Methods of Probability Theory" ay binigyan ng isang sistematiko at mahigpit na pagtatayo ng mga pundasyon ng teorya ng stochastic na mga proseso walang epekto o, gaya ng madalas na sinasabi, mga proseso ng uri ng Markov. Ang isang bilang ng mga gawa ni Khinchin ay lumikha ng isang teorya ng tinatawag na mga nakatigil na proseso.
Kaya, ang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga random na phenomena sa dynamics ng kanilang
tinatawag na pag-unlad teorya ng mga random na proseso(mga random na function). Ang mga pamamaraan nito ay kadalasang ginagamit: sa teorya ng awtomatikong kontrol, sa pagsusuri at pagpaplano ng mga aktibidad sa pananalapi ng mga negosyo at sakahan, sa pagproseso at paghahatid ng kinakailangang impormasyon (mga signal sa mga radio engineering device, satellite communications, atbp.), sa ekonomiya at sa teorya ng serbisyong masa.
Isaalang-alang natin sa madaling sabi ang mga pangunahing konsepto ng teorya ng mga random na proseso (SP).
Kung ang bawat halaga 
, saan 
nagsasaad ng ilang hanay ng mga tunay na numero, ay inilalagay sa sulat sa r.v. 
, tapos sinasabi namin yan sa set 
binigyan ng random na function (s.f.) 
. Random na mga proseso iyon 
, ay lalong mahalaga sa mga aplikasyon. Sa mga kaso kung saan ang parameter 
binibigyang kahulugan bilang isang parameter ng oras, pagkatapos ay tinawag ang random na function random na proseso, i.e. random na proseso ay tinatawag na pamilya ni r.v. 
umaasa sa parameter 
at ibinigay sa parehong espasyo ng elementarya na mga kaganapan 
Tinutukoy 
o 
Ang isang random na proseso ay maaaring tukuyin sa anyo ng isang formula (analytical notation) kung ang anyo ng random na function ay kilala. Halimbawa, s.f. ay isang r.p., kung saan ang random variable 
ay may pare-parehong pamamahagi. Para sa isang nakapirming halaga 
, s.p. 
, pagkatapos ay ang r.p. nagpalit sa r.v. 
na tinatawag na cross section ng random na proseso.
Pagpapatupad o tilapon random na proseso 
tinawag hindi random function ng oras 
sa isang nakapirming 
, ibig sabihin. bilang resulta ng pagsubok sa s.p. tumatagal sa isang tiyak na anyo. 
, habang ang mga realisasyon ng r.s. ipinapahiwatig ng 
,
kung saan ang mga indeks ay nagpapahiwatig ng numero ng pagsubok.
Ipinapakita ng Figure 59 ang tatlong pagpapatupad 
random na proseso sa 
;
Ang mga ito ay kahawig ng mga uri ng tatlong sinusoidal oscillatory phenomena sa ilang mekanikal na proseso, habang ang bawat naturang pagsasakatuparan (trajectory) ay isang ordinaryong function. 
Fig.59 (Nakasulat).
Sa halimbawang ito, ang r.v. 
sa tatlong eksperimento, tumagal ng tatlong halaga, ayon sa pagkakabanggit: 1, 2, 0.5, i.e. tatlong pagpapatupad ng joint venture ang nakasaad: Ang lahat ng tatlong mga tampok ay hindi random. Kung sa halimbawang ito ayusin natin ang sandali ng oras, sa 
, pagkatapos ay makuha namin ang cross section: 
- random variable o 
, ay mga random na variable. Tandaan na ang tinatawag na one-dimensional distribution law ng isang random na proseso 
ay hindi kumpletong katangian ng s.p. random na proseso
ay isang set ng lahat ng cross section para sa iba't ibang value 
, samakatuwid, para sa kumpletong paglalarawan nito, dapat isaalang-alang ng isa ang magkasanib na pagpapaandar ng pamamahagi ng mga cross section ng proseso:
ang tinatawag na finite-dimensional law of distribution of r.p. sa mga sandali 
. Sa madaling salita, lumitaw ang mga multidimensional na r.v.
Kaya, ang konsepto ng s.p. ay isang direktang paglalahat ng konsepto ng isang sistema ng mga random na variable, kapag ang mga variable na ito ay isang infinite set.
Teorya ng mga random na proseso tinatawag na matematikal na agham na nag-aaral ng mga pattern ng random phenomena sa dinamika ng kanilang pag-unlad.
Ang teorya ng mga random na proseso (sa ibang terminolohiya - ang teorya ng mga random na function) ay isang medyo bagong sangay ng probability theory, na mabilis na umuunlad sa mga nagdaang dekada kaugnay ng patuloy na lumalawak na saklaw ng mga praktikal na aplikasyon nito.
Kapag pinag-aaralan ang mga phenomena ng nakapaligid na mundo, madalas tayong nakatagpo ng mga proseso, ang kurso nito ay hindi maaaring mahulaan nang maaga. Ang kawalan ng katiyakan (unpredictability) ay sanhi ng impluwensya ng mga random na salik na nakakaapekto sa kurso ng proseso. Magbigay tayo ng ilang halimbawa ng mga ganitong proseso.
1. Ang boltahe sa elektrikal na network, nominally pare-pareho at katumbas ng 220 V, ay aktwal na nagbabago sa paglipas ng panahon, nagbabago sa paligid ng nominal na halaga sa ilalim ng impluwensya ng mga random na kadahilanan tulad ng bilang at uri ng mga device na konektado sa network, ang mga sandali ng kanilang pag-on at off, atbp.
2. Ang populasyon ng isang lungsod (o rehiyon) ay nagbabago sa paglipas ng panahon sa random (hindi mahuhulaan) na paraan sa ilalim ng impluwensya ng mga salik tulad ng mga kapanganakan, pagkamatay, paglipat, atbp.
3. Ang antas ng tubig sa isang ilog (o reservoir) ay nag-iiba-iba sa paglipas ng panahon nang sapalaran depende sa lagay ng panahon, pag-ulan, pagkatunaw ng niyebe, tindi ng patubig, atbp.
4. Ang isang particle na gumagawa ng Brownian motion sa larangan ng view ng isang mikroskopyo ay nagbabago nang random sa posisyon nito bilang resulta ng mga banggaan sa mga likidong molekula.
5. Lumilipad ang isang space rocket, na dapat ilunsad sa isang partikular na sandali sa isang partikular na punto sa kalawakan na may ibinigay na direksyon at ganap na halaga ng velocity vector. Ang aktwal na paggalaw ng rocket ay hindi nag-tutugma sa kinakalkula dahil sa mga random na kadahilanan tulad ng atmospheric turbulence, fuel heterogeneity, mga error sa command processing, atbp.
6. Ang computer sa kurso ng trabaho ay maaaring random na lumipat mula sa estado patungo sa estado, halimbawa:
S1- gumagana nang maayos;
S2- mayroong isang madepektong paggawa, ngunit hindi ito napansin;
S3- isang malfunction ay nakita, ang pinagmulan nito ay hinahanap;
S4- inaayos, atbp.
Ang mga paglipat mula sa estado patungo sa estado ay nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng mga random na kadahilanan, tulad ng pagbabagu-bago ng boltahe sa network ng power supply ng computer, pagkabigo ng mga indibidwal na elemento, ang sandali ng pagtuklas ng mga pagkakamali, ang oras para sa kanilang pag-aalis, atbp.
Sa mahigpit na pagsasalita, sa kalikasan ay walang ganap na di-random, eksaktong deterministikong mga proseso, ngunit may mga proseso na kung saan ang mga random na kadahilanan ay nakakaimpluwensya nang napakahina na maaari silang mapabayaan kapag pinag-aaralan ang kababalaghan (halimbawa: ang proseso ng mga planeta na umiikot sa paligid ng Araw). Gayunpaman, mayroon ding mga ganitong proseso kung saan ang randomness ay gumaganap ng pangunahing papel (halimbawa: ang itinuturing na proseso sa itaas ng Brownian motion ng isang particle). Sa pagitan ng dalawang sukdulan ay namamalagi ang isang buong hanay ng mga proseso kung saan ang pagkakataon ay gumaganap ng mas malaki o mas maliit na papel. Upang isaalang-alang (o hindi isaalang-alang) ang randomness ng proseso ay nakasalalay din sa kung anong praktikal na problema ang ating nilulutas. Halimbawa, kapag nag-iskedyul ng paggalaw ng sasakyang panghimpapawid sa pagitan ng dalawang punto, ang kanilang mga trajectory ay maaaring ituring na rectilinear, at ang paggalaw ay pare-pareho; ang parehong mga pagpapalagay ay hindi gagana kung ang problema sa pagdidisenyo ng isang autopilot upang makontrol ang paglipad ng isang sasakyang panghimpapawid ay malulutas.
Mayroong dalawang pangunahing uri ng mga problema, ang solusyon kung saan ay nangangailangan ng paggamit ng teorya ng mga random na pag-andar (random na mga proseso).
Direktang problema (pagsusuri): ibinibigay ang mga parameter ng isang partikular na device at ang mga probabilistikong katangian nito (mga inaasahan sa matematika, mga function ng ugnayan, mga batas sa pamamahagi) ng function (signal, proseso) na dumarating sa "input" nito; kinakailangan upang matukoy ang mga katangian sa "output" ng aparato (ginagamit ang mga ito upang hatulan ang "kalidad" ng aparato).
Baliktad na problema (synthesis): ang mga probabilistikong katangian ng mga function na "input" at "output" ay ibinigay; kinakailangang magdisenyo ng pinakamainam na device (hanapin ang mga parameter nito) na nagko-convert ng ibinigay na input function sa isang output function na may mga ibinigay na katangian. Ang solusyon sa problemang ito ay nangangailangan, bilang karagdagan sa aparato ng mga random na pag-andar, pagkahumaling at iba pang mga disiplina.
Panimula
Ang teorya ng mga random na proseso (random functions) ay isang sangay ng matematikal na agham na nag-aaral ng mga pattern ng mga random na phenomena sa dynamics ng kanilang pag-unlad.
Sa kasalukuyan, lumitaw ang isang malaking halaga ng panitikan na direktang nakatuon sa teorya ng pagpila, ang pagbuo ng mga aspeto ng matematika nito, pati na rin ang iba't ibang mga lugar ng aplikasyon nito - militar, medikal, transportasyon, kalakalan, abyasyon, atbp.
Ang teorya ng queuing ay batay sa probability theory at mathematical statistics. Ang paunang pag-unlad ng teorya ng queuing ay nauugnay sa pangalan ng Danish na siyentipiko na si A.K. Erlang (1878-1929), kasama ang kanyang mga sinulat sa disenyo at pagpapatakbo ng mga palitan ng telepono.
Ang teorya ng queuing ay isang larangan ng inilapat na matematika na tumatalakay sa pagsusuri ng mga proseso sa produksyon, serbisyo, at mga sistema ng kontrol kung saan ang mga homogenous na kaganapan ay paulit-ulit nang maraming beses, halimbawa, sa mga negosyo ng mga serbisyo sa consumer; sa mga sistema para sa pagtanggap, pagproseso at pagpapadala ng impormasyon; awtomatikong mga linya ng produksyon, atbp. Ang isang malaking kontribusyon sa pagbuo ng teoryang ito ay ginawa ng mga Russian mathematician na si A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel at iba pa.
Ang paksa ng teorya ng queuing ay upang magtatag ng mga relasyon sa pagitan ng likas na katangian ng daloy ng mga aplikasyon, ang bilang ng mga channel ng serbisyo, ang pagganap ng isang indibidwal na channel at mahusay na serbisyo upang mahanap ang pinakamahusay na mga paraan upang makontrol ang mga prosesong ito. Ang mga gawain ng teorya ng queuing ay may likas na pag-optimize at sa huli ay kasama ang pang-ekonomiyang aspeto ng pagtukoy ng ganoong variant ng system, na magbibigay ng minimum na kabuuang gastos mula sa paghihintay ng serbisyo, pagkawala ng oras at mapagkukunan para sa serbisyo, at mula sa downtime ng mga channel ng serbisyo.
Sa mga aktibidad na komersyal, ang aplikasyon ng teorya ng pagpila ay hindi pa nakakahanap ng nais na pamamahagi.
Ito ay higit sa lahat dahil sa kahirapan sa pagtatakda ng mga layunin, ang pangangailangan para sa isang malalim na pag-unawa sa nilalaman ng mga komersyal na aktibidad, pati na rin ang maaasahan at tumpak na mga tool na nagbibigay-daan sa pagkalkula ng iba't ibang mga pagpipilian para sa mga kahihinatnan ng mga desisyon sa pamamahala sa mga komersyal na aktibidad.
1. Kahulugan ng isang random na proseso at mga katangian nito
Ang random na proseso X(t) ay isang proseso na ang halaga para sa anumang halaga ng argumentong t ay isang random na variable.
Sa madaling salita, ang isang random na proseso ay isang function na, bilang isang resulta ng pagsubok, ay maaaring tumagal ng isa o isa pang partikular na anyo, hindi alam nang maaga. Para sa isang nakapirming t = sa X(to) ay isang ordinaryong random variable, i.e. cross section ng isang random na proseso sa oras na to.
Ang pagpapatupad ng isang random na proseso X (t, w) ay isang hindi random na function na x(t), kung saan ang random na proseso X(t) ay lumiliko bilang isang resulta ng pagsubok (para sa isang nakapirming w), i.e. tiyak na anyo na kinuha ng random na proseso X(t), ang tilapon nito.
Kaya, ang random na proseso X (t, w) ay pinagsasama ang mga katangian ng isang random na variable at isang function. Kung ayusin natin ang halaga ng argumentong t, ang random na proseso ay nagiging isang ordinaryong random na variable, kung aayusin natin ang w, pagkatapos bilang resulta ng bawat pagsubok ito ay nagiging isang ordinaryong hindi random na Function.
Tulad ng isang random na variable, ang isang random na proseso ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng mga numerical na katangian.
Ang mathematical na inaasahan ng isang random na proseso X(t) ay isang non-random function a x (t), na para sa anumang halaga ng variable t ay katumbas ng mathematical expectation ng kaukulang seksyon ng random na proseso X(t), i.e. palakol (t) = M .
Ang pagkakaiba ng isang random na proseso X(t) ay isang non-random na function. D x (t), para sa anumang halaga ng variable t, katumbas ng variance ng kaukulang seksyon ng random na proseso X(t), i.e. Dx (t) = D .
Karaniwang lihis random na proseso X(t) ay ang arithmetic value ng square root ng variance nito, i.e.
Ang mathematical na inaasahan ng isang random na proseso ay nagpapakilala sa average na trajectory ng lahat ng posibleng pagpapatupad nito, at ang variance o standard deviation nito ay nagpapakilala sa pagkalat ng mga pagpapatupad na may kaugnayan sa average na trajectory.
Ang correlation function ng random na proseso X(t) ay isang non-random function
dalawang variable na t1 at t 2, na para sa bawat pares ng mga variable t1 at t2 ay katumbas ng covariance ng kaukulang mga seksyon X(t1) at X(t 2) random na proseso.
Ang normalized correlation function ng isang random na proseso X(t) ay ang function
Maaaring uriin ang mga random na proseso depende sa kung ang mga estado ng system kung saan nangyayari ang mga ito ay nagbabago nang maayos o biglang, siyempre (mabibilang) o isang walang katapusang bilang ng mga estadong ito, atbp. Sa mga random na proseso, ang isang espesyal na lugar ay kabilang sa random na proseso ng Markov. Ngunit una, kilalanin natin ang mga pangunahing konsepto ng teorya ng pagpila.
2. Pangunahing konsepto teorya ng pagpila
Sa pagsasagawa, ang isang tao ay madalas na nakakaharap ng mga system na idinisenyo para sa magagamit muli sa paglutas ng parehong uri ng mga problema. Ang mga prosesong lumitaw sa kasong ito ay tinatawag na mga proseso ng serbisyo, at ang mga sistema ay tinatawag na mga queuing system (QS). Ang mga halimbawa ng naturang mga sistema ay ang mga sistema ng telepono, mga repair shop, mga computer system, mga opisina ng tiket, mga tindahan, tagapag-ayos ng buhok, at mga katulad nito.
Ang bawat QS ay binubuo ng isang tiyak na bilang ng mga yunit ng serbisyo (mga instrumento, aparato, punto, istasyon), na tatawagin naming mga channel ng serbisyo. Ang mga channel ay maaaring mga linya ng komunikasyon, operating point, computer, nagbebenta, atbp. Ayon sa bilang ng mga channel, ang QS ay nahahati sa single-channel at multi-channel.
Karaniwang dumarating ang mga aplikasyon sa QS nang hindi regular, ngunit random, na bumubuo ng tinatawag na random na daloy ng mga aplikasyon (mga kinakailangan). Ang mga kahilingan sa paglilingkod, sa pangkalahatan, ay nagpapatuloy din sa ilang random na oras. Ang random na katangian ng daloy ng mga aplikasyon at oras ng serbisyo ay humahantong sa katotohanan na ang QS ay na-load nang hindi pantay: sa ilang mga yugto ng panahon, isang napakalaking bilang ng mga aplikasyon ang naipon (sila ay pumila o iniiwan ang QS na hindi naseserbisyuhan), habang sa iba mga panahong gumagana ang QS na may underload o idle.
Ang paksa ng teorya ng queuing ay ang pagbuo ng mga mathematical na modelo na nag-uugnay sa ibinigay na mga kondisyon ng operating ng QS (ang bilang ng mga channel, ang kanilang pagganap, ang likas na katangian ng daloy ng kahilingan, atbp.) sa mga tagapagpahiwatig ng kahusayan ng QS na naglalarawan sa kakayahan nitong makayanan sa daloy ng mga kahilingan.
Ang mga sumusunod ay ginagamit bilang mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng QS: ang average na bilang ng mga aplikasyon na inihatid sa bawat yunit ng oras; ang average na bilang ng mga application sa queue; average na oras ng paghihintay para sa serbisyo; posibilidad ng pagtanggi sa serbisyo nang hindi naghihintay; ang posibilidad na ang bilang ng mga kahilingan sa pila ay lalampas sa isang tiyak na halaga, atbp.
Ang QS ay nahahati sa dalawang pangunahing uri (mga klase): QS na may mga pagkabigo at QS na may paghihintay (pila). Sa isang QS na may mga pagtanggi, ang isang kahilingan na dumarating sa sandaling abala ang lahat ng mga channel ay makakatanggap ng pagtanggi, umalis sa QS at hindi nakikilahok sa karagdagang proseso ng serbisyo (halimbawa, isang kahilingan para sa isang pag-uusap sa telepono sa sandaling ang lahat ng mga channel ay abala ay nakatanggap ng pagtanggi at iniiwan ang QS na hindi pinaglilingkuran). Sa isang QS na may paghihintay, hindi umaalis ang isang claim na dumarating sa oras na abala ang lahat ng channel, ngunit pumila para sa serbisyo.
Ang QS na may paghihintay ay nahahati sa iba't ibang uri depende sa kung paano nakaayos ang pila: na may limitado o walang limitasyong haba ng pila, may limitadong oras ng paghihintay, atbp.
3. Ang konsepto ng isang random na proseso ng Markov
Ang proseso ng QS ay isang random na proseso.
Ang isang proseso ay tinatawag na isang proseso na may mga discrete na estado kung ang mga posibleng estado nito na S1, S2, S3... ay maaaring mailista nang maaga, at ang paglipat ng system mula sa estado patungo sa estado ay nangyayari kaagad (tumalon). Ang isang proseso ay tinatawag na isang proseso na may tuloy-tuloy na oras kung ang mga sandali ng mga posibleng paglipat ng system mula sa estado patungo sa estado ay hindi naayos nang maaga, ngunit random.
Ang proseso ng pagpapatakbo ng QS ay isang random na proseso na may mga discrete states at tuloy-tuloy na oras. Nangangahulugan ito na ang estado ng QS ay biglang nagbabago sa mga random na sandali ng paglitaw ng ilang mga kaganapan (halimbawa, ang pagdating ng isang bagong kahilingan, ang pagtatapos ng serbisyo, atbp.).
Ang pagsusuri sa matematika ng gawain ng QS ay lubos na pinasimple kung ang proseso ng gawaing ito ay Markov. Ang isang random na proseso ay tinatawag na Markov o random na proseso na walang epekto kung, sa anumang oras, ang mga probabilistikong katangian ng proseso sa hinaharap ay nakasalalay lamang sa kasalukuyang estado nito at hindi nakadepende sa kung kailan at paano dumating ang sistema sa estadong ito.
Isang halimbawa ng proseso ng Markov: ang system S ay isang counter sa isang taxi. Ang estado ng system sa oras na t ay nailalarawan sa bilang ng mga kilometro (sampung kilometro) na nilakbay ng kotse hanggang sa sandaling iyon. Hayaang ipakita ng counter Kaya sa sandaling ito. Ang posibilidad na sa sandaling t > sa metro ay magpapakita ng isa o ibang bilang ng mga kilometro (mas tiyak, ang kaukulang bilang ng mga rubles) S1 ay nakasalalay sa So, ngunit hindi nakasalalay sa oras kung kailan nagbago ang mga pagbabasa ng metro bago ang sandali sa.
Maraming mga proseso ang maaaring ituring na humigit-kumulang Markovian. Halimbawa, ang proseso ng paglalaro ng chess; Ang system S ay isang pangkat ng mga piraso ng chess. Ang estado ng system ay nailalarawan sa bilang ng mga piraso ng kalaban na natitira sa board sa sandaling ito. Ang posibilidad na sa sandaling t > sa materyal na kalamangan ay nasa panig ng isa sa mga kalaban ay nakadepende pangunahin sa estado na ang sistema ay naroroon sa sandaling ito, at hindi sa kung kailan at sa anong pagkakasunod-sunod nawala ang mga piraso sa board. sa sandali sa.
Sa ilang mga kaso, ang prehistory ng mga prosesong isinasaalang-alang ay maaaring mapabayaan lamang at ang mga modelo ng Markov ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang mga ito.
Kapag pinag-aaralan ang mga random na proseso na may mga discrete state, maginhawang gumamit ng geometric scheme - ang tinatawag na state graph. Karaniwan, ang mga estado ng system ay kinakatawan ng mga parihaba (mga bilog), at posibleng mga paglipat mula sa estado patungo sa estado - sa pamamagitan ng mga arrow (naka-orient na mga arko), nag-uugnay na mga estado.
Para sa isang matematikal na paglalarawan ng isang random na proseso ng Markov na may mga discrete states at tuloy-tuloy na oras, na nagaganap sa isang QS, kilalanin natin ang isa sa mga mahahalagang konsepto ng probability theory - ang konsepto ng isang stream ng mga kaganapan.
. Mga stream ng kaganapan
Ang daloy ng mga kaganapan ay nauunawaan bilang isang pagkakasunud-sunod ng magkakatulad na mga kaganapan na sumusunod sa isa't isa sa ilang random na oras (halimbawa, isang daloy ng mga tawag sa isang palitan ng telepono, isang daloy ng mga pagkabigo sa computer, isang daloy ng mga customer, atbp.).
Ang daloy ay nailalarawan sa pamamagitan ng intensity X - ang dalas ng paglitaw ng mga kaganapan o ang average na bilang ng mga kaganapan na pumapasok sa QS bawat yunit ng oras.
Ang isang stream ng mga kaganapan ay tinatawag na regular kung ang mga kaganapan ay sumunod sa isa't isa sa mga regular na pagitan. Halimbawa, ang daloy ng mga produkto sa isang linya ng pagpupulong (sa patuloy na bilis) ay regular.
Ang isang stream ng mga kaganapan ay tinatawag na nakatigil kung ang mga probabilistikong katangian nito ay hindi nakasalalay sa oras. Sa partikular, ang intensity ng isang nakatigil na daloy ay isang pare-parehong halaga: Halimbawa, ang daloy ng mga sasakyan sa isang city avenue ay hindi nakatigil sa araw, ngunit ang daloy na ito ay maaaring ituring na nakatigil sa isang tiyak na oras ng araw, halimbawa, sa panahon ng peak hours. Sa kasong ito, ang aktwal na bilang ng mga dumadaang sasakyan sa bawat yunit ng oras (halimbawa, bawat minuto) ay maaaring mag-iba nang malaki, ngunit ang kanilang average na bilang ay pare-pareho at hindi magdedepende sa oras.
Ang isang stream ng mga kaganapan ay tinatawag na isang stream na walang aftereffect kung para sa alinman o dalawang hindi intersecting na pagitan ng oras T1 at T2 ang bilang ng mga kaganapan na bumabagsak sa isa sa mga ito ay hindi nakadepende sa bilang ng mga kaganapan na bumabagsak sa iba. Halimbawa, ang daloy ng mga pasaherong pumapasok sa subway ay halos walang epekto. At, sabihin nating, ang daloy ng mga customer na umaalis sa counter kasama ang kanilang mga pagbili ay mayroon nang epekto (kung dahil lang sa pagitan ng mga indibidwal na customer ay hindi maaaring mas mababa sa minimum na oras ng serbisyo para sa bawat isa sa kanila).
Ang isang stream ng mga kaganapan ay tinatawag na ordinaryo kung ang posibilidad pagtama ng maliit (elementarya) na agwat ng oras Sa ng dalawa o higit pang mga kaganapan ay bale-wala kumpara sa kasamaang posibilidad na matamaan ang isang kaganapan. Sa madaling salita, ang isang stream ng mga kaganapan ay karaniwan kung ang mga kaganapan ay lilitaw dito nang paisa-isa, at hindi sa mga pangkat. Halimbawa, ang daloy ng mga tren na papalapit sa istasyon ay karaniwan, ngunit ang daloy ng mga bagon ay hindi karaniwan.
Ang daloy ng mga pangyayari ay tinatawag ang pinakasimple(o nakatigil na Poisson) kung ito ay sabay na nakatigil, karaniwan at walang epekto. Ang pangalang "pinakasimple" ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang QS na may pinakasimpleng daloy ay may pinakasimpleng paglalarawan sa matematika. Ang isang regular na stream ay hindi ang pinakasimpleng, dahil mayroon itong isang epekto: ang mga sandali ng paglitaw ng mga kaganapan sa naturang stream ay mahigpit na naayos.
Ang pinakasimpleng daloy bilang isang naglilimita na daloy ay lumitaw sa teorya ng mga random na proseso tulad ng natural tulad ng sa probability theory, ang normal na distribusyon ay nakuha bilang isang limitasyon para sa kabuuan ng mga random na variable: kapag superimposing (superposition) ng isang sapat na malaking bilang n ng independent , nakatigil at ordinaryong mga daloy (maihahambing sa bawat isa sa mga intensidad Аi (i=1,2…p)) ang daloy ay malapit sa pinakasimpleng isa na may intensity X katumbas ng kabuuan ng mga intensity ng mga papasok na daloy, ibig sabihin:
Binomial distribution law:
may mga parameter
Ang binomial distribution ay may posibilidad sa Poisson distribution na may parameter
kung saan ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay katumbas ng pagkakaiba nito:
Sa partikular, ang posibilidad na walang kaganapan na magaganap sa panahon ng t (t = 0) ay katumbas ng
Ang distribusyon na ibinigay ng probability density o distribution function ay exponential (exponential). Kaya, ang agwat ng oras sa pagitan ng dalawang magkatabing arbitrary na mga kaganapan ng pinakasimpleng daloy ay may exponential distribution, kung saan ang matematikal na inaasahan ay katumbas ng standard deviation ng random variable:
at vice versa ayon sa tindi ng daloy
Ang pinakamahalagang pag-aari ng exponential distribution (na likas lamang sa exponential distribution) ay ang mga sumusunod: kung ang time interval na ibinahagi ayon sa exponential law ay tumagal na ng ilang oras t, kung gayon hindi ito makakaapekto sa distribution law ng natitirang bahagi ng pagitan (T - t): ito ay magiging pareho , pati na rin ang batas ng pamamahagi ng buong interval T.
Sa madaling salita, para sa isang agwat ng oras na T sa pagitan ng dalawang magkakasunod na magkakalapit na kaganapan ng isang daloy na may exponential distribution, anumang impormasyon tungkol sa kung gaano katagal lumipas ang agwat na ito ay hindi makakaapekto sa pamamahagi ng natitira. Ang pag-aari na ito ng exponential law ay, sa esensya, isa pang pagbabalangkas para sa "kakulangan ng aftereffect" - ang pangunahing pag-aari ng pinakasimpleng daloy.
Para sa pinakasimpleng daloy na may intensity, ang posibilidad na matamaan ang hindi bababa sa isang kaganapan ng daloy sa elementarya (maliit) na agwat ng oras na At ay katumbas ng:
(Ang tinatayang formula na ito, na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang function ng unang dalawang termino lamang ng pagpapalawak nito sa mga kapangyarihan ng At, ay mas tumpak ang mas maliit na At).
5. Ang mga equation ni Kolmogorov. Limitahan ang mga probabilidad ng mga estado
Ang kaukulang graph ng estado ng proseso ay ipinapakita sa fig. sa gawain. Ipagpalagay namin na ang lahat ng mga transition ng system mula sa estadong Si hanggang Sj ay nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng pinakasimpleng daloy ng mga kaganapan na may intensity. (i , j = 0, 1, 2.3); Kaya, ang paglipat ng sistema mula sa estado S0 hanggang Ang S1 ay magaganap sa ilalim ng impluwensya ng daloy ng mga pagkabigo ng unang node, at ang reverse transition mula sa estado S0 hanggang S1 ay magaganap sa ilalim ng impluwensya ng daloy ng "mga dulo ng pag-aayos" ng unang node, atbp.
Ang graph ng estado ng isang system na may mga intensity na minarkahan sa mga arrow ay tatawaging may label (tingnan ang figure sa itaas). Ang itinuturing na sistema S ay may apat na posibleng estado: S0 , S1 S2, S3. Ang posibilidad ng i-th na estado ay ang posibilidad na pi(t) na sa sandaling t ang sistema ay nasa estadong Si. Malinaw, sa anumang sandali t, ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng estado ay katumbas ng isa:
Isaalang-alang ang sistema sa oras t at, sa pagbibigay ng maliit na pagitan At, hanapin ang posibilidad na po (t + At) na ang sistema sa oras na t+At ay nasa estadong S0. Ito ay nakakamit sa iba't ibang paraan.
1.Ang sistema sa sandaling ito ay nasa estadong S0 na may posibilidad na po (t), ngunit hindi ito iniwan sa panahong At.
Maaaring ilabas ang system sa ganitong estado (tingnan ang graph sa figure para sa problema) gamit ang pinakasimpleng kabuuang daloy na may intensity , na may posibilidad na tinatayang katumbas ng
At ang posibilidad na ang sistema ay hindi umalis sa estado S0 ay katumbas ng . Ang posibilidad na ang system ay nasa estadong S0 at hindi ito iiwan sa panahon ng At ay, ayon sa probability multiplication theorem:
Sa oras na t, ang sistema ay nasa estado S1 o S2 na may posibilidad na p1 (t) (o p2 (t)) at sa oras na At ipinasa sa estado
Sa pamamagitan ng daloy ng intensity ang sistema ay mapupunta sa estado Kaya na may posibilidad na humigit-kumulang katumbas ng . Ang posibilidad na ang sistema ay nasa estado Kaya, ayon sa pamamaraang ito ay katumbas ng (o )
Ang paglalapat ng probability addition theorem, nakukuha natin:
Pagpasa sa limitasyon sa At 0 (tinatayang pagkakapantay-pantay maging mga eksaktong), makuha namin ang derivative sa kaliwang bahagi ng equation (ipahiwatig natin ito para sa pagiging simple):
Ang isang first-order differential equation ay nakuha, i.e. isang equation na naglalaman ng hindi kilalang function mismo at ang first-order derivative nito.
Sa parehong pagtatalo para sa iba pang mga estado ng system S, makakakuha tayo ng isang sistema ng Kolmogorov differential equation para sa mga probabilities ng estado:
Bumuo tayo ng isang panuntunan para sa pag-compile ng mga equation ng Kolmogorov. Sa kaliwang bahagi ng bawat isa sa kanila ay ang derivative ng probabilidad ng i-th state. Sa kanang bahagi - ang kabuuan ng mga produkto ng mga probabilidad ng lahat ng mga estado (kung saan ang mga arrow ay napupunta sa estadong ito) sa pamamagitan ng intensity ng kaukulang mga daloy ng mga kaganapan na binawasan ang kabuuang intensity ng lahat ng mga daloy na naglalabas ng system mula sa estado na ito , na pinarami ng probabilidad ng ibinigay (i-th state
Sa sistemang nakasaad sa itaas, ang bilang ng mga independiyenteng equation ay mas mababa ng isa kaysa sa kabuuang bilang ng mga equation. Samakatuwid, upang malutas ang sistema, kinakailangan upang idagdag ang equation
Ang isang tampok ng paglutas ng mga differential equation sa pangkalahatan ay kinakailangan na itakda ang tinatawag na mga paunang kondisyon, sa kasong ito, ang mga probabilidad ng estado ng system sa unang sandali t = 0. ang sistema ay nasa So state, i.e. sa ilalim ng mga paunang kondisyon
Ginagawang posible ng mga equation ni Kolmogorov na mahanap ang lahat ng probabilidad ng mga estado bilang mga function ng oras. Ang partikular na interes ay ang mga probabilidad ng system p i (t) sa limiting stationary mode, i.e. sa , na tinatawag na limiting (final) state probabilities.
Sa teorya ng mga random na proseso, pinatunayan na kung ang bilang ng mga estado ng system ay may hangganan at mula sa bawat isa sa kanila posible (sa isang may hangganan na bilang ng mga hakbang) na pumunta sa anumang ibang estado, kung gayon mayroong mga limitasyon ng mga probabilidad.
Ang marginal na posibilidad ng estadong Si ay may malinaw na kahulugan: ipinapakita nito ang average na kamag-anak na oras na ginugugol ng system sa estadong ito. Halimbawa, kung ang marginal probability ng state So, i.e. p0=0.5, nangangahulugan ito na, sa karaniwan, ang sistema ay nasa estado S0 kalahati ng oras.
Dahil pare-pareho ang paglilimita ng mga probabilidad, pinapalitan ang kanilang mga derivative sa mga equation ng Kolmogorov na may mga zero na halaga, nakakakuha kami ng isang sistema ng mga linear algebraic equation na naglalarawan sa nakatigil na rehimen.
Ang mga proseso ng kamatayan at pagpaparami
Sa teorya ng pagpila, ang isang espesyal na klase ng mga random na proseso ay laganap - ang tinatawag na kamatayan at mga proseso ng pagpaparami.Ang pangalan na ito ay nauugnay sa isang bilang ng mga biological na problema, kung saan ang prosesong ito ay nagsisilbing isang mathematical na modelo ng mga pagbabago sa bilang ng mga biological na populasyon.
Isaalang-alang ang isang nakaayos na hanay ng mga estado ng system na S 0, S1, S2,…, Sk. Ang mga paglipat ay maaaring isagawa mula sa anumang estado lamang sa mga estado na may mga kalapit na numero, i.e. mula sa estadong Sk-1, ang mga paglipat ay posible alinman sa estado o sa estado S k+11 .
Alinsunod sa panuntunan para sa pag-compile ng mga naturang equation (ang Kolmogorov equation), nakuha namin ang: para sa estado S0
Konklusyon
Ang abstract na ito ay nagpapakita ng mga konsepto na humahantong sa mga elemento ng system ng teorya ng isang random na proseso ng pagpila, katulad: isang random na proseso, serbisyo, sistema ng pagpila, sistema ng pagpila.
Mga sanggunian
random na masa Markov Kolmogorov
1. N.Sh. Kremer "Probability Theory at Mathematical Statistics" Unity, Moscow, 2003
Pagtuturo
Kailangan mo ng tulong sa pag-aaral ng isang paksa?
Ang aming mga eksperto ay magpapayo o magbibigay ng mga serbisyo sa pagtuturo sa mga paksang interesado ka.
Magsumite ng isang application na nagpapahiwatig ng paksa ngayon upang malaman ang tungkol sa posibilidad ng pagkuha ng konsultasyon.
