Isaalang-alang ang problema ng pagtukoy ng operasyon na kabaligtaran sa pagpaparami ng matrix.

Hayaan ang A ay isang parisukat na matrix ng order n. Matrix A^(-1) , na kasama ng ibinigay na matrix A ay nakakatugon sa mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

tinawag reverse. Ang matrix A ay tinatawag nababaligtad, kung mayroong kabaligtaran para dito, kung hindi - hindi maibabalik.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na kung ang isang inverse matrix A^(-1) ay umiiral, kung gayon ito ay parisukat ng parehong pagkakasunud-sunod bilang A . Gayunpaman, hindi lahat ng square matrix ay may kabaligtaran. Kung ang determinant ng matrix A ay katumbas ng zero (\det(A)=0) , kung gayon walang kabaligtaran para dito. Sa katunayan, ang paglalapat ng theorem sa determinant ng produkto ng mga matrice para sa identity matrix E=A^(-1)A, nakakakuha tayo ng kontradiksyon

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

dahil ang determinant ng identity matrix ay katumbas ng 1. Lumalabas na ang pagkakaiba mula sa zero ng determinant ng isang square matrix ay ang tanging kondisyon para sa pagkakaroon ng isang inverse matrix. Alalahanin na ang isang parisukat na matrix na ang determinant ay katumbas ng zero ay tinatawag na degenerate (isahan), kung hindi - di-isahan (di-isahan).

Theorem 4.1 sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng inverse matrix. parisukat na matris A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), na ang determinant ay non-zero, ay may kabaligtaran na matrix at, bukod dito, isa lamang:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

kung saan ang A^(+) ay ang matrix na inilipat para sa matrix na binubuo ng mga algebraic complements ng mga elemento ng matrix A .

Ang matrix na A^(+) ay tinatawag kalakip na matris may kinalaman sa matrix A .

Sa katunayan, ang matrix \frac(1)(\det(A))\,A^(+) umiiral sa ilalim ng kundisyong \det(A)\ne0 . Dapat nating ipakita na ito ay kabaligtaran sa A , i.e. natutugunan ang dalawang kundisyon:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

Patunayan natin ang unang pagkakapantay-pantay. Ayon sa aytem 4 ng Remarks 2.3, ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng determinant na AA^(+)=\det(A)\cdot E. Kaya

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

na dapat ipakita. Ang pangalawang pagkakapantay-pantay ay napatunayang katulad. Samakatuwid, sa ilalim ng kundisyong \det(A)\ne0, ang matrix A ay may kabaligtaran

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Pinatunayan namin ang pagiging natatangi ng inverse matrix sa pamamagitan ng kontradiksyon. Hayaang bukod sa matrix A^(-1) ay mayroong isa pang inverse matrix B\,(B\ne A^(-1)) na ang AB=E . Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa kaliwa ng matrix A^(-1) , nakukuha natin \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Kaya naman B=A^(-1) , na sumasalungat sa palagay na B\ne A^(-1) . Samakatuwid, ang inverse matrix ay natatangi.

Pangungusap 4.1

1. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang mga matrice A at A^(-1) ay permutable.

2. Ang kabaligtaran ng matrix sa isang di-degenerate na dayagonal ay dayagonal din:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\kanan)\!.

3. Ang matrix na inverse sa isang nondegenerate lower (upper) triangular matrix ay lower (itaas) triangular.

4. Ang mga elementary matrice ay may inverses, na elementarya din (tingnan ang aytem 1 ng Remarks 1.11).

Inverse Matrix Properties

Ang matrix inversion operation ay may mga sumusunod na katangian:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(nakahanay)

kung ang mga operasyong ipinahiwatig sa mga pagkakapantay-pantay 1-4 ay may katuturan.

Patunayan natin ang property 2: kung ang produkto AB ng non-singular square matrices ng parehong pagkakasunud-sunod ay may kabaligtaran na matrix, kung gayon (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Sa katunayan, ang determinant ng produkto ng matrices AB ay hindi katumbas ng zero, dahil

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), saan \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Samakatuwid, ang inverse matrix (AB)^(-1) ay umiiral at natatangi. Ipakita natin sa pamamagitan ng kahulugan na ang matrix B^(-1)A^(-1) ay inverse na may paggalang sa matrix AB . Talaga.

Kahulugan 1: Ang isang matrix ay tinatawag na degenerate kung ang determinant nito ay zero.

Kahulugan 2: Ang isang matrix ay tinatawag na non-singular kung ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero.

Matrix "A" ang tawag baligtad na matris, kung ang kundisyon A*A-1 = A-1 *A = E (identity matrix) ay nasiyahan.

Ang isang square matrix ay invertible lamang kung ito ay nonsingular.

Scheme para sa pagkalkula ng inverse matrix:

1) Kalkulahin ang determinant ng matrix na "A" kung ∆ A = 0, kung gayon ang inverse matrix ay hindi umiiral.

2) Hanapin ang lahat ng algebraic complements ng matrix na "A".

3) Bumuo ng isang matrix ng mga algebraic na karagdagan (Aij )

4) Ilipat ang matrix ng algebraic complements (Aij )T

5) Multiply ang transposed matrix sa pamamagitan ng reciprocal ng determinant ng matrix na ito.

6) Magpatakbo ng tseke:

Sa unang sulyap ito ay maaaring mukhang mahirap, ngunit sa katunayan ang lahat ay napaka-simple. Ang lahat ng mga solusyon ay batay sa mga simpleng operasyon ng aritmetika, ang pangunahing bagay kapag ang paglutas ay hindi malito sa mga palatandaan na "-" at "+", at hindi mawala ang mga ito.

At ngayon, lutasin natin ang isang praktikal na gawain kasama mo sa pamamagitan ng pagkalkula ng inverse matrix.

Gawain: hanapin ang inverse matrix na "A", na ipinapakita sa larawan sa ibaba:

Nalutas namin ang lahat nang eksakto tulad ng ipinahiwatig sa plano para sa pagkalkula ng inverse matrix.

1. Ang unang bagay na dapat gawin ay hanapin ang determinant ng matrix na "A":

Paliwanag:

Pinasimple namin ang aming determinant sa pamamagitan ng paggamit ng mga pangunahing function nito. Una, idinagdag namin sa ika-2 at ika-3 hilera ang mga elemento ng unang hilera, na pinarami ng isang numero.

Pangalawa, binago namin ang 2nd at 3rd column ng determinant, at ayon sa mga katangian nito, binago namin ang sign sa harap nito.

Pangatlo, kinuha namin ang karaniwang kadahilanan (-1) ng pangalawang hilera, at sa gayon ay binago muli ang sign, at naging positibo ito. Pinasimple din namin ang linya 3 sa parehong paraan tulad ng sa pinakadulo simula ng halimbawa.

Mayroon kaming triangular determinant, kung saan ang mga elemento sa ibaba ng dayagonal ay katumbas ng zero, at sa pamamagitan ng property 7 ito ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng dayagonal. Bilang resulta, nakuha namin ∆ A = 26, kaya ang inverse matrix ay umiiral.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Ang susunod na hakbang ay ang pag-compile ng isang matrix mula sa mga nagresultang karagdagan:

5. Pina-multiply namin ang matrix na ito sa pamamagitan ng reciprocal ng determinant, iyon ay, sa pamamagitan ng 1/26:

6. Well, ngayon kailangan lang nating suriin:

Sa panahon ng pag-verify, nakatanggap kami ng isang identity matrix, samakatuwid, ang desisyon ay ginawa nang tama.

2 paraan upang makalkula ang inverse matrix.

1. Elementarya na pagbabago ng mga matrice

2. Inverse matrix sa pamamagitan ng elementary converter.

Kasama sa pagbabago ng elementary matrix ang:

1. Pag-multiply ng string sa isang non-zero na numero.

2. Pagdaragdag sa alinmang linya ng isa pang linya, na pinarami ng numero.

3. Pagpapalit ng mga hilera ng matrix.

4. Paglalapat ng isang kadena ng elementarya na pagbabago, nakakakuha tayo ng isa pang matrix.

PERO -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. A -1*A=E

Tingnan natin ito sa isang praktikal na halimbawa na may totoong mga numero.

Pagsasanay: Hanapin ang inverse matrix.

Desisyon:

Suriin natin:

Isang maliit na paglilinaw sa solusyon:

Una naming pinalitan ang mga hilera 1 at 2 ng matrix, pagkatapos ay pinarami namin ang unang hilera sa (-1).

Pagkatapos nito, ang unang hilera ay pinarami ng (-2) at idinagdag sa pangalawang hilera ng matrix. Pagkatapos ay pinarami namin ang 2nd row sa 1/4.

Ang huling yugto ng pagbabago ay ang pagpaparami ng ikalawang hanay ng 2 at ang pagdaragdag mula sa una. Bilang resulta, mayroon kaming identity matrix sa kaliwa, samakatuwid, ang inverse matrix ay ang matrix sa kanan.

Pagkatapos suriin, kumbinsido kami sa kawastuhan ng solusyon.

Tulad ng nakikita mo, ang pagkalkula ng inverse matrix ay napaka-simple.

Sa pagtatapos ng panayam na ito, nais ko ring maglaan ng ilang oras sa mga katangian ng naturang matrix.

Ang matrix na $A^(-1)$ ay tinatawag na inverse ng square matrix $A$ kung $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, kung saan $E $ ay ang identity matrix, ang pagkakasunod-sunod nito ay katumbas ng pagkakasunod-sunod ng matrix na $A$.

Ang non-singular matrix ay isang matrix na ang determinant ay hindi katumbas ng zero. Alinsunod dito, ang isang degenerate matrix ay isa na ang determinant ay katumbas ng zero.

Ang inverse matrix na $A^(-1)$ ay umiiral kung at tanging kung ang matrix na $A$ ay nonsingular. Kung ang inverse matrix na $A^(-1)$ ay umiiral, ito ay natatangi.

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang kabaligtaran ng isang matrix, at titingnan natin ang dalawa sa kanila. Tatalakayin ng pahinang ito ang magkadugtong na pamamaraan ng matrix, na itinuturing na pamantayan sa karamihan ng mas matataas na kurso sa matematika. Ang pangalawang paraan upang mahanap ang inverse matrix (paraan ng elementarya na pagbabago), na kinabibilangan ng paggamit ng Gauss method o ang Gauss-Jordan method, ay isinasaalang-alang sa ikalawang bahagi.

Adjoint (union) matrix method

Hayaang ibigay ang matrix na $A_(n\times n)$. Upang mahanap ang inverse matrix na $A^(-1)$, tatlong hakbang ang kinakailangan:

1. Hanapin ang determinant ng matrix na $A$ at siguraduhin na ang $\Delta A\neq 0$, i.e. na ang matrix A ay hindi nabubulok.
2. Bumuo ng algebraic complements $A_(ij)$ ng bawat elemento ng matrix $A$ at isulat ang matrix $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ mula sa nahanap algebraic complements.
3. Isulat ang inverse matrix na isinasaalang-alang ang formula na $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Ang matrix na $(A^(*))^T$ ay madalas na tinutukoy bilang ang magkadugtong (mutual, allied) na matrix ng $A$.

Kung ang desisyon ay ginawa nang manu-mano, kung gayon ang unang pamamaraan ay mabuti lamang para sa mga matrice na medyo maliit na mga order: pangalawa (), pangatlo (), pang-apat (). Upang mahanap ang inverse matrix para sa mas mataas na order matrix, ginagamit ang iba pang mga pamamaraan. Halimbawa, ang pamamaraang Gauss, na tinalakay sa ikalawang bahagi.

Halimbawa #1

Hanapin ang matrix inverse sa matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Dahil ang lahat ng elemento ng ikaapat na column ay katumbas ng zero, kung gayon ang $\Delta A=0$ (ibig sabihin, ang matrix na $A$ ay degenerate). Dahil $\Delta A=0$, walang matrix inverse sa $A$.

Halimbawa #2

Hanapin ang inverse ng matrix sa matrix $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Ginagamit namin ang magkadugtong na pamamaraan ng matrix. Una, hanapin natin ang determinant ng ibinigay na matrix $A$:

$$ \Delta A=\kaliwa| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Dahil $\Delta A \neq 0$, kung gayon ang inverse matrix ay umiiral, kaya ipinagpatuloy namin ang solusyon. Paghahanap ng Algebraic Complements

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Bumuo ng isang matrix ng algebraic complements: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Ilipat ang resultang matrix: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (ang resultang Ang matrix ay madalas na tinatawag na adjoint o unyon matrix sa matrix $A$). Gamit ang formula na $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, mayroon kaming:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\kanan) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Kaya ang inverse matrix ay natagpuan: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \kanan) $. Upang suriin ang katotohanan ng resulta, sapat na upang suriin ang katotohanan ng isa sa mga pagkakapantay-pantay: $A^(-1)\cdot A=E$ o $A\cdot A^(-1)=E$. Suriin natin ang pagkakapantay-pantay na $A^(-1)\cdot A=E$. Upang gumana nang mas kaunti sa mga fraction, papalitan namin ang matrix na $A^(-1)$ hindi sa anyong $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\kanan)$ ngunit bilang $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\right)$:

Sagot: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Halimbawa #3

Hanapin ang inverse ng matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Magsimula tayo sa pagkalkula ng determinant ng matrix na $A$. Kaya, ang determinant ng matrix na $A$ ay:

$$ \Delta A=\kaliwa| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Dahil ang $\Delta A\neq 0$, kung gayon ang inverse matrix ay umiiral, kaya't ipinagpatuloy namin ang solusyon. Nahanap namin ang mga algebraic na pandagdag ng bawat elemento ng ibinigay na matrix:

Bumubuo kami ng isang matrix ng mga algebraic na karagdagan at inilipat ito:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Gamit ang formula na $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, nakukuha namin ang:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 at -3/26 at 37/26 \end(array) \right) $$

Kaya $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Upang suriin ang katotohanan ng resulta, sapat na upang suriin ang katotohanan ng isa sa mga pagkakapantay-pantay: $A^(-1)\cdot A=E$ o $A\cdot A^(-1)=E$. Suriin natin ang pagkakapantay-pantay $A\cdot A^(-1)=E$. Upang hindi gaanong gumana sa mga fraction, papalitan namin ang matrix na $A^(-1)$ hindi sa anyong $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, ngunit bilang $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Ang tseke ay matagumpay na naipasa, ang inverse matrix na $A^(-1)$ ay natagpuan nang tama.

Sagot: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Halimbawa #4

Hanapin ang matrix inverse ng $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Para sa isang matrix ng ikaapat na pagkakasunud-sunod, ang paghahanap ng inverse matrix gamit ang mga algebraic na pagdaragdag ay medyo mahirap. Gayunpaman, ang mga ganitong halimbawa ay matatagpuan sa mga gawaing kontrol.

Upang mahanap ang inverse matrix, kailangan mo munang kalkulahin ang determinant ng matrix $A$. Ang pinakamahusay na paraan upang gawin ito sa sitwasyong ito ay upang palawakin ang determinant sa isang hilera (column). Pinipili namin ang anumang row o column at hinahanap ang algebraic complement ng bawat elemento ng napiling row o column.

Karaniwan, ang mga inverse na operasyon ay ginagamit upang pasimplehin ang mga kumplikadong algebraic na expression. Halimbawa, kung ang problema ay naglalaman ng operasyon ng paghahati sa pamamagitan ng isang fraction, maaari mo itong palitan ng operasyon ng pagpaparami sa pamamagitan ng isang reciprocal, na kung saan ay ang kabaligtaran na operasyon. Bukod dito, hindi maaaring hatiin ang mga matrice, kaya kailangan mong i-multiply sa inverse matrix. Ang pagkalkula ng kabaligtaran ng isang 3x3 matrix ay medyo nakakapagod, ngunit kailangan mong magawa ito nang manu-mano. Maaari mo ring mahanap ang reciprocal na may mahusay na graphing calculator.

Mga hakbang

Gamit ang kalakip na matrix

Ilipat ang orihinal na matrix. Ang transposisyon ay ang pagpapalit ng mga hilera na may mga haligi na nauugnay sa pangunahing dayagonal ng matrix, iyon ay, kailangan mong palitan ang mga elemento (i, j) at (j, i). Sa kasong ito, ang mga elemento ng pangunahing dayagonal (nagsisimula sa kaliwang sulok sa itaas at nagtatapos sa kanang sulok sa ibaba) ay hindi nagbabago.

• Upang magpalit ng mga row para sa mga column, isulat ang mga elemento ng unang row sa unang column, ang mga elemento ng pangalawang row sa pangalawang column, at ang mga elemento ng ikatlong row sa ikatlong column. Ang pagkakasunud-sunod ng pagbabago ng posisyon ng mga elemento ay ipinapakita sa figure, kung saan ang mga kaukulang elemento ay binilog na may mga kulay na bilog.

Hanapin ang kahulugan ng bawat 2x2 matrix. Ang bawat elemento ng anumang matrix, kabilang ang inilipat, ay nauugnay sa isang katumbas na 2x2 matrix. Upang makahanap ng 2x2 matrix na tumutugma sa isang partikular na elemento, i-cross out ang row at column kung saan matatagpuan ang elementong ito, iyon ay, kailangan mong i-cross out ang limang elemento ng orihinal na 3x3 matrix. Apat na elemento na mga elemento ng kaukulang 2x2 matrix ay mananatiling hindi natawid.

• Halimbawa, upang mahanap ang 2x2 matrix para sa elemento na matatagpuan sa intersection ng pangalawang row at unang column, ekis ang limang elemento na nasa pangalawang row at unang column. Ang natitirang apat na elemento ay mga elemento ng katumbas na 2x2 matrix.
• Hanapin ang determinant ng bawat 2x2 matrix. Upang gawin ito, ibawas ang produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal mula sa produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal (tingnan ang figure).
• Ang detalyadong impormasyon tungkol sa 2x2 matrice na naaayon sa ilang mga elemento ng isang 3x3 matrix ay matatagpuan sa Internet.

Lumikha ng isang matrix ng mga cofactors. Itala ang mga resulta na nakuha nang mas maaga sa anyo ng isang bagong matrix ng mga cofactor. Upang gawin ito, isulat ang natagpuang determinant ng bawat 2x2 matrix kung saan matatagpuan ang kaukulang elemento ng 3x3 matrix. Halimbawa, kung ang isang 2x2 matrix ay isinasaalang-alang para sa elemento (1,1), isulat ang determinant nito sa posisyon (1,1). Pagkatapos ay baguhin ang mga palatandaan ng kaukulang mga elemento ayon sa isang tiyak na pattern, na ipinapakita sa figure.

• Sign change scheme: ang tanda ng unang elemento ng unang linya ay hindi nagbabago; ang tanda ng pangalawang elemento ng unang linya ay baligtad; ang tanda ng ikatlong elemento ng unang linya ay hindi nagbabago, at iba pa sa linya sa linya. Mangyaring tandaan na ang mga palatandaan na "+" at "-", na ipinapakita sa diagram (tingnan ang figure), ay hindi nagpapahiwatig na ang kaukulang elemento ay magiging positibo o negatibo. Sa kasong ito, ang tanda na "+" ay nagpapahiwatig na ang tanda ng elemento ay hindi nagbabago, at ang tanda ng "-" ay nagpapahiwatig na ang tanda ng elemento ay nagbago.
• Ang detalyadong impormasyon tungkol sa mga cofactor matrice ay matatagpuan sa Internet.
• Ito ay kung paano mo mahahanap ang nauugnay na matrix ng orihinal na matrix. Minsan ito ay tinatawag na kumplikadong conjugate matrix. Ang nasabing matrix ay tinukoy bilang adj(M).

Hatiin ang bawat elemento ng magkadugtong na matrix ng determinant. Ang determinant ng matrix M ay kinakalkula sa pinakadulo simula upang suriin na ang inverse matrix ay umiiral. Ngayon hatiin ang bawat elemento ng magkadugtong na matrix sa pamamagitan ng determinant na ito. Itala ang resulta ng bawat operasyon ng paghahati kung saan matatagpuan ang kaukulang elemento. Kaya makikita mo ang matrix, ang kabaligtaran ng orihinal.

• Ang determinant ng matrix na ipinapakita sa figure ay 1. Kaya, ang nauugnay na matrix dito ay ang inverse matrix (dahil ang paghahati ng anumang numero sa 1 ay hindi nagbabago nito).
• Sa ilang mga mapagkukunan, ang operasyon ng paghahati ay pinapalitan ng pagpaparami ng operasyon ng 1/det(M). Sa kasong ito, hindi nagbabago ang resulta.

Isulat ang inverse matrix. Isulat ang mga elemento na matatagpuan sa kanang kalahati ng malaking matrix bilang isang hiwalay na matrix, na isang inverse matrix.

Ipasok ang orihinal na matrix sa memorya ng calculator. Upang gawin ito, i-click ang pindutan ng Matrix, kung magagamit. Para sa isang Texas Instruments calculator, maaaring kailanganin mong pindutin ang 2 nd at Matrix buttons.

Piliin ang Edit menu. Gawin ito gamit ang mga arrow button o ang kaukulang function button na matatagpuan sa tuktok ng keyboard ng calculator (ang lokasyon ng button ay depende sa modelo ng calculator).

Ipasok ang pagtatalaga ng matrix. Karamihan sa mga graphical na calculator ay maaaring gumana sa 3-10 matrice, na maaaring tukuyin ng mga titik A-J. Bilang pangkalahatang tuntunin, piliin lamang ang [A] upang tukuyin ang orihinal na matrix. Pagkatapos ay pindutin ang Enter button.

Ipasok ang laki ng matrix. Ang artikulong ito ay nagsasalita tungkol sa 3x3 matrice. Ngunit ang mga graphical na calculator ay maaaring gumana sa malalaking matrice. Ipasok ang bilang ng mga row, pindutin ang Enter button, pagkatapos ay ipasok ang bilang ng mga column at pindutin muli ang Enter button.

Ipasok ang bawat elemento ng matrix. Isang matrix ang ipapakita sa screen ng calculator. Kung ang isang matrix ay naipasok na sa calculator dati, ito ay lilitaw sa screen. Iha-highlight ng cursor ang unang elemento ng matrix. Ipasok ang halaga ng unang elemento at pindutin ang Enter. Ang cursor ay awtomatikong lilipat sa susunod na elemento ng matrix.

Ang Matrix A -1 ay tinatawag na inverse matrix na may paggalang sa matrix A, kung A * A -1 \u003d E, kung saan ang E ay ang identity matrix ng nth order. Ang inverse matrix ay maaari lamang umiral para sa mga square matrice.

Pagtatalaga ng serbisyo. Gamit ang serbisyong ito online, makakahanap ka ng mga algebraic na karagdagan, transposed matrix AT , union matrix at inverse matrix. Ang solusyon ay direktang isinasagawa sa site (online) at libre. Ang mga resulta ng pagkalkula ay ipinakita sa isang ulat sa format ng Word at sa format na Excel (iyon ay, posible na suriin ang solusyon). tingnan ang halimbawa ng disenyo.

Pagtuturo. Upang makakuha ng solusyon, dapat mong tukuyin ang sukat ng matrix. Susunod, sa bagong dialog box, punan ang matrix A .

Dimensyon ng matrix 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tingnan din ang Inverse Matrix ng Jordan-Gauss Method

Algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix

1. Paghahanap ng transposed matrix A T .
2. Kahulugan ng algebraic na mga karagdagan. Palitan ang bawat elemento ng matrix ng algebraic complement nito.
3. Pagbubuo ng kabaligtaran na matrix mula sa mga algebraic na pagdaragdag: ang bawat elemento ng nagresultang matrix ay hinati sa determinant ng orihinal na matrix. Ang resultang matrix ay ang kabaligtaran ng orihinal na matrix.

Susunod inverse matrix algorithm katulad ng nauna, maliban sa ilang hakbang: una, ang algebraic complements ay kinakalkula, at pagkatapos ay ang unyon matrix C ay tinutukoy.

1. Tukuyin kung ang matrix ay parisukat. Kung hindi, walang inverse matrix para dito.
2. Pagkalkula ng determinant ng matrix A . Kung hindi ito katumbas ng zero, ipagpatuloy namin ang solusyon, kung hindi, ang inverse matrix ay hindi umiiral.
3. Kahulugan ng algebraic na mga karagdagan.
4. Pagpuno sa unyon (mutual, adjoint) matrix C .
5. Compilation ng inverse matrix mula sa algebraic na mga karagdagan: bawat elemento ng adjoint matrix C ay hinahati sa determinant ng orihinal na matrix. Ang resultang matrix ay ang kabaligtaran ng orihinal na matrix.
6. Gumawa ng tsek: i-multiply ang orihinal at ang mga resultang matrice. Ang resulta ay dapat na isang identity matrix.

Halimbawa #1. Isinulat namin ang matrix sa form:

Algebraic na mga karagdagan.

A 1.1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1.3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2.1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2.2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2.3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3.1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3.2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3.3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Pagkatapos baligtad na matris maaaring isulat bilang:

A -1 = 1 / 10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Isa pang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix

Nagpapakita kami ng isa pang pamamaraan para sa paghahanap ng kabaligtaran na matrix.

1. Hanapin ang determinant ng ibinigay na square matrix A .
2. Nakakita kami ng mga algebraic na karagdagan sa lahat ng elemento ng matrix A .
3. Isinulat namin ang mga algebraic na pandagdag ng mga elemento ng mga hilera sa mga haligi (transposisyon).
4. Hinahati namin ang bawat elemento ng resultang matrix sa pamamagitan ng determinant ng matrix A .

Tulad ng nakikita mo, ang operasyon ng transposisyon ay maaaring ilapat pareho sa simula, sa ibabaw ng orihinal na matrix, at sa dulo, sa mga resultang algebraic na pagdaragdag.

Isang espesyal na kaso: Ang kabaligtaran, na may paggalang sa identity matrix E , ay ang identity matrix E .