Curvilinear integral ng unang uri para sa mga dummies. MA

Teoretikal na minimum

Ang mga integral na curvilinear at pang-ibabaw ay kadalasang nangyayari sa pisika. Dumating sila sa dalawang uri, ang una ay tinalakay dito. Ito
ang uri ng mga integral ay itinayo ayon sa pangkalahatang pamamaraan, ayon sa kung saan ang mga tiyak, doble at triple na mga integral ay ipinakilala. Alalahanin natin sa madaling sabi ang pamamaraang ito.
Mayroong ilang bagay kung saan isinasagawa ang pagsasama (one-dimensional, two-dimensional o three-dimensional). Ang bagay na ito ay nahahati sa maliliit na bahagi,
isang punto ang pinipili sa bawat bahagi. Sa bawat isa sa mga puntong ito, ang halaga ng integrand ay kinakalkula at pinarami ng sukat ng bahaging iyon
nabibilang ang ibinigay na punto (ang haba ng segment, ang lugar o dami ng bahagyang lugar). Pagkatapos ang lahat ng naturang mga produkto ay summed, at ang limitasyon
paglipat sa paghahati ng isang bagay sa walang katapusang maliliit na bahagi. Ang resultang limitasyon ay tinatawag na integral.

1. Kahulugan ng isang curvilinear integral ng unang uri

Isaalang - alang ang isang function na tinukoy sa isang curve . Ang curve ay ipinapalagay na maaaring ituwid. Alalahanin kung ano ang ibig sabihin nito, sa halos pagsasalita,
na ang isang polyline na may di-makatwirang maliliit na link ay maaaring isulat sa isang kurba, at sa limitasyon ng isang walang katapusang malaking bilang ng mga link, ang haba ng polyline ay dapat manatili
pangwakas. Ang kurba ay nahahati sa bahagyang mga arko ng haba at isang punto ang pipiliin sa bawat isa sa mga arko. Ang gawain ay pinagsama-sama
pagsusuma sa lahat ng bahagyang arko . Pagkatapos ang pagpasa sa limitasyon ay isinasagawa na may pagkahilig sa haba ng pinakamalaki
mula sa mga bahagyang arko hanggang sa zero. Ang limitasyon ay isang curvilinear integral ng unang uri
.
Ang isang mahalagang katangian ng integral na ito, na direktang sumusunod sa kahulugan nito, ay ang kalayaan mula sa direksyon ng pagsasama, i.e.
.

2. Kahulugan ng isang integral sa ibabaw ng unang uri

Isaalang-alang ang isang function na tinukoy sa isang makinis o pira-pirasong makinis na ibabaw. Ang ibabaw ay nahahati sa bahagyang mga rehiyon
na may mga lugar , pipiliin ang isang punto sa bawat nasabing lugar. Isang gawain ang iniipon , ang pagbubuod
sa lahat ng bahagyang mga lugar . Pagkatapos ang pagpasa sa limitasyon ay isinasagawa na may pagkahilig ng diameter ng pinakamalaki sa lahat ng bahagyang
mga lugar sa zero. Ang limitasyon ay isang integral sa ibabaw ng unang uri
.

3. Pagkalkula ng isang curvilinear integral ng unang uri

Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng curvilinear integral ng unang uri ay makikita na mula sa pormal na notasyon nito, ngunit sa katunayan ito ay sumusunod nang direkta mula sa
mga kahulugan. Ang integral ay nabawasan sa isang tiyak, kailangan lamang na isulat ang kaugalian ng arko ng kurba kung saan isinasagawa ang pagsasama.
Magsimula tayo sa isang simpleng kaso ng pagsasama sa isang kurba ng eroplano na ibinigay ng isang tahasang equation . Sa kasong ito, ang arc differential
.
Pagkatapos, sa integrand, ang variable ay binago, at ang integral ay kumukuha ng form
,
kung saan ang segment ay tumutugma sa pagbabago sa variable kasama ang bahaging iyon ng curve kung saan isinasagawa ang pagsasama.

Kadalasan ang curve ay nakatakda sa parametrically, i.e. uri ng mga equation. Pagkatapos ay ang arc differential
.
Napakadaling bigyang-katwiran ang formula na ito. Talaga, ito ay ang Pythagorean theorem. Ang arc differential ay talagang ang haba ng isang infinitesimal na bahagi ng curve.
Kung ang curve ay makinis, kung gayon ang infinitesimal na bahagi nito ay maaaring ituring na rectilinear. Para sa isang tuwid na linya, ang kaugnayan
.
Upang ito ay maisakatuparan para sa isang maliit na arko ng kurba, ang isa ay dapat na pumasa mula sa may hangganang mga pagdaragdag hanggang sa mga kaugalian:
.
Kung ang curve ay ibinigay sa parametrically, kung gayon ang mga pagkakaiba ay kinakalkula lamang:
atbp.
Alinsunod dito, pagkatapos baguhin ang mga variable sa integrand, ang curvilinear integral ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
,
kung saan ang bahagi ng kurba kung saan isinasagawa ang pagsasama ay tumutugma sa bahagi ng pagbabago sa parameter.

Ang sitwasyon ay medyo mas kumplikado kapag ang curve ay tinukoy sa curvilinear coordinates. Ang tanong na ito ay karaniwang tinatalakay sa balangkas ng kaugalian
geometry. Magbigay tayo ng pormula para sa pagkalkula ng integral sa kahabaan ng kurba na ibinigay sa mga polar coordinate ng equation:
.
Magbigay din tayo ng katwiran para sa arc differential sa polar coordinates. Detalyadong talakayan ng gridding ng polar coordinate system
cm. . Pumili tayo ng isang maliit na arko ng kurba na matatagpuan kaugnay ng mga linya ng coordinate tulad ng ipinapakita sa Fig. 1. Dahil sa kaliitan ng lahat
arcs muli, maaari mong ilapat ang Pythagorean theorem at isulat:
.
Mula dito ay sumusunod sa nais na expression para sa kaugalian ng arko.

Mula sa isang purong teoretikal na pananaw, medyo madaling maunawaan na ang curvilinear integral ng unang uri ay dapat na bawasan sa espesyal na kaso nito -
isang tiyak na integral. Sa katunayan, ang paggawa ng pagbabago na idinidikta ng parametrization ng curve kung saan kinakalkula ang integral, itinatatag namin
isa-sa-isang pagmamapa sa pagitan ng isang bahagi ng isang ibinigay na curve at isang segment ng pagbabago ng parameter . At ito ang pagbawas sa integral
kasama ang isang tuwid na linya na tumutugma sa coordinate axis - isang tiyak na integral.

4. Pagkalkula ng integral sa ibabaw ng unang uri

Pagkatapos ng nakaraang punto, dapat na malinaw na ang isa sa mga pangunahing bahagi ng pagkalkula ng isang integral sa ibabaw ng unang uri ay ang pagsulat ng isang elemento sa ibabaw,
kung saan isinasagawa ang pagsasanib. Muli, magsimula tayo sa simpleng kaso ng isang ibabaw na ibinigay ng isang tahasang equation . Pagkatapos
.
Ang isang pagbabago ay ginawa sa integrand, at ang surface integral ay nabawasan sa double integral:
,
kung saan ang rehiyon ng eroplano kung saan ang isang bahagi ng ibabaw ay inaasahang kung saan ang pagsasama ay isinasagawa.

Gayunpaman, madalas na imposibleng tukuyin ang isang ibabaw sa pamamagitan ng isang tahasang equation, at pagkatapos ay tinukoy ito sa parametrically, i.e. mga equation ng form
.
Ang elemento ng ibabaw sa kasong ito ay nakasulat na mas kumplikado:
.
Ang integral sa ibabaw ay nakasulat sa kaukulang paraan:
,
kung saan ang hanay ng mga parameter na tumutugma sa bahagi ng ibabaw kung saan isinasagawa ang pagsasama.

5. Ang pisikal na kahulugan ng curvilinear at surface integral ng unang uri

Ang mga integral na tinatalakay ay may napakasimple at malinaw na pisikal na kahulugan. Hayaang magkaroon ng ilang kurba na ang linear density ay hindi
pare-pareho, at isang function ng punto . Hanapin natin ang masa ng kurba na ito. Hatiin natin ang kurba sa maraming maliliit na elemento,
sa loob kung saan ang density nito ay maaaring maituring na pare-pareho. Kung ang haba ng isang maliit na piraso ng kurba ay , kung gayon ang masa nito
, kung saan ang anumang punto ng napiling piraso ng curve (anuman, dahil ang density ay nasa loob
ng piraso na ito ay ipinapalagay na humigit-kumulang pare-pareho). Alinsunod dito, ang masa ng buong kurba ay nakuha sa pamamagitan ng pagbubuod ng mga masa ng mga indibidwal na bahagi nito:
.
Upang ang pagkakapantay-pantay ay maging eksakto, ang isa ay dapat pumasa sa limitasyon ng paghahati ng kurba sa walang katapusang maliliit na bahagi, ngunit ito ang curvilinear integral ng unang uri.

Katulad nito, ang tanong ng kabuuang singil ng curve ay nalutas kung ang linear charge density ay kilala .

Ang mga pagsasaalang-alang na ito ay madaling ilipat sa kaso ng isang hindi pantay na sisingilin na ibabaw na may density ng bayad sa ibabaw . Pagkatapos
ang surface charge ay isang surface integral ng unang uri
.

Puna . Ang isang masalimuot na formula para sa isang elemento sa ibabaw na ibinigay parametrically ay hindi maginhawa para sa pagsasaulo. Ang isa pang expression ay nakuha sa differential geometry,
ginagamit nito ang tinatawag na. ang unang parisukat na anyo ng ibabaw.

Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga curvilinear integral ng unang uri

Halimbawa 1 Integral sa isang linya.
Kalkulahin ang Integral

kasama ang segment ng linya na dumadaan sa mga puntos at .

Una, isinulat namin ang equation ng tuwid na linya kung saan isinasagawa ang pagsasama: . Maghanap tayo ng expression para sa:
.
Kinakalkula namin ang integral:

Halimbawa 2 Integral sa isang curve sa eroplano.
Kalkulahin ang Integral

kasama ang arko ng isang parabola mula sa punto hanggang punto.

Ang mga ibinigay na puntos at nagpapahintulot sa amin na ipahayag ang variable mula sa parabola equation: .

Kinakalkula namin ang integral:
.

Gayunpaman, posible na magsagawa ng mga kalkulasyon sa ibang paraan, gamit ang katotohanan na ang curve ay ibinibigay ng isang equation na nalutas nang may paggalang sa variable .
Kung kukuha tayo ng variable bilang parameter, hahantong ito sa isang bahagyang pagbabago sa expression para sa arc differential:
.
Alinsunod dito, medyo magbabago ang integral:
.
Ang integral na ito ay madaling kalkulahin sa pamamagitan ng subsuming ng variable sa ilalim ng differential. Ang resulta ay ang parehong integral tulad ng sa unang paraan ng pagkalkula.

Halimbawa 3 Integral sa isang curve sa eroplano (gamit ang parametrization).
Kalkulahin ang Integral

kasama ang tuktok na kalahati ng circumference .

Maaari mong, siyempre, ipahayag ang isa sa mga variable mula sa equation ng bilog, at pagkatapos ay isagawa ang natitirang mga kalkulasyon sa karaniwang paraan. Ngunit maaari mo ring gamitin
kahulugan ng parametric curve. Tulad ng alam mo, ang isang bilog ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng mga equation. Itaas na kalahating bilog
tumutugma sa pagbabago ng parameter sa loob ng . Kalkulahin ang arc differential:
.
kaya,

Halimbawa 4 Integral sa isang curve sa isang eroplano na ibinigay sa polar coordinates.
Kalkulahin ang Integral

kasama ang kanang lobe ng lemniscate .


Ang pagguhit sa itaas ay nagpapakita ng isang lemniscate. Ang pagsasama ay dapat isagawa kasama ang kanang umbok nito. Hanapin natin ang arc differential para sa curve :
.
Ang susunod na hakbang ay upang matukoy ang mga limitasyon ng pagsasama sa ibabaw ng polar angle. Ito ay malinaw na ang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat hawakan, at samakatuwid
.
Kinakalkula namin ang integral:

Halimbawa 5 Integral kasama ang isang curve sa espasyo.
Kalkulahin ang Integral

kasama ang pagliko ng helix na naaayon sa mga limitasyon ng pagbabago ng parameter

Ang problema ng masa ng kurba. Hayaang sa bawat punto ng isang piecewise-smooth material curve L: (AB) ang density nito ay ibigay. Tukuyin ang masa ng kurba.

Nagpapatuloy kami sa parehong paraan tulad ng ginawa namin kapag tinutukoy ang masa ng isang patag na rehiyon (double integral) at isang spatial body (triple integral).

1. Ayusin ang paghahati ng rehiyon-arc L sa mga elemento - elementarya arc upang ang mga elementong ito ay walang karaniwang panloob na mga punto at
(kondisyon A )

2. Minarkahan namin ang mga elemento ng partisyon na "markahang mga puntos" M i at kinakalkula ang mga halaga ng pag-andar sa kanila

3. Buuin ang integral sum
, saan - haba ng arko (karaniwan ay ang parehong mga pagtatalaga para sa arko at ang haba nito ay ipinakilala). Ito ay isang tinatayang halaga para sa masa ng kurba. Ang pagpapasimple ay ipinapalagay namin na ang densidad ng arko ay pare-pareho sa bawat elemento at kumuha ng isang tiyak na bilang ng mga elemento.

Pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng kundisyon
(kondisyon B ), nakakakuha tayo ng curvilinear integral ng unang uri bilang limitasyon ng integral sums:

.

Teorama ng pag-iral 10 .

Hayaan ang function
ay tuloy-tuloy sa isang putol-putol na makinis na arko L 11 . Pagkatapos ay umiiral ang curvilinear integral ng unang uri bilang limitasyon ng integral sums.

Magkomento. Ang limitasyong ito ay hindi nakasalalay sa

    paraan ng pagpili ng partition, basta kundisyon A

    pagpili ng "markahang mga punto" sa mga elemento ng partisyon,

    paraan para sa pagpino ng partisyon, hangga't ang kundisyon B ay nasiyahan

Mga katangian ng isang curvilinear integral ng unang uri.

1. Linearity a) pag-aari ng superposisyon

b) katangian ng homogeneity
.

Patunay. Isulat natin ang mga integral na kabuuan para sa mga integral sa kaliwang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay. Dahil ang bilang ng mga termino sa integral sum ay may hangganan, lumipat tayo sa integral sums para sa kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay pumasa kami sa limitasyon, ayon sa teorama sa pagpasa sa limitasyon sa pagkakapantay-pantay, nakuha namin ang nais na resulta.

2. Pagkadagdag. Kung ang
, pagkatapos
=
+

Patunay. Pinipili namin ang partition ng domain L upang wala sa mga elemento ng partition (sa una at kapag ang partition ay pino) ay naglalaman ng parehong mga elemento L 1 at mga elemento L 2 sa parehong oras. Ito ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagkakaroon ng theorem (puna sa theorem). Dagdag pa, ang patunay ay isinasagawa sa mga tuntunin ng integral sums, tulad ng sa Seksyon 1.

3.
.Dito - haba ng arko .

4. Kung sa isang arko ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan, kung gayon

Patunay. Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay para sa mga integral sums at ipasa sa limitasyon.

Tandaan na, sa partikular, posible

5. Teorama ng pagtatantya.

Kung may mga pare-pareho
, isang bagay

Patunay. Pagsasama-sama ng hindi pagkakapantay-pantay
(property 4), nakukuha namin
. Sa pamamagitan ng ari-arian 1 constants
maaaring kunin mula sa ilalim ng mga integral. Gamit ang property 3, nakukuha namin ang ninanais na resulta.

6. Mean theorem(ang halaga ng integral).

May punto
, Ano

Patunay. Dahil ang function
ay tuloy-tuloy sa isang closed bounded set , pagkatapos ay umiiral ang infimum nito
at tuktok na gilid
. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay natupad. Ang paghahati sa parehong bahagi ng L, nakukuha natin
. Pero ang dami
nakapaloob sa pagitan ng lower at upper bounds ng function. Dahil ang function
ay tuloy-tuloy sa isang closed bounded set L, pagkatapos ay sa isang punto
dapat kunin ng function ang halagang ito. Kaya naman,
.

Ang isang curve AB na ibinigay ng mga parametric equation ay tinatawag na smooth kung ang mga function at may tuluy-tuloy na derivatives sa segment at, bukod pa rito, kung ang mga derivatives na ito ay hindi umiiral sa isang finite number of points sa segment o maglaho nang sabay-sabay, kung gayon ang curve ay tinatawag na piecewise smooth. . Hayaang ang AB ay isang kurba ng eroplano, makinis o hiwa-hiwalay na makinis. Hayaang ang f(M) ay isang function na tinukoy sa isang curve AB o sa ilang domain D na naglalaman ng curve na ito. Isaalang-alang natin ang paghahati ng kurba A B sa mga bahagi ayon sa mga puntos (Larawan 1). Pinipili namin ang isang di-makatwirang punto Mk sa bawat isa sa mga arko A^At+i at binubuo ang kabuuan kung saan ang Alt ay ang haba ng arko at tinatawag itong integral na kabuuan para sa function na f(M) sa haba ng arko ng kurba . Hayaang ang D / ang pinakamalaki sa haba ng mga partial arc, ibig sabihin, Mga katangian ng mga curvilinear integral ng unang uri para sa mga space curve Mga curvilinear integral ng 2nd kind Pagkalkula ng isang curvilinear integral Kung para sa , ang integral sum (I) ay may hangganan na limitasyon, na hindi nakasalalay sa paraan ng paghahati ng kurba AB sa mga bahagi, o sa pagpili ng mga puntos sa bawat arko ng partisyon, kung gayon ang limitasyong ito ay tinatawag na isang curvilinear integral ng \ -th na uri ng function na f (M) kasama ang curve AB (integral sa haba ng arc ng curve) at tinutukoy ng simbolo Sa kasong ito, ang function / (M) ay tinatawag integrable sa kahabaan ng curve ABU, ang curve AB ay tinatawag na integration contour, A - ang inisyal, B - ang mga end point ng integration. Kaya, ayon sa kahulugan, Halimbawa 1. Hayaang maipamahagi ang isang masa na may variable linear density J(M) kasama ang ilang makinis na kurba L. Hanapin ang mass m ng curve L. (2) Hatiin natin ang curve L sa n arbitrary na bahagi) at kalkulahin ang humigit-kumulang masa ng bawat bahagi, sa pag-aakalang ang density sa bawat bahagi ay pare-pareho at katumbas ng density sa ilang ng mga punto nito, halimbawa, sa matinding kaliwang punto /(Af*). Pagkatapos ang sum ksho kung saan ang D/d ay ang haba ng Dz-th na bahagi, ay magiging isang tinatayang halaga ng mass m. Malinaw na ang error ay magiging mas maliit, mas pino ang paghahati ng curve L. Sa limitasyon habang nakukuha natin ang eksaktong halaga ng masa ng buong kurba L, i.e. Ngunit ang limitasyon sa kanan ay isang curvilinear integral ng unang uri. Samakatuwid, 1.1. Pagkakaroon ng Curvilinear Integral ng 1st Kind Kunin natin ang haba ng arko I bilang parameter sa curve AB, binibilang mula sa panimulang punto A (Fig. 2). Pagkatapos ang curve AB ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng mga equation (3) kung saan ang L ay ang haba ng curve AB. Ang mga equation (3) ay tinatawag na natural na equation ng curve AB. Sa pagpasa sa mga natural na equation, ang function na f(x) y) na ibinigay sa curve AB ay mababawasan sa isang function ng variable I: / (x(1)) y(1)). Ang pagtukoy sa pamamagitan ng halaga ng parameter I, na tumutugma sa puntong Mku, muling isinulat namin ang integral sum (I) sa form Kaya, (5) Theorem 1. Kung ang function na f(M) ay tuloy-tuloy sa isang makinis na kurba AB, kung gayon mayroong isang curvilinear integral (dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito ay mayroong isang tiyak na integral sa kanan sa pagkakapantay-pantay (5). 1.2. Properties of Curvilinear Integrals of the 1st Kind 1. Ito ay sumusunod mula sa anyo ng integral sum (1) na i.e. ang halaga ng isang curvilinear integral ng unang uri ay hindi nakasalalay sa direksyon ng pagsasama. 2. Linearity. Kung para sa bawat isa sa mga function /() mayroong isang curvilinear integral sa kahabaan ng curve ABt, kung gayon para sa function na a/, kung saan ang a at /3 ay anumang mga constant, mayroon ding isang curvilinear integral kasama ang curve AB> at 3. Additivity . Kung ang curve AB ay binubuo ng dalawang piraso at para sa function /(M) mayroong isang curvilinear integral sa ibabaw ng ABU, pagkatapos ay mayroong mga integral at 4. Kung 0 sa curve AB, pagkatapos ay 5. Kung ang function ay integrable sa curve AB , pagkatapos ay ang function || ay maisasama rin sa A B, at saka b. Average na formula ng halaga. Kung ang function / ay tuloy-tuloy sa kahabaan ng curve AB, pagkatapos ay sa curve na ito mayroong isang punto Mc kung saan ang L ay ang haba ng curve AB. 1.3. Pagkalkula ng isang Curvilinear Integral ng 1st Kind Hayaang ibigay ang curve AB sa pamamagitan ng mga parametric equation, kung saan tumutugma ang point A sa value na t = to, at tumutugma ang point B sa value. Ipagpalagay namin na ang mga function) ay tuloy-tuloy kasama ang kanilang mga derivatives at ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak Pagkatapos ang kaugalian ng arko ng curve ay kinakalkula ng formula B - ang halaga ng x = 6, pagkatapos, ang pagkuha ng x bilang isang parameter, kami makakuha ng 1.4. Curvilinear Integrals ng 1st Kind para sa Spatial Curves Ang kahulugan ng isang curvilinear integral ng 1st kind na binabalangkas sa itaas para sa isang plane curve ay maaaring literal na ilipat sa case kapag ang function na f(M) ay ibinigay kasama ng ilang spatial curve AB. Hayaang ang curve AB ay ibigay sa pamamagitan ng parametric equation Mga katangian ng curvilinear integral ng unang uri para sa spatial curve Mga curvilinear integral ng 2nd kind integral kung saan ang L ay ang contour ng triangle na may vertices sa isang punto * (Fig. 3). Sa pamamagitan ng pag-aari ng additivity, mayroon tayong Hayaan na kalkulahin natin ang bawat isa sa mga integral nang hiwalay. Dahil sa segment OA mayroon tayo: , pagkatapos Sa segment AH mayroon tayo, saan at pagkatapos Fig. Panghuli, Samakatuwid, Puna. Kapag kinakalkula ang mga integral, ginamit namin ang property 1, ayon sa kung saan. Mga Curvilinear Integrals ng Pangalawang Uri Hayaan ang AB na maging isang makinis o piecewise-smooth oriented na curve sa xOy plane at hayaang maging vector function na tinukoy sa ilang domain D na naglalaman ng curve AB. Hinahati namin ang curve AB sa mga bahagi sa pamamagitan ng mga puntos na ang mga coordinate ay tinutukoy namin ayon sa pagkakabanggit (Larawan 4). Sa bawat elementary arcs AkAk+\ kumukuha tayo ng arbitrary na punto at binubuo ang kabuuan. Hayaan ang D/ ang haba ng pinakamalaki sa mga arko. Depinisyon. Kung para sa , ang kabuuan (1) ay may hangganan, na hindi nakasalalay sa paraan ng paghahati ng kurba AB o sa pagpili ng mga puntos na rjk) sa mga elementarya na arko, kung gayon ang limitasyong ito ay tinatawag na curvilinear integral ng 2-lungsod. ng vector function sa ibabaw ng curve AB at ipinapahiwatig ng simbolo So by definition Theorem 2. Kung ang mga function ay tuloy-tuloy sa ilang domain D na naglalaman ng curve AB, kung gayon ang curvilinear integral ng 2-city ay umiiral. Hayaan ang radius vector ng puntong M(x, y). Pagkatapos ang integrand sa formula (2) ay maaari ding katawanin bilang scalar product ng mga vectors F(M) at dr. Kaya ang integral ng ika-2 uri ng isang vector function sa kahabaan ng curve AB ay maaaring maisulat sa madaling sabi tulad ng sumusunod: 2.1. Pagkalkula ng isang Curvilinear Integral ng 2nd Kind Hayaang ang curve AB ay ibigay ng mga parametric equation, kung saan ang mga function ay tuloy-tuloy kasama ng mga derivatives sa segment, at ang pagbabago sa parameter na t mula t0 hanggang t \ ay tumutugma sa paggalaw ng isang ituro sa kahabaan ng curve AB mula sa punto A hanggang sa punto B. Kung sa ilang rehiyon D, na naglalaman ng kurba AB, ang mga function ay tuloy-tuloy, kung gayon ang curvilinear integral ng ika-2 uri ay nababawasan sa sumusunod na tiyak na integral: Kaya, ang pagkalkula ng Ang curvilinear integral ng ika-2 uri ay maaari ding bawasan sa pagkalkula ng isang tiyak na integral. O) Halimbawa 1. Kalkulahin ang integral sa kahabaan ng isang tuwid na bahagi ng linya na nagkokonekta sa mga punto 2) kasama ang isang parabola na nagkokonekta sa parehong manipis na mga linya) Equation ng parameter ng linya, kung saan kaya 2) Equation ng linya AB: Samakatuwid ang itinuturing na halimbawa ay nagpapahid na ang halaga ng curvilinear integral ng 2nd kind , sa pangkalahatan, ay depende sa anyo ng integration path. 2.2. Mga Katangian ng isang Curvilinear Integral a ng Ikalawang Uri 1. Linearity. Kung may mga Properties ng curvilinear integral ng 1st kind para sa spatial curve Curvilinear integrals ng 2nd kind Pagkalkula ng curvilinear integral Properties Relationship between then for any real a and /5 there is an integral kung saan 2. Additenost. Kung ang curve AB ay nahahati sa mga bahaging AC at SB at ang curvilinear integral ay umiiral, kung gayon ang mga integral ay umiiral din. nagbabago ang sign sa kabaligtaran. 2.3. Koneksyon sa pagitan ng mga curvilinear integral ng 1st at 2nd kind Isaalang-alang ang isang curvilinear integral ng 2nd kind kung saan naka-orient ang curve AB) (Fig. 6). Pagkatapos ang dr o kung saan ang r = m(1) ay ang unit vector ng padaplis sa curve AB sa puntong M(1). Pagkatapos Tandaan na ang huling integral sa formula na ito ay isang curvilinear integral ng unang uri. Kapag nagbago ang oryentasyon ng curve AB, ang unit vector ng tangent r ay pinapalitan ng kabaligtaran na vector (-r), na nangangailangan ng pagbabago sa tanda ng integrand nito at, samakatuwid, ang sign ng integral mismo.

Lecture 5 Curvilinear integral ng 1st at 2nd kind, ang kanilang mga katangian ..

Ang problema ng masa ng kurba. Curvilinear integral ng 1st kind.

Ang problema ng masa ng kurba. Hayaang sa bawat punto ng piecewise-smooth material curve L: (AB) ang density nito ay ibigay. Tukuyin ang masa ng kurba.

Nagpapatuloy kami sa parehong paraan tulad ng ginawa namin kapag tinutukoy ang masa ng isang patag na rehiyon (double integral) at isang spatial body (triple integral).

1. Ayusin ang pagkahati ng rehiyon ng arko L sa mga elemento - mga elementarya na arko upang ang mga elementong ito ay walang mga karaniwang panloob na punto at ( kondisyon A )

3. Buuin natin ang integral sum , kung saan ang haba ng arko (karaniwan ay ang parehong mga pagtatalaga ay ipinakilala para sa arko at haba nito). Ito ay isang tinatayang halaga para sa masa ng kurba. Ang pagpapasimple ay ipinapalagay namin na ang densidad ng arko ay pare-pareho sa bawat elemento at kumuha ng isang tiyak na bilang ng mga elemento.

Pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng kundisyon (kondisyon B ), nakakakuha tayo ng curvilinear integral ng unang uri bilang limitasyon ng integral sums:

.

Ang pagkakaroon ng teorama.

Hayaang tuluy-tuloy ang function sa isang piecewise smooth arc L. Pagkatapos ay umiiral ang curvilinear integral ng unang uri bilang limitasyon ng integral sums.

Magkomento. Ang limitasyong ito ay hindi nakasalalay sa

Mga katangian ng isang curvilinear integral ng unang uri.

1. Linearity
a) pag-aari ng superposisyon

b) katangian ng homogeneity .

Patunay. Isulat natin ang mga integral na kabuuan para sa mga integral sa kaliwang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay. Dahil ang bilang ng mga termino sa integral sum ay may hangganan, lumipat tayo sa integral sums para sa kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay pumasa kami sa limitasyon, ayon sa teorama sa pagpasa sa limitasyon sa pagkakapantay-pantay, nakuha namin ang nais na resulta.

2. Pagkadagdag.
Kung ang , pagkatapos = +

3. .Narito ang haba ng arko .

4. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa arko, kung gayon

Patunay. Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay para sa mga integral sums at ipasa sa limitasyon.

Tandaan na, sa partikular, posible

5. Teorama ng pagtatantya.

Kung may mga pare-parehong ganyan, kung gayon

Patunay. Pagsasama-sama ng hindi pagkakapantay-pantay (property 4), nakukuha namin . Sa pamamagitan ng ari-arian 1, ang mga constant ay maaaring alisin mula sa ilalim ng mga integral. Gamit ang property 3, nakukuha namin ang ninanais na resulta.

6. Mean theorem(ang halaga ng integral).

May punto , Ano

Patunay. Dahil ang function ay tuloy-tuloy sa isang closed bounded set , kung gayon ang infimum nito ay umiiral at tuktok na gilid . Ang hindi pagkakapantay-pantay ay natupad. Ang paghahati sa magkabilang panig ng L, nakukuha natin . Pero ang dami nakapaloob sa pagitan ng lower at upper bounds ng function. Dahil tuloy-tuloy ang function sa isang closed bounded set L, dapat kunin ng function ang value na ito sa ilang punto. Kaya naman, .

Pagkalkula ng isang curvilinear integral ng unang uri.

Parametrize namin ang arko L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Hayaang tumutugma ang t 0 sa puntong A, at ang t 1 ay tumutugma sa punto B. Pagkatapos ay ang curvilinear integral ng unang uri ay bumababa sa isang tiyak na integral ( - ang formula na kilala mula sa 1st semester para sa pagkalkula ng pagkakaiba ng haba ng arko):

Halimbawa. Kalkulahin ang masa ng isang pagliko ng isang homogenous (density katumbas ng k) helix: .

Curvilinear integral ng ika-2 uri.

Ang problema ng gawain ng puwersa.

Gaano karaming trabaho ang ginagawa ng puwersa?F(M) kapag inililipat ang puntoMsa isang arkoAB?

Kung ang arc AB ay isang tuwid na linya ng segment, at ang puwersa ay magiging pare-pareho sa magnitude at direksyon kapag ang punto M ay gumagalaw sa kahabaan ng arko AB, kung gayon ang gawain ay maaaring kalkulahin ng formula , kung saan ang anggulo sa pagitan ng mga vectors. Sa pangkalahatang kaso, ang formula na ito ay maaaring gamitin upang bumuo ng isang integral sum, sa pag-aakalang ang puwersa ay pare-pareho sa isang elemento ng arko na may sapat na maliit na haba. Sa halip na haba ng isang maliit na elemento ng arko, maaari mong kunin ang haba ng chord na i-subtending ito, dahil ang mga dami na ito ay katumbas ng infinitesimal na dami sa ilalim ng kundisyon (unang semestre).

1. Ayusin ang pagkahati ng rehiyon-arc AB sa mga elemento - mga elementarya na arko upang ang mga elementong ito ay walang mga karaniwang panloob na punto at ( kondisyon A )

2. Minarkahan namin ang mga elemento ng partisyon na "markahang mga puntos" M i at kinakalkula ang mga halaga ng pag-andar sa kanila

3. Buuin ang integral sum , kung saan nakadirekta ang vector sa kahabaan ng chord na nagpapa-subtend sa -arc .

4. Pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng kondisyon (kondisyon B ), nakakakuha tayo ng curvilinear integral ng pangalawang uri bilang limitasyon ng integral sums (at ang gawain ng puwersa):

. Madalas na tinutukoy

Ang pagkakaroon ng teorama.

Hayaang maging tuluy-tuloy ang vector function sa isang piecewise smooth arc L. Pagkatapos ay umiiral ang curvilinear integral ng pangalawang uri bilang limitasyon ng integral sums.

.

Magkomento. Ang limitasyong ito ay hindi nakasalalay sa

Isang paraan para sa pagpili ng partition, hangga't ang kundisyon A ay nasiyahan

Pagpili ng "markahang mga puntos" sa mga elemento ng partisyon,

Isang paraan para sa pagpino ng partisyon, hangga't ang kundisyon B ay nasiyahan

Mga katangian ng isang curvilinear integral ng ika-2 uri.

1. Linearity
a) pag-aari ng superposisyon

b) katangian ng homogeneity .

Patunay. Isulat natin ang mga integral na kabuuan para sa mga integral sa kaliwang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay. Dahil ang bilang ng mga termino sa integral sum ay may hangganan, gamit ang ari-arian ng scalar product, pumasa tayo sa integral sums para sa kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay pumasa kami sa limitasyon, ayon sa teorama sa pagpasa sa limitasyon sa pagkakapantay-pantay, nakuha namin ang nais na resulta.

2. Pagkadagdag.
Kung ang , pagkatapos = + .

Patunay. Pumili tayo ng partition ng domain L upang wala sa mga elemento ng partition (sa una at kapag ang partition ay pino) ay naglalaman ng parehong mga elemento L 1 at mga elemento L 2 sa parehong oras. Ito ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagkakaroon ng theorem (puna sa theorem). Dagdag pa, ang patunay ay isinasagawa sa mga tuntunin ng integral sums, tulad ng sa Seksyon 1.

3. Orientability.

= -

Patunay. Ang arc integral –L, i.e. sa negatibong direksyon ng pag-bypass sa arko, mayroong limitasyon ng integral sums, sa mga tuntunin kung saan mayroong () sa halip. Ang pagkuha ng "minus" mula sa scalar na produkto at mula sa kabuuan ng isang may hangganan na bilang ng mga termino, na pumasa sa limitasyon, nakuha namin ang kinakailangang resulta.

Para sa kaso kapag ang lugar ng pagsasama ay isang segment ng ilang kurba na nakahiga sa isang eroplano. Ang pangkalahatang notasyon ng curvilinear integral ay ang mga sumusunod:

saan f(x, y) ay isang function ng dalawang variable, at L- curve, ayon sa segment AB kung saan nagaganap ang pagsasanib. Kung ang integrand ay katumbas ng isa, kung gayon ang curvilinear integral ay katumbas ng haba ng arc AB .

Gaya ng nakasanayan sa integral calculus, ang curvilinear integral ay nauunawaan bilang limitasyon ng integral sums ng ilang napakaliit na bahagi ng isang bagay na napakalaki. Ano ang summarized sa kaso ng mga curvilinear integral?

Magkaroon ng segment sa eroplano AB ilang kurba L, at ang function ng dalawang variable f(x, y) tinukoy sa mga punto ng kurba L. Isagawa natin ang sumusunod na algorithm sa segment na ito ng curve.

  1. Split Curve AB sa bahaging may mga tuldok (mga figure sa ibaba).
  2. Sa bawat bahagi, malayang pumili ng isang punto M.
  3. Hanapin ang halaga ng function sa mga napiling punto.
  4. I-multiply ang mga halaga ng function sa pamamagitan ng
    • ang haba ng mga bahagi kung sakaling curvilinear integral ng unang uri ;
    • projection ng mga bahagi papunta sa coordinate axis sa case curvilinear integral ng pangalawang uri .
  5. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng produkto.
  6. Hanapin ang limitasyon ng natagpuang integral sum sa ilalim ng kondisyon na ang haba ng pinakamahabang bahagi ng curve ay may posibilidad na zero.

Kung umiiral ang limitasyong ito, kung gayon ito limitasyon ng integral sum at tinatawag na curvilinear integral ng function f(x, y) kasama ang kurba AB .


unang uri

Curvilinear integral case
pangalawang uri

Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon.

Mako ( ζ ako ; η i)- isang punto na may mga coordinate na pinili sa bawat seksyon.

fako ( ζ ako ; η i)- halaga ng function f(x, y) sa napiling punto.

Δ si- haba ng isang bahagi ng isang segment ng curve (sa kaso ng isang curvilinear integral ng unang uri).

Δ xi- projection ng isang bahagi ng curve segment papunta sa axis baka(sa kaso ng isang curvilinear integral ng pangalawang uri).

d= maxΔ s i ay ang haba ng pinakamahabang bahagi ng curve segment.

Curvilinear integral ng unang uri

Batay sa itaas tungkol sa limitasyon ng integral sums, ang curvilinear integral ng unang uri ay nakasulat bilang sumusunod:

.

Ang curvilinear integral ng unang uri ay mayroong lahat ng mga katangian na tiyak na integral. Gayunpaman, mayroong isang mahalagang pagkakaiba. Para sa isang tiyak na integral, kapag ang mga limitasyon ng pagsasama ay ipinagpapalit, ang tanda ay nagbabago sa kabaligtaran:

Sa kaso ng isang curvilinear integral ng unang uri, hindi mahalaga kung alin sa mga punto ng curve AB (A o B) isaalang-alang ang simula ng segment, at kung aling dulo, iyon ay

.

Curvilinear integral ng pangalawang uri

Batay sa kung ano ang sinabi tungkol sa limitasyon ng integral sums, ang curvilinear integral ng pangalawang uri ay nakasulat tulad ng sumusunod:

.

Sa kaso ng isang curvilinear integral ng pangalawang uri, kapag ang simula at dulo ng isang segment ng curve ay nabaligtad, ang tanda ng integral ay nagbabago:

.

Kapag kino-compile ang integral sum ng isang curvilinear integral ng pangalawang uri, ang mga halaga ng function fako ( ζ ako ; η i) maaari ding i-multiply sa projection ng mga bahagi ng curve segment papunta sa axis Oy. Pagkatapos makuha namin ang integral

.

Sa pagsasagawa, ang unyon ng mga curvilinear integral ng pangalawang uri ay karaniwang ginagamit, iyon ay, dalawang pag-andar f = P(x, y) at f = Q(x, y) at integral

,

at ang kabuuan ng mga integral na ito

tinawag pangkalahatang curvilinear integral ng pangalawang uri .

Pagkalkula ng mga curvilinear integral ng unang uri

Ang pagkalkula ng mga curvilinear integral ng unang uri ay binabawasan sa pagkalkula ng mga tiyak na integral. Isaalang-alang natin ang dalawang kaso.

Hayaang magbigay ng kurba sa eroplano y = y(x) at isang curve segment AB tumutugma sa pagbabago ng variable x mula sa a dati b. Pagkatapos sa mga punto ng curve ang integrand f(x, y) = f(x, y(x)) (Ang "y" ay dapat ipahayag sa pamamagitan ng "x"), at ang arc differential at ang curvilinear integral ay maaaring kalkulahin ng formula

.

Kung ang integral ay mas madaling pagsamahin y, pagkatapos ay mula sa equation ng curve ito ay kinakailangan upang ipahayag x = x(y) ("x" hanggang "y"), kung saan at ang integral ay kinakalkula ng formula

.

Halimbawa 1

saan AB- segment ng linya sa pagitan ng mga punto A(1; −1) at B(2; 1) .

Desisyon. Bumuo ng equation ng isang tuwid na linya AB, gamit ang formula (ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos A(x1 ; y 1 ) at B(x2 ; y 2 ) ):

Mula sa equation ng isang tuwid na linya ay ipinapahayag namin y sa pamamagitan ng x :

Noon at ngayon maaari nating kalkulahin ang integral, dahil mayroon na lamang tayong "x" na natitira:

Hayaang magbigay ng kurba sa espasyo

Pagkatapos, sa mga punto ng curve, ang function ay dapat na ipahayag sa mga tuntunin ng parameter t() at ang arc differential , kaya ang curvilinear integral ay maaaring kalkulahin ng formula

Katulad nito, kung ang isang kurba ay ibinigay sa eroplano

,

pagkatapos ay ang curvilinear integral ay kinakalkula ng formula

.

Halimbawa 2 Kalkulahin ang Curvilinear Integral

saan L- bahagi ng linya ng bilog

matatagpuan sa unang octant.

Desisyon. Ang kurba na ito ay isang-kapat ng linya ng bilog, na matatagpuan sa eroplano z= 3 . Ito ay tumutugma sa mga halaga ng parameter. Bilang

tapos yung arc differential

Ipahayag natin ang integrand sa mga tuntunin ng parameter t :

Ngayon na mayroon kaming lahat ng ipinahayag sa pamamagitan ng isang parameter t, maaari nating bawasan ang pagkalkula ng curvilinear integral na ito sa isang tiyak na integral:

Pagkalkula ng mga curvilinear integral ng pangalawang uri

Tulad ng sa kaso ng mga curvilinear integral ng unang uri, ang pagkalkula ng mga integral ng pangalawang uri ay binabawasan sa pagkalkula ng mga tiyak na integral.

Ang curve ay ibinibigay sa Cartesian rectangular coordinate

Hayaang ang isang curve sa isang eroplano ay ibigay ng equation ng function na "y", na ipinahayag sa pamamagitan ng "x": y = y(x) at ang arko ng kurba AB tumutugma sa pagbabago x mula sa a dati b. Pagkatapos ay pinapalitan namin ang expression na "y" sa pamamagitan ng "x" sa integrand at tinutukoy ang kaugalian ng expression na ito na "y" na may paggalang sa "x": . Ngayon, kapag ang lahat ay ipinahayag sa pamamagitan ng "x", ang curvilinear integral ng pangalawang uri ay kinakalkula bilang isang tiyak na integral:

Katulad nito, ang isang curvilinear integral ng pangalawang uri ay kinakalkula kapag ang curve ay ibinigay ng equation ng function na "x", na ipinahayag sa pamamagitan ng "y": x = x(y) , . Sa kasong ito, ang formula para sa pagkalkula ng integral ay ang mga sumusunod:

Halimbawa 3 Kalkulahin ang Curvilinear Integral

, kung

a) L- segment ng tuwid na linya OA, saan O(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- arko ng isang parabola y = x² mula sa O(0; 0) hanggang A(1; −1) .

a) Kalkulahin ang curvilinear integral sa isang tuwid na bahagi ng linya (asul sa figure). Isulat natin ang equation ng isang tuwid na linya at ipahayag ang "Y" hanggang "X":

.

Nakukuha namin dy = dx. Niresolba namin ang curvilinear integral na ito:

b) kung L- arko ng isang parabola y = x² , nakukuha namin dy = 2xdx. Kinakalkula namin ang integral:

Sa halimbawang nalutas lang, nakuha namin ang parehong resulta sa dalawang kaso. At ito ay hindi isang pagkakataon, ngunit ang resulta ng isang pattern, dahil ang integral na ito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng sumusunod na teorama.

Teorama. Kung functions P(x,y) , Q(x,y) at ang kanilang mga partial derivatives , - tuloy-tuloy sa rehiyon D function at sa mga punto ng rehiyong ito, ang mga partial derivatives ay pantay, kung gayon ang curvilinear integral ay hindi nakasalalay sa landas ng pagsasama sa linya L matatagpuan sa rehiyon D .

Ang curve ay ibinibigay sa parametric form

Hayaang magbigay ng kurba sa espasyo

.

at sa mga integrand na pinapalitan natin

pagpapahayag ng mga function na ito sa pamamagitan ng isang parameter t. Nakukuha namin ang formula para sa pagkalkula ng curvilinear integral:

Halimbawa 4 Kalkulahin ang Curvilinear Integral

,

kung L- bahagi ng isang ellipse

pagtugon sa kondisyon y ≥ 0 .

Desisyon. Ang kurba na ito ay ang bahagi ng ellipse na nasa eroplano z= 2 . Ito ay tumutugma sa halaga ng parameter.

maaari nating katawanin ang curvilinear integral bilang isang tiyak na integral at kalkulahin ito:

Given a curvilinear integral and L- isang saradong linya, kung gayon ang naturang integral ay tinatawag na integral sa isang closed contour at mas madaling kalkulahin ito gamit Formula ni Green .

Higit pang Mga Halimbawa ng Pagkalkula ng Mga Curvilinear Integral

Halimbawa 5 Kalkulahin ang Curvilinear Integral

saan L- isang segment ng linya sa pagitan ng mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes.

Desisyon. Tukuyin natin ang mga punto ng intersection ng tuwid na linya gamit ang mga coordinate axes. Pagpapalit ng tuwid na linya sa equation y= 0 , nakukuha natin , . Pagpapalit x= 0 , nakukuha natin , . Kaya, ang punto ng intersection sa axis baka - A(2; 0), na may axis Oy - B(0; −3) .

Mula sa equation ng isang tuwid na linya ay ipinapahayag namin y :

.

, .

Ngayon ay maaari nating katawanin ang curvilinear integral bilang isang tiyak na integral at simulan itong kalkulahin:

Sa integrand, pipiliin namin ang factor , inalis namin ito sa integral sign. Sa resultang integrand, inilalapat namin pagdadala sa ilalim ng tanda ng kaugalian at sa wakas nakuha namin.

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO