Ang hindi bababa sa karaniwang denominator ay ginagamit upang pasimplehin ang equation na ito. Ginagamit ang paraang ito kapag hindi mo maisulat ang ibinigay na equation na may isang rational expression sa bawat panig ng equation (at gamitin ang cross multiplication method). Ginagamit ang paraang ito kapag binigyan ka ng rational equation na may 3 o higit pang fraction (sa kaso ng dalawang fraction, mas maganda ang cross multiplication).
Hanapin ang least common denominator ng mga fraction (o least common multiple). Ang NOZ ay ang pinakamaliit na numero na pantay na nahahati ng bawat denominator.
- Minsan ang NOZ ay isang halatang numero. Halimbawa, kung ang equation ay ibinigay: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, kung gayon ay malinaw na ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 3, 2 at 6 ay magiging 6.
- Kung ang NOD ay hindi halata, isulat ang mga multiple ng pinakamalaking denominator at hanapin sa kanila ang isa na maramihan din ng iba pang denominator. Madalas mong mahahanap ang NOD sa pamamagitan lamang ng pagpaparami ng dalawang denominator nang magkasama. Halimbawa, kung ang equation na x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 ay ibinigay, pagkatapos NOZ = 8*9 = 72.
- Kung ang isa o higit pang mga denominator ay naglalaman ng isang variable, kung gayon ang proseso ay medyo mas kumplikado (ngunit hindi imposible). Sa kasong ito, ang NOZ ay isang expression (naglalaman ng variable) na nahahati ng bawat denominator. Halimbawa, sa equation 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), dahil ang expression na ito ay nahahati sa bawat denominator: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
I-multiply ang numerator at denominator ng bawat fraction sa isang numero na katumbas ng resulta ng paghahati ng NOZ sa katumbas na denominator ng bawat fraction. Dahil pina-multiply mo ang numerator at denominator sa parehong numero, epektibo mong pinaparami ang fraction sa 1 (halimbawa, 2/2 = 1 o 3/3 = 1).
- Kaya sa aming halimbawa, i-multiply ang x/3 sa 2/2 upang makakuha ng 2x/6, at i-multiply ang 1/2 sa 3/3 upang makakuha ng 3/6 (3x + 1/6 ay hindi kailangang i-multiply dahil ito ang denominator ay 6).
- Magpatuloy nang katulad kapag ang variable ay nasa denominator. Sa aming pangalawang halimbawa NOZ = 3x(x-1), kaya 5/(x-1) beses (3x)/(3x) ay 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x beses ng 3(x-1)/3(x-1) para makakuha ng 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) i-multiply sa (x-1)/(x-1) at makakakuha ka ng 2(x-1)/3x(x-1).
Hanapin ang x. Ngayong binawasan mo na ang mga fraction sa isang common denominator, maaari mong alisin ang denominator. Upang gawin ito, i-multiply ang bawat panig ng equation sa pamamagitan ng isang common denominator. Pagkatapos ay lutasin ang nagresultang equation, iyon ay, hanapin ang "x". Upang gawin ito, ihiwalay ang variable sa isang bahagi ng equation.
- Sa aming halimbawa: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Maaari kang magdagdag ng 2 fraction na may parehong denominator, kaya isulat ang equation bilang: (2x+3)/6=(3x+1)/6. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 6 at alisin ang mga denominator: 2x+3 = 3x +1. Lutasin at makuha ang x = 2.
- Sa aming pangalawang halimbawa (na may variable sa denominator), ang equation ay parang (pagkatapos ng pagbabawas sa isang karaniwang denominator): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa NOZ, aalisin mo ang denominator at makuha ang: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), o 15x = 3x - 3 + 2x -2, o 15x = x - 5 Lutasin at makuha ang: x = -5/14.
Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa palakasan. Ang mga equation ay ginagamit ng tao mula pa noong unang panahon at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Sa ika-5 baitang, ang mga mag-aaral sa matematika ay nag-aaral ng maraming bagong paksa, isa na rito ang mga fractional equation. Para sa marami, ito ay isang medyo kumplikadong paksa na dapat tulungan ng mga magulang na maunawaan ng kanilang mga anak, at kung nakalimutan ng mga magulang ang matematika, maaari silang palaging gumamit ng mga online na programa na lumulutas ng mga equation. Kaya sa isang halimbawa, mabilis mong mauunawaan ang algorithm para sa paglutas ng mga equation na may mga fraction at matulungan ang iyong anak.
Sa ibaba, para sa kalinawan, malulutas namin ang isang simpleng fractional linear equation ng sumusunod na form:
\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]
Upang malutas ang ganitong uri ng equation, kinakailangan upang matukoy ang NOZ at i-multiply ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa pamamagitan nito:
\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]
Bibigyan tayo nito ng simpleng linear equation dahil ang common denominator pati na rin ang denominator ng bawat fractional term ay nagkansela:
Ilipat natin ang mga termino mula sa hindi alam patungo sa kaliwang bahagi:
Hatiin natin ang kaliwa at kanang bahagi ng -7:
Mula sa resulta na nakuha, maaaring makilala ang isang integer na bahagi, na siyang magiging huling resulta ng paglutas ng fractional equation na ito:
Saan ko malulutas ang equation na may mga fraction online?
Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https: // site. Ang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang online na equation ng anumang kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring panoorin ang pagtuturo ng video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming Vkontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.
Nagpatuloy kami sa pag-uusap solusyon ng mga equation. Sa artikulong ito, pagtutuunan natin ng pansin rational equation at mga prinsipyo para sa paglutas ng mga rational equation na may isang variable. Una, alamin natin kung anong uri ng mga equation ang tinatawag na rational, magbigay ng kahulugan ng integer rational at fractional rational equation, at magbigay ng mga halimbawa. Susunod, kukuha kami ng mga algorithm para sa paglutas ng mga rational equation, at, siyempre, isaalang-alang ang mga solusyon ng mga tipikal na halimbawa kasama ang lahat ng kinakailangang paliwanag.
Pag-navigate sa pahina.
Batay sa mga tunog na kahulugan, nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa ng mga rational equation. Halimbawa, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , ay pawang mga rational equation.
Mula sa mga halimbawang ipinakita, makikita na ang mga rational equation, gayundin ang mga equation ng iba pang uri, ay maaaring may isang variable, o may dalawa, tatlo, atbp. mga variable. Sa mga sumusunod na talata, pag-uusapan natin ang paglutas ng mga rational equation sa isang variable. Paglutas ng mga equation na may dalawang variable at ang kanilang malaking bilang ay nararapat na espesyal na atensyon.
Bilang karagdagan sa paghahati ng mga rational equation sa bilang ng mga hindi kilalang variable, nahahati din sila sa integer at fractional. Ibigay natin ang mga kaukulang kahulugan.
Kahulugan.
Tinatawag ang rational equation buo, kung pareho ang kaliwa at kanang bahagi nito ay integer rational expression.
Kahulugan.
Kung hindi bababa sa isa sa mga bahagi ng isang rational equation ay isang fractional expression, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na fractionally rational(o fractional rational).
Malinaw na ang mga integer equation ay hindi naglalaman ng dibisyon ng isang variable; sa kabilang banda, ang mga fractional rational equation ay kinakailangang naglalaman ng dibisyon ng isang variable (o isang variable sa denominator). Kaya 3 x+2=0 at (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5 ay buong rational equation, pareho ng kanilang mga bahagi ay integer expression. Ang A at x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ay mga halimbawa ng fractional rational equation.
Sa pagtatapos ng talatang ito, bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang mga linear equation at quadratic equation na kilala sa sandaling ito ay buong rational equation.
Paglutas ng mga equation ng integer
Ang isa sa mga pangunahing diskarte sa paglutas ng buong equation ay ang kanilang pagbawas sa katumbas algebraic equation. Ito ay palaging magagawa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga sumusunod na katumbas na pagbabago ng equation:
- una, ang expression mula sa kanang bahagi ng orihinal na integer equation ay inililipat sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na tanda upang makakuha ng zero sa kanang bahagi;
- pagkatapos nito, sa kaliwang bahagi ng equation, ang resultang karaniwang anyo.
Ang resulta ay isang algebraic equation na katumbas ng orihinal na buong equation. Kaya sa pinakasimpleng mga kaso, ang solusyon ng buong equation ay nabawasan sa solusyon ng linear o quadratic equation, at sa pangkalahatang kaso - sa solusyon ng isang algebraic equation ng degree n. Para sa kalinawan, pag-aralan natin ang solusyon ng halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang mga ugat ng buong equation 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.
Desisyon.
Bawasan natin ang solusyon ng buong equation na ito sa solusyon ng isang katumbas na algebraic equation. Upang gawin ito, una, inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa, bilang isang resulta ay nakarating kami sa equation 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. At, pangalawa, binabago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi sa isang polynomial ng karaniwang anyo sa pamamagitan ng paggawa ng kinakailangan: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Kaya, ang solusyon ng orihinal na integer equation ay nabawasan sa solusyon ng quadratic equation x 2 −5·x−6=0 .
Kalkulahin ang discriminant nito D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, ito ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na makikita natin sa pamamagitan ng formula ng mga ugat ng quadratic equation:
Upang maging ganap na sigurado, gawin natin pagsuri sa mga natagpuang ugat ng equation. Una, sinusuri namin ang ugat 6, palitan ito sa halip na ang variable na x sa orihinal na integer equation: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, na pareho, 63=63 . Ito ay isang wastong numerical equation, kaya ang x=6 ay talagang ugat ng equation. Ngayon suriin namin ang ugat −1 , mayroon kami 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, saan, 0=0 . Para sa x=−1, ang orihinal na equation ay naging tunay na numerical equality, samakatuwid, x=−1 din ang ugat ng equation.
Sagot:
6 , −1 .
Dito dapat ding tandaan na ang terminong "kapangyarihan ng isang buong equation" ay nauugnay sa representasyon ng isang buong equation sa anyo ng isang algebraic equation. Nagbibigay kami ng kaukulang kahulugan:
Kahulugan.
Ang antas ng buong equation tawagan ang antas ng isang algebraic equation na katumbas nito.
Ayon sa kahulugang ito, ang buong equation mula sa nakaraang halimbawa ay may pangalawang antas.
Sa isang ito ay maaaring matapos sa solusyon ng buong rational equation, kung hindi para sa isa ngunit .... Tulad ng nalalaman, ang solusyon ng mga algebraic equation ng degree na mas mataas kaysa sa pangalawa ay nauugnay sa mga makabuluhang paghihirap, at para sa mga equation ng degree na mas mataas kaysa sa ikaapat, walang mga pangkalahatang formula para sa mga ugat sa lahat. Samakatuwid, upang malutas ang buong mga equation ng ikatlo, ikaapat, at mas mataas na antas, ang isa ay madalas na kailangang gumamit ng iba pang mga pamamaraan ng solusyon.
Sa ganitong mga kaso, kung minsan ang diskarte sa paglutas ng buong rational equation batay sa paraan ng factorization. Kasabay nito, sinusunod ang sumusunod na algorithm:
- una nilang hinahangad na magkaroon ng zero sa kanang bahagi ng equation, para dito inililipat nila ang expression mula sa kanang bahagi ng buong equation sa kaliwa;
- pagkatapos, ang resultang expression sa kaliwang bahagi ay ipinakita bilang isang produkto ng ilang mga kadahilanan, na nagpapahintulot sa iyo na pumunta sa isang hanay ng ilang mga mas simpleng equation.
Ang algorithm sa itaas para sa paglutas ng buong equation sa pamamagitan ng factorization ay nangangailangan ng isang detalyadong paliwanag gamit ang isang halimbawa.
Halimbawa.
Lutasin ang buong equation (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .
Desisyon.
Una, tulad ng dati, inililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwang bahagi ng equation, hindi nakakalimutang baguhin ang sign, nakukuha namin (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Malinaw dito na hindi ipinapayong baguhin ang kaliwang bahagi ng resultang equation sa isang polynomial ng karaniwang anyo, dahil magbibigay ito ng algebraic equation ng ika-apat na antas ng form. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, na ang solusyon ay mahirap.
Sa kabilang banda, kitang-kita na ang x 2 −10·x+13 ay matatagpuan sa kaliwang bahagi ng resultang equation, sa gayon ay kinakatawan ito bilang isang produkto. Meron kami (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ang resultang equation ay katumbas ng orihinal na buong equation, at ito naman, ay maaaring palitan ng isang set ng dalawang quadratic equation x 2 −10·x+13=0 at x 2 −2·x−1=0 . Ang paghahanap ng kanilang mga ugat gamit ang mga kilalang root formula sa pamamagitan ng discriminant ay hindi mahirap, ang mga ugat ay pantay. Sila ang gustong mga ugat ng orihinal na equation.
Sagot:
Kapaki-pakinabang din ito para sa paglutas ng buong rational equation. paraan para sa pagpapakilala ng bagong variable. Sa ilang mga kaso, pinapayagan nito ang isa na pumasa sa mga equation na ang antas ay mas mababa kaysa sa antas ng orihinal na integer equation.
Halimbawa.
Hanapin ang tunay na mga ugat ng isang rational equation (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
Desisyon.
Ang pagbabawas ng integer rational equation na ito sa isang algebraic equation ay, sa madaling salita, hindi isang napakagandang ideya, dahil sa kasong ito ay darating tayo sa pangangailangang lutasin ang isang fourth-degree na equation na walang rational roots. Samakatuwid, kakailanganin mong maghanap ng isa pang solusyon.
Madaling makita dito na maaari kang magpakilala ng bagong variable na y at palitan ang expression na x 2 +3 x dito. Ang ganitong kapalit ay humahantong sa amin sa buong equation (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , na, pagkatapos ilipat ang expression −2 (y−4) sa kaliwang bahagi at kasunod na pagbabago ng expression na nabuo doon, binabawasan sa equation y 2 +4 y+3=0 . Ang mga ugat ng equation na ito y=−1 at y=−3 ay madaling mahanap, halimbawa, sila ay matatagpuan batay sa inverse theorem ng Vieta's theorem.
Ngayon ay lumipat tayo sa ikalawang bahagi ng paraan ng pagpapakilala ng bagong variable, iyon ay, sa paggawa ng reverse substitution. Pagkatapos isagawa ang reverse substitution, nakakuha tayo ng dalawang equation x 2 +3 x=−1 at x 2 +3 x=−3 , na maaaring muling isulat bilang x 2 +3 x+1=0 at x 2 +3 x+3 =0 . Ayon sa formula ng mga ugat ng quadratic equation, nakita natin ang mga ugat ng unang equation. At ang pangalawang quadratic equation ay walang tunay na mga ugat, dahil ang discriminant nito ay negatibo (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).
Sagot:
Sa pangkalahatan, kapag tayo ay nakikitungo sa mga integer equation na may mataas na antas, dapat tayong laging handa na maghanap ng hindi pamantayang pamamaraan o isang artipisyal na pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.
Solusyon ng mga fractionally rational equation
Una, magiging kapaki-pakinabang na maunawaan kung paano lutasin ang mga fractionally rational equation ng form , kung saan ang p(x) at q(x) ay mga rational integer expression. At pagkatapos ay ipapakita namin kung paano bawasan ang solusyon ng natitirang fractionally rational equation sa solusyon ng mga equation ng ipinahiwatig na anyo.
Ang isa sa mga diskarte sa paglutas ng equation ay batay sa sumusunod na pahayag: ang numerical fraction na u / v, kung saan ang v ay isang di-zero na numero (kung hindi man ay makakatagpo tayo ng , na hindi tinukoy), ay zero kung at lamang kung ang numerator nito ay zero, kung gayon ay, kung at kung u=0 lamang . Sa bisa ng pahayag na ito, ang solusyon ng equation ay nababawasan sa katuparan ng dalawang kondisyon p(x)=0 at q(x)≠0 .
Ang konklusyon na ito ay naaayon sa mga sumusunod algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational equation. Upang malutas ang isang fractional rational equation ng form
- lutasin ang buong rational equation p(x)=0 ;
- at suriin kung ang kondisyon q(x)≠0 ay nasiyahan para sa bawat natagpuang ugat, habang
- kung totoo, ang ugat na ito ay ang ugat ng orihinal na equation;
- kung hindi, ang ugat na ito ay extraneous, ibig sabihin, hindi ito ang ugat ng orihinal na equation.
Suriin natin ang isang halimbawa ng paggamit ng voiced algorithm kapag nilulutas ang isang fractional rational equation.
Halimbawa.
Hanapin ang mga ugat ng equation.
Desisyon.
Ito ay isang fractionally rational equation ng form , kung saan p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .
Ayon sa algorithm para sa paglutas ng mga fractionally rational equation ng ganitong uri, kailangan muna nating lutasin ang equation na 3·x−2=0 . Ito ay isang linear equation na ang ugat ay x=2/3 .
Ito ay nananatiling suriin para sa ugat na ito, iyon ay, upang suriin kung natutugunan nito ang kundisyon 5·x 2 −2≠0 . Pinapalitan natin ang numerong 2/3 sa halip na x sa expression na 5 x 2 −2, nakukuha natin . Ang kundisyon ay natutugunan, kaya ang x=2/3 ay ang ugat ng orihinal na equation.
Sagot:
2/3 .
Ang solusyon ng isang fractional rational equation ay maaaring lapitan mula sa isang bahagyang naiibang posisyon. Ang equation na ito ay katumbas ng buong equation p(x)=0 sa variable x ng orihinal na equation. Ibig sabihin, masusunod mo ito algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational equation :
- lutasin ang equation na p(x)=0 ;
- hanapin ang ODZ variable x ;
- kunin ang mga ugat na kabilang sa rehiyon ng mga tinatanggap na halaga - sila ang nais na mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.
Halimbawa, lutasin natin ang isang fractional rational equation gamit ang algorithm na ito.
Halimbawa.
Lutasin ang equation.
Desisyon.
Una, lutasin natin ang quadratic equation x 2 −2·x−11=0 . Ang mga ugat nito ay maaaring kalkulahin gamit ang root formula para sa kahit na pangalawang koepisyent, mayroon tayo D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, at .
Pangalawa, nakita natin ang ODZ ng variable x para sa orihinal na equation. Binubuo ito ng lahat ng numero kung saan x 2 +3 x≠0 , na pareho x (x+3)≠0 , kung saan x≠0 , x≠−3 .
Ito ay nananatiling suriin kung ang mga ugat na natagpuan sa unang hakbang ay kasama sa ODZ. Halatang oo. Samakatuwid, ang orihinal na fractionally rational equation ay may dalawang ugat.
Sagot:
Tandaan na ang diskarteng ito ay mas kumikita kaysa sa una kung ang ODZ ay madaling matagpuan, at ito ay lalong kapaki-pakinabang kung ang mga ugat ng equation na p(x)=0 ay hindi makatwiran, halimbawa, , o makatwiran, ngunit may medyo malaki. numerator at/o denominator, halimbawa, 127/1101 at -31/59 . Ito ay dahil sa katotohanan na sa mga ganitong kaso, ang pagsuri sa kundisyon q(x)≠0 ay mangangailangan ng makabuluhang pagsusumikap sa computational, at mas madaling ibukod ang mga extraneous na ugat mula sa ODZ.
Sa ibang mga kaso, kapag nilulutas ang equation, lalo na kapag ang mga ugat ng equation na p(x)=0 ay mga integer, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang una sa mga algorithm sa itaas. Iyon ay, ipinapayong mahanap agad ang mga ugat ng buong equation p(x)=0 , at pagkatapos ay suriin kung ang kondisyon q(x)≠0 ay nasiyahan para sa kanila, at hindi mahanap ang ODZ, at pagkatapos ay lutasin ang equation p(x)=0 sa ODZ na ito. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa mga ganitong kaso kadalasan ay mas madaling gumawa ng tseke kaysa sa hanapin ang ODZ.
Isaalang-alang ang solusyon ng dalawang halimbawa upang ilarawan ang mga itinakda na mga nuances.
Halimbawa.
Hanapin ang mga ugat ng equation.
Desisyon.
Una nating mahanap ang mga ugat ng buong equation (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, pinagsama-sama gamit ang numerator ng fraction. Ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay isang produkto, at ang kanang bahagi ay zero, samakatuwid, ayon sa paraan ng paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng factorization, ang equation na ito ay katumbas ng set ng apat na equation 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tatlo sa mga equation na ito ay linear at ang isa ay quadratic, maaari nating lutasin ang mga ito. Mula sa unang equation nakita natin ang x=1/2, mula sa pangalawa - x=6, mula sa pangatlo - x=7, x=−2, mula sa ikaapat - x=−1.
Sa mga ugat na natagpuan, medyo madaling suriin ang mga ito upang makita kung ang denominator ng fraction sa kaliwang bahagi ng orihinal na equation ay hindi naglalaho, at ito ay hindi napakadaling matukoy ang ODZ, dahil ito ay kailangang malutas ang isang algebraic equation ng ikalimang degree. Samakatuwid, tatanggi kaming hanapin ang ODZ pabor sa pagsuri sa mga ugat. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang mga ito sa halip na ang variable na x sa expression x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, nakuha pagkatapos ng pagpapalit, at ihambing ang mga ito sa zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0
;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
Kaya, ang 1/2, 6 at −2 ay ang gustong mga ugat ng orihinal na fractionally rational equation, at ang 7 at −1 ay mga extraneous na ugat.
Sagot:
1/2 , 6 , −2 .
Halimbawa.
Hanapin ang mga ugat ng isang fractional rational equation.
Desisyon.
Una nating mahanap ang mga ugat ng equation (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Ang equation na ito ay katumbas ng isang set ng dalawang equation: ang square 5·x 2 −7·x−1=0 at ang linear x−2=0 . Ayon sa pormula ng mga ugat ng quadratic equation, nakakahanap tayo ng dalawang ugat, at mula sa pangalawang equation mayroon tayong x=2.
Ang pagsuri kung ang denominator ay hindi nawawala sa nahanap na mga halaga ng x ay medyo hindi kasiya-siya. At upang matukoy ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable x sa orihinal na equation ay medyo simple. Samakatuwid, kikilos tayo sa pamamagitan ng ODZ.
Sa aming kaso, ang ODZ ng variable x ng orihinal na fractional rational equation ay binubuo ng lahat ng mga numero, maliban sa mga kung saan ang kundisyon x 2 +5·x−14=0 ay nasiyahan. Ang mga ugat ng quadratic equation na ito ay x=−7 at x=2, kung saan napagpasyahan natin ang tungkol sa ODZ: ito ay binubuo ng lahat ng x tulad na .
Ito ay nananatiling suriin kung ang mga natagpuang ugat at x=2 ay nabibilang sa rehiyon ng mga tinatanggap na halaga. Ang mga ugat - nabibilang, samakatuwid, sila ang mga ugat ng orihinal na equation, at ang x=2 ay hindi nabibilang, samakatuwid, ito ay isang extraneous na ugat.
Sagot:
Magiging kapaki-pakinabang din ang pag-isipan nang hiwalay sa mga kaso kung saan ang isang numero ay nasa numerator sa isang fractional rational equation ng form, iyon ay, kapag ang p (x) ay kinakatawan ng ilang numero. Kung saan
- kung ang numerong ito ay iba sa zero, kung gayon ang equation ay walang mga ugat, dahil ang fraction ay zero kung at kung ang numerator nito ay zero;
- kung ang numerong ito ay zero, kung gayon ang ugat ng equation ay anumang numero mula sa ODZ.
Halimbawa.
Desisyon.
Dahil mayroong isang non-zero na numero sa numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng equation, para sa walang x ay maaaring ang halaga ng fraction na ito ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation na ito ay walang mga ugat.
Sagot:
walang ugat.
Halimbawa.
Lutasin ang equation.
Desisyon.
Ang numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng fractional rational equation na ito ay zero, kaya ang halaga ng fraction na ito ay zero para sa anumang x kung saan ito ay may katuturan. Sa madaling salita, ang solusyon sa equation na ito ay anumang halaga ng x mula sa DPV ng variable na ito.
Ito ay nananatiling upang matukoy ang hanay na ito ng mga katanggap-tanggap na halaga. Kabilang dito ang lahat ng naturang halaga x kung saan x 4 +5 x 3 ≠0. Ang mga solusyon ng equation x 4 +5 x 3 \u003d 0 ay 0 at −5, dahil ang equation na ito ay katumbas ng equation x 3 (x + 5) \u003d 0, at ito naman, ay katumbas ng kumbinasyon. ng dalawang equation x 3 \u003d 0 at x +5=0 , mula sa kung saan makikita ang mga ugat na ito. Samakatuwid, ang nais na hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay anumang x , maliban sa x=0 at x=−5 .
Kaya, ang isang fractionally rational equation ay may walang katapusang maraming solusyon, na anumang mga numero maliban sa zero at minus lima.
Sagot:
Sa wakas, oras na para pag-usapan ang paglutas ng mga arbitrary fractional rational equation. Maaari silang isulat bilang r(x)=s(x) , kung saan ang r(x) at s(x) ay mga rational expression, at kahit isa sa mga ito ay fractional. Sa hinaharap, sinasabi namin na ang kanilang solusyon ay nabawasan sa paglutas ng mga equation ng form na pamilyar sa amin.
Alam na ang paglipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda ay humahantong sa isang katumbas na equation, kaya ang equation r(x)=s(x) ay katumbas ng equation r(x)−s (x)=0 .
Alam din namin na ang alinman ay maaaring magkapareho sa expression na ito. Kaya, palagi nating mababago ang rational expression sa kaliwang bahagi ng equation r(x)−s(x)=0 sa isang magkaparehong rational fraction ng form .
Kaya pumunta tayo mula sa orihinal na fractional rational equation r(x)=s(x) sa equation , at ang solusyon nito, tulad ng nalaman natin sa itaas, ay bumababa sa paglutas ng equation p(x)=0 .
Ngunit narito, kinakailangang isaalang-alang ang katotohanan na kapag pinapalitan ang r(x)−s(x)=0 ng , at pagkatapos ay sa p(x)=0 , maaaring lumawak ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng variable x .
Samakatuwid, ang orihinal na equation r(x)=s(x) at ang equation na p(x)=0 , na ating napuntahan, ay maaaring hindi katumbas, at sa pamamagitan ng paglutas ng equation na p(x)=0 , makakakuha tayo ng mga ugat na magiging mga extraneous na ugat ng orihinal na equation r(x)=s(x) . Posibleng tukuyin at huwag isama ang mga extraneous na ugat sa sagot, alinman sa pamamagitan ng pagsuri, o sa pamamagitan ng pagsuri sa kanilang pag-aari sa ODZ ng orihinal na equation.
Binubuod namin ang impormasyong ito sa algorithm para sa paglutas ng isang fractional rational equation r(x)=s(x). Upang malutas ang fractional rational equation r(x)=s(x) , dapat ang isa
- Kumuha ng zero sa kanan sa pamamagitan ng paglipat ng expression mula sa kanang bahagi na may kabaligtaran na palatandaan.
- Magsagawa ng mga aksyon na may mga fraction at polynomial sa kaliwang bahagi ng equation, at sa gayon ay ginagawa itong isang rational fraction ng form.
- Lutasin ang equation na p(x)=0 .
- Kilalanin at ibukod ang mga extraneous na ugat, na ginagawa sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila sa orihinal na equation o sa pamamagitan ng pagsuri sa kanilang pag-aari sa ODZ ng orihinal na equation.
Para sa higit na kalinawan, ipapakita namin ang buong chain ng paglutas ng mga fractional rational equation:
.
Tingnan natin ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa na may detalyadong paliwanag ng solusyon upang linawin ang ibinigay na bloke ng impormasyon.
Halimbawa.
Lutasin ang isang fractional rational equation.
Desisyon.
Kami ay kikilos alinsunod sa nakuha lamang na algorithm ng solusyon. At unang inilipat namin ang mga termino mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwang bahagi, bilang isang resulta ay ipinapasa namin ang equation .
Sa ikalawang hakbang, kailangan nating i-convert ang fractional rational expression sa kaliwang bahagi ng resultang equation sa anyo ng isang fraction. Upang gawin ito, ginagawa namin ang pagbabawas ng mga rational fraction sa isang common denominator at gawing simple ang resultang expression: . Kaya dumating tayo sa equation.
Sa susunod na hakbang, kailangan nating lutasin ang equation na −2·x−1=0 . Hanapin ang x=−1/2 .
Ito ay nananatiling suriin kung ang nahanap na numero −1/2 ay isang extraneous na ugat ng orihinal na equation. Upang gawin ito, maaari mong suriin o hanapin ang ODZ variable x ng orihinal na equation. Ipakita natin ang parehong mga diskarte.
Magsimula tayo sa isang tseke. Pinapalitan natin ang numerong −1/2 sa halip na ang variable na x sa orihinal na equation, nakukuha natin ang , na pareho, −1=−1. Ang pagpapalit ay nagbibigay ng tamang numerical equality, samakatuwid, ang x=−1/2 ay ang ugat ng orihinal na equation.
Ngayon ay ipapakita namin kung paano isinasagawa ang huling hakbang ng algorithm sa pamamagitan ng ODZ. Ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng orihinal na equation ay ang hanay ng lahat ng mga numero maliban sa −1 at 0 (kapag ang x=−1 at x=0, ang mga denominator ng mga fraction ay naglaho). Ang ugat na x=−1/2 na matatagpuan sa nakaraang hakbang ay kabilang sa ODZ, samakatuwid, ang x=−1/2 ay ang ugat ng orihinal na equation.
Sagot:
−1/2 .
Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang mga ugat ng equation.
Desisyon.
Kailangan nating lutasin ang isang fractionally rational equation, dumaan tayo sa lahat ng mga hakbang ng algorithm.
Una, inilipat namin ang termino mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, nakukuha namin .
Pangalawa, binabago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi: . Bilang resulta, dumating tayo sa equation x=0 .
Ang ugat nito ay halata - ito ay zero.
Sa ika-apat na hakbang, nananatili itong malaman kung ang ugat na natagpuan ay hindi isang labas para sa orihinal na fractionally rational equation. Kapag ito ay pinalitan sa orihinal na equation, ang expression ay nakuha. Malinaw, hindi ito makatuwiran, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Kung saan napagpasyahan namin na ang 0 ay isang extraneous na ugat. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay walang mga ugat.
7 , na humahantong sa equation . Mula dito maaari nating tapusin na ang expression sa denominator ng kaliwang bahagi ay dapat na katumbas ng mula sa kanang bahagi, iyon ay, . Ngayon ay ibawas namin mula sa parehong bahagi ng triple: . Sa pamamagitan ng pagkakatulad, mula saan, at higit pa.
Ipinapakita ng tseke na ang parehong natagpuang mga ugat ay ang mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.
Sagot:
Bibliograpiya.
- Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
"Solusyon ng mga fractional rational equation"
Layunin ng Aralin:
Pagtuturo:
- pagbuo ng konsepto ng fractional rational equation; upang isaalang-alang ang iba't ibang paraan ng paglutas ng mga fractional rational equation; isaalang-alang ang isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation, kabilang ang kundisyon na ang fraction ay katumbas ng zero; upang ituro ang solusyon ng mga fractional rational equation ayon sa algorithm; pagsuri sa antas ng asimilasyon ng paksa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng gawaing pagsubok.
Pagbuo:
- pag-unlad ng kakayahang wastong gumana sa nakuha na kaalaman, mag-isip nang lohikal; pag-unlad ng mga kasanayan sa intelektwal at mga operasyong pangkaisipan - pagsusuri, synthesis, paghahambing at paglalahat; pag-unlad ng inisyatiba, ang kakayahang gumawa ng mga desisyon, hindi huminto doon; pag-unlad ng kritikal na pag-iisip; pagbuo ng mga kasanayan sa pananaliksik.
Pangangalaga:
- edukasyon ng nagbibigay-malay na interes sa paksa; edukasyon ng kalayaan sa paglutas ng mga problema sa edukasyon; edukasyon ng kalooban at tiyaga upang makamit ang mga huling resulta.
Uri ng aralin: aralin - pagpapaliwanag ng bagong materyal.
Sa panahon ng mga klase
1. Organisasyon sandali.
Hello guys! Ang mga equation ay nakasulat sa pisara, tingnang mabuti ang mga ito. Kaya mo bang lutasin ang lahat ng mga equation na ito? Alin ang hindi at bakit?
Ang mga equation kung saan ang kaliwa at kanang bahagi ay fractional rational expression ay tinatawag na fractional rational equation. Ano sa palagay mo ang pag-aaralan natin ngayon sa aralin? Bumuo ng paksa ng aralin. Kaya, binuksan namin ang mga notebook at isulat ang paksa ng aralin na "Solusyon ng mga fractional rational equation".
2. Aktwalisasyon ng kaalaman. Pangharap na survey, oral na gawain sa klase.
At ngayon ay uulitin natin ang pangunahing teoretikal na materyal na kailangan nating pag-aralan ang isang bagong paksa. Pakisagot ang mga sumusunod na tanong:
1. Ano ang equation? ( Pagkakapantay-pantay sa isang variable o variable.)
2. Ano ang tawag sa Equation #1? ( Linear.) Paraan para sa paglutas ng mga linear equation. ( Ilipat sa kaliwang bahagi ng equation ang lahat na may hindi alam, lahat ng numero sa kanan. Magdala ng like terms. Hanapin ang hindi kilalang multiplier).
3. Ano ang tawag sa Equation #3? ( parisukat.) Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation. ( Pagpili ng buong parisukat, sa pamamagitan ng mga formula, gamit ang Vieta theorem at ang mga kahihinatnan nito.)
4. Ano ang proporsyon? ( Pagkakapantay-pantay ng dalawang relasyon.) Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon. ( Kung totoo ang proporsyon, kung gayon ang produkto ng mga matinding termino nito ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.)
5. Anong mga katangian ang ginagamit sa paglutas ng mga equation? ( 1. Kung sa equation ay inilipat namin ang termino mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, binabago ang tanda nito, pagkatapos ay makakakuha tayo ng katumbas na equation sa ibinigay na isa. 2. Kung ang parehong bahagi ng equation ay pinarami o hinati sa parehong di-zero na numero, pagkatapos ay isang equation ang makukuha na katumbas ng ibinigay.)
6. Kailan ang isang fraction ay katumbas ng zero? ( Ang isang fraction ay zero kapag ang numerator ay zero at ang denominator ay di-zero.)
3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal.
Lutasin ang equation No. 2 sa mga notebook at sa pisara.
Sagot: 10.
Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon? (No. 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6
x2-6x-x2-5x = 6-8
Lutasin ang equation No. 4 sa mga notebook at sa pisara.
Sagot: 1,5.
Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa denominator? (No. 6).
D=1>0, x1=3, x2=4.
Sagot: 3;4.
Ngayon subukang lutasin ang equation #7 sa isa sa mga paraan.
(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 | |||
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0 | x2-2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x2-3x-10)=0 | |||
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0 | |||
x1=0 x2=5 D=49 | |||
Sagot: 0;5;-2. | Sagot: 5;-2. |
Ipaliwanag kung bakit nangyari ito? Bakit may tatlong ugat sa isang kaso at dalawa sa isa pa? Anong mga numero ang mga ugat ng fractional rational equation na ito?
Hanggang ngayon, hindi pa nakakatugon ang mga estudyanteng may konsepto ng extraneous root, talagang napakahirap nilang intindihin kung bakit nangyari ito. Kung walang sinuman sa klase ang makapagbibigay ng malinaw na paliwanag sa sitwasyong ito, magtatanong ang guro ng mga nangungunang tanong.
- Paano naiiba ang mga equation No. 2 at 4 sa mga equation No. 5,6,7? ( Sa mga equation No. 2 at 4 sa denominator ng numero, No. 5-7 - mga expression na may variable.) Ano ang ugat ng equation? ( Ang halaga ng variable kung saan ang equation ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.) Paano malalaman kung ang numero ang ugat ng equation? ( Gumawa ng tseke.)
Kapag gumagawa ng pagsusulit, napansin ng ilang estudyante na kailangan nilang hatiin sa zero. Napagpasyahan nila na ang mga numero 0 at 5 ay hindi ang mga ugat ng equation na ito. Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation na nag-aalis ng error na ito? Oo, ang pamamaraang ito ay batay sa kondisyon na ang fraction ay katumbas ng zero.
x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.
Kung x=5, kung gayon ang x(x-5)=0, kaya ang 5 ay isang extraneous na ugat.
Kung x=-2, kung gayon ang x(x-5)≠0.
Sagot: -2.
Subukan nating bumalangkas ng algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation sa ganitong paraan. Ang mga bata mismo ang bumubuo ng algorithm.
Algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation:
1. Ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi.
2. Dalhin ang mga fraction sa isang common denominator.
3. Gumawa ng isang sistema: ang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay katumbas ng zero, at ang denominator ay hindi katumbas ng zero.
4. Lutasin ang equation.
5. Suriin ang hindi pagkakapantay-pantay upang ibukod ang mga extraneous na ugat.
6. Isulat ang sagot.
Pagtalakay: kung paano bumalangkas ng solusyon kung ang pangunahing katangian ng proporsyon ay ginagamit at ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang karaniwang denominator. (Supplement ang solusyon: ibukod mula sa mga ugat nito ang mga nagiging zero ang common denominator).
4. Pangunahing pag-unawa sa bagong materyal.
Magtrabaho nang magkapares. Pinipili ng mga mag-aaral kung paano lutasin ang equation sa kanilang sarili, depende sa uri ng equation. Mga gawain mula sa aklat-aralin na "Algebra 8", 2007: No. 000 (b, c, i); No. 000(a, e, g). Kinokontrol ng guro ang pagganap ng gawain, sinasagot ang mga tanong na lumitaw, at nagbibigay ng tulong sa mga mag-aaral na mahina ang pagganap. Self-test: Ang mga sagot ay nakasulat sa pisara.
b) 2 ay isang extraneous na ugat. Sagot:3.
c) 2 ay isang extraneous na ugat. Sagot: 1.5.
a) Sagot: -12.5.
g) Sagot: 1; 1.5.
5. Pahayag ng takdang-aralin.
2. Alamin ang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation.
3. Lutasin sa mga kuwaderno Blg. 000 (a, d, e); Hindi. 000(g, h).
4. Subukang lutasin ang No. 000(a) (opsyonal).
6. Pagtupad sa gawaing kontrol sa paksang pinag-aralan.
Ang gawain ay ginagawa sa mga sheet.
Halimbawa ng trabaho:
A) Alin sa mga equation ang fractional rational?
B) Ang isang fraction ay zero kapag ang numerator ay ____________________ at ang denominator ay _______________________.
Q) Ang numero ba ay -3 ang ugat ng Equation #6?
D) Lutasin ang equation No. 7.
Pamantayan sa pagsusuri ng gawain:
- Ang "5" ay ibinibigay kung natapos ng mag-aaral ang higit sa 90% ng gawain nang tama. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" ay ibinibigay sa mag-aaral na nakatapos ng mas mababa sa 50% ng gawain. Ang grade 2 ay hindi inilalagay sa journal, ang 3 ay opsyonal.
7. Pagninilay.
Sa mga leaflet na may independiyenteng gawain, ilagay ang:
- 1 - kung ang aralin ay kawili-wili at naiintindihan mo; 2 - kawili-wili, ngunit hindi malinaw; 3 - hindi kawili-wili, ngunit naiintindihan; 4 - hindi kawili-wili, hindi malinaw.
8. Paglagom ng aralin.
Kaya, ngayon sa aralin nakilala namin ang mga fractional rational equation, natutunan kung paano lutasin ang mga equation na ito sa iba't ibang paraan, sinubukan ang aming kaalaman sa tulong ng independiyenteng gawaing pang-edukasyon. Malalaman mo ang mga resulta ng independiyenteng gawain sa susunod na aralin, sa bahay magkakaroon ka ng pagkakataon na pagsamahin ang kaalaman na nakuha.
Anong paraan ng paglutas ng mga fractional rational equation, sa iyong opinyon, ang mas madali, mas madaling makuha, mas makatuwiran? Anuman ang paraan ng paglutas ng mga fractional rational equation, ano ang hindi dapat kalimutan? Ano ang "tuso" ng fractional rational equation?
Salamat sa lahat, tapos na ang lesson.
