Ang mga ratio sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function - sine, cosine, tangent at cotangent - ay ibinibigay mga formula ng trigonometriko. At dahil napakaraming koneksyon sa pagitan ng mga function ng trigonometriko, ipinapaliwanag din nito ang kasaganaan ng mga formula ng trigonometriko. Ang ilang mga formula ay nagkokonekta sa mga trigonometriko na pag-andar ng parehong anggulo, ang iba - ang mga pag-andar ng isang maramihang anggulo, ang iba pa - nagbibigay-daan sa iyo upang babaan ang antas, ang ikaapat - upang ipahayag ang lahat ng mga pag-andar sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo, atbp.

Sa artikulong ito, inilista namin sa pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga pangunahing trigonometric formula, na sapat upang malutas ang karamihan ng mga problema sa trigonometrya. Para sa kadalian ng pagsasaulo at paggamit, ipapangkat namin ang mga ito ayon sa kanilang layunin, at ilalagay ang mga ito sa mga talahanayan.

Pag-navigate sa pahina.

Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko

Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko itakda ang ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo. Sinusundan nila ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, pati na rin ang konsepto ng unit circle. Pinapayagan ka nitong ipahayag ang isang trigonometric function sa pamamagitan ng anumang iba pa.

Para sa isang detalyadong paglalarawan ng mga formula ng trigonometrya, ang kanilang mga halimbawa ng pinagmulan at aplikasyon, tingnan ang artikulo.

Mga formula ng cast

Mga formula ng cast sundin mula sa mga katangian ng sine, cosine, tangent at cotangent, iyon ay, sinasalamin nila ang pag-aari ng periodicity ng trigonometriko function, ang ari-arian ng simetrya, at gayundin ang pag-aari ng shift ng isang naibigay na anggulo. Binibigyang-daan ka ng mga trigonometrikong formula na ito na lumipat mula sa pagtatrabaho sa mga di-makatwirang anggulo patungo sa pagtatrabaho sa mga anggulo na mula sa zero hanggang 90 degrees.

Ang katwiran para sa mga formula na ito, isang mnemonic na panuntunan para sa pagsasaulo ng mga ito, at mga halimbawa ng kanilang aplikasyon ay maaaring pag-aralan sa artikulo.

Mga Formula sa Pagdaragdag

Mga formula sa pagdaragdag ng trigonometric ipakita kung paano ang trigonometriko function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng mga anggulong ito. Ang mga formula na ito ay nagsisilbing batayan para sa derivation ng mga sumusunod na trigonometric formula.

Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo

Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo (tinatawag din silang mga formula ng maramihang anggulo) ay nagpapakita kung paano gumagana ang trigonometriko ng doble, triple, atbp. ang mga anggulo () ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometric function ng isang solong anggulo. Ang kanilang derivation ay batay sa mga formula ng karagdagan.

Ang mas detalyadong impormasyon ay kinokolekta sa mga formula ng artikulo para sa doble, triple, atbp. anggulo .

Mga Formula sa Half Angle

Mga Formula sa Half Angle ipakita kung paano ang trigonometriko function ng kalahating anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng cosine ng isang integer angle. Ang mga trigonometrikong formula na ito ay sumusunod mula sa mga formula ng dobleng anggulo.

Ang kanilang konklusyon at mga halimbawa ng aplikasyon ay matatagpuan sa artikulo.

Mga Formula ng Pagbawas

Mga formula ng trigonometric para sa pagbaba ng mga degree ay idinisenyo upang mapadali ang paglipat mula sa mga natural na kapangyarihan ng trigonometriko function sa mga sine at cosine sa unang antas, ngunit maramihang mga anggulo. Sa madaling salita, pinapayagan nila ang isa na bawasan ang mga kapangyarihan ng trigonometric function sa una.

Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function

Ang pangunahing layunin sum and difference formula para sa trigonometriko function ay binubuo sa paglipat sa produkto ng mga pag-andar, na lubhang kapaki-pakinabang kapag pinapasimple ang mga trigonometrikong expression. Ang mga formula na ito ay malawakang ginagamit din sa paglutas ng mga trigonometrikong equation, dahil pinapayagan nila ang pag-factor ng kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine.

Mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine

Ang paglipat mula sa produkto ng trigonometriko function sa kabuuan o pagkakaiba ay isinasagawa sa pamamagitan ng mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine.

Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Enlightenment, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Copyright ng matatalinong estudyante

Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng www.site, kabilang ang mga panloob na materyales at panlabas na disenyo, ang maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.

1. Pagpapahayag ng sine sa pamamagitan ng cosine

Tandaan: Ang sign sa harap ng radical sa kanang bahagi ay depende sa kung aling quarter ang anggulo ay nasa. α . Ang sign ng trigonometric function sa kaliwang bahagi ay dapat tumugma sa sign sa kanang bahagi. Ang panuntunang ito ay may bisa din para sa iba pang mga formula sa ibaba.

2. Pagpapahayag ng sine sa pamamagitan ng tangent

3. Pagpapahayag ng sine sa pamamagitan ng cotangent

4. Pagpapahayag ng cosine sa pamamagitan ng sine

5. Pagpapahayag ng cosine sa pamamagitan ng tangent

6. Pagpapahayag ng cosine sa mga tuntunin ng cotangent

7. Pagpapahayag ng tangent sa pamamagitan ng sine

8. Pagpapahayag ng tangent sa pamamagitan ng cosine

9. Pagpapahayag ng tangent sa pamamagitan ng cotangent

10. Pagpapahayag ng cotangent sa pamamagitan ng sine

11. Cotangent expression sa mga tuntunin ng cosine

12. Pagpapahayag ng cotangent sa pamamagitan ng tangent

21. Trigonometric functions y=sin x, y=cos x, ang kanilang mga katangian at mga graph.

Y = kasalanan(x)

Graph ng function na y=sin(x).

Mga pangunahing katangian:

3. Ang function ay kakaiba.

Graph ng function na y=cos(x).

Mga pangunahing katangian:

1. Ang lugar ng kahulugan ay ang buong numerical axis.

2. Limitado ang function. Ang hanay ng mga halaga ay ang segment [-1;1].

3. Ang pag-andar ay pantay.

4. Ang function ay periodic na may pinakamaliit na positive period na katumbas ng 2*π.

22. Trigonometric functions y=tg x, y=ctg x, ang kanilang mga katangian at mga graph.

Graph ng function na y=tg(x).

Mga pangunahing katangian:

1. Ang domain ng kahulugan ay ang buong numerical axis, maliban sa mga punto ng anyong x=π/2 + π*k, kung saan ang k ay isang integer.

3. Ang function ay kakaiba.

Y = ctg(x)

Graph ng function na y=ctg(x).

Mga pangunahing katangian:

1. Ang domain ng kahulugan ay ang buong numerical axis, maliban sa mga punto ng anyong x=π*k, kung saan ang k ay isang integer.

2. Ang function ay walang limitasyon. Ang nakatakdang halaga ay ang buong linya ng numero.

3. Ang function ay kakaiba.

4. Ang function ay periodic na may pinakamaliit na positive period na katumbas ng π.

23. Mga pangunahing katangian ng trigonometriko function: kahit, kakaiba, periodicity. Mga palatandaan ng mga halaga ng trigonometric function sa quarters.

sinus numero a tinatawag na ordinate ng punto na naglalarawan sa numerong ito sa bilog ng numero. Ang sine ng anggulo sa a Ang radian ay tinatawag na sine ng isang numero a.

Sinus- function ng numero x. kanya domain- ang hanay ng lahat ng mga numero, dahil para sa anumang numero maaari mong mahanap ang ordinate ng punto na kumakatawan dito.

Saklaw ng Sine- segment mula sa -1 dati 1 , dahil ang anumang bilang ng segment na ito sa y-axis ay projection ng ilang punto sa bilog, ngunit walang punto sa labas ng segment na ito ang projection ng alinman sa mga puntong ito.

Panahon ng sine ay katumbas ng . Pagkatapos ng lahat, sa bawat oras na ang posisyon ng punto na kumakatawan sa numero ay eksaktong paulit-ulit.

Sin sign:

1. ang sine ay zero sa , kung saan n- anumang integer;

2. ang sine ay positibo sa , kung saan n- anumang integer;

3. ang sine ay negatibo sa

Oo naman. Ang sine, cosine, tangent at cotangent ng parehong anggulo ay magkakaugnay. Ang anumang koneksyon sa pagitan ng mga expression ay ibinibigay sa matematika sa pamamagitan ng mga formula. Sa trigonometrya, mayroong isang malaking bilang ng mga formula. Ngunit dito titingnan natin ang mga pinaka-basic. Ang mga formula na ito ay tinatawag na: pangunahing mga pagkakakilanlan ng trigonometriko. Nandito na sila:

Ang mga formula na ito ay kailangang malaman ang bakal. Kung wala ang mga ito, walang magagawa sa trigonometrya. Tatlong karagdagang pantulong na pagkakakilanlan ang sumusunod mula sa mga pangunahing pagkakakilanlan na ito:

Sa anong mga gawain at paano ginagamit ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan? Ang pinakasikat na gawain ay upang mahanap ang ilang function ng anggulo, kung isa pa ang ibinigay. Sa pagsusulit, ang ganitong gawain ay naroroon taun-taon.) Halimbawa:

Hanapin ang halaga ng sinx kung ang x ay isang matinding anggulo at cosx=0.8.

Ang gawain ay halos elementarya. Naghahanap kami ng isang formula kung saan mayroong sine at cosine. Narito ang formula na iyon:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Pinapalitan namin dito ang isang kilalang halaga, ibig sabihin, 0.8 sa halip na cosine:

sin 2 x + 0.8 2 = 1

Well, isinasaalang-alang namin, gaya ng dati:

kasalanan 2 x + 0.64 = 1

kasalanan 2 x \u003d 1 - 0.64

Dito, halos lahat. Kinakalkula namin ang parisukat ng sine, nananatili itong kunin ang square root at handa na ang sagot! Ang ugat ng 0.36 ay 0.6.

Ang gawain ay halos elementarya. Ngunit ang salitang "halos" ay hindi walang kabuluhan dito ... Ang katotohanan ay ang sagot na sinx = - 0.6 ay angkop din ... (-0.6) 2 ay magiging 0.36 din.

Dalawang magkaibang sagot ang nakuha. At kailangan mo ng isa. Mali ang pangalawa. Paano maging!? Oo, gaya ng dati.) Basahing mabuti ang takdang-aralin. Para sa ilang kadahilanan, sinasabi nito... kung ang x ay isang matinding anggulo... At sa mga gawain, ang bawat salita ay may kahulugan, oo ... Ang pariralang ito ay karagdagang impormasyon para sa solusyon.

Ang acute angle ay isang anggulo na mas mababa sa 90°. At sa mga ganitong anggulo lahat trigonometric function - parehong sine at cosine, at tangent na may cotangent - positibo. Yung. itinatapon lang namin ang negatibong sagot dito. May karapatan tayo.

Sa totoo lang, hindi kailangan ng mga ikawalong baitang ang gayong mga subtleties. Gumagana lamang sila sa mga tamang tatsulok, kung saan ang mga sulok ay maaari lamang maging talamak. At hindi nila alam, masaya, na may mga negatibong anggulo, at mga anggulo ng 1000 ° ... At lahat ng mga bangungot na anggulo na ito ay may sariling mga trigonometriko na pag-andar na may parehong plus at minus ...

Ngunit para sa mga mag-aaral sa high school nang hindi isinasaalang-alang ang sign - walang paraan. Maraming kaalaman ang nagpaparami ng kalungkutan, oo...) At para sa tamang solusyon, ang gawain ay dapat maglaman ng karagdagang impormasyon (kung kinakailangan). Halimbawa, maaari itong ibigay bilang:

O ibang paraan. Makikita mo sa mga halimbawa sa ibaba.) Upang malutas ang mga ganitong halimbawa, kailangan mong malaman saang quarter bumabagsak ang ibinigay na anggulo x at anong senyales ang mayroon ang gustong trigonometriko function sa quarter na ito.

Ang mga pangunahing kaalaman sa trigonometrya ay tinalakay sa mga aralin kung ano ang trigonometric na bilog, ang pagbibilang ng mga anggulo sa bilog na ito, ang radian na sukat ng isang anggulo. Minsan kailangan mo ring malaman ang talahanayan ng mga sine ng cosine ng tangents at cotangents.

Kaya, tandaan natin ang pinakamahalaga:

Mga Praktikal na Tip:

1. Tandaan ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Napaka-kapaki-pakinabang.

2. Kami ay malinaw na nag-assimilate: ang sine, cosine, tangent at cotangent ay matatag na konektado sa mga anggulo. May alam tayo, kaya iba ang alam natin.

3. Kami ay malinaw na nag-assimilate: ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ay magkakaugnay ng mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan. Alam namin ang isang function, na nangangahulugan na maaari naming (kung mayroon kaming kinakailangang karagdagang impormasyon) kalkulahin ang lahat ng iba pa.

At ngayon magpasya tayo, gaya ng dati. Una, mga gawain sa dami ng ika-8 baitang. Ngunit ang mga mag-aaral sa high school ay maaari ding ...)

1. Kalkulahin ang halaga ng tgA kung ctgA = 0.4.

2. β - anggulo sa isang tamang tatsulok. Hanapin ang halaga ng tgβ kung sinβ = 12/13.

3. Hanapin ang halaga ng isang expression:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

4. Hanapin ang halaga ng isang expression:

(1-cosx)(1+cosx), kung sinx = 0.3

5. Tukuyin ang sine ng isang matinding anggulo x kung tgx \u003d 4/3.

Mga sagot (na pinaghihiwalay ng mga semicolon, magulo):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Nangyari? ayos! Ang mga nasa ikawalong baitang ay maaari nang sundin ang kanilang mga A.)

Ito ay mga problema tulad ng Unified State Examination, ngunit sa isang stripped-down na bersyon. PAGGAMIT - liwanag). At ngayon halos ang parehong mga gawain, ngunit sa isang ganap na anyo. Para sa mga mag-aaral sa high school na mabigat sa kaalaman.)

6. Hanapin ang halaga ng tgβ kung sinβ = 12/13 at

7. Tukuyin ang sinx kung tgx = 4/3, at x ay kabilang sa pagitan (- 540°; - 450°).

8. Hanapin ang halaga ng expression na sinβ cosβ kung ctgβ = 1.

Mga sagot (magulo):

0,8; 0,5; -2,4.

Dito, sa problema 6, ang anggulo ay ibinigay kahit papaano hindi masyadong malabo... Ngunit sa problema 8, hindi ito nakatakda sa lahat! Ito ay sinasadya). Ang karagdagang impormasyon ay kinuha hindi lamang mula sa gawain, kundi pati na rin mula sa ulo.) Ngunit kung magpasya ka - isang tamang gawain na "B" ang garantisadong!

Sa araling ito, isang limitadong konsepto ng trigonometriko function ang ibinigay. Sa loob ng ika-8 baitang. May mga katanungan ang mga matatanda...

Halimbawa, kung ang anggulo X(tingnan ang pangalawang larawan sa pahinang ito) - gawin itong pipi!? Mawawala ang tatsulok! At paano maging? Walang binti, walang hypotenuse ... Wala na ang sine ...

Kung ang mga sinaunang tao ay hindi nakahanap ng paraan sa sitwasyong ito, wala tayong mga mobile phone, TV, o kuryente ngayon. Oo Oo! Ang teoretikal na batayan ng lahat ng mga bagay na ito na walang trigonometriko function ay zero na walang wand. Ngunit ang mga sinaunang tao ay hindi nabigo. Paano sila nakalabas - sa susunod na aralin.

Subukan nating hanapin ang kaugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function ng parehong anggulo.

Relasyon sa pagitan ng cosine at sine ng parehong anggulo

Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng coordinate system na Oxy na may bahagi ng yunit na kalahating bilog na ACB na inilalarawan sa loob nito, na nakasentro sa puntong O. Ang bahaging ito ay ang arko ng yunit ng bilog. Ang bilog ng yunit ay inilalarawan ng equation

• x2+y2=1.

Tulad ng alam na, ang ordinate y at ang abscissa x ay maaaring katawanin bilang sine at cosine ng anggulo gamit ang mga sumusunod na formula:

• kasalanan(a) = y,
• cos(a) = x.

Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa mga equation ng unit circle, mayroon kaming sumusunod na pagkakapantay-pantay

• (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay humahawak para sa anumang mga halaga ng anggulo a. Ito ay tinatawag na pangunahing trigonometric identity.

Mula sa pangunahing trigonometric identity, ang isang function ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng isa pa.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
• cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).

Ang sign sa kanang bahagi ng formula na ito ay tinutukoy ng sign ng expression sa kaliwang bahagi ng formula na ito.

Halimbawa.

Kalkulahin ang sin(a) kung cos(a)=-3/5 at pi

Gamitin natin ang formula sa itaas:

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2).

Dahil pi

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2) = - √(1 - 9/25) = - 4/5.

Ang ratio sa pagitan ng tangent at cotangent ng parehong anggulo

Ngayon, subukan nating hanapin ang relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent.

Sa pamamagitan ng kahulugan, tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Ang pagpaparami ng mga pagkakapantay-pantay na ito, makakakuha tayo ng tg(a)*ctg(a) =1.

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito, ang isang function ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng isa pa. Nakukuha namin:

• tg(a) = 1/ctg(a),
• ctg(a) = 1/tg(a).

Dapat na maunawaan na ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay may bisa lamang kapag ang tg at ctg ay umiiral, iyon ay, para sa anumang a, maliban sa a = k * pi / 2, para sa anumang integer k.

Ngayon subukan nating gamitin ang pangunahing trigonometric identity upang mahanap ang relasyon sa pagitan ng tangent at cosine.

Hatiin ang pangunahing trigonometric identity, sa pamamagitan ng (cos(a)) 2 . (cos(a) ay hindi katumbas ng zero, kung hindi ay hindi iiral ang tangent.

Nakukuha natin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 .

Ang paghahati ng termino sa pamamagitan ng termino ay makukuha natin:

• 1+(tg(a)) 2 = 1/(cos(a)) 2 .

Gaya ng nabanggit sa itaas, totoo ang formula na ito kung ang cos(a) ay hindi katumbas ng zero, iyon ay, para sa lahat ng mga anggulo a, maliban sa a=pi/2 + pi*k, para sa anumang integer k.