Sisimulan natin ang ating pagsasaalang-alang sa paksang ito sa pamamagitan ng pag-aaral ng konsepto ng isang fraction sa kabuuan, na magbibigay sa atin ng mas kumpletong pag-unawa sa kahulugan ng isang ordinaryong fraction. Ibigay natin ang mga pangunahing termino at ang kanilang kahulugan, pag-aralan ang paksa sa isang geometric na interpretasyon, i.e. sa linya ng coordinate, at tukuyin din ang isang listahan ng mga pangunahing aksyon na may mga fraction.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pagbabahagi ng kabuuan

Isipin ang isang bagay na binubuo ng ilang, ganap na pantay na mga bahagi. Halimbawa, maaari itong maging isang orange, na binubuo ng ilang magkaparehong hiwa.

Kahulugan 1

Bahagi ng isang buo o bahagi ay ang bawat isa sa mga pantay na bahagi na bumubuo sa buong bagay.

Malinaw, ang mga pagbabahagi ay maaaring magkakaiba. Upang malinaw na ipaliwanag ang pahayag na ito, isipin ang dalawang mansanas, ang isa ay pinutol sa dalawang pantay na bahagi, at ang pangalawa sa apat. Ito ay malinaw na ang laki ng mga resultang pagbabahagi para sa iba't ibang mga mansanas ay mag-iiba.

Ang mga pagbabahagi ay may sariling mga pangalan, na nakasalalay sa bilang ng mga pagbabahagi na bumubuo sa buong paksa. Kung ang isang item ay may dalawang bahagi, ang bawat isa sa kanila ay tutukuyin bilang isang pangalawang bahagi ng item na ito; kapag ang isang bagay ay binubuo ng tatlong bahagi, ang bawat isa sa kanila ay isang-ikatlo, at iba pa.

Kahulugan 2

kalahati- isang pangalawang bahagi ng paksa.

Pangatlo- isang ikatlo ng paksa.

quarter- isang ikaapat na bahagi ng paksa.

Upang paikliin ang rekord, ang sumusunod na notasyon para sa mga pagbabahagi ay ipinakilala: kalahati - 1 2 o 1/2 ; pangatlo - 1 3 o 1 / 3 ; isang ikaapat na bahagi 1 4 o 1/4 at iba pa. Mas madalas na ginagamit ang mga entry na may pahalang na bar.

Ang konsepto ng isang bahagi ay natural na lumalawak mula sa mga bagay hanggang sa magnitude. Kaya, maaari kang gumamit ng mga fraction ng isang metro (isang ikatlo o isang daan) upang sukatin ang maliliit na bagay, bilang isa sa mga yunit ng haba. Ang mga pagbabahagi ng iba pang dami ay maaaring ilapat sa katulad na paraan.

Mga karaniwang fraction, kahulugan at mga halimbawa

Ang mga ordinaryong fraction ay ginagamit upang ilarawan ang bilang ng mga bahagi. Isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa na maglalapit sa atin sa kahulugan ng isang ordinaryong fraction.

Isipin ang isang orange, na binubuo ng 12 hiwa. Ang bawat bahagi ay magiging - isang ikalabindalawa o 1 / 12. Dalawang bahagi - 2/12; tatlong bahagi - 3 / 12, atbp. Ang lahat ng 12 bahagi o isang integer ay magiging ganito: 12 / 12 . Ang bawat isa sa mga entry na ginamit sa halimbawa ay isang halimbawa ng isang karaniwang fraction.

Kahulugan 3

Karaniwang fraction ay isang talaan ng form m n o m / n , kung saan ang m at n ay anumang natural na numero.

Ayon sa kahulugan na ito, ang mga halimbawa ng mga ordinaryong fraction ay maaaring mga entry: 4 / 9, 1134, 91754. At ang mga entry na ito: Ang 11 5 , 1 , 9 4 , 3 ay hindi ordinaryong fraction.

Numerator at denominator

Kahulugan 4

tagabilang karaniwang fraction Ang m n o m / n ay isang natural na bilang na m .

denominador karaniwang fraction Ang m n o m / n ay isang natural na numero n .

Yung. ang numerator ay ang numero sa itaas ng bar ng isang ordinaryong fraction (o sa kaliwa ng slash), at ang denominator ay ang numero sa ibaba ng bar (sa kanan ng slash).

Ano ang kahulugan ng numerator at denominator? Ang denominator ng isang ordinaryong fraction ay nagpapahiwatig kung gaano karaming mga bahagi ang binubuo ng isang item, at ang numerator ay nagbibigay sa amin ng impormasyon tungkol sa kung gaano karaming mga bahagi ang isinasaalang-alang. Halimbawa, ang karaniwang fraction 7 54 ay nagpapahiwatig sa amin na ang isang partikular na bagay ay binubuo ng 54 na bahagi, at para sa pagsasaalang-alang ay kumuha kami ng 7 tulad ng mga bahagi.

Natural na numero bilang isang fraction na may denominator 1

Ang denominator ng isang ordinaryong fraction ay maaaring katumbas ng isa. Sa kasong ito, posibleng sabihin na ang bagay (halaga) na isinasaalang-alang ay hindi mahahati, ay isang bagay na buo. Ang numerator sa naturang fraction ay magsasaad kung gaano karaming mga bagay ang kinuha, i.e. isang ordinaryong fraction ng anyong m 1 ay may kahulugan ng natural na bilang na m . Ang pahayag na ito ay nagsisilbing katwiran para sa pagkakapantay-pantay m 1 = m .

Isulat natin ang huling pagkakapantay-pantay tulad nito: m = m 1 . Bibigyan tayo nito ng pagkakataong gumamit ng anumang natural na numero sa anyo ng isang ordinaryong fraction. Halimbawa, ang bilang na 74 ay isang ordinaryong bahagi ng anyo 74 1 .

Kahulugan 5

Anumang natural na bilang na m ay maaaring isulat bilang isang ordinaryong fraction, kung saan ang denominator ay isa: m 1 .

Sa turn, ang anumang ordinaryong fraction ng form m 1 ay maaaring katawanin ng isang natural na numero m .

Fraction bar bilang tanda ng dibisyon

Ang representasyon sa itaas ng isang ibinigay na bagay bilang n pagbabahagi ay hindi hihigit sa isang paghahati sa n pantay na bahagi. Kapag ang isang bagay ay nahahati sa n bahagi, mayroon tayong pagkakataon na hatiin ito nang pantay sa pagitan ng n tao - lahat ay nakakakuha ng kanilang bahagi.

Sa kaso kapag sa una ay mayroon tayong m magkakahawig na mga bagay (bawat isa ay nahahati sa n bahagi), kung gayon ang m mga bagay na ito ay maaaring pantay na hatiin sa n tao, na nagbibigay sa bawat isa sa kanila ng isang bahagi mula sa bawat m bagay. Sa kasong ito, ang bawat tao ay magkakaroon ng m share 1 n , at m share 1 n ay magbibigay ng ordinaryong fraction m n . Samakatuwid, ang karaniwang fraction m n ay maaaring gamitin upang kumatawan sa paghahati ng m aytem sa mga n tao.

Ang resultang pahayag ay nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng mga ordinaryong fraction at paghahati. At ang relasyon na ito ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod : posibleng ibig sabihin ang linya ng isang fraction bilang tanda ng paghahati, i.e. m/n=m:n.

Sa tulong ng isang ordinaryong fraction, maaari nating isulat ang resulta ng paghahati ng dalawang natural na numero. Halimbawa, ang paghahati ng 7 mansanas sa 10 tao ay isusulat bilang 7 10: bawat tao ay makakakuha ng pitong ikasampu.

Pantay at hindi pantay na karaniwang mga fraction

Ang lohikal na aksyon ay upang ihambing ang mga ordinaryong fraction, dahil ito ay malinaw na, halimbawa, 1 8 ng isang mansanas ay iba sa 7 8 .

Ang resulta ng paghahambing ng mga ordinaryong fraction ay maaaring: pantay o hindi pantay.

Kahulugan 6

Equal Common Fractions ay mga ordinaryong fraction a b at c d , kung saan ang pagkakapantay-pantay ay totoo: a d = b c .

Mga hindi pantay na karaniwang fraction- mga ordinaryong fraction a b at c d , kung saan ang pagkakapantay-pantay: a · d = b · c ay hindi totoo.

Isang halimbawa ng pantay na fraction: 1 3 at 4 12 - dahil ang pagkakapantay-pantay 1 12 \u003d 3 4 ay totoo.

Sa kaso kapag lumalabas na ang mga praksiyon ay hindi pantay, kadalasan ay kinakailangan ding malaman kung alin sa mga ibinigay na praksiyon ang mas kaunti at alin ang mas malaki. Upang masagot ang mga tanong na ito, ang mga ordinaryong fraction ay inihahambing sa pamamagitan ng pagdadala sa kanila sa isang karaniwang denominator at pagkatapos ay paghahambing ng mga numerator.

Mga fractional na numero

Ang bawat fraction ay isang talaan ng isang fractional na numero, na sa katunayan ay isang "shell" lamang, isang visualization ng semantic load. Ngunit gayon pa man, para sa kaginhawahan, pinagsasama namin ang mga konsepto ng isang fraction at isang fractional na numero, sa simpleng pagsasalita - isang fraction.

Ang lahat ng fractional na numero, tulad ng iba pang numero, ay may sariling natatanging lokasyon sa coordinate ray: mayroong one-to-one na pagsusulatan sa pagitan ng mga fraction at point sa coordinate ray.

Upang makahanap ng isang punto sa coordinate ray, na nagsasaad ng fraction m n , kinakailangan na ipagpaliban ang m segment sa positibong direksyon mula sa pinanggalingan ng mga coordinate, ang haba ng bawat isa ay magiging 1 n isang fraction ng isang unit segment. Maaaring makuha ang mga segment sa pamamagitan ng paghahati ng isang segment sa n magkaparehong bahagi.

Bilang halimbawa, tukuyin natin ang puntong M sa coordinate ray, na tumutugma sa fraction 14 10 . Ang haba ng segment, ang mga dulo nito ay ang punto O at ang pinakamalapit na punto, na minarkahan ng isang maliit na stroke, ay katumbas ng 1 10 fractions ng unit segment. Ang punto na tumutugma sa fraction 14 10 ay matatagpuan sa layo mula sa pinanggalingan ng mga coordinate sa layo na 14 tulad ng mga segment.

Kung ang mga fraction ay pantay, i.e. tumutugma sila sa parehong fractional number, pagkatapos ang mga fraction na ito ay nagsisilbing coordinate ng parehong punto sa coordinate ray. Halimbawa, ang mga coordinate sa anyo ng mga pantay na fraction 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 ay tumutugma sa parehong punto sa coordinate ray, na matatagpuan sa layo na isang katlo ng bahagi ng yunit, na ipinagpaliban mula sa pinagmulan sa positibong direksyon.

Ang parehong prinsipyo ay gumagana dito tulad ng sa mga integer: sa isang pahalang na coordinate ray na nakadirekta sa kanan, ang punto kung saan tumutugma ang malaking fraction ay matatagpuan sa kanan ng punto kung saan tumutugma ang mas maliit na fraction. At kabaligtaran: ang punto, ang coordinate kung saan ay ang mas maliit na bahagi, ay matatagpuan sa kaliwa ng punto, na tumutugma sa mas malaking coordinate.

Wasto at hindi wastong mga praksiyon, kahulugan, halimbawa

Ang paghahati ng mga fraction sa wasto at hindi wasto ay batay sa paghahambing ng numerator at denominator sa loob ng parehong fraction.

Kahulugan 7

Wastong fraction ay isang ordinaryong fraction kung saan ang numerator ay mas mababa sa denominator. Iyon ay, kung ang hindi pagkakapantay-pantay m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Hindi wastong fraction ay isang fraction na ang numerator ay mas malaki o katumbas ng denominator. Iyon ay, kung ang hindi pagkakapantay-pantay na hindi natukoy ay totoo, kung gayon ang ordinaryong fraction m n ay hindi wasto.

Narito ang ilang mga halimbawa: - mga wastong praksiyon:

Halimbawa 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Mga hindi wastong fraction:

Halimbawa 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Posible ring magbigay ng kahulugan ng wasto at hindi wastong mga praksiyon, batay sa paghahambing ng isang praksiyon sa isang yunit.

Kahulugan 8

Wastong fraction ay isang karaniwang fraction na mas mababa sa isa.

Hindi wastong fraction ay isang karaniwang fraction na katumbas o mas malaki sa isa.

Halimbawa, ang fraction 8 12 ay tama, dahil 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 , at 14 14 = 1 .

Palalimin pa natin ang pag-iisip kung bakit ang mga fraction kung saan ang numerator ay mas malaki o katumbas ng denominator ay tinatawag na "mali".

Isaalang-alang ang improper fraction 8 8: sinasabi nito sa atin na 8 bahagi ng isang bagay na binubuo ng 8 bahagi ang kinuha. Kaya, mula sa magagamit na walong pagbabahagi, maaari tayong bumuo ng isang buong bagay, i.e. ang ibinigay na fraction 8 8 ay mahalagang kumakatawan sa buong bagay: 8 8 \u003d 1. Ang mga fraction kung saan ang numerator at denominator ay pantay na ganap na pinapalitan ang natural na numero 1.

Isaalang-alang din ang mga praksiyon kung saan ang numerator ay lumampas sa denominator: 11 5 at 36 3 . Malinaw na ang fraction 11 5 ay nagpapahiwatig na maaari tayong gumawa ng dalawang buong bagay mula dito at magkakaroon pa rin ng isang ikalimang bahagi nito. Yung. Ang fraction 11 5 ay 2 bagay at isa pang 1 5 mula dito. Sa turn, ang 36 3 ay isang fraction, na mahalagang nangangahulugang 12 buong bagay.

Ginagawang posible ng mga halimbawang ito na tapusin na ang mga hindi wastong fraction ay maaaring mapalitan ng mga natural na numero (kung ang numerator ay nahahati ng denominator nang walang natitira: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) o ang kabuuan ng isang natural na numero at isang wastong fraction (kung ang numerator ay hindi mahahati ng denominator nang walang nalalabi: 11 5 = 2 + 1 5). Ito marahil ang dahilan kung bakit ang mga naturang fraction ay tinatawag na "hindi wasto".

Dito rin, nakatagpo tayo ng isa sa pinakamahalagang kasanayan sa numero.

Kahulugan 9

Pag-extract ng integer na bahagi mula sa isang hindi tamang fraction ay isang improper fraction na isinulat bilang kabuuan ng natural na bilang at tamang fraction.

Tandaan din na mayroong malapit na kaugnayan sa pagitan ng mga hindi wastong fraction at pinaghalong numero.

Positibo at negatibong mga praksiyon

Sa itaas sinabi namin na ang bawat ordinaryong fraction ay tumutugma sa isang positibong fractional number. Yung. Ang mga ordinaryong praksyon ay mga positibong praksyon. Halimbawa, ang mga fraction na 5 17 , 6 98 , 64 79 ay positibo, at kapag kinakailangan na bigyang-diin ang "positibo" ng isang fraction, isinulat ito gamit ang plus sign: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Kung magtatalaga tayo ng minus sign sa isang ordinaryong fraction, ang resultang record ay magiging talaan ng negatibong fractional number, at sa kasong ito ay pinag-uusapan natin ang mga negatibong fraction. Halimbawa, - 8 17 , - 78 14 atbp.

Ang positibo at negatibong mga praksiyon m n at - m n ay magkasalungat na mga numero. Halimbawa, ang mga praksiyon 7 8 at - 7 8 ay magkasalungat.

Ang mga positibong fraction, tulad ng anumang positibong numero sa pangkalahatan, ay nangangahulugang isang karagdagan, isang pagbabago pataas. Sa turn, ang mga negatibong fraction ay tumutugma sa pagkonsumo, isang pagbabago sa direksyon ng pagbaba.

Kung isasaalang-alang natin ang linya ng coordinate, makikita natin na ang mga negatibong fraction ay matatagpuan sa kaliwa ng reference point. Ang mga punto kung saan tumutugma ang mga praksiyon, na magkasalungat (m n at - m n), ay matatagpuan sa parehong distansya mula sa pinagmulan ng mga coordinate ng O, ngunit sa magkabilang panig nito.

Dito rin natin hiwalay na pinag-uusapan ang mga fraction na nakasulat sa anyong 0 n . Ang nasabing fraction ay katumbas ng zero, i.e. 0 n = 0 .

Sa pagbubuod ng lahat ng nasa itaas, nakarating na tayo sa pinakamahalagang konsepto ng mga rational na numero.

Kahulugan 10

Mga rational na numero ay isang set ng positive fractions, negative fractions at fractions ng form 0 n .

Mga aksyon na may mga fraction

Ilista natin ang mga pangunahing operasyon na may mga fraction. Sa pangkalahatan, ang kanilang kakanyahan ay kapareho ng mga kaukulang operasyon na may mga natural na numero

1. Paghahambing ng mga fraction - tinalakay namin ang aksyon na ito sa itaas.
2. Pagdaragdag ng mga fraction - ang resulta ng pagdaragdag ng mga ordinaryong fraction ay isang ordinaryong fraction (sa isang partikular na kaso, nabawasan sa isang natural na numero).
3. Ang pagbabawas ng mga fraction ay isang aksyon, ang kabaligtaran ng karagdagan, kapag ang isang hindi kilalang fraction ay tinutukoy mula sa isang kilalang fraction at isang naibigay na kabuuan ng mga fraction.
4. Multiplikasyon ng mga fraction - ang aksyon na ito ay maaaring ilarawan bilang paghahanap ng isang fraction mula sa isang fraction. Ang resulta ng pagpaparami ng dalawang ordinaryong fraction ay isang ordinaryong fraction (sa partikular na kaso, katumbas ng natural na numero).
5. Ang dibisyon ng mga fraction ay ang kabaligtaran ng multiplikasyon, kapag tinutukoy natin ang fraction kung saan kinakailangan upang i-multiply ang ibinigay na isa upang makakuha ng isang kilalang produkto ng dalawang fraction.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang artikulong ito ay tungkol sa mga karaniwang fraction. Dito ay makikilala natin ang konsepto ng isang fraction ng isang kabuuan, na magdadala sa atin sa kahulugan ng isang ordinaryong fraction. Susunod, tatalakayin natin ang tinatanggap na notasyon para sa mga ordinaryong fraction at magbibigay ng mga halimbawa ng mga fraction, sabihin tungkol sa numerator at denominator ng isang fraction. Pagkatapos nito, magbibigay kami ng mga kahulugan ng tama at hindi tama, positibo at negatibong mga praksyon, at isaalang-alang din ang posisyon ng mga fractional na numero sa coordinate ray. Sa konklusyon, inilista namin ang mga pangunahing aksyon na may mga fraction.

Pag-navigate sa pahina.

Pagbabahagi ng kabuuan

Magpakilala muna kami magbahagi ng konsepto.

Ipagpalagay natin na mayroon tayong ilang bagay na binubuo ng ilang ganap na magkapareho (iyon ay, pantay) na mga bahagi. Para sa kalinawan, maaari mong isipin, halimbawa, ang isang mansanas na hiwa sa maraming pantay na bahagi, o isang orange, na binubuo ng ilang pantay na hiwa. Ang bawat isa sa mga pantay na bahagi na bumubuo sa buong bagay ay tinatawag bahagi ng kabuuan o simple lang pagbabahagi.

Tandaan na ang mga pagbabahagi ay iba. Ipaliwanag natin ito. Sabihin nating mayroon tayong dalawang mansanas. Hatiin natin ang unang mansanas sa dalawang pantay na bahagi, at ang pangalawa sa 6 pantay na bahagi. Malinaw na ang bahagi ng unang mansanas ay magiging iba sa bahagi ng pangalawang mansanas.

Depende sa bilang ng mga pagbabahagi na bumubuo sa buong bagay, ang mga pagbabahaging ito ay may sariling mga pangalan. Pag-aralan natin magbahagi ng mga pangalan. Kung ang bagay ay binubuo ng dalawang bahagi, alinman sa mga ito ay tinatawag na isang pangalawang bahagi ng buong bagay; kung ang bagay ay binubuo ng tatlong bahagi, kung gayon ang alinman sa mga ito ay tinatawag na isang ikatlong bahagi, at iba pa.

May espesyal na pangalan ang isang segundong beat - kalahati. Isang ikatlo ang tinatawag pangatlo, at isang apat na beses - quarter.

Para sa kapakanan ng kaiklian, ang mga sumusunod magbahagi ng mga pagtatalaga. Ang isang pangalawang bahagi ay itinalaga bilang o 1/2, isang ikatlong bahagi - bilang o 1/3; isang ikaapat na bahagi - tulad o 1/4, at iba pa. Tandaan na ang notasyon na may pahalang na bar ay ginagamit nang mas madalas. Upang pagsamahin ang materyal, magbigay tayo ng isa pang halimbawa: ang entry ay nagsasaad ng isang daan at animnapu't pito ng kabuuan.

Ang konsepto ng isang bahagi ay natural na umaabot mula sa mga bagay hanggang sa magnitude. Halimbawa, ang isa sa mga sukat ng haba ay ang metro. Upang sukatin ang haba na mas mababa sa isang metro, maaaring gamitin ang mga fraction ng isang metro. Kaya't maaari mong gamitin, halimbawa, kalahating metro o ikasampu o ikasampu ng isang metro. Ang mga pagbabahagi ng iba pang mga dami ay inilapat nang katulad.

Mga karaniwang fraction, kahulugan at mga halimbawa ng mga fraction

Upang ilarawan ang bilang ng mga pagbabahagi ay ginagamit mga karaniwang fraction. Magbigay tayo ng isang halimbawa na magbibigay-daan sa atin na lapitan ang kahulugan ng mga ordinaryong fraction.

Hayaang binubuo ng 12 bahagi ang isang orange. Ang bawat bahagi sa kasong ito ay kumakatawan sa isang ikalabindalawa ng isang buong orange, iyon ay, . Tukuyin natin ang dalawang beats bilang , tatlong beats bilang , at iba pa, 12 beats bilang . Ang bawat isa sa mga entry na ito ay tinatawag na ordinaryong fraction.

Ngayon bigyan natin ng heneral kahulugan ng mga karaniwang fraction.

Ang tinig na kahulugan ng mga ordinaryong fraction ay nagpapahintulot sa amin na dalhin mga halimbawa ng karaniwang fraction: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . At narito ang mga tala hindi magkasya sa tinig na kahulugan ng mga ordinaryong fraction, iyon ay, hindi sila ordinaryong fraction.

Numerator at denominator

Para sa kaginhawahan, sa mga ordinaryong fraction ay nakikilala natin numerator at denominador.

Kahulugan.

Numerator ordinaryong fraction (m / n) ay isang natural na numero m.

Kahulugan.

Denominator ordinaryong fraction (m / n) ay isang natural na numero n.

Kaya, ang numerator ay matatagpuan sa itaas ng fraction bar (sa kaliwa ng slash), at ang denominator ay nasa ibaba ng fraction bar (sa kanan ng slash). Halimbawa, kunin natin ang isang ordinaryong fraction 17/29, ang numerator ng fraction na ito ay ang numero 17, at ang denominator ay ang numero 29.

Ito ay nananatiling talakayin ang kahulugan na nakapaloob sa numerator at denominator ng isang ordinaryong fraction. Ang denominator ng fraction ay nagpapakita kung gaano karaming mga bahagi ang binubuo ng isang item, ang numerator, naman, ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga naturang pagbabahagi. Halimbawa, ang denominator 5 ng fraction 12/5 ay nangangahulugan na ang isang aytem ay binubuo ng limang bahagi, at ang numerator 12 ay nangangahulugan na 12 ang mga bahaging ito ay kinuha.

Natural na numero bilang isang fraction na may denominator 1

Ang denominator ng isang ordinaryong fraction ay maaaring katumbas ng isa. Sa kasong ito, maaari nating ipagpalagay na ang bagay ay hindi mahahati, sa madaling salita, ito ay isang bagay na buo. Ang numerator ng naturang fraction ay nagpapahiwatig kung gaano karaming mga buong item ang kinuha. Kaya, ang isang ordinaryong bahagi ng anyong m/1 ay may kahulugan ng natural na bilang na m. Ito ay kung paano namin pinatunayan ang pagkakapantay-pantay m/1=m .

Isulat muli natin ang huling pagkakapantay-pantay tulad nito: m=m/1 . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahintulot sa amin na kumatawan sa anumang natural na bilang m bilang isang ordinaryong fraction. Halimbawa, ang numero 4 ay ang fraction 4/1, at ang numerong 103498 ay ang fraction na 103498/1.

Kaya, anumang natural na bilang na m ay maaaring katawanin bilang isang ordinaryong fraction na may denominator 1 bilang m/1 , at anumang ordinaryong fraction ng anyong m/1 ay maaaring mapalitan ng natural na numerong m.

Fraction bar bilang tanda ng dibisyon

Ang representasyon ng orihinal na bagay sa anyo ng n pagbabahagi ay hindi hihigit sa isang paghahati sa n pantay na bahagi. Pagkatapos na hatiin ang item sa n share, maaari natin itong hatiin ng pantay sa n tao - bawat isa ay makakatanggap ng isang share.

Kung sa una ay mayroon tayong m magkatulad na mga bagay, na ang bawat isa ay nahahati sa n bahagi, kung gayon maaari nating pantay na hatiin ang m mga bagay na ito sa n tao, na nagbibigay sa bawat tao ng isang bahagi mula sa bawat m bagay. Sa kasong ito, ang bawat tao ay magkakaroon ng m shares 1/n, at m shares 1/n ay nagbibigay ng ordinaryong fraction m/n. Kaya, ang karaniwang fraction m/n ay maaaring gamitin upang kumatawan sa dibisyon ng m aytem sa n tao.

Kaya nakakuha kami ng isang tahasang koneksyon sa pagitan ng mga ordinaryong fraction at dibisyon (tingnan ang pangkalahatang ideya ng dibisyon ng mga natural na numero). Ang relasyon na ito ay ipinahayag tulad ng sumusunod: Ang bar ng isang fraction ay mauunawaan bilang isang tanda ng paghahati, iyon ay, m/n=m:n.

Sa tulong ng isang ordinaryong fraction, maaari mong isulat ang resulta ng paghahati ng dalawang natural na numero kung saan ang paghahati ay hindi isinasagawa ng isang integer. Halimbawa, ang resulta ng paghahati ng 5 mansanas sa 8 tao ay maaaring isulat bilang 5/8, ibig sabihin, bawat isa ay makakakuha ng limang ikawalo ng mansanas: 5:8=5/8.

Pantay at hindi pantay na ordinaryong fraction, paghahambing ng mga fraction

Ang isang medyo natural na aksyon ay paghahambing ng mga karaniwang fraction, dahil malinaw na ang 1/12 ng isang orange ay iba sa 5/12, at ang 1/6 ng isang mansanas ay kapareho ng iba pang 1/6 ng mansanas na ito.

Bilang resulta ng paghahambing ng dalawang ordinaryong fraction, ang isa sa mga resulta ay nakuha: ang mga fraction ay pantay o hindi pantay. Sa unang kaso mayroon kami pantay na karaniwang fraction, at sa pangalawa hindi pantay na karaniwang mga praksyon. Bigyan natin ng kahulugan ang pantay at hindi pantay na ordinaryong mga fraction.

Kahulugan.

pantay, kung ang pagkakapantay-pantay a d=b c ay totoo.

Kahulugan.

Dalawang karaniwang praksyon a/b at c/d hindi pantay, kung ang pagkakapantay-pantay a d=b c ay hindi nasiyahan.

Narito ang ilang mga halimbawa ng equal fractions. Halimbawa, ang karaniwang fraction 1/2 ay katumbas ng fraction 2/4, dahil 1 4=2 2 (kung kinakailangan, tingnan ang mga panuntunan at halimbawa ng multiplikasyon ng mga natural na numero). Para sa kalinawan, maaari mong isipin ang dalawang magkaparehong mansanas, ang una ay pinutol sa kalahati, at ang pangalawa - sa 4 na pagbabahagi. Malinaw na ang two-fourths ng isang mansanas ay 1/2 ng bahagi. Ang iba pang mga halimbawa ng pantay na karaniwang mga praksiyon ay ang mga praksiyon 4/7 at 36/63, at ang pares ng mga praksiyon na 81/50 at 1620/1000.

At ang mga ordinaryong fraction na 4/13 at 5/14 ay hindi pantay, dahil 4 14=56, at 13 5=65, iyon ay, 4 14≠13 5. Ang isa pang halimbawa ng hindi pantay na karaniwang mga praksiyon ay ang mga praksiyon na 17/7 at 6/4.

Kung, kapag naghahambing ng dalawang ordinaryong fraction, lumalabas na hindi sila pantay, maaaring kailanganin mong malaman kung alin sa mga ordinaryong fraction na ito. mas maliit isa pa, at alin higit pa. Upang malaman, ang panuntunan para sa paghahambing ng mga ordinaryong praksiyon ay ginagamit, ang kakanyahan nito ay upang dalhin ang pinaghahambing na mga praksiyon sa isang karaniwang denominator at pagkatapos ay ihambing ang mga numerator. Ang detalyadong impormasyon sa paksang ito ay nakolekta sa paghahambing ng artikulo ng mga fraction: mga panuntunan, mga halimbawa, mga solusyon.

Mga fractional na numero

Ang bawat fraction ay isang talaan praksyonal na numero. Iyon ay, ang isang fraction ay isang "shell" lamang ng isang fractional na numero, ang hitsura nito, at ang buong semantic load ay tiyak na nakapaloob sa isang fractional na numero. Gayunpaman, para sa kaiklian at kaginhawahan, ang konsepto ng isang fraction at isang fractional na numero ay pinagsama at simpleng tinatawag na isang fraction. Dito angkop na i-paraphrase ang isang kilalang kasabihan: sinasabi namin ang isang fraction - ang ibig naming sabihin ay isang fractional na numero, sinasabi namin ang isang fractional na numero - ang ibig naming sabihin ay isang fraction.

Mga fraction sa coordinate beam

Ang lahat ng mga fractional na numero na tumutugma sa mga ordinaryong fraction ay may sariling natatanging lugar sa , iyon ay, mayroong isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga fraction at mga punto ng coordinate ray.

Upang makarating sa punto na tumutugma sa fraction m / n sa coordinate ray, kinakailangan na ipagpaliban ang m segment mula sa pinanggalingan sa positibong direksyon, ang haba nito ay 1 / n ng unit segment. Ang ganitong mga segment ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paghahati ng isang segment sa n pantay na bahagi, na maaaring palaging gawin gamit ang isang compass at ruler.

Halimbawa, ipakita natin ang point M sa coordinate ray, na tumutugma sa fraction na 14/10. Ang haba ng segment na may mga dulo sa puntong O at ang puntong pinakamalapit dito, na minarkahan ng maliit na gitling, ay 1/10 ng segment ng unit. Ang puntong may coordinate 14/10 ay inalis mula sa pinanggalingan ng 14 na mga segment.

Ang mga pantay na fraction ay tumutugma sa parehong fractional na numero, iyon ay, ang mga pantay na fraction ay ang mga coordinate ng parehong punto sa coordinate ray. Halimbawa, ang isang punto ay tumutugma sa mga coordinate 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 sa coordinate ray, dahil ang lahat ng nakasulat na mga fraction ay pantay-pantay (ito ay matatagpuan sa layo na kalahati ng segment ng yunit, na inilatag mula sa pinanggalingan sa positibong direksyon).

Sa isang horizontal at right-directed coordinate ray, ang punto na ang coordinate ay isang malaking fraction ay matatagpuan sa kanan ng point na ang coordinate ay isang mas maliit na fraction. Katulad nito, ang puntong may mas maliit na coordinate ay nasa kaliwa ng puntong may mas malaking coordinate.

Wasto at hindi wastong mga praksiyon, kahulugan, halimbawa

Sa mga ordinaryong fraction, mayroong wasto at di-wastong mga praksiyon. Ang dibisyong ito ay karaniwang may paghahambing ng numerator at denominator.

Bigyan natin ng depinisyon ang wasto at hindi wastong ordinaryong fraction.

Kahulugan.

Wastong fraction ay isang ordinaryong fraction, na ang numerator ay mas mababa sa denominator, iyon ay, kung m

Kahulugan.

Hindi wastong fraction ay isang ordinaryong fraction kung saan ang numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng denominator, iyon ay, kung m≥n, kung gayon ang ordinaryong fraction ay hindi wasto.

Narito ang ilang halimbawa ng wastong fraction: 1/4 , , 32 765/909 003 . Sa katunayan, sa bawat isa sa mga nakasulat na ordinaryong fraction, ang numerator ay mas mababa sa denominator (kung kinakailangan, tingnan ang artikulong paghahambing ng mga natural na numero), kaya tama ang mga ito sa kahulugan.

At narito ang mga halimbawa ng mga hindi wastong fraction: 9/9, 23/4,. Sa katunayan, ang numerator ng una sa mga nakasulat na ordinaryong fraction ay katumbas ng denominator, at sa natitirang mga fraction ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator.

Mayroon ding mga kahulugan ng wasto at hindi wastong mga praksiyon batay sa paghahambing ng mga praksiyon sa isa.

Kahulugan.

tama kung ito ay mas mababa sa isa.

Kahulugan.

Ang karaniwang fraction ay tinatawag mali, kung ito ay katumbas ng isa o mas malaki sa 1 .

Kaya ang ordinaryong fraction 7/11 ay tama, mula noong 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , at 27/27=1 .

Pag-isipan natin kung paano ang mga ordinaryong praksyon na may numerator na mas malaki kaysa o katumbas ng denominator ay nararapat sa gayong pangalan - "mali".

Kunin natin ang improper fraction 9/9 bilang isang halimbawa. Ang fraction na ito ay nangangahulugan na siyam na bahagi ng isang bagay ang kinuha, na binubuo ng siyam na bahagi. Ibig sabihin, mula sa available na siyam na share, makakabuo tayo ng isang buong paksa. Iyon ay, ang hindi wastong bahagi na 9/9 ay mahalagang nagbibigay ng isang buong bagay, iyon ay, 9/9=1. Sa pangkalahatan, ang mga hindi wastong fraction na may numerator na katumbas ng denominator ay tumutukoy sa isang buong bagay, at ang nasabing fraction ay maaaring mapalitan ng natural na numero 1.

Ngayon isaalang-alang ang mga hindi wastong fraction na 7/3 at 12/4. Halatang halata na mula sa pitong katlo na ito ay makakagawa tayo ng dalawang buong bagay (isang buong bagay ay 3 bahagi, pagkatapos ay para makabuo ng dalawang buong bagay kailangan natin ng 3 + 3 = 6 na bahagi) at magkakaroon pa rin ng isang ikatlong bahagi. Iyon ay, ang hindi wastong fraction na 7/3 ay mahalagang nangangahulugang 2 item at kahit 1/3 ng bahagi ng naturang item. At mula sa labindalawang quarter ay makakagawa tayo ng tatlong buong bagay (tatlong bagay na may apat na bahagi bawat isa). Ibig sabihin, ang fraction na 12/4 ay mahalagang nangangahulugang 3 buong bagay.

Ang isinasaalang-alang na mga halimbawa ay humahantong sa atin sa sumusunod na konklusyon: ang mga hindi wastong fraction ay maaaring palitan ng natural na mga numero, kapag ang numerator ay ganap na hinati ng denominator (halimbawa, 9/9=1 at 12/4=3), o ang kabuuan ng isang natural na numero at isang wastong fraction, kapag ang numerator ay hindi pantay na nahahati ng denominator (halimbawa, 7/3=2+1/3 ). Marahil ito ay tiyak kung ano ang karapat-dapat sa mga hindi wastong fraction ng ganoong pangalan - "mali".

Ang partikular na interes ay ang representasyon ng isang hindi wastong fraction bilang kabuuan ng isang natural na numero at isang tamang fraction (7/3=2+1/3). Ang prosesong ito ay tinatawag na pagkuha ng isang integer na bahagi mula sa isang hindi wastong bahagi, at nararapat ng isang hiwalay at mas maingat na pagsasaalang-alang.

Kapansin-pansin din na mayroong napakalapit na ugnayan sa pagitan ng mga hindi wastong praksiyon at magkahalong numero.

Positibo at negatibong mga praksiyon

Ang bawat ordinaryong fraction ay tumutugma sa isang positibong fractional na numero (tingnan ang artikulong positibo at negatibong mga numero). Ibig sabihin, ang mga ordinaryong fraction ay mga positibong fraction. Halimbawa, ang mga ordinaryong praksyon 1/5, 56/18, 35/144 ay mga positibong praksyon. Kung kinakailangan upang bigyang-diin ang pagiging positibo ng isang fraction, pagkatapos ay isang plus sign ang inilalagay sa harap nito, halimbawa, +3/4, +72/34.

Kung maglalagay ka ng minus sign sa harap ng isang ordinaryong fraction, ang entry na ito ay tumutugma sa isang negatibong fractional number. Sa kasong ito, maaaring magsalita ang isa mga negatibong fraction. Narito ang ilang halimbawa ng mga negatibong fraction: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Ang positibo at negatibong mga praksiyon m/n at −m/n ay magkasalungat na mga numero. Halimbawa, ang mga praksyon na 5/7 at −5/7 ay magkasalungat na mga praksiyon.

Ang mga positibong fraction, tulad ng mga positibong numero sa pangkalahatan, ay tumutukoy sa pagtaas, kita, pagbabago sa ilang halaga pataas, atbp. Ang mga negatibong fraction ay tumutugma sa gastos, utang, isang pagbabago sa anumang halaga sa direksyon ng pagbaba. Halimbawa, ang isang negatibong bahagi -3/4 ay maaaring bigyang-kahulugan bilang isang utang, ang halaga nito ay 3/4.

Sa horizontal at right-directed na mga negatibong fraction ay matatagpuan sa kaliwa ng reference point. Ang mga punto ng linya ng coordinate na ang mga coordinate ay ang positive fraction m/n at ang negatibong fraction −m/n ay matatagpuan sa parehong distansya mula sa pinanggalingan, ngunit sa magkabilang panig ng point O .

Narito ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng mga fraction ng form 0/n. Ang mga fraction na ito ay katumbas ng numerong zero, iyon ay, 0/n=0 .

Ang mga positibong praksyon, negatibong mga praksyon, at 0/n na mga praksyon ay pinagsama upang bumuo ng mga rational na numero.

Mga aksyon na may mga fraction

Isang aksyon na may mga ordinaryong fraction - paghahambing ng mga fraction - napag-isipan na natin sa itaas. Apat pang aritmetika ang tinukoy mga operasyon na may mga fraction- karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga fraction. Pag-isipan natin ang bawat isa sa kanila.

Ang pangkalahatang kakanyahan ng mga aksyon na may mga fraction ay katulad ng kakanyahan ng kaukulang mga aksyon na may natural na mga numero. Gumuhit tayo ng pagkakatulad.

Pagpaparami ng mga fraction ay maaaring ituring bilang isang aksyon kung saan ang isang fraction ay matatagpuan mula sa isang fraction. Upang linawin, kumuha tayo ng isang halimbawa. Ipagpalagay na mayroon tayong 1/6 ng isang mansanas at kailangan nating kumuha ng 2/3 nito. Ang bahaging kailangan natin ay ang resulta ng pagpaparami ng mga fraction na 1/6 at 2/3. Ang resulta ng pagpaparami ng dalawang ordinaryong fraction ay isang ordinaryong fraction (na sa isang partikular na kaso ay katumbas ng natural na numero). Karagdagang inirerekumenda namin na pag-aralan ang impormasyon ng artikulong multiplikasyon ng mga fraction - mga panuntunan, mga halimbawa at mga solusyon.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: aklat-aralin para sa 5 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Ang pag-aaral ng reyna ng lahat ng agham - matematika, sa ilang mga punto ang lahat ay nahaharap sa mga fraction. Bagaman ang konsepto na ito (pati na rin ang mga uri ng mga fraction sa kanilang sarili o mga operasyong matematika sa kanila) ay medyo simple, dapat itong tratuhin nang mabuti, dahil sa totoong buhay sa labas ng paaralan ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang. Kaya, i-refresh natin ang ating kaalaman sa mga fraction: kung ano ang mga ito, para saan ang mga ito, kung anong mga uri ang mga ito at kung paano magsagawa ng iba't ibang mga operasyon sa aritmetika sa kanila.

Her Majesty the fraction: ano ito

Ang mga praksiyon sa matematika ay mga numero, na ang bawat isa ay binubuo ng isa o higit pang bahagi ng yunit. Ang ganitong mga fraction ay tinatawag ding ordinaryo, o simple. Bilang isang patakaran, ang mga ito ay nakasulat bilang dalawang numero, na pinaghihiwalay ng isang pahalang o slash bar, ito ay tinatawag na "fractional". Halimbawa: ½, ¾.

Ang tuktok, o una sa mga numerong ito ay ang numerator (ipinapakita kung gaano karaming mga praksyon ng numero ang kinuha), at ang ibaba, o pangalawa, ay ang denominator (nagpapakita kung gaano karaming bahagi ang nahahati sa yunit).

Ang fractional bar ay aktwal na gumagana bilang isang tanda ng dibisyon. Halimbawa, 7:9=7/9

Ayon sa kaugalian, ang mga karaniwang fraction ay mas mababa sa isa. Habang ang mga decimal ay maaaring mas malaki kaysa dito.

Para saan ang mga fraction? Oo, para sa lahat, dahil sa totoong mundo, hindi lahat ng numero ay integer. Halimbawa, dalawang mag-aaral sa cafeteria ang bumili ng isang masarap na chocolate bar. Nang magsasalo na sila ng dessert, nakilala nila ang isang kaibigan at nagpasya na i-treat din siya. Gayunpaman, ngayon ito ay kinakailangan upang tama na hatiin ang tsokolate bar, na ibinigay na ito ay binubuo ng 12 mga parisukat.

Sa una, nais ng mga batang babae na ibahagi ang lahat nang pantay-pantay, at pagkatapos ay bawat isa ay makakakuha ng apat na piraso. Ngunit, pagkatapos ng pag-iisip, nagpasya silang i-treat ang kanilang kasintahan, hindi 1/3, ngunit 1/4 na tsokolate. At dahil ang mga mag-aaral na babae ay hindi nag-aral nang mabuti ng mga fraction, hindi nila isinasaalang-alang na sa ganoong sitwasyon, bilang isang resulta, magkakaroon sila ng 9 na piraso na napakahina na nahahati sa dalawa. Ang medyo simpleng halimbawang ito ay nagpapakita kung gaano kahalaga na mahanap nang tama ang bahagi ng isang numero. Pero sa buhay marami pang ganitong kaso.

Mga uri ng fraction: ordinaryo at decimal

Ang lahat ng mathematical fraction ay nahahati sa dalawang malalaking digit: ordinary at decimal. Ang mga tampok ng una sa kanila ay inilarawan sa nakaraang talata, kaya ngayon ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa pangalawa.

Ang decimal ay isang positional notation ng isang fraction ng isang numero, na naayos sa isang titik na pinaghihiwalay ng kuwit, na walang gitling o slash. Halimbawa: 0.75, 0.5.

Sa katunayan, ang isang decimal fraction ay kapareho ng isang ordinaryong, gayunpaman, ang denominator nito ay palaging isa na sinusundan ng mga zero - kaya ang pangalan nito.

Ang numero na nauuna sa decimal point ay ang integer na bahagi, at lahat ng pagkatapos ng decimal point ay ang fractional na bahagi. Anumang simpleng fraction ay maaaring i-convert sa isang decimal. Kaya, ang mga decimal fraction na ipinahiwatig sa nakaraang halimbawa ay maaaring isulat bilang mga ordinaryong: ¾ at ½.

Kapansin-pansin na ang parehong decimal at ordinaryong mga fraction ay maaaring parehong positibo at negatibo. Kung ang mga ito ay pinangungunahan ng isang "-" na palatandaan, ang bahaging ito ay negatibo, kung "+" - pagkatapos ay positibo.

Mga subtype ng ordinaryong fraction

May mga ganitong uri ng simpleng fraction.

Mga subspecies ng decimal fraction

Hindi tulad ng isang simple, ang decimal fraction ay nahahati lamang sa 2 uri.

• Final - nakuha ang pangalan nito dahil sa katotohanan na pagkatapos ng decimal point ay mayroon itong limitadong (panghuling) bilang ng mga digit: 19.25.
• Ang infinite fraction ay isang numero na may walang katapusang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point. Halimbawa, kapag hinahati ang 10 sa 3, ang resulta ay isang walang katapusang fraction 3.333 ...

Pagdaragdag ng mga fraction

Ang pagsasagawa ng iba't ibang manipulasyon ng aritmetika na may mga fraction ay medyo mas mahirap kaysa sa mga ordinaryong numero. Gayunpaman, kung matutunan mo ang mga pangunahing patakaran, ang paglutas ng anumang halimbawa sa kanila ay hindi magiging mahirap.

Halimbawa: 2/3+3/4. Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang para sa kanila ay magiging 12, samakatuwid, kinakailangan na ang numerong ito ay nasa bawat denominator. Upang gawin ito, pinarami namin ang numerator at denominator ng unang bahagi ng 4, lumalabas na 8/12, ginagawa namin ang parehong sa pangalawang termino, ngunit dumami lamang ng 3 - 9/12. Ngayon ay madali mong malulutas ang halimbawa: 8/12+9/12= 17/12. Ang resultang fraction ay isang maling halaga dahil ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator. Maaari at dapat itong i-convert sa tamang pinaghalo sa pamamagitan ng paghahati sa 17:12 = 1 at 5/12.

Kung ang mga halo-halong fraction ay idinagdag, una ang mga aksyon ay isinasagawa gamit ang mga integer, at pagkatapos ay may mga fractional.

Kung ang halimbawa ay naglalaman ng isang decimal fraction at isang ordinaryong isa, ito ay kinakailangan na ang parehong maging simple, pagkatapos ay dalhin ang mga ito sa parehong denominator at idagdag ang mga ito. Halimbawa 3.1+1/2. Ang numero 3.1 ay maaaring isulat bilang isang halo-halong bahagi ng 3 at 1/10, o bilang isang hindi wasto - 31/10. Ang karaniwang denominator para sa mga termino ay magiging 10, kaya kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator na 1/2 ng 5 naman, ito ay 5/10. Pagkatapos ay madali mong makalkula ang lahat: 31/10+5/10=35/10. Ang resulta na nakuha ay isang hindi wastong contractible fraction, dinadala namin ito sa normal na anyo, binabawasan ito ng 5: 7/2=3 at 1/2, o decimal - 3.5.

Kapag nagdaragdag ng 2 decimal, mahalagang mayroong parehong bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point. Kung hindi ito ang kaso, kailangan mo lamang idagdag ang kinakailangang bilang ng mga zero, dahil sa isang decimal fraction ito ay maaaring gawin nang walang sakit. Halimbawa, 3.5+3.005. Upang malutas ang gawaing ito, kailangan mong magdagdag ng 2 zero sa unang numero at pagkatapos ay idagdag sa turn: 3.500 + 3.005 = 3.505.

Pagbabawas ng mga fraction

Kapag binabawasan ang mga fraction, sulit na gawin ang parehong bilang kapag nagdaragdag: bawasan sa isang karaniwang denominator, ibawas ang isang numerator mula sa isa pa, kung kinakailangan, i-convert ang resulta sa isang halo-halong fraction.

Halimbawa: 16/20-5/10. Ang common denominator ay magiging 20. Kailangan mong dalhin ang pangalawang fraction sa denominator na ito, i-multiply ang parehong bahagi nito sa 2, makakakuha ka ng 10/20. Ngayon ay maaari mong lutasin ang halimbawa: 16/20-10/20= 6/20. Gayunpaman, ang resulta na ito ay nalalapat sa mga nababawas na fraction, kaya sulit na hatiin ang parehong bahagi ng 2 at ang resulta ay 3/10.

Pagpaparami ng mga fraction

Ang paghahati at pagpaparami ng mga fraction ay mas simpleng operasyon kaysa sa pagdaragdag at pagbabawas. Ang katotohanan ay kapag ginagawa ang mga gawaing ito, hindi na kailangang maghanap ng isang karaniwang denominator.

Upang i-multiply ang mga fraction, kailangan mo lamang na salit-salit na i-multiply ang parehong mga numerator nang magkasama, at pagkatapos ay ang parehong mga denominator. Bawasan ang resulta kung ang fraction ay isang pinababang halaga.

Halimbawa: 4/9x5/8. Pagkatapos ng alternatibong multiplikasyon, ang resulta ay 4x5/9x8=20/72. Ang nasabing fraction ay maaaring bawasan ng 4, kaya ang huling sagot sa halimbawa ay 5/18.

Paano hatiin ang mga fraction

Ang paghahati ng mga fraction ay isa ring simpleng aksyon, sa katunayan ito ay bumababa pa rin sa pagpaparami sa kanila. Upang hatiin ang isang fraction sa isa pa, kailangan mong i-flip ang pangalawa at i-multiply sa una.

Halimbawa, paghahati ng mga fraction 5/19 at 5/7. Upang malutas ang halimbawa, kailangan mong palitan ang denominator at numerator ng pangalawang fraction at i-multiply: 5/19x7/5=35/95. Ang resulta ay maaaring mabawasan ng 5 - lumalabas na 7/19.

Kung kailangan mong hatiin ang isang fraction sa isang pangunahing numero, ang pamamaraan ay bahagyang naiiba. Sa una, sulit na isulat ang numerong ito bilang isang hindi wastong bahagi, at pagkatapos ay hatiin ayon sa parehong pamamaraan. Halimbawa, ang 2/13:5 ay dapat isulat bilang 2/13:5/1. Ngayon ay kailangan mong i-flip ang 5/1 at i-multiply ang mga resultang fraction: 2/13x1/5= 2/65.

Minsan kailangan mong hatiin ang mga mixed fraction. Kailangan mong harapin ang mga ito, tulad ng sa mga integer: gawin silang hindi wastong mga fraction, i-flip ang divisor at i-multiply ang lahat. Halimbawa, 8 ½: 3. Ginagawang hindi wastong mga fraction ang lahat: 17/2: 3/1. Sinusundan ito ng 3/1 flip at multiplication: 17/2x1/3= 17/6. Ngayon ay dapat mong isalin ang maling bahagi sa tama - 2 integer at 5/6.

Kaya, nang malaman kung ano ang mga praksyon at kung paano mo magagawa ang iba't ibang mga operasyon sa aritmetika sa kanila, kailangan mong subukang huwag kalimutan ang tungkol dito. Pagkatapos ng lahat, ang mga tao ay palaging mas hilig na hatiin ang isang bagay sa mga bahagi kaysa magdagdag, kaya kailangan mong magawa ito ng tama.

Maliit na bahagi- isang anyo ng representasyon ng isang numero sa matematika. Ang slash ay nagpapahiwatig ng operasyon ng paghahati. tagabilang Ang mga fraction ay tinatawag na dibidendo, at denominador- divider. Halimbawa, sa isang fraction, ang numerator ay 5 at ang denominator ay 7.

tama Ang isang fraction ay tinatawag kung ang modulus ng numerator ay mas malaki kaysa sa modulus ng denominator. Kung tama ang fraction, ang modulus ng value nito ay palaging mas mababa sa 1. Ang lahat ng iba pang fraction ay mali.

Fraction ay tinatawag magkakahalo, kung ito ay nakasulat bilang isang integer at isang fraction. Ito ay kapareho ng kabuuan ng numerong ito at isang fraction:

Pangunahing katangian ng isang fraction

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami ng parehong numero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago, iyon ay, halimbawa,

Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Para magdala ng dalawang fraction sa isang common denominator, kailangan mo:

1. I-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa
2. I-multiply ang numerator ng pangalawang fraction sa denominator ng una
3. Palitan ang mga denominator ng parehong fraction ng kanilang produkto

Mga aksyon na may mga fraction

Dagdag. Upang magdagdag ng dalawang fraction, kailangan mo

1. Magdagdag ng mga bagong numerator ng parehong mga fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago

Halimbawa:

Pagbabawas. Upang ibawas ang isang fraction mula sa isa pa,

1. Dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator
2. Ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.

Halimbawa:

Pagpaparami. Upang i-multiply ang isang fraction sa isa pa, i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator:

Dibisyon. Upang hatiin ang isang fraction sa isa pa, i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa:

Numerator

quarters

1. Kaayusan. a at b mayroong isang panuntunan na nagbibigay-daan sa iyong natatanging makilala sa pagitan nila ang isa at isa lamang sa tatlong relasyon: "< », « >' o ' = '. Ang tuntuning ito ay tinatawag tuntunin sa pag-order at binabalangkas tulad ng sumusunod: dalawang di-negatibong mga numero at nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang integer at ; dalawang di-positibong numero a at b ay nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang di-negatibong numero at ; kung biglaan a hindi negatibo, at b- negatibo, kung gayon a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   pagsusuma ng mga fraction

2. dagdag na operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagbubuod c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag sum numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag pagbubuod. Ang panuntunan sa pagbubuod ay may sumusunod na anyo: .
3. pagpaparami ng operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagpaparami, na naglalagay sa kanila sa mga sulat na may ilang rational na numero c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag trabaho numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag din pagpaparami. Ang panuntunan sa pagpaparami ay ang mga sumusunod: .
4. Transitivity ng ugnayan ng pagkakasunud-sunod. Para sa anumang triple ng mga rational na numero a , b at c kung a mas maliit b at b mas maliit c, pagkatapos a mas maliit c, at kung a katumbas b at b katumbas c, pagkatapos a katumbas c. 6435">Commutativity ng karagdagan. Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang termino.
5. Pagkakaugnay ng karagdagan. Ang pagkakasunud-sunod kung saan idinagdag ang tatlong rational na numero ay hindi nakakaapekto sa resulta.
6. Ang pagkakaroon ng zero. May rational number na 0 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinagsama-sama.
7. Ang pagkakaroon ng magkasalungat na numero. Ang anumang rational na numero ay may kabaligtaran na rational number, na, kapag summed, ay nagbibigay ng 0.
8. Commutativity ng multiplikasyon. Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang kadahilanan, ang produkto ay hindi nagbabago.
9. Pagkakaugnay ng multiplikasyon. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang tatlong rational na numero ay pinarami ay hindi nakakaapekto sa resulta.
10. Ang pagkakaroon ng isang yunit. Mayroong rational number 1 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinarami.
11. Ang pagkakaroon ng mga kapalit. Ang anumang rational number ay may inverse rational number, na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng 1.
12. Distributivity ng multiplikasyon na may kinalaman sa karagdagan. Ang pagpaparami ng pagpaparami ay pare-pareho sa pagpapatakbo ng karagdagan sa pamamagitan ng batas sa pamamahagi:
13. Koneksyon ng kaugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng karagdagan. Ang parehong rational number ay maaaring idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng isang rational inequality. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axiom ng Archimedes. Anuman ang makatwirang numero a, maaari kang kumuha ng napakaraming unit na lalampas ang kanilang kabuuan a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Mga karagdagang katangian

Ang lahat ng iba pang mga katangian na likas sa mga makatwirang numero ay hindi tinutukoy bilang mga pangunahing, dahil, sa pangkalahatan, hindi na sila direktang nakabatay sa mga katangian ng mga integer, ngunit maaaring patunayan sa batayan ng mga ibinigay na pangunahing katangian o direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng ilang bagay sa matematika. Mayroong maraming mga karagdagang pag-aari. Makatuwiran dito na banggitin lamang ang ilan sa mga ito.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Itakda ang countability

Pagbilang ng mga rational na numero

Upang matantya ang bilang ng mga rational na numero, kailangan mong hanapin ang cardinality ng kanilang set. Madaling patunayan na ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang. Upang gawin ito, sapat na ang pagbibigay ng algorithm na nagsasaad ng mga rational na numero, ibig sabihin, nagtatatag ng bijection sa pagitan ng mga hanay ng mga rational at natural na numero.

Ang pinakasimple sa mga algorithm na ito ay ang mga sumusunod. Ang isang walang katapusang talahanayan ng mga ordinaryong fraction ay pinagsama-sama, sa bawat isa i-ika-linya sa bawat isa j ika-kolum na kung saan ay isang fraction. Para sa katiyakan, ipinapalagay na ang mga row at column ng talahanayang ito ay binibilang mula sa isa. Ang mga cell ng talahanayan ay tinutukoy , kung saan i- ang row number ng table kung saan matatagpuan ang cell, at j- numero ng hanay.

Ang resultang talahanayan ay pinamamahalaan ng isang "ahas" ayon sa sumusunod na pormal na algorithm.

Hinahanap ang mga panuntunang ito mula sa itaas hanggang sa ibaba at ang susunod na posisyon ay pipiliin ng unang tugma.

Sa proseso ng naturang bypass, ang bawat bagong rational na numero ay itinalaga sa susunod na natural na numero. Iyon ay, ang mga praksyon 1 / 1 ay itinalaga ang numero 1, mga praksyon 2 / 1 - ang numero 2, atbp. Dapat tandaan na ang mga hindi mababawasan na mga praksiyon lamang ang binibilang. Ang pormal na tanda ng irreducibility ay ang pagkakapantay-pantay sa pagkakaisa ng pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng fraction.

Kasunod ng algorithm na ito, maaaring isa-isahin ang lahat ng positibong rational na numero. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga positibong rational na numero ay mabibilang. Madaling magtatag ng bijection sa pagitan ng mga hanay ng positibo at negatibong mga rational na numero, sa pamamagitan lamang ng pagtatalaga sa bawat rational na numero ng kabaligtaran nito. yun. ang hanay ng mga negatibong rational na numero ay mabibilang din. Ang kanilang unyon ay mabibilang din sa pamamagitan ng pag-aari ng mga mabibilang na hanay. Ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang din bilang pagsasama ng isang mabibilang na hanay na may isang may hangganan.

Ang pahayag tungkol sa countability ng hanay ng mga rational na numero ay maaaring magdulot ng ilang pagkalito, dahil sa unang tingin ay magkakaroon ng impresyon na ito ay mas malaki kaysa sa hanay ng mga natural na numero. Sa katunayan, hindi ito ang kaso, at may sapat na natural na mga numero upang mabilang ang lahat ng mga makatwiran.

Kakulangan ng mga makatwirang numero

Ang hypotenuse ng naturang tatsulok ay hindi ipinahayag ng anumang makatwirang numero

Mga rational na numero ng form 1 / n sa malaki n arbitraryong maliliit na dami ay maaaring masukat. Ang katotohanang ito ay lumilikha ng isang mapanlinlang na impresyon na ang mga makatwirang numero ay maaaring masukat ang anumang mga geometriko na distansya sa pangkalahatan. Madaling ipakita na hindi ito totoo.

Ito ay kilala mula sa Pythagorean theorem na ang hypotenuse ng isang right triangle ay ipinahayag bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti nito. yun. ang haba ng hypotenuse ng isang isosceles right triangle na may unit leg ay katumbas ng, i.e., isang numero na ang parisukat ay 2.

Kung ipagpalagay natin na ang numero ay kinakatawan ng ilang rational na numero, kung gayon mayroong ganoong integer m at tulad ng isang natural na numero n, na, bukod dito, ang fraction ay hindi mababawasan, ibig sabihin, ang mga numero m at n ay coprime.