Imposibleng malutas ang mga pisikal na problema o mga halimbawa sa matematika nang walang kaalaman tungkol sa derivative at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito. Ang derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng mathematical analysis. Nagpasya kaming italaga ang artikulo ngayon sa pangunahing paksang ito. Ano ang derivative, ano ang pisikal at geometric na kahulugan nito, kung paano kalkulahin ang derivative ng isang function? Ang lahat ng mga tanong na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung paano maunawaan ang hinalaw?
Geometric at pisikal na kahulugan ng derivative
Magkaroon ng function f(x) , ibinigay sa ilang pagitan (a,b) . Ang mga puntos na x at x0 ay nabibilang sa pagitan na ito. Kapag nagbago ang x, nagbabago ang function mismo. Pagbabago ng argumento - pagkakaiba ng mga halaga nito x-x0 . Ang pagkakaibang ito ay nakasulat bilang delta x at tinatawag na argument increment. Ang pagbabago o pagtaas ng isang function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function sa dalawang punto. Derivative na kahulugan:
Ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa isang partikular na punto sa pagtaas ng argument kapag ang huli ay may posibilidad na zero.
Kung hindi, maaari itong isulat tulad nito:
Ano ang punto sa paghahanap ng gayong limitasyon? Ngunit alin:
ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng OX axis at ang tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.
Ang pisikal na kahulugan ng derivative: ang time derivative ng path ay katumbas ng bilis ng rectilinear motion.
Sa katunayan, mula noong mga araw ng paaralan, alam ng lahat na ang bilis ay isang pribadong landas. x=f(t) at oras t . Average na bilis sa isang tiyak na tagal ng panahon:
Upang malaman ang bilis ng paggalaw sa isang pagkakataon t0 kailangan mong kalkulahin ang limitasyon:
Unang panuntunan: alisin ang pare-pareho
Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Bukod dito, dapat itong gawin. Kapag nilulutas ang mga halimbawa sa matematika, kunin bilang panuntunan - kung maaari mong pasimplehin ang expression, siguraduhing pasimplehin .
Halimbawa. Kalkulahin natin ang derivative:
Rule two: derivative ng kabuuan ng mga function
Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito. Ang parehong ay totoo para sa derivative ng pagkakaiba ng mga function.
Hindi kami magbibigay ng patunay ng teorama na ito, ngunit sa halip ay isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa.
Hanapin ang derivative ng isang function:
Tatlong panuntunan: ang derivative ng produkto ng mga function
Ang derivative ng produkto ng dalawang differentiable function ay kinakalkula ng formula:
Halimbawa: hanapin ang derivative ng isang function:
Desisyon: 
Narito mahalagang sabihin ang tungkol sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga kumplikadong function. Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito na may paggalang sa intermediate argument sa pamamagitan ng derivative ng intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.
Sa halimbawa sa itaas, nakatagpo namin ang expression:
Sa kasong ito, ang intermediate argument ay 8x hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Upang makalkula ang derivative ng naturang expression, isaalang-alang muna natin ang derivative ng external function na may paggalang sa intermediate argument, at pagkatapos ay i-multiply sa derivative ng intermediate argument mismo na may paggalang sa independent variable.
Ikaapat na Panuntunan: Ang derivative ng quotient ng dalawang function
Formula para sa pagtukoy ng derivative ng isang quotient ng dalawang function:
Sinubukan naming pag-usapan ang tungkol sa mga derivatives para sa mga dummies mula sa simula. Ang paksang ito ay hindi kasing simple ng tila, kaya't bigyan ng babala: madalas na may mga pitfalls sa mga halimbawa, kaya maging maingat sa pagkalkula ng mga derivatives.
Sa anumang tanong tungkol dito at sa iba pang mga paksa, maaari kang makipag-ugnayan sa serbisyo ng mag-aaral. Sa maikling panahon, tutulungan ka naming lutasin ang pinakamahirap na kontrol at harapin ang mga gawain, kahit na hindi mo pa napag-uusapan ang pagkalkula ng mga derivatives dati.
At ang theorem sa derivative ng isang kumplikadong function, ang pagbabalangkas kung saan ay ang mga sumusunod:
Hayaang 1) ang function na $u=\varphi (x)$ ay may derivative na $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ sa isang punto $x_0$, 2) ang function na $y=f(u)$ ay nasa katumbas na punto na $u_0=\varphi (x_0)$ ang derivative na $y_(u)"=f"(u)$. Pagkatapos ang kumplikadong function na $y=f\left(\varphi (x) \right)$ sa nabanggit na punto ay magkakaroon din ng derivative na katumbas ng produkto ng mga derivatives ng mga function na $f(u)$ at $\varphi ( x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
o, sa mas maikling notasyon: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Sa mga halimbawa ng seksyong ito, ang lahat ng mga function ay may anyong $y=f(x)$ (ibig sabihin, isinasaalang-alang lamang namin ang mga function ng isang variable na $x$). Alinsunod dito, sa lahat ng halimbawa, ang derivative na $y"$ ay kinukuha na may kinalaman sa variable na $x$. Upang bigyang-diin na ang derivative ay kinuha na may kinalaman sa variable na $x$, ang isa ay madalas na nagsusulat ng $y"_x$ sa halip na $ y"$.
Ang mga halimbawa #1, #2, at #3 ay nagbibigay ng isang detalyadong proseso para sa paghahanap ng derivative ng mga kumplikadong function. Ang Halimbawa No. 4 ay nilayon para sa isang mas kumpletong pag-unawa sa talahanayan ng mga derivatives at makatuwirang maging pamilyar dito.
Maipapayo, pagkatapos pag-aralan ang materyal sa mga halimbawa No. 1-3, na magpatuloy sa independiyenteng paglutas ng mga halimbawa No. 5, No. 6 at No. 7. Ang mga halimbawa #5, #6 at #7 ay naglalaman ng maikling solusyon upang masuri ng mambabasa ang kawastuhan ng kanyang resulta.
Halimbawa #1
Hanapin ang derivative ng function na $y=e^(\cos x)$.
Kailangan nating hanapin ang derivative ng complex function na $y"$. Since $y=e^(\cos x)$, then $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. To hanapin ang derivative na $ \left(e^(\cos x)\right)"$ gamitin ang formula #6 mula sa talahanayan ng mga derivatives. Upang magamit ang formula No. 6, kailangan mong isaalang-alang na sa aming kaso $u=\cos x$. Ang karagdagang solusyon ay binubuo sa isang karaniwang pagpapalit ng expression na $\cos x$ sa halip na $u$ sa formula No. 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Ngayon ay kailangan nating hanapin ang halaga ng expression na $(\cos x)"$. Muli tayong bumaling sa talahanayan ng mga derivatives, na pumipili ng formula No. 10 mula dito. Ang pagpapalit ng $u=x$ sa formula No. 10, mayroon tayong : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pagkakapantay-pantay (1.1), dinadagdagan ito ng nahanap na resulta:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x) \cdot x") \tag (1.2) $$
Dahil $x"=1$, ipinagpatuloy namin ang pagkakapantay-pantay (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x) \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Kaya, mula sa pagkakapantay-pantay (1.3) mayroon tayong: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naturally, ang mga paliwanag at intermediate equalities ay karaniwang nilaktawan, na nagsusulat ng derivative sa isang linya, tulad ng sa pagkakapantay-pantay. ( 1.3) Kaya, ang hinango ng kumplikadong pag-andar ay natagpuan, nananatili lamang itong isulat ang sagot.
Sagot: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Halimbawa #2
Hanapin ang derivative ng function na $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Kailangan nating kalkulahin ang derivative na $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Upang magsimula, tandaan namin na ang pare-pareho (i.e. ang numero 9) ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)" \tag (2.1) $$
Ngayon ay bumaling tayo sa expression na $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Upang gawing mas madali ang pagpili ng gustong formula mula sa talahanayan ng mga derivatives, ipapakita ko ang expression pinag-uusapan sa form na ito: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Ngayon ay malinaw na kinakailangan na gumamit ng formula No. 2, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ipalit ang $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ at $\alpha=12$ sa formula na ito:
Bilang karagdagan sa pagkakapantay-pantay (2.1) sa nakuhang resulta, mayroon kaming:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
Sa sitwasyong ito, madalas na nagkakamali kapag pinili ng solver sa unang hakbang ang formula na $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ sa halip na formula $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ang punto ay ang hinango ng panlabas na function ay dapat na unang mahanap. Upang maunawaan kung aling function ang magiging panlabas sa expression na $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, isipin na binibilang mo ang halaga ng expression na $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ para sa ilang halaga ng $x$. Una mong kalkulahin ang halaga ng $5^x$, pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa 4 upang makakuha ng $4\cdot 5^x$. Ngayon ay kinukuha namin ang arctangent mula sa resultang ito, nakakakuha ng $\arctg(4\cdot 5^x)$. Pagkatapos ay itataas namin ang resultang numero sa ikalabindalawang kapangyarihan, na nakakakuha ng $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Ang huling aksyon, i.e. pagtaas sa kapangyarihan ng 12, - at magiging isang panlabas na function. At mula rito na dapat simulan ng isa ang paghahanap ng hinango, na ginawa sa pagkakapantay-pantay (2.2).
Ngayon kailangan nating hanapin ang $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Ginagamit namin ang formula No. 19 ng derivatives table, pinapalitan ang $u=4\cdot \ln x$ dito:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Bahagyang pasimplehin natin ang resultang expression, na isinasaalang-alang ang $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Ang pagkakapantay-pantay (2.2) ay magiging:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Ito ay nananatili upang mahanap ang $(4\cdot \ln x)"$. Kinukuha namin ang pare-pareho (i.e. 4) mula sa tanda ng derivative: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Para sa Upang mahanap ang $(\ln x)"$, ginagamit namin ang formula No. 8, pinapalitan ang $u=x$ dito: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Dahil $x"=1$, pagkatapos ay $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Ang pagpapalit ng resulta na nakuha sa formula (2.3), makuha namin ang:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $
Ipaalala ko sa iyo na ang derivative ng isang kumplikadong function ay kadalasang nasa isang linya, gaya ng nakasulat sa huling pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, kapag gumagawa ng mga karaniwang kalkulasyon o pagsubok, hindi kinakailangan na ipinta ang solusyon sa parehong detalye.
Sagot: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Halimbawa #3
Hanapin ang $y"$ ng function na $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Una, bahagyang baguhin natin ang $y$ function sa pamamagitan ng pagpapahayag ng radical (root) bilang isang kapangyarihan: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \kanan)^(\frac(3)(7))$. Ngayon simulan natin ang paghahanap ng derivative. Dahil $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, kung gayon:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Gumagamit kami ng formula No. 2 mula sa talahanayan ng mga derivatives, pinapalitan ang $u=\sin(5\cdot 9^x)$ at $\alpha=\frac(3)(7)$ dito:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Ipinagpapatuloy namin ang pagkakapantay-pantay (3.1) gamit ang nakuhang resulta:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Ngayon ay kailangan nating hanapin ang $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Para dito, ginagamit namin ang formula No. 9 mula sa talahanayan ng mga derivatives, pinapalitan ang $u=5\cdot 9^x$ dito:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Bilang karagdagan sa pagkakapantay-pantay (3.2) sa nakuhang resulta, mayroon kaming:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Ito ay nananatili upang mahanap ang $(5\cdot 9^x)"$. Una, kinuha natin ang pare-pareho (ang numerong $5$) mula sa tanda ng derivative, ibig sabihin, $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Upang mahanap ang derivative na $(9^x)"$, inilalapat namin ang formula No. 5 ng talahanayan ng mga derivatives, pinapalitan ang $a=9$ at $u=x$ dito: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Dahil $x"=1$, pagkatapos ay $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Ngayon ay maaari nating ipagpatuloy ang pagkakapantay-pantay (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Maaari kang bumalik mula sa mga kapangyarihan patungo sa mga radikal (i.e. mga ugat) muli sa pamamagitan ng pagsulat ng $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ bilang $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. Pagkatapos ang derivative ay isusulat sa sumusunod na anyo:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))) $$
Sagot: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\\ cdot 9^x)))$.
Halimbawa #4
Ipakita na ang mga formula No. 3 at No. 4 ng talahanayan ng mga derivatives ay isang espesyal na kaso ng formula No. 2 ng talahanayang ito.
Sa formula No. 2 ng talahanayan ng mga derivatives, ang derivative ng function na $u^\alpha$ ay nakasulat. Ang pagpapalit ng $\alpha=-1$ sa formula #2, makuha namin ang:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Dahil ang $u^(-1)=\frac(1)(u)$ at $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, ang pagkakapantay-pantay (4.1) ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ito ang formula number 3 ng derivatives table.
Bumalik tayo muli sa formula No. 2 ng derivatives table. Palitan ang $\alpha=\frac(1)(2)$ dito:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Dahil $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ at $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay (4.2) ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Ang resultang equality $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ay formula No. 4 ng derivatives table. Gaya ng nakikita mo, ang mga formula No. 3 at No. 4 ng derivatives table ay nakuha mula sa formula No. 2 sa pamamagitan ng pagpapalit sa katumbas na halaga ng $\alpha$.
Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng increment ratio ng function Δ y sa pagtaas ng argumentong Δ x:
Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang kalkulahin sa pamamagitan ng formula na ito, sabihin nating, ang derivative ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.
Upang magsimula, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na kung saan ay matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang mga naturang function ay sapat na madaling matandaan, kasama ang kanilang mga derivatives.
Mga derivatives ng elementary functions
Ang mga elementary function ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. At saka, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya naman elementary sila.
Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:
| Pangalan | Function | Derivative |
| pare-pareho | f(x) = C, C ∈ R | 0 (oo, oo, zero!) |
| Degree na may rational exponent | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = kasalanan x | cos x |
| Cosine | f(x) = cos x | − kasalanan x(minus sine) |
| Padaplis | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Cotangent | f(x) = ctg x | − 1/kasalanan2 x |
| natural na logarithm | f(x) = log x | 1/x |
| Arbitrary logarithm | f(x) = log a x | 1/(x ln a) |
| Exponential function | f(x) = e x | e x(walang nagbago) |
Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madali ding kalkulahin:
(C · f)’ = C · f ’.
Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa sign ng derivative. Halimbawa:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati, at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na masyadong elementarya, ngunit din naiba-iba ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.
Derivative ng kabuuan at pagkakaiba
Hayaan ang mga function f(x) at g(x), na ang mga derivative ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Maaaring may higit pang mga termino. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid, ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya:
f ’(x) = (x 2+ kasalanan x)’ = (x 2)' + (kasalanan x)’ = 2x+ cosx;
Pareho kaming nagtatalo para sa function g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Sagot:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Derivative ng isang produkto
Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto. strike"\u003e katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit figs para sa iyo! Ang derivative ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Ang formula ay simple, ngunit madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay hindi wastong nalutas ang mga problema.
Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Function f(x) ay isang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)
Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago mula dito. Malinaw, ang unang multiplier ng function g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng kabuuan. Meron kami:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Tandaan na sa huling hakbang, ang derivative ay factorized. Sa pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit karamihan sa mga derivative ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang galugarin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay malalaman, at iba pa. Para sa ganitong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na nabulok sa mga kadahilanan.
Kung may dalawang function f(x) at g(x), at g(x) ≠ 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa ganoong function, maaari mo ring mahanap ang derivative:
Hindi mahina, tama? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? Pero ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito na may mga tiyak na halimbawa.
Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:
May mga elementarya na function sa numerator at denominator ng bawat fraction, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:
Sa pamamagitan ng tradisyon, isinaalang-alang namin ang numerator sa mga kadahilanan - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:
Ang isang kumplikadong function ay hindi kinakailangang isang formula na kalahating kilometro ang haba. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2+ln x. Iyon pala f(x) = kasalanan ( x 2+ln x) ay isang kumplikadong function. Mayroon din siyang derivative, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas.
Paano maging? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng isang variable at ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay makakatulong:
f ’(x) = f ’(t) · t', kung x ay pinalitan ng t(x).
Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa hinango ng quotient. Samakatuwid, mas mainam din na ipaliwanag ito sa mga partikular na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.
Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2+ln x)
Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay makakakuha tayo ng elementarya na function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan ang 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function sa pamamagitan ng formula:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
At ngayon - pansin! Gumaganap ng reverse substitution: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangang palitan. x 2+ln x = t. Meron kami:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’
Baliktad na kapalit: t = x 2+ln x. Pagkatapos:
g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative ng kabuuan.
Sagot:
f ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil ( x 2+ln x).
Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative", ginagamit ko ang salitang "stroke". Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Well, mabuti iyon.
Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumababa sa pag-alis ng mga mismong stroke na ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:
(x n)’ = n · x n − 1
Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5 . Ngunit paano kung mayroong isang bagay na nakakalito sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay lalabas - gusto nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsusulit at pagsusulit.
Gawain. Hanapin ang derivative ng isang function:
Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Ngayon gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng formula:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.
Gumagawa kami ng reverse substitution: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:
f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Sa wakas, bumalik sa mga ugat:
Unang antas
Function derivative. Comprehensive Guide (2019)
Isipin ang isang tuwid na kalsada na dumadaan sa isang maburol na lugar. Ibig sabihin, ito ay pataas at pababa, ngunit hindi lumiliko sa kanan o kaliwa. Kung ang axis ay nakadirekta nang pahalang sa kahabaan ng kalsada, at patayo, ang linya ng kalsada ay magiging halos kapareho sa graph ng ilang tuluy-tuloy na function:
Ang axis ay isang tiyak na antas ng zero na taas, sa buhay ginagamit natin ang antas ng dagat bilang ito.
Pasulong sa kahabaan ng naturang kalsada, tayo rin ay umaakyat o pababa. Masasabi rin natin: kapag nagbago ang argumento (gumagalaw kasama ang abscissa axis), nagbabago ang halaga ng function (gumagalaw kasama ang ordinate axis). Ngayon isipin natin kung paano matukoy ang "steep" ng ating kalsada? Ano kaya ang halagang ito? Napakasimple: gaano kalaki ang magbabago sa taas kapag sumusulong sa isang tiyak na distansya. Sa katunayan, sa iba't ibang mga seksyon ng kalsada, pasulong (sa kahabaan ng abscissa) isang kilometro, tayo ay tataas o bababa ng ibang bilang ng mga metro na may kaugnayan sa antas ng dagat (kasama ang ordinate).
Tinutukoy namin ang pag-unlad pasulong (basahin ang "delta x").
Ang letrang Griyego (delta) ay karaniwang ginagamit sa matematika bilang prefix na nangangahulugang "pagbabago". Iyon ay - ito ay isang pagbabago sa magnitude, - isang pagbabago; Pagkatapos ano? Tama, pagbabago sa laki.
Mahalaga: ang expression ay isang solong entity, isang variable. Hindi mo dapat tanggalin ang "delta" mula sa "x" o anumang iba pang titik! Iyon ay, halimbawa, .
Kaya, kami ay sumulong, pahalang, sa. Kung ihahambing natin ang linya ng kalsada sa graph ng isang function, kung gayon paano natin tinutukoy ang pagtaas? Tiyak, . Iyon ay, kapag sumusulong tayo ay tumataas nang mas mataas.
Madaling kalkulahin ang halaga: kung sa simula tayo ay nasa taas, at pagkatapos lumipat tayo ay nasa taas, kung gayon. Kung ang dulong punto ay naging mas mababa kaysa sa panimulang punto, ito ay magiging negatibo - nangangahulugan ito na hindi tayo pataas, ngunit pababa.
Bumalik sa "steepness": ito ay isang value na nagsasaad kung gaano kalaki (steeply) ang pagtaas ng taas kapag sumusulong sa bawat unit na distansya:
Ipagpalagay na sa ilang seksyon ng landas, kapag sumusulong ng km, ang kalsada ay tumaas ng km. Tapos ang tirik sa lugar na ito ay pantay. At kung ang kalsada, kapag sumusulong ng m, lumubog ng km? Pagkatapos ay pantay ang slope.
Ngayon isaalang-alang ang tuktok ng isang burol. Kung dadalhin mo ang simula ng seksyon kalahating kilometro sa tuktok, at ang dulo - kalahating kilometro pagkatapos nito, makikita mo na ang taas ay halos pareho.
Iyon ay, ayon sa aming lohika, lumalabas na ang slope dito ay halos katumbas ng zero, na malinaw na hindi totoo. Marami ang maaaring magbago ilang milya lamang ang layo. Ang mga maliliit na lugar ay kailangang isaalang-alang para sa isang mas sapat at tumpak na pagtatantya ng steepness. Halimbawa, kung susukatin mo ang pagbabago sa taas kapag gumagalaw ng isang metro, ang resulta ay magiging mas tumpak. Ngunit kahit na ang katumpakan na ito ay maaaring hindi sapat para sa atin - pagkatapos ng lahat, kung mayroong isang poste sa gitna ng kalsada, maaari tayong dumaan dito. Anong distansya ang dapat nating piliin kung gayon? sentimetro? milimetro? Mas kaunti ay mas mabuti!
Sa totoong buhay, ang pagsukat ng distansya sa pinakamalapit na milimetro ay higit pa sa sapat. Ngunit ang mga mathematician ay palaging nagsusumikap para sa pagiging perpekto. Samakatuwid, ang konsepto ay infinitesimal, ibig sabihin, ang halaga ng modulo ay mas mababa sa anumang numero na maaari nating pangalanan. Halimbawa, sasabihin mo: isang trilyon! gaano pa kaunti? At hinati mo ang numerong ito sa - at magiging mas kaunti pa ito. atbp. Kung gusto naming isulat na ang halaga ay walang katapusang maliit, sumusulat kami ng ganito: (nababasa namin ang "x ay may posibilidad na zero"). Napakahalagang maunawaan na ang numerong ito ay hindi katumbas ng zero! Ngunit napakalapit dito. Nangangahulugan ito na maaari itong hatiin sa.
Ang konsepto na kabaligtaran ng walang hanggan maliit ay walang hanggan malaki (). Marahil ay naranasan mo na ito noong ikaw ay gumagawa ng mga hindi pagkakapantay-pantay: ang bilang na ito ay mas malaki sa modulus kaysa sa anumang numerong maiisip mo. Kung makabuo ka ng pinakamalaking posibleng numero, i-multiply lang ito sa dalawa at makakakuha ka ng higit pa. At ang infinity ay higit pa sa nangyayari. Sa katunayan, ang walang hanggan malaki at walang hanggan maliit ay kabaligtaran sa isa't isa, iyon ay, sa, at vice versa: at.
Ngayon bumalik sa aming kalsada. Ang perpektong kinakalkula na slope ay ang slope na kinakalkula para sa isang walang katapusang maliit na bahagi ng landas, iyon ay:
Pansinin ko na sa isang walang katapusang maliit na displacement, ang pagbabago sa taas ay magiging napakaliit din. Ngunit hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang walang katapusang maliit ay hindi nangangahulugang katumbas ng zero. Kung hahatiin mo ang mga infinitesimal na numero sa isa't isa, maaari kang makakuha ng ganap na ordinaryong numero, halimbawa,. Iyon ay, ang isang maliit na halaga ay maaaring eksaktong dalawang beses na mas malaki kaysa sa isa pa.
Bakit lahat ng ito? Ang daan, ang tirik ... Hindi tayo magra-rally, pero nag-aaral tayo ng matematika. At sa matematika ang lahat ay eksaktong pareho, naiiba lamang ang tawag.
Ang konsepto ng isang derivative
Ang derivative ng isang function ay ang ratio ng increment ng function sa increment ng argument sa isang infinitesimal na increment ng argument.
Pagtaas sa matematika ay tinatawag na pagbabago. Kung gaano kalaki ang nabago ng argumento () kapag gumagalaw kasama ang axis ay tinatawag pagtaas ng argumento at tinutukoy ng Gaano kalaki ang nabago ng function (taas) kapag sumusulong kasama ang axis sa pamamagitan ng isang distansya ay tinatawag pagtaas ng function at minarkahan.
Kaya, ang derivative ng isang function ay ang kaugnayan sa kung kailan. Tinutukoy namin ang derivative na may parehong titik bilang ang function, sa pamamagitan lamang ng isang stroke mula sa kanang tuktok: o simple. Kaya, isulat natin ang derivative formula gamit ang mga notasyong ito:
Tulad ng pagkakatulad sa kalsada, dito, kapag tumaas ang function, ang derivative ay positibo, at kapag ito ay bumaba, ito ay negatibo.
Ngunit ang derivative ba ay katumbas ng zero? tiyak. Halimbawa, kung kami ay nagmamaneho sa isang patag na pahalang na kalsada, ang matarik ay zero. Sa katunayan, ang taas ay hindi nagbabago. Kaya sa derivative: ang derivative ng isang constant function (constant) ay katumbas ng zero:
dahil ang pagtaas ng naturang function ay zero para sa alinman.
Kunin natin ang halimbawa sa tuktok ng burol. Ito ay naging posible na ayusin ang mga dulo ng segment sa magkabilang panig ng vertex sa paraang ang taas sa mga dulo ay magiging pareho, iyon ay, ang segment ay kahanay sa axis:
Ngunit ang malalaking segment ay tanda ng hindi tumpak na pagsukat. Itataas namin ang aming segment parallel sa sarili nito, pagkatapos ay bababa ang haba nito.
Sa huli, kapag malapit na tayo sa tuktok, ang haba ng segment ay magiging napakaliit. Ngunit sa parehong oras, ito ay nanatiling parallel sa axis, iyon ay, ang pagkakaiba sa taas sa mga dulo nito ay katumbas ng zero (ay hindi malamang, ngunit katumbas ng). Kaya ang derivative
Ito ay mauunawaan bilang mga sumusunod: kapag tayo ay nakatayo sa pinakatuktok, ang isang maliit na paglipat sa kaliwa o kanan ay nagbabago ng ating taas nang bale-wala.
Mayroon ding purong algebraic na paliwanag: sa kaliwa ng itaas, ang function ay tumataas, at sa kanan, ito ay bumababa. Tulad ng nalaman na natin kanina, kapag ang function ay tumaas, ang derivative ay positibo, at kapag ito ay bumaba, ito ay negatibo. Ngunit ito ay nagbabago nang maayos, nang walang pagtalon (dahil ang kalsada ay hindi nagbabago nang husto sa slope nito kahit saan). Samakatuwid, dapat mayroong pagitan ng negatibo at positibong mga halaga. Ito ay kung saan ang function ay hindi tumataas o bumababa - sa vertex point.
Totoo rin ito para sa lambak (ang lugar kung saan bumababa ang function sa kaliwa at tumataas sa kanan):
Kaunti pa tungkol sa mga increment.
Kaya binago namin ang argumento sa isang halaga. Nagbabago tayo mula sa anong halaga? Ano na siya (argumento) ngayon? Maaari tayong pumili ng anumang punto, at ngayon ay sasayaw tayo mula rito.
Isaalang-alang ang isang punto na may coordinate. Ang halaga ng function sa loob nito ay pantay. Pagkatapos ay ginagawa namin ang parehong pagtaas: taasan ang coordinate ng. Ano ang argumento ngayon? Napakadaling: . Ano ang halaga ng function ngayon? Kung saan napupunta ang argumento, napupunta doon ang function: . Paano ang tungkol sa pagtaas ng function? Walang bago: ito pa rin ang halaga kung saan nagbago ang function:
Magsanay sa paghahanap ng mga increment:
- Hanapin ang increment ng function sa isang punto na may increment ng argument na katumbas ng.
- Ang parehong para sa isang function sa isang punto.
Mga solusyon:
Sa iba't ibang mga punto, na may parehong pagtaas ng argumento, ang pagtaas ng function ay magiging iba. Nangangahulugan ito na ang derivative sa bawat punto ay may sariling (tinalakay namin ito sa pinakadulo simula - iba ang matarik na kalsada sa iba't ibang mga punto). Samakatuwid, kapag sumulat tayo ng isang derivative, dapat nating ipahiwatig kung anong punto:
Pag-andar ng kapangyarihan.
Ang isang function ng kapangyarihan ay tinatawag na isang function kung saan ang argumento ay sa ilang lawak (lohikal, tama?).
At - sa anumang lawak: .
Ang pinakasimpleng kaso ay kapag ang exponent ay:
Hanapin natin ang derivative nito sa isang punto. Tandaan ang kahulugan ng derivative:
Kaya ang argumento ay nagbabago mula sa. Ano ang function increment?
Ang pagtaas ay. Ngunit ang pag-andar sa anumang punto ay katumbas ng argumento nito. Kaya:
Ang derivative ay:
Ang derivative ng ay:
b) Ngayon isaalang-alang ang quadratic function (): .
Ngayon tandaan natin iyan. Nangangahulugan ito na ang halaga ng pagtaas ay maaaring mapabayaan, dahil ito ay walang katapusan na maliit, at samakatuwid ay hindi gaanong mahalaga laban sa background ng isa pang termino:
Kaya, mayroon kaming isa pang panuntunan:
c) Ipinagpapatuloy namin ang lohikal na serye: .
Ang expression na ito ay maaaring pasimplehin sa iba't ibang paraan: buksan ang unang bracket gamit ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng cube ng kabuuan, o i-decompose ang buong expression sa mga salik gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube. Subukang gawin ito sa iyong sarili sa alinman sa mga iminungkahing paraan.
Kaya, nakuha ko ang sumusunod:
At muli nating tandaan iyon. Nangangahulugan ito na maaari nating pabayaan ang lahat ng mga terminong naglalaman ng:
Nakukuha namin ang: .
d) Maaaring makuha ang mga katulad na tuntunin para sa malalaking kapangyarihan:
e) Lumalabas na ang panuntunang ito ay maaaring gawing pangkalahatan para sa isang power function na may arbitrary exponent, hindi kahit isang integer:
| (2) |
Maaari mong bumalangkas ang panuntunan gamit ang mga salitang: "ang antas ay iniharap bilang isang koepisyent, at pagkatapos ay bumababa ng".
Papatunayan natin ang panuntunang ito mamaya (halos sa pinakadulo). Ngayon tingnan natin ang ilang halimbawa. Hanapin ang derivative ng mga function:
- (sa dalawang paraan: sa pamamagitan ng formula at paggamit ng kahulugan ng derivative - sa pamamagitan ng pagbibilang ng pagtaas ng function);
- . Maniwala ka man o hindi, ito ay isang power function. Kung mayroon kang mga tanong tulad ng "Paano ito? At nasaan ang degree? ”, Tandaan ang paksa“ ”!
Oo, oo, ang ugat ay isang degree din, isang fractional lamang:.
Kaya ang aming square root ay isang kapangyarihan lamang na may exponent:
.
Hinahanap namin ang derivative gamit ang kamakailang natutunang formula:Kung sa puntong ito ay naging hindi malinaw muli, ulitin ang paksang "" !!! (tungkol sa isang degree na may negatibong tagapagpahiwatig)
- . Ngayon ang exponent:
At ngayon sa pamamagitan ng kahulugan (nakalimutan mo na ba?):
;
.
Ngayon, gaya ng dati, napapabayaan namin ang terminong naglalaman ng:
. - . Kumbinasyon ng mga nakaraang kaso: .
trigonometriko function.
Dito gagamitin natin ang isang katotohanan mula sa mas mataas na matematika:
Kapag expression.
Malalaman mo ang patunay sa unang taon ng institute (at para makarating doon, kailangan mong makapasa ng mabuti sa pagsusulit). Ngayon ay ipapakita ko lang ito nang graphical:
Nakikita namin na kapag ang function ay hindi umiiral - ang punto sa graph ay mabutas. Ngunit kung mas malapit sa halaga, mas malapit ang pag-andar. Ito ang mismong "nagsusumikap".
Bilang karagdagan, maaari mong suriin ang panuntunang ito gamit ang isang calculator. Oo, oo, huwag kang mahiya, kumuha ng calculator, wala pa tayo sa pagsusulit.
Subukan Natin: ;
Huwag kalimutang ilipat ang calculator sa Radians mode!
atbp. Nakikita namin na ang mas maliit, mas malapit ang halaga ng ratio sa.
a) Isaalang-alang ang isang function. Gaya ng dati, nakita namin ang pagtaas nito:
Gawin nating produkto ang pagkakaiba ng mga sine. Upang gawin ito, ginagamit namin ang formula (tandaan ang paksang ""):.
Ngayon ang derivative:
Gumawa tayo ng pamalit: . Pagkatapos, para sa walang hanggan maliit, ito rin ay walang hanggan maliit: . Ang expression para sa ay tumatagal ng form:
At ngayon naaalala natin iyon sa ekspresyon. At gayundin, paano kung ang isang walang katapusang maliit na halaga ay maaaring mapabayaan sa kabuuan (iyon ay, sa).
Kaya nakuha namin ang sumusunod na panuntunan: ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine:
Ito ay mga pangunahing derivatives ("talahanayan"). Narito sila sa isang listahan:
Sa ibang pagkakataon ay magdaragdag kami ng ilan pa sa kanila, ngunit ito ang pinakamahalaga, dahil madalas silang ginagamit.
Pagsasanay:
- Hanapin ang derivative ng isang function sa isang punto;
- Hanapin ang derivative ng function.
Mga solusyon:
- Una, hinahanap namin ang derivative sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay pinapalitan namin ang halaga nito sa halip:
;
. - Narito mayroon kaming isang bagay na katulad ng isang power function. Subukan nating dalhin siya sa
normal na view:
.
Ok, ngayon ay maaari mong gamitin ang formula:
.
. - . Eeeeee.... Ano yun????
Okay, tama ka, hindi pa rin namin alam kung paano makahanap ng mga derivatives. Narito mayroon kaming isang kumbinasyon ng ilang mga uri ng mga pag-andar. Upang makatrabaho sila, kailangan mong matuto ng ilan pang panuntunan:
Exponent at natural logarithm.
Mayroong ganoong function sa matematika, ang derivative nito para sa alinman ay katumbas ng halaga ng mismong function para sa pareho. Ito ay tinatawag na "exponent", at isang exponential function
Ang base ng function na ito - isang pare-pareho - ay isang walang katapusang decimal fraction, iyon ay, isang hindi makatwiran na numero (tulad ng). Ito ay tinatawag na "Euler number", kung kaya't ito ay tinutukoy ng isang titik.
Kaya ang panuntunan ay:
Napakadaling tandaan.
Well, hindi tayo lalayo, agad nating isasaalang-alang ang inverse function. Ano ang kabaligtaran ng exponential function? Logarithm:
Sa aming kaso, ang base ay isang numero:
Ang ganitong logarithm (iyon ay, isang logarithm na may base) ay tinatawag na "natural", at gumagamit kami ng isang espesyal na notasyon para dito: sumulat kami sa halip.
Ano ang katumbas ng? Syempre, .
Ang derivative ng natural logarithm ay napaka-simple din:
Mga halimbawa:
- Hanapin ang derivative ng function.
- Ano ang derivative ng function?
Mga sagot: Ang exponent at ang natural na logarithm ay mga function na kakaibang simple sa mga tuntunin ng derivative. Ang mga exponential at logarithmic function sa anumang iba pang base ay magkakaroon ng ibang derivative, na susuriin natin sa ibang pagkakataon, pagkatapos nating dumaan sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.
Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba
Anong mga patakaran? Panibagong termino na naman?!...
Pagkakaiba-iba ay ang proseso ng paghahanap ng derivative.
Tanging at lahat. Ano ang isa pang salita para sa prosesong ito? Hindi proizvodnovanie... Ang kaugalian ng matematika ay tinatawag na mismong pagtaas ng function sa. Ang terminong ito ay nagmula sa Latin differentia - pagkakaiba. Dito.
Kapag nakuha ang lahat ng mga panuntunang ito, gagamit kami ng dalawang function, halimbawa, at. Kakailanganin din namin ang mga formula para sa kanilang mga increment:
Mayroong 5 panuntunan sa kabuuan.
Ang pare-pareho ay kinuha sa labas ng sign ng derivative.
Kung - ilang pare-parehong numero (constant), kung gayon.
Malinaw, gumagana din ang panuntunang ito para sa pagkakaiba: .
Patunayan natin. Hayaan, o mas madali.
Mga halimbawa.
Maghanap ng mga derivatives ng mga function:
- sa punto;
- sa punto;
- sa punto;
- sa punto.
Mga solusyon:
- (ang derivative ay pareho sa lahat ng mga punto, dahil ito ay isang linear function, tandaan?);
Derivative ng isang produkto
Ang lahat ay magkatulad dito: ipinakilala namin ang isang bagong function at hinahanap ang pagtaas nito:
Derivative:
Mga halimbawa:
- Maghanap ng mga derivatives ng mga function at;
- Hanapin ang derivative ng isang function sa isang punto.
Mga solusyon:
Derivative ng exponential function
Ngayon ang iyong kaalaman ay sapat na upang matutunan kung paano hanapin ang derivative ng anumang exponential function, at hindi lamang ang exponent (nakalimutan mo na ba kung ano ito?).
Kaya kung saan ang ilang numero.
Alam na natin ang derivative ng function, kaya subukan nating dalhin ang ating function sa isang bagong base:
Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang simpleng panuntunan: . Pagkatapos:
Well, ito ay nagtrabaho. Ngayon subukang hanapin ang derivative, at huwag kalimutan na ang function na ito ay kumplikado.
Nangyari?
Dito, suriin ang iyong sarili:
Ang formula ay naging halos kapareho sa derivative ng exponent: tulad ng dati, nananatili ito, isang salik lamang ang lumitaw, na isang numero lamang, ngunit hindi isang variable.
Mga halimbawa:
Maghanap ng mga derivatives ng mga function:
Mga sagot:
Ito ay isang numero lamang na hindi maaaring kalkulahin nang walang calculator, iyon ay, hindi ito maaaring isulat sa isang mas simpleng anyo. Samakatuwid, sa sagot ito ay naiwan sa form na ito.
Derivative ng isang logarithmic function
Narito ito ay katulad: alam mo na ang derivative ng natural logarithm:
Samakatuwid, upang makahanap ng isang arbitrary mula sa logarithm na may ibang base, halimbawa, :
Kailangan nating dalhin ang logarithm na ito sa base. Paano mo babaguhin ang base ng isang logarithm? Sana ay tandaan mo ang formula na ito:
Ngayon lamang sa halip na magsusulat tayo:
Ang denominator ay naging pare-pareho lamang (isang pare-parehong numero, walang variable). Ang derivative ay napaka-simple:
Ang mga derivatives ng exponential at logarithmic function ay halos hindi makikita sa pagsusulit, ngunit hindi magiging kalabisan na malaman ang mga ito.
Derivative ng isang kumplikadong function.
Ano ang isang "kumplikadong function"? Hindi, hindi ito isang logarithm, at hindi isang arc tangent. Ang mga function na ito ay maaaring mahirap maunawaan (bagaman kung ang logarithm ay tila mahirap sa iyo, basahin ang paksang "Logarithm" at lahat ay gagana), ngunit sa mga tuntunin ng matematika, ang salitang "kumplikado" ay hindi nangangahulugang "mahirap".
Isipin ang isang maliit na conveyor: dalawang tao ang nakaupo at gumagawa ng ilang mga aksyon sa ilang mga bagay. Halimbawa, binalot ng una ang isang chocolate bar sa isang wrapper, at ang pangalawa ay tinatali ito ng isang laso. Ito ay lumalabas na tulad ng isang pinagsama-samang bagay: isang chocolate bar na nakabalot at nakatali sa isang laso. Upang kumain ng chocolate bar, kailangan mong gawin ang kabaligtaran na mga hakbang sa reverse order.
Gumawa tayo ng katulad na mathematical pipeline: unang makikita natin ang cosine ng isang numero, at pagkatapos ay i-square natin ang resultang numero. Kaya, binibigyan nila kami ng isang numero (tsokolate), nakita ko ang cosine nito (pambalot), at pagkatapos ay i-square mo ang nakuha ko (itali ito ng isang laso). Anong nangyari? Function. Ito ay isang halimbawa ng isang kumplikadong function: kapag, upang mahanap ang halaga nito, ginagawa namin ang unang aksyon nang direkta sa variable, at pagkatapos ay isa pang pangalawang aksyon sa kung ano ang nangyari bilang resulta ng una.
Maaari nating gawin ang parehong mga hakbang sa reverse order: una mong parisukat, at pagkatapos ay hahanapin ko ang cosine ng resultang numero:. Madaling hulaan na ang resulta ay halos palaging naiiba. Isang mahalagang katangian ng mga kumplikadong function: kapag nagbabago ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, nagbabago ang function.
Sa ibang salita, Ang isang kumplikadong function ay isang function na ang argumento ay isa pang function: .
Para sa unang halimbawa, .
Pangalawang halimbawa: (pareho). .
Ang huling aksyon na gagawin natin ay tatawagin "panlabas" na function, at ang aksyon na unang ginawa - ayon sa pagkakabanggit "panloob" na function(ito ay mga impormal na pangalan, ginagamit ko lamang ang mga ito upang ipaliwanag ang materyal sa simpleng wika).
Subukang tukuyin para sa iyong sarili kung aling function ang panlabas at kung alin ang panloob:
Mga sagot: Ang paghihiwalay ng panloob at panlabas na mga pag-andar ay halos kapareho sa pagbabago ng mga variable: halimbawa, sa pag-andar
- Anong aksyon ang una nating gagawin? Una naming kalkulahin ang sine, at pagkatapos ay itataas namin ito sa isang kubo. Kaya ito ay isang panloob na pag-andar, hindi isang panlabas.
At ang orihinal na function ay ang kanilang komposisyon: . - Panloob: ; panlabas: .
Pagsusuri: . - Panloob: ; panlabas: .
Pagsusuri: . - Panloob: ; panlabas: .
Pagsusuri: . - Panloob: ; panlabas: .
Pagsusuri: .
binabago namin ang mga variable at kumuha ng isang function.
Well, ngayon ay kukunin namin ang aming tsokolate - hanapin ang hinango. Ang pamamaraan ay palaging binabaligtad: una ay hinahanap namin ang derivative ng panlabas na function, pagkatapos ay pinarami namin ang resulta sa derivative ng panloob na function. Para sa orihinal na halimbawa, ganito ang hitsura:
Isa pang halimbawa:
Kaya, sa wakas ay bumalangkas tayo ng opisyal na panuntunan:
Algorithm para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:
Parang simple lang ang lahat, tama ba?
Suriin natin gamit ang mga halimbawa:
Mga solusyon:
1) Panloob: ;
Panlabas: ;
2) Panloob: ;
(huwag mo lang subukang mag-cut ngayon! Walang natanggal sa ilalim ng cosine, remember?)
3) Panloob: ;
Panlabas: ;
Kaagad na malinaw na mayroong tatlong antas na kumplikadong pag-andar dito: pagkatapos ng lahat, ito ay isang kumplikadong pag-andar sa sarili nito, at kinukuha pa rin namin ang ugat mula dito, iyon ay, ginagawa namin ang pangatlong aksyon (ilagay ang tsokolate sa isang wrapper. at may laso sa isang portpolyo). Ngunit walang dahilan upang matakot: gayon pa man, "i-unpack" namin ang function na ito sa parehong pagkakasunud-sunod gaya ng dati: mula sa dulo.
Iyon ay, una nating pinag-iiba ang ugat, pagkatapos ay ang cosine, at pagkatapos lamang ang expression sa mga bracket. At pagkatapos ay pinarami natin ang lahat.
Sa ganitong mga kaso, ito ay maginhawa upang bilangin ang mga aksyon. Ibig sabihin, isipin natin kung ano ang alam natin. Sa anong pagkakasunud-sunod namin magsasagawa ng mga aksyon upang makalkula ang halaga ng expression na ito? Tingnan natin ang isang halimbawa:
Sa paglaon ang aksyon ay ginanap, mas magiging "panlabas" ang kaukulang function. Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon - tulad ng dati:
Dito ang nesting ay karaniwang 4-level. Tukuyin natin ang takbo ng aksyon.
1. Radikal na pagpapahayag. .
2. Ugat. .
3. Sinus. .
4. Square. .
5. Pinagsasama-sama ang lahat:
DERIVATIVE. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING
Function derivative- ang ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento na may infinitesimal na pagtaas ng argumento:
Mga pangunahing derivatives:
Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:
Ang pare-pareho ay kinuha sa labas ng tanda ng hinalaw:
Derivative ng sum:
Derivative na produkto:
Derivative ng quotient:
Derivative ng isang kumplikadong function:
Algorithm para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:
- Tinukoy namin ang "panloob" na function, hanapin ang derivative nito.
- Tinukoy namin ang "panlabas" na function, hanapin ang hinango nito.
- Pina-multiply namin ang mga resulta ng una at pangalawang puntos.
Derivative ng isang kumplikadong function. Mga halimbawa ng solusyon
Sa araling ito, matututunan natin kung paano maghanap derivative ng isang kumplikadong function. Ang aralin ay isang lohikal na pagpapatuloy ng aralin Paano mahahanap ang derivative?, kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng mga derivatives, at nakilala rin ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang mga teknikal na pamamaraan para sa paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng mga function o ilang mga punto ng artikulong ito ay hindi lubos na malinaw, pagkatapos ay basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring tune in sa isang seryosong mood - ang materyal ay hindi madali, ngunit susubukan ko pa ring ipakita ito nang simple at malinaw.
Sa pagsasagawa, kailangan mong harapin ang derivative ng isang kumplikadong function nang napakadalas, sasabihin ko pa nga halos palagi, kapag binigyan ka ng mga gawain upang makahanap ng mga derivatives.
Tinitingnan namin sa talahanayan ang panuntunan (No. 5) para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function:
Nakakaintindi kami. Una sa lahat, tingnan natin ang notasyon. Narito mayroon kaming dalawang function - at , at ang function, sa makasagisag na pagsasalita, ay naka-nest sa function . Ang isang function ng ganitong uri (kapag ang isang function ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.
Tatawagin ko ang function panlabas na pag-andar, at ang function – panloob (o nested) function.
! Ang mga kahulugang ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumabas sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin. Gumagamit ako ng mga impormal na expression na "external function", "internal" na function para lang gawing mas madali para sa iyo na maunawaan ang materyal.
Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang:
Halimbawa 1
Hanapin ang derivative ng isang function
Sa ilalim ng sine, mayroon kaming hindi lamang titik na "x", ngunit ang buong expression, kaya ang paghahanap ng hinango kaagad mula sa talahanayan ay hindi gagana. Napansin din namin na imposibleng ilapat ang unang apat na panuntunan dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay imposibleng "punitin" ang sine:
Sa halimbawang ito, mula na sa aking mga paliwanag, malinaw na malinaw na ang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay isang panloob na function (pag-embed), at isang panlabas na function.
Unang hakbang, na dapat gawin kapag hinahanap ang derivative ng isang kumplikadong function ay to maunawaan kung aling function ang panloob at alin ang panlabas.
Sa kaso ng mga simpleng halimbawa, tila malinaw na ang isang polynomial ay naka-nest sa ilalim ng sine. Pero paano kung hindi halata? Paano matukoy nang eksakto kung aling pag-andar ang panlabas at alin ang panloob? Upang gawin ito, ipinapanukala kong gamitin ang sumusunod na pamamaraan, na maaaring isagawa sa pag-iisip o sa isang draft.
Isipin natin na kailangan nating kalkulahin ang halaga ng expression gamit ang isang calculator (sa halip na isa, maaaring mayroong anumang numero).
Ano ang una nating kalkulahin? Pangunahin kakailanganin mong gawin ang sumusunod na aksyon: , kaya ang polynomial ay magiging isang panloob na function: 
Pangalawa kakailanganin mong hanapin, kaya ang sine - ay magiging isang panlabas na function: 
Pagkatapos nating UNAWAIN Sa mga panloob at panlabas na pag-andar, oras na para ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng compound function.
Magsisimula kaming magdesisyon. Mula sa aralin Paano mahahanap ang derivative? naaalala namin na ang disenyo ng solusyon ng anumang derivative ay palaging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga bracket at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:
Sa simula nakita natin ang derivative ng external function (sine), tingnan ang table ng derivatives ng elementary functions at mapansin na . Ang lahat ng mga formula sa tabular ay naaangkop kahit na ang "x" ay pinalitan ng isang kumplikadong expression, sa kasong ito:
Tandaan na ang panloob na pag-andar ay hindi nagbago, hindi namin ito ginagalaw.
Well, ito ay medyo halata na
Ang huling resulta ng paglalapat ng formula ay ganito:
Ang pare-parehong kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng expression:
Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang desisyon sa papel at basahin muli ang mga paliwanag.
Halimbawa 2
Hanapin ang derivative ng isang function
Halimbawa 3
Hanapin ang derivative ng isang function
Gaya ng nakasanayan, isinusulat namin: 
Inaalam namin kung saan mayroon kaming panlabas na function, at kung saan ang panloob. Upang gawin ito, sinusubukan namin (sa isip o sa isang draft) na kalkulahin ang halaga ng expression para sa . Ano ang kailangang gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng base:, na nangangahulugang ang polynomial ay ang panloob na pag-andar: 
At, pagkatapos lamang maisagawa ang exponentiation, samakatuwid, ang power function ay isang panlabas na function: 
Ayon sa formula, kailangan mo munang hanapin ang derivative ng panlabas na function, sa kasong ito, ang degree. Hinahanap namin ang nais na formula sa talahanayan:. Ulitin namin muli: anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "x", ngunit para din sa isang kumplikadong expression. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function ay ang mga sumusunod:
Muli kong binibigyang-diin na kapag kinuha natin ang derivative ng panlabas na function, ang panloob na function ay hindi nagbabago: 
Ngayon ay nananatiling makahanap ng isang napaka-simpleng derivative ng panloob na pag-andar at "suklayin" ang resulta ng kaunti:
Halimbawa 4
Hanapin ang derivative ng isang function
Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).
Upang pagsamahin ang pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong pag-andar, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga komento, subukang malaman ito sa iyong sarili, dahilan, nasaan ang panlabas at nasaan ang panloob na pag-andar, bakit nalutas ang mga gawain sa ganoong paraan?
Halimbawa 5
a) Hanapin ang derivative ng isang function
b) Hanapin ang derivative ng function
Halimbawa 6
Hanapin ang derivative ng isang function 
Dito mayroon tayong ugat, at upang maiiba ang ugat, dapat itong irepresenta bilang isang antas. Kaya, dinadala muna namin ang function sa tamang anyo para sa pagkita ng kaibhan:
Pag-aaral ng function, dumating tayo sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang exponentiation ay isang panlabas na function. Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:
Ang antas ay muling kinakatawan bilang isang radikal (ugat), at para sa hinango ng panloob na pag-andar, inilalapat namin ang isang simpleng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:
handa na. Maaari mo ring dalhin ang expression sa isang common denominator sa mga bracket at isulat ang lahat bilang isang fraction. Maganda ito, siyempre, ngunit kapag nakuha ang masalimuot na mahabang derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madaling malito, gumawa ng hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging abala para sa guro na suriin).
Halimbawa 7
Hanapin ang derivative ng isang function
Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).
Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan, sa halip na ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, ang isa ay maaaring gumamit ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kusyente 
, ngunit ang ganitong solusyon ay magmumukhang isang perversion na nakakatawa. Narito ang isang tipikal na halimbawa:
Halimbawa 8
Hanapin ang derivative ng isang function
Dito maaari mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , ngunit ito ay mas kumikita upang mahanap ang derivative sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:
Inihahanda namin ang function para sa pagkita ng kaibhan - kinuha namin ang minus sign ng derivative, at itinaas ang cosine sa numerator:
Ang cosine ay isang panloob na pag-andar, ang exponentiation ay isang panlabas na pag-andar.
Gamitin natin ang ating panuntunan:
Nahanap namin ang derivative ng panloob na function, i-reset ang cosine pabalik pababa:
handa na. Sa isinasaalang-alang na halimbawa, mahalagang huwag malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang lutasin ito gamit ang panuntunan , dapat magkatugma ang mga sagot.
Halimbawa 9
Hanapin ang derivative ng isang function
Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).
Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga kaso kung saan nagkaroon lamang kami ng isang pugad sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makakahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga nesting doll, isa sa loob ng isa, 3 o kahit 4-5 na function ay nakapugad nang sabay-sabay.
Halimbawa 10
Hanapin ang derivative ng isang function
Naiintindihan namin ang mga attachment ng function na ito. Sinusubukan naming suriin ang expression gamit ang pang-eksperimentong halaga. Paano tayo mabibilang sa isang calculator?
Una kailangan mong hanapin, na nangangahulugan na ang arcsine ay ang pinakamalalim na pugad:
Ang arcsine ng pagkakaisa na ito ay dapat na kuwadrado:
At sa wakas, itinataas natin ang pito sa kapangyarihan: 
Ibig sabihin, sa halimbawang ito mayroon tayong tatlong magkakaibang function at dalawang nesting, habang ang pinakaloob na function ay ang arcsine, at ang pinakalabas na function ay ang exponential function.
Magsisimula kaming magdesisyon
Ayon sa panuntunan, kailangan mo munang kunin ang derivative ng panlabas na function. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at hinahanap ang derivative ng exponential function: Ang pagkakaiba lamang ay sa halip na "x" mayroon kaming isang kumplikadong expression, na hindi binabalewala ang bisa ng formula na ito. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function ay ang mga sumusunod:
Sa ilalim ng gitling, mayroon kaming nakakalito na function muli! Pero mas madali na. Madaling makita na ang panloob na pag-andar ay ang arcsine at ang panlabas na pag-andar ay ang antas. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function, kailangan mo munang kunin ang derivative ng degree.
