T uri ng klase: ONZ (pagtuklas ng bagong kaalaman - ayon sa teknolohiya ng pamamaraan ng aktibidad ng pagtuturo).

Mga pangunahing layunin:

1. Magbawas ng mga paraan ng paghahati ng isang fraction sa isang natural na numero;
2. Upang mabuo ang kakayahang magsagawa ng paghahati ng isang fraction sa isang natural na numero;
3. Ulitin at pagsama-samahin ang paghahati ng mga fraction;
4. Sanayin ang kakayahang bawasan ang mga fraction, pag-aralan at lutasin ang mga problema.

Materyal ng demo ng kagamitan:

1. Mga gawain para sa pag-update ng kaalaman:

Paghambingin ang mga expression:

Sanggunian:

2. Pagsubok (indibidwal) na gawain.

1. Magsagawa ng dibisyon:

2. Isagawa ang paghahati nang hindi ginagawa ang buong hanay ng mga kalkulasyon: .

Mga sanggunian:

• Kapag hinahati ang isang fraction sa isang natural na numero, maaari mong i-multiply ang denominator sa numerong ito, at iwanan ang numerator na pareho.

• Kung ang numerator ay nahahati sa isang natural na numero, kung gayon kapag hinahati ang isang fraction sa numerong ito, maaari mong hatiin ang numerator sa numero, at iwanan ang denominator na pareho.

Sa panahon ng mga klase

I. Pagganyak (pagpapasya sa sarili) para sa mga aktibidad sa pag-aaral.

Layunin ng entablado:

1. Ayusin ang aktuwalisasyon ng mga kinakailangan para sa mag-aaral sa bahagi ng mga aktibidad na pang-edukasyon ("kailangan");
2. Ayusin ang mga aktibidad ng mga mag-aaral upang magtatag ng isang temang balangkas ("Kaya ko");
3. Upang lumikha ng mga kondisyon para sa mag-aaral na magkaroon ng panloob na pangangailangan para sa pagsasama sa mga aktibidad na pang-edukasyon ("Gusto ko").

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto I.

Kamusta! Natutuwa akong makita kayong lahat sa math class. Sana mutual.

Guys, anong bagong kaalaman ang nakuha mo sa nakaraang aralin? (Hatiin ang mga fraction).

Tama. Ano ang nakakatulong sa iyo na hatiin ang mga fraction? (Panuntunan, mga ari-arian).

Saan natin kailangan ang kaalamang ito? (Sa mga halimbawa, mga equation, mga gawain).

Magaling! Mahusay ang iyong ginawa sa huling aralin. Gusto mo bang tumuklas ng bagong kaalaman sa iyong sarili ngayon? (Oo).

Pagkatapos - pumunta! At ang motto ng aralin ay ang pahayag na "Hindi matututuhan ang matematika sa pamamagitan ng pagmamasid kung paano ito ginagawa ng iyong kapwa!".

II. Aktwalisasyon ng kaalaman at pag-aayos ng isang indibidwal na kahirapan sa isang pagsubok na aksyon.

Layunin ng entablado:

1. Upang maisaayos ang aktuwalisasyon ng mga pinag-aralan na pamamaraan ng pagkilos, sapat na upang makabuo ng bagong kaalaman. Ayusin ang mga pamamaraang ito sa salita (sa pagsasalita) at simbolikong (pamantayan) at gawing pangkalahatan ang mga ito;
2. Ayusin ang aktuwalisasyon ng mga operasyong pangkaisipan at mga prosesong nagbibigay-malay na sapat upang makabuo ng bagong kaalaman;
3. Mag-udyok para sa isang pagsubok na aksyon at ang independiyenteng pagpapatupad at pagbibigay-katwiran nito;
4. Magpakita ng indibidwal na gawain para sa isang pagsubok na aksyon at suriin ito upang matukoy ang bagong nilalamang pang-edukasyon;
5. Ayusin ang pag-aayos ng layuning pang-edukasyon at ang paksa ng aralin;
6. Ayusin ang pagpapatupad ng isang pagsubok na aksyon at pag-aayos ng kahirapan;
7. Ayusin ang pagsusuri ng mga natanggap na tugon at itala ang mga indibidwal na kahirapan sa pagsasagawa ng pagsubok na aksyon o pagbibigay-katwiran dito.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto II.

Sa harap, gamit ang mga tablet (mga indibidwal na board).

1. Paghambingin ang mga expression:

(Ang mga expression na ito ay pantay)

Anong mga kawili-wiling bagay ang napansin mo? (Ang numerator at denominator ng dibidendo, ang numerator at denominator ng divisor sa bawat expression ay tumaas ng parehong bilang ng beses. Kaya, ang mga dibidendo at divisors sa mga expression ay kinakatawan ng mga fraction na katumbas ng bawat isa).

Hanapin ang kahulugan ng expression at isulat ito sa tablet. (2)

Paano isulat ang numerong ito bilang isang fraction?

Paano mo ginawa ang aksyong paghahati? (Bibigkas ng mga bata ang panuntunan, ang guro ay nagsabit ng mga titik sa pisara)

2. Kalkulahin at itala lamang ang mga resulta:

3. Idagdag ang iyong mga resulta at isulat ang iyong sagot. (2)

Ano ang pangalan ng bilang na nakuha sa gawain 3? (Natural)

Sa tingin mo ba maaari mong hatiin ang isang fraction sa isang natural na numero? (Oo, susubukan namin)

Subukan mo ito.

4. Indibidwal (pagsubok) na gawain.

Gawin ang paghahati: (halimbawa a lamang)

Anong tuntunin ang ginamit mo sa paghahati? (Ayon sa tuntunin ng paghahati ng fraction sa fraction)

At ngayon hatiin ang fraction sa isang natural na numero sa mas simpleng paraan, nang hindi ginagawa ang buong chain ng mga kalkulasyon: (halimbawa b). Bibigyan kita ng 3 segundo para dito.

Sino ang hindi nakumpleto ang gawain sa loob ng 3 segundo?

Sino ang gumawa nito? (Walang ganyan)

Bakit? (Hindi namin alam ang daan)

Ano ang nakuha mo? (Kahirapan)

Ano sa tingin mo ang gagawin natin sa klase? (Hatiin ang mga fraction sa mga natural na numero)

Tama, buksan ang iyong mga kuwaderno at isulat ang paksa ng aralin na "Paghahati ng isang fraction sa natural na bilang."

Bakit parang bago ang paksang ito kung alam mo na kung paano hatiin ang mga fraction? (Kailangan ng bagong paraan)

Tama. Ngayon ay magtatatag tayo ng isang pamamaraan na nagpapasimple sa paghahati ng isang fraction sa isang natural na numero.

III. Pagkilala sa lokasyon at sanhi ng kahirapan.

Layunin ng entablado:

1. Ayusin ang pagpapanumbalik ng mga isinagawang operasyon at ayusin (berbal at simboliko) ang lugar - ang hakbang, ang operasyon kung saan lumitaw ang kahirapan;
2. Upang ayusin ang ugnayan ng mga aksyon ng mga mag-aaral sa pamamaraan (algorithm) na ginamit at ang pag-aayos sa panlabas na pagsasalita ng sanhi ng kahirapan - ang mga tiyak na kaalaman, kasanayan o kakayahan na hindi sapat upang malutas ang paunang problema ng ganitong uri.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto III.

Anong gawain ang kailangan mong tapusin? (Hatiin ang isang fraction sa isang natural na numero nang hindi ginagawa ang buong hanay ng mga kalkulasyon)

Ano ang naging sanhi ng iyong kahirapan? (Hindi malutas sa maikling panahon sa mabilis na paraan)

Ano ang layunin ng ating aralin? (Maghanap ng mabilis na paraan upang hatiin ang isang fraction sa natural na numero)

Ano ang makakatulong sa iyo? (Alam na ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction)

IV. Konstruksyon ng proyekto ng isang exit mula sa kahirapan.

Layunin ng entablado:

1. Paglilinaw ng layunin ng proyekto;
2. Pagpili ng paraan (paglilinaw);
3. Kahulugan ng mga pondo (algorithm);
4. Pagbuo ng isang plano upang makamit ang layunin.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto IV.

Balik tayo sa test case. Sinabi mo ba na hinati mo sa tuntunin ng paghahati ng mga fraction? (Oo)

Upang gawin ito, palitan ang isang natural na numero ng isang fraction? (Oo)

Anong (mga) hakbang sa tingin mo ang maaari mong laktawan?

(Bukas ang chain ng solusyon sa pisara:

Suriin at gumawa ng konklusyon. (Hakbang 1)

Kung walang sagot, ibubuod namin ang mga tanong:

Saan napunta ang natural divisor? (sa denominator)

Nagbago ba ang numerator? (Hindi)

Kaya anong hakbang ang maaaring "alisin"? (Hakbang 1)

Plano ng aksyon:

• I-multiply ang denominator ng isang fraction sa isang natural na numero.
• Ang numerator ay hindi nagbabago.
• Kumuha kami ng bagong fraction.

V. Pagpapatupad ng itinayong proyekto.

Layunin ng entablado:

1. Ayusin ang pakikipag-ugnayan sa komunikasyon upang maipatupad ang itinayong proyekto na naglalayong makuha ang nawawalang kaalaman;
2. Ayusin ang pag-aayos ng itinayong paraan ng pagkilos sa pagsasalita at mga palatandaan (sa tulong ng isang pamantayan);
3. Ayusin ang solusyon ng orihinal na problema at itala ang pagtagumpayan ng kahirapan;
4. Ayusin ang paglilinaw ng pangkalahatang katangian ng bagong kaalaman.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto V.

Ngayon patakbuhin ang test case sa bagong paraan nang mabilis.

Nagagawa mo na bang tapusin ang gawain nang mabilis ngayon? (Oo)

Ipaliwanag kung paano mo ito ginawa? (Nagsalita ang mga bata)

Nangangahulugan ito na nakatanggap kami ng bagong kaalaman: ang panuntunan para sa paghahati ng isang fraction sa isang natural na numero.

Magaling! Sabihin ito nang magkapares.

Pagkatapos ay nagsasalita ang isang estudyante sa klase. Inaayos namin ang panuntunan-algorithm sa salita at sa anyo ng isang pamantayan sa pisara.

Ngayon ipasok ang mga pagtatalaga ng titik at isulat ang formula para sa aming panuntunan.

Ang mag-aaral ay nagsusulat sa pisara, binibigkas ang panuntunan: kapag hinahati ang isang fraction sa isang natural na numero, maaari mong i-multiply ang denominator sa numerong ito, at iwanan ang numerator na pareho.

(Isusulat ng lahat ang formula sa mga notebook).

At ngayon ay muling pag-aralan ang kadena ng paglutas ng pagsubok na gawain, na binibigyang pansin ang sagot. Anong ginawa nila? (Ang numerator ng fraction 15 ay hinati (binawasan) ng numero 3)

Ano ang numerong ito? (Natural, divisor)

Kaya paano mo pa mahahati ang isang fraction sa isang natural na numero? (Suriin: kung ang numerator ng isang fraction ay nahahati sa natural na numerong ito, maaari mong hatiin ang numerator sa numerong ito, isulat ang resulta sa numerator ng bagong fraction, at iwanan ang denominator na pareho)

Isulat ang paraang ito sa anyo ng isang pormula. (Isusulat ng estudyante sa pisara ang panuntunan. Isusulat ng lahat ang formula sa mga notebook.)

Bumalik tayo sa unang paraan. Pwede ba kung a:n? (Oo, ito ang pangkalahatang paraan)

At kailan maginhawang gamitin ang pangalawang paraan? (Kapag ang numerator ng isang fraction ay nahahati sa natural na bilang na walang natitira)

VI. Pangunahing pagsasama sa pagbigkas sa panlabas na pananalita.

Layunin ng entablado:

1. Upang ayusin ang asimilasyon ng mga bata ng isang bagong paraan ng pagkilos kapag nilutas ang mga tipikal na problema sa kanilang pagbigkas sa panlabas na pagsasalita (harapan, sa mga pares o grupo).

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto VI.

Kalkulahin sa isang bagong paraan:

• No. 363 (a; d) - gumanap sa pisara, binibigkas ang panuntunan.
• No. 363 (d; f) - magkapares na may tseke sa sample.

VII. Independiyenteng trabaho na may self-test ayon sa pamantayan.

Layunin ng entablado:

1. Upang ayusin ang independiyenteng pagtupad ng mga gawain ng mga mag-aaral para sa isang bagong paraan ng pagkilos;
2. Ayusin ang self-test batay sa paghahambing sa pamantayan;
3. Batay sa mga resulta ng independiyenteng gawain, ayusin ang isang pagmuni-muni sa asimilasyon ng isang bagong paraan ng pagkilos.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto VII.

Kalkulahin sa isang bagong paraan:

• No. 363 (b; c)

Sinusuri ng mga mag-aaral ang pamantayan, tandaan ang kawastuhan ng pagganap. Ang mga sanhi ng mga pagkakamali ay sinusuri at ang mga pagkakamali ay naitama.

Tanong ng guro sa mga estudyanteng nagkamali, ano ang dahilan?

Sa yugtong ito, mahalagang suriin ng bawat mag-aaral ang kanilang gawain.

VIII. Pagsasama sa sistema ng kaalaman at pag-uulit.

Layunin ng entablado:

1. Ayusin ang pagkakakilanlan ng mga hangganan ng aplikasyon ng bagong kaalaman;
2. Ayusin ang pag-uulit ng nilalamang pang-edukasyon na kinakailangan upang matiyak ang makabuluhang pagpapatuloy.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto VIII.

Ayusin ang pagsasaayos ng hindi nalutas na mga paghihirap sa aralin bilang isang direksyon para sa mga aktibidad sa pag-aaral sa hinaharap;

Ayusin ang talakayan at pagtatala ng takdang-aralin.

Organisasyon ng proseso ng edukasyon sa yugto IX.

1. Dialog:

Guys, anong bagong kaalaman ang natuklasan mo ngayon? (Natutunan naming hatiin ang isang fraction sa natural na numero sa simpleng paraan)

Bumuo ng pangkalahatang paraan. (Sabi nila)

Sa anong paraan, at sa anong mga kaso maaari mo pa rin itong gamitin? (Sabi nila)

Ano ang bentahe ng bagong pamamaraan?

Naabot na ba natin ang ating layunin sa aralin? (Oo)

Anong kaalaman ang ginamit mo upang makamit ang layunin? (Sabi nila)

Nagtagumpay ka na ba?

Ano ang mga kahirapan?

2. Takdang aralin: sugnay 3.2.4.; No. 365 (l, n, o, p); Hindi. 370.

3. Guro: Natutuwa ako na ngayon ang lahat ay aktibo, pinamamahalaang upang makahanap ng isang paraan mula sa kahirapan. At higit sa lahat, hindi sila magkapitbahay nang may nabuksan at pinagsama-samang bago. Salamat sa aral mga bata!

Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobrang...")

Ang operasyong ito ay mas maganda kaysa sa karagdagan-pagbawas! Dahil mas madali. Ipinaaalala ko sa iyo: upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang mga numerator (ito ang magiging numerator ng resulta) at ang mga denominator (ito ang magiging denominator). I.e:

Halimbawa:

Ang lahat ay sobrang simple. At mangyaring huwag maghanap ng isang karaniwang denominator! Hindi mo kailangan dito...

Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-flip pangalawa(ito ay mahalaga!) fraction at i-multiply ang mga ito, i.e.:

Halimbawa:

Kung mahuli ang multiplication o division na may integers at fractions, okay lang. Tulad ng karagdagan, gumawa kami ng isang fraction mula sa isang buong numero na may isang yunit sa denominator - at pumunta! Halimbawa:

Sa mataas na paaralan, madalas mong kailangang harapin ang tatlong-kuwento (o kahit apat na palapag!) na mga praksyon. Halimbawa:

Paano dalhin ang fraction na ito sa isang disenteng anyo? Oo, napakadali! Gumamit ng dibisyon sa pamamagitan ng dalawang puntos:

Ngunit huwag kalimutan ang tungkol sa pagkakasunud-sunod ng dibisyon! Hindi tulad ng pagpaparami, ito ay napakahalaga dito! Siyempre, hindi natin malito ang 4:2 o 2:4. Ngunit sa isang tatlong-kuwento na bahagi ay madaling magkamali. Pakitandaan, halimbawa:

Sa unang kaso (expression sa kaliwa):

Sa pangalawa (expression sa kanan):

Pakiramdaman ang pagkakaiba? 4 at 1/9!

Ano ang pagkakasunud-sunod ng paghahati? O mga bracket, o (tulad dito) ang haba ng mga pahalang na gitling. Bumuo ng isang mata. At kung walang mga bracket o gitling, tulad ng:

tapos divide-multiply sa pagkakasunud-sunod, kaliwa pakanan!

At isa pang napaka-simple at mahalagang trick. Sa mga pagkilos na may mga antas, ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa iyo! Hatiin natin ang yunit sa anumang fraction, halimbawa, sa 13/15:

Nabaligtad na ang kuha! At lagi itong nangyayari. Kapag hinahati ang 1 sa anumang fraction, ang resulta ay parehong fraction, baligtad lamang.

Iyon lang ang mga aksyon na may mga fraction. Ang bagay ay medyo simple, ngunit nagbibigay ng higit sa sapat na mga error. Tandaan ang praktikal na payo, at magkakaroon ng mas kaunti sa mga ito (mga pagkakamali)!

Mga Praktikal na Tip:

1. Ang pinakamahalagang bagay kapag nagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang kawastuhan at pagkaasikaso! Ang mga ito ay hindi karaniwang mga salita, hindi magandang hangarin! Ito ay isang matinding pangangailangan! Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon sa pagsusulit bilang isang ganap na gawain, na may konsentrasyon at kalinawan. Mas mainam na magsulat ng dalawang dagdag na linya sa isang draft kaysa sa magulo kapag nagkalkula sa iyong ulo.

2. Sa mga halimbawa na may iba't ibang uri ng fraction - pumunta sa ordinaryong fraction.

3. Binabawasan namin ang lahat ng fraction hanggang sa huminto.

4. Binabawasan namin ang mga multi-level na fractional na expression sa mga ordinaryong gamit ang paghahati sa pamamagitan ng dalawang puntos (sinusunod namin ang pagkakasunud-sunod ng paghahati!).

5. Hinahati natin ang yunit sa isang fraction sa ating isipan, sa pamamagitan lamang ng pag-ikot ng fraction.

Narito ang mga gawain na kailangan mong tapusin. Ang mga sagot ay ibinibigay pagkatapos ng lahat ng mga gawain. Gamitin ang mga materyales ng paksang ito at praktikal na payo. Tantyahin kung gaano karaming mga halimbawa ang maaari mong malutas nang tama. Unang beses! Nang walang calculator! At gumawa ng tamang konklusyon...

Tandaan ang tamang sagot nakuha mula sa pangalawa (lalo na sa pangatlong) oras - hindi binibilang! Ganyan ang malupit na buhay.

Kaya, solve sa exam mode ! Ito pala ay paghahanda para sa pagsusulit. Nalulutas namin ang isang halimbawa, sinusuri namin, nilulutas namin ang mga sumusunod. Napagpasyahan namin ang lahat - sinuri namin muli mula sa una hanggang sa huli. Tanging pagkatapos tingnan ang mga sagot.

Kalkulahin:

Nagdesisyon ka ba?

Naghahanap ng mga sagot na tumutugma sa iyo. Sinadya kong isulat ang mga ito sa isang gulo, malayo sa tukso, kumbaga ... Narito ang mga ito, ang mga sagot, na isinulat ng isang semicolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

At ngayon gumawa kami ng mga konklusyon. Kung ang lahat ay gumana - masaya para sa iyo! Ang mga kalkulasyon sa elementarya na may mga fraction ay hindi mo problema! Maaari kang gumawa ng mas seryosong mga bagay. Kung hindi...

Kaya mayroon kang isa sa dalawang problema. O pareho nang sabay-sabay.) Kakulangan ng kaalaman at (o) kawalan ng pansin. Pero ito nalulusaw Mga problema.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ay dibisyon. Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin dibisyon ng mga ordinaryong fraction. Una, magbibigay kami ng panuntunan para sa paghahati ng mga ordinaryong fraction at titingnan ang mga halimbawa ng paghahati ng mga fraction. Susunod, kami ay tumutuon sa paghahati ng isang ordinaryong fraction sa isang natural na numero at isang numero sa isang fraction. Panghuli, isaalang-alang kung paano isinasagawa ang paghahati ng isang ordinaryong fraction sa isang halo-halong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Dibisyon ng common fraction sa common fraction

Alam na ang paghahati ay ang kabaligtaran ng multiplikasyon (tingnan ang koneksyon sa pagitan ng paghahati at pagpaparami). Iyon ay, ang paghahati ay nagsasangkot ng paghahanap ng hindi kilalang kadahilanan kapag ang produkto at isa pang kadahilanan ay kilala. Ang parehong kahulugan ng paghahati ay napanatili kapag hinahati ang mga ordinaryong fraction.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paghahati ng mga ordinaryong fraction.

Tandaan na hindi natin dapat kalimutan ang tungkol sa pagbabawas ng mga fraction at tungkol sa pagpili ng integer na bahagi mula sa isang hindi tamang fraction.

Dibisyon ng isang karaniwang fraction sa pamamagitan ng isang natural na numero

Ibibigay namin agad panuntunan para sa paghahati ng isang fraction sa isang natural na numero: upang hatiin ang fraction a / b sa isang natural na numero n, kailangan mong iwanan ang numerator ng pareho, at i-multiply ang denominator sa n, iyon ay, .

Direktang sumusunod ang panuntunang ito sa paghahati mula sa panuntunan ng paghahati para sa mga ordinaryong fraction. Sa katunayan, ang representasyon ng isang natural na numero bilang isang fraction ay humahantong sa mga sumusunod na pagkakapantay-pantay .

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahati ng isang fraction sa isang numero.

Halimbawa.

Hatiin ang bahaging 16/45 sa natural na bilang na 12.

Desisyon.

Sa pamamagitan ng panuntunan ng paghahati ng isang fraction sa isang numero, mayroon tayo . Gawin natin ang pagbabawas: . Nakumpleto ang dibisyong ito.

Sagot:

.

Dibisyon ng isang natural na numero sa pamamagitan ng isang karaniwang fraction

Ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction ay magkatulad panuntunan para sa paghahati ng isang natural na numero sa isang karaniwang fraction: upang hatiin ang isang natural na numero n sa isang ordinaryong fraction a / b, kailangan mong i-multiply ang bilang n sa pamamagitan ng kapalit ng fraction a / b.

Ayon sa tininigan na tuntunin, , at ang panuntunan ng pagpaparami ng natural na numero sa isang ordinaryong fraction ay nagpapahintulot sa iyo na muling isulat ito sa anyo.

Isaalang-alang ang isang halimbawa.

Halimbawa.

Hatiin ang natural na bilang na 25 sa fraction na 15/28.

Desisyon.

Lumipat tayo mula sa dibisyon hanggang sa multiplikasyon, mayroon tayo . Pagkatapos ng pagbabawas at pagpili ng bahagi ng integer, makuha namin ang .

Sagot:

.

Dibisyon ng isang karaniwang fraction sa pamamagitan ng isang halo-halong numero

Dibisyon ng isang karaniwang fraction sa pamamagitan ng isang halo-halong numero madaling nabawasan sa paghahati ng mga ordinaryong fraction. Upang gawin ito, ito ay sapat na

Noong nakaraang pagkakataon natutunan natin kung paano magdagdag at magbawas ng mga fraction (tingnan ang aralin na "Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction"). Ang pinakamahirap na sandali sa mga pagkilos na iyon ay ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ngayon ay oras na upang harapin ang multiplikasyon at paghahati. Ang mabuting balita ay ang mga operasyong ito ay mas madali kaysa sa pagdaragdag at pagbabawas. Upang magsimula, isaalang-alang ang pinakasimpleng kaso, kapag mayroong dalawang positibong fraction na walang natatanging bahagi ng integer.

Upang i-multiply ang dalawang fraction, kailangan mong i-multiply nang hiwalay ang kanilang mga numerator at denominator. Ang unang numero ang magiging numerator ng bagong fraction, at ang pangalawa ay ang denominator.

Upang hatiin ang dalawang fraction, kailangan mong i-multiply ang unang fraction sa "inverted" second.

pagtatalaga:

Mula sa kahulugan ito ay sumusunod na ang paghahati ng mga fraction ay nabawasan sa multiplikasyon. Upang i-flip ang isang fraction, palitan lang ang numerator at denominator. Samakatuwid, ang buong aralin ay isasaalang-alang natin pangunahin ang pagpaparami.

Bilang resulta ng multiplikasyon, ang isang pinababang bahagi ay maaaring lumitaw (at madalas ay lumitaw) - siyempre, dapat itong bawasan. Kung, pagkatapos ng lahat ng mga pagbawas, ang bahagi ay naging hindi tama, ang buong bahagi ay dapat na makilala sa loob nito. Ngunit ang tiyak na hindi mangyayari sa multiplikasyon ay ang pagbabawas sa isang karaniwang denominator: walang mga crosswise na pamamaraan, maximum na mga kadahilanan at hindi bababa sa karaniwang mga multiple.

Sa pamamagitan ng kahulugan mayroon kaming:

Pagpaparami ng mga fraction na may integer na bahagi at mga negatibong fraction

Kung mayroong isang integer na bahagi sa mga fraction, dapat silang i-convert sa mga hindi wasto - at pagkatapos lamang ay i-multiply ayon sa mga scheme na nakabalangkas sa itaas.

Kung mayroong isang minus sa numerator ng isang fraction, sa denominator o sa harap nito, maaari itong alisin sa mga limitasyon ng multiplikasyon o alisin nang buo ayon sa mga sumusunod na patakaran:

1. Plus beses minus ay nagbibigay ng minus;
2. Dalawang negatibo ang nagpapatunay.

Hanggang ngayon, ang mga alituntuning ito ay nakatagpo lamang kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga negatibong praksyon, kung kailan kinakailangan na alisin ang buong bahagi. Para sa isang produkto, maaari silang gawing pangkalahatan upang "masunog" ang ilang mga minus nang sabay-sabay:

1. Tinatawid namin ang mga minus nang pares hanggang sa ganap silang mawala. Sa isang matinding kaso, ang isang minus ay maaaring mabuhay - ang isa na hindi nakahanap ng isang tugma;
2. Kung walang natitirang mga minus, nakumpleto ang operasyon - maaari mong simulan ang pagpaparami. Kung ang huling minus ay hindi na-cross out, dahil hindi ito nakahanap ng isang pares, inaalis namin ito sa mga limitasyon ng multiplikasyon. Nakakakuha ka ng negatibong bahagi.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Isinasalin namin ang lahat ng mga praksiyon sa mga hindi wasto, at pagkatapos ay ilalabas namin ang mga minus sa labas ng mga limitasyon ng pagpaparami. Ang natitira ay pinarami ayon sa karaniwang mga tuntunin. Nakukuha namin:

Paalalahanan ko kayong muli na ang minus na nauuna sa isang fraction na may naka-highlight na bahagi ng integer ay partikular na tumutukoy sa buong fraction, at hindi lamang sa integer na bahagi nito (ito ay nalalapat sa huling dalawang halimbawa).

Bigyang-pansin din ang mga negatibong numero: kapag pinarami, ang mga ito ay nakapaloob sa mga bracket. Ginagawa ito upang paghiwalayin ang mga minus mula sa mga palatandaan ng pagpaparami at gawing mas tumpak ang buong notasyon.

Pagbabawas ng mga fraction sa mabilisang

Ang pagpaparami ay isang napakahirap na operasyon. Ang mga numero dito ay medyo malaki, at upang gawing simple ang gawain, maaari mong subukang bawasan ang fraction nang higit pa bago magparami. Sa katunayan, sa esensya, ang mga numerator at denominator ng mga fraction ay mga ordinaryong salik, at, samakatuwid, maaari silang bawasan gamit ang pangunahing katangian ng isang fraction. Tingnan ang mga halimbawa:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Sa pamamagitan ng kahulugan mayroon kaming:

Sa lahat ng mga halimbawa, ang mga numero na nabawasan at kung ano ang natitira sa mga ito ay minarkahan ng pula.

Pakitandaan: sa unang kaso, ang mga multiplier ay ganap na nabawasan. Ang mga yunit ay nanatili sa kanilang lugar, na, sa pangkalahatan, ay maaaring alisin. Sa pangalawang halimbawa, hindi posible na makamit ang isang kumpletong pagbawas, ngunit ang kabuuang halaga ng mga kalkulasyon ay nabawasan pa rin.

Gayunpaman, sa anumang kaso huwag gamitin ang diskarteng ito kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga fraction! Oo, minsan may mga katulad na numero na gusto mo lang bawasan. Narito, tingnan:

Hindi mo magagawa iyon!

Ang error ay nangyayari dahil sa katotohanan na kapag nagdaragdag ng numerator ng isang fraction, ang kabuuan ay lilitaw sa numerator, at hindi ang produkto ng mga numero. Samakatuwid, imposibleng ilapat ang pangunahing pag-aari ng isang fraction, dahil ang ari-arian na ito ay partikular na tumatalakay sa pagpaparami ng mga numero.

Walang ibang dahilan upang bawasan ang mga fraction, kaya ang tamang solusyon sa nakaraang problema ay ganito ang hitsura:

Tamang solusyon:

Tulad ng nakikita mo, ang tamang sagot ay naging hindi maganda. Sa pangkalahatan, mag-ingat.

§ 87. Pagdaragdag ng mga fraction.

Ang pagdaragdag ng mga fraction ay may maraming pagkakatulad sa pagdaragdag ng mga buong numero. Ang pagdaragdag ng mga fraction ay isang aksyon na binubuo sa katotohanan na ang ilang ibinigay na mga numero (mga termino) ay pinagsama sa isang numero (kabuuan), na naglalaman ng lahat ng mga yunit at mga fraction ng mga yunit ng mga termino.

Isasaalang-alang namin ang tatlong mga kaso nang magkakasunod:

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.
2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.
3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: 1 / 5 + 2 / 5 .

Kunin ang segment AB (Larawan 17), kunin ito bilang isang yunit at hatiin ito sa 5 pantay na bahagi, kung gayon ang bahagi ng AC ng segment na ito ay magiging katumbas ng 1/5 ng segment AB, at ang bahagi ng parehong segment na CD ay magiging katumbas ng 2/5 AB.

Makikita mula sa pagguhit na kung kukunin natin ang segment na AD, kung gayon ito ay magiging katumbas ng 3/5 AB; ngunit ang segment AD ay tiyak na kabuuan ng mga segment na AC at CD. Kaya, maaari tayong sumulat:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Isinasaalang-alang ang mga terminong ito at ang nagresultang halaga, nakikita natin na ang numerator ng kabuuan ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numerator ng mga termino, at ang denominator ay nanatiling hindi nagbabago.

Mula dito nakukuha namin ang sumusunod na panuntunan: Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, dapat mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.

Magdagdag tayo ng mga fraction: 3/4 + 3/8 Una kailangan nilang bawasan sa pinakamababang common denominator:

Ang intermediate link 6/8 + 3/8 ay hindi maaaring naisulat; isinulat namin ito dito para sa higit na kalinawan.

Kaya, upang magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamababang common denominator, idagdag ang kanilang mga numerator at lagdaan ang common denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa (magsusulat kami ng mga karagdagang salik sa mga katumbas na fraction):

3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.

Idagdag natin ang mga numero: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Dalhin muna natin ang mga fractional na bahagi ng ating mga numero sa isang common denominator at muling isulat ang mga ito:

Ngayon idagdag ang integer at fractional na mga bahagi sa pagkakasunud-sunod:

§ 88. Pagbabawas ng mga fraction.

Ang pagbabawas ng mga fraction ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng pagbabawas ng mga buong numero. Ito ay isang aksyon kung saan, dahil sa kabuuan ng dalawang termino at isa sa mga ito, isa pang termino ang matatagpuan. Isaalang-alang natin ang tatlong kaso nang magkakasunod:

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.
3. Pagbabawas ng magkahalong numero.

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

13 / 15 - 4 / 15

Kunin natin ang segment na AB (Larawan 18), kunin ito bilang isang yunit at hatiin ito sa 15 pantay na bahagi; pagkatapos ay ang AC na bahagi ng segment na ito ay magiging 1/15 ng AB, at ang AD na bahagi ng parehong segment ay tumutugma sa 13/15 AB. Itabi natin ang isa pang segment na ED, katumbas ng 4/15 AB.

Kailangan nating ibawas ang 4/15 sa 13/15. Sa pagguhit, nangangahulugan ito na ang segment na ED ay dapat ibawas sa segment na AD. Bilang resulta, mananatili ang segment na AE, na 9/15 ng segment AB. Kaya maaari nating isulat:

Ang halimbawang ginawa namin ay nagpapakita na ang numerator ng pagkakaiba ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga numerator, at ang denominator ay nanatiling pareho.

Samakatuwid, upang ibawas ang mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at iwanan ang parehong denominator.

2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.

Halimbawa. 3/4 - 5/8

Una, bawasan natin ang mga fraction na ito sa pinakamaliit na common denominator:

Ang intermediate link 6 / 8 - 5 / 8 ay nakasulat dito para sa kalinawan, ngunit maaari itong laktawan sa hinaharap.

Kaya, upang ibawas ang isang fraction mula sa isang fraction, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamaliit na common denominator, pagkatapos ay ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at lagdaan ang common denominator sa ilalim ng kanilang pagkakaiba.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

3. Pagbabawas ng magkahalong numero.

Halimbawa. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Dalhin natin ang mga fractional na bahagi ng minuend at ang subtrahend sa pinakamababang common denominator:

Nagbawas kami ng isang buo sa isang buo at isang fraction sa isang fraction. Ngunit may mga kaso kapag ang fractional na bahagi ng subtrahend ay mas malaki kaysa sa fractional na bahagi ng minuend. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong kumuha ng isang yunit mula sa integer na bahagi ng pinababa, hatiin ito sa mga bahagi kung saan ipinahayag ang fractional na bahagi, at idagdag sa fractional na bahagi ng binawasan. At pagkatapos ang pagbabawas ay isasagawa sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang halimbawa:

§ 89. Pagpaparami ng mga fraction.

Kapag pinag-aaralan ang multiplikasyon ng mga fraction, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:

1. Pagpaparami ng fraction sa isang integer.
2. Paghahanap ng isang fraction ng isang ibinigay na numero.
3. Pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction.
4. Pagpaparami ng fraction sa fraction.
5. Pagpaparami ng magkahalong numero.
6. Ang konsepto ng interes.
7. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero. Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.

1. Pagpaparami ng fraction sa isang integer.

Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay may parehong kahulugan sa pagpaparami ng isang integer sa isang integer. Ang pagpaparami ng fraction (multiplicand) sa isang integer (multiplier) ay nangangahulugan ng pagbubuo ng kabuuan ng magkaparehong termino, kung saan ang bawat termino ay katumbas ng multiplicand, at ang bilang ng mga termino ay katumbas ng multiplier.

Kaya, kung kailangan mong i-multiply ang 1/9 sa 7, maaari itong gawin tulad nito:

Madali naming nakuha ang resulta, dahil ang aksyon ay nabawasan sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Kaya naman,

Ang pagsasaalang-alang sa pagkilos na ito ay nagpapakita na ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay katumbas ng pagtaas ng fraction na ito nang kasing dami ng mga unit sa integer. At dahil ang pagtaas sa fraction ay nakakamit alinman sa pamamagitan ng pagtaas ng numerator nito

o sa pamamagitan ng pagpapababa ng denominator nito , pagkatapos ay maaari nating i-multiply ang numerator sa pamamagitan ng integer, o hatiin ang denominator nito, kung posible ang gayong dibisyon.

Mula dito nakuha namin ang panuntunan:

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang integer, kailangan mong i-multiply ang numerator sa integer na ito at iwanan ang parehong denominator o, kung maaari, hatiin ang denominator sa numerong ito, na iniiwan ang numerator na hindi nagbabago.

Kapag nagpaparami, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

2. Paghahanap ng isang fraction ng isang ibinigay na numero. Mayroong maraming mga problema kung saan kailangan mong hanapin, o kalkulahin, ang isang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga gawaing ito at iba pa ay binibigyan nila ang bilang ng ilang mga bagay o yunit ng pagsukat at kailangan mong hanapin ang isang bahagi ng numerong ito, na ipinahiwatig din dito ng isang tiyak na bahagi. Upang mapadali ang pag-unawa, magbibigay muna kami ng mga halimbawa ng gayong mga problema, at pagkatapos ay ipakilala ang paraan ng paglutas ng mga ito.

Gawain 1. Mayroon akong 60 rubles; 1 / 3 nitong perang ginastos ko sa pagbili ng mga libro. Magkano ang halaga ng mga libro?

Gawain 2. Dapat saklawin ng tren ang distansya sa pagitan ng mga lungsod A at B, katumbas ng 300 km. Nasaklaw na niya ang 2/3 ng distansyang iyon. Ilang kilometro ito?

Gawain 3. Mayroong 400 na bahay sa nayon, 3/4 ng mga ito ay ladrilyo, ang iba ay kahoy. Ilang brick house ang mayroon?

Narito ang ilan sa maraming problema na kailangan nating harapin upang makahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang mga ito ay karaniwang tinatawag na mga problema para sa paghahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero.

Solusyon sa problema 1. Mula sa 60 rubles. Gumastos ako ng 1 / 3 sa mga libro; Kaya, upang mahanap ang halaga ng mga libro, kailangan mong hatiin ang numero 60 sa 3:

Problema 2 solusyon. Ang kahulugan ng problema ay kailangan mong makahanap ng 2 / 3 ng 300 km. Kalkulahin ang unang 1/3 ng 300; ito ay nakakamit sa pamamagitan ng paghahati ng 300 km sa 3:

300: 3 = 100 (1/3 iyon ng 300).

Upang makahanap ng dalawang-katlo ng 300, kailangan mong i-double ang resultang quotient, iyon ay, i-multiply sa 2:

100 x 2 = 200 (2/3 iyon ng 300).

Solusyon sa problema 3. Dito kailangan mong matukoy ang bilang ng mga brick house, na 3/4 ng 400. Hanapin muna natin ang 1/4 ng 400,

400: 4 = 100 (1/4 iyon ng 400).

Upang makalkula ang tatlong quarter ng 400, ang resultang quotient ay dapat na triple, iyon ay, i-multiply sa 3:

100 x 3 = 300 (3/4 iyon ng 400).

Batay sa solusyon ng mga problemang ito, maaari nating makuha ang sumusunod na panuntunan:

Upang mahanap ang halaga ng isang fraction ng isang naibigay na numero, kailangan mong hatiin ang numerong ito sa denominator ng fraction at i-multiply ang resultang quotient sa numerator nito.

3. Pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction.

Mas maaga (§ 26) ito ay itinatag na ang pagpaparami ng mga integer ay dapat na maunawaan bilang ang pagdaragdag ng magkaparehong mga termino (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Sa talatang ito (talata 1) ay itinatag na ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino na katumbas ng fraction na ito.

Sa parehong mga kaso, ang multiplikasyon ay binubuo sa paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino.

Ngayon ay nagpapatuloy tayo sa pagpaparami ng isang buong numero sa isang fraction. Dito ay makikilala natin ang tulad, halimbawa, pagpaparami: 9 2 / 3. Ito ay lubos na halata na ang nakaraang kahulugan ng multiplikasyon ay hindi naaangkop sa kasong ito. Ito ay maliwanag sa katotohanan na hindi natin mapapalitan ang naturang multiplikasyon sa pamamagitan ng pagdaragdag ng pantay na mga numero.

Dahil dito, kailangan nating magbigay ng bagong kahulugan ng multiplikasyon, ibig sabihin, sa madaling salita, upang masagot ang tanong kung ano ang dapat na maunawaan ng multiplikasyon sa isang fraction, kung paano dapat maunawaan ang pagkilos na ito.

Ang kahulugan ng pagpaparami ng integer sa isang fraction ay malinaw mula sa sumusunod na kahulugan: upang i-multiply ang isang integer (multiplier) sa isang fraction (multiplier) ay nangangahulugan na mahanap ang fraction na ito ng multiplier.

Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 9 sa 2/3 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 2/3 ng siyam na yunit. Sa nakaraang talata, nalutas ang mga naturang problema; kaya madaling malaman na napupunta tayo sa 6.

Ngunit ngayon ang isang kawili-wili at mahalagang tanong ay lumitaw: bakit ang mga tila magkakaibang mga aksyon tulad ng paghahanap ng kabuuan ng pantay na mga numero at paghahanap ng bahagi ng isang numero ay tinatawag na parehong salitang "multiplikasyon" sa aritmetika?

Nangyayari ito dahil ang nakaraang aksyon (pag-uulit ng numero na may mga termino ng ilang beses) at ang bagong aksyon (paghahanap ng fraction ng isang numero) ay nagbibigay ng sagot sa mga homogenous na tanong. Nangangahulugan ito na nagpapatuloy tayo dito mula sa mga pagsasaalang-alang na ang mga homogenous na tanong o gawain ay nalutas sa pamamagitan ng isa at parehong aksyon.

Upang maunawaan ito, isaalang-alang ang sumusunod na problema: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 4 m ng naturang tela?

Ang problemang ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng mga metro (4), i.e. 50 x 4 = 200 (rubles).

Kunin natin ang parehong problema, ngunit sa loob nito ang halaga ng tela ay ipapahayag bilang isang fractional na numero: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 3/4 m ng naturang tela?

Ang problemang ito ay kailangan ding lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng metro (3/4).

Maaari mo ring baguhin ang mga numero sa loob nito nang maraming beses nang hindi binabago ang kahulugan ng problema, halimbawa, kumuha ng 9/10 m o 2 3/10 m, atbp.

Dahil ang mga problemang ito ay may parehong nilalaman at naiiba lamang sa mga numero, tinatawag namin ang mga aksyon na ginamit sa paglutas sa kanila ng parehong salita - multiplikasyon.

Paano na-multiply ang isang buong bilang sa isang fraction?

Kunin natin ang mga numerong nakatagpo sa huling problema:

Ayon sa kahulugan, dapat nating hanapin ang 3 / 4 ng 50. Una ay makikita natin ang 1 / 4 ng 50, at pagkatapos ay 3 / 4.

1/4 ng 50 ay 50/4;

3/4 ng 50 ay .

Kaya naman.

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: 12 5 / 8 = ?

1/8 ng 12 ay 12/8,

Ang 5/8 ng bilang na 12 ay .

Kaya naman,

Mula dito nakuha namin ang panuntunan:

Upang i-multiply ang isang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer sa numerator ng fraction at gawing numerator ang produktong ito, at lagdaan ang denominator ng ibinigay na fraction bilang denominator.

Isinulat namin ang panuntunang ito gamit ang mga titik:

Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa pagpaparami ng numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38

Dapat tandaan na bago magsagawa ng multiplikasyon, dapat mong gawin (kung maaari) mga hiwa, Halimbawa:

4. Pagpaparami ng fraction sa fraction. Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction ay may parehong kahulugan tulad ng pagpaparami ng isang integer sa isang fraction, iyon ay, kapag nagpaparami ng isang fraction sa isang fraction, kailangan mong hanapin ang fraction sa multiplier mula sa unang fraction (multiplier).

Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 3/4 sa 1/2 (kalahati) ay nangangahulugan ng paghahanap ng kalahati ng 3/4.

Paano mo i-multiply ang isang fraction sa isang fraction?

Kumuha tayo ng isang halimbawa: 3/4 beses 5/7. Nangangahulugan ito na kailangan mong hanapin ang 5 / 7 mula sa 3 / 4 . Hanapin ang unang 1/7 ng 3/4 at pagkatapos ay 5/7

Ang 1/7 ng 3/4 ay ipapahayag nang ganito:

Ang 5 / 7 na mga numero 3 / 4 ay ihahayag tulad ng sumusunod:

kaya,

Isa pang halimbawa: 5/8 beses 4/9.

1/9 ng 5/8 ay ,

4/9 bilang 5/8 ay .

kaya,

Mula sa mga halimbawang ito, mahihinuha ang sumusunod na tuntunin:

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawang produkto ang denominator ng produkto.

Ang panuntunang ito ay maaaring isulat sa pangkalahatan tulad ng sumusunod:

Kapag nagpaparami, kinakailangan na gumawa (kung maaari) mga pagbawas. Isaalang-alang ang mga halimbawa:

5. Pagpaparami ng magkahalong numero. Dahil ang mga pinaghalong numero ay madaling mapapalitan ng mga hindi wastong fraction, ang sitwasyong ito ay karaniwang ginagamit kapag nagpaparami ng mga pinaghalong numero. Nangangahulugan ito na sa mga kasong iyon kung saan ang multiplicand, o ang multiplier, o ang parehong mga salik ay ipinahayag bilang halo-halong mga numero, pagkatapos ay papalitan sila ng mga hindi wastong fraction. Multiply, halimbawa, mixed number: 2 1/2 at 3 1/5. Ginagawa namin ang bawat isa sa kanila sa isang hindi wastong fraction at pagkatapos ay i-multiply namin ang mga resultang fraction ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction:

Panuntunan. Upang i-multiply ang mga pinaghalong numero, kailangan mo munang i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction.

Tandaan. Kung ang isa sa mga kadahilanan ay isang integer, kung gayon ang pagpaparami ay maaaring isagawa batay sa batas ng pamamahagi tulad ng sumusunod:

6. Ang konsepto ng interes. Kapag nilulutas ang mga problema at kapag nagsasagawa ng iba't ibang praktikal na kalkulasyon, ginagamit namin ang lahat ng uri ng mga fraction. Ngunit dapat isaisip ng isang tao na maraming dami ang umamin hindi anuman, ngunit natural na mga subdibisyon para sa kanila. Halimbawa, maaari kang kumuha ng isang daan (1/100) ng isang ruble, ito ay magiging isang sentimos, dalawang daan ay 2 kopecks, tatlong daan ay 3 kopecks. Maaari kang kumuha ng 1/10 ng ruble, ito ay magiging "10 kopecks, o isang dime. Maaari kang kumuha ng isang-kapat ng ruble, i.e. 25 kopecks, kalahating ruble, i.e. 50 kopecks (limampung kopecks). Ngunit sila ay halos don. 't kumuha, halimbawa, 2/7 rubles dahil ang ruble ay hindi nahahati sa ikapitong bahagi.

Ang yunit ng pagsukat para sa timbang, ibig sabihin, ang kilo, ay nagbibigay-daan, una sa lahat, ng mga decimal subdivision, halimbawa, 1/10 kg, o 100 g. At ang mga fraction ng isang kilo bilang 1/6, 1/11, 1/ 13 ay hindi karaniwan.

Sa pangkalahatan ang aming (metric) na mga sukat ay decimal at pinapayagan ang mga decimal subdivision.

Gayunpaman, dapat tandaan na ito ay lubhang kapaki-pakinabang at maginhawa sa isang malawak na iba't ibang mga kaso upang gamitin ang parehong (unipormeng) paraan ng subdividing dami. Ipinakita ng maraming taon ng karanasan na ang gayong mahusay na katwiran na dibisyon ay ang "daan-daang" dibisyon. Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa na nauugnay sa mga pinaka-magkakaibang lugar ng kasanayan ng tao.

1. Ang presyo ng mga aklat ay bumaba ng 12/100 ng nakaraang presyo.

Halimbawa. Ang nakaraang presyo ng libro ay 10 rubles. Bumaba siya ng 1 ruble. 20 kop.

2. Ang mga savings bank ay nagbabayad sa taon sa mga depositor ng 2/100 ng halaga na inilalagay sa mga ipon.

Halimbawa. Ang 500 rubles ay inilalagay sa cash desk, ang kita mula sa halagang ito para sa taon ay 10 rubles.

3. Ang bilang ng mga nagtapos ng isang paaralan ay 5/100 ng kabuuang bilang ng mga mag-aaral.

HALIMBAWA 1,200 na estudyante lamang ang nag-aral sa paaralan, 60 sa kanila ang nagtapos sa paaralan.

Ang ikadaan ng isang numero ay tinatawag na porsyento..

Ang salitang "porsiyento" ay hiniram mula sa wikang Latin at ang salitang "sentimo" ay nangangahulugang isang daan. Kasama ng pang-ukol (pro centum), ang salitang ito ay nangangahulugang "para sa isang daan." Ang kahulugan ng pananalitang ito ay sumusunod sa katotohanan na sa una sa sinaunang interes ng Roma ay ang pera na binayaran ng may utang sa nagpapahiram "para sa bawat daan." Ang salitang "sentimo" ay naririnig sa mga pamilyar na salita: centner (isang daang kilo), sentimetro (sabi nila centimeter).

Halimbawa, sa halip na sabihin na ang planta ay gumawa ng 1/100 ng lahat ng mga produkto na ginawa nito noong nakaraang buwan, sasabihin namin ito: ang halaman ay gumawa ng isang porsyento ng mga pagtanggi noong nakaraang buwan. Sa halip na sabihin: ang halaman ay gumawa ng 4/100 higit pang mga produkto kaysa sa itinatag na plano, sasabihin natin: ang planta ay lumampas sa plano ng 4 na porsyento.

Ang mga halimbawa sa itaas ay maaaring ipahayag nang iba:

1. Bumaba ng 12 porsiyento ang presyo ng mga libro sa nakaraang presyo.

2. Binabayaran ng mga savings bank ang mga nagdedeposito ng 2 porsiyento bawat taon ng halagang inilalagay sa mga ipon.

3. Ang bilang ng mga nagtapos ng isang paaralan ay 5 porsiyento ng bilang ng lahat ng mga mag-aaral sa paaralan.

Upang paikliin ang titik, kaugalian na isulat ang% sign sa halip na ang salitang "porsiyento".

Gayunpaman, dapat tandaan na ang % sign ay karaniwang hindi nakasulat sa mga kalkulasyon, maaari itong isulat sa pahayag ng problema at sa huling resulta. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon, kailangan mong magsulat ng isang fraction na may denominator na 100 sa halip na isang integer na may icon na ito.

Kailangan mong mapalitan ang isang integer ng tinukoy na icon na may isang fraction na may denominator na 100:

Sa kabaligtaran, kailangan mong masanay sa pagsulat ng isang integer na may ipinahiwatig na icon sa halip na isang fraction na may denominator na 100:

7. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero.

Gawain 1. Nakatanggap ang paaralan ng 200 cubic meters. m ng kahoy na panggatong, na may birch na panggatong na accounting para sa 30%. Magkano ang kahoy na birch doon?

Ang kahulugan ng problemang ito ay ang birch na panggatong ay bahagi lamang ng kahoy na panggatong na inihatid sa paaralan, at ang bahaging ito ay ipinahayag bilang isang bahagi ng 30 / 100. Kaya, nahaharap tayo sa gawain ng paghahanap ng isang bahagi ng isang numero. Upang malutas ito, dapat nating i-multiply ang 200 sa 30 / 100 (ang mga gawain para sa paghahanap ng fraction ng isang numero ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng numero sa isang fraction.).

Kaya 30% ng 200 ay katumbas ng 60.

Ang fraction na 30 / 100 na nakatagpo sa problemang ito ay maaaring bawasan ng 10. Posibleng maisagawa ang pagbawas na ito sa simula pa lamang; hindi magbabago ang solusyon sa problema.

Gawain 2. Mayroong 300 bata sa iba't ibang edad sa kampo. Ang mga batang may edad na 11 ay 21%, ang mga batang may edad na 12 ay 61% at sa wakas ay 13 taong gulang ay 18%. Ilang bata sa bawat edad ang nasa kampo?

Sa problemang ito, kailangan mong magsagawa ng tatlong mga kalkulasyon, iyon ay, sunud-sunod na hanapin ang bilang ng mga bata 11 taong gulang, pagkatapos ay 12 taong gulang, at sa wakas ay 13 taong gulang.

Kaya, dito ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang bahagi ng isang numero ng tatlong beses. Gawin natin:

1) Ilang bata ang 11 taong gulang?

2) Ilang bata ang 12 taong gulang?

3) Ilang bata ang 13 taong gulang?

Pagkatapos malutas ang problema, ito ay kapaki-pakinabang upang idagdag ang mga numero na natagpuan; ang kanilang kabuuan ay dapat na 300:

63 + 183 + 54 = 300

Dapat mo ring bigyang pansin ang katotohanan na ang kabuuan ng mga porsyento na ibinigay sa kondisyon ng problema ay 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ito ay nagpapahiwatig na ang kabuuang bilang ng mga bata sa kampo ay kinuha bilang 100%.

3 at cha 3. Nakatanggap ang manggagawa ng 1,200 rubles bawat buwan. Sa mga ito, gumastos siya ng 65% sa pagkain, 6% sa isang apartment at heating, 4% sa gas, kuryente at radyo, 10% sa mga pangangailangang pangkultura at 15% ang kanyang naipon. Gaano karaming pera ang ginugol sa mga pangangailangan na ipinahiwatig sa gawain?

Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong maghanap ng isang bahagi ng bilang na 1,200 5 beses. Gawin natin ito.

1) Magkano ang ginagastos sa pagkain? Sinasabi ng gawain na ang gastos na ito ay 65% ​​ng lahat ng kita, ibig sabihin, 65/100 ng bilang na 1,200. Gawin natin ang pagkalkula:

2) Gaano karaming pera ang binayaran para sa isang apartment na may pagpainit? Ang pagtatalo tulad ng nauna, nakarating tayo sa sumusunod na kalkulasyon:

3) Magkano ang perang binayaran mo para sa gas, kuryente at radyo?

4) Magkano ang perang ginagastos sa mga pangangailangang pangkultura?

5) Magkano ang naipon ng manggagawa?

Para sa pag-verify, kapaki-pakinabang na idagdag ang mga numerong makikita sa 5 tanong na ito. Ang halaga ay dapat na 1,200 rubles. Ang lahat ng mga kita ay kinukuha bilang 100%, na madaling suriin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga porsyento na ibinigay sa pahayag ng problema.

Tatlong problema ang nalutas namin. Sa kabila ng katotohanan na ang mga gawaing ito ay tungkol sa iba't ibang bagay (paghahatid ng panggatong para sa paaralan, ang bilang ng mga bata na may iba't ibang edad, ang mga gastos ng manggagawa), nalutas ang mga ito sa parehong paraan. Nangyari ito dahil sa lahat ng mga gawain ay kailangang maghanap ng ilang porsyento ng mga ibinigay na numero.

§ 90. Dibisyon ng mga fraction.

Kapag pinag-aaralan ang paghahati ng mga fraction, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:

1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.
2. Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang integer
3. Dibisyon ng isang integer sa pamamagitan ng isang fraction.
4. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.
5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.
6. Paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito.
7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.

Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.

1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.

Gaya ng ipinahiwatig sa seksyon ng mga integer, ang paghahati ay ang aksyon na binubuo sa katotohanan na, dahil sa produkto ng dalawang salik (ang dibidendo) at isa sa mga salik na ito (ang divisor), isa pang salik ang natagpuan.

Ang paghahati ng isang integer sa pamamagitan ng isang integer na aming isinasaalang-alang sa departamento ng mga integer. Nakilala namin doon ang dalawang kaso ng paghahati: paghahati nang walang nalalabi, o "buong" (150: 10 = 15), at paghahati na may natitira (100: 9 = 11 at 1 sa natitira). Kaya't maaari nating sabihin na sa larangan ng mga integer, ang eksaktong paghahati ay hindi palaging posible, dahil ang dibidendo ay hindi palaging produkto ng divisor at ng integer. Pagkatapos ng pagpapakilala ng multiplikasyon sa pamamagitan ng isang fraction, maaari naming isaalang-alang ang anumang kaso ng paghahati ng mga integer hangga't maaari (tanging dibisyon sa pamamagitan ng zero ang hindi kasama).

Halimbawa, ang paghahati ng 7 sa 12 ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang numero na ang produkto ay 12 ay magiging 7. Ang numerong ito ay ang fraction na 7/12 dahil 7/12 12 = 7. Isa pang halimbawa: 14: 25 = 14/25 dahil 14/25 25 = 14.

Kaya, upang hatiin ang isang integer sa isang integer, kailangan mong gumawa ng isang fraction, ang numerator nito ay katumbas ng dibidendo, at ang denominator ay ang divisor.

2. Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang integer.

Hatiin ang fraction na 6 / 7 sa 3. Ayon sa kahulugan ng paghahati na ibinigay sa itaas, mayroon kami dito ang produkto (6 / 7) at isa sa mga kadahilanan (3); kinakailangan na makahanap ng pangalawang salik na, kapag pinarami ng 3, ay magbibigay sa ibinigay na produkto ng 6/7. Malinaw, ito ay dapat na tatlong beses na mas maliit kaysa sa produktong ito. Nangangahulugan ito na ang gawaing itinakda sa atin ay bawasan ang fraction ng 6/7 ng 3 beses.

Alam na natin na ang pagbabawas ng isang fraction ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapababa ng numerator nito o sa pamamagitan ng pagtaas ng denominator nito. Samakatuwid, maaari kang sumulat:

Sa kasong ito, ang numerator 6 ay nahahati sa 3, kaya ang numerator ay dapat bawasan ng 3 beses.

Kumuha tayo ng isa pang halimbawa: 5 / 8 na hinati sa 2. Dito ang numerator 5 ay hindi nahahati sa 2, na nangangahulugan na ang denominator ay kailangang i-multiply sa numerong ito:

Batay dito, maaari nating sabihin ang panuntunan: Upang hatiin ang isang fraction sa isang integer, kailangan mong hatiin ang numerator ng fraction sa pamamagitan ng integer na iyon(kung maaari), iiwan ang parehong denominator, o i-multiply ang denominator ng fraction sa numerong ito, na iniiwan ang parehong numerator.

3. Dibisyon ng isang integer sa pamamagitan ng isang fraction.

Hayaang kailanganin na hatiin ang 5 sa 1/2, ibig sabihin, humanap ng numero na, pagkatapos i-multiply sa 1/2, ay magbibigay sa produkto ng 5. Malinaw, ang bilang na ito ay dapat na mas malaki kaysa sa 5, dahil ang 1/2 ay isang wastong bahagi, at kapag nagpaparami ng isang numero sa isang wastong fraction, ang produkto ay dapat na mas mababa kaysa sa multiplicand. Upang maging mas malinaw, isulat natin ang ating mga aksyon tulad ng sumusunod: 5: 1 / 2 = X , kaya x 1 / 2 \u003d 5.

Kailangan nating makahanap ng ganoong numero X , na, kapag pinarami ng 1/2, ay magbibigay ng 5. Dahil ang pagpaparami ng isang tiyak na numero sa 1/2 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 1/2 ng numerong ito, kung gayon, samakatuwid, 1/2 ng hindi kilalang numero X ay 5, at ang buong bilang X dalawang beses na mas marami, i.e. 5 2 \u003d 10.

Kaya 5: 1/2 = 5 2 = 10

Suriin natin:

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Hayaang kailanganin na hatiin ang 6 sa 2 / 3 . Subukan muna nating hanapin ang nais na resulta gamit ang pagguhit (Larawan 19).

Fig.19

Gumuhit ng segment AB, katumbas ng 6 ng ilang unit, at hatiin ang bawat unit sa 3 pantay na bahagi. Sa bawat unit, ang tatlong-katlo (3 / 3) sa buong segment AB ay 6 na beses na mas malaki, i.e. e. 18/3. Kumonekta kami sa tulong ng mga maliliit na bracket 18 nakuha na mga segment ng 2; Magkakaroon lamang ng 9 na mga segment. Nangangahulugan ito na ang fraction na 2/3 ay nakapaloob sa b units ng 9 na beses, o, sa madaling salita, ang fraction na 2/3 ay 9 na beses na mas mababa sa 6 integer units. Kaya naman,

Paano makukuha ang resultang ito nang walang pagguhit gamit lamang ang mga kalkulasyon? Magtatalo tayo bilang mga sumusunod: kinakailangang hatiin ang 6 sa 2 / 3, ibig sabihin, kinakailangang sagutin ang tanong, kung gaano karaming beses ang 2 / 3 ay nakapaloob sa 6. Alamin muna natin: kung gaano karaming beses ang 1 / 3 nakapaloob sa 6? Sa isang buong unit - 3 thirds, at sa 6 units - 6 na beses pa, i.e. 18 thirds; upang mahanap ang numerong ito, dapat nating i-multiply ang 6 sa 3. Kaya, ang 1/3 ay nakapaloob sa b unit ng 18 beses, at ang 2/3 ay nasa b unit hindi 18 beses, ngunit kalahati ng maraming beses, i.e. 18: 2 = 9 Samakatuwid , kapag hinahati ang 6 sa 2 / 3 ginawa namin ang sumusunod:

Mula dito nakuha namin ang panuntunan para sa paghahati ng isang integer sa isang fraction. Upang hatiin ang isang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer na ito sa denominator ng ibinigay na fraction at, gawin itong numerator, hatiin ito sa numerator ng ibinigay na fraction.

Sinusulat namin ang panuntunan gamit ang mga titik:

Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa paghahati ng isang numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38. Tandaan na ang parehong formula ay nakuha doon.

Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

4. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.

Hayaang kailanganin na hatiin ang 3/4 sa 3/8. Ano ang magsasaad ng bilang na makukuha bilang resulta ng paghahati? Sasagutin nito ang tanong kung gaano karaming beses ang fraction 3/8 ay nakapaloob sa fraction 3/4. Upang maunawaan ang isyung ito, gumawa tayo ng pagguhit (Larawan 20).

Kunin ang segment na AB, kunin ito bilang isang yunit, hatiin ito sa 4 pantay na bahagi at markahan ang 3 tulad ng mga bahagi. Ang Segment AC ay magiging katumbas ng 3/4 ng segment AB. Hatiin natin ngayon ang bawat isa sa apat na unang segment sa kalahati, pagkatapos ay ang segment AB ay hahatiin sa 8 pantay na bahagi at ang bawat bahagi ay magiging katumbas ng 1/8 ng segment AB. Ikinonekta namin ang 3 tulad ng mga segment na may mga arko, pagkatapos ang bawat isa sa mga segment na AD at DC ay magiging katumbas ng 3/8 ng segment AB. Ipinapakita ng drawing na ang segment na katumbas ng 3/8 ay nakapaloob sa segment na katumbas ng 3/4 nang eksakto 2 beses; Kaya ang resulta ng dibisyon ay maaaring isulat tulad nito:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Hayaang kailanganin na hatiin ang 15/16 sa 3/32:

Maaari tayong mangatuwiran nang ganito: kailangan nating maghanap ng numero na, pagkatapos na i-multiply sa 3/32, ay magbibigay ng produkto na katumbas ng 15/16. Isulat natin ang mga kalkulasyon tulad nito:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 hindi kilalang numero X gumawa ng 15/16

1/32 hindi kilalang numero X ay ,

32 / 32 na mga numero X magkasundo .

Kaya naman,

Kaya, upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa ang denominator.

Isulat natin ang panuntunan gamit ang mga titik:

Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.

Kapag hinahati ang mga pinaghalong numero, dapat munang i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction, at pagkatapos ay ang mga resultang fraction ay dapat hatiin ayon sa mga patakaran para sa paghahati ng mga fractional na numero. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

I-convert ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction:

Ngayon, hatiin natin:

Kaya, upang hatiin ang mga pinaghalong numero, kailangan mong i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay hatiin ayon sa panuntunan para sa paghahati ng mga fraction.

6. Paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito.

Kabilang sa iba't ibang mga gawain sa mga fraction, minsan may mga kung saan ang halaga ng ilang fraction ng isang hindi kilalang numero ay ibinibigay at kinakailangan upang mahanap ang numerong ito. Ang ganitong uri ng problema ay magiging kabaligtaran sa problema ng paghahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero; mayroong isang numero na ibinigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang ilang bahagi ng numerong ito, dito isang fraction ng isang numero ay ibinigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang numerong ito mismo. Ang ideyang ito ay magiging mas malinaw kung babaling tayo sa solusyon sa ganitong uri ng problema.

Gawain 1. Sa unang araw, pinakinang ng mga glazier ang 50 bintana, na 1/3 ng lahat ng bintana ng itinayong bahay. Ilang bintana ang nasa bahay na ito?

Desisyon. Sinasabi ng problema na ang 50 glazed windows ay bumubuo sa 1/3 ng lahat ng mga bintana ng bahay, na nangangahulugang mayroong 3 beses na higit pang mga bintana sa kabuuan, i.e.

Ang bahay ay may 150 na bintana.

Gawain 2. Nagbenta ang tindahan ng 1,500 kg ng harina, na 3/8 ng kabuuang stock ng harina sa tindahan. Ano ang unang supply ng harina sa tindahan?

Desisyon. Makikita sa kalagayan ng problema na ang nabentang 1,500 kg ng harina ay bumubuo sa 3/8 ng kabuuang stock; nangangahulugan ito na ang 1/8 ng stock na ito ay magiging 3 beses na mas mababa, ibig sabihin, upang makalkula ito, kailangan mong bawasan ang 1500 ng 3 beses:

1,500: 3 = 500 (1/8 iyon ng stock).

Malinaw, ang buong stock ay magiging 8 beses na mas malaki. Kaya naman,

500 8 \u003d 4,000 (kg).

Ang unang supply ng harina sa tindahan ay 4,000 kg.

Mula sa pagsasaalang-alang ng problemang ito, mahihinuha ang sumusunod na tuntunin.

Upang mahanap ang isang numero sa isang ibinigay na halaga ng fraction nito, sapat na upang hatiin ang halagang ito sa numerator ng fraction at i-multiply ang resulta sa denominator ng fraction.

Nalutas namin ang dalawang problema sa paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito. Ang ganitong mga problema, tulad ng nakikitang mabuti mula sa huli, ay nalutas sa pamamagitan ng dalawang aksyon: paghahati (kapag natagpuan ang isang bahagi) at pagpaparami (kapag natagpuan ang buong bilang).

Gayunpaman, pagkatapos nating pag-aralan ang paghahati ng mga fraction, ang mga problema sa itaas ay maaaring malutas sa isang aksyon, katulad: paghahati sa isang fraction.

Halimbawa, ang huling gawain ay maaaring malutas sa isang aksyon tulad nito:

Sa hinaharap, malulutas namin ang problema sa paghahanap ng isang numero sa pamamagitan ng fraction nito sa isang aksyon - dibisyon.

7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.

Sa mga gawaing ito, kakailanganin mong maghanap ng numero, alam ang ilang porsyento ng numerong ito.

Gawain 1. Sa simula ng taong ito, nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa savings bank. kita mula sa halagang inilagay ko sa ipon noong isang taon. Magkano pera ang inilagay ko sa savings bank? (Ang mga tanggapan ng pera ay nagbibigay sa mga deposito ng 2% ng kita bawat taon.)

Ang kahulugan ng problema ay ang isang tiyak na halaga ng pera ay inilagay ko sa isang savings bank at nakahiga doon sa loob ng isang taon. Pagkaraan ng isang taon, nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa kanya. kita, which is 2/100 of the money I put in. Magkano pera ang aking idineposito?

Samakatuwid, ang pag-alam sa bahagi ng perang ito, na ipinahayag sa dalawang paraan (sa rubles at sa mga praksyon), dapat nating hanapin ang kabuuan, na hindi pa alam, halaga. Ito ay isang ordinaryong problema ng paghahanap ng isang numero dahil sa fraction nito. Ang mga sumusunod na gawain ay nalutas sa pamamagitan ng paghahati:

Kaya, 3,000 rubles ang inilagay sa savings bank.

Gawain 2. Sa loob ng dalawang linggo, natupad ng mga mangingisda ang buwanang plano ng 64%, na nakapaghanda ng 512 toneladang isda. Ano ang kanilang plano?

Mula sa kondisyon ng problema, nabatid na natapos ng mga mangingisda ang bahagi ng plano. Ang bahaging ito ay katumbas ng 512 tonelada, na 64% ng plano. Ilang toneladang isda ang kailangang anihin ayon sa plano, hindi natin alam. Ang solusyon sa problema ay binubuo sa paghahanap ng numerong ito.

Ang ganitong mga gawain ay malulutas sa pamamagitan ng paghahati:

Kaya, ayon sa plano, kailangan mong maghanda ng 800 toneladang isda.

Gawain 3. Ang tren ay nagmula sa Riga hanggang Moscow. Nang malagpasan niya ang ika-276 na kilometro, tinanong ng isa sa mga pasahero ang dumadaang konduktor kung gaano na ba katagal ang biyahe nila. Sumagot dito ang konduktor: "Nasakyan na namin ang 30% ng buong paglalakbay." Ano ang distansya mula Riga hanggang Moscow?

Makikita mula sa kondisyon ng problema na ang 30% ng paglalakbay mula Riga hanggang Moscow ay 276 km. Kailangan nating hanapin ang buong distansya sa pagitan ng mga lungsod na ito, ibig sabihin, para sa bahaging ito, hanapin ang kabuuan:

§ 91. Mga katumbas na numero. Ang pagpapalit ng dibisyon ng multiplikasyon.

Kunin ang fraction 2/3 at muling ayusin ang numerator sa lugar ng denominator, makakakuha tayo ng 3/2. Nakakuha kami ng isang fraction, ang kapalit ng isang ito.

Upang makakuha ng isang fraction reciprocal ng isang naibigay na isa, kailangan mong ilagay ang numerator nito sa lugar ng denominator, at ang denominator sa lugar ng numerator. Sa ganitong paraan, makakakuha tayo ng fraction na katumbas ng anumang fraction. Halimbawa:

3 / 4 , baligtad 4 / 3 ; 5 / 6 , baligtad 6 / 5

Dalawang fraction na may katangian na ang numerator ng una ay ang denominator ng pangalawa at ang denominator ng una ay ang numerator ng pangalawa ay tinatawag magkabaligtaran.

Ngayon isipin natin kung anong fraction ang magiging reciprocal ng 1/2. Malinaw, ito ay magiging 2 / 1, o 2 lang. Hinahanap ang kapalit nito, nakakuha kami ng isang integer. At ang kasong ito ay hindi nakahiwalay; sa kabaligtaran, para sa lahat ng mga praksiyon na may numerator na 1 (isa), ang mga kapalit ay magiging mga integer, halimbawa:

1 / 3, kabaligtaran 3; 1 / 5, baligtad 5

Dahil, kapag naghahanap ng mga kapalit, nakilala din namin ang mga integer, sa hinaharap hindi namin pag-uusapan ang tungkol sa mga katumbasan, ngunit tungkol sa mga katumbasan.

Alamin natin kung paano isulat ang kapalit ng isang buong numero. Para sa mga fraction, ito ay malulutas nang simple: kailangan mong ilagay ang denominator sa lugar ng numerator. Sa parehong paraan, maaari mong makuha ang reciprocal ng isang integer, dahil ang anumang integer ay maaaring magkaroon ng denominator ng 1. Samakatuwid, ang kapalit ng 7 ay magiging 1 / 7, dahil 7 \u003d 7 / 1; para sa numero 10 ang reverse ay 1/10 dahil 10 = 10/1

Ang ideyang ito ay maaaring ipahayag sa ibang paraan: ang reciprocal ng isang naibigay na numero ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa ibinigay na numero. Ang pahayag na ito ay totoo hindi lamang para sa mga integer, kundi pati na rin para sa mga fraction. Sa katunayan, kung gusto mong magsulat ng isang numero na katumbas ng bahaging 5/9, maaari nating kunin ang 1 at hatiin ito sa 5/9, i.e.

Ngayon ay ituro natin ang isa ari-arian magkatumbas na mga numero, na magiging kapaki-pakinabang sa atin: ang produkto ng magkabilang katumbas na mga numero ay katumbas ng isa. talaga:

Gamit ang property na ito, makakahanap tayo ng mga kapalit sa sumusunod na paraan. Hanapin natin ang kapalit ng 8.

Tukuyin natin ito ng titik X , pagkatapos ay 8 X = 1, samakatuwid X = 1 / 8 . Maghanap tayo ng isa pang numero, ang kabaligtaran ng 7/12, ipahiwatig ito sa pamamagitan ng isang titik X , pagkatapos ay 7/12 X = 1, samakatuwid X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .

Ipinakilala namin dito ang konsepto ng reciprocal na mga numero upang bahagyang madagdagan ang impormasyon tungkol sa paghahati ng mga fraction.

Kapag hinati namin ang numero 6 sa 3 / 5, pagkatapos ay gagawin namin ang sumusunod:

Bigyang-pansin ang ekspresyon at ihambing ito sa ibinigay na isa: .

Kung kukuha tayo ng expression nang hiwalay, nang walang koneksyon sa nauna, imposibleng malutas ang tanong kung saan ito nanggaling: mula sa paghahati ng 6 sa 3/5 o mula sa pagpaparami ng 6 sa 5/3. Sa parehong mga kaso ang resulta ay pareho. Kaya masasabi natin na ang paghahati ng isang numero sa isa pa ay maaaring palitan sa pamamagitan ng pagpaparami ng dibidendo sa kapalit ng divisor.

Ang mga halimbawang ibinigay namin sa ibaba ay ganap na nagpapatunay sa konklusyong ito.