Sa artikulong ito, susubukan naming ipakita ang mga katangian ng trapezoid nang buo hangga't maaari. Sa partikular, pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pangkalahatang palatandaan at katangian ng isang trapezoid, pati na rin ang tungkol sa mga katangian ng isang nakasulat na trapezoid at tungkol sa isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid. Tatalakayin din natin ang mga katangian ng isang isosceles at rectangular trapezoid.

Ang isang halimbawa ng paglutas ng isang problema gamit ang mga itinuturing na katangian ay makakatulong sa iyong ayusin ang mga bagay sa iyong isipan at mas matandaan ang materyal.

Trapeze at lahat-lahat-lahat

Upang magsimula, alalahanin natin sandali kung ano ang isang trapezoid at kung ano ang iba pang mga konsepto na nauugnay dito.

Kaya, ang isang trapezoid ay isang quadrilateral figure, ang dalawa sa mga gilid nito ay kahanay sa bawat isa (ito ang mga base). At ang dalawa ay hindi magkatulad - ito ang mga panig.

Sa isang trapezoid, ang taas ay maaaring alisin - patayo sa mga base. Ang gitnang linya at mga dayagonal ay iginuhit. At din mula sa anumang anggulo ng trapezoid posible na gumuhit ng bisector.

Tungkol sa iba't ibang mga katangian na nauugnay sa lahat ng mga elementong ito at ang kanilang mga kumbinasyon, pag-uusapan natin ngayon.

Mga katangian ng mga diagonal ng isang trapezoid

Upang gawing mas malinaw, habang nagbabasa, i-sketch ang ACME trapezoid sa isang piraso ng papel at gumuhit ng mga dayagonal dito.

1. Kung nahanap mo ang mga midpoint ng bawat isa sa mga diagonal (tawagin natin ang mga puntong ito na X at T) at ikonekta ang mga ito, makakakuha ka ng isang segment. Ang isa sa mga katangian ng mga diagonal ng isang trapezoid ay ang segment na XT ay namamalagi sa midline. At ang haba nito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paghahati ng pagkakaiba ng mga base sa dalawa: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Bago sa amin ay ang parehong ACME trapezoid. Ang mga diagonal ay bumalandra sa punto O. Isaalang-alang natin ang mga tatsulok na AOE at IOC na nabuo ng mga segment ng mga dayagonal kasama ang mga base ng trapezoid. Ang mga tatsulok na ito ay magkatulad. Ang koepisyent ng pagkakapareho ng k triangles ay ipinahayag sa mga tuntunin ng ratio ng mga base ng trapezoid: k = AE/KM.
   Ang ratio ng mga lugar ng triangles AOE at IOC ay inilalarawan ng koepisyent k 2 .
3. Ang lahat ng parehong trapezium, ang parehong mga diagonal na intersecting sa punto O. Tanging sa pagkakataong ito ay isasaalang-alang natin ang mga tatsulok na nabuo ang mga diagonal na segment kasama ang mga gilid ng trapezoid. Ang mga lugar ng triangles AKO at EMO ay pantay - ang kanilang mga lugar ay pareho.
4. Ang isa pang pag-aari ng isang trapezoid ay kinabibilangan ng pagtatayo ng mga diagonal. Kaya, kung ipagpapatuloy natin ang mga gilid ng AK at ME sa direksyon ng mas maliit na base, sa lalong madaling panahon ay magsa-intersect sila sa ilang punto. Susunod, gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga base ng trapezoid. Nag-intersect ito sa mga base sa mga puntong X at T.
   Kung palawigin natin ngayon ang linyang XT, pagsasamahin nito ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid O, ang punto kung saan ang mga extension ng mga gilid at ang mga midpoint ng mga base ng X at T ay nagsalubong.
5. Sa pamamagitan ng punto ng intersection ng mga diagonal, gumuhit kami ng isang segment na magkokonekta sa mga base ng trapezoid (T namamalagi sa mas maliit na base ng KM, X - sa mas malaking AE). Hinahati ng intersection point ng mga diagonal ang segment na ito sa sumusunod na ratio: TO/OH = KM/AE.
6. At ngayon sa pamamagitan ng punto ng intersection ng mga diagonal gumuhit kami ng isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid (a at b). Ang intersection point ay hahatiin ito sa dalawang pantay na bahagi. Mahahanap mo ang haba ng isang segment gamit ang formula 2ab/(a + b).

Mga katangian ng midline ng isang trapezoid

Iguhit ang gitnang linya sa trapezium parallel sa mga base nito.

1. Ang haba ng midline ng isang trapezoid ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga haba ng mga base at paghahati sa kanila sa kalahati: m = (a + b)/2.
2. Kung gumuhit ka ng anumang segment (halimbawa, taas) sa parehong base ng trapezoid, hahatiin ito ng gitnang linya sa dalawang pantay na bahagi.

Pag-aari ng bisector ng isang trapezoid

Pumili ng anumang anggulo ng trapezoid at gumuhit ng bisector. Kunin, halimbawa, ang anggulo KAE ng aming trapezoid ACME. Ang pagkakaroon ng pagkumpleto ng konstruksiyon sa iyong sarili, madali mong makita na ang bisector ay pumutol mula sa base (o ang pagpapatuloy nito sa isang tuwid na linya sa labas ng figure mismo) isang segment ng parehong haba ng gilid.

Mga katangian ng anggulo ng trapezoid

1. Alinman sa dalawang pares ng mga anggulo na katabi ng gilid ang pipiliin mo, ang kabuuan ng mga anggulo sa isang pares ay palaging 180 0: α + β = 180 0 at γ + δ = 180 0 .
2. Ikonekta ang mga midpoint ng mga base ng trapezoid na may isang segment na TX. Ngayon tingnan natin ang mga anggulo sa mga base ng trapezoid. Kung ang kabuuan ng mga anggulo para sa alinman sa mga ito ay 90 0, ang haba ng segment ng TX ay madaling kalkulahin batay sa pagkakaiba sa mga haba ng mga base, na hinati sa kalahati: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Kung ang mga magkatulad na linya ay iguguhit sa mga gilid ng anggulo ng isang trapezoid, hahatiin nila ang mga gilid ng anggulo sa mga proporsyonal na mga segment.

Mga katangian ng isang isosceles (isosceles) trapezoid

1. Sa isang isosceles trapezoid, ang mga anggulo sa alinman sa mga base ay pantay.
2. Ngayon ay bumuo muli ng isang trapezoid upang gawing mas madaling isipin kung tungkol saan ito. Tumingin ng mabuti sa base ng AE - ang vertex ng kabaligtaran na base ng M ay inaasahang sa isang tiyak na punto sa linya na naglalaman ng AE. Ang distansya mula sa vertex A hanggang sa projection point ng vertex M at ang midline ng isang isosceles trapezoid ay pantay.
3. Ang ilang mga salita tungkol sa pag-aari ng mga diagonal ng isang isosceles trapezoid - ang kanilang mga haba ay pantay. At gayundin ang mga anggulo ng pagkahilig ng mga diagonal na ito sa base ng trapezoid ay pareho.
4. Malapit lamang sa isosceles trapezoid ang maaaring ilarawan ang isang bilog, dahil ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang quadrilateral 180 0 ay isang paunang kinakailangan para dito.
5. Ang pag-aari ng isang isosceles trapezoid ay sumusunod mula sa nakaraang talata - kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan malapit sa isang trapezoid, ito ay isosceles.
6. Mula sa mga tampok ng isang isosceles trapezoid, ang pag-aari ng taas ng isang trapezoid ay sumusunod: kung ang mga diagonal nito ay bumalandra sa isang tamang anggulo, kung gayon ang haba ng taas ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base: h = (a + b)/2.
7. Iguhit muli ang linyang TX sa mga midpoint ng mga base ng trapezoid - sa isang isosceles trapezoid ito ay patayo sa mga base. At sa parehong oras, ang TX ay ang axis ng simetrya ng isang isosceles trapezoid.
8. Sa pagkakataong ito ay mas mababa sa mas malaking base (tawagin natin itong a) ang taas mula sa tapat ng vertex ng trapezoid. Makakakuha ka ng dalawang hiwa. Ang haba ng isa ay matatagpuan kung ang mga haba ng mga base ay idinagdag at nahahati sa kalahati: (a+b)/2. Nakukuha natin ang pangalawa kapag ibawas natin ang mas maliit mula sa mas malaking base at hinati ang resultang pagkakaiba sa dalawa: (a – b)/2.

Mga katangian ng isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog

Dahil pinag-uusapan na natin ang tungkol sa isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog, pag-isipan natin ang isyung ito nang mas detalyado. Sa partikular, kung saan ang sentro ng bilog na may kaugnayan sa trapezoid. Dito rin, inirerekumenda na huwag masyadong tamad na kumuha ng lapis at iguhit ang tatalakayin sa ibaba. Kaya mas mabilis kang mauunawaan, at mas matandaan.

1. Ang lokasyon ng gitna ng bilog ay tinutukoy ng anggulo ng pagkahilig ng dayagonal ng trapezoid sa gilid nito. Halimbawa, ang isang dayagonal ay maaaring lumabas mula sa tuktok ng isang trapezoid sa tamang mga anggulo sa gilid. Sa kasong ito, ang mas malaking base ay nag-intersect sa gitna ng circumscribed na bilog nang eksakto sa gitna (R = ½AE).
2. Ang dayagonal at ang gilid ay maaari ding magkita sa isang matinding anggulo - pagkatapos ay ang gitna ng bilog ay nasa loob ng trapezoid.
3. Ang gitna ng circumscribed na bilog ay maaaring nasa labas ng trapezium, lampas sa malaking base nito, kung mayroong isang mahinang anggulo sa pagitan ng dayagonal ng trapezoid at ng lateral side.
4. Ang anggulo na nabuo ng dayagonal at ang malaking base ng trapezoid ACME (inscribed angle) ay kalahati ng gitnang anggulo na tumutugma dito: MAE = ½MY.
5. Sa madaling sabi tungkol sa dalawang paraan upang mahanap ang radius ng circumscribed na bilog. Unang Paraan: tingnang mabuti ang iyong guhit - ano ang nakikita mo? Madali mong mapapansin na hinahati ng dayagonal ang trapezoid sa dalawang tatsulok. Ang radius ay matatagpuan sa pamamagitan ng ratio ng gilid ng tatsulok sa sine ng kabaligtaran na anggulo, na pinarami ng dalawa. Halimbawa, R \u003d AE / 2 * sinAME. Katulad nito, ang formula ay maaaring isulat para sa alinman sa mga gilid ng parehong triangles.
6. Paraan ng dalawa: nakita namin ang radius ng circumscribed na bilog sa pamamagitan ng lugar ng tatsulok na nabuo ng dayagonal, gilid at base ng trapezoid: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Mga katangian ng isang trapezoid na nakapaligid sa isang bilog

Maaari mong isulat ang isang bilog sa isang trapezoid kung ang isang kundisyon ay natutugunan. Higit pa tungkol dito sa ibaba. At magkasama ang kumbinasyong ito ng mga numero ay may isang bilang ng mga kagiliw-giliw na katangian.

1. Kung ang isang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid, ang haba ng midline nito ay madaling mahanap sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga haba ng mga gilid at paghahati ng resultang kabuuan sa kalahati: m = (c + d)/2.
2. Para sa isang trapezoid ACME, na nakapaligid sa isang bilog, ang kabuuan ng mga haba ng mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid: AK + ME = KM + AE.
3. Mula sa pag-aari na ito ng mga base ng isang trapezoid, ang kabaligtaran na pahayag ay sumusunod: ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa trapezoid na iyon, ang kabuuan ng mga base nito ay katumbas ng kabuuan ng mga panig.
4. Ang tangent point ng isang bilog na may radius r na nakasulat sa isang trapezoid ay naghahati sa lateral na bahagi sa dalawang segment, tawagin natin silang a at b. Ang radius ng isang bilog ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: r = √ab.
5. At isa pang ari-arian. Upang hindi malito, iguhit ang halimbawang ito sa iyong sarili. Mayroon kaming magandang lumang ACME trapezoid, na nakapaligid sa isang bilog. Ang mga diagonal ay iginuhit sa loob nito, na nagsasalubong sa puntong O. Ang mga tatsulok na AOK at EOM na nabuo ng mga segment ng mga dayagonal at ang mga gilid ay hugis-parihaba.
   Ang mga taas ng mga tatsulok na ito, na ibinaba sa mga hypotenuse (i.e., ang mga gilid ng trapezoid), ay nag-tutugma sa radii ng inscribed na bilog. At ang taas ng trapezoid ay kapareho ng diameter ng inscribed na bilog.

Mga katangian ng isang hugis-parihaba na trapezoid

Ang isang trapezoid ay tinatawag na hugis-parihaba, ang isa sa mga sulok nito ay tama. At ang mga pag-aari nito ay nagmula sa pangyayaring ito.

1. Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay may isa sa mga gilid na patayo sa mga base.
2. Ang taas at gilid ng trapezoid na katabi ng tamang anggulo ay pantay. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang lugar ng isang hugis-parihaba na trapezoid (pangkalahatang formula S = (a + b) * h/2) hindi lamang sa pamamagitan ng taas, kundi pati na rin sa gilid na katabi ng tamang anggulo.
3. Para sa isang hugis-parihaba na trapezoid, ang mga pangkalahatang katangian ng mga trapezoid diagonal na inilarawan sa itaas ay may kaugnayan.

Mga patunay ng ilang katangian ng isang trapezoid

Pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base ng isang isosceles trapezoid:

• Marahil ay nahulaan mo na na dito muli nating kailangan ang ACME trapezoid - gumuhit ng isosceles trapezoid. Gumuhit ng linyang MT mula sa vertex M na kahanay sa gilid ng AK (MT || AK).

Ang nagreresultang quadrilateral na AKMT ay isang paralelogram (AK || MT, KM || AT). Dahil ME = KA = MT, ∆ MTE ay isosceles at MET = MTE.

AK || MT, samakatuwid MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kung saan ang AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Ngayon, batay sa pag-aari ng isang isosceles trapezoid (pagkakapantay-pantay ng mga diagonal), pinatunayan namin iyon Ang trapezium ACME ay isosceles:

• Upang magsimula, gumuhit tayo ng isang tuwid na linya МХ – МХ || KE. Kumuha kami ng parallelogram na KMHE (base - MX || KE at KM || EX).

Ang ∆AMH ay isosceles, dahil ang AM = KE = MX, at MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, samakatuwid MAE = MXE.

Ito ay lumabas na ang mga tatsulok na AKE at EMA ay pantay sa bawat isa, dahil ang AM \u003d KE at AE ay ang karaniwang bahagi ng dalawang tatsulok. At gayundin ang MAE \u003d MXE. Maaari nating tapusin na ang AK = ME, at samakatuwid ay sumusunod na ang trapezoid AKME ay isosceles.

Ulitin ang gawain

Ang mga base ng trapezoid ACME ay 9 cm at 21 cm, ang gilid ng KA, katumbas ng 8 cm, ay bumubuo ng isang anggulo ng 150 0 na may mas maliit na base. Kailangan mong hanapin ang lugar ng trapezoid.

Solusyon: Mula sa vertex K ibinababa namin ang taas hanggang sa mas malaking base ng trapezoid. At simulan natin ang pagtingin sa mga anggulo ng trapezoid.

Ang mga anggulo AEM at KAN ay isang panig. Ibig sabihin, nagdaragdag sila ng hanggang 1800. Samakatuwid, KAN = 30 0 (batay sa pag-aari ng mga anggulo ng trapezoid).

Isaalang-alang ngayon ang hugis-parihaba na ∆ANK (sa tingin ko ang puntong ito ay halata sa mga mambabasa nang walang karagdagang patunay). Mula dito nakita natin ang taas ng trapezoid KH - sa isang tatsulok ito ay isang binti, na nasa tapat ng anggulo ng 30 0. Samakatuwid, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Ang lugar ng trapezoid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Afterword

Kung maingat at maingat mong pinag-aralan ang artikulong ito, hindi masyadong tamad na gumuhit ng mga trapezoid para sa lahat ng mga katangian sa itaas na may isang lapis sa iyong mga kamay at pag-aralan ang mga ito sa pagsasanay, dapat ay pinagkadalubhasaan mo nang mabuti ang materyal.

Siyempre, mayroong maraming impormasyon dito, iba-iba at kung minsan ay nakakalito: hindi napakahirap na malito ang mga katangian ng inilarawan na trapezoid sa mga katangian ng nakasulat. Ngunit ikaw mismo ang nakakita na ang pagkakaiba ay napakalaki.

Ngayon ay mayroon kang isang detalyadong buod ng lahat ng mga pangkalahatang katangian ng isang trapezoid. Pati na rin ang mga partikular na katangian at katangian ng isosceles at rectangular trapezoids. Ito ay napaka-maginhawang gamitin upang maghanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit. Subukan ito at ibahagi ang link sa iyong mga kaibigan!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

1. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng mga base
2. Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng trapezoid at ang mga segment ng mga diagonal hanggang sa punto ng kanilang intersection ay magkatulad.
3. Ang mga tatsulok na nabuo ng mga segment ng mga diagonal ng isang trapezoid, ang mga gilid nito ay nakahiga sa mga gilid ng trapezoid - ay pantay (may parehong lugar)
4. Kung palawakin natin ang mga gilid ng trapezoid patungo sa mas maliit na base, pagkatapos ay mag-intersect sila sa isang punto na may tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base.
5. Ang segment na nagkokonekta sa mga base ng trapezoid, at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, ay hinati sa puntong ito sa isang proporsyon na katumbas ng ratio ng mga haba ng mga base ng trapezoid.
6. Ang isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid at iginuhit sa pamamagitan ng intersection point ng mga diagonal ay nahahati sa puntong ito, at ang haba nito ay 2ab / (a ​​​​+ b), kung saan ang a at b ay ang mga base ng trapezoid

Mga katangian ng isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid

Ikonekta ang mga midpoint ng mga diagonal ng trapezoid ABCD, bilang isang resulta kung saan magkakaroon tayo ng isang segment na LM.
Isang line segment na nagdurugtong sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid namamalagi sa midline ng trapezium.

Ang segment na ito parallel sa mga base ng trapezium.

Ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base nito.

LM = (AD - BC)/2
o
LM = (a-b)/2

Mga katangian ng mga tatsulok na nabuo ng mga diagonal ng isang trapezoid

Ang mga tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng mga base ng trapezoid at ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid - ay pareho.
Magkatulad ang mga Triangles BOC at AOD. Dahil ang mga anggulo ng BOC at AOD ay patayo, sila ay pantay.
Ang mga anggulo ng OCB at OAD ay panloob na crosswise na nakahiga sa parallel na linya AD at BC (ang mga base ng trapezium ay parallel sa isa't isa) at ang secant line AC, samakatuwid, sila ay pantay.
Ang mga anggulo ng OBC at ODA ay pantay para sa parehong dahilan (panloob na cross-lying).

Dahil ang lahat ng tatlong anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng mga katumbas na anggulo ng isa pang tatsulok, ang mga tatsulok na ito ay magkatulad.

Ano ang kasunod nito?

Upang malutas ang mga problema sa geometry, ang pagkakatulad ng mga tatsulok ay ginagamit bilang mga sumusunod. Kung alam natin ang haba ng dalawang katumbas na elemento ng magkatulad na tatsulok, makikita natin ang koepisyent ng pagkakapareho (hinahati natin ang isa sa isa). Mula sa kung saan ang mga haba ng lahat ng iba pang elemento ay nauugnay sa isa't isa sa eksaktong parehong halaga.

Mga katangian ng mga tatsulok na nakahiga sa gilid ng gilid at mga dayagonal ng isang trapezoid

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na nakahiga sa mga gilid ng trapezoid AB at CD. Ito ay mga tatsulok na AOB at COD. Sa kabila ng katotohanan na ang mga sukat ng mga indibidwal na panig ng mga tatsulok na ito ay maaaring ganap na naiiba, ngunit ang mga lugar ng mga tatsulok na nabuo ng mga gilid at ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid ay, ibig sabihin, ang mga tatsulok ay pantay.

Kung ang mga gilid ng trapezoid ay pinalawak patungo sa mas maliit na base, kung gayon ang punto ng intersection ng mga gilid ay magiging tumutugma sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga midpoint ng mga base.

Kaya, ang anumang trapezoid ay maaaring pahabain sa isang tatsulok. kung saan:

• Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng isang trapezoid na may isang karaniwang vertex sa punto ng intersection ng mga pinahabang panig ay magkatulad.
• Ang tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base ng trapezoid ay, sa parehong oras, ang median ng constructed triangle

Mga katangian ng isang segment na nagkokonekta sa mga base ng isang trapezoid

Kung gumuhit ka ng isang segment na ang mga dulo ay namamalagi sa mga base ng trapezoid, na namamalagi sa intersection point ng mga diagonal ng trapezoid (KN), pagkatapos ay ang ratio ng mga constituent segment nito mula sa gilid ng base hanggang sa intersection point ng diagonal (KO / ON) ay magiging katumbas ng ratio ng mga base ng trapezoid(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Ang pag-aari na ito ay sumusunod mula sa pagkakatulad ng mga katumbas na tatsulok (tingnan sa itaas).

Mga katangian ng isang segment na kahanay sa mga base ng isang trapezoid

Kung gumuhit kami ng isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, magkakaroon ito ng mga sumusunod na katangian:

• Preset na distansya (KM) hinahati ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid
• Haba ng gupit, na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid at kahanay sa mga base, ay katumbas ng KM = 2ab/(a + b)

Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid

a, b- mga base ng isang trapezoid

c, d- mga gilid ng trapezoid

d1 d2- mga dayagonal ng isang trapezoid

α β - mga anggulo na may mas malaking base ng trapezoid

Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid sa pamamagitan ng mga base, gilid at anggulo sa base

Ang unang pangkat ng mga formula (1-3) ay sumasalamin sa isa sa mga pangunahing katangian ng mga trapezoid diagonal:

1. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid at dalawang beses ang produkto ng mga base nito. Ang pag-aari na ito ng mga diagonal ng isang trapezoid ay maaaring patunayan bilang isang hiwalay na teorama

2 . Ang formula na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabago ng nakaraang formula. Ang parisukat ng pangalawang dayagonal ay itinapon sa ibabaw ng pantay na tanda, pagkatapos kung saan ang square root ay nakuha mula sa kaliwa at kanang bahagi ng expression.

3 . Ang formula na ito para sa paghahanap ng haba ng dayagonal ng isang trapezoid ay katulad ng nauna, na may pagkakaiba na ang isa pang dayagonal ay naiwan sa kaliwang bahagi ng expression.

Ang susunod na pangkat ng mga formula (4-5) ay magkatulad sa kahulugan at nagpapahayag ng magkatulad na relasyon.

Ang pangkat ng mga formula (6-7) ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang dayagonal ng isang trapezoid kung alam mo ang mas malaking base ng trapezoid, isang gilid at ang anggulo sa base.

Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid sa mga tuntunin ng taas

Tandaan. Sa araling ito, ibinigay ang solusyon ng mga problema sa geometry tungkol sa mga trapezoid. Kung hindi ka nakahanap ng solusyon sa problema sa geometry ng uri na interesado ka - magtanong sa forum.

Gawain.
Ang mga dayagonal ng trapezoid ABCD (AD | | BC) ay nagsalubong sa punto O. Hanapin ang haba ng base BC ng trapezoid kung ang base AD = 24 cm, haba AO = 9 cm, haba OS = 6 cm.

Desisyon.
Ang solusyon ng gawaing ito ay ganap na magkapareho sa mga nakaraang gawain sa mga tuntunin ng ideolohiya.

Ang mga tatsulok AOD at BOC ay magkatulad sa tatlong anggulo - AOD at BOC ay patayo, at ang natitirang mga anggulo ay magkapares na magkapareho, dahil ang mga ito ay nabuo sa pamamagitan ng intersection ng isang linya at dalawang parallel na linya.

Dahil ang mga tatsulok ay magkatulad, ang lahat ng kanilang mga geometric na sukat ay nauugnay sa isa't isa, dahil ang mga geometric na sukat ng mga segment na AO at OC ay kilala sa amin ayon sa kondisyon ng problema. I.e

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / B.C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Sagot: 16 cm

Gawain .
Sa trapezoid ABCD alam na AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Hanapin ang lugar ng trapezoid.

Desisyon .
Upang mahanap ang taas ng isang trapezoid mula sa mga vertices ng mas maliit na base B at C, ibababa namin ang dalawang taas sa mas malaking base. Dahil ang trapezoid ay hindi pantay, tinutukoy namin ang haba AM = a, ang haba KD = b ( hindi dapat malito sa mga simbolo sa formula paghahanap ng lugar ng isang trapezoid). Dahil ang mga base ng trapezoid ay parallel at tinanggal namin ang dalawang taas na patayo sa mas malaking base, kung gayon ang MBCK ay isang parihaba.

ibig sabihin
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Ang mga tatsulok na DBM at ACK ay right-angled, kaya ang kanilang mga tamang anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng taas ng trapezoid. Tukuyin natin ang taas ng trapezoid bilang h. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng Pythagorean theorem

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
at
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Isaalang-alang na a \u003d 16 - b, pagkatapos ay sa unang equation
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Palitan ang halaga ng parisukat ng taas sa pangalawang equation, na nakuha ng Pythagorean Theorem. Nakukuha namin:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Kaya, KD = 12
saan
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Hanapin ang lugar ng isang trapezoid gamit ang taas nito at kalahati ng kabuuan ng mga base
, kung saan a b - ang mga base ng trapezoid, h - ang taas ng trapezoid
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Sagot: ang lugar ng isang trapezoid ay 80 cm2.

Trapeze ay isang may apat na gilid na may dalawang magkatulad na gilid, na siyang mga base, at dalawang hindi magkatulad na panig, na siyang mga gilid.

Mayroon ding mga pangalan tulad ng isosceles o isosceles.

Ito ay isang trapezoid na may tamang mga anggulo sa gilid ng gilid.

Mga elemento ng trapeze

a, b mga base ng isang trapezoid(isang parallel sa b ),

m, n - panig trapeze,

d 1 , d 2 — diagonal trapeze,

h- taas trapezoid (isang segment na nagkokonekta sa mga base at sa parehong oras patayo sa kanila),

MN- gitnang linya(isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid).

Lugar ng trapezium

1. Sa pamamagitan ng kalahati ng kabuuan ng mga base a, b at ang taas h : S = \frac(a + b)(2)\cdot h
2. Sa pamamagitan ng midline MN at taas h : S = MN\cdot h
3. Sa pamamagitan ng mga diagonal d 1 , d 2 at ang anggulo (\sin \varphi ) sa pagitan ng mga ito: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Mga Katangian ng Trapezoid

Median na linya ng trapezoid

gitnang linya kahanay sa mga base, katumbas ng kanilang kalahating kabuuan, at hinahati ang bawat segment na may mga dulo na matatagpuan sa mga tuwid na linya na naglalaman ng mga base (halimbawa, ang taas ng figure) sa kalahati:

MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang trapezoid

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang trapezoid, katabi ng bawat panig, ay katumbas ng 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Mga tatsulok ng pantay na lugar ng isang trapezoid

Pantay ang laki, iyon ay, ang pagkakaroon ng pantay na mga lugar, ay ang mga segment ng mga dayagonal at ang mga tatsulok na AOB at DOC na nabuo ng mga gilid.

Pagkakatulad ng nabuong trapezoid triangles

katulad na mga tatsulok ay AOD at COB, na nabuo sa pamamagitan ng kanilang mga base at diagonal na mga segment.

\tatsulok AOD \sim \tatsulok COB

koepisyent ng pagkakatulad k ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

k = \frac(AD)(BC)

Bukod dito, ang ratio ng mga lugar ng mga tatsulok na ito ay katumbas ng k^(2) .

Ang ratio ng mga haba ng mga segment at base

Ang bawat segment na nagkokonekta sa mga base at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid ay nahahati sa puntong ito na may kaugnayan sa:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Magiging totoo rin ito para sa taas na may mga diagonal mismo.

Sa ganitong anyo bilang isang trapezoid, madalas tayong nagkikita sa buhay. Halimbawa, ang anumang tulay na gawa sa mga kongkretong bloke ay isang pangunahing halimbawa. Ang isang mas visual na opsyon ay maaaring isaalang-alang ang pagpipiloto ng bawat sasakyan at iba pa. Ang mga katangian ng pigura ay kilala sa sinaunang Greece., na inilarawan nang mas detalyado ni Aristotle sa kanyang gawaing siyentipiko na "Mga Simula". At ang kaalaman na binuo libu-libong taon na ang nakalilipas ay may kaugnayan pa rin ngayon. Samakatuwid, makikilala natin sila nang mas detalyado.

Sa pakikipag-ugnayan sa

Pangunahing konsepto

Figure 1. Ang klasikong hugis ng isang trapezoid.

Ang trapezoid ay mahalagang isang quadrilateral, na binubuo ng dalawang segment na magkatulad at dalawang iba pa na hindi magkatulad. Sa pagsasalita tungkol sa figure na ito, palaging kinakailangang tandaan ang mga konsepto tulad ng: mga base, taas at gitnang linya. Dalawang segment ng quadrilateral na tinatawag na base sa isa't isa (segment AD at BC). Ang taas ay tinatawag na segment na patayo sa bawat isa sa mga base (EH), i.e. bumalandra sa isang anggulo ng 90° (tulad ng ipinapakita sa Fig. 1).

Kung isasama namin ang lahat ng mga sukat ng antas ng panloob, kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng trapezoid ay magiging katumbas ng 2π (360 °), tulad ng anumang quadrilateral. Isang segment na ang mga dulo ay ang mga midpoint ng sidewalls (IF) tinatawag na gitnang linya. Ang haba ng segment na ito ay ang kabuuan ng mga base BC at AD na hinati ng 2.

Mayroong tatlong uri ng mga geometric na hugis: tuwid, regular at isosceles. Kung ang hindi bababa sa isang anggulo sa vertices ng base ay tama (halimbawa, kung ABD = 90 °), kung gayon ang naturang quadrilateral ay tinatawag na tamang trapezoid. Kung ang mga bahagi ng gilid ay pantay (AB at CD), kung gayon ito ay tinatawag na isosceles (ayon sa pagkakabanggit, ang mga anggulo sa mga base ay pantay).

Paano mahahanap ang lugar

para sa, upang mahanap ang lugar ng isang quadrilateral ABCD gamitin ang sumusunod na formula:

Larawan 2. Paglutas ng problema sa paghahanap ng lugar

Para sa isang mas nakapagpapakitang halimbawa, lutasin natin ang isang madaling problema. Halimbawa, hayaan ang itaas at mas mababang mga base ay katumbas ng 16 at 44 cm, ayon sa pagkakabanggit, at ang mga gilid ay 17 at 25 cm. Bumuo tayo ng isang patayo na segment mula sa vertex D upang ang DE II BC (tulad ng ipinapakita sa Figure 2). Kaya nakukuha namin iyon

Hayaan ang DF - ay magiging. Mula sa ΔADE (na magiging equilateral), makukuha natin ang sumusunod:

Iyon ay, sa mga simpleng termino, una naming natagpuan ang taas ΔADE, na siyang taas din ng trapezoid. Mula dito kinakalkula namin ang lugar ng quadrilateral ABCD, na may kilalang halaga ng taas na DF, gamit ang kilalang formula.

Kaya, ang gustong lugar ABCD ay 450 cm³. Ibig sabihin, masasabing may katiyakan iyon Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mo lamang ang kabuuan ng mga base at ang haba ng taas.

Mahalaga! Kapag nilutas ang problema, hindi kinakailangang hanapin ang halaga ng mga haba nang hiwalay; posible kung ang iba pang mga parameter ng figure ay inilapat, na, na may naaangkop na patunay, ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga base.

Mga uri ng trapezium

Depende sa kung aling mga gilid ang figure, kung anong mga anggulo ang nabuo sa mga base, mayroong tatlong uri ng quadrilateral: hugis-parihaba, panig at equilateral.

Maraming nalalaman

Mayroong dalawang anyo: talamak at malabo. Ang ABCD ay talamak lamang kung ang mga base na anggulo (AD) ay talamak at ang mga haba ng gilid ay magkaiba. Kung ang halaga ng isang anggulo ay ang bilang na Pi / 2 higit pa (ang sukat ng degree ay higit sa 90 °), pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang mahinang anggulo.

Kung ang mga gilid ay pantay ang haba

Figure 3. View ng isang isosceles trapezoid

Kung ang mga di-parallel na panig ay pantay sa haba, ang ABCD ay tinatawag na isosceles (tama). Bukod dito, para sa naturang quadrilateral, ang sukat ng antas ng mga anggulo sa base ay pareho, ang kanilang anggulo ay palaging magiging mas mababa kaysa sa tama. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang isosceles ay hindi nahahati sa talamak at mahina. Ang isang quadrilateral ng hugis na ito ay may sariling mga partikular na pagkakaiba, na kinabibilangan ng:

1. Ang mga segment na nagkokonekta sa magkabilang vertices ay pantay.
2. Ang mga talamak na anggulo na may mas malaking base ay 45 ° (isang mapaglarawang halimbawa sa Figure 3).
3. Kung idagdag mo ang mga degree ng kabaligtaran na mga anggulo, pagkatapos ay sa kabuuan ay magbibigay sila ng 180 °.
4. Sa paligid ng anumang regular na trapezoid ay maaaring itayo.
5. Kung idaragdag mo ang sukat ng antas ng magkasalungat na mga anggulo, kung gayon ito ay katumbas ng π.

Bukod dito, dahil sa kanilang geometric na pag-aayos ng mga puntos, mayroong pangunahing katangian ng isang isosceles trapezoid:

Angle value sa base 90°

Ang perpendicularity ng lateral side ng base ay isang malawak na katangian ng konsepto ng "rectangular trapezium". Hindi maaaring magkaroon ng dalawang panig na may mga sulok sa base, dahil kung hindi ay magiging parihaba na ito. Sa quadrilaterals ng ganitong uri, ang pangalawang panig ay palaging bubuo ng isang matinding anggulo na may malaking base, at may mas maliit na isa - mahina. Sa kasong ito, ang patayo na bahagi ay magiging taas din.

I-segment sa pagitan ng gitna ng mga sidewall

Kung ikinonekta namin ang mga midpoint ng mga gilid, at ang nagreresultang segment ay kahanay sa mga base, at katumbas ng haba sa kalahati ng kanilang kabuuan, kung gayon ang nabuong tuwid na linya magiging gitnang linya. Ang halaga ng distansya na ito ay kinakalkula ng formula:

Para sa isang mas nakapagpapakita na halimbawa, isaalang-alang ang isang problema gamit ang gitnang linya.

Gawain. Ang median line ng trapezoid ay 7 cm, ito ay kilala na ang isa sa mga gilid ay 4 cm na mas malaki kaysa sa isa (Fig. 4). Hanapin ang mga haba ng mga base.

Figure 4. Paglutas ng problema sa paghahanap ng mga haba ng base

Desisyon. Hayaang ang mas maliit na base ng DC ay katumbas ng x cm, pagkatapos ay ang mas malaking base ay magiging katumbas ng (x + 4) cm, ayon sa pagkakabanggit. Mula dito, gamit ang formula para sa gitnang linya ng trapezoid, nakukuha natin ang:

Lumalabas na ang mas maliit na base ng DC ay 5 cm, at ang mas malaki ay 9 cm.

Mahalaga! Ang konsepto ng median line ay ang susi sa paglutas ng maraming problema sa geometry. Batay sa kahulugan nito, maraming mga patunay para sa iba pang mga figure ang binuo. Gamit ang konsepto sa pagsasanay, posible ang isang mas makatwirang solusyon at paghahanap para sa kinakailangang halaga.

Pagpapasiya ng taas, at kung paano ito mahahanap

Tulad ng nabanggit kanina, ang taas ay isang segment na nagsasalubong sa mga base sa isang anggulo na 2Pi / 4 at ito ang pinakamaikling distansya sa pagitan nila. Bago mahanap ang taas ng trapezoid, ito ay kinakailangan upang matukoy kung anong mga halaga ng input ang ibinigay. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, isaalang-alang ang problema. Hanapin ang taas ng trapezoid, sa kondisyon na ang mga base ay 8 at 28 cm, ang mga gilid ay 12 at 16 cm, ayon sa pagkakabanggit.

Figure 5. Paglutas ng problema sa paghahanap ng taas ng isang trapezoid

Gumuhit tayo ng mga segment na DF at CH sa tamang mga anggulo sa base AD. Ayon sa kahulugan, ang bawat isa sa kanila ay magiging taas ng isang naibigay na trapezoid (Larawan 5). Sa kasong ito, alam ang haba ng bawat sidewall, gamit ang Pythagorean theorem, makikita natin kung ano ang taas sa triangles AFD at BHC.

Ang kabuuan ng mga segment na AF at HB ay katumbas ng pagkakaiba ng mga base, i.e.:

Hayaang ang haba ng AF ay katumbas ng x cm, pagkatapos ay ang haba ng segment na HB = (20 - x) cm. Bilang ito ay itinatag, DF=CH , samakatuwid .

Pagkatapos makuha namin ang sumusunod na equation:

Lumalabas na ang segment na AF sa tatsulok na AFD ay 7.2 cm, mula dito kinakalkula namin ang taas ng trapezoid DF gamit ang parehong Pythagorean theorem:

Yung. ang taas ng ADCB trapezoid ay magiging 9.6 cm. Gaya ng nakikita mo, ang pagkalkula ng taas ay isang mas mekanikal na proseso, at batay sa mga kalkulasyon ng mga gilid at anggulo ng mga tatsulok. Ngunit, sa isang bilang ng mga problema sa geometry, ang mga antas ng mga anggulo lamang ang malalaman, kung saan ang mga kalkulasyon ay gagawin sa pamamagitan ng ratio ng mga gilid ng mga panloob na tatsulok.

Mahalaga! Sa esensya, ang isang trapezoid ay madalas na tinitingnan bilang dalawang tatsulok, o bilang isang kumbinasyon ng isang parihaba at isang tatsulok. Upang malutas ang 90% ng lahat ng mga problema na matatagpuan sa mga aklat-aralin sa paaralan, ang mga katangian at katangian ng mga figure na ito. Karamihan sa mga formula para sa GMT na ito ay hinango na umaasa sa "mekanismo" para sa dalawang uri ng figure na ito.

Paano mabilis na kalkulahin ang haba ng base

Bago mo mahanap ang base ng trapezoid, kailangan mong matukoy kung anong mga parameter ang naibigay na, at kung paano gamitin ang mga ito nang makatwiran. Ang isang praktikal na diskarte ay upang kunin ang haba ng hindi kilalang base mula sa midline formula. Para sa isang mas malinaw na pang-unawa sa larawan, ipapakita namin kung paano ito magagawa gamit ang isang halimbawa ng isang gawain. Ipaalam ito na ang gitnang linya ng trapezoid ay 7 cm, at ang isa sa mga base ay 10 cm. Hanapin ang haba ng pangalawang base.

Solusyon: Ang pag-alam na ang gitnang linya ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base, maaari itong pagtalunan na ang kanilang kabuuan ay 14 cm.

(14cm=7cm×2). Mula sa kondisyon ng problema, alam natin na ang isa ay katumbas ng 10 cm, kaya ang mas maliit na bahagi ng trapezoid ay magiging katumbas ng 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Bukod dito, para sa isang mas kumportableng solusyon ng mga problema ng ganitong uri, inirerekumenda namin na matutunan mong mabuti ang mga naturang formula mula sa trapezoid area bilang:

• gitnang linya;
• parisukat;
• taas;
• diagonal.

Alam ang kakanyahan (tiyak ang kakanyahan) ng mga kalkulasyong ito, madali mong malalaman ang nais na halaga.

Video: trapezium at mga katangian nito

Video: mga tampok ng trapezoid

Konklusyon

Mula sa isinasaalang-alang na mga halimbawa ng mga problema, maaari tayong gumuhit ng isang simpleng konklusyon na ang trapezoid, sa mga tuntunin ng pagkalkula ng mga problema, ay isa sa mga pinakasimpleng figure sa geometry. Upang matagumpay na malutas ang mga problema, una sa lahat, hindi kinakailangang magpasya kung anong impormasyon ang nalalaman tungkol sa bagay na inilarawan, sa kung anong mga formula ang maaari nilang ilapat, at magpasya kung ano ang kailangang matagpuan. Sa pamamagitan ng pagsasagawa ng simpleng algorithm na ito, walang gawain gamit ang geometric figure na ito ay magiging walang hirap.