Kluge Gedanken kommen erst, wenn Dummheiten schon gemacht wurden.

Nur wer absurde Versuche unternimmt, kann das Unmögliche erreichen. Albert Einstein

Gute Freunde, gute Bücher und ein schlafendes Gewissen sind das ideale Leben. Mark Twain

Du kannst nicht in der Zeit zurückgehen und deinen Start ändern, aber du kannst jetzt beginnen und dein Ziel ändern.

Bei näherer Betrachtung wird mir im Allgemeinen klar, dass die Veränderungen, die sich mit der Zeit zu ergeben scheinen, in Wirklichkeit gar keine Veränderungen sind, sondern nur meine Sicht auf die Dinge ändert. (Franz Kafka)

Und obwohl die Versuchung groß ist, zwei Wege gleichzeitig zu gehen, kann man nicht mit demselben Kartenspiel mit Teufel und Gott spielen ...

Schätze diejenigen, mit denen du du selbst sein kannst.
Ohne Masken, Auslassungen und Ambitionen.
Und kümmere dich um sie, sie werden dir vom Schicksal geschickt.
Schließlich gibt es in Ihrem Leben nur wenige davon

Für eine bejahende Antwort reicht nur ein Wort aus - „Ja“. Alle anderen Worte sind erfunden, um nein zu sagen. Don Aminado

Fragen Sie eine Person: "Was ist Glück?" und du wirst herausfinden, was er am meisten vermisst.

Wenn du das Leben verstehen willst, dann hör auf zu glauben, was sie sagen und schreiben, sondern beobachte und fühle. Anton Tschechow

Nichts auf der Welt ist zerstörerischer, unerträglicher als Untätigkeit und Warten.

Verwirklichen Sie Ihre Träume, arbeiten Sie an Ideen. Diejenigen, die Sie zuvor ausgelacht haben, werden anfangen zu beneiden.

Rekorde sind dazu da, um gebrochen zu werden.

Verschwenden Sie keine Zeit, investieren Sie in sie.

Die Geschichte der Menschheit ist die Geschichte einer ziemlich kleinen Anzahl von Menschen, die an sich selbst glaubten.

Bist du an deine Grenzen gegangen? Siehst du den Sinn des Lebens nicht mehr? Sie sind also schon nah ... Nah an der Entscheidung, den Grund zu erreichen, um sich von ihm abzustoßen und sich zu entscheiden, für immer glücklich zu sein ... Also haben Sie keine Angst vor dem Grund - nutzen Sie ihn ....

Wenn Sie ehrlich und offen sind, werden die Leute Sie täuschen; sei trotzdem ehrlich und offen.

Einem Menschen gelingt selten etwas, wenn ihm sein Beruf keine Freude bereitet. Dale Carnegie

Wenn mindestens ein blühender Zweig in deiner Seele verbleibt, wird immer ein singender Vogel darauf sitzen (östliche Weisheit).

Eines der Gesetze des Lebens besagt, dass sobald sich eine Tür schließt, eine andere öffnet. Aber das ganze Problem ist, dass wir auf die verschlossene Tür schauen und nicht auf die geöffnete achten. Andre Gide

Urteile nicht über eine Person, bevor du nicht persönlich mit ihr gesprochen hast, denn alles, was du hörst, ist Hörensagen. Michael Jackson.

Erst ignorieren sie dich, dann lachen sie dich aus, dann bekämpfen sie dich, dann gewinnst du. Mahatma Gandhi

Das menschliche Leben ist in zwei Hälften geteilt: In der ersten Hälfte streben sie nach vorn zur zweiten, in der zweiten zurück zur ersten.

Wenn Sie selbst nichts tun, wie kann Ihnen geholfen werden? Sie können nur ein fahrendes Auto fahren

Alles wird. Nur wenn Sie sich dafür entscheiden.

In dieser Welt kannst du nach allem suchen, außer nach Liebe und Tod ... Sie werden dich finden, wenn die Zeit gekommen ist.

Innere Zufriedenheit trotz der umgebenden Leidenswelt ist ein sehr wertvolles Gut. Sridhar Maharadsch

Beginnen Sie jetzt, das Leben zu leben, das Sie am Ende sehen möchten. Markus Aurel

Wir müssen jeden Tag so leben, als wäre es der letzte Moment. Wir haben keine Probe – wir haben ein Leben. Wir fangen nicht ab Montag an - wir leben heute.

Jeder Moment des Lebens ist eine weitere Chance.

Ein Jahr später werden Sie die Welt mit anderen Augen betrachten, und sogar dieser Baum, der in der Nähe Ihres Hauses wächst, wird Ihnen anders vorkommen.

Glück muss nicht gesucht werden – es muss sein. Osho

Fast jede Erfolgsgeschichte, die ich kenne, begann mit einem Mann, der auf dem Rücken lag und vom Scheitern besiegt wurde. Jim Rohn

Jede lange Reise beginnt mit einem, dem ersten Schritt.

Niemand ist besser als du. Niemand ist klüger als du. Sie haben einfach früh angefangen. Brian Tracy

Wer läuft, fällt. Wer kriecht, fällt nicht. Plinius der Ältere

Es genügt zu verstehen, dass Sie in der Zukunft leben, sobald Sie sich dort befinden.

Ich entscheide mich zu leben, anstatt zu existieren. James Alan Hetfield

Wenn Sie schätzen, was Sie haben, und nicht auf der Suche nach Idealen leben, werden Sie wirklich glücklich.

Nur diejenigen, die schlechter sind als wir, denken schlecht über uns, und diejenigen, die besser sind als wir, sind uns einfach nicht gewachsen. Omar Khayyam

Manchmal trennt uns ein Anruf vom Glück… Ein Gespräch… Ein Geständnis…

Indem man seine Schwäche zugibt, wird man stark. Ehre Balzac

Wer seinen Geist demütigt, ist stärker als der, der Städte erobert.

Wenn sich eine Gelegenheit bietet, müssen Sie sie ergreifen. Und wenn Sie es gepackt haben, haben Sie Erfolg erzielt - genießen Sie es. Spüre die Freude. Und lass alle um dich herum deinen Schlauch lutschen, weil sie Ziegen sind, wenn sie dir nicht einmal einen Cent gegeben haben. Und dann geh weg. Wunderschönen. Und lassen alle unter Schock zurück.

Verzweifle nie. Und wenn Sie bereits verzweifelt sind, dann arbeiten Sie verzweifelt weiter.

Ein entscheidender Schritt nach vorne ist das Ergebnis eines guten Tritts von hinten!

In Russland muss man entweder berühmt oder reich sein, um so behandelt zu werden, wie man in Europa behandelt wird. Konstantin Raikin

Es hängt alles von Ihrer Einstellung ab. (Chuck Norris)

Keine Vernunft kann einem Mann den Weg zeigen, den er Romain Rolland nicht zeigen will

Das, woran du glaubst, wird zu deiner Welt. Richard Matheson

Es ist gut, wo wir nicht sind. Wir sind nicht mehr in der Vergangenheit, und deshalb scheint es schön. Anton Tschechow

Die Reichen werden reicher, weil sie lernen, finanzielle Schwierigkeiten zu überwinden. Sie sehen sie als Gelegenheit, zu lernen, zu wachsen, sich zu entwickeln und zu gedeihen.

Jeder hat seine eigene Hölle – es muss nicht unbedingt Feuer und Teer sein! Unsere Hölle ist ein vergeudetes Leben! Wohin Träume führen

Es spielt keine Rolle, wie hart Sie arbeiten, Hauptsache das Ergebnis.

Nur Mutter hat die liebevollsten Hände, das zärtlichste Lächeln und das liebevollste Herz ...

Gewinner im Leben denken immer im Geiste: Ich kann, ich will, ich. Verlierer hingegen konzentrieren ihre zerstreuten Gedanken darauf, was sie haben könnten, tun könnten oder was sie nicht tun könnten. Mit anderen Worten, Gewinner übernehmen immer die Verantwortung für sich selbst, und Verlierer geben Umständen oder anderen Menschen die Schuld für ihr Versagen. Dennis Waitley.

Das Leben ist ein Berg, der langsam aufsteigt und schnell absteigt. Guy de Maupassant

Die Menschen haben solche Angst, einen Schritt in ein neues Leben zu machen, dass sie bereit sind, ihre Augen vor allem zu verschließen, was ihnen nicht passt. Aber es ist noch beängstigender: eines Tages aufzuwachen und zu erkennen, dass nicht alles richtig, falsch, falsch ist … Bernard Shaw

Freundschaft und Vertrauen kann man nicht kaufen oder verkaufen.

Habe immer, in jeder Minute deines Lebens, auch wenn du absolut glücklich bist, eine Einstellung gegenüber den Menschen um dich herum: - Auf jeden Fall werde ich tun, was ich will, mit oder ohne dich.

Auf der Welt kann nur einer zwischen Einsamkeit und Vulgarität wählen. Arthur Schopenhauer

Man muss die Dinge nur anders betrachten, und das Leben wird in eine andere Richtung fließen.

Das Eisen sagte zum Magneten: Am meisten hasse ich dich, weil du anziehst und nicht genug Kraft hast, dich mitzureißen! Friedrich Nietzsche

Wissen, wie man lebt, auch wenn das Leben unerträglich wird. N. Ostrowski

Das Bild, das Sie in Ihrem Kopf sehen, wird schließlich zu Ihrem Leben.

„In der ersten Hälfte deines Lebens fragst du dich, wozu du fähig bist, aber in der zweiten – und wer braucht das?“

Es ist nie zu spät, sich ein neues Ziel zu setzen oder einen neuen Traum zu finden.

Kontrolliere dein Schicksal oder jemand anderes wird es tun.

Schönheit im Hässlichen sehen
Flüsse in den Bächen sehen…
Wer weiß, wie man an Wochentagen glücklich ist,
er ist wirklich ein Glückspilz! E. Asadov

Der Weise wurde gefragt:

Wie viele Arten von Freundschaft gibt es?

Vier, antwortete er.
Es gibt Freunde, wie Essen – jeden Tag braucht man sie.
Es gibt Freunde, wie Medizin, man sucht sie, wenn man sich schlecht fühlt.
Es gibt Freunde, wie eine Krankheit, sie selbst suchen dich.
Aber es gibt solche Freunde wie Luft - sie sind nicht sichtbar, aber sie sind immer bei dir.

Ich werde der Mensch, der ich sein möchte – wenn ich daran glaube, dass ich einer werde. Gandhi

Öffne dein Herz und höre, wovon es träumt. Folge deinem Traum, denn nur durch den, der sich nicht schämt, wird die Herrlichkeit des Herrn offenbar. Paulo Coelho

Widerlegt zu werden, ist nichts zu befürchten; man sollte sich vor dem anderen fürchten - missverstanden zu werden. Immanuel Kant

Seien Sie realistisch - fordern Sie das Unmögliche! Che Guevara

Verschieben Sie Ihre Pläne nicht, wenn es draußen regnet.
Gib deine Träume nicht auf, wenn die Leute nicht an dich glauben.
Gehen Sie gegen die Natur, Leute. Du bist eine Person. Du bist stark.
Und denken Sie daran - es gibt keine unerreichbaren Ziele - es gibt einen hohen Koeffizienten für Faulheit, einen Mangel an Einfallsreichtum und einen Vorrat an Ausreden.

Entweder du erschaffst die Welt, oder die Welt erschafft dich. Jack Nicholson

Ich liebe es, wenn Menschen einfach lächeln. Sie fahren zum Beispiel in einen Bus und sehen eine Person, die aus dem Fenster schaut oder SMS schreibt und lächelt. Es tut der Seele so gut. Und ich möchte auch lächeln.

Erklärung Aussagesatz, der als wahr oder falsch bezeichnet werden kann. In der Algebra werden einfache Aussagen mit logischen Variablen (A, B, C usw.)

boolesche Variable ist eine einfache Aussage.
Boolesche Variablen werden mit lateinischen Groß- und Kleinbuchstaben (a-z, A-Z) bezeichnet und können nur zwei Werte annehmen - 1, wenn die Aussage wahr ist, oder 0, wenn die Aussage falsch ist.

Spruchbeispiel:

Boolesche Funktion- Dies ist eine komplexe Aussage, die durch logische Operationen an einfachen Aussagen erhalten wird.

Für die Bildung komplexer Anweisungen wird am häufigsten verwendet grundlegende logische Operationen, ausgedrückt durch logische Konnektoren „und“, „oder“, „nicht“.
Zum Beispiel,

Viele Menschen mögen kein nasses Wetter..

Sei A = "Viele Leute mögen nasses Wetter." Wir erhalten eine logische Funktion F(A) = nicht A.

Bündel „NICHT“, „UND“, „ODER“ werden durch logische Operationen ersetzt Umkehrung , Verbindung , Disjunktion . Das grundlegende logische Operationen, die zum Schreiben eines beliebigen logischen Ausdrucks verwendet werden kann.

Boolesche Formel (logischer Ausdruck) - eine Formel, die nur logische Werte und Zeichen logischer Operationen enthält. Das Ergebnis der Auswertung einer logischen Formel ist TRUE (1) oder FALSE (0).

Der Wert einer logischen Funktion hängt von den Werten der darin enthaltenen logischen Variablen ab. Daher kann der Wert einer logischen Funktion über eine spezielle Tabelle ermittelt werden ( Wahrheitstabellen), die alle möglichen Werte der eingegebenen booleschen Variablen und ihre entsprechenden Funktionswerte auflistet.

Grundlegende (grundlegende) logische Operationen:

1. Logische Multiplikation (Konjunktion), von lat. konjunctio - ich verbinde:
Kombinieren von zwei (oder mehreren) Anweisungen zu einer mit der Union AND;
in Programmiersprachen - Und.
Herkömmliche Schreibweise: /\ , , und und.
In der Mengenalgebra entsprechen Konjunktionen der Schnittoperation von Mengen.

Eine Konjunktion ist genau dann wahr, wenn alle darin enthaltenen Aussagen wahr sind.

Beispiel:
Betrachten Sie die zusammengesetzte Aussage „2 2 = 4 und 3 3 = 10“. Schauen wir uns einige einfache Aussagen an:

B \u003d "3 3 \u003d 10" \u003d 0 (weil dies eine falsche Aussage ist)
Daher ist die logische Funktion F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (laut Wahrheitstabelle), dh diese zusammengesetzte Aussage ist falsch.

2. Logische Addition (Disjunktion), von lat. disjunctio - ich unterscheide:
Kombinieren von zwei (oder mehr) Anweisungen zu einer mit der Vereinigung OR;
in Programmiersprachen - Oder.
Notation: \/, +, oder, oder.
In der Mengenalgebra entspricht die Disjunktion der Operation der Vereinigung von Mengen.

Eine Disjunktion ist genau dann falsch, wenn alle darin enthaltenen Aussagen falsch sind.

Beispiel:
Betrachten Sie die zusammengesetzte Aussage „2 2 = 4 oder 2 2 = 5“. Lassen Sie uns einfache Aussagen herausgreifen:
A \u003d "2 2 \u003d 4" \u003d 1 (weil dies eine wahre Aussage ist)
B \u003d "2 2 \u003d 5" \u003d 0 (weil dies eine falsche Aussage ist)
Daher ist die logische Funktion F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (laut Wahrheitstabelle), dh diese zusammengesetzte Aussage ist wahr.

3. Negation (Umkehrung), von lat. InVersion - Ich drehe um:

Entspricht dem Partikel NICHT, die Phrasen sind FALSCH, WAS oder IST NICHT WAHR, WAS;
in Programmiersprachen - Nicht;
Bezeichnung: nicht A, ¬A, nicht
In der Mengenalgebra entspricht die logische Negation der Komplementoperation einer universellen Menge.

Inversi i einer booleschen Variablen ist wahr, wenn die Variable selbst falsch ist, und umgekehrt ist die Umkehrung falsch, wenn die Variable wahr ist.

Beispiel:

A \u003d (zwei mal zwei ist vier) \u003d 1.

¬A= ( Das stimmt nicht zwei mal zwei gleich vier = 0.

Betrachten Sie Aussage A: Der Mond ist der Satellit der Erde“; dann wird ¬A wie folgt formuliert: „ Der Mond ist kein Satellit der Erde“.

Betrachten Sie die Aussage: "Es ist nicht wahr, dass 4 durch 3 teilbar ist." Bezeichne mit A die einfache Aussage "4 ist durch 3 teilbar". Dann hat die logische Form der Negation dieser Aussage die Form ¬A

Priorität der logischen Operationen:

Operationen in einem booleschen Ausdruck werden von links nach rechts ausgeführt, einschließlich Klammern in nächste in Ordnung:
1. Umkehrung;
2. Konjunktion;
3. Disjunktion;
Klammern werden verwendet, um die angegebene Reihenfolge logischer Operationen zu ändern.

Zusammengesetzte logische Ausdrücke Aussagenalgebren genannt werden Formeln.
Der wahre oder falsche Wert einer Formel kann durch die Gesetze der Algebra der Logik bestimmt werden, ohne sich auf die Bedeutung zu beziehen:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 - wahr
F = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 - falsch

Negation, Konjunktion, Disjunktion.

Unsere Argumentation besteht aus Aussagen. Zum Beispiel in der Schlussfolgerung „Einige Vögel fliegen; „Einige fliegende Vögel“ beinhaltet daher zwei unterschiedliche Aussagen.

Eine Aussage ist eine komplexere Formation als ein Name. Wenn wir Anweisungen in einfachere Teile zerlegen, erhalten wir immer den einen oder anderen Namen. Nehmen wir an, die Aussage „Die Sonne ist ein Stern“ enthält die Namen „Sonne“ und „Stern“ als ihre Bestandteile.

Eine Aussage ist ein grammatikalisch korrekter Satz, der zusammen mit der durch ihn ausgedrückten Bedeutung (Inhalt) wahr oder falsch ist.

Der Begriff einer Aussage ist einer der ersten Schlüsselbegriffe der Logik. Als solches lässt es keine präzise Definition zu, die in seinen verschiedenen Abschnitten gleichermaßen anwendbar ist. Es ist klar, dass jede Aussage eine bestimmte Situation beschreibt, etwas darüber behauptet oder verneint und wahr oder falsch ist.

Eine Aussage gilt als wahr, wenn die durch sie gegebene Beschreibung der tatsächlichen Situation entspricht, und als falsch, wenn sie ihr nicht entspricht. „Wahr“ und „falsch“ heißen die Wahrheitswerte des Satzes.

Aus einzelnen Anweisungen können Sie auf unterschiedliche Weise neue Anweisungen erstellen. So können aus den Aussagen „Der Wind weht“ und „Es regnet“ komplexere Aussagen gebildet werden „Der Wind weht und es regnet“, „Entweder der Wind weht oder es regnet“, „Wenn es es regnet, der Wind weht“ etc. Ausdrücke „und“, „entweder, oder“, „wenn, dann“ etc., die zur Bildung komplexer Aussagen dienen, nennt man logische Verknüpfungen.

Eine Anweisung heißt einfach, wenn sie keine anderen Anweisungen als Teile enthält.

Eine Aussage ist komplex, wenn sie mit Hilfe logischer Verknüpfungen aus anderen, einfacheren Aussagen gewonnen wird.

Der Teil der Logik, der die logischen Zusammenhänge von Aussagen beschreibt, die nicht von der Struktur einfacher Aussagen abhängen, wird als allgemeine Deduktionstheorie bezeichnet.

Negation - eine logische Verknüpfung, mit deren Hilfe aus einer gegebenen Aussage eine neue Aussage gewonnen wird, so dass, wenn die ursprüngliche Aussage wahr ist, ihre Negation falsch ist und umgekehrt. Eine negative Aussage besteht aus der ursprünglichen Aussage und einer Verneinung, die normalerweise durch die Worte „nicht“, „es ist nicht wahr, dass“ ausgedrückt wird. Ein negativer Satz ist also ein zusammengesetzter Satz: er enthält einen von ihm verschiedenen Satz als seinen Teil. Beispielsweise ist die Negation der Aussage „10 ist eine gerade Zahl“ die Aussage „10 ist keine gerade Zahl“ (oder: „Es ist nicht wahr, dass 10 eine gerade Zahl ist“).

Wenn wir zwei Aussagen mit Hilfe des Wortes „und“ verbinden, erhalten wir eine komplexe Aussage, die als Konjunktion bezeichnet wird. Auf diese Weise verbundene Anweisungen werden Glieder einer Konjunktion genannt. Werden beispielsweise die Aussagen „Heute ist heiß“ und „Gestern war es kalt“ auf diese Weise kombiniert, erhält man die Konjunktion „Heute ist heiß und gestern war kalt“.

Eine Konjunktion ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen darin wahr sind; wenn mindestens einer ihrer Terme falsch ist, dann ist die ganze Konjunktion falsch.

Die Definition einer Konjunktion sowie die Definitionen anderer logischer Verknüpfungen, die zur Bildung komplexer Aussagen dienen, basiert auf den folgenden zwei Annahmen:

jede Aussage (sowohl einfache als auch komplexe) hat einen und nur einen von zwei Wahrheitswerten: sie ist entweder wahr oder falsch;

Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage hängt nur von den Wahrheitswerten der darin enthaltenen Aussagen und der Art und Weise ab, wie sie logisch miteinander verbunden sind.

Diese Annahmen scheinen einfach. Приняв их, нужно, однако, отбросить идею, что, наряду с истинными и ложными высказываниями, могут существовать также высказывания неопределенные с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, «Через пять лет в это время будет идти дождь с громом» usw.). Auch muss darauf verzichtet werden, dass der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage auch vom „Sinnzusammenhang“ der zu kombinierenden Aussagen abhängt.

In der Umgangssprache werden zwei Aussagen durch die Vereinigung „und“ verbunden, wenn sie inhaltlich oder bedeutungsmäßig verwandt sind. Die Natur dieser Verbindung ist nicht ganz klar, aber es ist klar, dass wir die Konjunktion „Er trug einen Mantel und ich ging zur Universität“ nicht als einen sinnvollen Ausdruck betrachten würden, der wahr oder falsch sein kann. Obwohl die Aussagen „2 ist eine Primzahl“ und „Moskau ist eine Großstadt“ wahr sind, neigen wir nicht dazu, ihre Konjunktion „2 ist eine Primzahl und Moskau ist eine Großstadt“ für wahr zu halten, da sie konstituierend ist Aussagen sind in ihrer Bedeutung nicht verwandt.

Indem sie die Bedeutung der Konjunktion und anderer logischer Konjunktionen vereinfacht und dabei das obskure Konzept der "Bedeutungsverbindung von Aussagen" aufgibt, macht die Logik die Bedeutung dieser Konjunktionen breiter und gleichzeitig klarer.

Indem wir zwei Aussagen mit dem Wort „oder“ verbinden, erhalten wir eine Disjunktion dieser Aussagen. Aussagen, die eine Disjunktion bilden, heißen Glieder der Disjunktion.

Das Wort „oder“ hat in der Umgangssprache zwei verschiedene Bedeutungen. Manchmal bedeutet es „das eine oder das andere oder beides“ und manchmal „das eine oder das andere, aber nicht beides“. Die Aussage „Diese Spielzeit will ich zur Pique Dame oder zu Aida“ lässt die Möglichkeit zu, die Oper zweimal zu besuchen. In der Aussage „Er studiert an der Universität Moskau oder Leningrad“ wird davon ausgegangen, dass die betreffende Person nur an einer dieser Universitäten studiert.

Die erste Bedeutung von „oder“ wird als nicht exklusiv bezeichnet. In diesem Sinne bedeutet die Disjunktion zweier Aussagen nur, dass gem wenigstens eine dieser Aussagen wahr ist, unabhängig davon, ob beide wahr sind oder nicht. Im zweiten, ausschließlichen Sinne genommen, behauptet die Disjunktion zweier Aussagen, dass die eine wahr und die andere falsch ist.

Das Symbol V bezeichnet eine Disjunktion im nicht exklusiven Sinn, für eine Disjunktion im exklusiven Sinn wird das Symbol V verwendet. Tabellen für zwei Arten von Disjunktionen zeigen, dass eine nicht ausschließliche Disjunktion wahr ist, wenn mindestens eine der darin enthaltenen Aussagen wahr ist, und nur dann falsch, wenn beide ihrer Mitglieder falsch sind; Eine exklusive Disjunktion ist wahr, wenn nur einer ihrer Terme wahr ist, und sie ist falsch, wenn beide ihrer Terme wahr oder beide falsch sind.

In Logik und Mathematik wird das Wort „oder“ immer in einem nicht ausschließlichen Sinn verwendet.

Die Zerlegung einer Aussage in einfache, weitere unzerlegbare Teile ergibt zwei Arten von Ausdrücken, die als echte und uneigentliche Symbole bezeichnet werden. Die Besonderheit eigener Symbole besteht darin, dass sie einen gewissen Inhalt haben, sogar für sich genommen. Dazu gehören Namen (die einige Bände bezeichnen), ungelöste (die sich auf einen Bereich von Objekten beziehen), Aussagen (die einige Situationen beschreiben und wahr oder falsch sind). Uneigentliche Symbole haben keinen eigenständigen Inhalt, sondern bilden in Kombination mit einem oder mehreren eigenen Symbolen komplexe Ausdrücke, die bereits eigenständigen Inhalt haben. Zu uneigentlichen Symbolen zählen insbesondere logische Verknüpfungen, die verwendet werden, um aus einfachen Aussagen komplexe Aussagen zu bilden: „… und …“, „… oder …“, „entweder … oder …“, „ wenn..., dann...", "... dann und nur wenn...", "weder... noch...", "nicht... aber...", "... aber nicht ...“, „es ist nicht wahr, dass ...“ usw. Das Wort selbst, sagen wir „oder“, bezeichnet kein Objekt. Aber in Kombination mit zwei eigenen Bezeichnungssymbolen ergibt dieses Wort ein neues Bezeichnungssymbol: aus den beiden Aussagen "Brief erhalten" und "Telegramm gesendet" - eine neue Aussage "Brief erhalten oder Telegramm gesendet".

Die zentrale Aufgabe der Logik ist die Trennung richtiger von falschen Denkschemata und die Systematisierung ersterer. Die logische Korrektheit wird durch die logische Form bestimmt. Um es aufzudecken, muss man von den bedeutungsvollen Teilen des Arguments (eigentliche Symbole) abstrahieren und sich auf nicht-eigentliche Symbole konzentrieren, die diese Form in ihrer reinsten Form darstellen. Daher das Interesse der formalen Logik an Wörtern, die normalerweise keine Aufmerksamkeit erregen, wie "und", "oder", "wenn, dann" usw.

Eine Aussage ist eine komplexere Formation als ein Name. Wenn wir Anweisungen in einfachere Teile zerlegen, erhalten wir immer den einen oder anderen Namen. Nehmen wir an, die Aussage „Die Sonne ist ein Stern“ enthält die Namen „Sonne“ und „Stern“ als ihre Bestandteile.

Sprichwort - ein grammatikalisch korrekter Satz, zusammen mit der durch ihn ausgedrückten Bedeutung (Inhalt), der wahr oder falsch ist.

Das Konzept einer Äußerung ist eines der ersten Schlüsselkonzepte der modernen Logik. Als solches lässt es keine präzise Definition zu, die in seinen verschiedenen Abschnitten gleichermaßen anwendbar ist.

Eine Aussage gilt als wahr, wenn die durch sie gegebene Beschreibung der tatsächlichen Situation entspricht, und als falsch, wenn sie ihr nicht entspricht. „Wahr“ und „falsch“ nennt man „Wahrheitswerte von Sätzen“.

Aus einzelnen Anweisungen können Sie auf unterschiedliche Weise neue Anweisungen erstellen. Beispielsweise können aus den Aussagen „Der Wind weht“ und „Es regnet“ komplexere Aussagen gebildet werden „Der Wind weht und es regnet“, „Entweder der Wind weht oder es regnet“, „Wenn es regnet, dann weht der Wind“ usw.

Die Anweisung wird aufgerufen einfach, wenn es keine anderen Aussagen als seine Teile enthält.

Die Anweisung wird aufgerufen kompliziert wenn es mit Hilfe logischer Verknüpfungen aus anderen einfacheren Aussagen gewonnen wird.

Betrachten wir die wichtigsten Möglichkeiten, komplexe Aussagen zu konstruieren.

negative Aussage besteht aus der ursprünglichen Aussage und Verneinung, die normalerweise durch die Worte "nicht", "es ist nicht wahr, dass" ausgedrückt wird. Ein negativer Satz ist also ein zusammengesetzter Satz: er enthält einen von ihm verschiedenen Satz als seinen Teil. Beispielsweise ist die Negation der Aussage „10 ist eine gerade Zahl“ die Aussage „10 ist keine gerade Zahl“ (oder: „Es ist nicht wahr, dass 10 eine gerade Zahl ist“).

Lassen Sie uns die Aussagen mit Buchstaben bezeichnen A, B, C,... Die volle Bedeutung des Begriffs der Negation einer Aussage ergibt sich aus der Bedingung: wenn die Aussage SONDERN wahr ist, seine Negation ist falsch, und wenn SONDERN falsch, seine Negation ist wahr. Da beispielsweise die Aussage „1 ist eine positive ganze Zahl“ wahr ist, ist ihre Negation „1 ist keine positive ganze Zahl“ falsch, und da „1 ist eine Primzahl“ falsch ist, ist ihre Negation „1 ist keine Primzahl“. " stimmt.

Die Kombination zweier Anweisungen mit dem Wort "und" ergibt eine zusammengesetzte Anweisung namens Verbindung. Auf diese Weise verbundene Aussagen werden "Konjunktionsbedingungen" genannt.

Werden beispielsweise die Aussagen „Heute ist es heiß“ und „Gestern war es kalt“ auf diese Weise kombiniert, erhält man die Konjunktion „Heute ist es heiß und gestern war es kalt“.

Eine Konjunktion ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen darin wahr sind; wenn mindestens einer ihrer Terme falsch ist, dann ist die ganze Konjunktion falsch.

In der Umgangssprache werden zwei Aussagen durch die Vereinigung „und“ verbunden, wenn sie inhaltlich oder bedeutungsmäßig verwandt sind. Die Art dieser Verbindung ist nicht ganz klar, aber es ist klar, dass wir die Konjunktion „Er ging zum Mantel, und ich ging zur Universität“ nicht als einen sinnvollen Ausdruck betrachten würden, der wahr oder falsch sein kann. Obwohl die Aussagen „2 ist eine Primzahl“ und „Moskau ist eine Großstadt“ wahr sind, neigen wir auch nicht dazu, ihre Konjunktion „2 ist eine Primzahl und Moskau ist eine Großstadt“ für wahr zu halten, da die Komponenten dieser Aussagen sind in ihrer Bedeutung nicht verwandt. Indem sie die Bedeutung der Konjunktion und anderer logischer Konnektive vereinfacht und dafür den vagen Begriff der "Bedeutungsverbindung von Aussagen" aufgibt, macht die Logik die Bedeutung dieser Konnektive sowohl breiter als auch spezifischer.

Das Verbinden zweier Sätze mit dem Wort „oder“ ergibt Disjunktion diese Aussagen. Aussagen, die eine Disjunktion bilden, werden "Mitglieder der Disjunktion" genannt.

Das Wort „oder“ hat in der Umgangssprache zwei verschiedene Bedeutungen. Manchmal bedeutet es „das eine oder das andere oder beides“ und manchmal „das eine oder das andere, aber nicht beides“. Beispielsweise ermöglicht die Aussage „Diese Saison möchte ich zur Pique Dame oder zu Aida gehen“ die Möglichkeit, das Ehrenamt zweimal zu besuchen. In der Aussage „Er studiert in Moskau oder an der Jaroslawl-Universität“ wird davon ausgegangen, dass die genannte Person nur an einer dieser Universitäten studiert.

Der erste Sinn von "oder" wird aufgerufen nicht exklusiv. In diesem Sinne bedeutet die Disjunktion zweier Aussagen, dass mindestens eine dieser Aussagen wahr ist, unabhängig davon, ob sie beide wahr sind oder nicht. Aufgenommen im zweiten exklusiv oder im strengen Sinne besagt die Disjunktion zweier Sätze, dass einer der Sätze wahr und der andere falsch ist.

Eine nicht ausschließliche Disjunktion ist wahr, wenn mindestens eine ihrer Aussagen wahr ist, und nur dann falsch, wenn beide ihrer Terme falsch sind.

Eine exklusive Disjunktion ist wahr, wenn nur einer ihrer Terme wahr ist, und sie ist falsch, wenn beide ihrer Terme wahr oder beide falsch sind.

In Logik und Mathematik wird das Wort „oder“ fast immer in einem nicht ausschließlichen Sinne verwendet.

Bedingte Anweisung - eine komplexe Aussage, die normalerweise mit dem Link "wenn ..., dann ..." formuliert wird und dieses eine Ereignis, einen Zustand usw. festlegt. ist in dem einen oder anderen Sinne die Grundlage oder Bedingung für das andere.

Zum Beispiel: „Wenn es Feuer gibt, dann gibt es Rauch“, „Wenn eine Zahl durch 9 teilbar ist, ist sie durch 3 teilbar“ usw.

Eine bedingte Anweisung besteht aus zwei einfacheren Anweisungen. Derjenige, dem das Wort "wenn" vorangestellt ist, wird aufgerufen Stiftung, oder Vorläufer(zurück), die Aussage, die nach dem Wort „that“ kommt, wird aufgerufen Folge, oder folgerichtig(anschließend).

Mit der Behauptung einer Bedingungsaussage meinen wir zunächst, dass es nicht sein kann, dass das Gesagte in seiner Begründung stattfindet, aber das Gesagte in der Konsequenz ausbleibt. Mit anderen Worten, es kann nicht passieren, dass der Vordersatz wahr und der Folgesatz falsch ist.

In Bezug auf eine bedingte Aussage werden normalerweise die Konzepte einer hinreichenden und notwendigen Bedingung definiert: Ein Antezedenz (Basis) ist eine hinreichende Bedingung für eine Konsequenz (Folge), und eine Konsequenz ist eine notwendige Bedingung für eine Antezedenz. Zum Beispiel bedeutet die Wahrheit der Bedingungsaussage „Wenn die Wahl rational ist, dann wird die beste verfügbare Alternative gewählt“, dass Rationalität ein ausreichender Grund für die Wahl der besten verfügbaren Option ist und dass die Wahl einer solchen Option eine notwendige Bedingung dafür ist Rationalität.

Eine typische Funktion einer Bedingungsaussage besteht darin, eine Aussage durch Bezugnahme auf eine andere Aussage zu begründen. Dass Silber beispielsweise elektrisch leitfähig ist, lässt sich damit begründen, dass es sich um ein Metall handelt: „Wenn Silber ein Metall ist, ist es elektrisch leitfähig.“

Der durch die Bedingungsaussage zum Ausdruck gebrachte Zusammenhang zwischen Rechtfertiger und Berechtigtem (Gründe und Folgen) ist schwer pauschal zu charakterisieren und nur manchmal relativ eindeutig zu charakterisieren. Dieser Zusammenhang kann erstens der logische Zusammenhang sein, der zwischen den Prämissen und der Schlussfolgerung des richtigen Schlusses stattfindet („Wenn alle lebenden vielzelligen Lebewesen sterblich sind und die Qualle ein solches Lebewesen ist, dann ist sie sterblich“); zweitens durch das Naturgesetz („Wenn der Körper Reibung ausgesetzt wird, beginnt er sich zu erwärmen“); drittens durch Kausalität („Wenn sich der Mond bei Neumond am Knoten seiner Umlaufbahn befindet, tritt eine Sonnenfinsternis auf“); viertens soziale Regelmäßigkeit, Regel, Tradition usw. („Ändert sich die Gesellschaft, ändert sich auch der Mensch“, „Wenn die Beratung sinnvoll ist, muss sie durchgeführt werden“).

Der durch die Bedingungsaussage ausgedrückte Zusammenhang ist meist mit der Überzeugung verbunden, dass die Folge notwendigerweise aus dem Grund „folgt“ und dass es ein allgemeines Gesetz gibt, das wir formulieren konnten, um die Folge logisch aus dem Grund abzuleiten.

Zum Beispiel impliziert die Bedingungsaussage „Wenn Wismut ein Metall ist plastisch“ sozusagen das allgemeine Gesetz „Hier sind Metalle plastisch“, was die Konsequenz dieser Aussage zu einer logischen Konsequenz ihres Vorgängers macht.

Sowohl in der Umgangssprache als auch in der Wissenschaftssprache kann eine Bedingungsaussage neben der Begründungsfunktion auch eine Reihe weiterer Aufgaben erfüllen: eine Bedingung zu formulieren, die sich nicht auf ein implizites allgemeines Gesetz oder eine Regel bezieht („If Ich will, ich werde meinen Mantel zerschneiden“); beliebige Reihenfolge festlegen („Wenn der letzte Sommer trocken war, dann ist es dieses Jahr regnerisch“); Unglauben in einer eigentümlichen Form auszudrücken („Wenn Sie dieses Problem lösen, werde ich Fermats letzten Satz beweisen“); Opposition („Wächst Holunder im Garten, dann lebt ein Onkel in Kiew“) usw. Die Vielfalt und Heterogenität der Funktionen einer Bedingungsanweisung erschwert ihre Analyse erheblich.

Die Verwendung einer bedingten Anweisung ist mit bestimmten psychologischen Faktoren verbunden. Daher formulieren wir eine solche Aussage normalerweise nur, wenn wir nicht mit Sicherheit wissen, ob ihr Vor- und Nachsatz wahr sind oder nicht. Ansonsten wirkt seine Verwendung unnatürlich („Wenn Watte ein Metall ist, ist sie ein elektrischer Leiter“).

Der Bedingungssatz findet eine sehr breite Anwendung in allen Bereichen des Argumentierens. In der Logik wird es normalerweise dargestellt durch implizite Aussage, oder Auswirkungen. Gleichzeitig klärt, systematisiert und vereinfacht die Logik die Verwendung von „wenn ..., dann ...“, befreit sie vom Einfluss psychologischer Faktoren.

Die Logik wird insbesondere davon abstrahiert, dass je nach Kontext der für eine Bedingungsaussage charakteristische Zusammenhang zwischen Grund und Konsequenz nicht nur mit Hilfe von „wenn ..., dann ...“, sondern auch andere sprachliche Mittel. Zum Beispiel „Da Wasser eine Flüssigkeit ist, überträgt es Druck gleichmäßig in alle Richtungen“, „Plastilin ist zwar kein Metall, aber Plastik“, „Wenn ein Baum ein Metall wäre, wäre er elektrisch leitend“ usw. Diese und ähnliche Aussagen werden in der Sprache der Logik durch Implikationen dargestellt, obwohl die Verwendung von „wenn ... dann ...“ darin nicht ganz selbstverständlich wäre.

Indem wir die Implikation behaupten, behaupten wir, dass es nicht passieren kann, dass ihre Begründung stattfindet und ihre Folge nicht existiert. Mit anderen Worten, eine Implikation ist nur dann falsch, wenn der Grund wahr und die Konsequenz falsch ist.

Diese Definition geht wie die vorherigen Definitionen von Konnektoren davon aus, dass jeder Satz entweder wahr oder falsch ist und dass der Wahrheitswert eines zusammengesetzten Satzes nur von den Wahrheitswerten seiner Teilsätze und der Art und Weise abhängt, wie sie verbunden sind.

Eine Implikation ist wahr, wenn sowohl ihr Grund als auch ihre Konsequenz wahr oder falsch sind; es ist wahr, wenn sein Grund falsch und seine Konsequenz wahr ist. Nur im vierten Fall, wenn der Grund wahr und die Konsequenz falsch ist, ist die Implikation falsch.

Die Implikation bedeutet nicht, dass Aussagen SONDERN und BEIM irgendwie inhaltlich miteinander verwandt. Im Falle der Wahrheit BEIM zu sagen „wenn SONDERN, dann BEIM" wahr, egal ob SONDERN wahr oder falsch, und es ist in der Bedeutung mit verbunden BEIM oder nicht.

Beispielsweise gelten folgende Aussagen als wahr: „Wenn es Leben auf der Sonne gibt, dann ist zweimal zwei gleich vier“, „Wenn die Wolga ein See ist, dann ist Tokio ein großes Dorf“ usw. Die Bedingung gilt auch when SONDERN falsch, und doch gleichgültig, wahr BEIM oder nicht, und es ist inhaltlich verwandt mit SONDERN oder nicht. Folgende Aussagen sind wahr: „Wenn die Sonne ein Würfel ist, dann ist die Erde ein Dreieck“, „Wenn zweimal zwei gleich fünf ist, dann ist Tokio eine kleine Stadt“ usw.

In der gewöhnlichen Argumentation werden all diese Aussagen wahrscheinlich nicht als sinnvoll und noch weniger als wahr angesehen.

Obwohl die Implikation für viele Zwecke nützlich ist, passt sie nicht ganz zum üblichen Verständnis der bedingten Assoziation. Die Implikation deckt viele wichtige Merkmale des logischen Verhaltens der Bedingungsanweisung ab, ist aber gleichzeitig keine hinreichend adäquate Beschreibung davon.

Im letzten halben Jahrhundert wurden energische Versuche unternommen, die Implikationstheorie zu reformieren. Dabei ging es nicht darum, den beschriebenen Begriff der Implikation aufzugeben, sondern mit ihm einen weiteren Begriff einzuführen, der nicht nur die Wahrheitswerte von Aussagen, sondern auch deren inhaltlichen Zusammenhang berücksichtigt.

Eng verwandt mit der Implikation Gleichwertigkeit, manchmal als "doppelte Implikation" bezeichnet.

Äquivalenz ist eine komplexe Aussage „L genau dann, wenn B“, die aus den Aussagen von Lee V gebildet und in zwei Implikationen zerlegt wird: „if SONDERN, dann B“ und „wenn B, dann SONDERN". Zum Beispiel: "Ein Dreieck ist genau dann gleichseitig, wenn es gleichwinklig ist." Der Begriff "Äquivalenz" bezeichnet auch die Verknüpfung "..., wenn und nur wenn ...", mit deren Hilfe diese komplexe Aussage aus zwei Aussagen gebildet wird. Anstelle von „wenn und nur wenn“, „wenn und nur wenn“, „wenn und nur wenn“ usw. kann für diesen Zweck verwendet werden.

Wenn logische Verknüpfungen in Bezug auf wahr und falsch definiert sind, ist eine Äquivalenz genau dann wahr, wenn beide ihrer konstituierenden Aussagen denselben Wahrheitswert haben, d.h. wenn beide wahr oder beide falsch sind. Dementsprechend ist eine Äquivalenz falsch, wenn eine ihrer Aussagen wahr und die andere falsch ist.

Einfache und komplexe Sätze. Ablehnung einer Aussage

Die mathematische Logik, deren Grundlagen bereits im 17. Jahrhundert von G. Leibniz gelegt wurden, wurde erst Mitte des 19. Jahrhunderts dank der Arbeit der Mathematiker J. Boole und O. Morgan, die die erstellten, als wissenschaftliche Disziplin gebildet Algebra der Logik.

1. Eine Äußerung ist jeder Aussagesatz, von dem bekannt ist, dass er entweder wahr oder falsch ist. Aussagen können mit Worten, mathematischen, chemischen und anderen Zeichen ausgedrückt werden. Hier sind einige Beispiele:

b) 2+6>8 (falsche Aussage),

c) die Summe der Zahlen 2 und 6 ist größer als die Zahl 8 (falsche Aussage);

d) II + VI > VII (wahre Aussage);

e) innerhalb unserer Galaxie gibt es außerirdische Zivilisationen (diese Aussage ist zweifellos entweder wahr oder falsch, aber es ist noch nicht bekannt, welche dieser Möglichkeiten wahr ist).

Es ist klar, dass die Aussagen b) und c) dasselbe bedeuten, aber sie werden unterschiedlich ausgedrückt. Im Allgemeinen schreiben wir Aussagen wie diese: a: (Der Mond ist ein Satellit der Erde); b:(es gibt eine reelle Zahl x, so dass 2x+5=15); c: (alle Dreiecke sind gleichschenklig).

Nicht jeder Satz ist eine Aussage. Ausrufe- und Fragesätze sind beispielsweise keine Aussagen („Welche Farbe hat dieses Haus?“, „Trinktomatensaft!“, „Halt!“ usw.). Ebensowenig Aussagen und Definitionen wie zum Beispiel „Nennen wir den Median die Strecke, die die Spitze des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.“ Hier wird nur der Name eines Objekts festgelegt. Damit Definitionen aber wahr oder falsch sein können, erfassen sie nur die akzeptierte Verwendung der Begriffe. Die Sätze "Er hat graue Augen" oder "x 2 - 4x + 3 \u003d 0" sind keine Aussagen - sie geben nicht an, von welcher Art von Person sie sprechen oder bei welchem ​​​​x sie Gleichheit betrachten. Solche Sätze mit unbekanntem Element (Variable) werden aufgerufen unbestimmte Aussagen. Beachten Sie, dass der Satz „Manche Leute haben graue Augen“ oder „Für alle x die Gleichheit x 2 – 4x + 3 = 0“ bereits eine Aussage ist (der erste davon ist wahr, der zweite falsch).

2. Eine Aussage, die in Teile zerlegt werden kann, wird komplex genannt, und eine Aussage, die nicht weiter zerlegt werden kann, wird einfach genannt. Beispielsweise besteht die Aussage „Heute um 16 Uhr war ich in der Schule und um 18 Uhr war ich auf der Eisbahn“ aus zwei Teilen „Heute um 16 Uhr war ich in der Schule“ und „Heute um 18 Uhr war ich auf der Eisbahn Eisbahn ". Oder diese Aussage: "Die Funktion y \u003d ax 2 + bx + c ist stetig und für alle Werte differenzierbar X" besteht aus zwei einfachen Aussagen: „Die Funktion y = ax 2 + bx + c ist für alle Werte von x stetig“ und „die Funktion y = ax 2 + bx + c ist für alle Werte von x differenzierbar“.

So wie andere Zahlen aus gegebenen Zahlen durch die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gewonnen werden können, so werden neue Aussagen aus gegebenen Aussagen durch Operationen mit speziellen Namen gewonnen: Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz, Negation. Auch wenn diese Namen ungewöhnlich klingen, meinen sie lediglich die bekannte Verbindung einzelner Sätze mit den Konnektiven „und“, „oder“, „wenn … dann …“, „wenn und nur wenn …“. als Ergänzung der Partikel „not“ zur Aussage,

3. Die Negation eines Satzes a ist ein solcher Satz a, dass a falsch ist, wenn a wahr ist, und a wahr ist, wenn a falsch ist. Die Bezeichnung a wird so gelesen: „Not a“ oder „Es ist nicht wahr, dass a“. Versuchen wir, diese Definition anhand von Beispielen zu verstehen. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

a: (Heute um 12 Uhr war ich auf der Eisbahn);

b: (Heute war ich nicht um 12 Uhr auf der Eisbahn);

c: (Ich war um 12 Uhr auf der Eisbahn, heute nicht);

d:(Heute um 12 Uhr war ich in der Schule);

e: (Heute war ich um 15 Uhr auf der Eisbahn);

f:(Heute um 12 Uhr war ich nicht auf der Eisbahn);

Auf den ersten Blick verneinen alle Sätze b - f Satz a. Aber eigentlich ist es das nicht. Wenn Sie die Bedeutung von Aussage b sorgfältig lesen, werden Sie feststellen, dass sich beide Aussagen a und b gleichzeitig als falsch herausstellen können - das wäre der Fall, wenn ich heute überhaupt nicht auf der Eisbahn gewesen wäre. Dasselbe gilt für die Aussagen a und c, a und a. Und die Aussagen a und e können sowohl wahr sein (wenn ich zum Beispiel von 11 bis 4 Uhr nachmittags Schlittschuh gelaufen bin) als auch falsch (wenn ich heute überhaupt nicht auf der Eisbahn war ). Und nur der Satz f hat die folgende Eigenschaft: er ist wahr, wenn der Satz a falsch ist, und falsch, wenn der Satz a wahr ist. Daher ist die Aussage f die Negation der Aussage a, also f = a. Die folgende Tabelle zeigt die Beziehung zwischen den Anweisungen a und ;

Die Buchstaben „i“ und „l“ sind Abkürzungen für die Wörter „true“ bzw. „false“. Diese Wörter in der Logik werden Wahrheitswerte genannt. Die Tabelle wird als Wahrheitstabelle bezeichnet.