Betrachten Sie ein krummliniges Trapez, das durch die Ox-Achse begrenzt ist, eine Kurve y \u003d f (x) und zwei gerade Linien: x \u003d a und x \u003d b (Abb. 85). Nehmen Sie einen beliebigen Wert von x (nur nicht a und nicht b). Geben wir ihm ein Inkrement h = dx und betrachten wir einen Streifen, der durch die geraden Linien AB und CD, durch die Ox-Achse und durch einen Bogen BD begrenzt wird, der zu der betrachteten Kurve gehört. Dieser Streifen wird Elementarstreifen genannt. Die Fläche eines Elementarstreifens unterscheidet sich von der Fläche des Rechtecks ​​ACQB durch ein krummliniges Dreieck BQD, und die Fläche des letzteren ist kleiner als die Fläche des Rechtecks ​​BQDM mit den Seiten BQ = =h= dx) QD=Ay und Fläche gleich hAy = Ay dx. Wenn die Seite h abnimmt, nimmt auch die Seite Du ab und geht gleichzeitig mit h gegen Null. Daher ist die Fläche von BQDM unendlich klein zweiter Ordnung. Die Fläche des Elementarstreifens ist das Flächeninkrement, und die Fläche des Rechtecks ​​ACQB, gleich AB-AC==/(x) dx> ist das Flächendifferential. Daher finden wir die Fläche selbst, indem wir ihr Differential integrieren. Innerhalb der Grenzen der betrachteten Figur ändert sich die unabhängige Variable l: von a nach b, sodass die erforderliche Fläche 5 gleich 5= \f (x) dx ist. (I) Beispiel 1. Berechnen Sie die Fläche, die durch die Parabel y - 1 -x *, die geraden Linien X \u003d - Fj-, x \u003d 1 und die Achse O * begrenzt ist (Abb. 86). bei Abb. 87. Abb. 86. 1 Hier ist f(x) = 1 - l?, die Integrationsgrenzen a = - und t = 1, also 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Beispiel 2. Berechne die von der Sinuskurve begrenzte Fläche y = sinXy, die Ox-Achse und die Gerade (Abb. 87). Durch Anwendung der Formel (I) erhalten wir L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf mit der Ox-Achse (zB zwischen dem Ursprung und dem Punkt mit der Abszisse i). Beachten Sie, dass aus geometrischen Überlegungen klar ist, dass diese Fläche doppelt so groß ist wie die Fläche des vorherigen Beispiels. Machen wir jedoch die Berechnungen: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Tatsächlich erwies sich unsere Annahme als fair. Beispiel 4. Berechnen Sie die Fläche, die durch die Sinuskurve und die ^-Achse Ox auf einer Periode begrenzt wird (Abb. 88). Vorläufige Ras-Zahl-Beurteilungen deuten darauf hin, dass sich die Fläche als viermal größer herausstellen wird als in Pr. 2. Nach den Berechnungen erhalten wir jedoch „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Dieses Ergebnis muss geklärt werden. Um das Wesentliche zu verdeutlichen, berechnen wir auch die Fläche, die von derselben Sinuskurve y \u003d sin l begrenzt wird: und die Ox-Achse, die von l bis 2n reicht. Wenden wir Formel (I) an, erhalten wir Wir sehen also, dass sich dieser Bereich als negativ herausgestellt hat. Beim Vergleich mit der in Bsp. 3 berechneten Fläche stellen wir fest, dass ihre absoluten Werte gleich sind, aber die Vorzeichen unterschiedlich sind. Wenden wir Eigenschaft V an (siehe Kap. XI, § 4), so erhalten wir zufällig. Immer die Fläche unterhalb der x-Achse, sofern sich die unabhängige Variable von links nach rechts ändert, erhält man durch Berechnung mit negativen Integralen. In diesem Kurs werden wir immer nicht signierte Bereiche betrachten. Daher lautet die Antwort in dem gerade analysierten Beispiel wie folgt: Die erforderliche Fläche ist gleich 2 + |-2| = 4. Beispiel 5. Berechnen wir die Fläche des BAB in Abb. 89. Dieser Bereich wird durch die Achse Ox, die Parabel y = - xr und die Gerade y - = -x + \ begrenzt. Fläche eines krummlinigen Trapezes Die gesuchte Fläche OAB besteht aus zwei Teilen: OAM und MAB. Da Punkt A der Schnittpunkt der Parabel und der Geraden ist, finden wir seine Koordinaten durch Lösen des Gleichungssystems 3 2 Y \u003d mx. (Wir müssen nur die Abszisse von Punkt A finden). Beim Lösen des Systems finden wir l; =~. Daher muss die Fläche in Teilen berechnet werden, zuerst pl. OAM, und dann pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x (Basis eines krummlinigen Trapezes) in n gleiche Teile; diese Aufteilung ist mit Hilfe der Punkte x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 machbar. Lassen Sie uns Linien durch diese Punkte parallel zur y-Achse ziehen. Dann wird das gegebene krummlinige Trapez in n Teile, in n schmale Spalten unterteilt. Die Fläche des gesamten Trapezes ist gleich der Summe der Flächen der Säulen.

Betrachten Sie separat die k-te Spalte, d.h. krummliniges Trapez, dessen Basis ein Segment ist. Ersetzen wir es durch ein Rechteck mit derselben Basis und Höhe gleich f(x k) (siehe Abbildung). Die Fläche des Rechtecks ​​ist \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), wobei \(\Delta x_k \) die Länge des Segments ist; Es ist natürlich, das zusammengestellte Produkt als ungefähren Wert der Fläche der k-ten Spalte zu betrachten.

Wenn wir nun dasselbe mit allen anderen Säulen machen, dann kommen wir zu folgendem Ergebnis: Die Fläche S eines gegebenen krummlinigen Trapezes ist ungefähr gleich der Fläche S n einer Stufenfigur aus n Rechtecken (siehe Abbildung):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Hier gehen wir aus Gründen der Einheitlichkeit der Notation davon aus, dass a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - Segmentlänge , \(\Delta x_1 \) - Segmentlänge usw.; während, wie oben vereinbart, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Also \(S \approx S_n \), und diese ungefähre Gleichheit ist umso genauer, je größer n ist.
Per Definition wird angenommen, dass die gewünschte Fläche des krummlinigen Trapezes gleich der Grenze der Folge (S n) ist:
$$ S = \lim_(n \bis \infty) S_n $$

Aufgabe 2(über das Verschieben eines Punktes)
Ein materieller Punkt bewegt sich auf einer geraden Linie. Die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit wird durch die Formel v = v(t) ausgedrückt. Finden Sie die Verschiebung eines Punktes über das Zeitintervall [a; b].
Entscheidung. Wäre die Bewegung gleichförmig, dann wäre das Problem ganz einfach gelöst: s = vt, d.h. s = v(b-a). Für ungleichmäßige Bewegungen muss man die gleichen Ideen verwenden, auf denen die Lösung des vorherigen Problems basierte.
1) Teilen Sie das Zeitintervall [a; b] in n gleiche Teile.
2) Betrachten Sie ein Zeitintervall und nehmen Sie an, dass während dieses Zeitintervalls die Geschwindigkeit konstant war, wie zum Beispiel zum Zeitpunkt t k . Wir nehmen also an, dass v = v(t k).
3) Finden Sie den Näherungswert der Punktverschiebung über das Zeitintervall , dieser Näherungswert wird mit sk bezeichnet
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Finden Sie den ungefähren Wert der Verschiebung s:
\(s \approx S_n \) wobei
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Updelta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Updelta t_(n-1) \)
5) Die erforderliche Verschiebung ist gleich der Grenze der Folge (S n):
$$ s = \lim_(n \bis \infty) S_n $$

Fassen wir zusammen. Die Lösungen verschiedener Probleme wurden auf dasselbe mathematische Modell reduziert. Viele Probleme aus verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik führen im Lösungsprozess zum gleichen Modell. Daher sollte dieses mathematische Modell speziell untersucht werden.

Der Begriff eines bestimmten Integrals

Lassen Sie uns eine mathematische Beschreibung des Modells geben, das in den drei betrachteten Problemen für die stetige (aber nicht notwendigerweise nicht-negative, wie in den betrachteten Problemen angenommene) Funktion y = f(x) auf der Strecke [ a; b]:
1) Splitte das Segment [a; b] in n gleiche Teile;
2) Summe $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) berechne $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Im Laufe der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass diese Grenze im Fall einer stetigen (oder stückweise stetigen) Funktion existiert. Sein Name ist ein bestimmtes Integral der Funktion y = f(x) über die Strecke [a; b] und werden so bezeichnet:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Die Zahlen a und b heißen Integrationsgrenzen (untere bzw. obere).

Kehren wir zu den oben besprochenen Aufgaben zurück. Die in Aufgabe 1 gegebene Flächendefinition kann nun wie folgt umgeschrieben werden:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
hier ist S die Fläche des in der obigen Abbildung gezeigten krummlinigen Trapezes. Das ist was geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals.

Die in Aufgabe 2 gegebene Definition der Verschiebung s eines Punktes, der sich geradlinig mit der Geschwindigkeit v = v(t) über das Zeitintervall von t = a bis t = b bewegt, lässt sich wie folgt umschreiben:

Newton - Leibniz-Formel

Lassen Sie uns zunächst die Frage beantworten: Welche Beziehung besteht zwischen einem bestimmten Integral und einer Stammfunktion?

Die Antwort findet sich in Aufgabe 2. Zum einen wird die Verschiebung s eines Punktes, der sich entlang einer Geraden mit der Geschwindigkeit v = v(t) über ein Zeitintervall von t = a bis t = b bewegt und berechnet durch die Formel
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Andererseits ist die Koordinate des sich bewegenden Punktes die Stammfunktion für die Geschwindigkeit – nennen wir sie s(t); daher wird die Verschiebung s durch die Formel s = s(b) - s(a) ausgedrückt. Als Ergebnis erhalten wir:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
wobei s(t) die Stammfunktion für v(t) ist.

Der folgende Satz wurde im Laufe der mathematischen Analyse bewiesen.
Satz. Ist die Funktion y = f(x) auf der Strecke [a; b], dann die Formel
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
wobei F(x) die Stammfunktion für f(x) ist.

Diese Formel wird normalerweise aufgerufen Newton-Leibniz-Formel zu Ehren des englischen Physikers Isaac Newton (1643-1727) und des deutschen Philosophen Gottfried Leibniz (1646-1716), die es unabhängig voneinander und nahezu gleichzeitig erhielten.

In der Praxis verwenden sie, anstatt F(b) - F(a) zu schreiben, die Notation \(\left. F(x)\right|_a^b \) (manchmal auch genannt doppelte Substitution) und dementsprechend die Newton-Leibniz-Formel in dieser Form umschreiben:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Berechnen Sie ein bestimmtes Integral, finden Sie zuerst die Stammfunktion und führen Sie dann eine doppelte Substitution durch.

Basierend auf der Newton-Leibniz-Formel kann man zwei Eigenschaften eines bestimmten Integrals erhalten.

Eigentum 1. Das Integral der Summe der Funktionen ist gleich der Summe der Integrale:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Eigenschaft 2. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen herausgenommen werden:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Berechnung der Flächeninhalte ebener Figuren mit einem bestimmten Integral

Mit dem Integral können Sie die Fläche nicht nur von krummlinigen Trapezen berechnen, sondern auch von ebenen Figuren komplexerer Art, wie der in der Abbildung gezeigten. Die Figur P wird durch Geraden x = a, x = b und Graphen stetiger Funktionen y = f(x), y = g(x) begrenzt und auf der Strecke [a; b] gilt die Ungleichung \(g(x)\leq f(x)\). Um die Fläche S einer solchen Figur zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Also, die Fläche S der Figur, begrenzt durch die geraden Linien x = a, x = b und die Graphen der Funktionen y = f(x), y = g(x), stetig auf dem Segment und so, dass für jedes x von das Segment [a; b] die Ungleichung \(g(x) \leq f(x) \) erfüllt ist, wird durch die Formel berechnet
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabelle der unbestimmten Integrale (Stammfunktionen) einiger Funktionen

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

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Stichworte: integrales, krummliniges Trapez, von Lilien begrenzter Figurenbereich

Ausrüstung: Whiteboard, Computer, Multimedia-Projektor

Unterrichtstyp: Lektion-Vortrag

Unterrichtsziele:

• lehrreich: eine Kultur der mentalen Arbeit zu bilden, eine Erfolgssituation für jeden Schüler zu schaffen, eine positive Lernmotivation zu bilden; die Fähigkeit entwickeln, anderen zuzuhören und zu sprechen.
• Entwicklung: die Bildung der Denkunabhängigkeit des Schülers bei der Anwendung von Wissen in verschiedenen Situationen, die Fähigkeit zu analysieren und Schlussfolgerungen zu ziehen, die Entwicklung der Logik, die Entwicklung der Fähigkeit, Fragen richtig zu stellen und Antworten darauf zu finden. Verbesserung der Bildung von Rechen- und Rechenfähigkeiten, Entwicklung des Denkens der Schüler im Zuge der Durchführung der vorgeschlagenen Aufgaben, Entwicklung einer algorithmischen Kultur.
• lehrreich: Konzepte über ein krummliniges Trapez, über ein Integral bilden, die Fähigkeiten zur Berechnung der Flächen von flachen Figuren beherrschen

Lehrmethode: erklärend und veranschaulichend.

Während des Unterrichts

In den vorherigen Klassen haben wir gelernt, die Flächen von Figuren zu berechnen, deren Begrenzungen durch gestrichelte Linien dargestellt sind. In der Mathematik gibt es Methoden, mit denen Sie die Fläche von durch Kurven begrenzten Figuren berechnen können. Solche Figuren werden krummlinige Trapeze genannt, und ihre Fläche wird unter Verwendung von Stammfunktionen berechnet.

Krummliniges Trapez ( Folie 1)

Ein krummliniges Trapez ist eine Figur, die durch den Funktionsgraphen ( wm), gerade x = a und x = b und Abszisse

Verschiedene Arten von krummlinigen Trapezen ( Folie 2)

Wir betrachten verschiedene Arten von krummlinigen Trapezen und stellen fest: Eine der Linien ist zu einem Punkt entartet, die Rolle der Begrenzungsfunktion spielt die Linie

Fläche eines krummlinigen Trapezes (Folie 3)

Fixieren Sie das linke Ende des Intervalls a, und rechts X wir werden uns ändern, d. h. wir verschieben die rechte Wand des krummlinigen Trapezes und erhalten eine sich ändernde Figur. Die vom Funktionsgraphen begrenzte Fläche eines variablen krummlinigen Trapezes ist die Stammfunktion F für Funktion f

Und auf dem Segment [ a; b] die Fläche des von der Funktion gebildeten krummlinigen Trapezes f, ist gleich dem Inkrement der Stammfunktion dieser Funktion:

Übung 1:

Finden Sie die Fläche eines krummlinigen Trapezes, das durch den Graphen einer Funktion begrenzt ist: f(x) = x2 und direkt y=0, x=1, x=2.

Entscheidung: ( nach dem Algorithmus von Folie 3)

Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion und der Linien

Finden Sie eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) = x2 :

Dia-Selbsttest

Integral

Betrachten Sie ein krummliniges Trapez, das durch die Funktion gegeben ist f auf dem Segment [ a; b]. Lassen Sie uns dieses Segment in mehrere Teile aufteilen. Die Fläche des gesamten Trapezes wird in die Summe der Flächen kleinerer krummliniger Trapeze unterteilt. ( Folie 5). Jedes solche Trapezoid kann näherungsweise als Rechteck betrachtet werden. Die Summe der Flächen dieser Rechtecke gibt eine ungefähre Vorstellung von der gesamten Fläche des krummlinigen Trapezes. Je kleiner wir das Segment brechen [ a; b], desto genauer berechnen wir die Fläche.

Wir schreiben diese Überlegungen in Form von Formeln.

Teilen Sie das Segment [ a; b] in n Teile mit Punkten x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Länge k- th bezeichnen mit xk = xk - xk-1. Fassen wir zusammen

Geometrisch ist diese Summe die in der Abbildung schattierte Fläche der Figur ( sch.m.)

Summen der Form heißen Integralsummen für die Funktion f. (Schm.)

Ganzzahlige Summen geben einen ungefähren Wert der Fläche. Den genauen Wert erhält man durch Überfahren der Grenze. Stellen Sie sich vor, wir verfeinern die Partition des Segments [ a; b], so dass die Längen aller kleinen Segmente gegen Null gehen. Dann nähert sich die Fläche der zusammengesetzten Figur der Fläche des krummlinigen Trapezes. Wir können sagen, dass die Fläche eines krummlinigen Trapezes gleich der Grenze der ganzzahligen Summen ist, Sk.t. (Schm.) oder ganzzahlig, d.h.

Definition:

Funktionsintegral f(x) aus a Vor b heißt Grenzwert ganzzahliger Summen

= (Schm.)

Newton-Leibniz-Formel.

Denken Sie daran, dass die Grenze der Integralsummen gleich der Fläche eines krummlinigen Trapezes ist, sodass wir schreiben können:

Sk.t. = (Schm.)

Andererseits wird die Fläche eines krummlinigen Trapezes nach der Formel berechnet

S bis t. (Schm.)

Wenn wir diese Formeln vergleichen, erhalten wir:

= (Schm.)

Diese Gleichheit wird Newton-Leibniz-Formel genannt.

Zur Vereinfachung der Berechnungen wird die Formel wie folgt geschrieben:

= = (Schm.)

Aufgaben: (sch.m.)

1. Berechnen Sie das Integral mit der Newton-Leibniz-Formel: ( siehe Folie 5)

2. Integrale nach Zeichnung bilden ( siehe Folie 6)

3. Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Folie 7)

Finden der Flächen von ebenen Figuren ( Folie 8)

Wie findet man die Fläche von Figuren, die keine krummlinigen Trapeze sind?

Gegeben seien zwei Funktionen, deren Graphen Sie auf der Folie sehen . (Schm.) Finden Sie den Bereich der schattierten Figur . (Schm.). Ist die fragliche Figur ein krummliniges Trapez? Und wie können Sie seine Fläche finden, indem Sie die Additivitätseigenschaft der Fläche verwenden? Betrachten Sie zwei krummlinige Trapeze und subtrahieren Sie die Fläche des anderen von der Fläche eines von ihnen ( wm)

Lassen Sie uns einen Algorithmus zum Finden des Bereichs aus der Animation auf der Folie erstellen:

1. Plot-Funktionen
2. Projizieren Sie die Schnittpunkte der Graphen auf die x-Achse
3. Schattieren Sie die durch Kreuzen der Graphen erhaltene Figur
4. Finden Sie krummlinige Trapeze, deren Schnittpunkt oder Vereinigung die gegebene Figur ist.
5. Berechnen Sie jeweils die Fläche
6. Finden Sie die Differenz oder die Summe der Flächen

Mündliche Aufgabe: Wie man die Fläche einer schattierten Figur erhält (mit Animation sagen, Folie 8 und 9)

Hausaufgaben: Erarbeiten Sie die Zusammenfassung, Nr. 353 (a), Nr. 364 (a).

Referenzliste

1. Algebra und der Beginn der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 9-11 der Abend(schicht)schule / Hrsg. G.D. Glaser. - M: Aufklärung, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra und der Beginn der Analyse: ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 der Mittelschule / Bashmakov M.I. - M: Aufklärung, 1991.
3. Bashmakov M.I. Mathematik: ein Lehrbuch für Institutionen Anfang. und durchschn. Prof. Bildung / M.I. Baschmakow. - M: Akademie, 2010.
4. Kolmogorow A. N. Algebra und der Beginn der Analysis: ein Lehrbuch für 10-11 Zellen. Bildungseinrichtungen / A. N. Kolmogorov. - M: Aufklärung, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Wie erstelle ich eine Präsentation für den Unterricht? / S.L. Ostrowski. – M.: 1. September 2010.

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Wir helfen Ihnen beim Verfassen eines Praktikumsberichts unter Berücksichtigung der Besonderheiten der Tätigkeit eines bestimmten Unternehmens.

Beispiel 1 . Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 und x = 2

Lassen Sie uns eine Figur bauen (siehe Abb.). Wir bauen eine gerade Linie x + 2y - 4 \u003d 0 entlang zweier Punkte A (4; 0) und B (0; 2). Wenn wir y in x ausdrücken, erhalten wir y \u003d -0,5x + 2. Gemäß Formel (1), wobei f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, wir finden

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 sq. Einheiten

Beispiel 2 Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 und y \u003d 0.

Entscheidung. Lass uns eine Figur bauen.

Lassen Sie uns eine gerade Linie x - 2y + 4 = 0 bilden: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruieren wir eine Gerade x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, indem Sie das Gleichungssystem lösen:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Um die benötigte Fläche zu berechnen, teilen wir das AMC-Dreieck in zwei Dreiecke AMN und NMC, denn wenn x von A nach N wechselt, wird die Fläche durch eine Gerade begrenzt, und wenn x von N nach C wechselt, ist es eine Gerade

Für das Dreieck AMN gilt: ; y \u003d 0,5x + 2, d.h. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Für das NMC-Dreieck gilt: y = - x + 5, also f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Wenn wir die Fläche jedes Dreiecks berechnen und die Ergebnisse addieren, finden wir:

sq. Einheiten

sq. Einheiten

9 + 4, 5 = 13,5 qm Einheiten Prüfen: = 0,5 AC = 0,5 sq. Einheiten

Beispiel 3 Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

BEIM dieser Fall Es ist erforderlich, die Fläche eines krummlinigen Trapezes zu berechnen, das durch eine Parabel y = x begrenzt ist 2 , gerade Linien x \u003d 2 und x \u003d 3 und die Ox-Achse (siehe Abb.) Gemäß Formel (1) finden wir die Fläche eines krummlinigen Trapezes

= = 6 kV. Einheiten

Beispiel 4 Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y \u003d - x 2 + 4 und y = 0

Lass uns eine Figur bauen. Der gewünschte Bereich ist zwischen der Parabel y \u003d - x eingeschlossen 2 + 4 und Achse Oh.

Finde die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Unter der Annahme von y \u003d 0 finden wir x \u003d Da diese Figur symmetrisch zur Oy-Achse ist, berechnen wir die Fläche der Figur rechts von der Oy-Achse und verdoppeln das Ergebnis: \u003d + 4x] sq. Einheiten 2 = 2 qm Einheiten

Beispiel 5 Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Hier ist es erforderlich, die Fläche des krummlinigen Trapezes zu berechnen, die vom oberen Ast der Parabel y begrenzt wird 2 \u003d x, die Ochsenachse und gerade Linien x \u003d 1x \u003d 4 (siehe Abb.)

Gemäß Formel (1), wo f(x) = a = 1 und b = 4, haben wir = (= Quadrateinheiten

Beispiel 6 . Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Der gewünschte Bereich wird durch eine Halbwellensinuskurve und die Ox-Achse begrenzt (siehe Abb.).

Wir haben - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 Quadratmeter. Einheiten

Beispiel 7 Berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur: y \u003d - 6x, y \u003d 0 und x \u003d 4.

Die Figur befindet sich unter der Ochsenachse (siehe Abb.).

Daher wird seine Fläche durch die Formel (3) gefunden

= =

Beispiel 8 Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur: y \u003d und x \u003d 2. Wir werden die Kurve y \u003d durch Punkte erstellen (siehe Abbildung). Somit wird die Fläche der Figur durch die Formel (4) ermittelt.

Beispiel 9 .

X 2 + j 2 = r 2 .

Hier müssen Sie die durch den Kreis x begrenzte Fläche berechnen 2 + j 2 = r 2 , d.h. die Fläche eines Kreises mit Radius r, der im Ursprung zentriert ist. Lassen Sie uns den vierten Teil dieses Bereichs finden, indem wir die Integrationsgrenzen von 0 nehmen

dor; wir haben: 1 = = [

Somit, 1 =

Beispiel 10 Berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur: y \u003d x 2 und y = 2x

Diese Zahl wird durch die Parabel y \u003d x begrenzt 2 und gerade Linie y \u003d 2x (siehe Abb.) Um die Schnittpunkte der gegebenen Linien zu bestimmen, lösen wir das Gleichungssystem: x 2 – 2x = 0 x = 0 und x = 2

Unter Verwendung von Formel (5), um die Fläche zu finden, erhalten wir

= }