Gleichung höchsten Grades mit positiven Wurzeln. Gleichungen höheren Grades Methoden zum Lösen von Gleichungen n. a

Prüfen Lösen von Gleichungen mit einer Variablen höheren Grades als die zweite.

Der Grad der Gleichung P(x) = 0 ist der Grad des Polynoms P(x), d.h. die größte der Potenzen ihrer Terme mit einem Koeffizienten ungleich Null.

So hat zum Beispiel die Gleichung (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 einen fünften Grad, weil Nach dem Öffnen von Klammern und dem Bringen ähnlicher Klammern erhalten wir eine äquivalente Gleichung x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 fünften Grades.

Erinnern Sie sich an die Regeln, die erforderlich sind, um Gleichungen mit höherem Grad als dem zweiten zu lösen.

Aussagen über die Wurzeln eines Polynoms und seiner Teiler:

1. Das Polynom n-ten Grades hat eine Anzahl von Wurzeln, die die Anzahl n nicht überschreitet, und die Wurzeln der Multiplizität m kommen genau m mal vor.

2. Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle.

3. Wenn α die Wurzel von Р(х) ist, dann Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), wobei Q n – 1 (x) ein Polynom vom Grad (n – 1) ist .

5. Ein reduziertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten kann keine gebrochen rationalen Wurzeln haben.

6. Für ein Polynom dritten Grades

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d Eines von zwei Dingen ist möglich: Entweder zerfällt es in ein Produkt aus drei Binomen

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) oder zerfällt in das Produkt eines Binoms und eines quadratischen Trinoms P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x2 + βx + γ).

7. Jedes Polynom vierten Grades wird zum Produkt zweier quadratischer Trinome.

8. Ein Polynom f(x) ist ohne Rest durch ein Polynom g(x) teilbar, wenn es ein Polynom q(x) gibt, so dass f(x) = g(x) q(x). Um Polynome zu dividieren, wird die Regel der "Division durch eine Ecke" angewendet.

9. Damit das Polynom P(x) durch das Binomial (x – c) teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Zahl c die Wurzel von P(x) ist (Korollar zum Satz von Bezout).

10. Satz von Vieta: Wenn x 1, x 2, ..., x n die reellen Nullstellen des Polynoms sind

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, dann gelten die folgenden Gleichungen:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n ein n / ein 0.

Lösung von Beispielen

Beispiel 1

Finden Sie den Rest, nachdem Sie P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 durch (x - 1/3) geteilt haben.

Entscheidung.

Gemäß der Folgerung aus dem Satz von Bezout: "Der Rest der Division eines Polynoms durch ein Binom (x - c) ist gleich dem Wert des Polynoms in c." Lassen Sie uns P(1/3) = 0 finden. Daher ist der Rest 0 und die Zahl 1/3 ist die Wurzel des Polynoms.

Antwort: R = 0.

Beispiel 2

Teilen Sie die "Ecke" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 durch (x + 2). Finde den Rest und den unvollständigen Quotienten.

Entscheidung:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Antwort: R = 3; Quotient: 2x 2 - x.

Grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades

1. Einführung einer neuen Variablen

Die Methode zur Einführung einer neuen Variablen ist bereits vom Beispiel biquadratischer Gleichungen bekannt. Es besteht darin, dass zur Lösung der Gleichung f (x) \u003d 0 eine neue Variable (Substitution) t \u003d x n oder t \u003d g (x) eingeführt und f (x) durch t ausgedrückt wird, wodurch a erhalten wird neue Gleichung r (t). Lösen Sie dann die Gleichung r(t), finden Sie die Wurzeln:

(t 1 , t 2 , …, t n). Danach wird ein Satz von n Gleichungen q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n erhalten, aus denen die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung gefunden werden.

Beispiel 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Entscheidung:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Ersatz (x 2 + x + 1) = t.

t2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Umgekehrter Austausch:

x 2 + x + 1 = 2 oder x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x – 1 = 0 oder x 2 + x = 0;

Antwort: Aus der ersten Gleichung: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, aus der zweiten: 0 und -1.

2. Faktorisierung durch die Gruppierungsmethode und abgekürzte Multiplikationsformeln

Die Grundlage dieser Methode ist ebenfalls nicht neu und besteht darin, Begriffe so zu gruppieren, dass jede Gruppe einen gemeinsamen Faktor enthält. Dazu müssen Sie manchmal einige künstliche Tricks anwenden.

Beispiel 1

x 4 - 3 x 2 + 4 x - 3 = 0.

Entscheidung.

Stellen Sie sich vor - 3x 2 = -2x 2 - x 2 und gruppieren Sie:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 oder x 2 + x - 3 \u003d 0.

Antwort: In der ersten Gleichung gibt es keine Wurzeln, von der zweiten: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Faktorisierung nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten

Das Wesen des Verfahrens besteht darin, dass das ursprüngliche Polynom in Faktoren mit unbekannten Koeffizienten zerlegt wird. Unter Verwendung der Eigenschaft, dass Polynome gleich sind, wenn ihre Koeffizienten bei denselben Potenzen gleich sind, werden die unbekannten Entwicklungskoeffizienten gefunden.

Beispiel 1

x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = 0.

Entscheidung.

Ein Polynom 3. Grades lässt sich in ein Produkt aus Linear- und Quadratfaktor zerlegen.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Lösung des Systems:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, d.h.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Die Wurzeln der Gleichung (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sind leicht zu finden.

Antwort 1; -2.

4. Die Methode zur Auswahl der Wurzel nach dem höchsten und freien Koeffizienten

Die Methode basiert auf der Anwendung von Theoremen:

1) Jede ganzzahlige Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler des freien Terms.

2) Damit der irreduzible Bruch p / q (p ist eine ganze Zahl, q ist eine natürliche) die Wurzel einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist, ist es notwendig, dass die Zahl p ein ganzzahliger Teiler des freien Terms a 0 ist, und q ist ein natürlicher Teiler des höchsten Koeffizienten.

Beispiel 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Entscheidung:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Also p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Nachdem wir eine Wurzel gefunden haben, zum Beispiel - 2, werden wir andere Wurzeln finden, indem wir eine Division durch eine Ecke, die Methode der unbestimmten Koeffizienten oder das Horner-Schema verwenden.

Antwort: -2; 1/2; 1/3.

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Beim Lösen algebraischer Gleichungen ist es oft notwendig, ein Polynom zu faktorisieren. Ein Polynom zu faktorisieren bedeutet, es als Produkt von zwei oder mehr Polynomen darzustellen. Wir verwenden einige Methoden zum Erweitern von Polynomen ziemlich oft: Entfernen eines gemeinsamen Faktors, Verwenden abgekürzter Multiplikationsformeln, Hervorheben des vollständigen Quadrats, Gruppieren. Schauen wir uns einige weitere Methoden an.

Manchmal sind beim Faktorisieren eines Polynoms die folgenden Aussagen hilfreich:

1) wenn ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten eine rationale Wurzel hat (wobei ein irreduzibler Bruch ist, dann ist der Teiler des freien Terms und der Teiler des höchsten Koeffizienten:

2) Wenn Sie irgendwie die Wurzel eines Polynoms des Grades wählen, dann kann das Polynom in der Form dargestellt werden, wo das Polynom des Grades ist

Das Polynom kann entweder durch Division des Polynoms durch die binomische „Spalte“ oder durch entsprechende Gruppierung der Terme des Polynoms und Extrahieren eines Faktors daraus oder durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten gefunden werden.

Beispiel. Faktorisiere ein Polynom

Entscheidung. Da der Koeffizient bei x4 gleich 1 ist, existieren die rationalen Wurzeln dieses Polynoms, sind Teiler der Zahl 6, dh sie können ganze Zahlen ±1, ±2, ±3, ±6 sein. Wir bezeichnen dieses Polynom mit P4(x). Da Р Р4 (1) = 4 und Р4 (-4) = 23, sind die Zahlen 1 und -1 keine Nullstellen des Polynoms PA (x). Da P4(2) = 0 ist, ist x = 2 die Wurzel des Polynoms P4(x), und daher ist dieses Polynom durch das Binom x - 2 teilbar. Also x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2x4 -2x3x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6x2 - 2x

Daher ist P4(x) = (x - 2)(x3 - 3x2 + x - 3). Da xz - Zx2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), dann x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x - 3)(x2 + 1).

Parametereingabemethode

Manchmal hilft beim Faktorisieren eines Polynoms die Methode der Parametereinführung. Das Wesen dieses Verfahrens wird durch das folgende Beispiel erläutert.

Beispiel. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Entscheidung. Betrachten Sie ein Polynom mit Parameter a: x3 - (a + 1)x2 + a2, das sich für a = √3 in ein gegebenes Polynom verwandelt. Wir schreiben dieses Polynom als quadratisches Trinom bezüglich a: ar - ax2 + (x3 - x2).

Da die Wurzeln dieses Trinomquadrats bezüglich a a1 = x und a2 = x2 - x sind, ist die Gleichung a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) wahr. Daher zerfällt das Polynom x3 - (√3 + 1)x2 + 3 in die Faktoren √3 - x und √3 - x2 + x, d.h.

x3 - (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

Verfahren zur Einführung einer neuen Unbekannten

In einigen Fällen kann man durch Ersetzen des Ausdrucks f(x), der im Polynom Pn(x) enthalten ist, durch y ein Polynom bezüglich y erhalten, das bereits leicht faktorisiert werden kann. Dann, nachdem wir y durch f(x) ersetzt haben, erhalten wir eine Faktorisierung des Polynoms Pn(x).

Beispiel. Faktorisiere das Polynom x(x+1)(x+2)(x+3)-15.

Entscheidung. Transformieren wir dieses Polynom wie folgt: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Bezeichne x2 + 3x mit y. Dann haben wir y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= (j + 5) (j - 3).

Also x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5)(x2 + 3x - 3).

Beispiel. Faktorisiere das Polynom (x-4)4+(x+2)4

Entscheidung. Bezeichne x - 4 + x + 2 = x - 1 mit y.

(x - 4)4 + (x + 2)2 = (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(y2 + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).

Kombination verschiedener Methoden

Oftmals muss man beim Faktorisieren eines Polynoms mehrere der oben diskutierten Methoden nacheinander anwenden.

Beispiel. Faktorisiere das Polynom x4 - 3x2 + 4x-3.

Entscheidung. Durch Gruppieren schreiben wir das Polynom in die Form x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Wenn wir die Methode der Auswahl eines vollen Quadrats auf die erste Klammer anwenden, haben wir x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 1 x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Unter Verwendung der vollständigen Quadratformel können wir jetzt schreiben, dass x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.

Wenn wir schließlich die Formel für die Differenz der Quadrate anwenden, erhalten wir, dass x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 - x + 1 ).

§ 2. Symmetrische Gleichungen

1. Symmetrische Gleichungen dritten Grades

Gleichungen der Form ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0, a ≠ 0 (1) werden als symmetrische Gleichungen dritten Grades bezeichnet. Da ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (b-a) x + a), ist Gleichung (1) äquivalent zu der Gleichungssatz x + 1 \u003d 0 und ax2 + (b-a) x + a \u003d 0, was nicht schwer zu lösen ist.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

Entscheidung. Gleichung (2) ist eine symmetrische Gleichung dritten Grades.

Da 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x + 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , dann ist Gleichung (2) äquivalent zu dem Gleichungssystem x + 1 = 0 und 3x3 + x +3=0.

Die Lösung der ersten dieser Gleichungen ist x = -1, die zweite Gleichung hat keine Lösungen.

Antwort: x = -1.

2. Symmetrische Gleichungen vierten Grades

Gleichung eingeben

(3) heißt symmetrische Gleichung vierten Grades.

Da x \u003d 0 nicht die Wurzel von Gleichung (3) ist, erhalten wir durch Dividieren beider Teile von Gleichung (3) durch x2 eine Gleichung, die der ursprünglichen (3) entspricht:

Lassen Sie uns Gleichung (4) in der Form umschreiben:

In dieser Gleichung machen wir eine Ersetzung, dann erhalten wir eine quadratische Gleichung

Wenn Gleichung (5) 2 Wurzeln y1 und y2 hat, dann ist die ursprüngliche Gleichung äquivalent zu dem Satz von Gleichungen

Wenn Gleichung (5) eine Wurzel ó0 hat, dann ist die ursprüngliche Gleichung äquivalent zur Gleichung

Wenn schließlich Gleichung (5) keine Wurzeln hat, dann hat die ursprüngliche Gleichung auch keine Wurzeln.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung. Diese Gleichung ist eine symmetrische Gleichung vierten Grades. Da x \u003d 0 nicht seine Wurzel ist, erhalten wir durch Dividieren von Gleichung (6) durch x2 eine äquivalente Gleichung:

Wir gruppieren die Terme und schreiben Gleichung (7) in die Form oder in die Form um

Angenommen, wir erhalten eine Gleichung mit zwei Wurzeln y1 = 2 und y2 = 3. Daher ist die ursprüngliche Gleichung äquivalent zum Gleichungssystem

Die Lösung der ersten Gleichung dieser Menge ist x1 = 1, und die Lösung der zweiten ist u.

Daher hat die ursprüngliche Gleichung drei Wurzeln: x1, x2 und x3.

Antwort: x1=1.

§3. Algebraische Gleichungen

1. Reduzieren des Grades der Gleichung

Einige algebraische Gleichungen können durch Ersetzen einiger Polynome in ihnen durch einen Buchstaben auf algebraische Gleichungen reduziert werden, deren Grad kleiner als der Grad der ursprünglichen Gleichung ist und deren Lösung einfacher ist.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung. Bezeichnen Sie mit, dann kann Gleichung (1) umgeschrieben werden als Die letzte Gleichung hat Wurzeln und Daher ist Gleichung (1) äquivalent zu dem Satz von Gleichungen und. Die Lösung der ersten Gleichung dieses Satzes ist und Die Lösung der zweiten Gleichung ist

Die Lösungen von Gleichung (1) sind

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung. Beide Seiten der Gleichung mit 12 multiplizieren und mit bezeichnen,

Wir erhalten die Gleichung Wir schreiben diese Gleichung in die Form um

(3) und bezeichnen durch wir schreiben Gleichung (3) in die Form um Die letzte Gleichung hat Wurzeln und Daher erhalten wir, dass Gleichung (3) äquivalent zu dem Satz von zwei Gleichungen ist und 4)

Die Lösungen von Satz (4) sind und, und sie sind die Lösungen von Gleichung (2).

2. Gleichungen der Form

Die gleichung

(5) wo Zahlen gegeben sind, kann auf eine biquadratische Gleichung reduziert werden, indem das Ersetzen der Unbekannten verwendet wird, d. h. das Ersetzen

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung. Lassen Sie uns bezeichnen durch, d.h. wir nehmen eine Änderung von Variablen vor oder dann kann Gleichung (6) in die Form oder unter Verwendung der Formel in die Form umgeschrieben werden

Da die Wurzeln der quadratischen Gleichung und dann die Lösungen von Gleichung (7) sind, sind die Lösungen des Satzes von Gleichungen und. Dieser Satz von Gleichungen hat zwei Lösungen und Daher sind die Lösungen von Gleichung (6) und

3. Gleichungen der Form

Die gleichung

(8) wobei die Zahlen α, β, γ, δ und Α so sind, dass α

Beispiel 4. Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung. Nehmen wir eine Änderung der Unbekannten vor, d.h. y=x+3 oder x = y – 3. Dann kann Gleichung (9) umgeschrieben werden als

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, also in der Form

(y2-4)(y2-1)=10(10)

Die biquadratische Gleichung (10) hat zwei Wurzeln. Daher hat Gleichung (9) auch zwei Wurzeln:

4. Gleichungen der Form

Gleichung, (11)

Wo hat keine Wurzel x = 0, daher erhalten wir eine äquivalente Gleichung, wenn wir Gleichung (11) durch x2 dividieren

Was nach dem Ersetzen des Unbekannten in Form einer quadratischen Gleichung umgeschrieben wird, deren Lösung nicht schwierig ist.

Beispiel 5. Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung. Da h \u003d 0 nicht die Wurzel von Gleichung (12) ist, erhalten wir durch Teilen durch x2 eine äquivalente Gleichung

Wenn wir die Änderung unbekannt machen, erhalten wir die Gleichung (y+1)(y+2)=2, die zwei Wurzeln hat: y1 = 0 und y1 = -3. Daher ist die ursprüngliche Gleichung (12) äquivalent zu dem Satz von Gleichungen

Diese Sammlung hat zwei Wurzeln: x1= -1 und x2 = -2.

Antwort: x1= -1, x2 = -2.

Kommentar. Gleichung eingeben,

Was sich immer auf die Form (11) zurückführen lässt und außerdem unter Berücksichtigung von α > 0 und λ > 0 auf die Form.

5. Gleichungen der Form

Die gleichung

,(13) wobei die Zahlen α, β, γ, δ und Α so sind, dass αβ = γδ ≠ 0, kann umgeschrieben werden, indem die erste Klammer mit der zweiten und die dritte mit der vierten in der Form multipliziert wird, d.h. Gleichung (13) wird nun in der Form (11) geschrieben, und ihre Lösung kann auf die gleiche Weise wie die Lösung von Gleichung (11) durchgeführt werden.

Beispiel 6. Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung. Gleichung (14) hat die Form (13) , also schreiben wir sie um als

Da x = 0 keine Lösung dieser Gleichung ist, erhalten wir durch Teilen beider Seiten durch x2 eine äquivalente ursprüngliche Gleichung. Durch eine Änderung der Variablen erhalten wir eine quadratische Gleichung, deren Lösung und ist. Daher ist die ursprüngliche Gleichung (14) äquivalent zu dem Satz von Gleichungen u.

Die Lösung der ersten Gleichung dieser Menge ist

Die zweite Gleichung dieses Lösungssatzes hat keine. Die ursprüngliche Gleichung hat also die Wurzeln x1 und x2.

6. Gleichungen der Form

Die gleichung

(15) wobei die Zahlen a, b, c, q, A so sind, dass keine Wurzel x = 0 hat, daher Dividieren von Gleichung (15) durch x2. wir erhalten eine dazu äquivalente Gleichung, die nach dem Ersetzen der Unbekannten in Form einer quadratischen Gleichung umgeschrieben wird, deren Lösung nicht schwierig ist.

Beispiel 7. Gleichungslösung

Entscheidung. Da x \u003d 0 nicht die Wurzel der Gleichung (16) ist, erhalten wir die Gleichung, indem wir beide Teile durch x2 dividieren

, (17) äquivalent zu Gleichung (16). Nachdem wir die Unbekannte geändert haben, können wir Gleichung (17) in die Form umschreiben

Die quadratische Gleichung (18) hat 2 Wurzeln: y1 = 1 und y2 = -1. Daher ist Gleichung (17) äquivalent zu dem Satz von Gleichungen und (19)

Das Gleichungssystem (19) hat 4 Wurzeln: ,.

Sie werden die Wurzeln von Gleichung (16) sein.

§4. Rationale Gleichungen

Gleichungen der Form = 0, wobei H(x) und Q(x) Polynome sind, heißen rational.

Nachdem Sie die Wurzeln der Gleichung H(x) = 0 gefunden haben, müssen Sie prüfen, welche von ihnen nicht die Wurzeln der Gleichung Q(x) = 0 sind. Diese Wurzeln und nur sie sind Lösungen der Gleichung.

Betrachten Sie einige Methoden zum Lösen einer Gleichung der Form = 0.

1. Gleichungen der Form

Die gleichung

(1) unter bestimmten Bedingungen auf die Zahlen können wie folgt gelöst werden. Wenn man die Terme der Gleichung (1) durch zwei gruppiert und jedes Paar summiert, muss man im Zähler Polynome ersten oder nullten Grades erhalten, die sich nur in numerischen Faktoren unterscheiden, und in den Nennern - Trinome mit denselben zwei Termen, die x enthalten nach der Änderung der Variablen hat die Gleichung entweder ebenfalls die Form (1), aber mit einer geringeren Anzahl von Termen, oder ist äquivalent zu einer Kombination von zwei Gleichungen, von denen eine vom ersten Grad sein wird, und die Die zweite ist eine Gleichung der Form (1), jedoch mit einer kleineren Anzahl von Termen.

Beispiel. löse die Gleichung

Entscheidung. Indem wir auf der linken Seite von Gleichung (2) den ersten Term mit dem letzten und den zweiten mit dem vorletzten gruppieren, schreiben wir Gleichung (2) in der Form um

Wenn wir die Terme in jeder Klammer zusammenfassen, schreiben wir Gleichung (3) um als

Da es keine Lösung für Gleichung (4) gibt, erhalten wir durch Dividieren dieser Gleichung durch die Gleichung

, (5) äquivalent zu Gleichung (4). Nehmen wir eine Änderung der Unbekannten vor, dann wird Gleichung (5) in die Form umgeschrieben

Somit wird die Lösung von Gleichung (2) mit fünf Termen auf der linken Seite auf die Lösung von Gleichung (6) derselben Form, aber mit drei Termen auf der linken Seite reduziert. Wir fassen alle Terme auf der linken Seite von Gleichung (6) zusammen und schreiben sie in die Form um

Es gibt auch Lösungen für die Gleichung. Keine dieser Zahlen verschwindet im Nenner der rationalen Funktion auf der linken Seite von Gleichung (7). Daher hat Gleichung (7) diese beiden Wurzeln, und daher ist die ursprüngliche Gleichung (2) äquivalent zu dem Satz von Gleichungen

Die Lösungen der ersten Gleichung dieser Menge sind

Die Lösungen der zweiten Gleichung aus dieser Menge sind

Daher hat die ursprüngliche Gleichung Wurzeln

2. Gleichungen der Form

Die gleichung

(8) kann unter bestimmten Bedingungen nach Zahlen wie folgt gelöst werden: Es ist notwendig, den ganzzahligen Teil in jedem der Brüche der Gleichung auszuwählen, d.h. Gleichung (8) durch die Gleichung zu ersetzen

Reduzieren Sie es auf die Form (1) und lösen Sie es dann auf die im vorherigen Absatz beschriebene Weise.

Beispiel. löse die Gleichung

Entscheidung. Wir schreiben Gleichung (9) in der Form oder in der Form

Fassen wir die Terme in Klammern zusammen, schreiben wir Gleichung (10) um als

Um die Unbekannte zu ändern, schreiben wir Gleichung (11) in die Form um

Wir fassen die Terme auf der linken Seite von Gleichung (12) zusammen und schreiben sie in die Form um

Es ist leicht zu sehen, dass Gleichung (13) zwei Wurzeln hat: und. Daher hat die ursprüngliche Gleichung (9) vier Wurzeln:

3) Gleichungen der Form.

Eine Gleichung der Form (14) kann unter bestimmten Bedingungen auf Zahlen wie folgt gelöst werden: indem (wenn dies natürlich möglich ist) jeder der Brüche auf der linken Seite von Gleichung (14) in die Summe einfacher Brüche expandiert wird

Reduziere Gleichung (14) auf die Form (1) und löse sie dann, nachdem du eine geeignete Umordnung der Terme der resultierenden Gleichung durchgeführt hast, durch das in Absatz 1) beschriebene Verfahren.

Beispiel. löse die Gleichung

Entscheidung. Da und dann den Zähler jedes Bruchs in Gleichung (15) mit 2 multiplizieren und beachten, dass Gleichung (15) geschrieben werden kann als

Gleichung (16) hat die Form (7). Indem wir die Terme in dieser Gleichung neu gruppieren, schreiben wir sie in die Form oder in die Form um

Gleichung (17) ist äquivalent zu dem Satz von Gleichungen und

Um die zweite Gleichung des Satzes (18) zu lösen, nehmen wir eine Änderung der Unbekannten vor. Dann wird sie in die Form oder in die Form umgeschrieben

Fassen Sie alle Terme auf der linken Seite von Gleichung (19) zusammen und schreiben Sie sie um als

Da die Gleichung keine Wurzeln hat, hat Gleichung (20) sie auch nicht.

Die erste Gleichung des Satzes (18) hat eine einzelne Wurzel Da diese Wurzel in der ODZ der zweiten Gleichung des Satzes (18) enthalten ist, ist sie die einzige Wurzel des Satzes (18) und daher die ursprüngliche Gleichung.

4. Gleichungen der Form

Die gleichung

(21) unter bestimmten Bedingungen für die Zahlen und A, nachdem jeder Term auf der linken Seite in der Form dargestellt wurde, kann er auf die Form (1) reduziert werden.

Beispiel. löse die Gleichung

Entscheidung. Schreiben wir Gleichung (22) in die Form oder in die Form um

Somit wird Gleichung (23) auf die Form (1) reduziert. Nun, indem wir den ersten Term mit dem letzten und den zweiten mit dem dritten gruppieren, schreiben wir Gleichung (23) in der Form um

Diese Gleichung ist äquivalent zum Satz von Gleichungen und. (24)

Die letzte Satzgleichung (24) kann umgeschrieben werden als

Es gibt Lösungen für diese Gleichung, und da sie in der ODZ der zweiten Gleichung der Menge (30) enthalten ist, hat die Menge (24) drei Wurzeln: Alle von ihnen sind Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

5. Gleichungen der Form.

Gleichung der Form (25)

Unter bestimmten Zahlenbedingungen kann man durch Ersetzen der Unbekannten auf eine Gleichung der Form zurückführen

Beispiel. löse die Gleichung

Entscheidung. Da es keine Lösung für Gleichung (26) ist, teilen wir Zähler und Nenner jedes Bruchs auf der linken Seite durch und schreiben ihn in die Form um

Nachdem wir eine Änderung der Variablen vorgenommen haben, schreiben wir Gleichung (27) in der Form um

Das Lösen von Gleichung (28) ist und. Daher ist Gleichung (27) äquivalent zu dem Satz von Gleichungen u. (29)

"Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades"

( Kiselevsky-Lesungen)

Mathematiklehrerin Afanasyeva L.A.

Sekundarschule MKOU Verkhnekarachanskaya

Bezirk Gribanowski, Oblast Woronesch

2015

Die mathematische Bildung an einer allgemeinbildenden Schule ist ein wesentlicher Bestandteil der allgemeinen Bildung und der allgemeinen Kultur eines modernen Menschen.

Der berühmte deutsche Mathematiker Courant schrieb: „Mehr als zweitausend Jahre lang war der Besitz einiger, nicht zu oberflächlicher Kenntnisse auf dem Gebiet der Mathematik eine Notwendigkeit Bestandteil in das intellektuelle Inventar eines jeden gebildeten Menschen." Und unter diesen Kenntnissen gehört nicht zuletzt die Fähigkeit, Gleichungen zu lösen.

Schon in der Antike erkannten die Menschen, wie wichtig es war, das Lösen algebraischer Gleichungen zu lernen. Vor etwa 4.000 Jahren beherrschten babylonische Wissenschaftler die Lösung einer quadratischen Gleichung und lösten Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine Gleichung zweiten Grades war. Mit Hilfe von Gleichungen wurden verschiedene Probleme der Landvermessung, Architektur und des Militärwesens gelöst, mannigfaltige Fragen der Praxis und Naturwissenschaft auf sie reduziert, da die exakte Sprache der Mathematik es ermöglicht, Tatsachen und Zusammenhänge einfach auszudrücken, die, in gewöhnlicher Sprache ausgedrückt werden, kann verwirrend und komplex erscheinen. Eine Gleichung ist eines der wichtigsten Konzepte in der Mathematik. Die Entwicklung von Methoden zur Lösung von Gleichungen, ausgehend von der Geburt der Mathematik als Wissenschaft, lange Zeit war das Hauptfach des Studiums der Algebra. Und heute wird im Mathematikunterricht ab der ersten Bildungsstufe viel Wert darauf gelegt, Gleichungen verschiedener Art zu lösen.

Es gibt keine universelle Formel, um die Wurzeln einer algebraischen Gleichung n-ten Grades zu finden. Viele kamen natürlich auf die verlockende Idee, irgendeinen Abschluss zu finden n Formeln, die die Wurzeln der Gleichung in Form ihrer Koeffizienten ausdrücken würden, das heißt, würden die Gleichung in Radikalen lösen. Das "düstere Mittelalter" erwies sich jedoch in Bezug auf das zur Diskussion stehende Problem als so düster wie möglich - sieben Jahrhunderte lang fand niemand die erforderlichen Formeln! Erst im 16. Jahrhundert gelang es den italienischen Mathematikern weiter zu gehen - Formeln für zu finden n =3 und n =4 . Gleichzeitig beschäftigten sich Scipio Dal Ferro, sein Schüler Fiori und Tartaglia mit der Frage der allgemeinen Lösung von Gleichungen 3. Grades. 1545 wurde das Buch des italienischen Mathematikers D. Cardano "Great Art, or On the Rules of Algebra" veröffentlicht, in dem neben anderen Fragen der Algebra allgemeine Methoden zur Lösung kubischer Gleichungen sowie eine Lösungsmethode betrachtet werden Gleichungen 4. Grades, entdeckt von seinem Schüler L. Ferrari. Eine vollständige Darstellung der Probleme im Zusammenhang mit der Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades wurde von F. Viet gegeben. Und in den 20er Jahren des 19. Jahrhunderts bewies der norwegische Mathematiker N. Abel, dass die Wurzeln von Gleichungen des 5. und höheren Grades nicht durch Radikale ausgedrückt werden können.

Der Prozess, Lösungen für eine Gleichung zu finden, besteht normalerweise darin, die Gleichung durch eine äquivalente zu ersetzen. Das Ersetzen einer Gleichung durch eine äquivalente basiert auf der Anwendung von vier Axiomen:

1. Wenn gleiche Werte um die gleiche Zahl erhöht werden, sind die Ergebnisse gleich.

2. Wenn dieselbe Zahl von gleichen Werten subtrahiert wird, sind die Ergebnisse gleich.

3. Wenn gleiche Werte mit derselben Zahl multipliziert werden, sind die Ergebnisse gleich.

4. Wenn gleiche Werte durch dieselbe Zahl geteilt werden, sind die Ergebnisse gleich.

Da die linke Seite der Gleichung P(x) = 0 ein Polynom n-ten Grades ist, ist es sinnvoll, sich an folgende Aussagen zu erinnern:

Aussagen über die Wurzeln eines Polynoms und seiner Teiler:

1. Das Polynom n-ten Grades hat eine Anzahl von Wurzeln, die die Anzahl n nicht überschreitet, und die Wurzeln der Multiplizität m kommen genau m mal vor.

2. Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle.

3. Wenn α die Wurzel von Р(х) ist, dann Р n (х) = (х - α)·Q n - 1 (x), wobei Q n - 1 (x) ein Polynom vom Grad (n - 1) ist. .

4. Jede ganzzahlige Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler des freien Terms.

5. Ein reduziertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten kann keine gebrochen rationalen Wurzeln haben.

6. Für ein Polynom dritten Grades

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d Eines von zwei Dingen ist möglich: Entweder zerfällt es in ein Produkt aus drei Binomen

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) oder zerfällt in das Produkt eines Binoms und eines quadratischen Trinoms P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x2 + βx + γ).

7. Jedes Polynom vierten Grades wird zum Produkt zweier quadratischer Trinome.

9. Damit das Polynom P(x) durch das Binomial (x – c) teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass c die Wurzel von P(x) ist (Korollar zum Satz von Bezout).

10. Satz von Vieta: Wenn x 1, x 2, ..., x n die reellen Nullstellen des Polynoms sind

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, dann gelten die folgenden Gleichungen:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n ein n / ein 0.

Lösung von Beispielen

Beispiel 1 . Finden Sie den Rest, nachdem Sie P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 durch (x - 1/3) geteilt haben.

Entscheidung. Gemäß der Folgerung aus dem Satz von Bezout: "Der Rest der Division eines Polynoms durch ein Binom (x - c) ist gleich dem Wert des Polynoms in c." Lassen Sie uns P(1/3) = 0 finden. Daher ist der Rest 0 und die Zahl 1/3 ist die Wurzel des Polynoms.

Antwort: R = 0.

Beispiel 2 . Teilen Sie die "Ecke" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 durch (x + 2). Finde den Rest und den unvollständigen Quotienten.

Entscheidung:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X2 - 2x

Antwort: R = 3; Quotient: 2x 2 - x.

Grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades

1. Einführung einer neuen Variablen

Die Methode zum Einführen einer neuen Variablen besteht darin, dass zum Lösen der Gleichung f (x) \u003d 0 eine neue Variable (Substitution) t \u003d x n oder t \u003d g (x) eingeführt und f (x) durch t ausgedrückt wird , wodurch eine neue Gleichung r (t) erhalten wird. Lösen Sie dann die Gleichung r(t), finden Sie die Wurzeln: (t 1 , t 2 , …, t n). Danach wird ein Satz von n Gleichungen q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n erhalten, aus denen die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung gefunden werden.

Beispiel;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Lösung: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Ersatz (x 2 + x + 1) = t.

t2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Umgekehrter Austausch:

x 2 + x + 1 = 2 oder x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 oder x 2 + x \u003d 0;

Aus der ersten Gleichung: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, aus der zweiten: 0 und -1.

Die Methode der Einführung einer neuen Variablen findet Anwendung beim Lösen rückgabefähig Gleichungen, dh Gleichungen der Form a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0, bei denen die Koeffizienten der Terme der Gleichung gleich weit vom Anfang und Ende entfernt sind , sind gleich.

2. Faktorisierung durch die Gruppierungsmethode und abgekürzte Multiplikationsformeln

Grundlage dieser Methode ist es, Terme so zu gruppieren, dass jede Gruppe einen gemeinsamen Faktor enthält. Dazu müssen Sie manchmal einige künstliche Tricks anwenden.

Beispiel: x 4 - 3 x 2 + 4 x - 3 = 0.

Entscheidung. Stellen Sie sich vor - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 und Gruppe:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 oder x 2 + x - 3 \u003d 0.

In der ersten Gleichung gibt es keine Wurzeln, ab der zweiten: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Faktorisierung nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten

Beispiel: x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = 0.

Entscheidung. Ein Polynom 3. Grades lässt sich in ein Produkt aus Linear- und Quadratfaktor zerlegen.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

Lösung des Systems:

wir bekommen

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Die Wurzeln der Gleichung (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sind leicht zu finden.

Antwort 1; -2.

4. Die Methode zur Auswahl der Wurzel nach dem höchsten und freien Koeffizienten

Die Methode basiert auf der Anwendung von Theoremen:

1) Jede ganzzahlige Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler des freien Terms.

2) Damit der irreduzible Bruch p / q (p ist eine ganze Zahl, q ist eine natürliche) die Wurzel einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist, muss die Zahl p ein ganzzahliger Teiler des freien Terms a 0 sein , und q ist ein natürlicher Teiler des höchsten Koeffizienten.

Beispiel: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.

Entscheidung:

2: p = ±1, ±2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Also p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Antwort: -2; 1/2; 1/3.

5. Grafische Methode.

Diese Methode besteht darin, Diagramme zu zeichnen und die Eigenschaften von Funktionen zu verwenden.

Beispiel: x 5 + x - 2 = 0

Stellen wir die Gleichung in der Form x 5 \u003d - x + 2 dar. Die Funktion y \u003d x 5 nimmt zu und die Funktion y \u003d - x + 2 ab. Dies bedeutet, dass die Gleichung x 5 + x - 2 \u003d 0 eine einzige Wurzel -1 hat.

6. Multiplikation einer Gleichung mit einer Funktion.

Manchmal wird die Lösung einer algebraischen Gleichung erheblich erleichtert, indem beide Teile mit einer Funktion multipliziert werden - einem Polynom im Unbekannten. Gleichzeitig muss daran erinnert werden, dass zusätzliche Wurzeln auftreten können - die Wurzeln des Polynoms, mit dem die Gleichung multipliziert wurde. Daher muss man entweder mit einem Polynom multiplizieren, das keine Wurzeln hat, und eine äquivalente Gleichung erhalten, oder mit einem Polynom mit Wurzeln multiplizieren, und dann muss jede dieser Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden und bestimmt werden, ob diese Zahl ihre Wurzel ist.

Beispiel. Löse die Gleichung:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Entscheidung: Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit dem Polynom X 2 + 1, das keine Wurzeln hat, erhalten wir die Gleichung:

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
Äquivalent zu Gleichung (1). Gleichung (2) kann geschrieben werden als:

X 10 + 1= 0 (3)
Es ist klar, dass Gleichung (3) keine echten Wurzeln hat, also hat Gleichung (1) keine.

Antworten: es gibt keine lösungen.

Zusätzlich zu den oben genannten Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades gibt es noch andere. Zum Beispiel Auswahl eines vollen Quadrats, Horner-Schema, Darstellung eines Bruchs in Form von zwei Brüchen. Von den allgemeinen Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades, die am häufigsten verwendet werden, verwenden sie: die Methode, die linke Seite der Gleichung in Faktoren zu zerlegen;

Variablenersetzungsmethode (Methode zur Einführung einer neuen Variablen); grafische Weise. Wir stellen diese Methoden den Schülern der 9. Klasse beim Studium des Themas „Die ganze Gleichung und ihre Wurzeln“ vor. In dem Lehrbuch Algebra 9 (Autoren Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk und andere) der letzten Veröffentlichungsjahre werden die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades ausführlich genug behandelt. Darüber hinaus wird im Abschnitt „Für diejenigen, die mehr wissen möchten“ meines Erachtens auf zugängliche Weise Material zur Anwendung von Sätzen auf die Wurzel eines Polynoms und ganzzahlige Wurzeln einer ganzen Gleichung beim Lösen höherer Gleichungen präsentiert Grad. Gut vorbereitete Schüler setzen sich interessiert mit diesem Material auseinander und präsentieren die gelösten Gleichungen dann ihren Mitschülern.

Fast alles, was uns umgibt, ist auf die eine oder andere Weise mit Mathematik verbunden. Erfolge in Physik, Ingenieurwesen, Informatik bestätigen dies nur. Und was sehr wichtig ist – die Lösung vieler praktischer Probleme läuft darauf hinaus, verschiedene Arten von Gleichungen zu lösen, die Sie lernen müssen, wie man sie löst.

Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln platziert.
Die Vollversion der Arbeit steht im Reiter „Job Files“ im PDF-Format zur Verfügung

Einführung

Die Lösung algebraischer Gleichungen höheren Grades mit einer Unbekannten ist eines der schwierigsten und ältesten mathematischen Probleme. Die bedeutendsten Mathematiker der Antike haben sich mit diesen Problemen beschäftigt.

Das Lösen von Gleichungen n-ten Grades ist auch für die moderne Mathematik eine wichtige Aufgabe. Das Interesse an ihnen ist ziemlich groß, da diese Gleichungen eng mit der Suche nach den Wurzeln von Gleichungen zusammenhängen, die im Schullehrplan in Mathematik nicht berücksichtigt werden.

Problem: Der Mangel an Fähigkeiten, Gleichungen höheren Grades auf verschiedene Weise zu lösen, hindert die Schüler daran, sich erfolgreich auf die Abschlusszertifizierung in Mathematik und Mathematikolympiaden vorzubereiten, die in einer spezialisierten Mathematikklasse ausgebildet werden.

Die oben genannten Tatsachen ermittelt Relevanz unserer Arbeit "Lösung von Gleichungen höherer Grade".

Der Besitz der einfachsten Methoden zum Lösen von Gleichungen n-ten Grades verkürzt die Zeit zur Bewältigung der Aufgabe, von der das Ergebnis der Arbeit und die Qualität des Lernprozesses abhängen.

Zielsetzung: Untersuchung bekannter Methoden zur Lösung von Gleichungen höheren Grades und Identifizierung der für die praktische Anwendung am besten zugänglichen Methoden.

Basierend auf diesem Ziel das Folgende Aufgaben:

Studium der Literatur und Internetquellen zu diesem Thema;

Machen Sie sich mit den historischen Fakten zu diesem Thema vertraut;

Beschreiben Sie verschiedene Möglichkeiten, Gleichungen höheren Grades zu lösen

vergleichen Sie den Schwierigkeitsgrad von jedem von ihnen;

Klassenkameraden mit Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades vertraut machen;

Erstellen Sie eine Reihe von Gleichungen für die praktische Anwendung jeder der betrachteten Methoden.

Studienobjekt- Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen.

Gegenstand der Studie- Wege zur Lösung von Gleichungen höheren Grades.

Hypothese: Es gibt keinen allgemeinen Weg und keinen einzigen Algorithmus, der es erlaubt, Lösungen für Gleichungen n-ten Grades in einer endlichen Anzahl von Schritten zu finden.

Forschungsmethoden:

- bibliografische Methode (Analyse der Literatur zum Forschungsthema);

- Klassifizierungsmethode;

- Methode der qualitativen Analyse.

Theoretische Bedeutung Die Forschung besteht darin, Methoden zur Lösung von Gleichungen höheren Grades zu systematisieren und ihre Algorithmen zu beschreiben.

Praktische Bedeutung- das präsentierte Material zu diesem Thema und die Entwicklung eines Lehrmittels für Studenten zu diesem Thema.

1. GLEICHUNGEN DER HÖHEREN MÄCHTE

1.1 Das Konzept einer Gleichung n-ten Grades

Bestimmung 1. Eine Gleichung n-ten Grades ist eine Gleichung der Form

a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, wobei die Koeffizienten a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n - alle reellen Zahlen und ,a 0 ≠ 0 .

Polynom a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n heißt Polynom n-ten Grades. Koeffizienten werden nach Namen unterschieden: a 0 - Seniorenkoeffizient; a n ist ein kostenloses Mitglied.

Definition 2. Lösungen oder Wurzeln für eine gegebene Gleichung sind alle Werte der Variablen X, die diese Gleichung in eine echte numerische Gleichheit verwandeln oder für die das Polynom a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n geht gegen null. So ein variabler Wert X auch Wurzel eines Polynoms genannt. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Wurzeln zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.

Wenn ein a 0 = 1, dann heißt eine solche Gleichung eine reduzierte ganzzahlige rationale Gleichung n th Grad.

Für Gleichungen dritten und vierten Grades gibt es Cardano- und Ferrari-Formeln, die die Wurzeln dieser Gleichungen in Form von Radikalen ausdrücken. Es stellte sich heraus, dass sie in der Praxis selten verwendet werden. Wenn also n ≥ 3 und die Koeffizienten des Polynoms willkürliche reelle Zahlen sind, dann ist es keine leichte Aufgabe, die Wurzeln der Gleichung zu finden. In vielen Spezialfällen wird dieses Problem jedoch zu Ende gelöst. Lassen Sie uns auf einige von ihnen eingehen.

1.2 Historische Fakten zum Lösen von Gleichungen höheren Grades

Eine universelle Formel zum Finden der Wurzeln einer algebraischen Gleichung n-te kein Abschluss. Viele kamen natürlich auf die verlockende Idee, Formeln für jede Potenz von n zu finden, die die Wurzeln der Gleichung in Form ihrer Koeffizienten ausdrücken, d. h. die Gleichung in Radikalen lösen würden.

Erst im 16. Jahrhundert gelang es italienischen Mathematikern, weiter zu gehen - um Formeln für n \u003d 3 und n \u003d 4 zu finden. Zur gleichen Zeit beschäftigten sich Scipio, Dahl, Ferro und seine Schüler Fiori und Tartaglia mit der Frage der allgemeine Lösung von Gleichungen 3. Grades.

1545 wurde das Buch des italienischen Mathematikers D. Cardano „Große Kunst oder über die Regeln der Algebra“ veröffentlicht, in dem neben anderen Fragen der Algebra allgemeine Methoden zum Lösen kubischer Gleichungen sowie eine Methode zum Lösen von kubischen Gleichungen behandelt werden Lösen von Gleichungen 4. Grades, entdeckt von seinem Schüler L. Ferrari.

Eine vollständige Darstellung der Fragen zur Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades wurde von F. Viet gegeben.

In den 20er Jahren des 19. Jahrhunderts bewies der norwegische Mathematiker N. Abel, dass die Wurzeln von Gleichungen fünften Grades nicht durch Radikale ausgedrückt werden können.

Während der Studie zeigte sich, dass die moderne Wissenschaft viele Wege kennt, um Gleichungen n-ten Grades zu lösen.

Das Ergebnis der Suche nach Methoden zur Lösung von Gleichungen höheren Grades, die mit den im Schullehrplan berücksichtigten Methoden nicht gelöst werden können, sind Methoden, die auf der Anwendung des Vieta-Theorems (für Gradgleichungen n>2), die Sätze von Bezout, die Schemata von Horner sowie die Cardano- und Ferrari-Formel zur Lösung kubischer und quartischer Gleichungen.

Der Beitrag stellt Methoden zur Lösung von Gleichungen und deren Typen vor, die für uns zu einer Entdeckung geworden sind. Dazu gehören - die Methode der unbestimmten Koeffizienten, die Zuordnung des vollen Grades, symmetrische Gleichungen.

2. LÖSUNG VON INTEGRIERTEN GLEICHUNGEN HÖHERER POTENZEN MIT INTEGRIERTEN KOEFFIZIENTEN

2.1 Lösung von Gleichungen 3. Grades. Formel D. Cardano

Betrachten Sie Gleichungen der Form x 3 +px+q=0. Wir transformieren die allgemeine Gleichung in die Form: x 3 +px 2 +qx+r=0. Lassen Sie uns die Würfelsummenformel aufschreiben; Fügen wir es der ursprünglichen Gleichheit hinzu und ersetzen es durch j. Wir erhalten die Gleichung: j 3 + (q -) (y -) + (r - =0. Nach Transformationen haben wir: j 2 +py + q=0. Lassen Sie uns nun die Würfelsummenformel erneut schreiben:

(a+b) 3 = ein 3 + 3a 2 b+3ab 2 +b 3 = ein 3 +b 3 + 3ab (a + b), ersetzen ( a+b)auf der x, erhalten wir die Gleichung x 3 - 3abx - (ein 3 +b 3) = 0. Jetzt ist klar, dass die ursprüngliche Gleichung dem System entspricht: und Lösen des Systems erhalten wir:

Wir haben eine Formel zur Lösung der obigen Gleichung 3. Grades erhalten. Es trägt den Namen des italienischen Mathematikers Cardano.

Betrachten Sie ein Beispiel. Löse die Gleichung: .

Wir haben R= 15 und q= 124, dann berechnen wir mit der Cardano-Formel die Wurzel der Gleichung

Fazit: Diese Formel ist gut, aber nicht geeignet, um alle kubischen Gleichungen zu lösen. Allerdings ist es sperrig. Daher wird es in der Praxis selten verwendet.

Aber derjenige, der diese Formel beherrscht, kann sie beim Lösen von Gleichungen dritten Grades in der Prüfung verwenden.

2.2 Satz von Vieta

Aus dem Mathematikunterricht kennen wir diesen Satz für eine quadratische Gleichung, aber die wenigsten wissen, dass er auch zum Lösen von Gleichungen höheren Grades verwendet wird.

Betrachten Sie die Gleichung:

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung, dividiere durch ≠ 0.

Wir transformieren die rechte Seite der Gleichung in die Form

; Daraus folgt, dass wir folgende Gleichungen in das System schreiben können:

Die von Vieta für quadratische Gleichungen hergeleiteten und von uns für Gleichungen 3. Grades demonstrierten Formeln gelten auch für Polynome höheren Grades.

Lösen wir die kubische Gleichung:

Fazit: Diese Methode ist universell und für Schüler leicht verständlich, da ihnen der Satz von Vieta aus dem Schullehrplan für n bekannt ist = 2. Um die Wurzeln von Gleichungen unter Verwendung dieses Theorems zu finden, ist es gleichzeitig notwendig, gute Rechenkenntnisse zu haben.

2.3 Satz von Bezout

Dieser Satz ist nach dem französischen Mathematiker J. Bezout aus dem 18. Jahrhundert benannt.

Satz. Wenn die Gleichung a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, bei dem alle Koeffizienten ganze Zahlen sind und der freie Term von Null verschieden ist, eine ganzzahlige Wurzel hat, dann ist diese Wurzel ein Teiler des freien Terms.

Bedenkt man, dass das Polynom n-ten Grades auf der linken Seite der Gleichung steht, hat der Satz eine andere Interpretation.

Satz. Bei der Division eines Polynoms n-ten Grades bzgl x in ein Binom x-a der Rest ist gleich dem Wert der Dividende, wenn x = a. (Buchstabe a kann jede reelle oder imaginäre Zahl bezeichnen, d.h. jede komplexe Zahl).

Nachweisen: lassen f(x) bezeichnet ein beliebiges Polynom n-ten Grades bezüglich der Variablen x, und sei, wenn es durch ein Binomial ( x-a) ist privat passiert q(x) und im Übrigen R. Es ist klar, dass q(x) es wird ein Polynom geben (n - 1)ten Grades relativ x, und der Rest R wird ein konstanter Wert sein, d.h. unabhängig von x.

Wenn der Rest R ein Polynom ersten Grades in x wäre, dann würde dies bedeuten, dass die Division nicht durchgeführt wurde. So, R aus x hängt nicht ab. Per Definition der Division erhalten wir die Identität: f(x)=(x-a)q(x)+R.

Gleichheit gilt für jeden Wert von x, also gilt sie auch für x=a, wir bekommen: f(a)=(a-a)q(a)+R. Symbol Fa) bezeichnet den Wert des Polynoms f (x) beim x=a, q(a) bezeichnet einen Wert q(x) beim x=a. Rest R blieb wie vorher R aus x hängt nicht ab. Arbeit ( x-a) q(a) = 0, da der Multiplikator ( x-a) = 0, und der Multiplikator q(a) Es gibt eine bestimmte Anzahl. Daher erhalten wir aus der Gleichheit: f(a)=R, h.t.d.

Beispiel 1 Finden Sie den Rest der Division eines Polynoms x 3 - 3x 2 + 6x- 5 pro Binom

x- 2. Nach dem Satz von Bezout : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. Antworten: R= 3.

Beachten Sie, dass der Satz von Bézout an sich nicht so wichtig ist, sondern wegen seiner Konsequenzen. (Anhang 1)

Verweilen wir bei der Betrachtung einiger Methoden zur Anwendung des Satzes von Bezout zur Lösung praktischer Probleme. Es ist zu beachten, dass beim Lösen von Gleichungen mit dem Bezout-Theorem Folgendes erforderlich ist:

Finde alle ganzzahligen Teiler des freien Terms;

Finden Sie von diesen Teilern mindestens eine Wurzel der Gleichung;

Teile die linke Seite der Gleichung durch (Ha);

Schreiben Sie das Produkt aus Divisor und Quotient auf die linke Seite der Gleichung;

Lösen Sie die resultierende Gleichung.

Betrachten Sie das Beispiel der Lösung der Gleichung x 3 + 4X 2 +x- 6 = 0 .

Lösung: Finde die Teiler des freien Terms ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Berechnen Sie die Werte für x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. Teilen Sie die linke Seite der Gleichung durch ( X- 1). Wir führen die Division mit einer „Ecke“ durch, wir erhalten:

Schlussfolgerung: Der Satz von Bezout, einer der Wege, die wir in unserer Arbeit berücksichtigen, wird im Programm der außerschulischen Aktivitäten untersucht. Es ist schwer zu verstehen, denn um es zu meistern, müssen Sie alle Konsequenzen daraus kennen, aber gleichzeitig ist das Bezout-Theorem einer der Hauptassistenten für Studenten in der Prüfung.

2.4 Horners Schema

Ein Polynom durch ein Binom dividieren x-α Sie können einen speziellen einfachen Trick verwenden, der von englischen Mathematikern des 17. Jahrhunderts erfunden wurde und später als Horner-Schema bezeichnet wird. Zusätzlich zum Auffinden der Wurzeln von Gleichungen erleichtert Horners Schema die Berechnung ihrer Werte. Dazu muss der Wert der Variablen in das Polynom Pn eingesetzt werden (x)=a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ a n -1 x+a n. (ein)

Betrachten Sie die Division des Polynoms (1) durch das Binom x-α.

Wir drücken die Koeffizienten des unvollständigen Quotienten b aus 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ Mrd -1 und der Rest r in Bezug auf die Koeffizienten des Polynoms Pn( x) und Zahl α. b 0 = ein 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, Mrd -1 =

= α Mrd -2 +a n -1 = α Mrd -1 +a n .

Berechnungen nach dem Horner-Schema sind in Form der folgenden Tabelle dargestellt:

	a 0	a 1	a 2 ,
	b 0 = ein 0	b 1 = α b 0 +a 1	b 2 = α b 1 +a 2		r=α b n-1 +a n

Soweit r=Pn(α), dann ist α die Wurzel der Gleichung. Um zu prüfen, ob α eine mehrfache Wurzel ist, kann das Hornersche Schema bereits auf den Quotienten b angewendet werden 0 x+ b 1 x+…+ Mrd -1 laut Tabelle. Wenn in der Spalte unter Mrd -1 wir erhalten wieder 0, also ist α eine mehrfache Wurzel.

Betrachten Sie ein Beispiel: Lösen Sie die Gleichung X 3 + 4X 2 +x- 6 = 0.

Wenden wir auf die linke Seite der Gleichung die Faktorisierung des Polynoms auf der linken Seite der Gleichung an, das Horner-Schema.

Lösung: Finde die Teiler des freien Terms ± 1; ±2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Die Koeffizienten des Quotienten sind die Zahlen 1, 5, 6, und der Rest ist r = 0.

Meint, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

Von hier: X- 1 = 0 bzw X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Antworten: 1,- 2, - 3.

Schlussfolgerung: Wir haben also an einer Gleichung die Verwendung von zwei verschiedenen Möglichkeiten zur Faktorisierung von Polynomen gezeigt. Unserer Meinung nach ist Horners Schema das praktischste und wirtschaftlichste.

2.5 Lösung von Gleichungen 4. Grades. Ferrari-Methode

Cardanos Schüler Ludovic Ferrari entdeckte einen Weg, eine Gleichung 4. Grades zu lösen. Die Ferrari-Methode besteht aus zwei Schritten.

Stufe I: Die Gleichung der Form wird als Produkt zweier quadratischer Trinome dargestellt, dies folgt aus der Tatsache, dass die Gleichung 3. Grades ist und mindestens eine Lösung.

Stufe II: Die resultierenden Gleichungen werden durch Faktorisierung gelöst, um jedoch die erforderliche Faktorisierung zu finden, müssen kubische Gleichungen gelöst werden.

Die Idee ist, die Gleichungen als A 2 =B 2 darzustellen, wobei A= x 2+s,

B-lineare Funktion von x. Dann müssen noch die Gleichungen A = ±B gelöst werden.

Betrachten Sie zur Verdeutlichung die Gleichung: Wir trennen den 4. Grad, wir erhalten: Für alle d Ausdruck wird ein perfektes Quadrat sein. Addieren Sie beide Seiten der Gleichung, die wir erhalten

Auf der linken Seite ist ein volles Quadrat, das Sie aufheben können d sodass die rechte Seite von (2) ein perfektes Quadrat wird. Stellen Sie sich vor, wir hätten dies erreicht. Dann sieht unsere Gleichung so aus:

Das Finden der Wurzel wird später nicht schwierig sein. Das Richtige zu wählen d es ist notwendig, dass die Diskriminante der rechten Seite von (3) verschwindet, d.h.

Also zu finden d, ist es notwendig, diese Gleichung 3. Grades zu lösen. Diese Hilfsgleichung heißt auflösend.

Wir können leicht die ganzzahlige Wurzel der Auflösung finden: d= 1

Durch Einsetzen der Gleichung in (1) erhalten wir

Fazit: Die Ferrari-Methode ist universell, aber kompliziert und umständlich. Gleichzeitig können, wenn der Lösungsalgorithmus klar ist, Gleichungen 4. Grades mit dieser Methode gelöst werden.

2.6 Methode der unbestimmten Koeffizienten

Der Erfolg der Lösung der Gleichung 4. Grades nach der Ferrari-Methode hängt davon ab, ob wir die Resolvente lösen - die Gleichung 3. Grades, was bekanntlich nicht immer möglich ist.

Das Wesen der Methode der unbestimmten Koeffizienten besteht darin, dass die Art der Faktoren, in die ein bestimmtes Polynom zerlegt wird, erraten wird und die Koeffizienten dieser Faktoren (auch Polynome) durch Multiplizieren der Faktoren und Gleichsetzen der Koeffizienten mit denselben Potenzen von bestimmt werden Variable.

Beispiel: Lösen Sie die Gleichung:

Nehmen wir an, die linke Seite unserer Gleichung lässt sich in zwei quadratische Trinome mit ganzzahligen Koeffizienten zerlegen, so dass die identische Gleichheit gilt

Es ist offensichtlich, dass die Koeffizienten davor gleich 1 und die freien Terme gleich eins sein müssen + 1, der andere hat 1.

Die Koeffizienten gegenüber X. Lassen Sie uns sie mit bezeichnen a und um sie zu bestimmen, multiplizieren wir beide Trinome auf der rechten Seite der Gleichung.

Als Ergebnis erhalten wir:

Gleichsetzung der Koeffizienten bei gleichen Potenzen X auf der linken und rechten Seite der Gleichheit (1) erhalten wir ein System zum Auffinden von und

Dieses System zu lösen, werden wir haben

Also ist unsere Gleichung äquivalent zu der Gleichung

Wenn wir es lösen, erhalten wir die folgenden Wurzeln: .

Die Methode der unbestimmten Koeffizienten basiert auf den folgenden Aussagen: Jedes Polynom vierten Grades in der Gleichung kann in das Produkt zweier Polynome zweiten Grades zerlegt werden; Zwei Polynome sind genau dann identisch gleich, wenn ihre Koeffizienten bei denselben Potenzen gleich sind X.

2.7 Symmetrische Gleichungen

Definition. Eine Gleichung der Form heißt symmetrisch, wenn die ersten Koeffizienten auf der linken Seite der Gleichung gleich den ersten Koeffizienten auf der rechten Seite sind.

Wir sehen, dass die ersten Koeffizienten links gleich den ersten Koeffizienten rechts sind.

Wenn eine solche Gleichung einen ungeraden Grad hat, dann hat sie eine Wurzel X= - 1. Als nächstes können wir den Grad der Gleichung verringern, indem wir ihn durch ( x+ ein). Es stellt sich heraus, dass beim Teilen der symmetrischen Gleichung durch ( x+ 1) Eine symmetrische Gleichung geraden Grades wird erhalten. Der Beweis der Symmetrie der Koeffizienten wird unten gezeigt. (Anhang 6) Unsere Aufgabe ist es, zu lernen, wie man symmetrische Gleichungen geraden Grades löst.

Zum Beispiel: (1)

Wir lösen Gleichung (1), teilen durch X 2 (bis zum mittleren Grad) = 0.

Wir gruppieren die Terme mit symmetrisch

) + 3(x+ . Bezeichnen beim= x+ , quadrieren wir beide Teile, also = beim 2 Also 2 ( beim 2 oder 2 beim 2 + 3 Lösen der Gleichung, wir bekommen beim = , beim= 3. Als nächstes kehren wir zum Ersatz zurück x+ = und x+ = 3. Wir erhalten die Gleichungen und Die erste hat keine Lösung und die zweite hat zwei Nullstellen. Antworten:.

Fazit: Diese Art von Gleichungen ist nicht oft anzutreffen, aber wenn Sie darauf stoßen, können Sie sie leicht und einfach lösen, ohne auf umständliche Berechnungen zurückgreifen zu müssen.

2.8 Extraktion des vollen Grades

Betrachten Sie die Gleichung.

Die linke Seite ist die Kubikzahl der Summe (x + 1), d.h.

Wir ziehen die Wurzel des dritten Grades aus beiden Teilen: , dann erhalten wir

Wo ist die einzige Wurzel.

ERGEBNISSE DER STUDIE

Als Ergebnis der Arbeit kamen wir zu folgenden Schlussfolgerungen:

Dank der studierten Theorie haben wir verschiedene Methoden zur Lösung ganzer Gleichungen höheren Grades kennengelernt;

Die Formel von D. Cardano ist schwierig anzuwenden und ergibt eine hohe Wahrscheinlichkeit, Fehler bei der Berechnung zu machen;

− die Methode von L. Ferrari ermöglicht es, die Lösung der Gleichung vierten Grades auf die kubische zu reduzieren;

− Der Satz von Bezout kann sowohl für kubische Gleichungen als auch für Gleichungen vierten Grades verwendet werden; es ist verständlicher und anschaulicher, wenn es auf das Lösen von Gleichungen angewendet wird;

Horners Schema hilft, Berechnungen beim Lösen von Gleichungen erheblich zu reduzieren und zu vereinfachen. Neben dem Finden der Wurzeln erleichtert Horners Schema die Berechnung der Werte der Polynome auf der linken Seite der Gleichung;

Von besonderem Interesse war die Lösung von Gleichungen nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten, die Lösung symmetrischer Gleichungen.

Im Laufe der Forschungsarbeit wurde festgestellt, dass die Schüler in den Wahlfächern Mathematik ab der 9. oder 10. Klasse sowie in speziellen Kursen der Wandermathematik die einfachsten Methoden zur Lösung von Gleichungen höchsten Grades kennenlernen Schulen. Diese Tatsache wurde als Ergebnis einer Umfrage unter Mathematiklehrern der MBOU „Secondary School No. 9“ und Schülern festgestellt, die ein verstärktes Interesse am Fach „Mathematik“ zeigen.

Die beliebtesten Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades, die bei der Lösung von Olympiaden, Wettbewerbsproblemen und als Ergebnis der Prüfungsvorbereitung von Studenten auftreten, sind Methoden, die auf der Anwendung des Bezout-Theorems, des Horner-Schemas und der Einführung einer neuen Variablen basieren .

Demonstration der Ergebnisse der Forschungsarbeit, d.h. Möglichkeiten zur Lösung von Gleichungen, die nicht im Schullehrplan in Mathematik behandelt werden, interessierte Mitschüler.

Fazit

Studium der pädagogischen und wissenschaftlichen Literatur, Internetressourcen in Jugendbildungsforen