Basisdefinition. Ein Vektorsystem bildet eine Basis, wenn:

1) es ist linear unabhängig,

2) Jeder durch ihn verlaufende Raumvektor wird linear ausgedrückt.

Beispiel 1 Raumbasis: .

2. Im Vektorsystem Vektoren sind die Basis: , weil linear ausgedrückt in Form von Vektoren.

Kommentar. Um die Basis eines bestimmten Vektorsystems zu finden, müssen Sie:

1) Schreiben Sie die Koordinaten der Vektoren in die Matrix,

2) Bringen Sie die Matrix mithilfe elementarer Transformationen in eine Dreiecksform.

3) Nicht-Null-Zeilen der Matrix bilden die Grundlage des Systems.

4) Die Anzahl der Vektoren in der Basis entspricht dem Rang der Matrix.

Kronecker-Capelli-Theorem

Das Kronecker-Capelli-Theorem gibt eine erschöpfende Antwort auf die Frage der Kompatibilität eines beliebigen Systems linearer Gleichungen mit Unbekannten

Kronecker-Capelli-Theorem. Ein System linearer algebraischer Gleichungen ist genau dann konsistent, wenn der Rang der erweiterten Matrix des Systems gleich dem Rang der Hauptmatrix ist.

Der Algorithmus zum Finden aller Lösungen eines konsistenten linearen Gleichungssystems folgt aus dem Kronecker-Capelli-Theorem und den folgenden Theoremen.

Satz. Wenn der Rang eines konsistenten Systems gleich der Anzahl der Unbekannten ist, dann hat das System eine eindeutige Lösung.

Satz. Wenn der Rang eines konsistenten Systems kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten, dann hat das System unendlich viele Lösungen.

Algorithmus zur Lösung eines beliebigen linearen Gleichungssystems:

1. Finden Sie die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen des Systems. Wenn sie nicht gleich sind (), ist das System inkonsistent (hat keine Lösungen). Wenn die Ränge gleich sind ( , dann ist das System kompatibel.

2. Für ein kompatibles System finden wir ein Nebensystem, dessen Reihenfolge den Rang der Matrix bestimmt (ein solches Nebensystem wird Basissystem genannt). Wir stellen ein neues Gleichungssystem zusammen, in dem die Koeffizienten der Unbekannten in der Basis-Nebenrechnung enthalten sind (diese Unbekannten werden Hauptunbekannten genannt), wir verwerfen den Rest der Gleichungen. Wir belassen die Hauptunbekannten mit Koeffizienten auf der linken Seite und übertragen die verbleibenden Unbekannten (sie werden freie Unbekannte genannt) auf die rechte Seite der Gleichungen.

3. Lassen Sie uns die Ausdrücke der wichtigsten Unbekannten anhand der freien finden. Wir erhalten die allgemeine Lösung des Systems.

4. Indem wir den freien Unbekannten beliebige Werte geben, erhalten wir die entsprechenden Werte der Hauptunbekannten. Somit finden wir bestimmte Lösungen für das ursprüngliche Gleichungssystem.

Lineares Programmieren. Grundlegendes Konzept

Lineares Programmieren ist ein Zweig der mathematischen Programmierung, der Methoden zur Lösung extremer Probleme untersucht, die durch eine lineare Beziehung zwischen Variablen und ein lineares Kriterium gekennzeichnet sind.

Eine notwendige Voraussetzung für die Lösung eines linearen Programmierproblems sind Einschränkungen der Verfügbarkeit von Ressourcen, der Nachfragemenge, der Produktionskapazität des Unternehmens und anderer Produktionsfaktoren.

Der Kern der linearen Programmierung besteht darin, die Punkte mit dem größten oder kleinsten Wert einer bestimmten Funktion unter bestimmten Einschränkungen für die Argumente und Generatoren zu finden System der Beschränkungen , die normalerweise unendlich viele Lösungen hat. Jeder Satz variabler Werte (Funktionsargumente). F ), die das System der Nebenbedingungen erfüllen, heißt akzeptabler Plan Probleme der linearen Programmierung. Funktion F , dessen Maximum oder Minimum bestimmt wird, heißt Zielfunktion Aufgaben. Zulässiger Plan, bei dem das Maximum oder Minimum der Funktion erreicht wird F , wird genannt optimaler Plan Aufgaben.

Das System der Beschränkungen, das die Gesamtheit der Pläne definiert, wird durch die Produktionsbedingungen bestimmt. Ein lineares Programmierproblem ( ZLP ) ist die Auswahl des rentabelsten (optimalen) Plans aus der Menge der realisierbaren Pläne.

Die allgemeine Formulierung des linearen Programmierproblems lautet wie folgt:

Es gibt einige Variablen x \u003d (x 1, x 2, ... x n) und die Funktion dieser Variablen f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , das den Namen trägt Ziel Funktionen. Die Aufgabe ist gestellt: das Extremum (Maximum oder Minimum) der Zielfunktion zu finden f(x) vorausgesetzt, dass die Variablen X gehören zu einem bestimmten Bereich G :

Abhängig von der Art der Funktion f(x) und Bereiche G und zwischen Abschnitten der mathematischen Programmierung unterscheiden: quadratische Programmierung, konvexe Programmierung, ganzzahlige Programmierung usw. Die lineare Programmierung zeichnet sich dadurch aus, dass
eine Funktion f(x) ist eine lineare Funktion der Variablen x 1, x 2, ... x n
b) Region G vom System bestimmt linear Gleichheiten oder Ungleichheiten.

Vorlesungen über Algebra und Geometrie. Semester 1.

Vorlesung 9. Die Basis eines Vektorraums.

Zusammenfassung: System von Vektoren, Linearkombination eines Vektorsystems, Koeffizienten einer Linearkombination eines Vektorsystems, Basis auf einer Geraden, einer Ebene und im Raum, Abmessungen von Vektorräumen auf einer Geraden, einer Ebene und im Raum, Zerlegung eines Vektors in einer Basis, Koordinaten eines Vektors in Bezug auf eine Basis, Satz über die Gleichheit zweier Vektoren, lineare Operationen mit Vektoren in Koordinatenschreibweise, orthonormales Vektortripel, rechtes und linkes Vektortripel, orthonormale Basis, Hauptvektoralgebra orem.

Kapitel 9

Gegenstand 1. Basis auf der Linie, im Flugzeug und im Raum.

Definition. Jede endliche Menge von Vektoren wird als Vektorsystem bezeichnet.

Definition. Ausdruck wo
wird als Linearkombination eines Vektorsystems bezeichnet
, und die Zahlen
werden die Koeffizienten dieser Linearkombination genannt.

Seien L, Р und S eine Gerade, eine Ebene bzw. ein Punktraum und
. Dann
sind Vektorräume von Vektoren als gerichtete Segmente auf der Linie L, auf der Ebene P bzw. im Raum S.

Jeder Vektor ungleich Null wird aufgerufen
, d.h. Jeder Vektor ungleich Null, der kollinear zur Geraden L ist:
Und
.

Basisnotation
:
- Basis
.

Definition. Die Vektorraumbasis
ist ein beliebiges geordnetes Paar nichtkollinearer Vektoren im Raum
.

, Wo
,
- Basis
.

Definition. Die Vektorraumbasis
ist ein beliebiges geordnetes Tripel nicht koplanarer Vektoren (d. h. nicht in derselben Ebene liegend) des Raums
.

- Basis
.

Kommentar. Die Basis eines Vektorraums darf keinen Nullvektor im Raum enthalten
per Definition im Raum
Zwei Vektoren sind kollinear, wenn mindestens einer von ihnen im Raum Null ist
Drei Vektoren sind koplanar, d. h. sie liegen in derselben Ebene, wenn mindestens einer der drei Vektoren Null ist.

Punkt 2. Zerlegung eines Vektors anhand einer Basis.

Definition. Lassen ist ein beliebiger Vektor,
ist ein beliebiges Vektorsystem. Wenn die Gleichheit

dann sagen sie, dass der Vektor dargestellt als lineare Kombination eines gegebenen Vektorsystems. Wenn das gegebene Vektorsystem
eine Basis des Vektorraums ist, dann wird Gleichheit (1) als Zerlegung des Vektors bezeichnet Basis
. Linearkombinationskoeffizienten
heißen in diesem Fall die Koordinaten des Vektors relativ zur Basis
.

Satz. (Zur Entwicklung eines Vektors in Bezug auf eine Basis.)

Jeder Vektor eines Vektorraums kann in seine Basis und darüber hinaus auf eindeutige Weise zerlegt werden.

Nachweisen. 1) Sei L eine beliebige Linie (oder Achse) und
- Basis
. Nehmen Sie einen beliebigen Vektor
. Da beide Vektoren Und kollinear zur gleichen Linie L, dann
. Nutzen wir den Satz über die Kollinearität zweier Vektoren. Als
, dann gibt (existiert) eine solche Zahl
, Was
und so haben wir eine Zerlegung des Vektors erhalten Basis
Vektorraum
.

Wir beweisen nun die Einzigartigkeit einer solchen Zerlegung. Nehmen wir das Gegenteil an. Es gebe zwei Zerlegungen des Vektors Basis
Vektorraum
:

Und
, Wo
. Dann
und unter Verwendung des Verteilungsgesetzes erhalten wir:

Als
, dann folgt aus der letzten Gleichheit das
, usw.

2) Sei nun P eine beliebige Ebene und
- Basis
. Lassen
beliebiger Vektor dieser Ebene. Lassen Sie uns alle drei Vektoren von einem beliebigen Punkt dieser Ebene verschieben. Lass uns 4 gerade Linien bauen. Zeichnen wir eine gerade Linie , auf dem der Vektor liegt , Direkte
, auf dem der Vektor liegt . Durch das Ende des Vektors Zeichne eine Linie parallel zum Vektor und eine gerade Linie parallel zum Vektor . Diese 4 Linien schneiden ein Parallelogramm. Siehe Abb. unten. 3. Nach der Parallelogrammregel
, Und
,
,
- Basis ,
- Basis
.

Nun, wie bereits im ersten Teil dieses Beweises bewiesen wurde, gibt es Zahlen
, Was

Und
. Von hier aus erhalten wir:

und die Möglichkeit einer Erweiterung hinsichtlich der Basis ist bewiesen.

Lassen Sie uns nun die Eindeutigkeit der Erweiterung in Bezug auf die Basis beweisen. Nehmen wir das Gegenteil an. Es gebe zwei Zerlegungen des Vektors Basis
Vektorraum
:
Und
. Wir bekommen Gleichberechtigung

Wo sollte
. Wenn
, Das
, und da
, Das
und die Ausdehnungskoeffizienten sind:
,
. Lass es jetzt
. Dann
, Wo
. Nach dem Satz über die Kollinearität zweier Vektoren impliziert dies Folgendes
. Wir haben einen Widerspruch zur Bedingung des Satzes erhalten. Somit,
Und
, usw.

3) Lass
- Basis
lassen Sie es gehen
beliebiger Vektor. Führen wir die folgenden Konstruktionen durch.

Legen Sie alle drei Basisvektoren beiseite
und Vektor von einem Punkt aus und baue 6 Ebenen: die Ebene, in der die Basisvektoren liegen
, Ebene
und Flugzeug
; weiter durch das Ende des Vektors Zeichnen Sie drei Ebenen parallel zu den drei gerade konstruierten Ebenen. Diese 6 Flugzeuge schneiden den Karton aus:

Nach der Vektoradditionsregel erhalten wir die Gleichheit:

. (1)

Durch den Bau
. Aus dem Satz über die Kollinearität zweier Vektoren folgt daher, dass es eine Zahl gibt
, so dass
. Ebenfalls,
Und
, Wo
. Wenn wir nun diese Gleichungen in (1) einsetzen, erhalten wir:

und die Möglichkeit einer Erweiterung hinsichtlich der Basis ist bewiesen.

Lassen Sie uns die Einzigartigkeit einer solchen Zerlegung beweisen. Nehmen wir das Gegenteil an. Es gebe zwei Zerlegungen des Vektors Basis
:

UND . Dann

Beachten Sie, dass die Vektoren aufgrund der Annahme
nicht koplanar, daher sind sie paarweise nicht kollinear.

Zwei Fälle sind möglich:
oder
.

a) Sei
, dann folgt aus Gleichung (3):

. (4)

Aus Gleichung (4) folgt, dass der Vektor hinsichtlich der Basis erweitert
, d.h. Vektor liegt in der Vektorebene
und daher die Vektoren
koplanar, was der Bedingung widerspricht.

b) Es bleibt ein Fall
, d.h.
. Dann erhalten wir aus Gleichung (3) oder

Als
ist die Basis des Raums der in der Ebene liegenden Vektoren, und wir haben bereits die Eindeutigkeit der Entwicklung in der Basis der Vektoren der Ebene bewiesen, aus Gleichheit (5) folgt das
Und
, usw.

Der Satz ist bewiesen.

Folge.

1) Es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Vektormenge des Vektorraums
und die Menge der reellen Zahlen R.

2) Es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Vektormenge des Vektorraums
und kartesisches Quadrat

3) Es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Vektormenge des Vektorraums
und kartesischer Würfel
Mengen reeller Zahlen R.

Nachweisen. Beweisen wir die dritte Behauptung. Die ersten beiden werden auf ähnliche Weise bewiesen.

Lassen Sie uns im Raum auswählen und fixieren
eine gewisse Grundlage
und eine Anzeige einrichten
nach folgender Regel:

diese. Jeder Vektor ist einem geordneten Satz seiner Koordinaten zugeordnet.

Da bei einer festen Basis jeder Vektor einen eindeutigen Koordinatensatz hat, ist die durch Regel (6) gegebene Entsprechung tatsächlich eine Abbildung.

Aus dem Beweis des Satzes folgt, dass verschiedene Vektoren unterschiedliche Koordinaten bezüglich derselben Basis haben, d.h. Mapping (6) ist eine Injektion.

Lassen
eine beliebige geordnete Menge reeller Zahlen.

Betrachten Sie den Vektor
. Konstruktionsbedingt hat dieser Vektor Koordinaten
. Daher ist Abbildung (6) eine Surjektion.

Eine Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist bijektiv, d. h. eins zu eins usw.

Die Konsequenz ist bewiesen.

Satz. (Über die Gleichheit zweier Vektoren.)

Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn ihre Koordinaten in Bezug auf dieselbe Basis gleich sind.

Der Beweis folgt unmittelbar aus dem vorherigen Korollar.

Punkt 3. Dimension eines Vektorraums.

Definition. Die Anzahl der Vektoren in der Basis eines Vektorraums wird als dessen Dimension bezeichnet.

Bezeichnung:
ist die Dimension des Vektorraums V.

Somit haben wir in Übereinstimmung mit dieser und früheren Definitionen:

1)
ist der Vektorraum der Vektoren der Linie L.

- Basis
,
,
,
– Vektorzerlegung
Basis
,
- Vektorkoordinate relativ zur Basis
.

2)
ist der Vektorraum der Vektoren der Ebene Р.

- Basis
,
,
,
– Vektorzerlegung
Basis
,
sind Vektorkoordinaten relativ zur Basis
.

3)
ist der Vektorraum der Vektoren im Raum der Punkte S.

- Basis
,
,
– Vektorzerlegung
Basis
,
sind Vektorkoordinaten relativ zur Basis
.

Kommentar. Wenn
, Das
und Sie können die Basis wählen
Raum
So
- Basis
Und
- Basis
. Dann
, Und
, .

Somit kann jeder Vektor der Linie L, der Ebene P und des Raums S hinsichtlich der Basis erweitert werden
:

Bezeichnung. Aufgrund des Vektorgleichheitssatzes können wir jeden Vektor mit einem geordneten Tripel reeller Zahlen identifizieren und schreiben:

Dies ist nur möglich, wenn die Basis
fixiert und es besteht keine Gefahr des Verhedderns.

Definition. Der Datensatz eines Vektors in Form eines geordneten Tripels reeller Zahlen wird als Koordinatenform des Vektordatensatzes bezeichnet:
.

Punkt 4. Lineare Operationen mit Vektoren in Koordinatenschreibweise.

Lassen
- Weltraumbasis
Und
sind seine zwei beliebigen Vektoren. Lassen
Und
ist die Notation dieser Vektoren in Koordinatenform. Lassen Sie weiter,
ist eine beliebige reelle Zahl. In diesen Notationen gilt der folgende Satz.

Satz. (Über lineare Operationen mit Vektoren in Koordinatenform.)

2)
.

Mit anderen Worten: Um zwei Vektoren zu addieren, müssen Sie ihre entsprechenden Koordinaten addieren, und um einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie jede Koordinate dieses Vektors mit einer bestimmten Zahl multiplizieren.

Nachweisen. Da wir gemäß der Bedingung des Satzes die Axiome des Vektorraums verwenden, die den Operationen der Addition von Vektoren und der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl unterliegen, erhalten wir:

Dies impliziert.

Die zweite Gleichheit wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Der Satz ist bewiesen.

Punkt 5. Orthogonale Vektoren. Orthonormale Basis.

Definition. Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn der Winkel zwischen ihnen gleich dem rechten Winkel ist, d.h.
.

Bezeichnung:
– Vektoren Und senkrecht.

Definition. Vektortrio
heißt orthogonal, wenn diese Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind, d.h.
,
.

Definition. Vektortrio
heißt orthonormal, wenn es orthogonal ist und die Längen aller Vektoren gleich eins sind:
.

Kommentar. Aus der Definition folgt, dass ein orthogonales und damit orthonormales Vektortripel nicht koplanar ist.

Definition. Geordnetes nichtkoplanares Vektortripel
, von einem Punkt abgelegt, heißt rechts (rechtsorientiert), wenn es vom Ende des dritten Vektors aus betrachtet wird zur Ebene, die die ersten beiden Vektoren enthält Und , die kürzeste Drehung des ersten Vektors auf die Sekunde erfolgt gegen den Uhrzeigersinn. Andernfalls heißt das Vektortripel links (linksorientiert).

Hier zeigt Abb. 6 das rechte Vektortripel
. Die folgende Abbildung 7 zeigt das linke Vektortriplett
:

Definition. Basis
Vektorraum
heißt orthonormal, wenn
orthonormales Vektortripel.

Bezeichnung. Im Folgenden verwenden wir die richtige Orthonormalbasis
, siehe folgende Abbildung.

Ausdruck der Form genannt lineare Kombination von Vektoren A 1 , A 2 ,...,A n mit Koeffizienten λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Bestimmung der linearen Abhängigkeit eines Vektorsystems

Vektorsystem A 1 , A 2 ,...,A n genannt linear abhängig, wenn es eine Zahlenmenge ungleich Null gibt λ 1, λ 2 ,...,λ n, unter dem die Linearkombination von Vektoren λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n gleich Nullvektor, also das Gleichungssystem: hat eine Lösung ungleich Null.
Zahlensatz λ 1, λ 2 ,...,λ n ist ungleich Null, wenn mindestens eine der Zahlen λ 1, λ 2 ,...,λ n verschieden von Null.

Bestimmung der linearen Unabhängigkeit eines Vektorsystems

Vektorsystem A 1 , A 2 ,...,A n genannt linear unabhängig, wenn die lineare Kombination dieser Vektoren λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n ist nur für eine Nullmenge von Zahlen gleich dem Nullvektor λ 1, λ 2 ,...,λ n , also das Gleichungssystem: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ hat eine eindeutige Nulllösung.

Beispiel 29.1

Überprüfen Sie, ob ein Vektorsystem linear abhängig ist

Lösung:

1. Wir stellen ein Gleichungssystem auf:

2. Wir lösen es mit der Gauß-Methode. Die jordanischen Transformationen des Systems sind in Tabelle 29.1 angegeben. Bei der Berechnung werden die richtigen Teile des Systems nicht aufgeschrieben, da sie gleich Null sind und sich bei Jordan-Transformationen nicht ändern.

3. Aus den letzten drei Zeilen der Tabelle Wir schreiben das zulässige System, das dem Original entspricht System:

4. Wir erhalten die allgemeine Lösung des Systems:

5. Nachdem Sie den Wert der freien Variablen x 3 =1 nach eigenem Ermessen festgelegt haben, Wir erhalten eine bestimmte Nicht-Null-Lösung X=(-3,2,1).

Antwort: Bei einer Zahlenmenge ungleich Null (-3,2,1) entspricht die Linearkombination der Vektoren also dem Nullvektor -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Somit, System linear abhängiger Vektoren.

Eigenschaften von Vektorsystemen

Eigentum (1)
Wenn das Vektorsystem linear abhängig ist, dann wird mindestens einer der Vektoren in Bezug auf den Rest zerlegt, und umgekehrt, wenn mindestens einer der Vektoren des Systems in Bezug auf den Rest zerlegt wird, dann ist das Vektorsystem linear abhängig.

Eigentum (2)
Wenn ein Teilsystem von Vektoren linear abhängig ist, dann ist das gesamte System linear abhängig.

Eigentum (3)
Wenn ein Vektorsystem linear unabhängig ist, dann ist jedes seiner Subsysteme linear unabhängig.

Eigentum (4)
Jedes Vektorsystem, das einen Nullvektor enthält, ist linear abhängig.

Eigentum (5)
Ein System m-dimensionaler Vektoren ist immer dann linear abhängig, wenn die Anzahl der Vektoren n größer als ihre Dimension ist (n>m).

Grundlage des Vektorsystems

Die Basis des Vektorsystems A 1 , A 2 ,..., A n ein solches Subsystem B 1 , B 2 ,...,B r(Jeder der Vektoren B 1 ,B 2 ,...,B r ist einer der Vektoren A 1 , A 2 ,..., A n), der die folgenden Bedingungen erfüllt:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r linear unabhängiges Vektorsystem;
2. irgendein Vektor Aj des Systems A 1 , A 2 ,..., A n wird linear durch die Vektoren B 1 ,B 2 ,...,B r ausgedrückt

R ist die Anzahl der in der Basis enthaltenen Vektoren.

Satz 29.1 Auf der Einheitsbasis eines Vektorsystems.

Wenn ein System m-dimensionaler Vektoren m verschiedene Einheitsvektoren E 1 E 2 ,..., E m enthält, dann bilden sie die Basis des Systems.

Algorithmus zum Finden der Basis eines Vektorsystems

Um die Basis des Vektorsystems A 1 ,A 2 ,...,A n zu finden, ist es notwendig:

• Stellen Sie ein homogenes Gleichungssystem auf, das dem Vektorsystem entspricht A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Bringen Sie dieses System mit