Nach der Bestimmung des anfänglichen Drehwinkels wird die Auslenkung des Abschnitts A berechnet.

, in Abb. 2.3 durch eine gepunktete Linie dargestellt, wird in Fällen eingeführt, in denen die Durchbiegung in einem Abschnitt bestimmt wird, der außerhalb des Wirkungsbereichs einer Flächenlast liegt.

Der Drehwinkel des Abschnitts B wird nach der Formel (2.20) berechnet, die man einnehmen sollte

2.2.2. Mohr-Integral.

Mohrs universelle Formel zur Berechnung elastischer Verschiebungen in Stabsystemen ist eine natürliche Verallgemeinerung der Formel von Castigliano. Für linear elastische Stabsysteme hat die Castigliano-Formel die Form

Δ ZU-generalisierte Verschiebung des Abschnitts K,

R K ist die verallgemeinerte Kraft, die der verallgemeinerten Verschiebung Δ entspricht ZU,

U ist die potentielle Energiefunktion.

Die potentielle Energie ist eine quadratische Funktion der Kräfte und wird für Biegeelemente wie folgt geschrieben:

(2.22)

In den allermeisten Fällen wird der Einfluss der Querkraft auf die Größe der potentiellen Energie vernachlässigt. Die Kombination der Formeln (2.21) und (2.22) ergibt

(2.23)

Die partielle Ableitung entspricht der Funktion des Biegemoments, das durch die Wirkung einer einzelnen verallgemeinerten Kraft verursacht wird, die im Abschnitt K in Richtung der gewünschten Bewegung ausgeübt wird. Formel (2.23) geschrieben als

(2.24)

definiert eine besondere Form der universellen Mohr-Formel zur Definition von Verschiebungen in Biegeelementen.

In der Praxis wird eine grafisch-analytische Methode zur Berechnung des Mohr-Integrals (Vereshchagin-Methode) verwendet.

- Bereich des Lastdiagramms (Diagramm des Biegemoments aus der Einwirkung einer bestimmten Last);

- Ordinate eines einzelnen Diagramms (Epure des Biegemoments aus der Wirkung einer einzelnen verallgemeinerten Kraft), gemessen unter der Mitte des Lastdiagramms.

Die Berechnung des Mohr-Integrals nach der Wereschtschagin-Formel wird in der Lehrliteratur als „Multiplikation“ von Diagrammen bezeichnet.

In einigen Fällen ist es bei der Berechnung des Mohr-Integrals zweckmäßig, die Simpson-Formel zu verwenden

(2.26)

wobei die Indizes „n“, „s“, „k“ jeweils den Anfang, die Mitte und das Ende des Abschnitts der multiplizierten Diagramme bezeichnen.

Beispiel 2 Abschnittsdurchbiegung ermitteln A und der Drehwinkel des Abschnitts IN in Beispiel 1 berücksichtigte Balken (Abb. 2.4.a).

Berechnen Sie das Mohr-Integral mit der Simpson-Formel.

Um die Durchbiegung des Abschnitts zu bestimmen A Ladung M p(Abb.2.4.b) und Einzelkurven (Abb.2.4.c) der Biegemomente.

Die Multiplikation der Belastungs- und Einheitsdiagramme der Biegemomente nach der Simpson-Formel ergibt

Zur Bestimmung des Drehwinkels des Referenzabschnitts IN Das zweite Einzeldiagramm des Biegemoments wird aus der Wirkung eines im Abschnitt aufgebrachten Einzelmoments erstellt IN Balken (Abb. 2.4.d).

Der Wert des Drehwinkels wird durch Multiplikation der Last- und Einheitsdiagramme (Abb. 2.4.d) der Biegemomente ermittelt.

Notiz. Das Minuszeichen in den Antworten bedeutet die Richtungen der tatsächlichen Verschiebungen der Abschnitte A Und IN wird den Verschiebungsrichtungen entgegengesetzt sein, die einzelnen verallgemeinerten Kräften entsprechen.

2.3. statisch unbestimmte Balken
(Methode der Offenlegungskräfte statischer Unbestimmtheit)

Statisch unbestimmte Balken enthalten „zusätzliche“ Verbindungen (beim Entfernen zusätzlicher Verbindungen werden die Balken statisch bestimmt). Die Anzahl der zusätzlichen Verbindungen bestimmt den Grad der statischen Unbestimmtheit des Problems.

Ein statisch bestimmter geometrisch unveränderlicher Balken, der aus einem gegebenen statisch unbestimmten Balken durch Entfernen redundanter Verbindungen gewonnen wird, wird als Hauptsystem der Kraftmethode bezeichnet.

Der Algorithmus zur Lösung statisch unbestimmter Balken nach der Kraftmethode wird am Beispiel eines einmal statisch unbestimmten Balkens betrachtet (Abb. 2.5.a).

Die Lösung des Problems beginnt mit der Wahl des Hauptsystems der Kräftemethode (Abb. 2.5.b). Es ist zu beachten, dass dies nicht die einzige Möglichkeit zur Auswahl des Hauptsystems ist (insbesondere ist es möglich, interne Verbindungen durch Anbringen eines Scharniers zu entfernen).

Das Wesen der Kräftemethode liegt in der Negierung von Verschiebungen in Richtung einer entfernten Verbindung. Mathematisch wird diese Bedingung als Verschiebungskompatibilitätsgleichung geschrieben

, (2.27)

δ 11 - Bewegung in Richtung der unterbrochenen Verbindung, verursacht durch die Wirkung eines einzelnen Wertes der unbekannten Reaktion der Fernverbindung (Abb. 2.5.c)

Δ 1P – Bewegung in Richtung der abgefallenen Verbindung, verursacht durch die Einwirkung einer bestimmten Last (Abb. 2.5.d)

Die Berechnung der Verschiebungen δ 11 , Δ 1P erfolgt nach der Simpson-Formel.

Der Koeffizient δ 11 der kanonischen Gleichung der Kräftemethode wird durch Multiplikation des Einheitsdiagramms (Abb. 2.5.e) mit sich selbst bestimmt

Der Koeffizient Δ 1Р der kanonischen Gleichung der Kraftmethode wird durch Multiplikation der Einheit (Abb. 2.5.e) und der Last (Abb. 2.5) berechnet. D) Diagramm

Aus der Lösung von Gleichung (2.27) wird die Reaktion bestimmt x1 zusätzliche Verbindung

Dieser Lösungsschritt entspricht der Offenlegung der statischen Unbestimmtheit des Problems.

Diagramm des Biegemoments MX(Abb. 2.5.h) in einem statisch unbestimmten Balken wird nach der Formel aufgebaut

(2.28)

Auf Abb. 2.5.g zeigt ein „korrigiertes“ Einzeldiagramm, dessen Ordinaten alle vergrößert sind x1 einmal.

Der betrachtete Algorithmus zur Lösung statisch unbestimmter Probleme nach der Kräftemethode eignet sich auch zur Lösung statisch unbestimmter Probleme bei Torsion, bei Axiallasten sowie bei komplexer Verformung des Stabes.

2.4. Stabilität komprimierter Stäbe

Für ein vollständiges Verständnis der Funktionsweise der Struktur sind neben Berechnungen der Festigkeit und Steifigkeit auch Berechnungen der Stabilität komprimierter und komprimiert gebogener Elemente erforderlich.

Zusätzlich zu den Bemessungslasten können technische Objekte zusätzlichen, in der Berechnung nicht vorgesehenen kleinen Störungen ausgesetzt sein, die zu nichtbemessungsbedingten Verformungen der Elemente des Objekts führen können (Krümmung der Achse komprimierter Elemente, räumliche Biegung einer Ebene). -gebogenes Element). Das Ergebnis einer solchen zusätzlichen Einwirkung hängt von der Intensität der auf das Strukturelement einwirkenden Belastungen ab. Für jedes Element gibt es einen bestimmten kritischen Belastungswert, oberhalb dessen eine kleine zufällige Störung eine irreversible, nicht konstruktionsbedingte Verformung verursacht. Dieser Zustand des Objekts ist gefährlich.

Strahlelastische Linie - Balkenachse nach der Verformung.

Strahlablenkung $y$ - translatorische Bewegung des Schwerpunkts in Querrichtung des Balkens. Die Auslenkung nach oben gilt als positiv, nach unten- ’ geräumig.

Elastische Liniengleichung - mathematische Notation der Abhängigkeit $y(x)$ (Ablenkung entlang der Länge des Balkens).

Ablenkungspfeil $f = (y_(\max ))$ - der Maximalwert der Strahlablenkung entlang der Länge.

Abschnittsdrehwinkel $\varphi $ - der Winkel, um den sich der Abschnitt während der Verformung des Balkens dreht. Der Drehwinkel gilt als positiv, wenn sich der Abschnitt gegen den Uhrzeigersinn dreht und umgekehrt.

Der Drehwinkel des Abschnitts ist gleich dem Neigungswinkel der elastischen Linie. Somit ist die Funktion der Änderung des Drehwinkels entlang der Länge des Balkens gleich der ersten Ableitung der Ablenkungsfunktion $\varphi (x) = y"(x)$.

Beim Biegen berücksichtigen wir alsozwei Bewegungsarten- Durchbiegung und Drehwinkel des Abschnitts.

Zweck der Verschiebungsdefinition

Bewegungen in Stabsystemen (insbesondere in Balken) werden bestimmt, um die Steifigkeitsbedingungen sicherzustellen (Durchbiegungen sind durch Bauvorschriften begrenzt).

Darüber hinaus ist die Definition von Verschiebungen zur Berechnung der Festigkeit statisch nicht überragender Systeme erforderlich.

Differentialgleichung einer elastischen Linie (gekrümmte Achse) eines Balkens

In diesem Stadium muss die Abhängigkeit der Verschiebungen im Balken von äußeren Lasten, der Befestigungsart, den Abmessungen des Balkens und dem Material ermittelt werden. Für eine vollständige Lösung des Problems ist es notwendig, die Durchbiegungsfunktion $y(x)$ über die gesamte Länge des Balkens zu erhalten. Es ist ganz offensichtlich, dass die Verschiebungen im Balken von den Verformungen jedes Abschnitts abhängen. Zuvor haben wir die Abhängigkeit der Krümmung des Balkenabschnitts vom in diesem Abschnitt wirkenden Biegemoment ermittelt.

$\frac(1)(\rho ) = \frac(M)((EI))$.

Die Krümmung einer Linie wird durch ihre Gleichung $y(x)$ as bestimmt

$\frac(1)(\rho ) = \frac((y))((((\left((1 + ((\left((y") \right))^2)) \right))^ (3/2))))$ ,

wobei $y"$ und $y$ - jeweils die erste und zweite Ableitung der Ablenkungsfunktion mit der Koordinate X.

Aus praktischer Sicht kann diese Notation vereinfacht werden. Eigentlich $y" = \varphi $- Der Drehwinkel des Abschnitts in realen Strukturen kann in der Regel nicht groß sein und nicht mehr als 1 Grad betragen= 0,017rad . Dann ist $1 + (\left((y") \right)^2) = 1 + (0,017^2) = 1,000289 \ungefähr 1$, das heißt, wir können davon ausgehen, dass $\frac(1)(\rho ) = y " = \frac(((d^2)y))((d(x^2)))$. Also haben wirGleichung der elastischen Balkenlinie(Differentialgleichung der gebogenen Achse des Balkens). Diese Gleichung wurde erstmals von Euler aufgestellt.

$\frac(((d^2)y))((d(x^2))) = \frac((M(x)))((EI)).$

Die erhaltene differenzielle Abhängigkeit zeigt den Zusammenhangzwischen Verschiebungen und Schnittgrößen in Balken. Unter Berücksichtigung der differentiellen Abhängigkeit zwischen Querkraft, Biegemoment und Querlast zeigen wir den Inhalt der Ableitungen der Durchbiegungsfunktion.

$y(x)$ - Ablenkfunktion;

$y"(x) = \varphi (x)$ - Drehwinkelfunktion;

$EI \cdot y"(x) = M(x)$ - Biegemomentänderungsfunktion;

$EI \cdot y""(x) = M"(x) = Q(x)$- Scherkraftänderungsfunktion;

$EI \cdot (y^(IV))(x) = M"(x) = q(x)$- Funktion der Änderung der Querlast.

Vorlesung 13 (Fortsetzung). Beispiele für Lösungen zur Berechnung von Verschiebungen nach der Mohr-Vereshchagin-Methode und Aufgaben zur unabhängigen Lösung

Definition von Verschiebungen in Balken

Beispiel 1

Bestimmen Sie die Bewegung eines Punktes ZU Balken (siehe Abb.) unter Verwendung des Mohr-Integrals.

Lösung.

1) Wir stellen die Gleichung des Biegemoments aus der äußeren Kraft zusammen M F .

2) Bewerben Sie sich direkt vor Ort ZU Einheitskraft F = 1.

3) Wir schreiben die Gleichung des Biegemoments aus einer Einheitskraft.

4) Bestimmen Sie die Verschiebungen

Beispiel 2

Bestimmen Sie die Bewegung eines Punktes ZU Balken nach der Wereschtschagin-Methode.

Lösung.

1) Wir erstellen ein Frachtdiagramm.

2) Wir wenden eine Einheitskraft am Punkt K an.

3) Wir erstellen ein einzelnes Diagramm.

4) Bestimmen Sie die Durchbiegung

Beispiel 3

Bestimmen Sie die Drehwinkel an den Stützen A Und IN

Lösung.

Wir erstellen Diagramme aus einer gegebenen Last und aus abschnittsweise aufgebrachten Einzelmomenten A Und IN(siehe Abb.). Die gewünschten Verschiebungen werden mithilfe der Mohr-Integrale ermittelt

,

, die nach der Wereschtschagin-Regel berechnet werden.

Diagrammparameter finden

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

und dann die Drehwinkel an den Stützen A Und IN

Beispiel 4

Bestimmen Sie den Drehwinkel des Abschnitts MIT für einen bestimmten Strahl (siehe Abbildung).

Lösung.

Unterstützungsreaktionen ermitteln R A =R B ,

, , R A = R B = qa.

Wir erstellen Diagramme des Biegemoments aus einer gegebenen Last und aus einem einzelnen im Abschnitt aufgebrachten Moment MIT, wobei der Drehwinkel gesucht wird. Das Mohr-Integral wird nach der Wereschtschagin-Regel berechnet. Diagrammparameter finden

C 2 = -C 1 = -1/4,

und entlang ihnen die erforderliche Verschiebung

Beispiel 5

Bestimmen Sie die Durchbiegung im Abschnitt MIT für einen bestimmten Strahl (siehe Abbildung).

Lösung.

Diagramm M F(Abb. b)

Support-Reaktionen:

SEI: , ,

, R B + R E = F, R E = 0;

AB: , R A = R IN = F; , .

Wir berechnen die Momente an den charakteristischen Punkten, M B = 0, M C = Fa und erstellen Sie ein Diagramm des Biegemoments aus einer gegebenen Last.

Diagramm(Abb. c).

im Abschnitt MIT, wo die Durchbiegung gesucht wird, wenden wir eine Einheitskraft an und erstellen daraus eine Kurve des Biegemoments, wobei wir zunächst die Auflagerreaktionen berechnen SEI - , , = 2/3; , , = 1/3, und dann Momente an charakteristischen Punkten , , .

2. Bestimmung der gewünschten Durchbiegung. Lassen Sie uns die Wereschtschagin-Regel verwenden und vorläufig die Diagrammparameter berechnen und:

,

Abschnittsdurchbiegung MIT

Beispiel 6

Bestimmen Sie die Durchbiegung im Abschnitt MIT für einen bestimmten Strahl (siehe Abbildung).

Lösung.

MIT. Mit der Wereschtschagin-Regel berechnen wir die Parameter von Diagrammen ,

und finden Sie die gewünschte Ablenkung

Beispiel 7

Bestimmen Sie die Durchbiegung im Abschnitt MIT für einen bestimmten Strahl (siehe Abbildung).

Lösung.

1. Erstellung von Biegemomentdiagrammen.

Support-Reaktionen:

, , R A = 2qa,

, R A + R D = 3qa, R D = qa.

Wir erstellen Diagramme von Biegemomenten aus einer gegebenen Last und einer an einem Punkt wirkenden Einheitskraft MIT.

2. Definition von Verschiebungen. Um das Mohr-Integral zu berechnen, verwenden wir die Simpson-Formel und wenden sie nacheinander auf jeden der drei Abschnitte an, in die der Strahl unterteilt ist.

ParzelleAB :

ParzelleSonne :

ParzelleMIT D :

Gewünschte Verschiebung

Beispiel 8

Abschnittsdurchbiegung ermitteln A und der Drehwinkel des Abschnitts E für einen gegebenen Strahl (Abb. A).

Lösung.

1. Erstellung von Biegemomentdiagrammen.

Diagramm M F(Reis. V). Nachdem wir die Unterstützungsreaktionen ermittelt haben

, , R B = 19qa/8,

, R D = 13qa/8 erstellen wir Diagramme der Querkraft Q und Biegemoment M F aus der gegebenen Belastung.

Diagramm(Abb. e). im Abschnitt A, wo die Durchbiegung gesucht wird, wenden wir eine Einheitskraft an und erstellen daraus ein Diagramm des Biegemoments.

Diagramm(Abb. e). Dieses Diagramm wird aus einem einzelnen Moment erstellt, das im Abschnitt angewendet wird E, wobei der Drehwinkel gesucht wird.

2. Definition von Verschiebungen. Abschnittsdurchbiegung A Wir finden die Verwendung der Wereschtschagin-Regel. Diagramm M F auf den Grundstücken Sonne Und CD wir zerlegen es in einfache Teile (Abb. d). Die notwendigen Berechnungen werden in tabellarischer Form dargestellt.

	-qa 3 /6	2qa 3 /3	-qa 3 /2				-qa 3 /2
C ich
		-qa 4 /2	5qa 4 /12	-qa 4 /6	-qa 4 /12			-qa 4 /24

Wir bekommen .

Das Minuszeichen im Ergebnis bedeutet, dass der Punkt A bewegt sich nicht nach unten, wie die Einheitskraft gerichtet war, sondern nach oben.

Abschnittsdrehwinkel E Wir finden es auf zwei Arten: durch die Wereschtschagin-Regel und durch die Simpson-Formel.

Nach der Regel von Wereschtschagin, Multiplikationsdiagramme M F und in Analogie zum vorherigen erhalten wir

,

Um den Drehwinkel mit der Simpson-Formel zu ermitteln, berechnen wir die vorläufigen Biegemomente in der Mitte der Abschnitte:

Der gewünschte Hubraum wird vergrößert EI X einmal,

Beispiel 9

Bestimmen Sie, bei welchem ​​Wert der Koeffizient liegt k Abschnittsdurchbiegung MIT wird gleich Null sein. Mit dem gefundenen Wert k Erstellen Sie ein Diagramm des Biegemoments und stellen Sie eine ungefähre Ansicht der elastischen Linie des Balkens dar (siehe Abbildung).

Lösung.

Wir erstellen Diagramme der Biegemomente aus einer gegebenen Last und einer im Abschnitt ausgeübten Einheitskraft MIT, wo die Ablenkung gesucht wird.

Je nach Aufgabenstellung V C= 0. Andererseits ist . Integraler Bestandteil der Handlung AB berechnet nach der Simpson-Formel und auf dem Grundstück Sonne nach Wereschtschagins Regel.

Wir finden im Voraus

Einen Abschnitt verschieben MIT ,

Von hier , .

Mit dem gefundenen Wert k Bestimmen Sie den Wert der Stützreaktion am Punkt A: , , , anhand dessen wir die Position des Extrempunkts im Diagramm ermitteln M je nach Zustand .

Nach den momentanen Werten an den charakteristischen Punkten

Wir erstellen ein Diagramm des Biegemoments (Abb. d).

Beispiel 10

IN Auslegerbalken wie in der Abbildung dargestellt.

Lösung.

M durch die Einwirkung einer äußeren konzentrierten Kraft F: M IN = 0, M A = –F 2l(Plot ist linear).

Je nach Zustand des Problems ist es erforderlich, die vertikale Verschiebung zu bestimmen bei IN Punkte IN Auslegerbalken, also erstellen wir ein Einheitsdiagramm aus der Wirkung einer vertikalen Einheitskraft F ich = 1 an der Stelle angewendet IN.

In Anbetracht der Tatsache, dass der Kragarm aus zwei Abschnitten mit unterschiedlicher Biegesteifigkeit besteht, Diagramme und M Wir multiplizieren mit der Vereshchagin-Regel für Abschnitte separat. Grundstücke M und im ersten Abschnitt multiplizieren wir mit der Formel und die Diagramme des zweiten Abschnitts - als Fläche des Diagramms M zweiter Abschnitt fl 2 / 2 zur Ordinate 2 l/3 Diagramme des zweiten Abschnitts unter dem Schwerpunkt des Dreiecksdiagramms M des gleichen Gebietes.

In diesem Fall die Formel gibt:

Beispiel 11.

Bestimmen Sie die vertikale Bewegung eines Punktes IN Einfeldträger, wie in der Abbildung dargestellt. Der Balken weist über seine gesamte Länge eine konstante Biegesteifigkeit auf EI.

Lösung.

Wir erstellen ein Diagramm der Biegemomente M aus der Einwirkung einer externen verteilten Last: M A = 0; M D = 0;

Bewerben Sie sich direkt vor Ort IN Einheit Vertikalkraft F ich = 1 und erstellen Sie ein Diagramm (siehe Abb.):

Wo R A = 2/3;

Wo R D = 1/3, also M A = 0; M D = 0; .

Wir teilen den betrachteten Balken in 3 Abschnitte. Die Multiplikation der Diagramme des 1. und 3. Abschnitts bereitet keine Schwierigkeiten, da wir Dreiecksdiagramme multiplizieren. Um die Vereshchagin-Regel auf den 2. Abschnitt anzuwenden, teilen wir das Diagramm M 2. Abschnitt in zwei Komponenten des Diagramms: rechteckig und parabolisch mit Fläche (siehe Tabelle).

Schwerpunkt des parabolischen Teils des Diagramms M liegt in der Mitte von Abschnitt 2.

So die Formel Bei Verwendung der Wereschtschagin-Regel ergibt sich:

Beispiel 12.

Bestimmen Sie die maximale Durchbiegung eines Trägers mit zwei Trägern, der mit einer gleichmäßig verteilten Intensitätslast belastet ist Q(siehe Abb.).

Lösung.

Biegemomente ermitteln:

Ab einer gegebenen Belastung

Von einer an einem Punkt ausgeübten Einheitskraft MIT, wo die Ablenkung gesucht wird.

Wir berechnen die gewünschte maximale Durchbiegung, die im mittleren Balkenabschnitt auftritt

Beispiel 13

Bestimmen Sie die Durchbiegung an einem Punkt IN Balken wie in der Abbildung dargestellt.

Lösung.

Wir erstellen Diagramme der Biegemomente aus einer gegebenen Last und einer an einem Punkt wirkenden Einheitskraft IN. Um diese Diagramme zu multiplizieren, ist es notwendig, den Strahl in drei Abschnitte zu unterteilen, da ein einzelnes Diagramm durch drei verschiedene Geraden begrenzt wird.

Die Multiplikationsdiagramme im zweiten und dritten Abschnitt sind einfach durchzuführen. Bei der Berechnung der Fläche und der Koordinaten des Schwerpunkts des Hauptdiagramms im ersten Abschnitt treten Schwierigkeiten auf. In solchen Fällen vereinfacht die Konstruktion von Schichtdiagrammen die Lösung des Problems erheblich. In diesem Fall ist es zweckmäßig, einen der Abschnitte bedingt als festen zu nehmen und aus jeder der Lasten Diagramme zu erstellen, wobei man sich diesem Abschnitt von rechts und links nähert. Es empfiehlt sich, den Abschnitt an der Bruchstelle im Einzellastdiagramm als festen Abschnitt zu betrachten.

Schichtdiagramm, bei dem der Abschnitt als fest angenommen wird IN, in der Abbildung dargestellt. Nachdem wir die Flächen der Bestandteile des Schichtdiagramms und die entsprechenden Ordinaten eines einzelnen Diagramms berechnet haben, erhalten wir

Beispiel 14

Bestimmen Sie die Verschiebungen an den Punkten 1 und 2 des Balkens (Abb. a).

Lösung.

Hier sind die Diagramme M Und Q für einen Strahl bei A=2m; Q=10 kN/m; MIT=1,5A; M=0,5qa 2 ; R=0,8qa; M 0 =M; =200 MPa (Abb. B Und V).

Bestimmen wir die vertikale Verschiebung der Mitte des Abschnitts, auf den das konzentrierte Moment wirkt. Betrachten Sie dazu einen Balken in einem Zustand, in dem nur eine konzentrierte Kraft wirkt, die am Punkt 1 senkrecht zur Achse des Balkens (in Richtung der gewünschten Verschiebung) ausgeübt wird (Abb. d).

Berechnen wir die Stützreaktionen, indem wir drei Gleichgewichtsgleichungen aufstellen

Untersuchung

Reaktionen richtig gefunden.

Um ein Diagramm zu erstellen, betrachten Sie drei Abschnitte (Abb. d).

1 Grundstück

2 Grundstück

3 Grundstück

Basierend auf diesen Daten erstellen wir ein Diagramm (Abb. e) von der Seite der gestreckten Fasern.

Wir bestimmen nach der Mohr-Formel unter Verwendung der Wereschtschagin-Regel. In diesem Fall kann das krummlinige Diagramm im Bereich zwischen den Stützen als Addition von drei Diagrammen dargestellt werden. Pfeil

Das Minuszeichen bedeutet, dass sich Punkt 1 nach oben bewegt (in die entgegengesetzte Richtung).

Definieren wir die vertikale Verschiebung von Punkt 2, an dem die konzentrierte Kraft ausgeübt wird. Betrachten Sie dazu einen Balken in einem Zustand, in dem nur eine konzentrierte Kraft wirkt, die am Punkt 2 senkrecht zur Achse des Balkens (in Richtung der gewünschten Verschiebung) ausgeübt wird (Abb. e).

Das Diagramm ist ähnlich aufgebaut wie das vorherige.

Punkt 2 rückt nach oben.

Bestimmen wir den Drehwinkel des Abschnitts, auf den das konzentrierte Moment wirkt.

Der Balken wird mit einer gleichmäßig verteilten Last belastet. Die Biegesteifigkeit des Balkenquerschnitts ist konstant und gleich. Die Durchbiegung in der Mitte der Trägerspannweite beträgt ....

Der Kragarm im Abschnitt AB wird mit einer gleichmäßig verteilten Intensitätslast belastet Q. Die Querschnittsbiegesteifigkeit ist über die gesamte Länge konstant. Abschnittsdrehwinkel B, ist im absoluten Wert gleich...

Lassen Sie uns ein Diagramm der Biegemomente aus einer bestimmten Last erstellen (). Dann erstellen wir ein Diagramm aus einem einzelnen Moment (), das im Abschnitt angewendet wird IN. Bestimmen wir den Drehwinkel des Abschnitts IN. Dazu multiplizieren wir die Diagramme aus einer gegebenen Last und einem einzelnen Moment. Auf der linken Seite ist das Ergebnis der Multiplikation Null. Im rechten Abschnitt sind beide Diagramme linear. Wenn wir die Fläche einer einzelnen Parzelle entnehmen, erhalten wir: . Das Minuszeichen zeigt an, dass der Abschnitt IN dreht sich in die entgegengesetzte Richtung zur Richtung des Einheitsmoments. Bei der Multiplikation von Diagrammen können Sie die Fläche des Ladungsdiagramms und die Ordinate mit dem Einheitendiagramm nehmen (wie in der Abbildung dargestellt).

Aufgabe 25

Bei dieser Lademöglichkeit wird in einem Stab mit rechteckigem (nicht quadratischem) Querschnitt eine Kombination aus ... ..

Bei exzentrischer Spannung (Stauchung) des Stabes im Querschnitt, ....

Längskraft und Biegemoment

In einem beliebigen rechteckigen Querschnitt des Stabes wirken innere Kraftfaktoren: N- Längskraft; und − Biegemomente. Daher gibt es eine Kombination...

Dehnung und reine Schrägbeugung

Biegemomente können geometrisch addiert werden. Die Wirkungsebene des Gesamtbiegemoments fällt mit keiner der Hauptmittelebenen des Stabes zusammen. Es liegt also eine Kombination aus Zug und reiner Schrägbiegung vor.

Die Abbildung zeigt das Belastungsdiagramm einer Rundstange. In jedem beliebigen Abschnitt der Stange in Abschnitt II ist die Kombination ...

Flache Querbiegung mit Torsion und Zug

Wir schneiden die Stange im zweiten Abschnitt mit einem Querschnitt ab und werfen den linken Teil weg.

Aus den Gleichgewichtsbedingungen des verbleibenden Teils finden wir

Für einen kreisförmigen Abschnitt () kann die Schrägbiegung auf eine Flachbiegung reduziert werden, wenn die Biegemomente und Querkräfte geometrisch addiert werden. Daher haben wir im zweiten Abschnitt eine flache Querbiegung mit Torsion und Zug.

Die Arten der Verformungen der Stababschnitte sind ...

Ich - Biegung mit Torsion, II- flache Biegung

Die Abbildungen zeigen die abgeschnittenen Teile der Rute. Scherkräfte werden herkömmlicherweise nicht dargestellt. also die schräge Biegung auf der Baustelle II kann auf ein flaches Biegemoment reduziert werden . Standort auf ICH Kraft verursacht Verformung – flache Biegung mit Torsion. Standort auf II- flache Biegung.

Aufgabe 26

Bei gegebener Belastung des Stabes (die Kraft liegt in der Ebene) entsteht an der Stelle die maximale Normalspannung ....

Ein rechteckiger Stab mit Abmessungen wird wie im Diagramm gezeigt geladen. Festigkeit, Abmessungen sind angegeben. Die Kraft liegt in der Ebene. Der Wert der Normalspannung an einem Punkt beträgt….

(Weil

nach der Auswechslung)

Die maximale normale Zugspannung in einem rechteckigen Stab mit den Abmessungen und beträgt . Stablänge l Satz. Die Bedeutung von Stärke F gleich.…

An dieser Stelle tritt die maximale normale Zugspannung auf IN befindet sich in einem Abschnitt unendlich nahe an der Einbettung.

In Anbetracht dessen im angegebenen Abschnitt und an der Stelle IN Sie verursachen Dehnungen, verstehen wir Daher der Wert der Kraft

Es werden Diagramme der Verteilung der Normalspannungen im Stabquerschnitt dargestellt. Die Schrägbiegung bei gegebener Belastung des Stabes entspricht dem Diagramm …

Aus der physikalischen Darstellung des Biegevorgangs ist ersichtlich, dass die oberen Lagen des Stabes gedehnt und die unteren gestaucht werden. Außerdem verläuft bei der Schrägbiegung die Neutrallinie durch den Schwerpunkt des Querschnitts. Daher ist Option 3 richtig.

Aufgabe 27

Die Festigkeit der Säule, wenn der Angriffspunkt der Druckkraft vom Schwerpunkt des Abschnitts entfernt ist …….

Nimmt ab

Die Wirkungslinie der Druckkraft verläuft durch den Punkt ZU die Kontur des Kerns des Abschnitts. Die neutrale Linie nimmt die Position ein……

(Weil )

Die Stange steht unter exzentrischer Kompression. An gefährlichen Stellen des Querschnitts liegt ein ______________ Spannungszustand vor.

Linear

Bei exzentrischer Kompression entstehen im Stabquerschnitt zwei innere Kraftfaktoren: eine Längskraft und ein Biegemoment. Daher sind die Spannungen an jedem Punkt des Querschnitts die Summe der Normalspannungen der axialen Kompression und der Normalspannungen aus reiner, im Allgemeinen schräger Biegung. Folglich liegt an gefährlichen Stellen des Abschnitts ein linearer Spannungszustand vor.

Aufgabe 28

Das Schema zum Laden einer Stange mit kreisförmigem Querschnitt ist in der Abbildung dargestellt. Gefährlicher Punkt...

Ein runder Stab mit einem Durchmesser und einer Höhe wird mit zwei in der Ebene liegenden Kräften belastet. Der Wert der äquivalenten Spannung am Punkt beträgt nach der Theorie der großen Scherspannungen ... ... (Scherspannungen bei Berechnungen nicht berücksichtigen)

Der Stab mit rundem Querschnitt und Durchmesser besteht aus Kunststoff. Der Wert der Stärke. Die Vergleichsspannung an der gefährlichen Stelle des Stabes beträgt nach der Theorie der größten Schubspannungen...

52 MPa

Der gefährliche Abschnitt unter der gegebenen Belastung der Stange befindet sich am Ende. Den Einfluss von Querkräften vernachlässigen wir. Die Werte der Ausweichmomente und des Drehmoments im Gefahrenbereich sind in der Abbildung dargestellt.

Mithilfe der Theorie der größten Schubspannungen ermitteln wir die äquivalente Spannung an einem gefährlichen Punkt: oder Nachdem wir die angegebenen Werte ersetzt haben, erhalten wir

Der Stab wirkt auf Biege- und Torsionsverformungen. Den Spannungszustand, der an einer gefährlichen Stelle im Querschnitt eines Rundstabes auftritt, nennt man ...

Wohnung

Wenn das Elementarvolumen um die Normale zur äußeren Zylinderfläche gedreht wird, kann seine Position gefunden werden, in der die Tangentialspannungen auf seinen Flächen gleich Null und die Normalspannungen (Hauptspannungen) ungleich Null sind. Da die Normalspannung entlang der Oberseite (eine der Hauptspannungen) Null ist, ist der Spannungszustand flach.

Gebrochener Stab mit rundem Querschnitt und Durchmesser D voller Kraft F. Die Längen der Abschnitte sind gleich und gleich. Der Wert der maximalen Vergleichsspannung im Stab beträgt nach der Theorie der größten Scherspannungen ...

Der gefährliche Abschnitt im Stab liegt unendlich nah am Ende. In diesem Abschnitt wirken ein Biegemoment und ein Drehmoment. Basierend auf der Theorie der maximalen Schubspannungen wird die äquivalente Spannung an einer gefährlichen Stelle eines kreisförmigen Abschnitts durch die Formel bestimmt wo Daher,

Ein rechteckiger Stab erfährt Biegeverformungen in zwei Ebenen und Torsion. Der an gefährlichen Stellen auftretende Stresszustand wird ...

Linear und flach

Bei der Beurteilung des Spannungszustands an gefährlichen Stellen eines rechteckigen Abschnitts, wenn es um Biegeverformungen in zwei Ebenen und Torsion geht, werden drei Punkte überprüft: eckig, in der Mitte der langen und in der Mitte der kurzen Seiten. Am Eckpunkt entstehen nur Normalspannungen. Daher ist der Spannungszustand linear. An Punkten, die in der Mitte der langen und kurzen Seiten liegen, zusammen mit Normalspannungen. Tangenten entstehen. Daher ist der Spannungszustand an diesen Punkten flach.

Aufgabe 29

Die Querschnittsbiegesteifigkeit über die Länge des Trägers ist konstant. Die Größe ist eingestellt. Der Wert der Kraft, bei der die Durchbiegung des Endabschnitts erfolgt IN wird dasselbe sein...

Ein gebogener Stab mit einem Radius wird mit einer Kraft belastet. Die Biegesteifigkeit des Querschnitts ist gegeben. Vertikale Bewegung des Abschnitts IN gleich….

(Weil )

Aufgabe. Bestimmen Sie für einen Balken die Verschiebungen in t. A, IN, MIT, D, wählen Sie einen Abschnitt von zwei Kanälen aus der Festigkeitsbedingung aus, prüfen Sie die Steifigkeit, zeigen Sie die gekrümmte Achse des Balkens an. Material – St3-Stahl, zulässige Bewegung.

1. Definieren wir Unterstützungsreaktionen.

Wir wenden den Wert von Support-Reaktionen an Berechnungsschema

2. Gebäude Diagramm der Momente aus einer bestimmten Last - Lastdiagramm M F .

Weil Unter einer gleichmäßig verteilten Last ist die Linie eine Parabelkurve, dann ist ein zusätzlicher Punkt erforderlich, um sie zu zeichnen - wir setzen T. ZU in der Mitte der Ladung.

Erstellen eines Diagramms M F aus der gegebenen Belastung.

3. Wir werden auswählen Abschnitt aus zwei Kanälen:

Wir wählen aus 2 Kanäle Nr. 33 cm 3.

Lass uns das Prüfen Stärke ausgewählten Abschnitt.

Haltbarkeit ist garantiert.

4. Definieren Verschiebung an bestimmten Punkten. Wir entfernen die gesamte Last vom Balken. Zur Bestimmung lineare Bewegungen(Auslenkungen) gelten Einheitskraft ( F=1 ) und zu bestimmen Ecke Bewegungen - Einziger Moment .

Punkte A Und IN sind Stützen, und entsprechend den Randbedingungen bei Gelenkstützen Eine Auslenkung ist nicht möglich, aber eine Winkelbewegung ist vorhanden. An Punkten MIT Und D Es kommt sowohl zu linearen (Auslenkungen) als auch zu Winkelbewegungen (Drehwinkel).

Definieren wir Winkelverschiebung V T. A . Wir bewerben uns in A Einziger Moment(Reis. B ). Wir bauen ep, wir bestimmen darin die notwendigen Ordinaten. (Reis. V ).

Ep-Koordinaten. M F– alles positiv, ep. - Dasselbe.

Wir werden Verschiebungen definieren Mohrs Methode.

Definieren wir Trägheitsmoment Ich x für Abschnitt.

Elastizitätsmodul E für St3 E= 2 · 10 5 MPa = 2 · 10 8 kPa. Dann:

Drehwinkel φ A hat sich herausgestellt positiv, es bedeutet das Der Drehwinkel des Abschnitts stimmt mit der Richtung des Einheitsmoments überein.

Definieren wir Drehwinkelφ V. ( Reis .d,d)

Definieren wir nun die Verschiebungen in t. MIT (linear und eckig). Wir wenden eine einzelne Kraft an (Abb. e ), bestimmen Sie die Unterstützungsreaktionen und bauen Sie Folge auf. aus einer einzelnen Kraft (Abb. Und ).

In Betracht ziehen Reis. e.

Wir bauen eine Folge. :

Definieren wir Ablenkung in t. MIT.

Bestimmung des Drehwinkels in t. MIT Wenden wir ein einzelnes Moment an (Abb. H ), bestimmen Sie die Auflagerreaktionen und erstellen Sie ein Diagramm der Einzelmomente (Abb. Und ).

(Zeichen "— " sagt, dass Reaktion R A nach hinten gerichtet. Wir zeigen dies im Berechnungsschema - Abb. H ).

Wir bauen eine Folge. ,

Weil das M=1 angewendet inkl. MIT Spannweite des Balkens, dann das Moment in t. MIT definieren sowohl von links als auch von rechts.

Definieren wir Ablenkung am Punkt C.

(Das „-“-Zeichen zeigt dies an Der Drehwinkel ist der Richtung eines Einzelmoments entgegengesetzt)

Ebenso definieren wir lineare und Winkelverschiebungen im sogenannten. D .

Definieren wir bei D . (Reis. Zu ).

Wir bauen eine Folge. (Reis. l ) :

Definieren wir φ D (Reis. M ):

Wir bauen eine Folge. - (Reis. N ).

Definieren wir Drehwinkel:

(Der Drehwinkel ist entgegengesetzt zum Einheitsmoment gerichtet).

Jetzt zeigen wir es gekrümmte Achse des Balkens (elastische Linie), die unter der Einwirkung der Last zu einer geraden Achse wurde. Zeichnen Sie dazu Initial die Position der Achse und auf der Skala tragen wir die berechneten Verschiebungen beiseite (Abb. Ö ).

Lass uns das Prüfen Steifigkeit Balken, wo F- maximale Auslenkung.

Maximale Durchbiegung - Steifigkeit ist nicht garantiert.

Das. Bei diesem Problem haben wir sichergestellt, dass die aus der Festigkeitsbedingung ausgewählten Abschnitte (in diesem Fall der Abschnitt von zwei Kanälen) nicht immer die Steifigkeitsbedingungen erfüllen.

Aufgabe. Bestimmen Sie die horizontale Verschiebung des freien Rahmenendes durch das Mohr-Integral

1. Verfassen Sie einen Ausdruck Biegemoment M F aus aktuell Ladungen.

2. Wir entfernen alle Lasten vom Balken und wenden an dem Punkt, an dem die Verschiebung bestimmt werden muss, eine Einheitskraft (wenn wir die lineare Verschiebung bestimmen) oder ein einzelnes Moment (wenn wir die Winkelverschiebung bestimmen) an Richtung der erforderlichen Verschiebung. In unserem Problem wenden wir eine horizontale Einheitskraft an. Schreiben Sie einen Ausdruck für das Biegemoment.

Wir definieren Momente aus einer einzelnen Last F=1

Durch Berechnen horizontale Bewegung:

Bewegung ist positiv. Dies bedeutet, dass sie der Richtung einer Einheitskraft entspricht.

Integral, Mohrs Formel. Bestimmen Sie in einem gekrümmten Strahl die horizontale Verschiebung eines Punktes A. Die Steifigkeit ist über die gesamte Länge des Trägers konstant.

Die Achse des Strahls wird durch umrissen Parabel, dessen Gleichung lautet:

Wenn man bedenkt, dass der Strahl schublos und genug sanft abfallend (f/v = 3/15 = 0,2), Wir vernachlässigen den Einfluss von Längs- und Querkräften. Um die Verschiebung zu bestimmen, verwenden wir daher die Formel:

Als Steifigkeit EJ ist konstant, Das:

Verfassen Sie einen Ausdruck M1 für den tatsächlichen Zustand des Strahls ( 1. Staat) (Reis. A):

Wir entfernen alle Lasten vom Balken und bringen sie punktuell an A horizontale Einheitskraft ( 2. Staat) (Reis. B). Wir machen einen Ausdruck für:

Wir berechnen das Gewünschte zu einem Punkt bewegen A :

Zeichen Minus weist darauf hin, dass beweglicher Punkt A entgegengesetzt zur Richtung der Einheitskraft, d.h. Dieser Punkt bewegt sich horizontal Nach links.

Integral, Mohrs Formel. Bestimmen Sie den Drehwinkel der Gelenkstütze D Für einen Rahmen mit bestimmten Auflagerreaktionen sind die Steifigkeiten der Elemente im Konstruktionsdiagramm angegeben.

Verfassen Sie einen Ausdruck M 1, anhand des Anlagendiagramms im 1. Zustand. M 1 ist die Funktion des inneren Biegemoments am Kraftabschnitt für einen gegebenen Balken oder Rahmen aus der Einwirkung gegebener Lasten des 1. Zustandes.

Wir entlasten den Rahmen von Belastungen, wenden ihn an Einzelmoment auf Unterstützung D, wir verstehen das System zweiter Staat.

Wir machen Ausdrücke - dies ist eine Funktion des inneren Biegemoments am Leistungsteil für das Hilfssystem des 2. Zustands, belastet einzige Anstrengung:Wir finden die gewünschte Verschiebung – den Drehwinkel entlang Formel (Integral):
Der Wert des Drehwinkels ist positiv, das heißt, die Richtung entspricht der gewählten Richtung des Einzelmoments.

Integral (Mohrsche Formel). Definieren Sie für einen Rahmen die horizontale Verschiebung eines Punktes C. Die Steifigkeit der Elemente ist in der Abbildung dargestellt. Wir nennen das gegebene System das System Erste Zustände. . Wir komponieren für jedes Element Ausdruck M₁, verwenden Schema des 1. Zustands des Systems:

Wir entfernen alle Lasten vom Rahmen und bekommen 2 Rahmenzustand, in Richtung der gewünschten Verschiebung anwenden horizontale Einheitskraft. Wir komponieren einen Ausdruck aus einzelnen Momenten: . Berechnen Sie nach Formel (Integral) gewünschte Verschiebung :

Dann erhalten wir:

Zeichen Minus weist darauf hin, dass Die Bewegungsrichtung ist der Richtung der Einheitskraft entgegengesetzt.

Wählen Sie für einen Stahlträger die Abmessungen des Querschnitts, bestehend aus zwei I-Trägern, basierend auf der Festigkeitsbedingung für Normalspannungen, und erstellen Sie Diagramme der linearen und Winkelverschiebungen. Gegeben:

Die Berechnung der Auflagerreaktionen und die Werte des Lastdiagramms (Diagramm der Biegemomente) geben wir nicht an, sondern zeigen sie ohne Berechnungen. So, Lastdiagramm der Momente:

Gleichzeitig haben im Diagramm M die Werte der Biegemomente keine Vorzeichen, die Fasern erfahren Kompression. Wie aus dem Diagramm ersichtlich ist, gefährlich Abschnitt: M C \u003d M max \u003d 86,7 kNm.

Wählen wir einen Abschnitt aus zwei I-Träger. Aus Festigkeitsbedingungen:

Je nach Auswahl I-Träger Nr. 27a, welcher I x 1 = 5500 cm 3, h = 27 cm. tatsächlicher Wert axiales Widerstandsmoment des gesamten Abschnitts W x \u003d 2I x 1 / (h / 2) \u003d 2 · 5500 / (27/2) \u003d 815 cm 3.

Berechnung lineare und eckige Bewegungen Balkenabschnitt Methode, bewirbt sich . Die Wahl der Anzahl der Abschnitte, die zum Zeichnen von linearen und Winkelverschiebungsdiagrammen in einem Balken erforderlich sind, hängt von der Anzahl der Abschnitte und der Art des Biegemomentdiagramms ab. Im betrachteten Träger sind dies Abschnitte A B C D(gehören Grenzen Leistungsteile) und Abschnitte 1, 2, 3– in der Mitte der Abschnitte (Ermittlung der Verschiebungen in diesen Abschnitten erhöht sich). Plotgenauigkeit).

Abschnitt a. Bekanntlich handelt es sich bei der linearen Verschiebung eines Abschnitts um eine Gelenkstütze yA=0.

Berechnen Winkelverschiebung θ a Wir belasten das Hilfssystem mit einem einzigen Kräftepaar – einem Moment gleich eins
Gleichgewichtsgleichungen

Wenn wir die Gleichgewichtsgleichungen lösen, erhalten wir:

Bestimmen Sie die Werte der Momente in den charakteristischen Abschnitten

Grundstück AD:

IN Mitte des Abschnitts AB Bedeutung Biegemoment des Belastungsdiagramms M F gleicht f=73,3 1- 80 1 2 /2=33,3kNm

Wir definieren Winkelverschiebung von Abschnitt A Von :

Die Winkelverschiebung von Abschnitt A ist gegen den Uhrzeigersinn gerichtet(im Gegensatz zur Wirkung eines einzelnen Augenblicks).

Abschnitt b

Wir bewerben uns im Abschnitt B Kraft gleich eins, zur Bestimmung linear Verschiebungen und erstellen Sie ein einziges Diagramm der Momente

Gleichgewichtsgleichungen:

Aus der Lösung der Gleichgewichtsgleichungen folgt:

Wir bestimmen die Werte der Momente in Charakteristische Abschnitte:

Wir definieren lineare Bewegung y V.

Lineare Bewegung y V =3,65×10 -3 m gesendet hoch(im Gegensatz zur Wirkung einer Einheitskraft).

Um die Winkelverschiebung im Abschnitt B zu bestimmen, wenden wir an Einziger Moment und bauen ein einzelnes Diagramm von Momenten.

Als Ergebnis der „Multiplikation“ eines einzelnen Diagramms und eines Ladungsdiagramms erhalten wir Winkelbewegung:

gegen den Uhrzeigersinn.

Abschnitt C.

Lineare Bewegung:

Winkelbewegung:

Winkelbewegung gerichtet im Uhrzeigersinn.

Abschnitt D. Lineare Bewegung in diesem Abschnitt gleich Null.

Winkelbewegung:

Winkelbewegung gerichtet im Uhrzeigersinn.

Zusätzliche Abschnitte:

Abschnitt 1 (z=0,5ℓ)

Winkelbewegung:

Winkelbewegung gerichtet gegen den Uhrzeigersinn.

Ebenso erstellen wir Einzeldiagramme für Abschnitt 2 (z=1,5ℓ) und Abschnitt 3 (z=2,5ℓ), wir finden Verschiebungen.

Anwendung der Vorzeichenregel für lineare Verschiebungen hoch – plus, runter – minus und für Winkelverschiebungen gegen den Uhrzeigersinn ist positiv, im Uhrzeigersinn ist negativ, Gebäude Diagramme der linearen und Winkelverschiebungen y und θ.

Bestimmen Sie für einen Balken die maximale Durchbiegung und den maximalen Drehwinkel.

Aufgrund der Symmetrie der Ladung Unterstützungsreaktionen A=B=ql/2

Die Differentialgleichung der gekrümmten Achse des Strahls:

Wir integrieren diese Gleichung zweimal. Nach der ersten Integration erhalten wir die Gleichung für die Drehwinkel:

(A)

Nach der zweiten Integration erhalten wir die Durchbiegungsgleichung:

(B)

Es muss ein Wert definiert werden Integrationskonstanten - C und D. Definieren wir sie aus Randbedingungen. In den Abschnitten A und B hat der Balken Gelenkstützen, Bedeutet Auslenkungen in ihnen sind gleich Null. Deshalb haben wir Randbedingungen:

1) z = 0, y= 0.

2) z = l, y= 0.

Wir gebrauchen erste Randbedingung: z = 0, j = 0.

Dann von (B) wir haben:

Die zweite Randbedingung bei z = l gibt:

, Wo:

Endlich bekommen wir.

Drehwinkelgleichung:

Durchbiegungsgleichung:

Wenn der Drehwinkel ist Null, und die Auslenkung wird maximal sein:

Zeichen Minus sagt, dass mit der akzeptierten positiven Richtung der Achse nach oben, die Ablenkung erfolgt nach unten.

Der Drehwinkel hat auf den Referenzabschnitten beispielsweise den größten Wert, wenn

Das Minuszeichen zeigt den Drehwinkel an z = 0 gerichtet im Uhrzeigersinn.

Für den Rahmen ist es erforderlich, den Drehwinkel des Abschnitts zu bestimmen 1 und horizontale Bewegung des Abschnitts 2 .

Gegeben: L=8 m, F=2 kN, q=1 kN/m, h=6 m, Trägheitsmomente I 1 =I, I 2 =2I

1. Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen und erstellen Sie das Lastdiagramm:

a) Bestimmen Sie die Stützreaktionen:

Der Scheck ging durch. Vertikale Reaktionen sind korrekt definiert. Um horizontale Reaktionen zu bestimmen, müssen Sie verwenden Scharniereigenschaft, nämlich die Gleichung der Momente relativ zum Scharnier aus allen Kräften aufzuschreiben, befindet sich auf einer Seite des Rahmens.

Der Test ist bestanden, das heißt Horizontale Reaktionen sind korrekt definiert.

b) Wir erstellen ein Lastdiagramm – ein Diagramm aus einer gegebenen Last. Wir werden ein Frachtdiagramm erstellen auf gespannten Fasern.

Wir unterteilen den Rahmen in Abschnitte. Auf jedem Abschnitt skizzieren wir Abschnitte am Anfang und Ende des Abschnitts und in Abschnitten mit verteilter Last einen zusätzlichen Abschnitt in der Mitte. In jedem Abschnitt bestimmen wir den Wert des inneren Biegemoments nach der Regel: Das Biegemoment ist gleich der algebraischen Summe der Momente aller äußeren Kräfte, die sich auf einer Seite des Abschnitts relativ zur Mitte dieses Abschnitts befinden. Vorzeichenregel für Biegemoment: Ein Moment gilt als positiv, wenn es die unteren Fasern streckt.

Wir bauen Frachtdiagramm.

2. Bestimmen Sie den Drehwinkel des Abschnitts (1)

a) Um den Drehwinkel des angegebenen Abschnitts zu bestimmen, benötigen Sie Skizzieren Sie den ursprünglichen Rahmen ohne äußere Last und wenden Sie ein einzelnes Moment auf den gegebenen Abschnitt an.

Zuerst definieren wir die Reaktionen:

Das „-“-Zeichen bedeutet, dass der Abschnitt gegen die Richtung eines einzelnen Moments gedreht wird, d. h. im Uhrzeigersinn.

3. Bestimmen Sie die horizontale Verschiebung des Abschnitts (2).

a) Um die horizontale Verschiebung im angegebenen Abschnitt zu bestimmen, ist es notwendig, den ursprünglichen Rahmen ohne äußere Last zu skizzieren und eine Einheitskraft in horizontaler Richtung auf den angegebenen Abschnitt anzuwenden.

Reaktionen definieren:

Wir bauen einzelne Handlung von Momenten

.

Bestimmen Sie für einen Balken die linearen und Winkelverschiebungen an den Punkten A, B, C, nachdem Sie den Abschnitt des I-Trägers anhand der Festigkeitsbedingung ausgewählt haben.

Gegeben:A=2m,B=4 m, s=3 m,F=20 kN, M=18 kNM,Q=6 kN/m, σadm=160 MPa, E=210 5 MPa

1) Wir zeichnen ein Diagramm des Balkens und bestimmen die Auflagerreaktionen. In einer harten Beendigung gibt es 3 Reaktionen — vertikal und horizontal, und auch Ankerpunkt. Da keine Horizontallasten vorliegen, ist die entsprechende Reaktion Null. Um die Reaktionen am Punkt E zu finden, komponieren wir Gleichgewichtsgleichungen.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

R E =-q7+F=-67+20=-22kN(Zeichen weist darauf hin

Lass uns finden Verankerungsmoment in starrer Befestigung, für die wir die Momentengleichung in Bezug auf einen beliebigen Punkt lösen.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69 kNm(Zeichen weist darauf hin die Reaktion ist in die entgegengesetzte Richtung gerichtet, wir zeigen dies im Diagramm)

2) Wir erstellen das Lastdiagramm M F – das Diagramm der Momente aus einer gegebenen Last.

Um Diagramme von Momenten zu erstellen, finden wir Momente an charakteristischen Punkten. IN Punkt B Momente bestimmen sowohl von rechts als auch von links, da an dieser Stelle ein Moment angewendet wird.

Erstellen eines Diagramms des Moments auf der Wirkungslinie einer verteilten Last (Abschnitte). AB und BC) wir brauchen zusätzliche Punkte um die Kurve zu zeichnen. Definieren wir die Momente mitten drin Diese Gebiete. Dies sind die Momente in der Mitte der Abschnitte AB und BC 15,34 kNm und 23,25 kNm. Wir bauen Frachtdiagramm.

3) Um die linearen und Winkelverschiebungen an einem Punkt zu bestimmen, muss an diesem Punkt im ersten Fall Folgendes angewendet werden: Einheitskraft (F=1) und zeichnen Sie die Momente auf, im zweiten Fall, Einzelmoment (M=1) und zeichnen Sie das Momentendiagramm. Wir erstellen Diagramme aus Einheitslasten für jeden Punkt – A, B und C.

4) Um die Verschiebungen zu ermitteln, verwenden wir die Simpson-Formel.

Wo l i - Abschnittslänge;

EI ich- Steifigkeit des Balkens auf der Baustelle;

M F– Werte der Biegemomente aus dem Lastdiagramm, bzw am Anfang, in der Mitte und am Ende des Abschnitts;

– Werte der Biegemomente aus einem einzelnen Diagramm, bzw am Anfang, in der Mitte und am Ende des Abschnitts.

Liegen die Ordinaten der Diagramme auf einer Seite der Strahlachse, so wird bei der Multiplikation das „+“-Zeichen berücksichtigt, bei unterschiedlichen das „-“-Zeichen.

Wenn das Ergebnis mit dem „-“-Zeichen ausfällt, dann stimmt die gewünschte Bewegung in die Richtung nicht mit der Richtung des entsprechenden Einheitskraftfaktors überein.

In Betracht ziehen Anwendung der Simpson-Formel am Beispiel der Bestimmung von Verschiebungen am Punkt A.

Definieren wir Ablenkung, Multiplizieren des Lastdiagramms mit dem Diagramm aus einer Einheitskraft.

Die Ablenkung stellte sich heraus mit „-“-Zeichen bedeutet die erforderliche Verschiebung Die Richtung stimmt nicht mit der Richtung der Einheitskraft (nach oben gerichtet) überein.

Definieren wir Drehwinkel, Multiplikation des Lastdiagramms mit dem Diagramm eines einzelnen Moments.

Der Drehwinkel beträgt mit „-“-Zeichen es bedeutet, dass die gewünschte Bewegung in die Richtung nicht mit der Richtung des entsprechenden Einzelmoments (gegen den Uhrzeigersinn gerichtet) übereinstimmt.

5) Zur Ermittlung der konkreten Verschiebungswerte ist die Auswahl eines Abschnitts erforderlich. Wir wählen den Abschnitt des I-Trägers aus

Wo Mmax- Das maximales Moment im Lastmomentdiagramm

Wir selektieren nach I-Träger Nr. 30 mit B x = 472 cm 3 und I x = 7080 cm 4

6) Wir bestimmen die Verschiebungen in Punkten, Aufschlussreich Abschnittssteifigkeit: E - Längselastizitätsmodul des Materials oder Modul (2 · 10 5 MPa),J x - axiales Trägheitsmoment des Abschnitts

Durchbiegung am Punkt A (oben)

Drehwinkel (gegen den Uhrzeigersinn)

Lasst uns zuerst bauen Frachtdiagramm aus der gegebenen Belastung. Diagramm der Ladefläche hat eine krummlinige Form und ist gleich:

Nehmen wir nun die Last vom Balken und bringen sie an der Stelle an, an der die Verschiebung ermittelt werden muss Einheitskraft, um die Durchbiegung zu bestimmen Und Einzelmoment zur Bestimmung des Drehwinkels. Wir bauen Diagramme aus Einzellasten.

Schwerpunkt des Frachtgrundstücks liegt in einiger Entfernung ein Viertel(siehe Zeichnung)

Ordinate der Einheitendiagramme gegenüber dem Schwerpunkt des Ladungsdiagramms:

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