Befindet sich ein fester Körper in der Nähe der Erdoberfläche, so wirkt die Schwerkraft auf jeden materiellen Punkt dieses Körpers. Gleichzeitig sind die Abmessungen des Körpers im Vergleich zur Größe der Erde so gering, dass die auf alle Körperteilchen wirkenden Schwerkraftkräfte als parallel zueinander betrachtet werden können.

Mittelpunkt MIT) Systeme paralleler Schwerkraftkräfte aller Punkte des Körpers werden genannt Schwerpunkt eines starren Körpers , und die Summe der Schwerkraftkräfte aller seiner materiellen Punkte wird genannt Schwere danach handeln

Die Koordinaten des Schwerpunkts eines starren Körpers werden durch die Formeln bestimmt:

Wo sind die Koordinaten der Angriffspunkte der Schwerkraft? k-ter materieller Punkt.

Für einen homogenen Körper:

wobei V das Volumen des gesamten Körpers ist;

V k- Lautstärke k-tes Teilchen.

Für eine gleichmäßig dünne Platte:

wobei S die Plattenfläche ist;

S k- Quadrat k- Oh, ein Teil des Tellers.

Für Zeile:

Wo L- die Länge der gesamten Linie;

L k- Länge k Teil der Linie.

Methoden zur Bestimmung der Koordinaten der Schwerpunkte von Körpern:

Theoretisch

Symmetrie. Wenn ein homogener Körper eine Ebene, Achse oder ein Symmetriezentrum hat, dann liegt sein Schwerpunkt entweder in der Symmetrieebene oder auf der Achse oder im Symmetriezentrum.

Aufteilen. Lässt sich der Körper in eine endliche Anzahl solcher Teile zerlegen, für die jeweils die Lage des Schwerpunkts bekannt ist, so lassen sich mit den oben genannten Formeln direkt die Koordinaten des Schwerpunkts des gesamten Körpers berechnen.

Zusatz. Diese Methode ist ein Sonderfall der Partitionierungsmethode. Sie gilt für Körper mit Ausschnitten, wenn die Schwerpunkte des Körpers ohne Ausschnitt und des Ausschnitts bekannt sind. Sie werden mit dem „-“-Zeichen in die Berechnungen einbezogen.

Integration. Wenn der Körper nicht in Einzelteile zerlegt werden kann, deren Schwerpunkte bekannt sind, kommt die universelle Integrationsmethode zum Einsatz.

Experimental-

Aufhängemethode. Der Körper wird an zwei oder drei Punkten aufgehängt, von denen aus vertikale Linien gezogen werden. Ihr Schnittpunkt ist der Massenschwerpunkt.

Wiegemethode. Der Körper wird an verschiedenen Stellen auf die Waage gelegt und so die Stützreaktionen bestimmt. Stellen Sie Gleichgewichtsgleichungen auf, aus denen die Koordinaten des Schwerpunkts bestimmt werden.

Mit theoretischen Methoden, Formeln zur Bestimmung Schwerpunktkoordinaten das Üblichste homogene Körper:

Bogen eines Kreises

Schwerpunkt eines starren Körpers

Schwerpunkt Ein starrer Körper ist ein geometrischer Punkt, der starr mit diesem Körper verbunden ist und den Mittelpunkt paralleler Schwerkraftkräfte darstellt, die auf einzelne Elementarteilchen des Körpers wirken (Abbildung 1.6).

Radiusvektor dieses Punktes

Abbildung 1.6

Bei einem homogenen Körper hängt die Lage des Körperschwerpunkts nicht vom Material ab, sondern wird durch die geometrische Form des Körpers bestimmt.

Wenn das spezifische Gewicht eines homogenen Körpers γ , das Gewicht des Elementarteilchens des Körpers

Pk = γΔVk (P = γV)

Ersetzen Sie in der zu bestimmenden Formel r C , wir haben

Von dort erhalten wir, projiziert auf die Achsen und bis zum Grenzwert, die Koordinaten des Schwerpunkts eines homogenen Volumens

Ebenso für die Koordinaten des Schwerpunkts einer homogenen Fläche mit Fläche S (Abbildung 1.7, a)

Abbildung 1.7

Für die Koordinaten des Schwerpunkts einer homogenen Längenlinie L (Abbildung 1.7, b)

Methoden zur Bestimmung der Koordinaten des Schwerpunkts

Basierend auf den zuvor erhaltenen allgemeinen Formeln können Methoden zur Bestimmung der Koordinaten der Schwerpunkte fester Körper angegeben werden:

Abbildung 1.8

Abbildung 1.9

11. Grundbegriffe der Kinematik. Punktkinematik. Methoden zur Angabe der Bewegung eines Punktes. Punktgeschwindigkeit und Beschleunigung.

Grundbegriffe der Kinematik

Kinematik- ein Zweig der Mechanik, der die Bewegung von Körpern untersucht, ohne die Ursachen zu berücksichtigen, die diese Bewegung verursacht haben.

Die Hauptaufgabe der Kinematik besteht darin, die Position eines Körpers zu jedem Zeitpunkt zu bestimmen, wenn seine Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung zum Anfangszeitpunkt bekannt sind.

mechanisches Uhrwerk- Dies ist eine Änderung der Position von Körpern (oder Körperteilen) relativ zueinander im Raum im Laufe der Zeit.

Um mechanische Bewegung zu beschreiben, muss man einen Bezugsrahmen wählen.

Referenzkörper- ein Körper (oder eine Gruppe von Körpern), in diesem Fall als stationär betrachtet, relativ zu dem die Bewegung anderer Körper berücksichtigt wird.

Referenzsystem- Dies ist das Koordinatensystem, das dem Bezugskörper und der gewählten Methode zur Zeitmessung zugeordnet ist (Abb. 1).

Die Position des Körpers kann über den Radiusvektor r⃗ r→ oder über Koordinaten bestimmt werden.

Radiusvektor r⃗ r→ Punkte Μ - gerichtetes gerades Liniensegment, das den Ursprung verbindet UM mit einem Punkt Μ (Abb. 2).

Koordinate x Punkte Μ ist die Projektion des Endes des Radiusvektors des Punktes Μ pro Achse Oh. Normalerweise wird ein rechteckiges Koordinatensystem verwendet. In diesem Fall die Position des Punktes Μ auf einer Linie, Ebene und im Raum werden jeweils durch eins bestimmt ( X), zwei ( X, bei) und drei ( X, bei, z) Zahlen - Koordinaten (Abb. 3).

Im Grundkurs untersuchen Physiker die Kinematik der Bewegung eines materiellen Punktes.

Materieller Punkt- ein Körper, dessen Abmessungen unter gegebenen Bedingungen vernachlässigbar sind.

Dieses Modell wird in Fällen verwendet, in denen die linearen Abmessungen der betrachteten Körper viel kleiner sind als alle anderen Abstände in einem bestimmten Problem oder wenn sich der Körper vorwärts bewegt.

Translational bezeichnet die Bewegung des Körpers, bei der sich eine gerade Linie, die durch zwei beliebige Punkte des Körpers verläuft, bewegt und dabei parallel zu sich selbst bleibt. Bei der translatorischen Bewegung beschreiben alle Punkte des Körpers die gleichen Flugbahnen und haben zu jedem Zeitpunkt die gleichen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Um eine solche Bewegung eines Körpers zu beschreiben, reicht es daher aus, die Bewegung seines einen beliebigen Punktes zu beschreiben.

Im Folgenden wird das Wort „Körper“ als „materieller Punkt“ verstanden.

Die Linie, die ein bewegter Körper in einem bestimmten Bezugssystem beschreibt, heißt Flugbahn. In der Praxis wird die Form der Flugbahn mithilfe mathematischer Formeln festgelegt ( j = F(X) - Flugbahngleichung) oder in der Abbildung dargestellt. Die Art der Flugbahn hängt von der Wahl des Bezugssystems ab. Beispielsweise ist die Flugbahn eines frei fallenden Körpers in einem Auto, das sich gleichmäßig und geradlinig bewegt, eine gerade vertikale Linie im Bezugssystem des Autos und eine Parabel im Bezugssystem der Erde .

Je nach Art der Flugbahn werden geradlinige und krummlinige Bewegungen unterschieden.

Weg S- eine skalare physikalische Größe, die durch die Länge der vom Körper über einen bestimmten Zeitraum beschriebenen Flugbahn bestimmt wird. Der Weg ist immer positiv: S > 0.

ziehen umΔr⃗ Δr→ Körper für einen bestimmten Zeitraum - ein gerichtetes Segment einer geraden Linie, die den Anfangspunkt (Punkt) verbindet M 0) und endgültig (Punkt M) Körperposition (siehe Abb. 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

wobei r⃗ r→ und r⃗ 0 r→0 die Radiusvektoren des Körpers zu diesen Zeitpunkten sind.

Projektion der Verschiebung auf die Achse Ochse

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Wo X 0 und X- Koordinaten des Körpers im Anfangs- und Endzeitpunkt.

Der Verschiebungsmodul kann nicht mehr als einen Weg betragen

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Das Gleichheitszeichen bezieht sich auf den Fall einer geradlinigen Bewegung, wenn sich die Bewegungsrichtung nicht ändert.

Wenn wir die Verschiebung und die Anfangsposition des Körpers kennen, können wir seine Position zum Zeitpunkt t ermitteln:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Geschwindigkeit

Die Durchschnittsgeschwindigkeit hυ⃗ i hυ→i ist eine vektorielle physikalische Größe, numerisch gleich dem Verhältnis der Verschiebung zum Zeitintervall, in dem sie auftrat, und entlang der Verschiebung gerichtet (Abb. 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt; hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

Die SI-Einheit für Geschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s).

Die durch diese Formel ermittelte Durchschnittsgeschwindigkeit charakterisiert die Bewegung nur in dem Teil der Flugbahn, für den sie definiert ist. Auf einem anderen Teil der Flugbahn kann es anders sein.

Manchmal verwenden sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Weges

hυi=sΔt hυi=sΔt

Dabei ist s der im Zeitintervall Δ zurückgelegte Weg T. Die durchschnittliche Bahngeschwindigkeit ist ein Skalarwert.

Sofortige Geschwindigkeitυ⃗ υ→ Körper – die Geschwindigkeit des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt (oder an einem bestimmten Punkt der Flugbahn). Sie ist gleich dem Grenzwert, zu dem die Durchschnittsgeschwindigkeit über ein infinitesimales Zeitintervall tendiert υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Dabei ist r⃗ ′ r→ ′ die zeitliche Ableitung des Radiusvektors.

In der Projektion auf die Achse Oh:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

Die Momentangeschwindigkeit des Körpers ist an jedem Punkt in Bewegungsrichtung tangential zur Flugbahn gerichtet (siehe Abb. 4).

Beschleunigung

Durchschnittliche Beschleunigung- eine physikalische Größe, die numerisch dem Verhältnis der Geschwindigkeitsänderung zur Zeit, in der sie aufgetreten ist, entspricht:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Der Vektor ha⃗ i ha→i ist parallel zum Geschwindigkeitsänderungsvektor Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) in Richtung der Konkavität der Trajektorie gerichtet (Abb. 5).

Sofortiger Boost:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

Die SI-Einheit für Beschleunigung ist Meter pro Sekunde im Quadrat (m/s2).

Im allgemeinen Fall ist die Momentanbeschleunigung schräg zur Geschwindigkeit gerichtet. Wenn Sie die Flugbahn kennen, können Sie die Richtung der Geschwindigkeit bestimmen, nicht jedoch die Beschleunigung. Die Richtung der Beschleunigung wird durch die Richtung der auf den Körper wirkenden resultierenden Kräfte bestimmt.

Bei einer geradlinigen Bewegung mit zunehmender Modulogeschwindigkeit (Abb. 6, a) sind die Vektoren a⃗ a→ und υ⃗ 0 υ→0 gleichgerichtet (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) und die Beschleunigungsprojektion auf die Richtung von Bewegung ist positiv.

Bei einer geradlinigen Bewegung mit abnehmendem Geschwindigkeitsmodul (Abb. 6, b) sind die Richtungen der Vektoren a⃗ a→ und υ⃗ 0 υ→0 entgegengesetzt (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) und die Beschleunigungsprojektion auf die Bewegungsrichtung ist negativ.

Der Vektor a⃗ a→ während der krummlinigen Bewegung kann in zwei Komponenten zerlegt werden, die entlang der Geschwindigkeit a⃗ τ a→τ und senkrecht zur Geschwindigkeit a⃗ n a→n gerichtet sind (Abb. 1.7), a⃗ τ a→τ Bewegung, a⃗ n a→n - Normalbeschleunigung, die die Geschwindigkeit der Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors während einer krummlinigen Bewegung charakterisiert. Beschleunigungsmodul a=a2τ+a2n−−−−−−√ a=aτ2+an2.

Methoden zur Angabe der Bewegung eines Punktes

Sie können eine der folgenden drei Methoden verwenden, um die Bewegung eines Punktes anzugeben:

1) Vektor, 2) Koordinate, 3) natürlich.

1. Vektormethode zur Angabe der Bewegung eines Punktes.

Lassen Sie den Punkt M bewegt sich in Bezug auf einen Bezugsrahmen Oxyz. Die Position dieses Punktes kann zu jedem Zeitpunkt bestimmt werden, indem der vom Ursprung ausgehende Radiusvektor festgelegt wird UM Exakt M(Abb. 3).

Abb. 3

Wenn sich der Punkt bewegt M Der Vektor ändert sich im Laufe der Zeit sowohl im Absolutwert als auch in der Richtung. Daher ist ein variabler Vektor (Funktionsvektor) abhängig vom Argument t:

Gleichheit definiert das Bewegungsgesetz eines Punktes in Vektorform, da Sie damit jederzeit den entsprechenden Vektor konstruieren und die Position des sich bewegenden Punkts ermitteln können.

Der Ort der Enden des Vektors, d.h. Hodograph dieses Vektors bestimmt die Flugbahn des sich bewegenden Punktes.

2. Koordinatenmethode zur Angabe der Bewegung eines Punktes.

Die Position eines Punktes kann direkt durch seine kartesischen Koordinaten bestimmt werden x, y, z(Abb. 3), die sich im Laufe der Zeit ändert, wenn sich der Punkt bewegt. Das Bewegungsgesetz eines Punktes kennen, d.h. seine Position im Raum zu jedem Zeitpunkt, ist es notwendig, die Werte der Koordinaten des Punktes für jeden Zeitpunkt zu kennen, d.h. kennen Abhängigkeiten

x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Die Gleichungen sind die Bewegungsgleichungen eines Punktes in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten. Sie bestimmen das Bewegungsgesetz eines Punktes mit der Koordinatenmethode zur Bewegungsangabe.

Um die Trajektoriengleichung zu erhalten, ist es notwendig, den Parameter t aus den Bewegungsgleichungen auszuschließen.

Es ist einfach, die Beziehung zwischen den Vektor- und Koordinatenmethoden zur Bewegungsdefinition herzustellen.

Wir zerlegen den Vektor in Komponenten entlang der Koordinatenachsen:

wo r x , r y , r z - Vektorprojektionen auf der Achse; – Einheitsvektoren, die entlang der Achsen gerichtet sind, Orthesen der Achsen.

Da der Anfang des Vektors im Ursprung liegt, sind die Projektionen des Vektors gleich den Koordinaten des Punktes M. Deshalb

Wenn die Bewegung des Punktes in Polarkoordinaten angegeben wird

r=r(t), φ = φ(t),

wobei r der Polarradius ist, φ der Winkel zwischen der Polarachse und dem Polarradius ist, dann drücken diese Gleichungen die Gleichung der Punkttrajektorie aus. Wenn wir den Parameter t eliminieren, erhalten wir

r = r(φ).

Beispiel 1 Die Bewegung eines Punktes ist durch die Gleichungen gegeben

Abb.4

Um die Zeit auszuschließen, ist der Parameter T, finden wir aus der ersten Gleichung sin2t=x/2, aus der zweiten cos2t=y/3. Dann quadrieren wir es und fügen es hinzu. Da sin 2 2t+cos 2 2t=1 ist, erhalten wir . Dies ist die Gleichung einer Ellipse mit Halbachsen von 2 cm und 3 cm (Abb. 4).

Startposition des Punkts M 0 (wann T\u003d 0) wird durch die Koordinaten x 0 \u003d 0, y 0 \u003d 3 cm bestimmt.

Nach 1 Sek. Punkt wird in Position sein M 1 mit Koordinaten

x 1 = 2sin2 = 2 ∙ 0,91 = 1,82 cm, y 1 = 2cos2=3 ∙ (-0,42) = -1,25 cm.

Notiz.

Die Bewegung eines Punktes kann auch über andere Koordinaten angegeben werden. Zum Beispiel zylindrisch oder kugelförmig. Darunter sind nicht nur Längenmaße, sondern auch Winkel. Bei Bedarf können Sie sich aus Lehrbüchern mit der Aufgabe der Bewegung anhand von Zylinder- und Kugelkoordinaten vertraut machen.

3. Eine natürliche Möglichkeit, die Bewegung eines Punktes anzugeben.

Abb.5

In Fällen, in denen die Trajektorie des sich bewegenden Punktes im Voraus bekannt ist, ist es zweckmäßig, die natürliche Art der Bewegungsangabe zu verwenden. Lass die Kurve AB ist die Flugbahn des Punktes M wenn es sich relativ zum Bezugssystem bewegt Oxyz(Abb.5) Wählen wir einen festen Punkt auf dieser Flugbahn UM", den wir als Ursprung nehmen und die positive und negative Referenzrichtung auf der Flugbahn (wie auf der Koordinatenachse) festlegen.

Dann die Position des Punktes M auf der Flugbahn wird eindeutig durch die krummlinige Koordinate bestimmt S, was gleich der Entfernung vom Punkt ist UM' auf den Punkt M entlang des Bogens der Flugbahn gemessen und mit dem entsprechenden Vorzeichen aufgenommen. Beim Verschieben von Punkt M bewegt sich zu Positionen M 1 , M 2 ,... . daher die Entfernung S wird sich im Laufe der Zeit ändern.

Die Position eines Punktes kennen M Auf der Flugbahn müssen Sie jederzeit die Abhängigkeit kennen

Die Gleichung drückt das Bewegungsgesetz eines Punktes aus M entlang der Flugbahn. Die Funktion s= f(t) muss einwertig, stetig und differenzierbar sein.

Für die positive Bezugsrichtung der Bogenkoordinate s wird die Bewegungsrichtung des Punktes in dem Moment genommen, in dem er die Position O einnimmt. Es ist zu beachten, dass die Gleichung s \u003d f (t) das Bewegungsgesetz nicht bestimmt des Punktes im Raum, denn um die Position des Punktes im Raum zu bestimmen, müssen Sie auch die Flugbahn des Punktes mit der Anfangsposition des Punktes darauf und einer festen positiven Richtung kennen. Somit gilt die Bewegung eines Punktes als auf natürliche Weise gegeben, wenn die Trajektorie und die Gleichung (oder das Gesetz) der Bewegung des Punktes entlang der Trajektorie bekannt sind.

Es ist wichtig zu beachten, dass sich die Bogenkoordinate des Punktes s von dem Weg σ unterscheidet, den der Punkt entlang der Flugbahn zurücklegt. Bei seiner Bewegung durchläuft der Punkt einen bestimmten Weg σ, der eine Funktion der Zeit t ist. Allerdings stimmt die zurückgelegte Strecke σ nur dann mit der Strecke s überein, wenn sich die Funktion s = f(t) monoton mit der Zeit ändert, d. h. wenn sich der Punkt in die gleiche Richtung bewegt. Nehmen wir an, dass der Punkt M von M 1 nach M 2 geht. Die Position des Punktes in M 1 entspricht der Zeit t 1 und die Position des Punktes in M 2 entspricht der Zeit t 2 . Zerlegen wir das Zeitintervall t 2 - t 1 in sehr kleine Zeitintervalle ∆t 1 (i = 1,2, …n), sodass sich in jedem von ihnen der Punkt in eine Richtung bewegt. Bezeichnen wir das entsprechende Inkrement der Bogenkoordinate als ∆s i . Der vom Punkt zurückgelegte Weg σ wird ein positiver Wert sein:

Wenn die Bewegung eines Punktes koordinatenmäßig angegeben ist, dann wird die zurückgelegte Strecke durch die Formel bestimmt

wobei dx=xdt, dy=ydt, dz=zdt.

Somit,

Beispiel 2 Der Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s=2t+3 (cm) (Abb. 6).

Abb.6

Zu Beginn der Bewegung, bei t=0 s=OM 0 =s 0 =3 cm. Punktposition M 0 heißt Ausgangsposition. Bei t=1 s, s=OM 1 =5 cm.

Natürlich in 1 Sek. Der Punkt hat eine Strecke zurückgelegt M 0 M 1 = 2cm. Also S- Dies ist nicht der vom Punkt zurückgelegte Weg, sondern die Entfernung vom Ursprung zum Punkt.

Punktgeschwindigkeitsvektor

Eine der wichtigsten kinematischen Eigenschaften der Bewegung eines Punktes ist eine Vektorgröße, die als Geschwindigkeit eines Punktes bezeichnet wird. Das Konzept der Punktgeschwindigkeit bei gleichförmiger geradliniger Bewegung ist eines der elementaren Konzepte.

Geschwindigkeit- ein Maß für den mechanischen Zustand des Körpers. Sie charakterisiert die Änderungsrate der Körperposition relativ zu einem gegebenen Bezugssystem und ist eine vektorielle physikalische Größe.

Die Maßeinheit für die Geschwindigkeit ist m/s. Oft werden auch andere Einheiten verwendet, zum Beispiel km/h: 1 km/h=1/3,6 m/s.

Die Bewegung eines Punktes wird als gleichmäßig bezeichnet, wenn die Inkremente des Radiusvektors des Punktes für die gleichen Zeitintervalle einander gleich sind. Wenn die Flugbahn des Punktes eine gerade Linie ist, wird die Bewegung des Punktes als geradlinig bezeichnet.

Für gleichmäßige geradlinige Bewegung

∆r= v∆t, (1)

Wo v ist ein konstanter Vektor.

Vektor v heißt die Geschwindigkeit der geradlinigen und gleichförmigen Bewegung, die sie vollständig bestimmt.

Aus Beziehung (1) ist ersichtlich, dass die Geschwindigkeit der geradlinigen und gleichförmigen Bewegung eine physikalische Größe ist, die die Bewegung eines Punktes pro Zeiteinheit bestimmt. Aus (1) haben wir

Vektorrichtung v in Abb. dargestellt. 6.1.

Abb.6.1

Bei ungleichmäßiger Bewegung ist diese Formel nicht geeignet. Lassen Sie uns zunächst das Konzept der Durchschnittsgeschwindigkeit eines Punktes über einen bestimmten Zeitraum einführen.

Lassen Sie den beweglichen Punkt zu diesem Zeitpunkt liegen T schwanger M, bestimmt durch den Radiusvektor , und im Moment t 1 kommt an die Position M 1 durch den Vektor bestimmt (Abb. 7). Dann wird die Bewegung eines Punktes über einen Zeitraum ∆t=t 1 -t durch einen Vektor bestimmt, den wir den Bewegungsvektor des Punktes nennen. Aus einem Dreieck OMM 1 zeigt das; somit,

Reis. 7

Das Verhältnis des Verschiebungsvektors des Punktes zum entsprechenden Zeitintervall ergibt einen Vektorwert, der als Punktgeschwindigkeit bezeichnet wird, gemittelt in Absolutwert und Richtung über das Zeitintervall ∆t:

Die Geschwindigkeit eines Punktes zu einem gegebenen Zeitpunkt t ist die Vektorgröße v, zu der die Durchschnittsgeschwindigkeit v cf tendiert, wenn das Zeitintervall ∆t gegen Null geht:

Der Geschwindigkeitsvektor eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt ist also gleich der ersten Ableitung des Radiusvektors des Punktes nach der Zeit.

Da die Grenzrichtung der Sekante MM 1 tangential ist, dann ist der Geschwindigkeitsvektor des Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt tangential zur Flugbahn des Punktes in Bewegungsrichtung gerichtet.

Bestimmen der Geschwindigkeit eines Punktes mit der Koordinatenmethode zur Angabe der Bewegung

Punktgeschwindigkeitsvektor, vorausgesetzt r x =x, ry =y, r z =z, wir finden:

Somit sind die Projektionen der Punktgeschwindigkeit auf die Koordinatenachsen gleich den ersten Ableitungen der entsprechenden Koordinaten des Punktes nach der Zeit.

Wenn wir die Geschwindigkeitsprojektionen kennen, ermitteln wir mithilfe der Formeln deren Modul und Richtung (d. h. die Winkel α, β, γ, die der Vektor v mit den Koordinatenachsen bildet).

Der numerische Wert der Geschwindigkeit eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt ist also gleich der ersten Ableitung der Entfernung (krummlinige Koordinate). S Zeitpunkte.

Der Geschwindigkeitsvektor ist entlang einer Tangente zur Flugbahn gerichtet, die wir im Voraus kennen.

Bestimmen der Geschwindigkeit eines Punktes mit einer natürlichen Art der Bewegungsangabe

Als Grenzwert kann die Größe der Geschwindigkeit definiert werden (∆r ist die Länge der Sehne). MM 1):

wobei ∆s die Bogenlänge ist MM 1 . Der erste Grenzwert ist gleich eins, der zweite Grenzwert ist die Ableitung ds/dt.

Daher ist die Geschwindigkeit eines Punktes die erste zeitliche Ableitung des Bewegungsgesetzes:

Der Geschwindigkeitsvektor ist, wie bereits festgestellt, tangential zur Flugbahn gerichtet. Ist der Geschwindigkeitswert aktuell größer als Null, dann ist der Geschwindigkeitsvektor in die positive Richtung gerichtet.

Punktbeschleunigungsvektor

Beschleunigung- Vektorphysikalische Größe, die die Geschwindigkeitsänderungsrate charakterisiert. Sie zeigt an, wie stark sich die Geschwindigkeit des Körpers pro Zeiteinheit ändert.

Die SI-Einheit der Beschleunigung ist Meter pro Sekunde im Quadrat. zum entsprechenden Zeitintervall ∆t bestimmt den Vektor der durchschnittlichen Punktbeschleunigung über dieses Zeitintervall:

Der mittlere Beschleunigungsvektor hat die gleiche Richtung wie der Vektor, d. h. auf die Konkavität der Flugbahn gerichtet.

Beschleunigung eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt T heißt der Vektorwert, zu dem die durchschnittliche Beschleunigung tendiert, wenn das Zeitintervall ∆t gegen Null tendiert: Der Beschleunigungsvektor eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt ist gleich der ersten Ableitung des Geschwindigkeitsvektors oder der zweiten Ableitung des Radius -Vektor des Punktes in Bezug auf die Zeit.

Die Beschleunigung eines Punktes ist nur dann Null, wenn die Geschwindigkeit des Punktes v ist sowohl in der Größe als auch in der Richtung konstant: Dies entspricht nur einer geradlinigen und gleichmäßigen Bewegung.

Lassen Sie uns herausfinden, wie sich der Vektor im Verhältnis zur Flugbahn des Punktes befindet. Bei einer geradlinigen Bewegung ist der Vektor entlang der Geraden gerichtet, entlang derer sich der Punkt bewegt. ist auf die Konkavität der Flugbahn gerichtet und liegt in der Ebene, die durch die Tangente an die Flugbahn im Punkt verläuft M und eine Linie parallel zur Tangente an einem benachbarten Punkt M 1 (Abb. 8). Im Grenzfall, wenn der Punkt M neigt dazu M, diese Ebene nimmt die Position der sogenannten zusammenhängenden Ebene ein, d.h. eine Ebene, in der eine unendlich kleine Drehung der Tangente an die Flugbahn mit einer elementaren Verschiebung eines sich bewegenden Punktes erfolgt. Daher liegt der Beschleunigungsvektor im allgemeinen Fall in einer zusammenhängenden Ebene und ist auf die Konkavität der Kurve gerichtet.

Bestimmung der Beschleunigung mit der Koordinatenmethode zur Bewegungsangabe

Den Beschleunigungsvektor des Punktes in der Projektion auf die Achse erhalten wir:

diese. Die Projektion der Beschleunigung eines Punktes auf die Koordinatenachsen ist gleich den ersten Ableitungen der Projektionen der Geschwindigkeit bzw. den zweiten Ableitungen der entsprechenden Koordinaten des Zeitpunkts. Modul und Richtung der Beschleunigung können den Formeln entnommen werden

Abb.10

Projektionen der Beschleunigung a x = =0, a y = =-8 cm∙s -2 . Da die Projektion des Beschleunigungsvektors auf die Achse X ist gleich Null und auf der Achse j- negativ ist, dann ist der Beschleunigungsvektor vertikal nach unten gerichtet und sein Wert ist konstant, unabhängig von der Zeit.

Die erste Entdeckung von Archimedes in der Mechanik war die Einführung des Konzepts des Schwerpunkts, d.h. Beweis dafür, dass es in jedem Körper einen einzigen Punkt gibt, an dem sein Gewicht konzentriert werden kann, ohne den Gleichgewichtszustand zu verletzen.

Der Schwerpunkt eines Körpers ist ein Punkt eines starren Körpers, durch den an jeder Stelle im Raum die Resultierende aller auf die Elementarmassen dieses Körpers wirkenden Schwerkraftkräfte verläuft.

Schwerpunkt des mechanischen Systems Es wird der Punkt genannt, relativ zu dem das auf alle Körper des Systems wirkende Gesamtschwerkraftmoment gleich Null ist.

Einfach gesagt, Schwerpunkt- Dies ist der Punkt, an dem die Schwerkraft angreift, unabhängig von der Position des Körpers selbst. Wenn der Körper einheitlich ist, Schwerpunkt befindet sich normalerweise in der geometrischen Mitte des Körpers. Somit fällt der Schwerpunkt in einem homogenen Würfel oder einer homogenen Kugel mit dem geometrischen Mittelpunkt dieser Körper zusammen.

Wenn die Abmessungen des Körpers im Vergleich zum Erdradius klein sind, können wir davon ausgehen, dass die Schwerkraft aller Teilchen des Körpers ein System paralleler Kräfte bildet. Ihre Resultierende heißt Schwere, und der Mittelpunkt dieser parallelen Kräfte ist Schwerpunkt des Körpers.

Die Koordinaten des Körperschwerpunkts lassen sich nach den Formeln ermitteln (Abb. 7.1):

, , ,

Wo - Körpergewicht x i, y i, z i– Koordinaten eines Elementarteilchens, Gewicht P ich;.

Die Formeln zur Bestimmung der Koordinaten des Schwerpunkts eines Körpers sind streng genommen nur dann exakt, wenn der Körper in unendlich viele unendlich kleine Elementarteilchen mit einem Gewicht von 100 g zerlegt wird P ich. Wenn die Anzahl der Teilchen, in die der Körper geistig unterteilt ist, endlich ist, dann sind diese Formeln im allgemeinen Fall Näherungsformeln, da die Koordinaten x i , y i , z i in diesem Fall können sie nur partikelgrößengenau bestimmt werden. Je kleiner diese Partikel sind, desto kleiner ist der Fehler, den wir bei der Berechnung der Koordinaten des Schwerpunkts machen. Genaue Ausdrücke können nur durch den Grenzübergang erreicht werden, wenn die Größe jedes Teilchens gegen Null tendiert und seine Anzahl ins Unendliche zunimmt. Wie Sie wissen, wird ein solcher Grenzwert als bestimmtes Integral bezeichnet. Daher erfordert die eigentliche Bestimmung der Koordinaten der Schwerpunkte von Körpern im allgemeinen Fall den Ersatz der Summen durch die entsprechenden Integrale und die Anwendung der Methoden der Integralrechnung.

Wenn die Masse in einem starren Körper oder mechanischen System ungleichmäßig verteilt ist, verlagert sich der Schwerpunkt an den Teil, an dem sie schwerer ist.

Der Schwerpunkt eines Körpers liegt möglicherweise nicht immer im Inneren des Körpers. So liegt beispielsweise der Schwerpunkt des Bumerangs irgendwo in der Mitte zwischen den Enden des Bumerangs, aber außerhalb des Bumerangkörpers.

Für die Ladungssicherung ist die Lage des Schwerpunktes von großer Bedeutung. An diesem Punkt wirken die Schwerkraft und die Trägheitskräfte, die während der Bewegung auf die Last einwirken. Je höher der Schwerpunkt eines Körpers oder mechanischen Systems liegt, desto anfälliger ist es für ein Umkippen.

Der Schwerpunkt des Körpers fällt mit dem Massenschwerpunkt zusammen.

Jeder Körper kann als eine Menge materieller Punkte betrachtet werden, die beispielsweise als Moleküle angesehen werden können. Der Körper bestehe aus n materiellen Punkten mit den Massen m1, m2, ...mn.

Schwerpunkt des Körpers, bestehend aus n materiellen Punkten, wird ein Punkt (im geometrischen Sinne) genannt, dessen Radiusvektor durch die Formel bestimmt wird:

Hier ist R1 der Radiusvektor des Punktes mit der Nummer i (i = 1, 2, ... n).

Diese Definition sieht ungewöhnlich aus, aber tatsächlich gibt sie die Position des Massenschwerpunkts an, von dem wir eine intuitive Vorstellung haben. Beispielsweise liegt der Schwerpunkt des Stabes in seiner Mitte. Die Summe der Massen aller im Nenner der obigen Formel enthaltenen Punkte wird als Masse des Körpers bezeichnet. Körpergewicht genannt die Summe der Massen aller seiner Punkte: m = m1 + m2 + ... + mn .

Bei symmetrischen homogenen Körpern befindet sich das CM immer im Symmetriezentrum oder liegt auf der Symmetrieachse, wenn die Figur kein Symmetriezentrum hat. Der Schwerpunkt kann sowohl innerhalb des Körpers (Scheibe, Quadrat, Dreieck) als auch außerhalb (Ring, Rahmen, Quadrat) liegen.

Bei einer Person hängt die Position des CM von der eingenommenen Körperhaltung ab. In vielen Sportarten ist die Fähigkeit, das Gleichgewicht zu halten, ein wichtiger Erfolgsfaktor. Also im Turnen, Akrobatik

Eine große Anzahl von Elementen umfasst unterschiedliche Arten von Gleichgewichten. Die Fähigkeit, das Gleichgewicht zu halten, ist beim Eiskunstlauf wichtig, da die Stützfläche nur eine sehr kleine Fläche hat.

Die Gleichgewichtsbedingungen für einen ruhenden Körper sind die gleichzeitige Gleichheit der Summe der Kräfte und der Summe der Momente der auf den Körper einwirkenden Kräfte gegen Null.

Lassen Sie uns herausfinden, welche Position die Rotationsachse einnehmen sollte, damit der darauf befestigte Körper unter der Wirkung der Schwerkraft im Gleichgewicht bleibt. Dazu zerlegen wir den Körper in viele kleine Stücke und nutzen die auf sie einwirkenden Schwerkraftkräfte.

Gemäß der Momentenregel ist es für das Gleichgewicht erforderlich, dass die Summe der Momente aller dieser Kräfte um die Achse gleich Null ist.

Es kann gezeigt werden, dass es für jeden Körper einen eindeutigen Punkt gibt, an dem die Summe der Schwerkraftmomente um jede durch diesen Punkt verlaufende Achse gleich Null ist. Dieser Punkt wird als Schwerpunkt bezeichnet (fällt normalerweise mit dem Massenschwerpunkt zusammen).

Schwerpunkt des Körpers (CG) genannt der Punkt, um den herum die Summe der auf alle Teilchen des Körpers wirkenden Schwerkraftmomente gleich Null ist.

Die Schwerkraft führt also nicht dazu, dass sich der Körper um den Schwerpunkt dreht. Daher könnten alle Schwerkraftkräfte durch eine einzige Kraft ersetzt werden, die auf diesen Punkt wirkt und gleich der Schwerkraft ist.

Um die Bewegungen des Körpers eines Sportlers zu untersuchen, wird häufig der Begriff „gemeinsamer Schwerpunkt“ (CGG) eingeführt. Haupteigenschaften des Schwerpunkts:

Wenn der Körper auf einer Achse fixiert ist, die durch den Schwerpunkt verläuft, wird er durch die Schwerkraft nicht rotieren;

Der Schwerpunkt ist der Angriffspunkt der Schwerkraft;

In einem gleichmäßigen Feld fällt der Schwerpunkt mit dem Massenschwerpunkt zusammen.

Gleichgewicht ist die Lage des Körpers, in der er beliebig lange ruhen kann. Wenn der Körper von der Gleichgewichtslage abweicht, ändern sich die auf ihn einwirkenden Kräfte und das Kräftegleichgewicht wird gestört.

Es gibt verschiedene Arten von Gleichgewichten (Abb. 9). Es ist üblich, drei Arten von Gleichgewichten zu unterscheiden: stabil, instabil und indifferent.

Ein stabiles Gleichgewicht (Abb. 9, a) zeichnet sich dadurch aus, dass der Körper bei einer Auslenkung in seine ursprüngliche Position zurückkehrt. In diesem Fall entstehen Kräfte oder Kraftmomente, die dazu neigen, den Körper in seine ursprüngliche Position zurückzubringen. Ein Beispiel ist die Position des Körpers mit einer oberen Stütze (z. B. hängend an der Querstange), wenn der Körper bei Abweichungen dazu neigt, in seine ursprüngliche Position zurückzukehren.

Das indifferente Gleichgewicht (Abb. 9, b) zeichnet sich dadurch aus, dass bei einer Positionsänderung des Körpers keine Kräfte oder Kraftmomente auftreten, die dazu neigen, den Körper in seine ursprüngliche Position zurückzubringen oder ihn weiter von dieser zu entfernen. Dies kommt beim Menschen selten vor. Ein Beispiel ist der Zustand der Schwerelosigkeit auf einem Raumschiff.

Ein instabiles Gleichgewicht (Abb. 9, c) wird beobachtet, wenn bei kleinen Abweichungen des Körpers Kräfte oder Kraftmomente auftreten, die dazu neigen, den Körper noch stärker von seiner Ausgangslage abzuweichen. Ein solcher Fall kann beobachtet werden, wenn eine Person, die auf einer sehr kleinen Stütze steht (viel kleiner als die Fläche ihrer beiden Beine oder sogar eines Beins), zur Seite abweicht.

Abbildung 9 Körperbalance: stabil (a), indifferent (b), instabil (c)

Neben den aufgeführten Arten des Gleichgewichts von Körpern wird in der Biomechanik noch eine weitere Art des Gleichgewichts betrachtet – begrenzt-stabil. Diese Art des Gleichgewichts zeichnet sich dadurch aus, dass der Körper in seine Ausgangslage zurückkehren kann, wenn er bis zu einer bestimmten Grenze, die beispielsweise durch die Grenze der Auflagefläche bestimmt wird, von dieser abweicht. Übersteigt die Abweichung diese Grenze, wird das Gleichgewicht instabil.

Die Hauptaufgabe bei der Gewährleistung des Gleichgewichts des menschlichen Körpers besteht darin, sicherzustellen, dass die Projektion des GCM des Körpers innerhalb des Stützbereichs liegt. Abhängig von der Art der Aktivität (Aufrechterhaltung einer statischen Position, Gehen, Laufen usw.) und den Anforderungen an die Stabilität ändern sich die Häufigkeit und Geschwindigkeit der Korrekturmaßnahmen, die Prozesse zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts sind jedoch dieselben.

Die Massenverteilung im menschlichen Körper

Die Masse des Körpers und die Masse einzelner Segmente sind für verschiedene Aspekte der Biomechanik von großer Bedeutung. In vielen Sportarten ist es notwendig, die Massenverteilung zu kennen, um die richtige Technik zur Durchführung von Übungen zu entwickeln. Um die Bewegungen des menschlichen Körpers zu analysieren, wird die Segmentierungsmethode verwendet: Er wird herkömmlicherweise in bestimmte Segmente unterteilt. Für jedes Segment werden seine Masse und die Lage des Massenschwerpunkts bestimmt. In der Tabelle. 1 definiert die Massen von Körperteilen in relativen Einheiten.

Tabelle 1. Massen von Körperteilen in relativen Einheiten

Anstelle des Konzepts des Massenschwerpunkts wird häufig ein anderes Konzept verwendet – der Schwerpunkt. In einem gleichmäßigen Schwerkraftfeld fällt der Schwerpunkt immer mit dem Massenschwerpunkt zusammen. Die Position des Schwerpunkts des Glieds wird als Abstand von der Achse des proximalen Gelenks angegeben und im Verhältnis zur Länge des Glieds als Einheit ausgedrückt.

In der Tabelle. 2 zeigt die anatomische Lage der Schwerpunkte verschiedener Körperteile.

Tabelle 2. Schwerpunkte von Körperteilen

Teil des Körpers	Schwerpunktposition
Hüfte	0,44 Gliederlänge
Schienbein	0,42 Gliederlänge
Schulter	0,47 Gliederlänge
Unterarm	0,42 Gliederlänge
Torso
Kopf
Bürste
Fuß
Schulter	0,47 Gliederlänge
Unterarm	0,42 Gliederlänge
Torso	0,44 Abstand von der Querachse der Schultergelenke zur Hüftachse
Kopf	Befindet sich im Bereich des türkischen Keilbeinsattels (Projektion von vorne zwischen den Augenbrauen, von der Seite - 3,0 - 3,5 über dem äußeren Gehörgang)
Bürste	Im Bereich des Kopfes des dritten Mittelhandknochens
Fuß	Auf einer geraden Linie, die den Tuberculum calcaneus des Calcaneus mit dem Ende des zweiten Fingers in einem Abstand von 0,44 vom ersten Punkt verbindet
Der allgemeine Massenschwerpunkt in der vertikalen Position des Körpers	Befindet sich im Hauptstand im Beckenbereich, vor dem Kreuzbein

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Rezension

Hebelarm ist ein starrer Körper, der eine unbewegliche Rotationsachse hat und unter der Wirkung von Kräften steht, die in einer Ebene senkrecht zu dieser Achse liegen.

Befindet sich der Hebel in Ruhe, dann ist die algebraische Summe der Momente aller Kräfte, die relativ zum Bezugspunkt auf den Hebel wirken, Null

Beliebiges ebenes Kräftesystem - Dies ist ein Kräftesystem, dessen Wirkungslinien unabhängig voneinander in einer Ebene liegen.

Mit der Poinsot-Methode im Reduktionszentrum O erhält man ein Kräftesystem und ein Paarsystem, deren Momente jeweils gleich den Momenten der entsprechenden Kraft relativ zum Reduktionszentrum sind.

Hauptvektorsystem heißt ein Vektor, der gleich der geometrischen Summe aller Kräfte des Systems ist.

Der Hauptpunkt des Systems relativ zum Mittelpunkt O in der Ebene wird die algebraische Summe der Kräftemomente des Systems relativ zum Reduktionszentrum O genannt.

Der Hauptvektor hängt nicht von der Wahl des Reduktionszentrums O ab. Das Hauptmoment der Kräfte hängt vom Reduktionszentrum ab.

Grundsatz der Statik über die Ausrichtung des Kräftesystems auf einen gegebenen Mittelpunkt : Jedes flache, willkürliche System von Kräften, die auf einen absolut starren Körper wirken, kann, wenn es auf ein willkürlich gewähltes Zentrum O reduziert wird, durch eine Kraft ersetzt werden, die dem Hauptvektor des Systems entspricht und am Reduktionszentrum O wirkt, und durch ein Paar mit a Moment gleich dem Hauptmoment des Systems um den Mittelpunkt O.

Es werden Fälle der Reduktion eines flachen Kräftesystems auf eine einfachere Form betrachtet.

Gleichgewichtsbedingungen für ein beliebiges ebenes Kräftesystem.

1. Geometrische Gleichgewichtsbedingungen : Für das Gleichgewicht eines ebenen beliebigen Kräftesystems ist es notwendig und ausreichend, dass der Hauptvektor und das Hauptmoment des Systems gleich Null sind

2. Analytische Gleichgewichtsbedingungen .

Grundform der Gleichgewichtsbedingungen: Für das Gleichgewicht eines beliebigen flachen Kräftesystems ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe der Projektionen aller Kräfte auf die Koordinatenachsen und die Summe ihrer Momente relativ zu einem beliebigen Mittelpunkt, der in der Wirkungsebene der Kräfte liegt sind gleich Null.

Die zweite Form der Gleichgewichtsbedingungen: Für das Gleichgewicht eines beliebigen ebenen Kräftesystems ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe der Momente aller Kräfte um zwei beliebige Mittelpunkte A und B und die Summe ihrer Projektionen auf eine Achse nicht senkrecht zur Geraden AB sind gleich Null.

Die dritte Form der Gleichgewichtsbedingungen (die Gleichung der drei Momente): Für das Gleichgewicht eines flachen willkürlichen Kräftesystems ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe der Momente aller Kräfte um drei beliebige Zentren A, B und C, die nicht auf einer Geraden liegen, gleich Null ist.

Zentrum der Parallelkräfte

Ein System paralleler Kräfte, die in eine Richtung gerichtet sind, kann nicht ausgeglichen oder auf ein Kräftepaar reduziert werden, es hat immer eine Resultierende.

Die Wirkungslinie der Resultierenden verläuft parallel zu den Kräften. Die Lage des Angriffspunktes hängt von der Größe und Lage der Angriffspunkte der Kräfte des Systems ab.

Zentrum der Parallelkräfte - Punkt C ist der Angriffspunkt des resultierenden Systems paralleler Kräfte.
Die Position des Zentrums paralleler Kräfte – Punkt C – wird durch die Koordinaten dieses Punktes bestimmt

Der Schwerpunkt eines starren Körpers und seine Koordinaten

Schwerpunkt des Körpers - ein diesem Körper stets zugeordneter geometrischer Punkt, an dem die Resultierende der Schwerkraft einzelner Teilchen des Körpers angreift, d.h. Körpergewicht im Weltraum.

Die Koordinaten des Schwerpunkts werden ähnlich wie die Koordinaten des Zentrums paralleler Kräfte C () bestimmt, die sich aus den Schwerkraftkräften der Körperteilchen zusammensetzen.

Die Lage des Schwerpunkts eines homogenen Körpers hängt nur von seiner geometrischen Form und seinen Abmessungen ab und nicht von den Eigenschaften des Materials, aus dem der Körper besteht.

Die Summe der Produkte der Elementarflächen, aus denen eine flache Figur besteht, mit den algebraischen Werten ihrer Abstände zu einer Achse wird als statisches Moment der Fläche der flachen Figur bezeichnet.

Statischer Moment Die Fläche einer flachen Figur ist gleich dem Produkt aus der Fläche der Figur und dem algebraischen Abstand vom Schwerpunkt zu dieser Achse. Die Maßeinheit für das statische Moment ist [cm3].
das statische Moment der Fläche einer flachen Figur relativ zur Achse, die durch den Schwerpunkt der Figur verläuft, ist gleich Null.

Das Körpergewicht ist das Ergebnis der Schwerkraft einzelner Körperteilchen.

Methoden zur Bestimmung der Lage des Schwerpunkts .

1. Symmetriemethode : Wenn ein homogener Körper eine Ebene, Achse oder ein Symmetriezentrum hat, dann liegt der Schwerpunkt entweder in der Symmetrieebene oder auf der Symmetrieachse oder im Symmetriezentrum. Der Schwerpunkt von In der Mitte befindet sich eine Längenlinie. Der Schwerpunkt eines Kreises (oder Kreises) mit Radius liegt in seinem Mittelpunkt, d.h. am Schnittpunkt der Durchmesser. Der Schwerpunkt eines Parallelogramms, einer Raute oder eines Parallelepipeds liegt im Schnittpunkt der Diagonalen. Der Schwerpunkt eines regelmäßigen Vielecks liegt im Mittelpunkt eines eingeschriebenen oder umschriebenen Kreises.
2. Absteckmethode : Lässt sich der Körper in eine endliche Anzahl von Elementen (Volumina, Ebenen, Linien) zerlegen, für die jeweils die Lage des Schwerpunkts bekannt ist, so lassen sich die Koordinaten des Schwerpunkts des gesamten Körpers bestimmen die Werte für die Elemente direkt anhand der Formeln kennen
3. Komplementmethode (negative Ebenen): Wenn der Körper geschnittene Elemente hat, wird bei der Aufteilung in Elemente der geschnittene Teil (Fläche, Volumen) von der Summe abgezogen, d.h. Schnittelemente erhalten negative Flächen- oder Volumenwerte

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