Zusammenfassung der Lektion

"Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen"

11. Klasse des physikalischen und mathematischen Profils.

Stadtbezirk Zelenodolsky der Republik Tatarstan

Valieva S.Z.

Unterrichtsthema: Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen

Das Ziel des Unterrichts: 1. Untersuchen Sie verschiedene Möglichkeiten, irrationale Gleichungen zu lösen.

1. 
   Entwickeln Sie die Fähigkeit, Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen zu verallgemeinern und richtig auszuwählen.
2. 
   Unabhängigkeit entwickeln, Sprachkompetenz erziehen

Unterrichtsart: Seminar.
Unterrichtsplan:

1. 
   Zeit organisieren
2. 
   Neues Material lernen
3. 
   Verankerung
4. 
   Hausaufgaben
5. 
   Zusammenfassung der Lektion

Während des Unterrichts
ich. Organisationszeit: die Botschaft des Themas der Lektion, der Zweck der Lektion.

In der vorherigen Lektion haben wir darüber nachgedacht, irrationale Gleichungen mit Quadratwurzeln durch Quadrieren zu lösen. In diesem Fall erhalten wir eine Folgegleichung, die manchmal zum Auftreten von Fremdwurzeln führt. Und dann ist ein obligatorischer Teil der Lösung der Gleichung die Überprüfung der Wurzeln. Wir haben auch überlegt, Gleichungen mit der Definition einer Quadratwurzel zu lösen. In diesem Fall kann die Prüfung entfallen. Beim Lösen von Gleichungen ist es jedoch nicht immer erforderlich, sofort mit der „blinden“ Anwendung von Algorithmen zum Lösen der Gleichung fortzufahren. In den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens gibt es eine ganze Reihe von Gleichungen, bei deren Lösung es notwendig ist, eine Lösungsmethode zu wählen, mit der Sie die Gleichungen einfacher und schneller lösen können. Daher ist es notwendig, andere Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen zu kennen, mit denen wir uns heute vertraut machen werden. Zuvor wurde die Klasse in 8 kreative Gruppen eingeteilt und ihnen wurden spezifische Beispiele gegeben, um die Essenz einer bestimmten Methode zu enthüllen. Wir geben ihnen ein Wort.

II. Neues Material lernen.

Aus jeder Gruppe erklärt 1 Schüler den Kindern, wie man irrationale Gleichungen löst. Die ganze Klasse hört zu und macht sich Notizen zu ihrer Geschichte.

1 Weg. Einführung einer neuen Variablen.

Löse die Gleichung: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Antwort: -3; 5.

2-Wege. ODZ-Forschung.

löse die Gleichung

ODZ:


x \u003d 2. Durch Überprüfung stellen wir sicher, dass x \u003d 2 die Wurzel der Gleichung ist.

3 Wege. Multiplizieren beider Seiten der Gleichung mit dem konjugierten Faktor.

+
(beide Seiten multiplizieren mit -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, also x=1. Durch Überprüfung sind wir davon überzeugt, dass x \u003d 1 die Wurzel dieser Gleichung ist.

4 Wege. Reduktion einer Gleichung auf ein System durch Einführung einer Variablen.

löse die Gleichung

Sei = u,
=v.

Wir bekommen das System:

Lassen Sie uns mit der Substitutionsmethode lösen. Wir erhalten u = 2, v = 2. Daher gilt

wir bekommen x = 1.

Antwort: x = 1.

5 Wege. Auswahl eines vollen Quadrats.

löse die Gleichung

Lassen Sie uns die Module öffnen. weil -1≤cos0.5x≤1, dann -4≤cos0.5x-3≤-2, also . Ebenfalls,

Dann erhalten wir die Gleichung

x = 4πn, nZ.

Antwort: 4πn, nZ.

6 Wege. Bewertungsmethode

löse die Gleichung

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, per Definition die rechte Seite -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

wir bekommen
jene. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Wenn wir die Gleichung durch Faktorisieren lösen, erhalten wir x = 2, x = -2

Methode 7: Verwendung der Eigenschaften der Monotonie von Funktionen.

Löse die Gleichung. Die Funktionen sind streng steigend. Die Summe steigender Funktionen wächst und diese Gleichung hat höchstens eine Wurzel. Durch Selektion finden wir x = 1.

8 Wege. Verwendung von Vektoren.

Löse die Gleichung. ODZ: -1≤х≤3.

Lassen Sie den Vektor
. Das Skalarprodukt von Vektoren ist die linke Seite. Finden wir das Produkt ihrer Längen. Dies ist die rechte Seite. Bekam
, d.h. Vektoren a und b sind kollinear. Von hier
. Lassen Sie uns beide Seiten quadrieren. Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir x \u003d 1 und x \u003d
.

1. 
   Konsolidierung.(Jeder Schüler bekommt ein Arbeitsblatt)

Mündliche Frontarbeit

Finden Sie eine Idee zum Lösen der Gleichungen (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(Ersatz)

4. (Auswahl eines ganzen Quadrats)

5.
(Reduzierung einer Gleichung auf ein System durch Einführung einer Variablen.)

6.
(durch Multiplikation mit dem adjungierten Ausdruck)

7.
da
. Diese Gleichung hat keine Wurzeln.

8. Weil jeder Term nichtnegativ ist, setzen wir sie mit Null gleich und lösen das System.

9. 3

10. Finden Sie die Wurzel der Gleichung (oder das Produkt der Wurzeln, falls es mehrere gibt) der Gleichung.

Schriftliche selbstständige Arbeit mit anschließender Prüfung

Lösen Sie die Gleichungen mit den Nummern 11,13,17,19

Gleichungen lösen:

12. (x + 6) 2 -

14.

Bewertungsmethode

Verwendung der Eigenschaften der Monotonie von Funktionen.

Verwendung von Vektoren.

1. 
   Welche dieser Methoden werden verwendet, um andere Arten von Gleichungen zu lösen?
2. 
   Welche dieser Methoden hat dir am besten gefallen und warum?

1. 
   Hausaufgabe: Lösen Sie die restlichen Gleichungen.

Referenzliste:

1. 
   Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse: Lehrbuch. für 11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin. M: Aufklärung, 2009

1. 
   Didaktische Materialien zu Algebra und Analysisprinzipien für die 11. Klasse /B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburg. – M.: Aufklärung, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Algebra und die Anfänge der Analysis. 10 - 11 Zellen: Aufgabenheft für die Allgemeinbildung. Institutionen. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A.P., Goloborodko V.V. Unabhängige und kontrollierte Arbeit zu Algebra und Analyseprinzipien für die Klassen 10-11. – M.: Ileksa, 2004
4. 
   KIM VERWENDUNG 2002 - 2010

6. Algebraischer Simulator. A. G. Merzlyak, V. B. Polonsky, M. S. Yakir. Handbuch für Schüler und Einsteiger. Moskau.: "Ileksa" 2001.
7. Gleichungen und Ungleichungen. Nicht standardmäßige Lösungsmethoden. Pädagogisch - methodisches Handbuch. 10 - 11 Klassen. S. N. Oleinik, M. K. Potapov, P. I. Pasichenko. Moskau. "Trappe". 2001

Eine irrationale Gleichung ist jede Gleichung, die eine Funktion unter dem Wurzelzeichen enthält. Zum Beispiel:

Solche Gleichungen werden immer in 3 Schritten gelöst:

1. Trennen Sie die Wurzel. Das heißt, wenn neben der Wurzel noch andere Zahlen oder Funktionen links vom Gleichheitszeichen stehen, muss das alles durch Vorzeichenwechsel nach rechts verschoben werden. Dabei soll links nur das Radikal bleiben – ohne Koeffizienten.
2. 2. Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung. Denken Sie gleichzeitig daran, dass der Bereich der Wurzel alle nicht negativen Zahlen sind. Daher die rechte Funktion irrationale Gleichung muss auch nichtnegativ sein: g (x) ≥ 0.
3. Der dritte Schritt folgt logisch aus dem zweiten: Sie müssen eine Überprüfung durchführen. Tatsache ist, dass wir im zweiten Schritt zusätzliche Wurzeln haben könnten. Und um sie abzuschneiden, muss man die resultierenden Kandidatenzahlen in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und prüfen: Wird wirklich die richtige numerische Gleichheit erreicht?

Lösen einer irrationalen Gleichung

Befassen wir uns mit unserer irrationalen Gleichung, die ganz am Anfang der Lektion gegeben wurde. Hier ist die Wurzel bereits abgeschlossen: Links vom Gleichheitszeichen steht nichts als die Wurzel. Lassen Sie uns beide Seiten quadrieren:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + 2x
x 2 - 4x - 12 = 0

Wir lösen die resultierende quadratische Gleichung durch die Diskriminante:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x1 = 6; x 2 \u003d -2

Es bleibt nur übrig, diese Zahlen in der ursprünglichen Gleichung zu ersetzen, d.h. eine Kontrolle durchführen. Aber auch hier können Sie das Richtige tun, um die endgültige Entscheidung zu vereinfachen.

Wie man die Entscheidung vereinfacht

Überlegen wir einmal: Warum prüfen wir überhaupt am Ende der Lösung einer irrationalen Gleichung? Wir möchten sicherstellen, dass beim Ersetzen unserer Wurzeln rechts vom Gleichheitszeichen eine nicht negative Zahl steht. Schließlich wissen wir bereits sicher, dass es sich links um eine nicht-negative Zahl handelt, denn die arithmetische Quadratwurzel (weshalb unsere Gleichung als irrational bezeichnet wird) kann per Definition nicht kleiner als Null werden.

Daher müssen wir nur prüfen, ob die Funktion g ( x ) = 5 − x , die rechts vom Gleichheitszeichen steht, nicht negativ ist:

g(x) ≥ 0

Wir setzen unsere Wurzeln in diese Funktion ein und erhalten:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Aus den erhaltenen Werten folgt, dass die Wurzel x 1 = 6 nicht zu uns passt, da wir beim Einsetzen auf die rechte Seite der ursprünglichen Gleichung eine negative Zahl erhalten. Aber die Wurzel x 2 \u003d −2 ist für uns gut geeignet, weil:

1. Diese Wurzel ist die Lösung der quadratischen Gleichung, die durch Erhöhen beider Seiten erhalten wird irrationale Gleichung in ein Quadrat.
2. Die rechte Seite der ursprünglichen irrationalen Gleichung wird, wenn die Wurzel x 2 = −2 eingesetzt wird, zu einer positiven Zahl, d. h. der Bereich der arithmetischen Wurzel wird nicht verletzt.

Das ist der ganze Algorithmus! Wie Sie sehen können, ist das Lösen von Gleichungen mit Radikalen nicht so schwierig. Die Hauptsache ist, nicht zu vergessen, die empfangenen Wurzeln zu überprüfen, da es sonst sehr wahrscheinlich ist, dass zusätzliche Antworten erhalten werden.

Ihre Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Informationen verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzerklärung und lassen Sie uns wissen, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Verwendung personenbezogener Daten

Personenbezogene Daten sind Daten, mit denen eine bestimmte Person identifiziert oder kontaktiert werden kann.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie uns kontaktieren.

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Arten von personenbezogenen Daten, die wir möglicherweise erfassen, und wie wir diese Daten möglicherweise verwenden.

Welche personenbezogenen Daten wir erheben:

• Wenn Sie eine Bewerbung auf der Website einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer E-Mail-Adresse usw.

Wie wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden:

• Die von uns gesammelten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie zu kontaktieren und Sie über einzigartige Angebote, Werbeaktionen und andere Veranstaltungen und bevorstehende Veranstaltungen zu informieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden, um Ihnen wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu senden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, z. B. zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Recherchen, um die von uns angebotenen Dienstleistungen zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Dienstleistungen zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einem ähnlichen Anreiz teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen verwenden, um solche Programme zu verwalten.

Weitergabe an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Für den Fall, dass es erforderlich ist - in Übereinstimmung mit dem Gesetz, der gerichtlichen Anordnung, in Gerichtsverfahren und / oder aufgrund öffentlicher Anfragen oder Anfragen staatlicher Stellen im Hoheitsgebiet der Russischen Föderation - Ihre personenbezogenen Daten offenzulegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir feststellen, dass eine solche Offenlegung für Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder andere Zwecke von öffentlichem Interesse notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den entsprechenden Drittnachfolger übertragen.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer – zum Schutz Ihrer personenbezogenen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung.

Wahrung Ihrer Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitspraktiken an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Städtische Bildungseinrichtung

"Kudinskaja-Sekundarschule Nr. 2"

Wege zur Lösung irrationaler Gleichungen

Abgeschlossen von: Egorova Olga,

Aufsicht:

Lehrer

Mathematik,

höhere Qualifikation

Einführung....……………………………………………………………………………………… 3

Abschnitt 1. Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen…………………………………6

1.1 Lösen der irrationalen Gleichungen von Teil C……….….….……………………21

Abschnitt 2. Individuelle Aufgaben…………………………………………….....………...24

Antworten………………………………………………………………………………………….25

Referenzliste…….…………………………………………………………………….26

Einführung

Die mathematische Bildung an einer allgemeinbildenden Schule ist ein wesentlicher Bestandteil der allgemeinen Bildung und der allgemeinen Kultur eines modernen Menschen. Fast alles, was einen modernen Menschen umgibt, ist auf die eine oder andere Weise mit Mathematik verbunden. Und die neuesten Fortschritte in Physik, Technik und Informationstechnologie lassen keinen Zweifel daran, dass dies auch in Zukunft so bleiben wird. Daher wird die Lösung vieler praktischer Probleme auf das Lösen verschiedener Arten von Gleichungen reduziert, deren Lösung erlernt werden muss. Einer dieser Typen sind irrationale Gleichungen.

Irrationale Gleichungen

Eine Gleichung, die eine Unbekannte (oder einen rationalen algebraischen Ausdruck aus einer Unbekannten) unter dem Wurzelzeichen enthält, wird aufgerufen irrationale Gleichung. In der Elementarmathematik werden Lösungen irrationaler Gleichungen in der Menge der reellen Zahlen gesucht.

Jede irrationale Gleichung kann mit Hilfe elementarer algebraischer Operationen (Multiplikation, Division, ganzzahlige Potenzierung beider Gleichungsteile) auf eine rationale algebraische Gleichung zurückgeführt werden. Es sollte bedacht werden, dass die resultierende rationale algebraische Gleichung möglicherweise nicht der ursprünglichen irrationalen Gleichung entspricht, nämlich "zusätzliche" Wurzeln enthalten kann, die nicht die Wurzeln der ursprünglichen irrationalen Gleichung sind. Nachdem die Wurzeln der erhaltenen rationalen algebraischen Gleichung gefunden wurden, ist es daher notwendig zu prüfen, ob alle Wurzeln der rationalen Gleichung die Wurzeln der irrationalen Gleichung sein werden.

Im Allgemeinen ist es schwierig, eine universelle Methode zum Lösen einer irrationalen Gleichung anzugeben, da es wünschenswert ist, dass als Ergebnis von Transformationen der ursprünglichen irrationalen Gleichung nicht nur eine Art rationale algebraische Gleichung unter den Wurzeln von erhalten wird was dort die Wurzeln dieser irrationalen Gleichung sein wird, sondern eine rationale algebraische Gleichung, die aus Polynomen möglichst geringen Grades gebildet wird. Der Wunsch, diese rationale algebraische Gleichung zu erhalten, die aus Polynomen des kleinstmöglichen Grades gebildet ist, ist ganz natürlich, da das Finden aller Wurzeln einer rationalen algebraischen Gleichung an sich eine ziemlich schwierige Aufgabe sein kann, die wir nur in einer sehr begrenzten Anzahl vollständig lösen können von Fällen.

Arten von irrationalen Gleichungen

Das Lösen irrationaler Gleichungen geraden Grades verursacht immer mehr Probleme als das Lösen irrationaler Gleichungen ungeraden Grades. Beim Lösen irrationaler Gleichungen ungeraden Grades ändert sich die ODZ nicht. Daher betrachten wir im Folgenden irrationale Gleichungen, deren Grad gerade ist. Es gibt zwei Arten von irrationalen Gleichungen:

2..

Betrachten wir den ersten von ihnen.

odz-Gleichung: f(x)≥ 0. In ODZ ist die linke Seite der Gleichung immer nicht negativ, sodass eine Lösung nur dann existieren kann, wenn g(x)≥ 0. In diesem Fall sind beide Seiten der Gleichung nichtnegativ und potenzieren 2 n gibt eine äquivalente Gleichung. Das verstehen wir

Achten wir darauf, dass während ODZ wird automatisch durchgeführt, und Sie können es nicht schreiben, aber die Bedingungg(x) ≥ 0 ist zu prüfen.

Notiz: Dies ist eine sehr wichtige Äquivalenzbedingung. Erstens befreit es den Schüler von der Notwendigkeit, nachzuforschen und nach dem Finden von Lösungen die Bedingung f (x) ≥ 0 zu überprüfen - die Nicht-Negativität des Wurzelausdrucks. Zweitens konzentriert es sich auf die Überprüfung des Zustandsg(x) ≥ 0 sind die Nichtnegativität der rechten Seite. Schließlich ist die Gleichung nach dem Quadrieren gelöst d.h. es werden zwei Gleichungen gleichzeitig gelöst (aber auf unterschiedlichen Intervallen der Zahlenachse!):

1. - wo g(x)≥ 0 und

2. - wobei g(x) ≤ 0 ist.

Inzwischen machen viele, gemäß der Schulgewohnheit, ODZ zu finden, beim Lösen solcher Gleichungen genau das Gegenteil:

a) prüfe nach dem Finden von Lösungen die Bedingung f(x) ≥ 0 (die automatisch erfüllt ist), mache Rechenfehler und erhalte ein falsches Ergebnis;

b) ignoriere die Bedingungg(x) ≥ 0 - und wieder kann die Antwort falsch sein.

Notiz: Die Äquivalenzbedingung ist besonders nützlich beim Lösen trigonometrischer Gleichungen, bei denen das Finden der ODZ mit dem Lösen trigonometrischer Ungleichungen verbunden ist, was viel schwieriger ist als das Lösen trigonometrischer Gleichungen. Prüfung in trigonometrischen Gleichungen auf gleichmäßige Bedingungen g(x)≥ 0 ist nicht immer einfach.

Betrachten Sie die zweite Art irrationaler Gleichungen.

. Lassen Sie die Gleichung . Sein ODZ:

In der ODZ sind beide Seiten nicht negativ, und das Quadrieren ergibt die äquivalente Gleichung f(x) =g(x). Daher im ODZ bzw

Bei dieser Lösungsmethode reicht es aus, die Nicht-Negativität einer der Funktionen zu überprüfen - Sie können eine einfachere wählen.

Abschnitt 1. Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen

1 Methode. Befreiung von Radikalen durch sukzessives Anheben beider Seiten der Gleichung zur entsprechenden Naturkraft

Die am häufigsten verwendete Methode zur Lösung irrationaler Gleichungen ist die Methode der Radikalenbefreiung durch sukzessives Potenzieren beider Gleichungsteile mit der entsprechenden natürlichen Potenz. In diesem Fall sollte beachtet werden, dass, wenn beide Teile der Gleichung auf eine ungerade Potenz erhoben werden, die resultierende Gleichung der ursprünglichen entspricht, und wenn beide Teile der Gleichung auf eine gerade Potenzierung erhoben werden, das Ergebnis Gleichung ist im Allgemeinen nicht äquivalent zur ursprünglichen Gleichung. Dies kann leicht überprüft werden, indem beide Seiten der Gleichung mit einer beliebigen geraden Potenz erhoben werden. Diese Operation führt zu der Gleichung , dessen Lösungssatz die Vereinigung von Lösungssätzen ist: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Allerdings trotz Aufgrund dieses Nachteils ist das Verfahren zum Erhöhen beider Teile der Gleichung auf eine gewisse (oft sogar) Potenz das gebräuchlichste Verfahren zum Reduzieren einer irrationalen Gleichung auf eine rationale Gleichung.

Löse die Gleichung:

Woher sind einige Polynome. Aufgrund der Definition der Operation zum Ziehen der Wurzel in der Menge der reellen Zahlen sind die zulässigen Werte des Unbekannten https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Da beide Teile der 1. Gleichung quadriert wurden, kann es vorkommen, dass nicht alle Wurzeln der 2. Gleichung Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind, es ist notwendig, die Wurzeln zu überprüfen.

Löse die Gleichung:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Wenn wir beide Seiten der Gleichung zu einem Würfel erheben, erhalten wir

Angesichts dessen, dass https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Die letzte Gleichung kann Wurzeln haben, die im Allgemeinen keine Wurzeln von sind Gleichung ).

Wir erhöhen beide Seiten dieser Gleichung zu einem Würfel: . Wir schreiben die Gleichung in der Form x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 um. Durch Überprüfung stellen wir fest, dass x1 = 0 eine Fremdwurzel der Gleichung ist (-2 ≠ 1), und x2 = 1 erfüllt die ursprüngliche Gleichung.

Antworten: x = 1.

2 Methode. Ersetzen eines angrenzenden Bedingungssystems

Beim Lösen irrationaler Gleichungen, die Radikale gerader Ordnung enthalten, können in den Antworten fremde Wurzeln auftauchen, die nicht immer leicht zu identifizieren sind. Um fremde Nullstellen leichter identifizieren und verwerfen zu können, wird sie beim Lösen irrationaler Gleichungen sofort durch ein benachbartes Bedingungssystem ersetzt. Zusätzliche Ungleichungen im System berücksichtigen tatsächlich die ODZ der zu lösenden Gleichung. Sie können die ODZ separat finden und später berücksichtigen, aber es ist vorzuziehen, gemischte Bedingungssysteme zu verwenden: Es besteht weniger Gefahr, etwas zu vergessen und bei der Lösung der Gleichung nicht zu berücksichtigen. Daher ist es in einigen Fällen sinnvoller, die Methode des Übergangs zu gemischten Systemen zu verwenden.

Löse die Gleichung:

Antworten: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Diese Gleichung entspricht dem System

Antworten: die Gleichung hat keine Lösungen.

3 Methode. Verwenden der Eigenschaften der n-ten Wurzel

Beim Lösen irrationaler Gleichungen werden die Eigenschaften der Wurzel n-ten Grades verwendet. arithmetische Wurzel n- th Grad von unter a eine nicht negative Nummer anrufen, n- i dessen Grad gleich ist a. Wenn ein n- sogar( 2n), dann ist a ≥ 0, sonst existiert die Wurzel nicht. Wenn ein n- seltsam( 2 n+1), dann ist a beliebig und = - ..gif" width="45" height="19"> Dann:

2.

3.

4.

5.

Bei der formalen Anwendung einer dieser Formeln (ohne Berücksichtigung der angegebenen Einschränkungen) ist zu beachten, dass die ODZ des linken und rechten Teils von jedem von ihnen unterschiedlich sein kann. Beispielsweise wird der Ausdruck mit definiert f ≥ 0 und g ≥ 0, und der Ausdruck ist wie in f ≥ 0 und g ≥ 0, ebenso gut wie f ≤ 0 und g ≤ 0.

Für jede der Formeln 1–5 (ohne Berücksichtigung der angegebenen Einschränkungen) kann die ODZ ihres rechten Teils breiter sein als die ODZ des linken. Daraus folgt, dass Transformationen der Gleichung unter formaler Verwendung der Formeln 1-5 "von links nach rechts" (wie sie geschrieben werden) zu einer Gleichung führen, die eine Folge der ursprünglichen ist. In diesem Fall können fremde Wurzeln der ursprünglichen Gleichung auftreten, sodass die Überprüfung ein obligatorischer Schritt beim Lösen der ursprünglichen Gleichung ist.

Transformationen von Gleichungen mit der formalen Verwendung der Formeln 1-5 "von rechts nach links" sind nicht akzeptabel, da es möglich ist, die ODZ der ursprünglichen Gleichung und folglich den Verlust von Wurzeln zu beurteilen.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

was eine Folge des Originals ist. Die Lösung dieser Gleichung wird auf die Lösung des Gleichungssystems reduziert .

Aus der ersten Gleichung dieses Satzes finden wir https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> von wo wir finden. Also die Wurzeln von diese Gleichung kann nur Zahlen (-1) und (-2) sein. Die Überprüfung zeigt, dass beide gefundenen Wurzeln diese Gleichung erfüllen.

Antworten: -1,-2.

Löse die Gleichung: .

Lösung: Ersetzen Sie anhand der Identitäten den ersten Begriff durch . Beachten Sie, dass dies die Summe zweier nicht negativer Zahlen auf der linken Seite ist. „Entfernen“ Sie das Modul und lösen Sie die Gleichung, nachdem Sie ähnliche Terme gebracht haben. Da erhalten wir die Gleichung . Seit und , dann https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src=" >.gif" width="145" height="21 src=">

Antworten: x = 4,25.

4 Methode. Einführung neuer Variablen

Ein weiteres Beispiel für das Lösen irrationaler Gleichungen ist die Art und Weise, wie neue Variablen eingeführt werden, in Bezug auf die entweder eine einfachere irrationale Gleichung oder eine rationale Gleichung erhalten wird.

Die Lösung irrationaler Gleichungen durch Ersetzen der Gleichung durch ihre Konsequenz (mit anschließender Überprüfung der Wurzeln) kann wie folgt durchgeführt werden:

1. Finden Sie die ODZ der ursprünglichen Gleichung.

2. Gehen Sie von der Gleichung zu ihrer Folgerung.

3. Finden Sie die Wurzeln der resultierenden Gleichung.

4. Überprüfen Sie, ob die gefundenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Die Prüfung ist wie folgt:

A) Die Zugehörigkeit jeder gefundenen Nullstelle der ODZ zur ursprünglichen Gleichung wird überprüft. Die Wurzeln, die nicht zur ODZ gehören, sind für die ursprüngliche Gleichung irrelevant.

B) für jede Wurzel, die in der ODZ der ursprünglichen Gleichung enthalten ist, wird geprüft, ob der linke und der rechte Teil jeder der Gleichungen, die beim Lösen der ursprünglichen Gleichung entstehen und auf eine gerade Potenz erhoben werden, die gleichen Vorzeichen haben. Diejenigen Wurzeln, für die Teile einer Gleichung, die zu einer geraden Potenz erhoben werden, unterschiedliche Vorzeichen haben, sind für die ursprüngliche Gleichung irrelevant.

C) nur diejenigen Wurzeln, die zur ODZ der Ausgangsgleichung gehören und bei denen beide Teile jeder der bei der Lösung der Ausgangsgleichung entstehenden und gerade potenzierten Gleichungen das gleiche Vorzeichen haben, werden durch direktes Einsetzen in überprüft die ursprüngliche Gleichung.

Ein solches Lösungsverfahren mit dem angegebenen Nachweisverfahren ermöglicht es, umständliche Berechnungen beim direkten Einsetzen jeder der gefundenen Wurzeln der letzten Gleichung in die ursprüngliche zu vermeiden.

Lösen Sie die irrationale Gleichung:

.

Der Satz zulässiger Werte dieser Gleichung:

Einstellung , nach Substitution erhalten wir die Gleichung

oder seine äquivalente Gleichung

was als quadratische Gleichung für angesehen werden kann. Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir

.

Daher ist die Lösungsmenge der ursprünglichen irrationalen Gleichung die Vereinigung der Lösungsmengen der folgenden zwei Gleichungen:

, .

Würfeln Sie beide Seiten jeder dieser Gleichungen und wir erhalten zwei rationale algebraische Gleichungen:

, .

Beim Lösen dieser Gleichungen stellen wir fest, dass diese irrationale Gleichung eine einzelne Wurzel x = 2 hat (es ist keine Überprüfung erforderlich, da alle Transformationen äquivalent sind).

Antworten: x = 2.

Lösen Sie die irrationale Gleichung:

Bezeichne 2x2 + 5x - 2 = t. Dann nimmt die ursprüngliche Gleichung die Form an . Indem wir beide Teile der resultierenden Gleichung quadrieren und ähnliche Terme zusammenbringen, erhalten wir die Gleichung , die eine Folge der vorherigen ist. Daraus finden wir t=16.

Wenn wir zum unbekannten x zurückkehren, erhalten wir die Gleichung 2x2 + 5x - 2 = 16, die eine Folge der ursprünglichen ist. Durch Überprüfung stellen wir sicher, dass seine Wurzeln x1 \u003d 2 und x2 \u003d - 9/2 die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Antworten: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 Methode. Transformation der Identitätsgleichung

Beim Lösen irrationaler Gleichungen sollte man nicht mit dem Lösen einer Gleichung beginnen, indem man beide Teile der Gleichungen auf eine natürliche Potenz anhebt und versucht, die Lösung einer irrationalen Gleichung auf die Lösung einer rationalen algebraischen Gleichung zu reduzieren. Zunächst muss geprüft werden, ob es möglich ist, eine identische Transformation der Gleichung vorzunehmen, die ihre Lösung erheblich vereinfachen kann.

Löse die Gleichung:

Der Satz gültiger Werte für diese Gleichung: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Teilen Sie diese Gleichung durch .

.

Wir bekommen:

Für a = 0 hat die Gleichung keine Lösungen; für kann die Gleichung geschrieben werden als

denn diese Gleichung hat keine Lösungen, da für alle X, der zu den zulässigen Werten der Gleichung gehört, ist der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung positiv;

wenn die Gleichung eine Lösung hat

Unter Berücksichtigung, dass die Menge der zulässigen Lösungen der Gleichung durch die Bedingung bestimmt wird, erhalten wir schließlich:

Beim Lösen dieser irrationalen Gleichung https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> lautet die Lösung der Gleichung . Für alle anderen Werte X die Gleichung hat keine Lösungen.

BEISPIEL 10:

Lösen Sie die irrationale Gleichung: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Die Lösung der quadratischen Gleichung des Systems ergibt zwei Wurzeln: x1 \u003d 1 und x2 \u003d 4. Die erste der erhaltenen Wurzeln erfüllt nicht die Ungleichung des Systems, daher x \u003d 4.

Anmerkungen.

1) Die Durchführung identischer Transformationen ermöglicht es uns, auf eine Verifikation zu verzichten.

2) Die Ungleichung x - 3 ≥0 bezieht sich auf identische Transformationen und nicht auf den Definitionsbereich der Gleichung.

3) Es gibt eine abnehmende Funktion auf der linken Seite der Gleichung und eine zunehmende Funktion auf der rechten Seite dieser Gleichung. Graphen abnehmender und zunehmender Funktionen am Schnittpunkt ihrer Definitionsbereiche können nicht mehr als einen gemeinsamen Punkt haben. Offensichtlich ist in unserem Fall x = 4 die Abszisse des Schnittpunkts der Graphen.

Antworten: x = 4.

6 Methode. Verwendung des Definitionsbereichs von Funktionen beim Lösen von Gleichungen

Diese Methode ist am effektivsten, wenn Sie Gleichungen lösen, die Funktionen https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> enthalten, und ihre Bereichsdefinitionen finden (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, dann müssen Sie überprüfen, ob die Gleichung an den Enden des Intervalls wahr ist, außerdem, wenn a< 0, а b >0, dann ist es notwendig, die Intervalle zu überprüfen (a;0) und . Die kleinste ganze Zahl in E(y) ist 3.

Antworten: x = 3.

8 Methode. Anwendung der Ableitung beim Lösen irrationaler Gleichungen

Meistens wird beim Lösen von Gleichungen mit der Ableitungsmethode die Schätzmethode verwendet.

BEISPIEL 15:

Lösen Sie die Gleichung: (1)

Lösung: Seit https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, oder (2). Betrachten Sie die Funktion ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> überhaupt und daher zunehmend. Daher die Gleichung ist äquivalent zu einer Gleichung, die eine Wurzel hat, die die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.

Antworten:

BEISPIEL 16:

Lösen Sie die irrationale Gleichung:

Der Definitionsbereich der Funktion ist ein Segment. Lassen Sie uns den größten und kleinsten Wert des Werts dieser Funktion im Intervall finden. Dazu finden wir die Ableitung der Funktion f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Finden wir die Werte der Funktion f(x) an den Enden des Segments und am Punkt : Also, aber und deshalb ist Gleichheit nur unter der Bedingung https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" möglich height="19 src=" > Die Überprüfung zeigt, dass die Zahl 3 die Wurzel dieser Gleichung ist.

Antworten: x = 3.

9 Methode. Funktionell

In Prüfungen bieten sie manchmal an, Gleichungen zu lösen, die in der Form geschrieben werden können, wobei eine bestimmte Funktion ist.

Zum Beispiel einige Gleichungen: 1) 2) . In der Tat im ersten Fall , im zweiten Fall . Lösen Sie daher irrationale Gleichungen mit der folgenden Aussage: wenn eine Funktion auf der Menge streng steigend ist X und für alle sind die Gleichungen usw. auf der Menge äquivalent X .

Lösen Sie die irrationale Gleichung: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> am Set streng zunehmen R, und https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > die eine eindeutige Wurzel hat Daher hat die äquivalente Gleichung (1) auch eine eindeutige Wurzel

Antworten: x = 3.

BEISPIEL 18:

Lösen Sie die irrationale Gleichung: (1)

Aufgrund der Definition der Quadratwurzel erhalten wir, dass wenn Gleichung (1) Wurzeln hat, diese zur Menge gehören https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" Höhe = "47" >.(2)

Betrachten Sie die Funktion https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> streng erhöhend auf diesem Satz für alle ..gif" width="100" Höhe = "41">, die eine einzelne Wurzel hat Daher und gleichbedeutend damit auf der Menge X Gleichung (1) hat eine einzelne Wurzel

Antworten: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Lösung: Diese Gleichung entspricht einem gemischten System

Gleichungen, in denen eine Variable unter dem Vorzeichen der Wurzel steht, heißen irrational.

Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen basieren in der Regel auf der Möglichkeit, eine irrationale Gleichung (mit Hilfe einiger Transformationen) durch eine rationale Gleichung zu ersetzen, die entweder der ursprünglichen irrationalen Gleichung entspricht oder deren Folge ist. Meistens werden beide Seiten der Gleichung gleich potenziert. In diesem Fall wird eine Gleichung erhalten, die eine Folge der ursprünglichen ist.

Beim Lösen irrationaler Gleichungen ist Folgendes zu beachten:

1) Wenn der Wurzelindex eine gerade Zahl ist, muss der Wurzelausdruck nicht negativ sein; der Wert der Wurzel ist ebenfalls nicht negativ (die Definition einer Wurzel mit einem geraden Exponenten);

2) wenn der Wurzelindex eine ungerade Zahl ist, dann kann der Wurzelausdruck jede reelle Zahl sein; in diesem Fall ist das Vorzeichen der Wurzel dasselbe wie das Vorzeichen des Wurzelausdrucks.

Beispiel 1 löse die Gleichung

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren.
x 2 - 3 \u003d 1;
Wir übertragen -3 von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite und führen die Reduktion ähnlicher Terme durch.
x 2 \u003d 4;
Die resultierende unvollständige quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln -2 und 2.

Lassen Sie uns die erhaltenen Wurzeln überprüfen, dazu werden wir die Werte der Variablen x in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Untersuchung.
Wenn x 1 \u003d -2 - wahr:
Wenn x 2 \u003d -2- wahr ist.
Daraus folgt, dass die ursprüngliche irrationale Gleichung zwei Wurzeln hat -2 und 2.

Beispiel 2 löse die Gleichung .

Diese Gleichung kann mit der gleichen Methode wie im ersten Beispiel gelöst werden, aber wir werden es anders machen.

Lassen Sie uns die ODZ dieser Gleichung finden. Aus der Definition der Quadratwurzel folgt, dass in dieser Gleichung zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen:

ODZ der gegebenen Gleichung: x.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 3 löse die Gleichung =+ 2.

Das Auffinden der ODZ in dieser Gleichung ist eine ziemlich schwierige Aufgabe. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2=0.
Nach der Überprüfung stellen wir fest, dass x 2 \u003d 0 eine zusätzliche Wurzel ist.
Antwort: x 1 \u003d 1.

Beispiel 4 Lösen Sie die Gleichung x =.

In diesem Beispiel ist die ODZ einfach zu finden. ODZ dieser Gleichung: x[-1;).

Lassen Sie uns beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, als Ergebnis erhalten wir die Gleichung x 2 \u003d x + 1. Die Wurzeln dieser Gleichung:

Es ist schwierig, die gefundenen Wurzeln zu überprüfen. Aber trotz der Tatsache, dass beide Wurzeln zur ODZ gehören, ist es unmöglich zu behaupten, dass beide Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind. Dies führt zu einem Fehler. BEIM dieser Fall Eine irrationale Gleichung ist äquivalent zu einer Kombination aus zwei Ungleichungen und einer Gleichung:

x+10 und x0 und x 2 \u003d x + 1, woraus folgt, dass die negative Wurzel für die irrationale Gleichung irrelevant ist und verworfen werden muss.

Beispiel 5 . Lösen Sie die Gleichung += 7.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren und die Reduktion ähnlicher Terme durchführen, die Terme von einem Teil der Gleichung auf den anderen übertragen und beide Teile mit 0,5 multiplizieren. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung
= 12, (*) was eine Folge der ursprünglichen ist. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung noch einmal quadrieren. Wir erhalten die Gleichung (x + 5) (20 - x) = 144, die eine Folge der ursprünglichen ist. Die resultierende Gleichung wird auf die Form x 2 - 15x + 44 = 0 reduziert.

Diese Gleichung (die auch eine Folge der ursprünglichen ist) hat Wurzeln x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Beide Wurzeln erfüllen, wie die Überprüfung zeigt, die ursprüngliche Gleichung.

Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.

Kommentar. Beim Quadrieren von Gleichungen multiplizieren die Schüler in Gleichungen vom Typ (*) häufig die Wurzelausdrücke, d.h. statt der Gleichung = 12 schreiben sie die Gleichung = 12. Dies führt nicht zu Fehlern, da die Gleichungen Folgen der Gleichungen sind. Es ist jedoch zu beachten, dass eine solche Multiplikation von Radikalausdrücken im allgemeinen nicht äquivalente Gleichungen ergibt.

In den oben diskutierten Beispielen war es möglich, zunächst einen der Reste auf die rechte Seite der Gleichung zu übertragen. Dann verbleibt ein Radikal auf der linken Seite der Gleichung, und nach dem Quadrieren beider Seiten der Gleichung wird eine rationale Funktion auf der linken Seite der Gleichung erhalten. Diese Technik (Einsamkeit des Radikals) wird häufig beim Lösen irrationaler Gleichungen verwendet.

Beispiel 6. Löse Gleichung-= 3.

Nachdem wir das erste Radikal isoliert haben, erhalten wir die Gleichung
=+ 3, was dem Original entspricht.

Wenn wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, erhalten wir die Gleichung

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, was der Gleichung entspricht

4x - 5 = 3(*). Diese Gleichung ist eine Folge der ursprünglichen Gleichung. Wenn wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, kommen wir zur Gleichung
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3) oder

7x2 - 13x - 2 = 0.

Diese Gleichung ist eine Folge der Gleichung (*) (und damit der ursprünglichen Gleichung) und hat Wurzeln. Die erste Wurzel x 1 = 2 erfüllt die ursprüngliche Gleichung, die zweite x 2 =- nicht.

Antwort: x = 2.

Beachten Sie, dass wir, wenn wir sofort, ohne eines der Radikale zu isolieren, beide Teile der ursprünglichen Gleichung quadrieren würden, ziemlich umständliche Transformationen durchführen müssten.

Beim Lösen irrationaler Gleichungen werden neben der Isolierung von Radikalen auch andere Methoden verwendet. Betrachten Sie ein Beispiel für die Verwendung der Methode zum Ersetzen des Unbekannten (die Methode zum Einführen einer Hilfsvariablen).