In diesem Artikel werden wir uns mit dem Konzept des Kreuzprodukts zweier Vektoren befassen. Wir geben die notwendigen Definitionen, schreiben eine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Vektorprodukts auf, listen und begründen seine Eigenschaften. Anschließend beschäftigen wir uns mit der geometrischen Bedeutung des Kreuzprodukts zweier Vektoren und betrachten die Lösungen verschiedener typischer Beispiele.

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Definition eines Vektorprodukts.

Bevor wir eine Definition eines Kreuzprodukts geben, beschäftigen wir uns mit der Orientierung eines geordneten Vektortripels im dreidimensionalen Raum.

Lassen Sie uns Vektoren von einem Punkt verschieben. Abhängig von der Richtung des Vektors kann das Tripel rechts oder links sein. Schauen wir uns vom Ende des Vektors an, wie die kürzeste Abzweigung vom Vektor nach erfolgt. Wenn die kürzeste Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, wird das Vektortripel aufgerufen Rechts, sonst - links.

Nehmen wir nun zwei nichtkollineare Vektoren und . Legen Sie die Vektoren beiseite und beginnen Sie mit Punkt A. Konstruieren wir einen Vektor, der gleichzeitig senkrecht zu und und ist. Offensichtlich können wir beim Konstruieren eines Vektors zwei Dinge tun, indem wir ihm entweder eine Richtung oder die entgegengesetzte Richtung geben (siehe Abbildung).

Abhängig von der Richtung des Vektors kann das geordnete Vektortripel rechts oder links sein.

Damit kamen wir der Definition eines Vektorprodukts nahe. Sie gilt für zwei Vektoren, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums angegeben sind.

Definition.

Vektorprodukt zweier Vektoren und , gegeben in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums, wird ein Vektor genannt, so dass

Das Kreuzprodukt von Vektoren wird als bezeichnet.

Vektorproduktkoordinaten.

Jetzt geben wir die zweite Definition eines Vektorprodukts, die es uns ermöglicht, seine Koordinaten aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren und zu ermitteln.

Definition.

In einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums Kreuzprodukt zweier Vektoren Und ist ein Vektor, wobei es sich um Koordinatenvektoren handelt.

Diese Definition gibt uns das Kreuzprodukt in Koordinatenform.

Es ist zweckmäßig, das Vektorprodukt als Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung darzustellen, deren erste Zeile die Orts sind, die zweite Zeile die Koordinaten des Vektors enthält und die dritte Zeile die Koordinaten des Vektors enthält ein gegebenes rechtwinkliges Koordinatensystem:

Wenn wir diese Determinante um die Elemente der ersten Zeile erweitern, erhalten wir Gleichheit aus der Definition des Vektorprodukts in Koordinaten (siehe ggf. den Artikel):

Es ist zu beachten, dass die Koordinatenform des Kreuzprodukts vollständig mit der Definition im ersten Absatz dieses Artikels übereinstimmt. Darüber hinaus sind diese beiden Definitionen eines Kreuzprodukts äquivalent. Der Beweis dieser Tatsache findet sich in dem am Ende des Artikels angegebenen Buch.

Vektorprodukteigenschaften.

Da das Vektorprodukt in Koordinaten als Determinante der Matrix dargestellt werden kann, lässt sich auf dieser Grundlage das Folgende leicht begründen Vektorprodukteigenschaften:

Lassen Sie uns als Beispiel die Antikommutativitätseigenschaft eines Vektorprodukts beweisen.

A-Priorat Und . Wir wissen, dass sich der Wert der Determinante einer Matrix umkehrt, wenn zwei Zeilen vertauscht werden, also , was die Antikommutativitätseigenschaft des Vektorprodukts beweist.

Vektorprodukt - Beispiele und Lösungen.

Grundsätzlich gibt es drei Arten von Aufgaben.

Bei Problemen des ersten Typs sind die Längen zweier Vektoren und der Winkel zwischen ihnen angegeben, und es ist erforderlich, die Länge des Kreuzprodukts zu ermitteln. In diesem Fall wird die Formel verwendet .

Beispiel.

Finden Sie die Länge des Kreuzprodukts von Vektoren und falls bekannt .

Lösung.

Aus der Definition wissen wir, dass die Länge des Kreuzprodukts von Vektoren gleich dem Produkt aus den Längen der Vektoren und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist. Daher gilt: .

Antworten:

.

Aufgaben des zweiten Typs beziehen sich auf die Koordinaten von Vektoren, bei denen das Vektorprodukt, seine Länge oder etwas anderes anhand der Koordinaten der gegebenen Vektoren gesucht wird Und .

Hier stehen Ihnen viele verschiedene Optionen zur Verfügung. Zum Beispiel nicht die Koordinaten der Vektoren und , sondern ihre Erweiterungen in Koordinatenvektoren der Form und , oder Vektoren und können durch die Koordinaten ihrer Start- und Endpunkte angegeben werden.

Betrachten wir typische Beispiele.

Beispiel.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind zwei Vektoren angegeben . Finden Sie ihr Vektorprodukt.

Lösung.

Nach der zweiten Definition wird das Kreuzprodukt zweier Vektoren in Koordinaten wie folgt geschrieben:

Zum gleichen Ergebnis wären wir gekommen, wenn wir das Vektorprodukt durch die Determinante geschrieben hätten

Antworten:

.

Beispiel.

Ermitteln Sie die Länge des Kreuzprodukts der Vektoren und , wobei die Ortspunkte des rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems liegen.

Lösung.

Ermitteln Sie zunächst die Koordinaten des Vektorprodukts in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem.

Da die Vektoren und die Koordinaten bzw. haben (siehe ggf. die Artikelkoordinaten eines Vektors in einem rechtwinkligen Koordinatensystem), dann gilt nach der zweiten Definition ein Kreuzprodukt

Das heißt, das Vektorprodukt hat Koordinaten im angegebenen Koordinatensystem.

Wir ermitteln die Länge eines Vektorprodukts als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten (diese Formel für die Länge eines Vektors haben wir im Abschnitt über die Ermittlung der Länge eines Vektors erhalten):

Antworten:

.

Beispiel.

Die Koordinaten von drei Punkten werden in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem angegeben. Finden Sie einen Vektor, der senkrecht zu und gleichzeitig steht.

Lösung.

Vektoren und haben Koordinaten bzw. (siehe den Artikel Ermitteln der Koordinaten eines Vektors anhand der Koordinaten von Punkten). Wenn wir das Kreuzprodukt der Vektoren und finden, dann ist es per Definition ein Vektor senkrecht zu sowohl zu als auch zu, das heißt, es ist die Lösung unseres Problems. Lasst uns ihn finden

Antworten:

ist einer der senkrechten Vektoren.

Bei Aufgaben des dritten Typs wird die Fähigkeit überprüft, die Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren zu nutzen. Nachdem Eigenschaften angewendet wurden, werden die entsprechenden Formeln angewendet.

Beispiel.

Die Vektoren und stehen senkrecht zueinander und ihre Längen betragen 3 bzw. 4. Finden Sie die Länge des Vektorprodukts .

Lösung.

Durch die Verteilungseigenschaft des Vektorprodukts können wir schreiben

Aufgrund der assoziativen Eigenschaft ermitteln wir die numerischen Koeffizienten für das Vorzeichen von Vektorprodukten im letzten Ausdruck:

Vektorprodukte und sind seitdem gleich Null Und , Dann .

Da das Vektorprodukt antikommutativ ist, gilt .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts sind wir also zur Gleichheit gekommen .

Gemäß der Bedingung stehen die Vektoren und senkrecht zueinander, d. h. der Winkel zwischen ihnen ist gleich . Das heißt, wir haben alle Daten, um die erforderliche Länge zu finden

Antworten:

.

Die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts.

Per Definition beträgt die Länge des Kreuzprodukts von Vektoren . Und aus dem Geometriekurs der Oberstufe wissen wir, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts aus den Längen der beiden Seiten des Dreiecks und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist. Daher ist die Länge des Kreuzprodukts gleich dem Doppelten der Fläche eines Dreiecks mit den Seiten der Vektoren und , wenn sie von einem Punkt aus verschoben werden. Mit anderen Worten, die Länge des Kreuzprodukts der Vektoren und ist gleich der Fläche eines Parallelogramms mit den Seiten und und einem Winkel zwischen ihnen gleich. Dies ist die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts.

Test Nr. 1

Vektoren. Elemente der höheren Algebra

1-20. Die Längen der Vektoren und und sind bekannt; ist der Winkel zwischen diesen Vektoren.

Berechnen Sie: 1) und 2) .3) Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, das aus den Vektoren und aufgebaut ist.

Fertige eine Zeichnung an.

Lösung. Mit der Definition des Skalarprodukts von Vektoren:

Und die Eigenschaften des Skalarprodukts: ,

1) Finden Sie das Skalarquadrat des Vektors:

das heißt, Dann .

Wenn wir ähnlich argumentieren, erhalten wir

das heißt, Dann .

Per Definition eines Vektorprodukts: ,

unter Berücksichtigung der Tatsache, dass

Die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks ist gleich

21-40. Die Koordinaten von drei Eckpunkten sind bekannt A, B, D Parallelogramm A B C D. Mittels Vektoralgebra benötigen Sie:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Lösung.

Es ist bekannt, dass die Diagonalen eines Parallelogramms im Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt werden. Daher die Koordinaten des Punktes E- Schnittpunkte der Diagonalen - Finden Sie als Koordinaten die Mitte des Segments BD. Bezeichnet sie mit X E ,j E , z E Das verstehen wir

Wir bekommen .

Die Koordinaten des Punktes kennen E- diagonale Mittelpunkte BD und die Koordinaten eines seiner Enden A(3;0;-7), Mit den Formeln bestimmen wir die gewünschten Koordinaten des Scheitelpunkts MIT Parallelogramm:

Also die Spitze.

2) Um die Projektion eines Vektors auf einen Vektor zu finden, ermitteln wir die Koordinaten dieser Vektoren: ,

ebenfalls . Die Projektion eines Vektors auf einen Vektor finden wir nach der Formel:

3) Der Winkel zwischen den Diagonalen des Parallelogramms ergibt sich als Winkel zwischen den Vektoren

Und durch die Eigenschaft des Skalarprodukts:

Dann

4) Die Fläche des Parallelogramms ergibt sich als Modul des Vektorprodukts:

5) Das Volumen der Pyramide ergibt sich als ein Sechstel des Moduls des gemischten Vektorprodukts, wobei O(0;0;0), dann

Dann das gewünschte Volumen (Kubikeinheiten)

41-60. Matrixdaten:

V C -1 +3A T

Bezeichnungen:

Zuerst finden wir die Umkehrung der Matrix C.

Dazu ermitteln wir seine Determinante:

Die Determinante ist ungleich Null, daher ist die Matrix nicht singulär und Sie können dafür die inverse Matrix C -1 finden

Lassen Sie uns algebraische Komplemente anhand der Formel finden, wobei das Nebenelement des Elements ist:

Dann , .

61–80. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:

Cramers Methode; 2. Matrixmethode.

Lösung.

a) Cramers Methode

Finden wir die Determinante des Systems

Seitdem verfügt das System über eine einzigartige Lösung.

Finden Sie die Determinanten und , indem Sie die erste, zweite und dritte Spalte in der Koeffizientenmatrix durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen.

Nach Cramers Formeln:

B)Matrixmethode (unter Verwendung der inversen Matrix).

Wir schreiben dieses System in Matrixform und lösen es mithilfe der inversen Matrix.

Lassen A ist die Koeffizientenmatrix für Unbekannte; X ist die Spaltenmatrix der Unbekannten X, j, z Und H ist eine Spaltenmatrix freier Mitglieder:

Die linke Seite des Systems (1) kann als Produkt von Matrizen geschrieben werden, die rechte Seite als Matrix H. Daher haben wir die Matrixgleichung

Da die Matrixdeterminante A von Null verschieden ist (Punkt „a“), dann ist die Matrix A hat eine inverse Matrix. Wenn wir beide Seiten der Gleichheit (2) auf der linken Seite mit der Matrix multiplizieren, erhalten wir

Seit wo E ist die Identitätsmatrix und dann

Lassen Sie uns eine nicht singuläre Matrix A haben:

Dann wird die inverse Matrix durch die Formel gefunden:

Wo A ij- algebraisches Komplement eines Elements A ij in Matrixdeterminante A, das ist das Produkt von (-1) i+j und der Minor (Determinante) n-1 Bestellung durch Löschung erhalten i-th Linien und j-th Spalten in der Determinante der Matrix A:

Von hier aus erhalten wir die inverse Matrix:

Spalte X: X=A -1 H

81–100. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Lösung. Wir schreiben das System in Form einer erweiterten Matrix:

Wir führen elementare Transformationen mit Strings durch.

Von der 2. Zeile subtrahieren wir die erste Zeile multipliziert mit 2. Von Zeile 3 subtrahieren wir die erste Zeile multipliziert mit 4. Von Zeile 4 subtrahieren wir die erste Zeile, wir erhalten die Matrix:

Als nächstes erhalten wir Null in der ersten Spalte der nachfolgenden Zeilen, dazu subtrahieren wir die dritte Zeile von der zweiten Zeile. Von der dritten Zeile subtrahieren wir die zweite Zeile multipliziert mit 2. Von der vierten Zeile subtrahieren wir die zweite Zeile multipliziert mit 3. Als Ergebnis erhalten wir eine Matrix der Form:

Subtrahiere die dritte von der vierten Zeile.

Vertauschen Sie die vorletzte und letzte Zeile:

Die letzte Matrix entspricht dem Gleichungssystem:

Aus der letzten Gleichung des Systems finden wir .

Durch Einsetzen in die vorletzte Gleichung erhalten wir .

Aus der zweiten Gleichung des Systems folgt Folgendes

Aus der ersten Gleichung finden wir x:

Antworten:

Prüfung Nr. 2

Analytische Geometrie

1-20. Gegeben sind die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks ABC. Finden:

1) Seitenlänge AIN;

2) Nebengleichungen AB Und Sonne und ihre Hänge;

3) Winkel IN im Bogenmaß mit zwei Dezimalstellen;

4) Höhengleichung CD und seine Länge

5) Mediangleichung AE

Höhe CD;

ZU parallel zur Seite AB,

7) Machen Sie eine Zeichnung.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Lösung.

Unter Anwendung von (1) ermitteln wir die Länge der Seite AB:

2) Nebengleichungen AB Und Sonne und ihre Steigungen:

Die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte geht, hat die Form

Einsetzen der Koordinaten der Punkte in (2). A Und IN, wir erhalten die Seitengleichung AB:

(AB).

(Chr).

3) Winkel IN im Bogenmaß mit zwei Dezimalstellen.

Es ist bekannt, dass der Tangens des Winkels zwischen zwei Geraden, deren Steigungskoeffizienten jeweils gleich sind, nach der Formel berechnet wird

Gewünschter Winkel IN gebildet durch direkte AB Und Sonne, deren Winkelkoeffizienten gefunden werden: ; . Wenn wir (3) anwenden, erhalten wir

; , oder

4) Höhengleichung CD und seine Länge.

Abstand vom Punkt C zur Linie AB:

5) Mediangleichung AE und die Koordinaten des Punktes K des Schnittpunkts dieses Medians mit

Höhe CD.

Mittelseite BC:

Dann ist die Gleichung AE:

Wir lösen das Gleichungssystem:

6) Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft ZU parallel zur Seite AB:

Da die gewünschte Linie parallel zur Seite verläuft AB, dann ist seine Steigung gleich der Steigung der Geraden AB. Einsetzen der Koordinaten des gefundenen Punktes in (4). ZU und Winkelkoeffizient erhalten wir

; (KF).

Die Fläche eines Parallelogramms beträgt 12 Quadratmeter. Einheiten, zwei seiner Eckpunkte sind Punkte A(-1;3) Und B(-2;4). Finden Sie zwei weitere Eckpunkte dieses Parallelogramms, wenn bekannt ist, dass der Schnittpunkt seiner Diagonalen auf der x-Achse liegt. Fertige eine Zeichnung an.

Lösung. Der Schnittpunkt der Diagonalen soll Koordinaten haben.

Dann ist es offensichtlich

daher die Koordinaten der Vektoren.

Die Fläche eines Parallelogramms wird durch die Formel ermittelt

Dann sind die Koordinaten der anderen beiden Eckpunkte.

In den Aufgaben 51-60 die Koordinaten der Punkte A und B. Erforderlich:

Schreiben Sie die kanonische Gleichung einer Hyperbel, die durch gegebene Punkte verläuft A und B wenn die Brennpunkte der Hyperbel auf der x-Achse liegen;

Finden Sie Halbachsen, Brennpunkte, Exzentrizität und Asymptotengleichungen dieser Hyperbel;

Finden Sie alle Schnittpunkte einer Hyperbel mit einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung, wenn dieser Kreis durch die Brennpunkte der Hyperbel verläuft;

Konstruieren Sie eine Hyperbel, ihre Asymptoten und einen Kreis.

A(6;-2), B(-8;12).

Lösung. Die Gleichung der gewünschten Hyperbel wird in kanonischer Form geschrieben

Wo A ist die reale Halbachse der Hyperbel, B- imaginäre Achse. Punktkoordinaten ersetzen A Und IN In dieser Gleichung finden wir diese Halbachsen:

- die Gleichung der Hyperbel: .

Halbachsen a=4,

Brennweite Brennpunkte (-8,0) und (8,0)

Exzentrizität

Aciptoten:

Wenn der Kreis durch den Ursprung geht, ist seine Gleichung

Wenn wir einen der Brennpunkte ersetzen, finden wir auch die Kreisgleichung

Finden Sie die Schnittpunkte der Hyperbel und des Kreises:

Erstellen einer Zeichnung:

Zeichnen Sie in den Aufgaben 61–80 die Funktion im Polarkoordinatensystem nach Punkten auf und geben Sie -Werte durch das Intervall  an /8 (0   2). Finden Sie die Geradengleichung in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem (die positive Halbachse der Abszisse fällt mit der Polarachse zusammen und der Pol fällt mit dem Ursprung zusammen).

Lösung. Lassen Sie uns eine Linie nach Punkten erstellen, nachdem wir zuvor die Wertetabelle und φ ausgefüllt haben.

Nummer	φ ,	φ, Grad			Nummer	φ , froh	Grad
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 Wir schließen daraus, dass diese Gleichung eine Ellipse definiert: Punkte vergeben A, IN , CD . Erforderlich, um Folgendes zu finden: 1. Gleichung der Ebene (Q), durch Punkte gehen A, B, C D im Flugzeug (Q); 2. Gleichung einer Geraden (ICH) durch Punkte gehen IN und D; 3. Winkel zwischen Ebene (Q) und direkt (ICH); 4. Gleichung der Ebene (R), durch einen Punkt gehen A senkrecht zur Linie (ICH); 5. Winkel zwischen Ebenen (R) Und (Q) ; 6. Gleichung einer Geraden (T), durch einen Punkt gehen A in Richtung seines Radiusvektors; 7. Winkel zwischen geraden Linien (ICH) Und (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Gleichung der Ebene (Q), durch Punkte gehen A, B, C und prüfen Sie, ob der Punkt liegt D in der Ebene wird durch die Formel Finden bestimmt: 1) . 2) Quadrat Parallelogramm, gebaut An Und. 3) Das Volumen des Parallelepipeds, gebaut An Vektoren, Und. Kontrolle Arbeit Zu diesem Thema " Elemente Theorie linearer Räume... Richtlinien zur Durchführung von Tests für grundständige Fernstudiengänge zur Qualifizierung 080100. 62 in der Richtung Richtlinien Das Parallelepiped und das Volumen der Pyramide, gebaut An Vektoren, Und. Lösung: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4. AUFGABEN FÜR KONTROLLE FUNKTIONIERT Abschnitt I. Linear Algebra. 1 – 10. Dana...

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Kreuzprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren (sofortiger Link für diejenigen, die ihn brauchen). Es ist in Ordnung, es kommt manchmal vor, dass das vollkommene Glück zusätzlich dazu führt Skalarprodukt von Vektoren, es wird immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Man könnte den Eindruck gewinnen, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Das ist nicht so. In diesem Abschnitt der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Brennholz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr gewöhnlich und einfach – kaum schwieriger als dasselbe Skalarprodukt, auch wenn es weniger typische Aufgaben geben wird. Das Wichtigste in der analytischen Geometrie ist, wie viele sehen werden oder bereits gesehen haben, BERECHNUNGEN NICHT ZU VERFEHLEN. Wiederholen Sie es wie einen Zauberspruch, und Sie werden glücklich sein =)

Wenn die Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, ist das egal, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Besser vorbereitete Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen. Ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zusammenzustellen, die häufig in der praktischen Arbeit zu finden sind

Was wird dich glücklich machen? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt besteht überhaupt kein Grund mehr zu jonglieren, da wir darüber nachdenken nur Raumvektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Warum? So entstanden diese Aktionen – der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Schon einfacher!

Bei dieser Operation gilt auf die gleiche Weise wie beim Skalarprodukt: zwei Vektoren. Lass es unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet auf die folgende Weise: . Es gibt auch andere Möglichkeiten, aber ich bin es gewohnt, das Kreuzprodukt von Vektoren auf diese Weise zu bezeichnen, in eckigen Klammern mit einem Kreuz.

Und zwar sofort Frage: wenn in Skalarprodukt von Vektoren Es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Ein klarer Unterschied zunächst einmal im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist eine ZAHL:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist ein VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Club. Daher auch der Name der Operation. In der verschiedenen pädagogischen Literatur können die Bezeichnungen auch variieren, ich verwende den Buchstaben .

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst erfolgt eine Definition mit Bild, dann Kommentare.

Definition: Kreuzprodukt nichtkollinear Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, heißt VECTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, auf diesen Vektoren aufgebaut; Vektor orthogonal zu Vektoren und ist so gerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Wir analysieren die Definition anhand von Knochen, es gibt viele interessante Dinge!

Daher können wir die folgenden wichtigen Punkte hervorheben:

1) Quellvektoren, per Definition durch rote Pfeile gekennzeichnet nicht kollinear. Es ist angebracht, den Fall kollinearer Vektoren etwas später zu betrachten.

2) Vektoren aufgenommen in einer strengen Reihenfolge: – „a“ wird mit „be“ multipliziert, nicht „sein“ zu „a“. Das Ergebnis der Vektormultiplikation ist VECTOR , was blau markiert ist. Wenn die Vektoren in umgekehrter Reihenfolge multipliziert werden, erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (purpurrote Farbe). Das heißt, die Gleichheit .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Das ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und damit des purpurroten Vektors) ist numerisch gleich der FLÄCHE des aus den Vektoren aufgebauten Parallelogramms. In der Abbildung ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Kreuzprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Wir erinnern uns an eine der geometrischen Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Daher ist auf der Grundlage des Vorstehenden die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts gültig:

Ich betone, dass es in der Formel um die LÄNGE des Vektors geht und nicht um den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist so, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms oft durch das Konzept eines Vektorprodukts ermittelt wird:

Wir erhalten die zweite wichtige Formel. Die Diagonale des Parallelogramms (rote gestrichelte Linie) teilt es in zwei gleiche Dreiecke. Daher kann die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) durch die Formel ermittelt werden:

4) Eine ebenso wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (roter Pfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren.

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In einer Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich darüber gesprochen Ebenenausrichtung, und jetzt werden wir herausfinden, wie die Ausrichtung des Raums ist. Ich werde es dir an den Fingern erklären rechte Hand. Geistig kombinieren Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger in die Handfläche drücken. Ergebend Daumen- Das Vektorprodukt wird nachgeschlagen. Dies ist die rechtsorientierte Basis (in der Abbildung). Vertauschen Sie nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an manchen Stellen dreht sich der Daumen um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Vielleicht haben Sie eine Frage: Welche Grundlage hat eine Linksorientierung? „Zuweisen“ Sie die gleichen Finger linke Hand Vektoren und erhalten Sie die linke Basis und die linke Raumorientierung (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Im übertragenen Sinne „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt betrachtet werden – zum Beispiel ändert der gewöhnlichste Spiegel die Ausrichtung des Raums, und wenn man „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel herauszieht“, ist dies im Allgemeinen nicht möglich kombiniere es mit dem „Original“. Bringen Sie übrigens drei Finger zum Spiegel und analysieren Sie das Spiegelbild ;-)

... wie gut es ist, dass Sie es jetzt wissen rechts und links ausgerichtet Grundlagen, denn die Aussagen mancher Dozenten zum Orientierungswechsel sind furchtbar =)

Vektorprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde im Detail ausgearbeitet, es bleibt noch herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich davon, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist Null. Das Gleiche folgt aus der Formel: Der Sinus von Null oder 180 Grad ist gleich Null, was bedeutet, dass die Fläche Null ist

Also, wenn, dann Und . Bitte beachten Sie, dass das Kreuzprodukt selbst gleich dem Nullvektor ist, in der Praxis wird dies jedoch oft vernachlässigt und geschrieben, dass es auch gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Vektorprodukt eines Vektors und sich selbst:

Mit dem Kreuzprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Zur Lösung praktischer Beispiele kann es erforderlich sein trigonometrische Tabelle um daraus die Werte der Sinuswerte zu ermitteln.

Nun, lasst uns ein Feuer machen:

Beispiel 1

a) Bestimmen Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Anfangsdaten in den Konditionspositionen absichtlich gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Je nach Bedingung ist es erforderlich, etwas zu finden Länge Vektor (Vektorprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Da nach der Länge gefragt wurde, geben wir in der Antwort die Maßeinheiten an.

b) Je nach Bedingung ist es erforderlich, etwas zu finden Quadrat auf Vektoren aufgebautes Parallelogramm. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Kreuzprodukts:

Antworten:

Bitte beachten Sie, dass in der Antwort über das Vektorprodukt überhaupt nicht die Rede ist, worüber wir gefragt wurden Figurenbereich bzw. die Dimension ist quadratische Einheiten.

Wir schauen uns immer an, WAS durch die Bedingung gefunden werden muss, und formulieren darauf basierend klar antworten. Es mag wie Literalismus erscheinen, aber es gibt genügend Literalisten unter den Lehrern, und die Aufgabe mit guten Chancen wird zur Überarbeitung zurückgegeben. Obwohl dies kein besonders angespannter Trottel ist – wenn die Antwort falsch ist, hat man den Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder den Kern der Aufgabe nicht verstanden hat. Dieser Moment sollte immer unter Kontrolle gehalten werden, um jedes Problem in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern zu lösen.

Wo ist der große Buchstabe „en“ geblieben? Prinzipiell könnte es zusätzlich zur Lösung geklebt werden, aber um den Datensatz zu verkürzen, habe ich darauf verzichtet. Ich hoffe, das versteht jeder und ist die Bezeichnung für dasselbe.

Ein beliebtes Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt finden Sie in den Kommentaren zur Definition. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr häufig, Dreiecke können im Allgemeinen gefoltert werden.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Kreuzprodukts von Vektoren

Einige Eigenschaften des Vektorprodukts haben wir bereits betrachtet, ich werde sie jedoch in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht unterschieden, ist aber in der Praxis sehr wichtig. So lass es sein.

2) - Die Eigenschaft wird oben ebenfalls besprochen, manchmal wird sie auch genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten: Die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) - Kombination oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Die Konstanten lassen sich leicht aus den Grenzen des Vektorprodukts herausnehmen. Wirklich, was machen sie dort?

4) - Verteilung oder Verteilung Vektorproduktgesetze. Auch das Öffnen von Klammern bereitet keine Probleme.

Betrachten Sie zur Veranschaulichung ein kurzes Beispiel:

Beispiel 3

Finden Sie, ob

Lösung: Gemäß der Bedingung ist es erneut erforderlich, die Länge des Vektorprodukts zu ermitteln. Lass uns unsere Miniatur bemalen:

(1) Gemäß den Assoziativgesetzen nehmen wir die Konstanten außerhalb der Grenzen des Vektorprodukts heraus.

(2) Wir nehmen die Konstante aus dem Modul, während das Modul das Minuszeichen „frisst“. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Was folgt, ist klar.

Antworten:

Es ist Zeit, Holz ins Feuer zu werfen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Lösung: Ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks mithilfe der Formel . Der Haken ist, dass die Vektoren „ce“ und „te“ selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert ein wenig an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion. Skalarprodukt von Vektoren. Teilen wir es der Übersichtlichkeit halber in drei Schritte auf:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt tatsächlich durch das Vektorprodukt aus Drücken Sie den Vektor durch den Vektor aus. Noch kein Wort zur Länge!

(1) Wir ersetzen Ausdrücke von Vektoren.

(2) Öffnen Sie die Klammern unter Verwendung der Verteilungsgesetze gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Mithilfe der Assoziativgesetze ermitteln wir alle Konstanten jenseits der Vektorprodukte. Mit wenig Erfahrung können die Aktionen 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Aufgrund der angenehmen Eigenschaft sind der erste und der letzte Term gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Antikommutativitätseigenschaft des Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Begriffe.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt ermitteln wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Schritte 2-3 der Lösung könnten in einer Zeile angeordnet werden.

Antworten:

Das betrachtete Problem kommt in Tests recht häufig vor, hier ein Beispiel für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 5

Finden Sie, ob

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, gegeben in der Orthonormalbasis , wird durch die Formel ausgedrückt:

Die Formel ist wirklich einfach: Wir schreiben die Koordinatenvektoren in die oberste Zeile der Determinante, „packen“ die Koordinaten der Vektoren in die zweite und dritte Zeile und setzen in strenger Reihenfolge- zuerst die Koordinaten des Vektors „ve“, dann die Koordinaten des Vektors „double-ve“. Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten auch die Zeilen vertauscht werden:

Beispiel 10

Überprüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
A)
B)

Lösung: Der Test basiert auf einer der Aussagen dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Kreuzprodukt Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Die Vektoren sind also nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antworten: a) nicht kollinear, b)

Hier finden Sie vielleicht alle grundlegenden Informationen zum Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es nur wenige Probleme gibt, wenn das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich hängt alles von der Definition, der geometrischen Bedeutung und einigen Arbeitsformeln ab.

Das gemischte Produkt von Vektoren ist das Produkt von drei Vektoren:

So stellen sie sich wie ein Zug auf und warten, sie können es kaum erwarten, bis sie berechnet werden.

Zunächst noch einmal die Definition und das Bild:

Definition: Gemischtes Produkt nicht koplanar Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, wird genannt Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf diesen Vektoren, ausgestattet mit einem „+“-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem „-“-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind durch eine gepunktete Linie gezeichnet:

Lassen Sie uns in die Definition eintauchen:

2) Vektoren aufgenommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Permutation von Vektoren im Produkt bleibt, wie Sie sich vorstellen können, nicht ohne Konsequenzen.

3) Bevor ich auf die geometrische Bedeutung eingehe, möchte ich auf die offensichtliche Tatsache hinweisen: Das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der Lehrliteratur kann das Design etwas anders sein, ich habe früher ein gemischtes Produkt durch und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben „pe“ bezeichnet.

A-Priorat Das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Abbildung ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl entspricht dem Volumen des gegebenen Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Beschäftigen wir uns nicht noch einmal mit dem Konzept der Orientierung von Basis und Raum. Der letzte Teil bedeutet, dass dem Volumen ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. Vereinfacht ausgedrückt kann das Mischprodukt negativ sein: .

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds ergibt sich direkt aus der Definition.