"Prisma mit geometrischem Körper" - Rechteckiges Parallelepiped. Rechteck. Diagonale Schnitte. Satz des Pythagoras. Die Menge der Bereiche. Eckpunkte. Basis des Prismas. Wie heißt das abgebildete Prisma? Mathe-Kampf. Entscheidung. Prisma. Was ist ein gerades prisma. Erhaltenes Wissen. Diagonale eines regelmäßigen dreieckigen Prismas.
"Figurenprisma" - Definition eines Prismas. Geneigtes und gerades Prisma. Beweisen wir zunächst den Satz für ein Dreiecksprisma. Prismentypen. Das Volumen eines geneigten Prismas. Prisma. Die Fläche der Seitenfläche des Prismas. Die Gesamtfläche des Prismas. Beweisen wir nun den Satz für ein beliebiges Prisma. richtiges Prisma.
"Volumen des Prismas" - Fläche S der Basis des ursprünglichen Prismas. Die Lösung des Problems. Unterrichtsziele. Das Volumen des ursprünglichen Prismas ist gleich dem Produkt S · h. Das Volumen eines geraden Prismas. Das Prisma kann in gerade dreieckige Prismen mit der Höhe h unterteilt werden. Das Konzept eines Prismas. Zeichne die Höhe des Dreiecks ABC. Fragen. Untersuchung des Prismenvolumensatzes. Grundlegende Schritte zum Beweis des direkten Prismensatzes?
"Das Konzept eines Prismas" - Der Bereich der Gesamtfläche eines Prismas. direktes Prisma. Die Fläche der Seitenfläche des Prismas. Vieleck. Prismenschnitte. richtiges Prisma. Prismen, denen man im Leben begegnet. dreieckige Prismen. Nachweisen. Das Volumen eines geneigten Prismas. Definition eines Prismas. Geneigtes und gerades Prisma. Prismentypen. Prisma.
"Eigenschaften eines Prismas" - Gibt es schiefe Prismen, in die sich eine Kugel einschreiben lässt? Prismeneigenschaften. Die für ein gerades Prisma formulierte Bedingung. Zylinder. Prisma. Querschnitt eines Zylinders. Formel von drei Kosinus. Base. dreieckiges Prisma. Der Sinussatz für einen Dreikantwinkel. Die Kante eines dreieckigen Prismas. Um welche der Prismenarten herum kann man immer eine Kugel beschreiben.
„Das Konzept eines Prismenpolyeders“ - Im Schnitt wird ein Parallelogramm gebildet. Folge. Prismeneigenschaften. Der Begriff „Prisma“ ist griechischen Ursprungs und bedeutet wörtlich „abgesägt“ (Körper). Die Oberfläche des Prismas und die seitliche Oberfläche des Prismas. Ein solcher Schnitt wird Diagonalschnitt des Prismas genannt. Gegeben: Die Seite der Basis eines regelmäßigen dreieckigen Prismas beträgt 8 cm, die Seitenkante 6 cm.
"Volumen der Körper" - Ф (x). F(x1). Das Volumen eines schiefen Prismas, einer Pyramide und eines Kegels. Ф(хi). F(x2). ein x b x. Bei a = x und b = x kann ein Punkt zum Beispiel bei x = a zu einem Schnitt entarten.
"Der Umfang des Konzepts" - 1. Die Gesamtfläche des Würfels beträgt 6 m2. Oder das Volumen eines Quaders ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe. Das Volumen eines Zylinders ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe. Während des Unterrichts wird anhand von Tests eine differenzierte Testarbeit durchgeführt. Volumen geometrischer Körper.
"Volumen" - Übung 7. Übung 8 *. Die Seitenrippen sind gleich 3 und bilden mit der Basisebene einen Winkel von 45o. Das Volumen des geneigten Prismas ist 3. Die Fläche des Parallelepipeds ist eine Raute mit einer Seite von 1 und einem spitzen Winkel von 60°. Das Volumen eines geneigten Prismas 1. Antwort: Eine Ebene, die durch die Symmetriezentren der Parallelepipede geht. Prinzip der Cavalieri.
"Volumen von Körpern" - Das Volumen der Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus Basis und Höhe. Das Volumen der Pyramide. Das Volumen des Zylinders. 2010 h. V=1/3S*h. Volumen ähnlicher Körper. V=a*b*c. Das Volumen eines geraden Prismas. Tel. Lautstärke Folge. Das Volumen eines geneigten Prismas. Das Volumen eines geneigten Prismas ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe. Das Volumen eines Zylinders ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.
TEXT ERLÄUTERUNG DER LEKTION:
Heute leiten wir die Formel für das Volumen eines schiefen Prismas aus dem Integral her.
Erinnern Sie sich, was ein Prisma ist und welche Art von Prisma als schräg bezeichnet wird?
Ein PRISM ist ein Polyeder, dessen zwei Flächen (Basen) gleiche Polygone sind, die sich in parallelen Ebenen befinden, und die anderen Flächen (Seiten) sind Parallelogramme.
Wenn die Seitenkanten des Prismas senkrecht zur Ebene der Basis sind, ist das Prisma gerade, andernfalls wird das Prisma als schräg bezeichnet.
Das Volumen eines geneigten Prismas ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.
1) Betrachten Sie ein dreieckig geneigtes Prisma VSEB2C2E2. Das Volumen dieses Prismas ist V, die Grundfläche ist S und die Höhe ist h.
Verwenden wir die Formel: Das Volumen ist gleich dem Integral von 0 bis h S von x de x.
V= , wobei die Fläche des Abschnitts senkrecht zur Ox-Achse ist. Wir wählen die Ox-Achse, und der Punkt O ist der Koordinatenursprung und liegt in der ALL-Ebene (der unteren Basis des geneigten Prismas). Die Richtung der Ox-Achse ist senkrecht zur ALL-Ebene. Dann schneidet die Ox-Achse die Ebene im Punkt h, und wir zeichnen die E1-Ebene parallel zu den Basen des geneigten Prismas und senkrecht zur Ox-Achse. Da die Ebenen parallel und die Seitenflächen Parallelogramme sind, gilt BE=, CE=C1E1=C2E2; BC=B1C1=B2C2
Daraus folgt, dass die Dreiecke ALL = E2 auf drei Seiten gleich sind. Wenn die Dreiecke kongruent sind, dann sind ihre Flächen gleich. Die Fläche eines beliebigen Abschnitts S (x) ist gleich der Fläche des Basissohns.
BEIM dieser Fall die Grundfläche ist konstant. Als Integrationsgrenzen nehmen wir 0 und h. Wir erhalten die Formel: Das Volumen ist gleich dem Integral von 0 bis h S von x de x oder dem Integral von 0 bis h der Grundfläche von x de x, die Grundfläche ist eine Konstante (konstanter Wert), wir können Nehmen Sie es aus dem Integralzeichen und es stellt sich heraus, dass das Integral von 0 bis h de x gleich Asche minus 0 ist:
Es stellt sich heraus, dass das Volumen eines geneigten Prismas gleich dem Produkt aus der Fläche der Basis und der Höhe ist.
2) Beweisen wir diese Formel für ein beliebiges n-gonal geneigtes Prisma. Um dies zu beweisen, nehmen wir ein fünfeckig geneigtes Prisma. Teilen wir das schiefe Prisma in mehrere Dreiecksprismen, in diesem Fall in drei (genauso wie beim Beweis des Satzes über das Volumen eines geraden Prismas). Bezeichnen wir das Volumen des geneigten Prismas mit V. Dann besteht das Volumen des geneigten Prismas aus der Summe der Volumina von drei dreieckigen Prismen (gemäß der Volumeneigenschaft).
V \u003d V1 + V2 + V3, und wir suchen das Volumen eines dreieckigen Prismas nach der Formel: Das Volumen eines geneigten Prismas ist gleich dem Produkt aus der Fläche der Basis und der Höhe.
Das heißt, das Volumen eines schiefen Prismas ist gleich der Summe der Produkte aus den Flächen der Grundfläche und der Höhe, wir setzen die Höhe h aus Klammern (da sie bei drei Prismen gleich ist) und erhalten:
Der Satz ist bewiesen.
Die seitliche Kante des schiefen Prismas beträgt 4 cm und bildet mit der Basisebene einen Winkel von 30° Die Seiten des Dreiecks, die an der Basis liegen, betragen 12, 12 und 14 cm Bestimmen Sie das Volumen des schiefen Prismas.
Gegeben: - geneigtes Prisma,
AB = 12 cm, BC = 12 cm, AC = 14 cm, B = 4 cm, BK = 30°.
Suchen: V - ?
Zusatzkonstruktion: Bei einem schiefen Prisma zeichnen wir die Höhe H ein.
Wir wissen, dass das Volumen eines geneigten Prismas gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe ist.
An der Basis des geneigten Prismas liegt ein beliebiges Dreieck, für das alle Seiten bekannt sind, was bedeutet, dass wir die Heron-Formel anwenden: Die Fläche des Dreiecks ist gleich der Quadratwurzel des Produkts aus pe mal the Differenz pe und a, die Differenz pe und be, die Differenz pe und ce, wobei pe das Halbumfangsdreieck ist, das wir mit der Formel suchen: die halbe Summe aller Seiten a, b und c:
Betrachten Sie den Halbumfang:
Ersetzen Sie den Wert des Halbumfangs in der Formel für die Fläche der Basis, vereinfachen Sie und erhalten Sie die Antwort: sieben Wurzeln von 95.
Betrachten Sie ΔB H. Es ist rechteckig, da H die Höhe des geneigten Prismas ist. Nach der Definition des Sinus ist das Bein gleich dem Produkt aus Hypotenuse und Sinus des Gegenwinkels
Der Wert des Sinus von 30 ° ist gleich einer Sekunde, was bedeutet
Das haben wir gelernt
Und die Höhe H - die Höhe des geneigten Prismas - ist gleich 2.
Daher ist die Lautstärke
Die Fähigkeit, das Volumen räumlicher Figuren zu bestimmen, ist wichtig für die Lösung geometrischer und praktischer Probleme. Eine dieser Figuren ist ein Prisma. Lassen Sie uns im Artikel überlegen, was es ist, und zeigen, wie das Volumen eines geneigten Prismas berechnet wird.
Was versteht man unter einem Prisma in der Geometrie?
Wir sprechen von einem regelmäßigen Polyeder (Polyeder), das aus zwei identischen Basen in parallelen Ebenen und mehreren Parallelogrammen besteht, die die markierten Basen verbinden.
Die Basen eines Prismas können beliebige Polygone sein, wie z. B. Dreieck, Viereck, Siebeneck usw. Außerdem bestimmt die Anzahl der Winkel (Seiten) des Polygons den Namen der Figur.
Jedes Prisma mit einer n-Eck-Basis (n ist die Anzahl der Seiten) besteht aus n+2 Flächen, 2 × n Eckpunkten und 3 × n Kanten. Aus den angegebenen Zahlen ist ersichtlich, dass die Anzahl der Elemente des Prismas dem Satz von Euler entspricht:
3 x n = 2 x n + n + 2 - 2
Die folgende Abbildung zeigt, wie dreieckige und viereckige Prismen aus Glas aussehen.
Arten von Figuren. geneigtes Prisma
Es wurde oben bereits gesagt, dass der Name des Prismas durch die Seitenzahl des Polygons an der Basis bestimmt wird. Es gibt jedoch andere Merkmale in seiner Struktur, die die Eigenschaften der Figur bestimmen. Wenn also alle Parallelogramme, die die Seitenfläche des Prismas bilden, durch Rechtecke oder Quadrate dargestellt werden, wird eine solche Figur als gerade Linie bezeichnet. Denn der Abstand zwischen den Basen ist gleich der Länge der Seitenkante eines beliebigen Rechtecks.
Wenn einige oder alle Seiten Parallelogramme sind, dann sprechen wir von einem geneigten Prisma. Seine Höhe ist bereits geringer als die Länge der Seitenrippe.
Ein weiteres Kriterium, nach dem die Klassifizierung der betrachteten Figuren erfolgt, ist die Länge der Seiten und die Winkel des Polygons an der Basis. Wenn sie gleich sind, ist das Polygon korrekt. Eine gerade Figur mit einem regelmäßigen Vieleck an den Basen heißt regelmäßig. Es ist bequem, damit zu arbeiten, wenn die Oberfläche und das Volumen bestimmt werden. Ein geneigtes Prisma bringt diesbezüglich einige Schwierigkeiten mit sich.
Die folgende Abbildung zeigt zwei Prismen mit viereckiger Grundfläche. Der 90°-Winkel zeigt den grundlegenden Unterschied zwischen einem geraden und einem schiefen Prisma.
Formel zur Bestimmung des Volumens einer Figur
Der von den Kanten eines Prismas begrenzte Teil des Raums wird Volumen genannt. Für die betrachteten Figuren beliebiger Art lässt sich dieser Wert nach folgender Formel ermitteln:
Dabei bezeichnet das Symbol h die Höhe des Prismas, die ein Maß für den Abstand zwischen den beiden Basen ist. Symbol S o - eine Grundfläche.
Die Grundfläche ist leicht zu finden. Angesichts der Tatsache, ob das Polygon regelmäßig ist oder nicht, und der Kenntnis der Anzahl seiner Seiten sollten Sie die entsprechende Formel anwenden und S o erhalten. Für ein regelmäßiges n-Eck mit der Seitenlänge a ist die Fläche beispielsweise:
S n \u003d n / 4 × a 2 × ctg (pi / n)
Kommen wir nun zur Höhe h. Für ein gerades Prisma ist die Bestimmung der Höhe nicht schwierig, aber für ein schiefes Prisma ist dies keine leichte Aufgabe. Sie kann ausgehend von bestimmten Anfangsbedingungen mit verschiedenen geometrischen Methoden gelöst werden. Es gibt jedoch eine universelle Methode, um die Höhe einer Figur zu bestimmen. Beschreiben wir es kurz.
Die Idee ist, die Entfernung von einem Punkt im Raum zu einer Ebene zu finden. Angenommen, die Ebene ist durch die Gleichung gegeben:
A × x + B × y + C × z + D = 0
Dann ist die Ebene von dem Punkt mit den Koordinaten (x 1; y 1; z 1) entfernt:
h = |A × x 1 + B × y 1 + C × z 1 + D| / √ (A 2 + B 2 + C 2)
Sind die Koordinatenachsen so angeordnet, dass der Punkt (0; 0; 0) in der Ebene der unteren Grundfläche des Prismas liegt, dann lässt sich die Gleichung für die Grundebene wie folgt schreiben:
Das bedeutet, dass die Formel für die Höhe wie folgt geschrieben wird:
Es reicht aus, die z-Koordinate eines beliebigen Punktes der oberen Basis zu finden, um die Höhe der Figur zu bestimmen.
Beispiel Problemlösung
In der folgenden Abbildung stellt die Basis eines geneigten Prismas ein Quadrat mit einer Seite von 10 cm dar. Es ist notwendig, sein Volumen zu berechnen, wenn bekannt ist, dass die Länge der Seitenkante 15 cm beträgt und der spitze Winkel der Vorderseite Parallelogramm ist 70 °.
Da die Höhe h der Figur auch die Höhe des Parallelogramms ist, verwenden wir Formeln, um seine Fläche zu bestimmen, um h zu finden. Wir bezeichnen die Seiten des Parallelogramms wie folgt:
Dann können wir dafür folgende Formeln zur Bestimmung der Fläche S p schreiben:
Sp \u003d a × b × sin (α);
Wo bekommen wir:
Dabei ist α der spitze Winkel des Parallelogramms. Da die Grundfläche ein Quadrat ist, hat die Formel für das Volumen eines geneigten Prismas folgende Form:
V = a 2 × b × sin(α)
Wir setzen die Daten aus der Bedingung in die Formel ein und erhalten die Antwort: V ≈ 1410 cm 3.
Das Volumen ist ein Merkmal jeder Figur, die in allen drei Dimensionen des Raums Dimensionen ungleich Null hat. In diesem Artikel betrachten wir aus Sicht der Stereometrie (Geometrie räumlicher Figuren) ein Prisma und zeigen, wie man die Volumina von Prismen verschiedener Typen findet.
Auf diese Frage hat die Stereometrie eine genaue Antwort. Unter einem Prisma wird darin eine Figur verstanden, die aus zwei identischen Polygonflächen und mehreren Parallelogrammen besteht. Die folgende Abbildung zeigt vier verschiedene Prismen.
Jeder von ihnen kann wie folgt erhalten werden: Sie müssen ein Polygon (Dreieck, Viereck usw.) und ein Segment einer bestimmten Länge nehmen. Dann sollte jeder Eckpunkt des Polygons mit parallelen Segmenten in eine andere Ebene übertragen werden. In der neuen Ebene, die parallel zur ursprünglichen ist, wird ein neues Polygon erhalten, ähnlich dem ursprünglich gewählten.
Prismen können unterschiedlicher Art sein. Sie können also gerade, schräg und korrekt sein. Wenn die seitliche Kante des Prismas (das Segment, das die Oberseiten der Basen verbindet) senkrecht zu den Basen der Figur steht, dann ist letztere eine gerade Linie. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, spricht man dementsprechend von einem geneigten Prisma. Eine regelmäßige Figur ist ein gerades Prisma mit einer gleichwinkligen und gleichseitigen Basis.
Volumen regelmäßiger Prismen
Beginnen wir mit dem einfachsten Fall. Wir geben die Formel für das Volumen eines regelmäßigen Prismas mit n-eckiger Grundfläche an. Die Volumenformel V für eine beliebige Figur der betrachteten Klasse hat folgende Form:
Das heißt, um das Volumen zu bestimmen, reicht es aus, die Knochenfläche der Basen S o zu berechnen und mit der Höhe h der Figur zu multiplizieren.
Bei einem regelmäßigen Prisma bezeichnen wir die Seitenlänge seiner Basis mit dem Buchstaben a und die Höhe, die gleich der Seitenkantenlänge ist, mit dem Buchstaben h. Stimmt die Basis des n-Ecks, lässt sich seine Fläche am einfachsten mit der folgenden Universalformel berechnen:
S n \u003d n / 4 * a2 * ctg (pi / n).
Wenn Sie den Wert der Seitenzahl n und die Länge einer Seite a gleich ersetzen, können Sie die Fläche der n-Kohlebasis berechnen. Beachten Sie, dass die Kotangensfunktion hier für den Winkel pi/n berechnet wird, der im Bogenmaß ausgedrückt wird.
Unter Berücksichtigung der für S n geschriebenen Gleichheit erhalten wir die endgültige Formel für das Volumen eines regulären Prismas:
Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Man kann für jeden speziellen Fall die entsprechenden Formeln für V aufschreiben, aber sie folgen alle eindeutig aus dem aufgeschriebenen allgemeinen Ausdruck. Zum Beispiel erhalten wir für ein regelmäßiges viereckiges Prisma, das im Allgemeinen ein rechteckiges Parallelepiped ist:
V 4 \u003d 4/4 * a2 * h * ctg (pi / 4) \u003d a2 * h.
Wenn wir in diesem Ausdruck h=a nehmen, dann erhalten wir eine Formel für das Volumen eines Würfels.
Volumen von geraden Prismen
Wir stellen gleich fest, dass es für gerade Figuren keine allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens gibt, die oben für regelmäßige Prismen angegeben wurde. Bei der Bestimmung der betrachteten Menge sollte der ursprüngliche Ausdruck verwendet werden:
Hier ist h wie im vorherigen Fall die Länge der Seitenkante. Was die Grundfläche S o betrifft, so kann sie eine Vielzahl von Werten annehmen. Die Aufgabe, ein gerades Volumenprisma zu berechnen, reduziert sich darauf, die Fläche seiner Basis zu finden.
Die Berechnung des Werts von S o sollte auf der Grundlage der Eigenschaften der Basis selbst durchgeführt werden. Handelt es sich beispielsweise um ein Dreieck, so lässt sich die Fläche wie folgt berechnen:
Hier ist h a der Apothem des Dreiecks, dh seine Höhe, die auf die Basis a abgesenkt ist.
Wenn die Basis ein Viereck ist, dann kann es ein Trapez, ein Parallelogramm, ein Rechteck oder ein völlig beliebiger Typ sein. Für alle diese Fälle sollten Sie die entsprechende Planimetrieformel verwenden, um die Fläche zu bestimmen. Für ein Trapez sieht diese Formel beispielsweise so aus:
S o4 \u003d 1/2 * (ein 1 + ein 2) * h ein .
Wobei h a die Höhe des Trapezes ist, a 1 und a 2 die Längen seiner parallelen Seiten sind.
Um die Fläche für Polygone höherer Ordnung zu bestimmen, sollte man sie in einfache Figuren (Dreiecke, Vierecke) zerlegen und die Summe der Flächen der letzteren berechnen.
Volumen geneigter Prismen
Dies ist der schwierigste Fall der Berechnung des Volumens eines Prismas. Auch für solche Zahlen gilt die allgemeine Formel:
Zu der Komplexität, die Fläche der Basis zu finden, die einen beliebigen Polygontyp darstellt, kommt jedoch das Problem hinzu, die Höhe der Figur zu bestimmen. Bei einem geneigten Prisma ist sie immer kleiner als die Länge der Seitenkante.
Der einfachste Weg, diese Höhe zu finden, ist, wenn Sie einen beliebigen Winkel der Figur kennen (flach oder zweiflächig). Wenn ein solcher Winkel gegeben ist, dann sollte man daraus ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb des Prismas konstruieren, das die Höhe h als eine der Seiten enthalten würde, und unter Verwendung trigonometrischer Funktionen und des Satzes des Pythagoras den Wert h finden.
Geometrisches Volumenproblem
Gegeben sei ein regelmäßiges Prisma mit dreieckiger Grundfläche, einer Höhe von 14 cm und einer Seitenlänge von 5 cm: Welches Volumen hat ein dreieckiges Prisma?
Da wir über die richtige Zahl sprechen, haben wir das Recht, die bekannte Formel zu verwenden. Wir haben:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
Ein dreieckiges Prisma ist eine ziemlich symmetrische Figur, in deren Form häufig verschiedene architektonische Strukturen ausgeführt werden. Dieses Glasprisma wird in der Optik verwendet.
