Satz des Pythagoras
In ähnlicher Weise ist das Dreieck CBH ABC ähnlich. Einführung in die Notation 
1. Ordnen Sie vier gleichwinklige Dreiecke wie in der Abbildung gezeigt an. 
Die Idee von Euklids Beweis ist wie folgt: Versuchen wir zu beweisen, dass die halbe Fläche des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats gleich der Summe der halben Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate und dann der Flächen von ist das große und zwei kleine Quadrate sind gleich. Betrachten Sie die Zeichnung links. Darauf haben wir Quadrate auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut und einen Strahl s vom Scheitelpunkt des rechten Winkels C senkrecht zur Hypotenuse AB gezeichnet, er schneidet das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat ABIK in zwei Rechtecke - BHJI und HAKJ, bzw. Es stellt sich heraus, dass die Flächen dieser Rechtecke genau gleich den Flächen der Quadrate sind, die auf den entsprechenden Beinen aufgebaut sind. Versuchen wir zu beweisen, dass die Fläche des Quadrats DECA gleich der Fläche des Rechtecks AHJK ist. Dazu verwenden wir eine Hilfsbeobachtung: Die Fläche eines Dreiecks mit der gleichen Höhe und Basis wie die gegebenen Rechteck ist gleich der Hälfte der Fläche des gegebenen Rechtecks. Dies ist eine Folge der Definition der Fläche eines Dreiecks als das halbe Produkt aus der Basis und der Höhe. Aus dieser Beobachtung folgt, dass die Fläche des Dreiecks ACK gleich der Fläche des Dreiecks AHK (nicht gezeigt) ist, die wiederum gleich der Hälfte der Fläche des Rechtecks AHJK ist. Lassen Sie uns nun beweisen, dass die Fläche des Dreiecks ACK auch gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats DECA ist. Dazu muss lediglich die Gleichheit der Dreiecke ACK und BDA nachgewiesen werden (da die Fläche des Dreiecks BDA durch die obige Eigenschaft gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats ist). Diese Gleichheit ist offensichtlich, die Dreiecke sind in zwei Seiten und im Winkel zwischen ihnen gleich. Nämlich - AB=AK,AD=AC - die Gleichheit der Winkel CAK und BAD lässt sich leicht durch die Bewegungsmethode beweisen: Drehen wir das Dreieck CAK um 90 ° gegen den Uhrzeigersinn, dann ist es offensichtlich, dass die entsprechenden Seiten der beiden betrachteten Dreiecke zusammenfallen (da der Eckwinkel des Quadrats 90° beträgt). Völlig analog ist der Streit um die Flächengleichheit des Quadrats BCFG und des Rechtecks BHJI. Somit haben wir bewiesen, dass die Fläche des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats die Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate ist. 
Betrachten Sie die Zeichnung, wie aus der Symmetrie ersichtlich ist, schneidet das Segment CI das Quadrat ABHJ in zwei identische Teile (da die Dreiecke ABC und JHI baugleich sind). Bei einer Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn sehen wir die Gleichheit der schraffierten Figuren CAJI und GDAB. Jetzt ist klar, dass die von uns schattierte Fläche der Figur gleich der Summe der Hälfte der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks ist. Andererseits ist es gleich der Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats plus der Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Der letzte Beweisschritt bleibt dem Leser überlassen.Das kreative Potenzial wird meist den Geisteswissenschaften zugeschrieben, übrig bleibt die naturwissenschaftliche Analyse, praktische Herangehensweise und trockene Formel- und Zahlensprache. Mathematik ist kein geisteswissenschaftliches Fach. Doch ohne Kreativität kommt man in der „Königin aller Wissenschaften“ nicht weit – das weiß man schon lange. Zum Beispiel seit der Zeit von Pythagoras.
Schulbücher erklären leider meist nicht, dass es in der Mathematik wichtig ist, nicht nur Sätze, Axiome und Formeln zu pauken. Es ist wichtig, seine Grundprinzipien zu verstehen und zu fühlen. Versuchen Sie gleichzeitig, Ihren Geist von Klischees und elementaren Wahrheiten zu befreien - nur unter solchen Bedingungen werden alle großen Entdeckungen geboren.
Zu diesen Entdeckungen gehört die, die wir heute als Satz des Pythagoras kennen. Mit ihrer Hilfe werden wir versuchen zu zeigen, dass Mathematik nicht nur Spaß machen kann, sondern auch soll. Und dass dieses Abenteuer nicht nur für Nerds in dicken Gläsern geeignet ist, sondern für alle, die einen starken Verstand und einen starken Geist haben.
Aus der Geschichte des Problems
Genau genommen heißt der Satz zwar "Satz des Pythagoras", Pythagoras selbst hat ihn aber nicht entdeckt. Das rechtwinklige Dreieck und seine besonderen Eigenschaften wurden lange vorher untersucht. Zu diesem Thema gibt es zwei polare Standpunkte. Einer Version zufolge war Pythagoras der erste, der einen vollständigen Beweis des Satzes fand. Nach einer anderen gehört der Beweis nicht zur Urheberschaft von Pythagoras.
Heute kann man nicht mehr nachprüfen, wer Recht und wer Unrecht hat. Es ist nur bekannt, dass der Beweis von Pythagoras, falls er jemals existiert hat, nicht überlebt hat. Es gibt jedoch Hinweise darauf, dass der berühmte Beweis aus Euklids Elementen möglicherweise Pythagoras gehört, und Euklid hat ihn nur aufgezeichnet.
Es ist heute auch bekannt, dass sich Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck in ägyptischen Quellen aus der Zeit von Pharao Amenemhet I., auf babylonischen Tontafeln aus der Regierungszeit von König Hammurabi, in der altindischen Abhandlung Sulva Sutra und dem altchinesischen Werk Zhou finden -bi suan jin.
Wie Sie sehen können, beschäftigt der Satz des Pythagoras die Köpfe der Mathematiker seit der Antike. Etwa 367 verschiedene Beweisstücke, die heute existieren, dienen als Bestätigung. Kein anderer Satz kann in dieser Hinsicht mit ihm konkurrieren. Bemerkenswerte Beweisautoren sind Leonardo da Vinci und der 20. Präsident der Vereinigten Staaten, James Garfield. All dies spricht für die außerordentliche Bedeutung dieses Satzes für die Mathematik: Die meisten Sätze der Geometrie sind von ihm abgeleitet oder auf die eine oder andere Weise damit verbunden.
Beweise des Satzes des Pythagoras
Schulbücher geben meistens algebraische Beweise. Aber die Essenz des Theorems liegt in der Geometrie, also betrachten wir zuerst die Beweise des berühmten Theorems, die auf dieser Wissenschaft basieren.
Beweis 1
Für den einfachsten Beweis des Satzes des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck müssen Sie ideale Bedingungen einstellen: Das Dreieck soll nicht nur rechtwinklig, sondern auch gleichschenklig sein. Es gibt Grund zu der Annahme, dass es ein solches Dreieck war, das ursprünglich von alten Mathematikern in Betracht gezogen wurde.
Erklärung „Ein Quadrat, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, ist gleich der Summe der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut sind“ lässt sich mit folgender Zeichnung veranschaulichen:
Betrachten Sie das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck ABC: Auf der Hypotenuse AC können Sie ein Quadrat bauen, das aus vier Dreiecken gleich dem ursprünglichen ABC besteht. Und auf den Beinen AB und BC ist ein Quadrat aufgebaut, das jeweils zwei ähnliche Dreiecke enthält.
Übrigens bildete diese Zeichnung die Grundlage zahlreicher Anekdoten und Cartoons, die dem Satz des Pythagoras gewidmet waren. Das vielleicht berühmteste ist "Pythagoräische Hosen sind in alle Richtungen gleich":
Beweis 2
Diese Methode kombiniert Algebra und Geometrie und kann als Variante des altindischen Beweises des Mathematikers Bhaskari angesehen werden.
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten a, b und c(Abb. 1). Baue dann zwei Quadrate mit Seiten gleich der Summe der Längen der beiden Beine - (a+b). Machen Sie in jedem der Quadrate Konstruktionen wie in den Abbildungen 2 und 3.
Baue im ersten Quadrat vier der gleichen Dreiecke wie in Abbildung 1. Als Ergebnis erhältst du zwei Quadrate: eines mit Seite a, das zweite mit Seite b.
Im zweiten Quadrat bilden vier ähnliche konstruierte Dreiecke ein Quadrat mit einer Seite, die der Hypotenuse entspricht c.
Die Summe der Flächen der konstruierten Quadrate in Abb. 2 ist gleich der Fläche des Quadrats, das wir mit der Seite c in Abb. 3 konstruiert haben. Dies lässt sich leicht überprüfen, indem man die Flächeninhalte der Quadrate in Abb. 2 nach der Formel. Und die Fläche des eingeschriebenen Quadrats in Abbildung 3. durch Subtrahieren der Flächen von vier gleichwinkligen Dreiecken, die in das Quadrat eingeschrieben sind, von der Fläche eines großen Quadrats mit einer Seite (a+b).
Wenn wir all dies niederlegen, haben wir: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Erweitern Sie die Klammern, führen Sie alle notwendigen algebraischen Berechnungen durch und erhalten Sie das Ergebnis a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Gleichzeitig wird der Bereich der in Abb.3 eingeschriebenen. Quadrat kann auch mit der traditionellen Formel berechnet werden S=c2. Jene. a2+b2=c2 Sie haben den Satz des Pythagoras bewiesen.
Beweis 3
Derselbe altindische Beweis wird im 12. Jahrhundert in der Abhandlung „Die Krone des Wissens“ („Siddhanta Shiromani“) beschrieben, und als Hauptargument verwendet der Autor einen Appell an die mathematische Begabung und Beobachtungsgabe von Schülern und Studenten Follower: "Schaut!".
Aber wir werden diesen Beweis genauer analysieren:
Bauen Sie innerhalb des Quadrats vier rechtwinklige Dreiecke, wie in der Zeichnung angegeben. Die Seite des großen Quadrats, die auch die Hypotenuse ist, wird bezeichnet mit. Nennen wir die Beine des Dreiecks a und b. Gemäß der Zeichnung ist die Seite des inneren Quadrats (ab).
Verwenden Sie die quadratische Flächenformel S=c2 um die Fläche des äußeren Quadrats zu berechnen. Und berechnen Sie gleichzeitig denselben Wert, indem Sie die Fläche des inneren Quadrats und die Fläche aller vier rechtwinkligen Dreiecke addieren: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Sie können beide Optionen verwenden, um die Fläche eines Quadrats zu berechnen, um sicherzustellen, dass sie dasselbe Ergebnis liefern. Und das gibt Ihnen das Recht, das aufzuschreiben c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Als Ergebnis der Lösung erhalten Sie die Formel des Satzes von Pythagoras c2=a2+b2. Der Satz ist bewiesen.
Beweis 4
Dieser kuriose altchinesische Beweis heißt „Bride’s Chair“ – wegen der stuhlähnlichen Figur, die sich aus all den Konstruktionen ergibt:
Es verwendet die Zeichnung, die wir bereits in Abbildung 3 im zweiten Beweis gesehen haben. Und das innere Quadrat mit der Seite c ist genauso konstruiert wie in dem oben gegebenen altindischen Beweis.
Wenn Sie gedanklich zwei grüne rechtwinklige Dreiecke aus der Zeichnung in Abb. 1 abschneiden, sie auf gegenüberliegende Seiten des Quadrats mit der Seite c übertragen und die Hypotenusen an den Hypotenusen der lila Dreiecke befestigen, erhalten Sie eine Figur namens „Braut“. Stuhl“ (Abb. 2). Der Übersichtlichkeit halber können Sie dasselbe mit Papierquadraten und -dreiecken tun. Sie werden sehen, dass der "Brautstuhl" aus zwei Quadraten besteht: kleinen mit einer Seite b und groß mit einer Seite a.
Diese Konstruktionen erlaubten es den alten chinesischen Mathematikern und uns, die ihnen folgen, zu dem Schluss zu kommen, dass c2=a2+b2.
Beweis 5
Dies ist eine weitere Möglichkeit, eine Lösung des Satzes des Pythagoras basierend auf Geometrie zu finden. Es heißt die Garfield-Methode.
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC. Das müssen wir beweisen BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Setzen Sie dazu das Bein fort AC und baue ein Segment CD, das gleich dem Bein ist AB. Untere Senkrechte ANZEIGE Liniensegment Ed. Segmente Ed und AC sind gleich. verbinde die Punkte E und BEIM, und auch E und Mit und erhalten Sie eine Zeichnung wie das Bild unten:
Um den Turm zu beweisen, greifen wir wieder auf die bereits getestete Methode zurück: Wir finden die Fläche der resultierenden Figur auf zwei Arten und setzen die Ausdrücke einander gleich.
Finden Sie die Fläche eines Polygons EIN BETT kann durch Addieren der Flächen der drei Dreiecke erfolgen, die es bilden. Und einer von ihnen ERU, ist nicht nur rechteckig, sondern auch gleichschenklig. Vergessen wir das auch nicht AB=CD, AC=ED und BC=CE- Dadurch können wir die Aufnahme vereinfachen und nicht überladen. So, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
Gleichzeitig ist das offensichtlich EIN BETT ist ein Trapez. Daher berechnen wir seine Fläche mit der Formel: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Für unsere Berechnungen ist es bequemer und übersichtlicher, das Segment darzustellen ANZEIGE als Summe der Segmente AC und CD.
Schreiben wir beide Möglichkeiten, um die Fläche einer Figur zu berechnen, indem wir ein Gleichheitszeichen dazwischen setzen: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Wir verwenden die uns bereits bekannte und oben beschriebene Segmentgleichheit, um die rechte Seite der Notation zu vereinfachen: AB*AC+1/2BC2 =1/2(AB+AC)2. Und jetzt öffnen wir die Klammern und transformieren die Gleichheit: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nachdem wir alle Transformationen abgeschlossen haben, bekommen wir genau das, was wir brauchen: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Wir haben den Satz bewiesen.
Natürlich ist diese Liste von Beweisen bei weitem nicht vollständig. Der Satz des Pythagoras kann auch mit Vektoren, komplexen Zahlen, Differentialgleichungen, Stereometrie usw. bewiesen werden. Und sogar Physiker: Wenn zum Beispiel Flüssigkeit in quadratische und dreieckige Volumen gegossen wird, ähnlich wie sie in den Zeichnungen dargestellt sind. Durch Gießen von Flüssigkeit ist es möglich, die Flächengleichheit und damit den Satz selbst zu beweisen.
Ein paar Worte zu pythagoreischen Drillingen
Dieses Thema wird im Schullehrplan wenig oder gar nicht behandelt. Mittlerweile ist es sehr interessant und von großer Bedeutung in der Geometrie. Pythagoreische Tripel werden verwendet, um viele mathematische Probleme zu lösen. Die Vorstellung davon kann Ihnen in der Weiterbildung nützlich sein.
Was sind pythagoreische Drillinge? Sogenannte natürliche Zahlen, zu dritt zusammengefasst, wobei die Summe der Quadrate von zweien gleich der dritten Zahl zum Quadrat ist.
Pythagoräische Tripel können sein:
- primitiv (alle drei Zahlen sind teilerfremd);
- nicht primitiv (wenn jede Zahl eines Tripels mit derselben Zahl multipliziert wird, erhält man ein neues Tripel, das nicht primitiv ist).
Schon vor unserer Zeitrechnung waren die alten Ägypter vom Zahlenwahn der pythagoräischen Tripel fasziniert: Bei Aufgaben betrachteten sie ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten von 3,4 und 5 Einheiten. Übrigens ist jedes Dreieck, dessen Seiten gleich den Zahlen aus dem pythagoreischen Tripel sind, standardmäßig rechtwinklig.
Beispiele für pythagoräische Tripel: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) usw.
Praktische Anwendung des Theorems
Der Satz des Pythagoras findet nicht nur Anwendung in der Mathematik, sondern auch in der Architektur und im Bauwesen, in der Astronomie und sogar in der Literatur.
Zunächst zur Konstruktion: Der Satz des Pythagoras wird darin häufig bei Problemen unterschiedlicher Komplexität verwendet. Schauen Sie sich zum Beispiel das romanische Fenster an:
Lassen Sie uns die Breite des Fensters als bezeichnen b, dann kann der Radius des großen Halbkreises bezeichnet werden als R und durch ausdrücken b: R=b/2. Der Radius kleinerer Halbkreise kann auch in ausgedrückt werden b: r=b/4. Bei diesem Problem interessiert uns der Radius des inneren Kreises des Fensters (nennen wir es p).
Der Satz des Pythagoras ist einfach praktisch zum Berechnen R. Dazu verwenden wir ein rechtwinkliges Dreieck, das in der Abbildung durch eine gepunktete Linie angedeutet ist. Die Hypotenuse eines Dreiecks besteht aus zwei Radien: b/4+p. Ein Bein ist ein Radius b/4, Ein weiterer b/2-p. Mit dem Satz des Pythagoras schreiben wir: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Als nächstes öffnen wir die Klammern und erhalten b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln in bp/2=b 2 /4-bp. Und dann teilen wir alle Begriffe in b, wir geben ähnliche zu bekommen 3/2*p=b/4. Und am Ende finden wir das p=b/6- was wir brauchten.
Mit dem Satz können Sie die Länge der Sparren für ein Satteldach berechnen. Bestimmen Sie, wie hoch ein Mobilfunkmast sein muss, damit das Signal eine bestimmte Siedlung erreicht. Und stellen Sie sogar ständig einen Weihnachtsbaum auf dem Stadtplatz auf. Wie Sie sehen können, lebt dieses Theorem nicht nur auf den Seiten von Lehrbüchern, sondern ist im wirklichen Leben oft nützlich.
Was die Literatur betrifft, hat der Satz des Pythagoras Schriftsteller seit der Antike inspiriert und tut dies bis heute. Zum Beispiel ließ sich der deutsche Schriftsteller Adelbert von Chamisso im 19. Jahrhundert von ihr zu einem Sonett inspirieren:
Das Licht der Wahrheit wird sich nicht bald auflösen,
Aber nachdem es geleuchtet hat, ist es unwahrscheinlich, dass es sich auflöst
Und wie vor Tausenden von Jahren
Wird keine Zweifel und Streitigkeiten verursachen.
Am klügsten, wenn es das Auge berührt
Licht der Wahrheit, danke den Göttern;
Und hundert Bullen, erstochen, lügen -
Das Gegengeschenk des glücklichen Pythagoras.
Seitdem brüllen die Bullen verzweifelt:
Erweckte den Stierstamm für immer
hier erwähnte Veranstaltung.
Sie denken, es ist an der Zeit
Und wieder werden sie geopfert
Irgendein großartiger Satz.
(übersetzt von Viktor Toporov)
Und im zwanzigsten Jahrhundert widmete der sowjetische Schriftsteller Yevgeny Veltistov in seinem Buch "The Adventures of Electronics" den Beweisen des Satzes des Pythagoras ein ganzes Kapitel. Und ein halbes Kapitel einer Geschichte über eine zweidimensionale Welt, die existieren könnte, wenn der Satz des Pythagoras zum Grundgesetz und sogar zur Religion einer einzigen Welt würde. Es wäre viel einfacher darin zu leben, aber auch viel langweiliger: Zum Beispiel versteht dort niemand die Bedeutung der Wörter „rund“ und „flauschig“.
Und in dem Buch „Die Abenteuer der Elektronik“ sagt der Autor durch den Mund des Mathematiklehrers Taratara: „Das Wichtigste in der Mathematik sind Gedankenbewegungen, neue Ideen.“ Es ist dieser kreative Gedankenflug, der den Satz des Pythagoras hervorbringt – nicht umsonst hat er so viele unterschiedliche Beweise. Es hilft, über das Gewohnte hinauszugehen und bekannte Dinge auf neue Weise zu betrachten.
Fazit
Dieser Artikel wurde erstellt, damit Sie über den Schullehrplan in Mathematik hinausblicken und nicht nur die Beweise des Satzes von Pythagoras lernen können, die in den Lehrbüchern "Geometrie 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) und "Geometrie 7 -11 “ (A. V. Pogorelov), aber auch andere merkwürdige Wege, um das berühmte Theorem zu beweisen. Und sehen Sie auch Beispiele, wie der Satz des Pythagoras im Alltag angewendet werden kann.
Erstens ermöglichen Ihnen diese Informationen, höhere Punktzahlen im Mathematikunterricht zu erreichen – Informationen zu diesem Thema aus zusätzlichen Quellen sind immer sehr willkommen.
Zweitens wollten wir Ihnen helfen, ein Gefühl dafür zu bekommen, wie interessant Mathematik ist. Sich durch konkrete Beispiele davon überzeugen lassen, dass Kreativität immer Platz hat. Wir hoffen, dass der Satz des Pythagoras und dieser Artikel Sie zu eigenen Forschungen und spannenden Entdeckungen in Mathematik und anderen Wissenschaften inspirieren werden.
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ANMERKUNG.
Der Satz des Pythagoras gilt zu Recht als der wichtigste im Verlauf der Geometrie und verdient besondere Aufmerksamkeit. Es ist die Grundlage für die Lösung vieler geometrischer Probleme, die Grundlage für das Studium des theoretischen und praktischen Studiums der Geometrie in der Zukunft. Das Theorem ist umgeben von dem reichsten historischen Material, das sich auf sein Aussehen und seine Beweismethoden bezieht. Das Studium der Entwicklungsgeschichte der Geometrie weckt die Liebe zu diesem Fach, trägt zur Entwicklung des kognitiven Interesses, der allgemeinen Kultur und Kreativität bei und entwickelt auch Forschungsfähigkeiten.
Als Ergebnis der Suchtätigkeit wurde das Ziel der Arbeit erreicht, das Wissen über den Beweis des Satzes von Pythagoras zu ergänzen und zu verallgemeinern. Konnte gefunden und überprüft werden verschiedene Wege Beweise und vertiefen das Wissen zum Thema, das über die Seiten eines Schulbuchs hinausgeht.
Das gesammelte Material überzeugt noch mehr davon, dass der Satz des Pythagoras der große Satz der Geometrie ist und von großer theoretischer und praktischer Bedeutung ist.
Einführung. Historischer Hintergrund 5 Hauptteil 8
3. Fazit 19
4. Verwendete Literatur 20
1. EINLEITUNG. GESCHICHTE REFERENZ.
Die Essenz der Wahrheit ist, dass sie für uns für immer ist,
Wenn wir wenigstens einmal in ihrer Einsicht das Licht sehen,
Und der Satz des Pythagoras nach so vielen Jahren
Für uns wie für ihn ist es unbestreitbar, tadellos.
Zur Feier legte Pythagoras den Göttern ein Gelübde ab:
Um unendliche Weisheit zu berühren,
Er hat hundert Stiere geschlachtet, dank der Ewigen;
Danach bot er dem Opfer Gebete und Lobpreisungen an.
Seitdem Bullen, wenn sie riechen, schieben,
Was führt die Menschen wieder zur neuen Wahrheit,
Sie brüllen wütend, also gibt es keinen Urin zu hören,
Solche Pythagoras flößten ihnen für immer Schrecken ein.
Bullen, machtlos, der neuen Wahrheit zu widerstehen,
Was übrigbleibt? - Einfach die Augen schließen, brüllen, zittern.
Wie Pythagoras seinen Satz bewies, ist nicht bekannt. Sicher ist, dass er es unter dem starken Einfluss der ägyptischen Wissenschaft entdeckte. Ein Sonderfall des Satzes des Pythagoras – die Eigenschaften eines Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5 – war den Erbauern der Pyramiden lange vor der Geburt von Pythagoras bekannt, während er selbst mehr als 20 Jahre bei ägyptischen Priestern studierte. Es gibt eine Legende, die besagt, dass Pythagoras, nachdem er seinen berühmten Satz bewiesen hatte, den Göttern einen Stier geopfert hat, und nach anderen Quellen sogar 100 Stiere. Dies widerspricht jedoch Informationen über die moralischen und religiösen Ansichten von Pythagoras. In literarischen Quellen ist zu lesen, dass er „das Töten von Tieren sogar verboten hat, und noch mehr, sie zu füttern, weil Tiere eine Seele haben, wie wir“. Pythagoras aß nur Honig, Brot, Gemüse und gelegentlich Fisch. Im Zusammenhang mit all dem kann folgender Eintrag als plausibler angesehen werden: "... und selbst als er entdeckte, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse den Beinen entspricht, opferte er einen Stier aus Weizenteig."
Die Popularität des Satzes des Pythagoras ist so groß, dass seine Beweise sogar in der Fiktion zu finden sind, zum Beispiel in der Geschichte des berühmten englischen Schriftstellers Huxley "Young Archimedes". Derselbe Beweis, aber für den besonderen Fall eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks, wird in Platons Dialog Meno gegeben.
Märchenhaus.
„Weit, weit weg, wo nicht einmal Flugzeuge fliegen, ist das Land der Geometrie. In diesem ungewöhnlichen Land gab es eine erstaunliche Stadt - die Stadt Teorem. Eines Tages kam ein wunderschönes Mädchen namens Hypotenuse in diese Stadt. Sie versuchte, ein Zimmer zu bekommen, aber wo immer sie sich bewarb, wurde sie überall abgelehnt. Endlich näherte sie sich dem wackeligen Haus und klopfte. Sie wurde von einem Mann geöffnet, der sich der rechte Winkel nannte, und er lud die Hypotenuse ein, bei ihm zu leben. Die Hypotenuse blieb in dem Haus, in dem Right Angle und seine beiden kleinen Söhne namens Katet lebten. Seitdem hat sich das Leben im Right Angle House auf neue Weise verändert. Die Hypotenuse pflanzte Blumen ins Fenster und breitete rote Rosen im Vorgarten aus. Das Haus hatte die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Beide Beine mochten Hypotenuse sehr und baten sie, für immer in ihrem Haus zu bleiben. Abends trifft sich diese sympathische Familie am Familientisch. Manchmal spielt Right Angle mit seinen Kindern Verstecken. Meistens muss er suchen, und die Hypotenuse versteckt sich so geschickt, dass es sehr schwierig sein kann, sie zu finden. Einmal während eines Spiels bemerkte Right Angle eine interessante Eigenschaft: Wenn es ihm gelingt, die Beine zu finden, ist es nicht schwierig, die Hypotenuse zu finden. Also verwendet Right Angle dieses Muster, muss ich sagen, sehr erfolgreich. Der Satz des Pythagoras basiert auf der Eigenschaft dieses rechtwinkligen Dreiecks.
(Aus dem Buch von A. Okunev „Danke für die Lektion, Kinder“).
Eine spielerische Formulierung des Theorems:
Wenn uns ein Dreieck gegeben wird
Und außerdem mit einem rechten Winkel,
Das ist das Quadrat der Hypotenuse
Wir können immer leicht finden:
Wir bauen die Beine in einem Quadrat,
Wir finden die Summe der Grade -
Und das auf so einfache Weise
Wir kommen zum Ergebnis.
Als ich in der 10. Klasse Algebra und die Anfänge der Analysis und Geometrie studierte, war ich überzeugt, dass es neben der in der 8. Klasse betrachteten Methode, den Satz des Pythagoras zu beweisen, noch andere Beweismöglichkeiten gibt. Ich stelle sie Ihnen zur Betrachtung vor.
2. HAUPTTEIL.
Satz. Quadrat in einem rechtwinkligen Dreieck
Die Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.
1 WEG.
Unter Verwendung der Eigenschaften der Polygonflächen stellen wir eine bemerkenswerte Beziehung zwischen der Hypotenuse und den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks her.
Nachweisen.
a, ein und Hypotenuse mit(Abb. 1, a).
Lassen Sie uns das beweisen c²=a²+b².
Nachweisen.
Wir vervollständigen das Dreieck zu einem Quadrat mit einer Seite a+b wie in Abb. 1b. Die Fläche S dieses Quadrats ist (a + b)². Andererseits besteht dieses Quadrat aus vier gleichen rechtwinkligen Dreiecken, deren Fläche jeweils ½ beträgt ach, und ein Quadrat mit einer Seite mit, also s = 4 * ½ v + s² = 2v + s².
Auf diese Weise,
(a+b)² = 2 v + s²,
c²=a²+b².
Der Satz ist bewiesen.
2-WEGE.
Nach dem Studium des Themas „Ähnliche Dreiecke“ habe ich herausgefunden, dass man die Ähnlichkeit von Dreiecken auf den Beweis des Satzes des Pythagoras anwenden kann. Ich habe nämlich die Aussage verwendet, dass das Bein eines rechtwinkligen Dreiecks das mittlere Proportional für die Hypotenuse und das Segment der Hypotenuse ist, das zwischen dem Bein und der Höhe eingeschlossen ist, die von der Spitze des rechten Winkels gezogen wird.
Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C, CD ist die Höhe (Abb. 2). Lassen Sie uns das beweisen AC² + SW² = AB²
.
Nachweisen.
Basierend auf der Aussage über den Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks:
AC = , CB = .
Wir quadrieren und addieren die resultierenden Gleichungen:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), wobei AD + DB = AB, dann
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Der Beweis ist vollständig.
3 WEGE.
Die Definition des Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks kann auf den Beweis des Satzes des Pythagoras angewendet werden. Betrachten Sie Abb. 3.
Nachweisen:
Sei ABC ein gegebenes rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel C. Zeichnen wir eine Höhe CD von der Spitze des rechten Winkels C.
Nach Definition des Kosinus eines Winkels:
cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Also AB * AD = AC²
Ebenfalls,
cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.
Daher AB * BD \u003d BC².
Wenn wir die resultierenden Gleichheiten Term für Term addieren und feststellen, dass AD + DÂ = AB, erhalten wir:
AC² + So² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²
Der Beweis ist vollständig.
4 WEGE.
Nachdem ich das Thema "Verhältnisse zwischen den Seiten und Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks" studiert habe, denke ich, dass der Satz des Pythagoras auf andere Weise bewiesen werden kann.
Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen a, ein und Hypotenuse mit. (Abb. 4).
Lassen Sie uns das beweisen c²=a²+b².
Nachweisen.
Sünde B= Klimaanlage ; cos B= als , dann quadrieren wir die resultierenden Gleichheiten und erhalten:
Sünde² B= in²/s²; cos² BEIM\u003d a² / s².
Wenn wir sie addieren, erhalten wir:
Sünde² BEIM+ cos² B= v² / s² + a² / s², wobei sin² BEIM+ cos² B=1,
1 \u003d (v² + a²) / s², daher
c² = a² + b².
Der Beweis ist vollständig.
5 WEGE.
Dieser Beweis basiert auf dem Schneiden der auf den Beinen gebauten Quadrate (Abb. 5) und dem Stapeln der resultierenden Teile auf dem auf der Hypotenuse gebauten Quadrat.
6 WEGE.
Zum Beweis auf der Kathete Sonne Gebäude BCD ABC(Abb. 6). Wir wissen, dass die Flächen ähnlicher Figuren wie die Quadrate ihrer ähnlichen linearen Dimensionen zusammenhängen:
Subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichheit, erhalten wir
c2 = a2 + b2.
Der Beweis ist vollständig.
7 WEGE.
Gegeben(Abb. 7):
ABS,= 90° , Sonne= a, AC=b, AB = c.
Beweisen:c2 = a2 +b2.
Nachweisen.
Lassen Sie das Bein b a. Lassen Sie uns das Segment fortsetzen SW pro Punkt BEIM und baue ein Dreieck bmd damit die Punkte M und SONDERN auf einer Seite einer geraden Linie liegen CD und ausserdem, B.D.=b, BDM= 90°, DM= ein, dann bmd= ABC auf zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen. Punkte A und M durch Segmente verbinden BIN. Wir haben MD CD und AC CD, bedeutet gerade AC parallel zu einer Geraden MD. Als MD< АС, dann gerade CD und BIN sind nicht parallel. Deshalb, AMDC- rechteckiges Trapez.
In rechtwinkligen Dreiecken ABC und bmd 1 + 2 = 90° und 3 + 4 = 90°, aber da = =, dann 3 + 2 = 90°; dann AVM=180° - 90° = 90°. Es stellte sich heraus, dass das Trapez AMDC in drei nicht überlappende rechtwinklige Dreiecke unterteilt, dann durch die Flächenaxiome
(a+b)(a+b)
Teilen wir alle Terme der Ungleichung durch , erhalten wir
ab + c2 + ab = (ein +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Der Beweis ist vollständig.
8 WEGE.
Diese Methode basiert auf der Hypotenuse und den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks ABC. Er baut die entsprechenden Quadrate und beweist, dass das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat gleich der Summe der auf den Beinen gebauten Quadrate ist (Abb. 8).
Nachweisen.
1) DBC= Versand durch Amazon= 90°;
DBC+ ABC= Versand durch Amazon+ ABC, meint, FBC= DBA.
Auf diese Weise, FBC=ABD(auf zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen).
2) 
,
wobei AL DE, da BD eine gemeinsame Basis ist, DL- Gesamthöhe.
3) 
, da FB eine Basis ist, AB- Gesamthöhe.
4) 
5) Ebenso kann man das beweisen 
6) Addiert man Term für Term, erhält man:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Der Beweis ist vollständig.
9 WEGE.
Nachweisen.
1) Lass ABDE- ein Quadrat (Abb. 9), dessen Seite gleich der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist ABC (AB= c, BC = a, AC =b).
2) Lass DK BC und DK = Sonne, da 1 + 2 = 90° (als spitzer Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks), 3 + 2 = 90° (als Winkel eines Quadrats), AB= BD(Seiten des Quadrats).
Meint, ABC= BDK(durch Hypotenuse und spitzen Winkel).
3) Lass EL DC, AM EL. Es lässt sich leicht beweisen, dass ABC = BDK = DEL = EAM (mit Beinen a und b). Dann KS= CM= ML= LK= a -b.
4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),mit2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Der Beweis ist vollständig.
10 WEG.
Der Beweis kann an einer Figur geführt werden, die scherzhaft "Pythagoräische Hose" genannt wird (Abb. 10). Seine Idee ist es, die auf den Beinen gebauten Quadrate in gleiche Dreiecke umzuwandeln, die zusammen das Quadrat der Hypotenuse bilden.
ABC verschieben, wie durch den Pfeil gezeigt, und es nimmt die Position ein KDN. Der Rest der Figur AKDCB gleich der Fläche eines Quadrats AKDC- Es ist ein Parallelogramm AKNB.
Habe ein Parallelogrammmodell erstellt AKNB. Wir verschieben das Parallelogramm wie im Inhalt der Arbeit skizziert. Um die Umwandlung eines Parallelogramms in ein gleichgroßes Dreieck vor den Augen der Schüler zu zeigen, schneiden wir am Modell ein Dreieck ab und verschieben es nach unten. Also die Fläche des Quadrats AKDC ist gleich der Fläche des Rechtecks. Ebenso wandeln wir die Fläche eines Quadrats in die Fläche eines Rechtecks um.
Machen wir eine Transformation für ein Quadrat, das auf einem Bein gebaut ist a(Abb. 11, a):
a) das Quadrat wird in ein gleich großes Parallelogramm umgewandelt (Abb. 11.6):
b) das Parallelogramm dreht sich um eine Vierteldrehung (Abb. 12):
c) das Parallelogramm wird in ein gleich großes Rechteck transformiert (Abb. 13): 11 WEG.
Nachweisen:
PCL- gerade (Abb. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO+LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Beweis vorbei .
12 WEGE.
Reis. 15 veranschaulicht einen weiteren Originalbeweis des Satzes des Pythagoras.
Hier: Dreieck ABC mit rechtem Winkel C; Liniensegment bf aufrecht SW und gleich dazu das Segment SEIN aufrecht AB und gleich dazu das Segment ANZEIGE aufrecht AC und ihm gleich; Punkte F, C,D gehören zu einer geraden Linie; Vierecke ADFB und ACBE sind gleich, weil ABF = EZB; Dreiecke ADF und AS sind gleich; wir subtrahieren von beiden gleichen Vierecken ein gemeinsames Dreieck für sie ABC, wir bekommen
, c2 = a2 +
b2.
Der Beweis ist vollständig.
13 WEG.
Die Fläche dieses rechtwinkligen Dreiecks ist einerseits gleich ,
mit einem anderen, ,
3. SCHLUSSFOLGERUNG
Als Ergebnis der Suchtätigkeit wurde das Ziel der Arbeit erreicht, das Wissen über den Beweis des Satzes von Pythagoras zu ergänzen und zu verallgemeinern. Über die Seiten eines Schulbuches hinaus konnten verschiedene Möglichkeiten gefunden und erwogen werden, dies zu beweisen und das Wissen zum Thema zu vertiefen.
Das von mir gesammelte Material ist noch überzeugender, dass der Satz des Pythagoras der große Satz der Geometrie ist und von großer theoretischer und praktischer Bedeutung ist. Abschließend möchte ich sagen: Der Grund für die Popularität des Satzes des Pythagoras von der Dreieinigkeit ist Schönheit, Einfachheit und Bedeutung!
4. VERWENDETE LITERATUR.
1. Unterhaltsame Algebra. . Moskau "Nauka", 1978.
2. Wöchentliche pädagogische und methodische Beilage zur Zeitung "Erster September", 24/2001.
3. Geometrie 7-9. usw.
4. Geometrie 7-9. usw.
Der Satz des Pythagoras ist ein grundlegender Satz der euklidischen Geometrie, der das Verhältnis der Schenkel und der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks postuliert. Dies ist vielleicht das beliebteste Theorem der Welt, das jedem aus der Schule bekannt ist.
Geschichte des Theorems
Tatsächlich war die Theorie des Seitenverhältnisses eines rechtwinkligen Dreiecks lange vor Pythagoras von der Insel Samos bekannt. So finden sich Probleme mit dem Seitenverhältnis in alten Texten aus der Regierungszeit des babylonischen Königs Hammurabi, also 1500 Jahre vor der Geburt des samischen Mathematikers. Notizen auf den Seiten des Dreiecks sind nicht nur in Babylon, sondern auch im alten Ägypten und in China aufgezeichnet. Eines der berühmtesten ganzzahligen Verhältnisse der Beine und der Hypotenuse sieht aus wie 3, 4 und 5. Diese Zahlen wurden von alten Landvermessern und Architekten verwendet, um rechte Winkel zu bauen.
Pythagoras hat also den Satz über das Verhältnis von Beinen und Hypotenuse nicht erfunden. Er war der erste in der Geschichte, der das bewies. Daran bestehen jedoch Zweifel, da der Nachweis des samischen Mathematikers, falls er aufgezeichnet wurde, seit Jahrhunderten verschollen ist. Es gibt eine Meinung, dass der Beweis des Satzes in Euklids Elementen genau Pythagoras gehört. Mathematikhistoriker haben daran jedoch ernsthafte Zweifel.
Pythagoras war der erste, aber nach ihm wurde der Satz über die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks etwa 400 Mal mit einer Vielzahl von Methoden bewiesen: von der klassischen Geometrie bis zur Differentialrechnung. Der Satz des Pythagoras hat neugierige Köpfe schon immer beschäftigt, so dass man sich unter den Autoren der Beweise an US-Präsident James Garfield erinnern kann.
Beweis für
Mindestens vierhundert Beweise des Satzes des Pythagoras sind in der mathematischen Literatur verzeichnet. Eine solch verblüffende Zahl erklärt sich aus der grundlegenden Bedeutung des Theorems für die Wissenschaft und der elementaren Natur des Ergebnisses. Grundsätzlich wird der Satz des Pythagoras durch geometrische Methoden bewiesen, von denen die bekanntesten die Flächenmethode und die Ähnlichkeitsmethode sind.
Die einfachste Methode zum Beweis eines Satzes, die keine zwingenden geometrischen Konstruktionen erfordert, ist die Flächenmethode. Pythagoras erklärte, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine ist:
Versuchen wir, diese kühne Aussage zu beweisen. Wir wissen, dass die Fläche jeder Figur durch Quadrieren eines Liniensegments bestimmt wird. Das Liniensegment kann alles sein, aber meistens ist es die Seite der Form oder ihr Radius. Abhängig von der Wahl des Segments und der Art der geometrischen Figur hat das Quadrat unterschiedliche Koeffizienten:
- Einheit im Fall eines Quadrats - S \u003d a 2;
- ungefähr 0,43 im Fall eines gleichseitigen Dreiecks – S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
- Pi im Fall eines Kreises - S \u003d pi × R 2.
Daher können wir die Fläche eines beliebigen Dreiecks als S = F × a 2 ausdrücken, wobei F ein Koeffizient ist.
Ein rechtwinkliges Dreieck ist eine erstaunliche Figur, die leicht in zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke geteilt werden kann, indem man einfach eine Senkrechte von einem beliebigen Scheitelpunkt fallen lässt. Diese Teilung verwandelt ein rechtwinkliges Dreieck in die Summe von zwei kleineren rechtwinkligen Dreiecken. Da die Dreiecke ähnlich sind, werden ihre Flächen mit der gleichen Formel berechnet, die so aussieht:
S = F × Hypotenuse 2
Als Ergebnis der Teilung eines großen Dreiecks mit den Seiten a, b und c (Hypotenuse) wurden drei Dreiecke erhalten, und für kleinere Figuren erwiesen sich die Seiten des ursprünglichen Dreiecks a und b als Hypotenusen. Somit werden die Flächen ähnlicher Dreiecke wie folgt berechnet:
- S1 = F × c 2 ist das ursprüngliche Dreieck;
- S2 = F × a 2 ist das erste ähnliche Dreieck;
- S3 = F × b 2 ist das zweite ähnliche Dreieck.
Offensichtlich ist die Fläche eines großen Dreiecks gleich der Summe der Flächen ähnlicher:
F × c 2 = F × a2 + F × b 2
Der F-Faktor lässt sich leicht reduzieren. Als Ergebnis erhalten wir:
c 2 \u003d a 2 + b 2,
Q.E.D.
Pythagoräische Drillinge
Das beliebte Verhältnis von Beinen und Hypotenusen als 3, 4 und 5 wurde bereits oben erwähnt.Pythagoreische Tripel sind eine Menge von drei relativ Primzahlen, die die Bedingung a 2 + b 2 \u003d c 2 erfüllen. Es gibt unendlich viele solcher Kombinationen, und die ersten wurden in der Antike verwendet, um rechte Winkel zu konstruieren. Indem sie in regelmäßigen Abständen eine bestimmte Anzahl von Knoten an eine Schnur knüpften und sie in Form eines Dreiecks falteten, erhielten die alten Wissenschaftler einen rechten Winkel. Dazu mussten auf jeder Seite des Dreiecks Knoten in einer Menge gebunden werden, die den pythagoreischen Drillingen entspricht:
- 3, 4 und 5;
- 5, 12 und 13;
- 7, 24 und 25;
- 8, 15 und 17.
Darüber hinaus kann jedes pythagoreische Tripel um eine ganzzahlige Anzahl von Malen erhöht werden und eine proportionale Beziehung erhalten, die der Bedingung des Satzes des Pythagoras entspricht. Aus dem Tripel 5, 12, 13 erhält man beispielsweise durch einfaches Multiplizieren mit 2 die Werte der Seiten 10, 24, 26. Heute werden pythagoräische Tripel verwendet, um geometrische Probleme schnell zu lösen.
Anwendung des Satzes des Pythagoras
Der Satz des samischen Mathematikers wird nicht nur in der Schulgeometrie verwendet. Der Satz des Pythagoras findet Anwendung in Architektur, Astronomie, Physik, Literatur, Informationstechnologie und sogar bei der Bewertung der Effektivität sozialer Netzwerke. Das Theorem gilt auch im wirklichen Leben.
Pizza-Auswahl
In Pizzerien stehen Kunden oft vor der Frage: Soll ich eine große Pizza nehmen oder zwei kleinere? Angenommen, Sie können eine Pizza mit einem Durchmesser von 50 cm oder zwei kleinere Pizzen mit einem Durchmesser von 30 cm kaufen. Auf den ersten Blick sind zwei kleinere Pizzen größer und rentabler, aber das war nicht der Fall. Wie kann man schnell die Fläche der Pizzas vergleichen, die man mag?
Wir erinnern uns an den Satz des samischen Mathematikers und die pythagoreischen Tripel. Die Fläche eines Kreises ist das Quadrat des Durchmessers mit einem Faktor F = pi/4. Und das erste pythagoreische Tripel ist 3, 4 und 5, das wir leicht in ein Tripel 30, 40, 50 umwandeln können. Also 50 2 = 30 2 + 40 2. Offensichtlich ist die Fläche einer Pizza mit einem Durchmesser von 50 cm größer als die Summe der Pizzas mit einem Durchmesser von 30 cm. Es scheint, dass der Satz nur in der Geometrie und nur für Dreiecke anwendbar ist, aber dieses Beispiel zeigt dies die Beziehung c 2 = a 2 + b 2 kann auch verwendet werden, um andere Figuren und ihre Eigenschaften zu vergleichen.
Mit unserem Online-Rechner können Sie jeden Wert berechnen, der die Grundgleichung der Quadratsumme erfüllt. Zur Berechnung reicht es aus, 2 beliebige Werte einzugeben, woraufhin das Programm den fehlenden Koeffizienten berechnet. Der Taschenrechner arbeitet nicht nur mit ganzen Zahlen, sondern auch mit Bruchwerten, daher dürfen für Berechnungen beliebige Zahlen verwendet werden, nicht nur pythagoreische Tripel.
Fazit
Der Satz des Pythagoras ist eine grundlegende Sache, die in vielen wissenschaftlichen Anwendungen weit verbreitet ist. Verwenden Sie unseren Online-Rechner, um die Größe der Werte zu berechnen, die durch den Ausdruck c 2 = a 2 + b 2 zusammenhängen.
Der Satz des Pythagoras ist die wichtigste Aussage der Geometrie. Der Satz wird wie folgt formuliert: Die Fläche eines Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut sind.
Normalerweise wird die Entdeckung dieser Aussage dem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras (VI Jahrhundert v. Chr.) Zugeschrieben. Aber ein Studium der babylonischen Keilschrifttafeln und alten chinesischen Manuskripte (Kopien noch älterer Manuskripte) zeigte, dass diese Aussage lange vor Pythagoras bekannt war, vielleicht ein Jahrtausend vor ihm. Das Verdienst von Pythagoras war, dass er den Beweis dieses Satzes entdeckte.
Wahrscheinlich wurde die im Satz des Pythagoras angegebene Tatsache zuerst für gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke festgestellt. Es genügt, sich das in Abb. 1 gezeigte Mosaik aus schwarzen und hellen Dreiecken anzusehen. 1, um die Gültigkeit des Dreieckssatzes zu überprüfen: Ein Quadrat, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist, enthält 4 Dreiecke, und ein Quadrat, das 2 Dreiecke enthält, wird auf jedem Bein aufgebaut. Um den allgemeinen Fall im alten Indien zu beweisen, hatten sie zwei Methoden: Vier rechtwinklige Dreiecke mit langen Beinen und wurden in einem Quadrat mit einer Seite dargestellt (Abb. 2, a und 2, b), wonach sie ein Wort schrieben "Suchen!". In der Tat, wenn wir uns diese Figuren ansehen, sehen wir, dass links eine Figur ohne Dreiecke ist, die aus zwei Quadraten mit Seiten besteht und deren Fläche jeweils gleich ist, und rechts - ein Quadrat mit einer Seite - deren Fläche gleich ist gleich. Daher ist , was die Aussage des Satzes von Pythagoras ist.
Zwei Jahrtausende lang wurde jedoch nicht dieser visuelle Beweis verwendet, sondern ein komplexerer Beweis, der von Euklid erfunden wurde und in seinem berühmten Buch „Anfänge“ platziert ist (siehe Euklid und seine „Anfänge“), von dem Euklid die Höhe absenkte der Scheitel des rechten Winkels zur Hypotenuse und bewies, dass seine Fortsetzung das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat in zwei Rechtecke teilt, deren Flächen gleich den Flächen der entsprechenden Quadrate sind, die auf den Beinen gebaut sind (Abb. 3). Die zum Beweis dieses Satzes verwendete Zeichnung wird scherzhaft "Pythagoräische Hose" genannt. Lange Zeit galt er als eines der Symbole der mathematischen Wissenschaft.
Heute sind mehrere Dutzend verschiedene Beweise des Satzes des Pythagoras bekannt. Einige von ihnen basieren auf einer Unterteilung von Quadraten, bei denen das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat aus Teilen besteht, die in den Unterteilungen von Quadraten enthalten sind, die auf den Beinen gebaut sind; andere - auf die Ergänzung zu gleichen Zahlen; der dritte - auf der Tatsache, dass die Höhe, die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse abgesenkt wird, das rechtwinklige Dreieck in zwei ähnliche Dreiecke teilt.
Der Satz des Pythagoras liegt den meisten geometrischen Berechnungen zugrunde. Schon im alten Babylon wurde es verwendet, um die Länge der Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks durch die Längen der Basis und der Seite, den Pfeil des Segments durch den Durchmesser des Kreises und die Länge der Sehne zu berechnen und die Beziehung herzustellen zwischen den Elementen einiger regelmäßiger Polygone. Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras wird seine Verallgemeinerung bewiesen, die es ermöglicht, die Länge der einem spitzen oder stumpfen Winkel gegenüberliegenden Seite zu berechnen:
Aus dieser Verallgemeinerung folgt, dass das Vorhandensein eines rechten Winkels in nicht nur hinreichende, sondern auch notwendige Bedingung für die Erfüllung der Gleichheit ist. Formel (1) impliziert die Beziehung 
zwischen den Längen der Diagonalen und Seiten eines Parallelogramms, mit dem sich die Länge der Seitenhalbierenden eines Dreiecks leicht aus den Längen seiner Seiten ermitteln lässt.
Basierend auf dem Satz des Pythagoras wird auch eine Formel abgeleitet, die die Fläche eines beliebigen Dreiecks in Bezug auf die Längen seiner Seiten ausdrückt (siehe Formel von Heron). Natürlich wurde der Satz des Pythagoras auch zur Lösung verschiedener praktischer Probleme verwendet.
Anstelle von Quadraten auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks können Sie beliebige Formen bauen, die einander ähnlich sind (gleichseitige Dreiecke, Halbkreise usw.). In diesem Fall ist die Fläche der auf der Hypotenuse gebauten Figur gleich der Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Figuren. Eine andere Verallgemeinerung hängt mit dem Übergang von der Ebene in den Raum zusammen. Es wird wie folgt formuliert: Das Quadrat der Länge der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich der Summe der Quadrate seiner Abmessungen (Länge, Breite und Höhe). Ein ähnlicher Satz gilt auch in mehrdimensionalen und sogar unendlich dimensionalen Fällen.
Der Satz des Pythagoras existiert nur in der euklidischen Geometrie. Sie findet weder in der Geometrie von Lobatschewski noch in anderen nicht-euklidischen Geometrien statt. Es gibt auch kein Analogon zum Satz des Pythagoras auf der Kugel. Zwei Meridiane, die einen Winkel von 90° bilden, und der Äquator begrenzen ein gleichseitiges sphärisches Dreieck auf der Kugel, die alle drei rechtwinklig sind. Für ihn nicht wie im Flugzeug.
Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras wird der Abstand zwischen Punkten und der Koordinatenebene durch die Formel berechnet
.
Nach der Entdeckung des Satzes des Pythagoras stellte sich die Frage, wie man alle Tripel natürlicher Zahlen findet, die Seiten rechtwinkliger Dreiecke sein können (siehe großer Satz von Fermat). Sie wurden von den Pythagoreern entdeckt, aber einige allgemeine Methoden, um solche Zahlentripel zu finden, waren sogar den Babyloniern bekannt. Eine der Keilschrifttafeln enthält 15 Drillinge. Unter ihnen gibt es Tripel, die aus so vielen Zahlen bestehen, dass von einem Auffinden durch Selektion keine Rede sein kann.
HIPPOKRATE HÖLLEN
Hippokratische Löcher sind Figuren, die durch die Bögen zweier Kreise begrenzt sind, und außerdem so, dass Sie unter Verwendung der Radien und Längen der gemeinsamen Sehne dieser Kreise mit einem Kompass und einem Lineal Quadrate gleicher Größe zu ihnen bauen können.
Aus der Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf Halbkreise folgt, dass die Summe der Flächen der in der Abbildung links gezeigten rosa Löcher gleich der Fläche des blauen Dreiecks ist. Wenn wir also ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck nehmen, erhalten wir zwei Löcher, deren Fläche jeweils der Hälfte der Fläche des Dreiecks entspricht. Bei dem Versuch, das Problem der Quadratur eines Kreises zu lösen (siehe Klassische Probleme der Antike), fand der antike griechische Mathematiker Hippokrates (5. Jahrhundert v. Chr.) Mehrere weitere Löcher, deren Flächen in Form der Flächen geradliniger Figuren ausgedrückt werden.
Eine vollständige Liste der hippomarginalen Löcher wurde erst im 19.-20. Jahrhundert erhalten. durch den Einsatz von Methoden der Galois-Theorie.
