Энергия Фе́рми (EF) системы невзаимодействующих фермионов - это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми - одно из центральных понятий физики твёрдого тела. Физический смысл уровня Ферми: вероятность попадания частицы на уровень Ферми составляет 0,5 при любых температурах. Фермио́н (от фамилии физика Энрико Ферми) - по современным научным представлениям: элементарные частицы, из которых складывается вещество. К фермионам относят кварки, электрон, мюон, тау-лептон, нейтрино. В физике, частица (или квазичастица) с полуцелым значением спина. Фермионы подчиняются статистике Ферми - Дирака: в одном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули). Волновая функция системы одинаковых фермионов антисимметрична относительно перестановки двух любых фермионов. Квантовая система, состоящая из нечётного числа фермионов, сама является фермионом (например, ядро с нечётным массовым числом A; атом или ион с нечётной суммой A и числа электронов)

Примеры фермионов: кварки (они формируют протоны и нейтроны, которые также являются фермионами), лептоны (электроны, мюоны, нейтрино), дырки (квазичастицы в полупроводнике). Принцип запрета Паули ответственен за стабильность электронных оболочек атомов, делая возможным существование сложных химических элементов. Он также позволяет существовать вырожденной материи под действием высоких давлений (нейтронные звёзды).Поверхность Ферми - поверхность постоянной энергии в k-пространстве, равной энергии Ферми в металлах или вырожденных полупроводниках. Знание формы поверхности Ферми играет важную роль во всей физике металлов и вырожденных полупроводников, так как благодаря вырожденности электронного газа транспортные свойства его, такие как проводимость, магнетосопротивление зависят только от электронов вблизи поверхности Ферми. Поверхность Ферми разделяет заполненные состояния от пустых при абсолютном нуле температур. Рис. 1. Заполнение энергетических зон при абсолютном нуле температуры: а - в диэлектриках; б - в металлах; разрешенные зоны заштрихованы, заполненные зоны или их части заштрихованы дважды. Рис. 2. Заполнение энергетических зон в полупроводнике; показаны только валентная зона и зона проводимости; чёрные кружочки - электроны в зоне проводимости, белые - дырки в валентной зоне.

15. Собственный полупроводник или полупроводник i-типа (англ. intrinsic - собственный) - это чистый полупроводник, содержание посторонних примесей в котором не превышает 10 −8 … 10 −9 %. Концентрация дырок в нём всегда равна концентрации свободных электронов. Примеры: Si, Ge Полупроводник без примесей называют собственным полупроводником или полупроводником i-типа . Он обладает собственной электропроводностью , которая складывается из электронной и дырочной. Если к полупроводнику не приложено напряжение, то электроны и дырки проводимости совершают хаотическое движение и никакого тока, разумеется, нет. Под действием разности потенциалов в полупроводнике возникает электрическое поле, которое ускоряет электроны и дырки и сообщает им еще некоторое поступательное движение, представляющее собой ток проводимости . Движение носителей заряда под действием электрического поля иначе называется дрейфом носителей , а ток проводимости - током дрейфа i др . Полный ток проводимости складывается из электронного и дырочного токов: i др = i nдр + i pдр Индексы n и p соответственно обозначают электронный и дырочный вклады. Удельная проводимость зависит от концентрации носителей и от их подвижности. В полупроводниках при повышении температуры вследствие интенсивной генерации пар носителей концентрация подвижных носителей увеличивается значительно быстрее, нежели уменьшается их подвижность, поэтому с повышением температуры проводимость растет. Для изготовления полупроводников применяют в основном германий и кремний, а также некоторые соединения галлия, индия и пр. Для полупроводников характерен отрицательный температурный коэффициент электрического сопротивления. При возрастании температуры сопротивление полупроводников уменьшается, а не увеличивается, как у большинства твердых проводников. Кроме того электрическое сопротивление полупроводников очень сильно зависит от количества примесей (и от типа примесей тоже), а также таких внешних воздействий, как свет, электрическое поле, ионизирующее излучение и т. д. (на этом основан принцип действия фотодиодов, фототранзисторов, магнитоуправляемых приборов и т. п.) Принцип работы полупроводниковых приборов связан с тем, что в полупроводниках существует электропроводность двух типов - электронная и дырочная. Электронная электропроводность характерна для металлов и обусловлена перемещением электронов проводимости. При обычных рабочих температурах в полупроводниках всегда имеются электроны проводимости, которые очень слабо связаны с ядрами атомов и совершают беспорядочное тепловое движение (колебания) между атомами кристаллической решетки. Эти электроны под действием разности потенциалов могут начать двигаться в определенном направлении. Это движение и есть электрический ток. Полупроводники обладают также дырочной электропроводностью, которая редко наблюдается в металлах. Электроны и дырки, которые могут перемещаться, а потому создавать электропроводность, называются подвижными носителями заряда или просто носителями заряда. Весь этот процесс принято называть генерация пар носителей заряда, то есть возникают пары электрон проводимости-дырка проводимости. Вследствие того, что электроны и дырки совершают хаотическое движение, обязательно происходит и процесс, обратный генерации пар носителей. Электроны проводимости снова занимают свободные места в валентной зоне (падающий сверху кружочек на рисунке), то есть объединяются с дырками. Такое исчезновение пар носителей называется рекомбинацией носителей заряда. Процессы генерации и рекомбинации всегда происходят одновременно. Рекомбинация ограничивает возрастание пар носителей, и при каждой данной температуре устанавливается определенное число электронов и дырок проводимости, то есть они находятся в состоянии динамического равновесия.Так же следует отметить, что проводимость чистых полупроводников, значительно ниже примесных. Это связанно с тем, что свободных носителей заряда в примесных значительно больше.

16. Примесные полупроводники Примесный полупроводник - это полупроводник, элек­т­ро­­­фи­зи­­чес­кие свойства которого определяются, в основном, при­ме­ся­­ми дру­гих химических элементов. Процесс вве­дения примесей в по­­лу­­про­водник называется леги­ро­ва­нием полупроводника, а са­ми при­­­­меси называют леги­ру­ю­щи­ми. Для равномерного распре­де­­ле­­ния легирующей примеси в объ­еме полупроводника ле­ги­ро­ва­­ние осу­­щест­в­ля­ет­ся в процессе вы­ращивания монокристалла по­лу­­про­вод­ника из жидкой или га­зо­образной фазы. Локальное ле­ги­­ро­ва­ние части объема полу­про­водника­, например, при­по­ве­р­х­ностной об­­ла­сти, производится методом диффузии при силь­ном нагреве полупроводника или низкотемпературными методами ион­ного ле­ги­ро­вания. Роль примесей могут играть и всевозможные дефекты стру­к­ту­ры кри­­сталлической решетки полупроводника, такие как вакан­сии, ме­ж­ду­узельные атомы, дислокации. При малой концентрации примесей (10 21 ...10 23 м -3) примесные атомы со­­з­­дают дополнительные дискретные энергетические уровни в за­­п­ре­щенной зоне полупроводника. Такой полупроводник на­зы­ва­ется не­вы­рожденным. Повышение концентрации примесных ато­­мов в полупроводнике до 10 24 ...10 25 м -3 сопровождается поя­в­ле­нием в за­пре­щенной зоне по­лу­про­водника вместо дискретных уров­ней зон при­­мес­ных уров­ней. Такие полупроводники на­зы­ва­ют вы­рож­ден­ными. Различают два основных вида примесей, которые ис­поль­зую­т­­ся для преднамеренного легирования полупроводников и соз­да­ю­­щих преимущественно электронный или дырочный тип про­во­ди­­мо­сти. Примеси, введение которых в полупроводник соз­да­­ет эле­к­т­ронный тип проводимости, называются донорными. При­­месь, соз­да­ющая дырочную про­води­мость, называется акцеп­тор­ной. Если к полупроводнику n-типа приложить электрическое поле, то каждый отрицательный носитель приобретет в этом поле ускорение, набирая скорость до тех пор, пока не рассеется на одном из донорных узлов. Это означает, что носители, которые обычно движутся случайным образом, имея при этом тепловую энергию, начнут в среднем повышать свою скорость дрейфа вдоль линий электрического поля, вызвав ток через кристалл. Скорость дрейфа, как правило, по сравнению с типичными тепловыми скоростями очень мала, так что можно, прикидывая величину тока, принять, что от столкновения к столкновению среднее время странствий носителя постоянно. Допустим, что эффективный электрический заряд отрицательного носителя равен q n . Сила, действующая на носитель в электрическом поле E, будет равна q n E. В гл. 43, §3 (вып. 4) мы как раз подсчитывали среднюю скорость дрейфа в таких условиях и нашли, что она равна Fτ/m, где F - сила, действующая на заряд; т - среднее время свободного пробега между столкновениями, а т - масса. Вместо нее надо поставить эффективную массу, которую мы подсчитывали в предыдущей главе, но поскольку нас интересует только грубый расчет, то предположим, что эта эффективная масса во всех направлениях одинакова. Мы ее здесь обозначим т n . В этом приближении средняя скорость дрейфа будет равна

Мы видим, что плотность тока пропорциональна электрическому полю; такие полупроводниковые материалы подчиняются закону Ома. Коэффициент пропорциональности между j и E, или проводимость σ, равен

Для материалов n-типа проводимость в общем не зависит от температуры. Во-первых, общее число основных носителей N n определяется главным образом плотностью доноров в кристалле (пока температура не настолько низка, чтобы позволять атомам захватить чересчур много носителей), а, во-вторых, среднее время от соударения к соударению, τ n , регулируется главным образом плотностью атомов примеси, а она, ясное дело, от температуры не зависит. Те же рассуждения можно приложить к веществу р-типа, переменив только значения параметров, которые появляются в (12.7). Если в одно и то же время имеется сравнимое количество отрицательных и положительных носителей, то вклады носителей обоего рода надо сложить. Полная проводимость определится из Для очень чистых веществN р и N n примерно равны. Они будут меньше, чем у материалов с примесями, так что и проводимость будет меньше. Кроме того, они будут резко меняться с температурой (по закону е –Е щели /xТ ), так что проводимость с температурой может меняться чрезвычайно быстро.

Понятия энергии Ферми и уровня Ферми были введены ранее для металлов. В полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах. Энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми - это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E) = 1], а выше которой все уровни пусты [f(E ) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.

Уровень Ферми в собственном полупроводнике

Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (17) и (19), получим

Разрешая последнее равенство относительно Е F , получим

Если эффективные массы электронов и дырок равны [ = ,то = 0] и уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.

Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 5.

Для большинства полупроводников эффективная масса дырки не намного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb) , а ширина запрещенной зоны невелика (E g = 0,17 эВ), так что при Т > 450K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.

Рис. 5. Зависимость уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике при различных соотношениях эффективных масс электронов и дырок.

1 - ; 2 - ; 3 - .

Уровень Ферми в примесных полупроводниках

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде

здесь N d - концентрация донорных уровней,n d - концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равнаN d -n d ).

Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней N d на функцию распределения Ферми-Дирака:

При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (24) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (25).

Уравнение (26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (26) имеет вид

Рисунок 6 Температурные зависимости положения уровня Ферми в донорном (а) и акцепторном (б) полупроводниках.

Из уравнения (27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем - к валентной зоне (рис. 6а).

Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 6б.

3.1. Статистическое описание коллектива частиц.

Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны

Согласно результатам зонной теории твердых тел электроны в кристаллах удобно рассматривать как свободные частицы, эффективная масса которых отличается от массы свободного электрона. В полупроводниках, кроме электронов, носителями заряда являются и положительно заряженные частицы - дырки. Таким образом, в явлениях, в которых основную роль играют эти частицы (электропроводность, теплопроводность, взаимодействие со светом и т.д.) твердое тело можно рассматривать как газ электронов и дырок.

Системы, состоящие из большого количества тождественных частиц, являются предметом изучения статистической физики. Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Хорошо известен метод статистического описания коллектива молекул идеального газа. Несмотря на то, что скорость отдельной молекулы газа является величиной случайной в газе, состоящем из большого числа одинаковых молекул, наблюдается определенная закономерность в распределении их по скоростям. Используя методы статистической физики, всегда можно указать, какая доля молекул имеет скорость, заключенную в данном интервале значений.

Основная задача статистики состоит в определении числа частиц, энергия которых лежит в заданном интервале. Результатом решения этой статистической задачи является нахождение функции распределения частиц по энергиям , которую обозначают обычно f(E). Если dZ - число возможных состояний ансамбля частиц с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE , а dN - число частиц, находящихся в этих состояниях, то по определению

(3.1)

Таким образом, функция распределения частиц по энергиям есть плотность заполнения данных состояний частицами.

Для молекул идеального газа f (E ) известна как функция распределения Максвелла-Больцмана :

(3.2)

где С - параметр, не зависящий от энергии; k - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура.

Формулу (3.2) называют часто также каноническим распределением или распределением Гиббса . Из этого распределения можно легко получить известное из молекулярной физики распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям теплового движения. Статистика молекул идеального газа исходит из следующих основных положений:

1. Молекулы газа подчиняются законам классической механики.

2. Молекулы газа обладают индивидуальностью, позволяющей отличать их друг от друга. Поэтому, когда две молекулы, находящиеся в разных состояниях меняют местами, это приводит к новому распределению их по состояниям (новому микросостоянию).

3. Предполагается, что все способы распределения равновероятны.

Предположение о том, что электронный газ в металлах подчиняется статистике Максвелла-Больцмана, опровергается рядом экспериментальных результатов. Например, из этого предположения следует, что электроны должны давать вклад в теплоемкость металлов, который примерно на два порядка больше экспериментально наблюдаемой величины. Противоречие снимается, если учитывать квантовые свойства частиц в кристаллах.

В отличие от классической статистики Максвелла-Больцмана квантовая статистика стоит на точке зрения принципиальной неразличимости тождественных частиц . Поэтому перестановка местами двух квантовых частиц не приводит к новому микросостоянию. Для электронов и всех частиц с полуцелым спином необходимо учитывать также принцип Паули . Согласно этому принципу в одном квантовом состоянии может находиться только одна частица. Такие частицы называются фермионами и подчиняются квантовой статистике Ферми-Дирака . Иной квантовой статистикой описываются частицы с нулевым и целым спином. Эти частицы не подчиняются принципу Паули и в одном состоянии их может бытьсколько угодно. Такие частицы называются бозонами , квантовая статистика, которая описывает их распределение по энергиям, - статистикой Бозе-Эйнштейна . Сравнение этих трех статистик приведено на рис. 3.1 на примере распределения двух частиц по трем состояниям. Различные состояния частиц на этом рисунке изображены клетками.

Все возможные способы распределения двух частиц, подчиняющихся классической статистике Максвелла-Больцмана, по трем состояниям показаны на рис. 3.1,а. Поскольку частицы в этой статистике различимы, они обозначены разным цветом. Всего возможно девять микросостояний, математическая вероятность каждого из них равна 1/9. В квантовых статистиках Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака микросостояния 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6 принципиально неразличимы и каждая пара таких состояний должна рассматриваться как одно микросостояние. Для бозонов число возможных микросостояний равно 6 (рис. 3.1,б), а вероятность каждого из них - 1/6. Для фермионов микросостояния, в которых в каждом состоянии находятся по две частицы, реализоваться не могут. Остаются в статистике Ферми-Дирака только три возможных микросостояния, изображенные на рис. 3.1,в. Вероятность каждого из них равна 1/3.

Статистике Бозе-Эйнштейна подчиняются фотоны и фононы, играющие важную роль в физических свойствах твердых тел. Функция распределения Бозе-Эйнштейна имеет вид

(3.3)

Здесь Е В - химический потенциал системы бозонов.

Если полное число частиц не фиксировано, а должно определяться из условия термодинамического равновесия, как это имеет место для фотонов при излучении абсолютно черного тела, или фононов в кристалле, химический потенциал равен нулю. В этом случае формула (3.3) совпадает с формулой Планка, определяющей среднее число фотонов в данном типе колебаний теплового излучения абсолютно черного тела.

3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми.

Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака

Функция распределения Ферми-Дирака, описывающая распределение фермионов по состояниям, имеет следующий вид:

, (3.4)

здесь E F - химический потенциал системы фермионов, т.е. работа, которую необходимо затратить, чтобы изменить число частиц в системе на одну. В случае электронов величина E F называется энергией Ферми .

Рассмотрим вид функции Ферми-Дирака при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Как нетрудно видеть из формулы (3.4), для любой энергии частицы, большей энергии Ферми, экспонента в знаменателе стремится к бесконечности при , следовательно f(Е) стремится к нулю. Это значит, что все энергетические состояния с Е > E F совершенно свободны при абсолютном нуле. Если Е < E F при , f(E) стремится к единице. Это значит, что все квантовые состояния с энергией, меньше энергии Ферми, полностью заняты электронами. Отсюда понятен физический смысл энергии Ферми как параметра распределения электронов по состояниям: энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля . Энергетический уровень, соответствующий энергии Ферми, называется уровнем Ферми .

Вид функции распределения Ферми-Дирака при Т = 0К представлен на рис. 3.2,а. На рис. 3.2,б показано распределение электронов по энергетическим уровням в зоне проводимости металла при этой же температуре.

Если Т ¹ 0К , то при энергии частицы, равной энергии Ферми, функция распределения Ферми-Дирака равна 1/2 . Это значит, что при любой температуре, отличающейся от абсолютного нуля, уровень Ферми заполнен наполовину. Вид функции Ферми-Дирака для двух различных температур показан схематически на рис. 3.3. Изменение характера распределения электронов по состояниям связано с тепловым возбуждением электронов. При этом часть электронов переходит в состояния с энергиями, большей энергии Ферми. Соответственно часть состояний ниже уровня Ферми оказывается свободной. В результате функция f(E) "размыта" вблизи энергии Ферми. Тепловому возбуждению подвергается незначительная часть электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. Функция Ферми-Дирака заметно отличается от вида, который она имела при абсолютном нуле, лишь при . Величина "размытия" пропорциональна температуре (рис. 3.3). Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения.

При условии

(3.5)

экспонента в знаменателе становится значительно больше единицы в формуле (3.4). В этом случае единицей можно пренебречь и распределение Ферми-Дирака преобразуется к виду

(3.6)

Выражение (3.6) совпадает по форме с функцией распределения Максвелла-Больцмана.

Вероятность того, что некоторый энергетический уровень с энергией Е свободен, т.е. занят дыркой, равна

(3.7)

Таким образом, функция распределения Ферми-Дирака для дырок аналогична функции распределения для электронов, если в ней изменить знаки показателей экспонент. Это хорошо согласуется с представлением о том, что дырки являются носителями положительного заряда.

Газ носителей заряда, подчиняющийся статистике Ферми-Дирака, называется вырожденным . Если носители заряда подчиняются статистике Максвелла-Больцмана, то они называются невырожденными .

3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок

Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, необходимо, кроме функции распределения , знать функцию плотности состояний . Эта функция описывает распределение уровней в соответствующих зонах и определяет число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. По определению

(3.8)

Здесь, как и раньше, dZ - число возможных состояний ансамбля частиц (число уровней) с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE . Функцию g(E) вычислим для кубического кристалла со стороной L . Энергия электрона у дна зоны проводимости приближенно может быть представлена в виде

(3.9)

здесь энергия дна зоны проводимости, - эффективная масса электрона у дна зоны проводимости, k - квазиимпульс электрона, - его компоненты. Согласно граничным условиям, компоненты квазиимпульса могут принимать только следующие дискретные значения энергии:

Каждому набору чисел n x , n y , n z отвечает некоторое квантовое состояние (квантовый уровень). В пространстве волновых векторов каждому квантовому состоянию соответствует объем , где V - объем кристалла. Эти элементарные кубические ячейки займут в пространстве волновых чисел объем шара радиусом k , соответствующего максимально возможному значению модуля волнового вектора. Выделим шаровой слой, заключенный между двумя поверхностями k = const и k +dk = const . Объем этого слоя составляет . Разделив этот объем на объем элементарной ячейки и умножив на 2, поскольку в каждом состоянии могут находиться по два электрона с противоположно направленными спинами, получим число состояний в объеме шарового слоя:

. (3.10)

Согласно (3.9)

Подставляя значения k 2 и dk в формулу (3.10), получим

Учитывая (3.8), получим окончательное выражение для плотности квантовых состояний электронов у дна зоны проводимости:

(3.11)

Энергию дырок у потолка валентной зоны можно записать также в виде параболического закона:

(3.12)

где E v - энергия потолка валентной зоны, - эффективная масса дырки. Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены выше для электронов, приводят к следующему выражению для функции плотности состояний дырок вблизи потолка валентной зоны:

(3.13)

Следует подчеркнуть, что формулы (3.11) и (3.13) справедливы только для состояний вблизи экстремумов энергии, т.е. у дна или потолка энергетической зоны. В средней же части зоны точный вид функции g(E ) неизвестен. На рис. 3.4 схематически представлены зависимости плотности квантовых уровней вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике.

Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок

Вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника. Число электронов dN , находящихся в dZ состояниях энергетической зоны в соответствии с уравнением (3.1) определяется выражением

Учитывая, что dZ = g(E) dE , получим

. (3.14)

Общее число электронов в зоне проводимости найдем, проинтегрировав выражение (3.14) в пределах зоны

, (3.15)

здесь Е п - энергия потолка зоны проводимости. Поскольку функция распределения Ферми-Дирака очень быстро уменьшается с увеличением энергии, то верхний предел интегрирования можно взять равным бесконечности. Если степень заполнения энергетических состояний электронами в зоне проводимости мала (f(E) << 1), что практически всегда имеет место в полупроводниках, то единицей в знаменателе формулы (3.4) можно пренебречь. При этих условиях подстановка функций f(E) и g(E) в уравнение (3.15) приводит к следующему выражению для концентрации электронов в зоне проводимости:

. (3.16)

Преобразуем теперь выражение (3.16) к виду

Произведем замену переменных в подынтегральном выражении

В результате получим

Интеграл в этом выражении равен . Следовательно

(3.17)

где

. (3.18)

Величину N c называют эффективной плотностью состояний в зоне проводимости . Это название связано с тем, что полная концентрация электронов, распределенных в действительности в определенном энергетическом интервале в зоне проводимости, такая же, как если бы зона была занята N c уровнями, обладающими одной и той же энергией Е c .

Аналогично можно вычислить концентрацию дырок в валентной зоне. Поскольку вакантное состояние в валентной зоне образуется в результате перехода электрона из этого состояния в зону проводимости, то вероятность того, что состояние с энергией Е в валентной зоне не занято, равна .

Тогда концентрация дырок

здесь E v - потолок валентной зоны.

При условии, что газ дырок невырожденный, получим

(3.19)

где эффективная плотность состояний в валентной зоне

. (3.20)

Перемножая выражения (3.17) и (3.19), получим

(3.21)

где n i - концентрация собственных носителей заряда в полупроводнике, E g = E c - E v - ширина запрещенной зоны.

Соотношение (3.21) называется законом действующих масс . При выводе этого закона использовано предположение о том, что степень заполнения энергетических уровней носителями заряда много меньше единицы. Такой газ носителей называется невырожденным , а полупроводники - невырожденными .

В общем случае вырожденным газом в физике называется газ, свойства которого отличаются от свойств классического идеального газа вследствие квантово-механических свойств частиц газа. Вырожденный газ подчиняется квантово-механическим статистикам Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна, невырожденный газ - статистике Маквелла-Больцмана. Условием перехода газа в невырожденное состояние является выполнение неравенства f(E) << 1. Можно показать, что это условие для электронного газа эквивалентно следующему соотношению:

(3.22)

Аналогичное соотношение справедливо и для дырок с заменой n на p и на .

Вопрос о том, является газ носителей заряда в кристалле вырожденным или невырожденным определяется только его концентрацией и температурой. Подстановка численных значений величин, входящих в неравенство (3.22), приводит к выводу о том, что при комнатной температуре (Т ~ 300К) газ носителей будет невырожденным, если его концентрация значительно меньше 10 25 м -3 . Это условие выполняется практически для всех полупроводников. Поскольку концентрация электронов в зоне проводимости металлов превышает 10 28 м -3 , то электронный газ металлов всегда является вырожденным.

Таким образом, закон действующих масс выполняется для любого невырожденного полупроводника независимо от роли примесей, т.е. в любом невырожденном полупроводнике увеличение концентрации носителей одного знака приводит к уменьшению концентрации носителей противоположного знака. Следует отметить также, что произведение электронной и дырочной концентраций не зависит от положения уровня Ферми.

3.5. Уровень Ферми в полупроводниках

Понятия энергии Ферми и уровня Ферми были введены ранее для металлов. Поскольку в полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах, то энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми - это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E) = 1], а выше которой все уровни пусты [f(E ) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.

Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (n = p ), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (3.17) и (3.19), получим

Разрешая последнее равенство относительно Е F , получим

(3.23)

Если эффективные массы электронов и дырок равны [ = , = 0] уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.

Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (3.23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 3.5.

Для большинства полупроводников эффективная масса дырки не намного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb) , а ширина запрещенной зоны невелика (E g = 0,17 эВ), так что при Т > 450 K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде

, (3.24)

здесь N d - концентрация донорных уровней, n d - концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равна N d - n d ).

Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней N d на функцию распределения Ферми-Дирака:

, (3.25)

где Е d - энергия активации донорных уровней.

Подстановка в условие электронейтральности (3.24) концентраций электронов (3.17) и дырок (3.19), а также концентрации электронов на донорных уровнях (3.25) приводит к следующему уравнению относительно положения уровня Ферми Е F :

. (3.26)

При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (3.24) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (3.25).

Уравнение (3.26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (3.26) имеет вид

. (3.27)

Из уравнения (3.27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (3.27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем - к валентной зоне (рис. 3.6,а).

Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 3.6,б.

3.6. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми

Положение уровня Ферми в собственных и примесных полупроводниках связано с концентрацией носителей заряда, установившейсяпри данной температуре в состоянии термодинамического равновесия. Переброс электронов в зону проводимости за счет температурного возбуждения и возникновение в результате этого процесса дырок в валентной зоне называется термической генерацией свободных носителей заряда . Одновременно происходит и обратный процесс: электроны возвращаются в валентную зону, в результате чего исчезают электрон и дырка. Этот процесс называется рекомбинацией носителей заряда . Для количественного описания процессов генерации и рекомбинации носителей заряда в полупроводниках используют понятия скорости генерации , скорости рекомбинации и времени жизни носителей заряда.

Скорость генерации носителей - это число носителей, возбуждаемых в единичном объеме полупроводника за единицу времени.

Скорость рекомбинации носителей - это число носителей, рекомбинирующих в единице объема полупроводника за единицу времени.

Время жизни носителeй t - это среднее время от генерации носителя до его рекомбинации.

Из приведенных выше определений непосредственно следуют следующие соотношения между скоростями рекомбинации электронов R n и дырок R p и их временами жизни t n и t p соответственно:

(3.28)

Здесь учтено, что 1/ t - вероятность рекомбинации носителя за единицу времени.

При фиксированной температуре устанавливается термодинамическое равновесие, при котором процессы генерации и рекомбинации взаимно уравновешиваются. Такие носители, находящиеся в тепловом равновесии с кристаллической решеткой, называются равновесными .

Электропроводность полупроводника может быть возбуждена и другими способами, например, облучением светом, действием ионизирующих частиц, электрическим полем, инжекцией носителей через контакт и др. Во всех этих случаях дополнительно к равновесным носителям в полупроводнике возникают носители заряда, которые не будут находиться в состоянии теплового равновесия с кристаллом. Такие носители называются неравновесными .

Общую концентрацию электронов в зоне проводимости n в случае равновесных и неравновесных носителей можно представить в виде

, (3.29)

где n 0 – концентрация равновесных электронов; D n - концентрация неравновесных электронов.

Общая концентрация дырок

, (3.30)

где p 0 и D p - равновесная и неравновесная концентрации дырок соответственно.

Поскольку распределение Ферми-Дирака справедливо только для состояния термодинамического равновесия, то понятно, что статистика неравновесных носителей должна быть иной. В отсутствие термодинамического равновесия принято вводить два новых параметра распределения E Fn для электронов и E Fp для дырок. Эти параметры выбираюттаким образом, чтобы для концентраций электронов и дырок при наличии неравновесныхносителей выполнялись уравнения (3.17) и (3.19) соответственно при условии замены E F на E Fn для электронов и на E Fp для дырок. Величины E Fn и E Fp называют квазиуровнями Ферми электронов и дырок соответственно. Таким образом, в невырожденных полупроводниках справедливы уравнения

, (3.31)

В состоянии термодинамического равновесия квазиуровни Ферми совпадают с равновесным уровнем Ферми E F . Чем выше концентрация неравновесных носителей заряда, тем дальше отстоят квазиуровниФерми от уровня Ферми. Из уравнений (3.31), (3.32), (3.17) и (3.19) следует

. (3.33)

Это соотношение выражает связь между концентрациями электронов и дырок в неравновесном состоянии. Разность энергий характеризует отклонение от состояния термодинамического равновесия. Если np > n 0 · p 0 , то . Это условие соответствует инжекции (вбрасыванию) избыточных носителей. Если np < n 0 p 0 , то говорят об экстракции (обеднении) носителей.

Неравновесные носители играют важную роль в работе полупроводниковых приборов.

Вырожденный электронный газ в металле.

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если μ 0 – химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

(1)

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов = f (Е ), где f (Е ) – функция распределения электронов по состояниям. Из (1) следует, что при Т = 0 К функция распределений = 1, если E < μ 0 , и =0, если E > μ 0 ,. График этой функции приведен на рис. 15, а. В области энергий от 0 до μ 0 функция равна единице. При E = μ 0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = μ 0 , заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей μ 0 , свободны. Следовательно, μ 0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается Е F . ( Е F = μ 0). Поэтому распределение Ферми - Дирака обычно записывается в виде

(2)

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е F: , которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. с. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT << E F . Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура T 0 вырождения находится из условия kT 0 = E F . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т 0 ≈ 10 4 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака (2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT ) в окрестности Е F (рис. 15, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т = 0 К.) Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е F , возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше Е F . Вблизи границы Ферми при Е < Е F заполнение электронами меньше единицы, а при Е >Е F . - больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т ≈ 300 К и температуре вырождения T 0 = 3 10 4 К, - это 10 -5 от общего числа электронов.

Если (Е - Е F ) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми - Дирака переходит в распределение Максвелла - Больцмана.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Энергия (уровень) Фе́рми () системы невзаимодействующих фермионов - это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в её основном состоянии при абсолютном нуле температур . Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми - одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Физический смысл уровня Ферми: вероятность обнаружения частицы на уровне Ферми составляет 1/2 при любых температурах, кроме T = 0 {\displaystyle T=0} .

Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми .

Фермионы - частицы с полуцелым спином , обычно 1/2, такие как электроны - подчиняются принципу запрета Паули , согласно которому две одинаковые частицы, образуя квантово-механическую систему (например, атом), не могут принимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми - Дирака . Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания их энергии (например, заполнение электронами электронных орбиталей атома). Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния: в случае макроскопической системы различие не важно). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми . Частицы с энергией, равной энергии Ферми, двигаются со скоростью, называемой скоростью Фе́рми (только в случае изотропного дисперсионного соотношения в среде).

В свободном электронном газе (квантово-механическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу . Нечто подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла , используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале ). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми . Для свободного электронного газа, поверхность Ферми - поверхность сферы; для периодических систем она вообще имеет искаженную форму. Объём, заключённый под поверхностью Ферми, определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью . Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при ненулевых температурах

Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах можно считать k T ≪ μ {\displaystyle kT\ll \mu } . Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. (В другом предельном случае k T ≫ μ {\displaystyle kT\gg \mu } ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.)

В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

μ = E F [ 1 − π 2 12 (k T E F) 2 + π 4 80 (k T E F) 4 + … ] , {\displaystyle \mu =E_{F}\left,}

где E F {\displaystyle E_{F}} - энергия Ферми, k {\displaystyle k} - постоянная Больцмана , и T {\displaystyle T} - температура . Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми E F / k {\displaystyle E_{F}/k} . Характерная температура имеет порядок 10 5 для металла, следовательно при комнатной температуре (300 ), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми - Дирака [ ] .

Энергия Ферми, Температура Ферми и Скорость Ферми

Элемент	Энергия Ферми, эВ	Температура Ферми, *10 000 K	Скорость Ферми, *1000 км/с
Li	4.74	5.51	1.29
Na	3.24	3.77	1.07
K	2.12	2.46	0.86
Rb	1.85	2.15	0.81
Cs	1.59	1.84	0.75
Cu	7.00	8.16	1.57
Ag	5.49	6.38	1.39
Au	5.53	6.42	1.40
Be	14.3	16.6	2.25
Mg	7.08	8.23	1.58
Ca	4.69	5.44	1.28
Sr	3.93	4.57	1.18
Ba	3.64	4.23	1.13
Nb	5.32	6.18	1.37
Fe	11.1	13.0	1.98
Mn	10.9	12.7	1.96
Zn	9.47	11.0	1.83
Cd	7.47	8.68	1.62
Hg	7.13	8.29	1.58
Al	11.7	13.6	2.03
Ga	10.4	12.1	1.92
In	8.63	10.0	1.74
Tl	8.15	9.46	1.69
Sn	10.2	11.8	1.90
Pb	9.47	11.0	1.83
Bi	9.90	11.5	1.87
Sb	10.9	12.7	1.96
Ni	11.67		2.04
Cr	6.92		1.56

Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости

Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.