1 Краткая история возникновения корреляционного анализа

Начало применения математико-статистических приемов для изучения корреляционных зависимостей относится к 70 годам девятнадцатого столетия. Многие историки – статистики историю развития корреляции ведут от сороковых годов девятнадцатого столетия – от того времени, когда французский математик О. Браве предложил формулу для распределения двух случайных величин, удовлетворяющих требованиям закона нормального распределения.

Однако истинным основателем корреляционной теории считается английский математик – статистик К. Пирсон, создавший в конце девятнадцатого начале двадцатого веков данную теорию. В ней корреляция выступает как форма диалектической связи, при которой действует множество различных причин, как необходимых, так и случайных, как общих для обеих корреляционных величин, так и частных, влияющих только на одну из них. Причем, не все закономерные связи – причинные.

Развитие теории осуществлялось с помощью других исследований, когда основные положения теории корреляции были уже созданы. Причем в области изучения корреляций практика резко расходилась с теорией, ставя исследователей в такие условия, которые не удовлетворяли ее требованиям.

Основой формирования способов изучения корреляций и регрессий были данные, характеризующие какие-либо, количественно выраженные признаки. Поэтому исследователи на первых же шагах встретились с задачей корреляции качественных признаков, например, связь между цветом глаз у отцов и сыновей. Общий принцип, который был положен в основу конструкции показателей корреляции качественных признаков, заключался в том, что два качественных признака можно считать взаимосвязанными, если действие одного из них А при действии признака Б таково же, как и при действии признака не Б. В развитие этого принципа, и предлагались различные конструкции таких показателей, как, например, коэффициент средней квадратичной сопряженности Пирсона или коэффициент взаимной сопряженности Чупрова.

Изучение корреляции качественных признаков породило в общем учении о корреляции так называемую теорию рангов и основанную на ней теорию ранговой корреляции. Английский математик-статистик М. Кендалл, автор монографии, посвященной проблемам ранговой корреляции, указывал, что теория рангов впервые возникла как ответвление теории случайных процессов. На начальной стадии в рангах чаще всего видели просто удобный аппарат, благодаря которому удается обойтись без измерения абсолютной величины переменных и тем самым сэкономить время и усилия. Позднее статистика рангов смогла завоевать признание благодаря своим собственным достоинствам. Кендалл сконструировал показатель, который применим и для изучения частной корреляции между рангами. Современную теорию ранговой корреляции невозможно представить без наиболее полно ее освещающих исследований М. Кендалла.

Таким образом, уже к началу двадцатого столетия математико-статистические методы измерения корреляций и регрессий сложились в общем в достаточно стройную целостную систему, включающую в себя методы непараметрической статистики и непараметрические ранговые методы.

2 Непараметрические ранговые методы

Непараметрические ранговые методы – это бурно развивающаяся область математической статистики. История современных непараметрических методов, основанных на рангах, довольно коротка – всего лишь около 40 лет. Ранговые методы выделились в особое направление непараметрической статистики не только вследствие природы исходного материала, но и по идеям его дальнейшего использования. Сегодня этими методами решаются многие задачи анализа экономических, статистических, инженерных, естественнонаучных, социологических, медицинских данных.

Ранжирование – это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения. Ранг – это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Как показали статистические исследования, проведенные за последние 10-15 лет, ранговые методы в значительной мере лишены ряда недостатков для работы с малыми выборками, распределение которых неизвестно. Как известно, переход от самих наблюдений к их рангам сопровождается определенной потерей информации. Однако, эти потери не слишком велики. К сожалению, в настоящее время все еще сказывается нехватка специальной литературы по данному вопросу.

В последнее время в прогнозировании и при решении ряда других задач стали широко применяться экспертные оценки. Методы ранговой корреляции в этой области является едва ли не единственным путем обобщения экспертных оценок.

Теория рангов впервые возникла как ответвление теории случайных процессов. На начальной стадии в рангах чаще всего видели просто удобный аппарат, благодаря которому удается обойтись без изменения абсолютной величины переменных и тем самым сэкономить время или усилия. Благодаря использованию рангов можно было избежать трудностей, связанных с построением объективной шкалы абсолютных значений. Позднее статистика рангов смогла завоевать признание благодаря своим собственным достоинствам.

Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные способы упорядочения изучаемых объектов:

Задача может сводиться просто к упорядочению объектов по месту, которое они занимают в пространстве или во времени. Например, карты были расположены в колоде в некотором порядке, а затем перетасованы. Новое расположение карт также характеризуется определенным порядком, ранжированием. Сравнив его со старым, можно увидеть, насколько тщательно были перетасованы карты. В этой задаче интересно только общее расположение карт в колоде, и нет необходимости упорядочить объекты в соответствии с “возрастанием” или “убыванием” того или иного присущего всем им признака;

Упорядочить объекты можно и по некоторому качеству, для которого не существует объективной абсолютной шкалы изменения. Можно, например, ранжировать образцы горных пород по твердости, исходя из следующего простого критерия: А тверже Б, если А оставляет царапину на Б, когда они соприкасаются. Если А оставляет царапину на Б, а Б – на В, то А будет оставлять царапину на В. Таким образом, прибегнув к ряду сопоставлений, можно с достаточной точностью упорядочить рассматриваемые объекты (если только набор не включает такие два объекта, которые обладают одинаковой твердостью). Однако подобный способ не позволяет измерить абсолютную величину твердости горных пород. Всегда можно установить, что А тверже Б. Однако до тех пор, пока не построена та или иная шкала измерения абсолютных величин, нельзя утверждать, что А, скажем, вдвое тверже Б;

Упорядочение может проводиться в соответствии с измеряемой (или теоретически исчисляемой) величиной некоторого признака. Например, можно располагать людей в том или ином порядке в зависимости от их роста, а города по численности населения. При этом не всегда требуется прибегать к самому процессу измерения: можно «на глаз» построить группу студентов по росту; однако в таких случаях критерий, по которому происходит ранжирование, должен допускать возможность непосредственных сопоставлений.

Можно упорядочить объекты по некоторому признаку, величину которого, в принципе, можно измерить, но на практике (или даже теоретически) не удается прибегнуть к такому измерению в силу тех или иных причин. Например, можно упорядочить ряд лиц по их интеллектуальным способностям, полагая, что такое качество действительно существует и что можно разместить людей в том или ином порядке в соответствии с интенсивностью этого признака.

В практических приложениях методов, основанных на ранжировании, иногда сталкиваются со случаями, когда два или несколько объектов настолько подобны, что не удается отдать предпочтение одному из них. Когда эксперт ранжирует объект на основе субъективных суждений, то это свойство (отсутствие предпочтений) связано с истиной их неразличимостью или неспособностью исследователя найти существенные различия. В этом случае говорят, что такой объект называется связанным.

Например, студентов расположили в соответствии с их достоинствами или экзаменационными баллами. Метод, который принимается для предписания числовых значений рангов связанных объектов, заключается в усреднении рангов, которые они имели бы, если были различимы. Например, если связывают третий и четвертый объекты, то каждому приписывают ранг, равный 3,5, если же связывают объекты от второго до седьмого, то получаемый ранг равен 4,5.

Иногда такой подход называется “методом средних рангов”. Когда нет основания для выбора между объектами, то ясно, что в этом случае нужно приписать всем одинаковые ранги. Преимуществом данного метода является то, что сумма рангов для всех объектов остается точно такой же как и при ранжировании без связей.

В анализе социально – экономических явлений часто приходится прибегать к различным, условным оценкам с помощью рангов, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи.

3 Коэффициент конкордации рангов Кендалла

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент корреляции (коэффициент конкордации).

В практике статистических исследований встречаются случаи, когда совокупность объектов характеризуется не двумя, а несколькими последовательностями рангов, необходимо установить статистическую связь между несколькими переменными. В качестве такого измерителя используют множественный коэффициент корреляции (коэффициент конкордации) рангов Кендалла, определяемой по следующей формуле:

где W – коэффициент конкордации;

D – сумма квадратов рангов рассчитывается по формуле (2);

n – число объектов ранжируемого признака (число экспертов);

m – число анализируемых порядковых переменных.

В некотором смысле W служит мерой общности.

, (2)

где r ij – расставленные ранги суждений группы экспертов;

n – число объектов(число экспертов).

Значения коэффициентов конкордации заключены на отрезке .

Увеличение коэффициента от 0 к 1 означает проявление большей согласованности суждений. Если все эти суждения совпадают, то W=1.

Проверка значимости коэффициента основана на том, что в случае справедливости нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи при n>7 статистика m(n-1)* W имеет приближенно – распределение с k=n-1 степенями свободы. Поэтому коэффициент конкордации значим на уровне =0,05, если m(n-1)W> .

		События С
	эксперт j = 1
экспертов a ij	эксперт j = 2
	эксперт j = 1
важности а ij	эксперт j = 2
Суммарный ранг важности а i

Среднее значение для суммарных рангов рассматриваемого ряда

Суммарное квадратическое отклонение Sсуммарных событий от среднего значения а есть

называемое коэффициентом конкордации. Величина Wизменяется в пределах от 0 до 1. При W = 0 согласованности совершенно нет, т.е. связь между оценками различных экспертов отсутствует. Наоборот, при W = 1 согласованность мнений экспертов полная.

В том случае, если последовательность (5.2) кроме строгих нера­венств имеет равенства, т.е. существует совпадение рангов, то формула для вычисления коэффициента конкордации имеет вид

Когда ранги повторяются, то для получения нормальной ранжи­ровки, имеющей среднее значение ранга, равное

необходимо приписать событиям, имеющим одинаковые ранги, ранг, равный среднему значению мест, которые эти события поделили между собой.

Например, получена следующая ранжировка событий:

Ранги а i

События 2 и 5 поделили между собой второе и третье места. Зна­чит, им приписывается ранг

события 3, 4 и 6 поделили между собой четвертое, пятое, шестое места, и им приписывается ранг

Таким образом, получаем нормальную ранжировку:

Ранги а" i

Пример. Рассмотрим ранжированиеm= 10 событий р = 3 экспер­тами;N,Q,R. Результаты расчетов представлены в табл. 5.3.

Для крайних значений коэффициента конкордации могут быть вы­сказаны следующие предположения. Если W= 0, то согласованности в оценках нет, поэтому для получения достоверных оценок следует уточ­нить исходные данные о событиях и (либо) изменить состав группы экс­пертов. При W = 1 далеко не всегда можно считать полученные оценки объективными, поскольку иногда оказывается, что все члены экспертной группы заранее сговорились, защищая свои общие интересы.

Необходимо, чтобы найденное значение W было больше заданного значения W 3 (W >W 3). Можно принятьW 3 = 0,5, т.е. при W > 0.5 дейст­вия экспертов в большей степени согласованы, чем не согласованы. При W < 0,5 полученные оценки нельзя считать достоверными, и поэтому следует повторить опрос заново. Жесткость данного утверждения опреде­ляется важностью проводимого исследования и возможностью повторной экспертизы. Практика показывает, что очень часто этим требованием пренебрегают.

Расчет коэффициента W при учете компетентности экспертов при­водится в работе .

Достаточно хорошо аппроксимирует Р. с. Т, и разность пренебрежимо мала, когда . При справедливости гипотезы H 0 , согласно к-рой компоненты Х 1 , ... , Х n случайного вектора Xсуть независимые случайные величины, проекция Р. с. Топределяется по формуле

где (см. ).

Существует внутренняя связь между Р. с. и . Как показано в , при справедливости гипотезы H 0 проекция коэффициента корреляции Кендалла в семейство линейных Р. с. с точностью до постоянного множителя совпадает с коэффициентом ранговой корреляции Спирмена , а именно:

Из этого равенства следует, что коэффициент корреляции соrr между и равен

т. е. при больших пР. с. и асимптотически эквивалентны (см. ).

Лит. : Г а е к Я., Ш и д а к З., Теория ранговых критериев, пер. с англ., М., 1971; К е n d a l l M. G., Rank correlation methods, 4ed., L., 1970. М. С. Никулин.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "РАНГОВАЯ СТАТИСТИКА" в других словарях:

ранговая статистика - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN rank statistics … Справочник технического переводчика

У этого термина существуют и другие значения, см. Статистика (значения). Статистика (в узком смысле) это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В широком смысле термин (математическая)… … Википедия

- (statistics) 1. Совокупность данных и математических методов, используемых для изучения связей между различными переменными. Она включает такие методы, как линейная регрессия (linear regression) и ранговая корреляция. 2. Значения, использующиеся… … Экономический словарь

СТАТИСТИКА - 1. Вид деятельности, направленной на получение, обработку и анализ информации, характеризующей количественные закономерности жизни об ва во всем ее многообразии, в неразрывной связи с ее качественным содержанием. В более узком смысле слова… … Российская социологическая энциклопедия

- (non parametric statistics) Статистические технические приемы, которые не допускают особенных функциональных форм для отношений между переменными. Ранговая корреляция двух переменных является тому примером. Использование подобных технических… … Экономический словарь - К. м., получившие свое назв. благодаря тому, что основываются на «со отношении» («co relation») переменных, представляют собой статистические методы, начало к рым было положено в работах Карла Пирсона примерно в конце XIX в. Они тесно связаны с… … Психологическая энциклопедия

Разработчик Digital Illusions CE Издатель … Википедия

Карл Пирсон Karl (Carl) Pearson Дата рождения … Википедия

В анализе социально-экономических явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам с помощью рангов, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи.

Ранжирование - это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения.

Ранг - это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической из соответствующих номеров мест, которые они определяют. Данные ранги называются связными.

Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты корреляции Спирмена (р1?/) и Кендалла (т^). Эти коэффициенты могут быть использованы для определения тесноты связи между как количественными, так и качественными признаками.

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывают по формуле

где (11 - квадраты разности рангов; п - число наблюдений (число пар рангов).

Коэффициент Спирмена принимает любые значения в интервале [-1; 1].

Пример. 11о данным о покупке и продаже гражданами субъектов Приволжского федерального округа РФ валюты через кредитные организации в 2010 г. определим зависимость между этими признаками с помощью коэффициента Спирмена (табл. 7.14).

Таблица 7.14. Расчет коэффициента Спирмена

Субъект	Покупка валюты х, млн руб.	Продажа валюты у, млн руб.	Ранг		поп а рангов	Квадрат разности рангов $
			К	Ry
1. Республика Башкортостан
2. Республика Марий Эл
3. Республика Мордовия
4. Республика Татарстан
5. Удмуртская Республика
6. Чувашская Республики
7. Пермский край
8. Кировская область
9. Нижегородская область
10. Оренбургская область
11. Пензенская область
12. Самарская область
13. Саратовская область
14. Ульяновская область

Рассчитаем коэффициент корреляции рангов Спирмена:

В результате расчета мы определили, что связь между покупкой и продажей валюты гражданами субъектов Приволжского федерального округа РФ через кредитные организации в 2010 г. сильная, близкая к функциональной.

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла также используют для измерения степени тесноты и направления связи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты и ранжированными по одному принципу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляют но формуле

где 5 - сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку; п - число наблюдений.

Расчет данного коэффициента выполняется в такой последовательности.

• 1. Значения х ранжируются в порядке возрастания или убывания.
• 2. Значения у располагаются в порядке, соответствующем значениям х.
• 3. Для каждого ранга у определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Таким образом, путем сложения чисел определяется величина Р как мера соответствия последовательностей рангов пох и у, которая учитывается со знаком "+".
• 4. Для каждого ранга у определяется число следующих за ним значений рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через (2 и фиксируется со знаком "-".
• 5. Определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Связь между признаками признается статистически значимой, если коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0,5.

По данным табл. 7.14 получены результаты, представленные в табл. 7.15.

Таким образом, ранговый коэффициент корреляции Кендалла составит

Таблица 7.15.

что также свидетельствует о сильной связи между покупкой и продажей валюты гражданами субъектов Приволжского федерального округа РФ через кредитные организации в 2009 г.

Множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) применяют для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков. Его вычисляют по формуле

где 5 - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов; т - количество факторов; п - число наблюдений.

Пример. Определим степень тесноты связи между такими основными показателями торговли технологиями со странами СНГ в 2010 г., как число экспортных соглашений, стоимость предмета соглашения и поступление средств (табл. 7.16).

Таблица 7.16. Расчет коэффициента конкордации

Страна	Число соглашений X	Стоимость предмета соглашения у, млн долл.	Поступление средств за год г, млн долл.	К			Сумма строк	Квадрат суммы
1. Азербайджан
2. Армения
3. Беларусь
4. Казахстан
5. Киргизия
6. Республика Молдова

Коэффициент тесноты связи между признаками, рассмотренный в предыдущем разделе, можно применять, если изучаемые признаки являются количественными. При этом используется вычисление основных параметров распределения (средних величин, дисперсий), т.е. параметрический метод.

В статистической практике изучения общественно-экономических явлений и процессов приходится сталкиваться с задачами измерения связи между качественными признаками, к которым параметрические методы анализа в их обычном виде неприменимы. В этом случае используют так называемые непараметрические методы.

В анализе социально-экономических явлений широко используются ранговые коэффициенты корреляции (коэффициенты корреляции рангов), когда коррелируют не непосредственные значения х и у, а их ранги, т.е. номера их мест, занимаемых в каждом ряду значений по возрастанию или убыванию. К таким непараметрическим коэффициентам относятся коэффициенты рангов Спирмена и Кендалла.

Если п вариантов ряда расположены в соответствии с возрастанием или убыванием признака х, то говорят, что объекты ранжированы по этому признаку. Ранг для х,- указывает место, которое занимает i-e значение признака среди других п значений признака х (/ = 1,2,___, п).

Например, при исследовании рынка можно задаться целью выяснения предпочтений потребителей при выборе товара (при покупке акций, мороженого, автомобиля и т.п.) таким образом, чтобы они распределили товар в порядке возрастания (или убывания) своих потребительских предпочтений. Если имеется два набора ранжированных данных, то можно установить степень линейной зависимости между ними.

Пример 6.7. Предположим, имеется 5 продуктов (табл. 6.7), которые ранжированы по порядку предпочтений от 1 до 5 в соответствии с двумя характеристиками Aw В.

Исходные ранжировки

Таблица 6 .7

Необходимо исследовать тесноту статистической связи между характеристиками.

Решение. Использование для определения интенсивности связи между признаками коэффициента Пирсона будет неверным, так как этот коэффициент применяется для признаков, измеряемых количественно. Так, например, при определении взаимосвязи между ростом и весом мы измеряем рост в сантиметрах, а вес в килограммах, при этом есть возможность точно определить на шкале измерений разность значений этих признаков для любого человека (иначе - расстояние между ними на шкале измерений). Возьмем признак, измеренный в ранговой шкале, - экзаменационная оценка. Значит ли, что у получившего двойку студента знаний в два раза меньше, чем у того, кто получил четверку? Или двое студентов, получивших тройки, имеют абсолютно одинаковый уровень знаний? Ответ - нет, преподаватель упорядочивает их уровень знаний в определенной последовательности, в соответствии с критериями оценки знаний по конкретному предмету, но расстояние между значениями признаков на такой шкале не является строго фиксированным.

Для определения наличия взаимосвязи между ранговыми оценками используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Его расчет основан на различиях между рангами.

Обозначим разность рангов d = ранг А ~ ранг В.

Коэффициент Спирмена

где п - число пар ранжированных наблюдений.

В примере имеем пять пар рангов, следовательно, п- 5. Сумма ct равна

Тогда коэффициент Спирмена

Коэффициент Спирмена изменяется в интервале [-1; 1] и интерпретируется так же, как и коэффициент Пирсона. Отличие в том, что он вычисляется для ранжированных данных.

Значение 0,6 позволяет сделать вывод о заметной линейной связи между двумя характеристиками товаров.

Значимость коэффициента Спирмена проверяется на основе t критерия Стьюдента по формуле

Значение коэффициента считается существенным, если t paсч > > 6фит;а (и - 2) для заданного уровня значимости а.

Коэффициент корреляции рангов (при условии, что ранги не повторяются) может быть рассчитан и по формуле, предложенной английским статистиком М. Кендаллом:

где S - фактическая разность рангов; ~ п (п - l) - максимальная сумма рангов.

Этот коэффициент изменяется в интервале от [-1; 1] и интерпретируется так же, как и коэффициент Пирсона, но дает более строгую

оценку связи, чем коэффициент Спирмена, причем р = - т. Это соотношение выполняется при большом числе наблюдений (п > 30), и слабых либо умеренно тесных связях.

При расчете коэффициента Кендалла соблюдается следующая последовательность действий:

• 1. Значения х ранжируются в порядке возрастания.
• 2. Значения у располагаются в порядке, соответствующем значениям х.
• 3. Для каждого ранга у определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Результат записывается в столбец «+».
• 4. Для каждого ранга у определяется число следующих за ним меньших значений рангов. Результат записывается в столбец «-».
• 5. Находится сумма в столбце «+» и обозначается Р, в столбце «-» и обозначается Q. Определяется S = P- Q.

Значимость коэффициента корреляции рангов Кендалла проверяется по формуле

где щ_ а/2 (п - 2) - квантиль, определяемый по таблице нормального распределения для выбранного уровня значимости а и заданного п.

Пример 6.8. Рассчитаем коэффициент Кендалла на основании данных примера 6.7.

Решение. Проведем необходимые расчеты в табл. 6.8.

Действительно, если полученное значение т умножить на 1,5, то получим 0,6 - значение коэффициента Спирмена, рассчитанное в примере 6.7.

Расчетная таблица

Рассмотрим корреляцию альтернативных признаков, т.е.признаков, принимающих только два возможных значения. Исследования их корреляции основано на показателях, построенных на четырехклеточных таблицах, в которые сводится число единиц для заданных значений признаков:

Решение. Для измерения тесноты взаимосвязи признаков производится расчет коэффициента контингенции по формуле

Коэффициент контингенции принимает значения на интервале [-1; 1 ]. Интерпретация аналогична коэффициенту корреляции. Мы получили слабую отрицательную связь.

Другой метод измерения связи основан на расчете коэффициента ассоциации:

„ л 30x5-20x15 л „

Получим: Q =-= -0,33

Знак «минус» перед коэффициентом указывает на то, что чем больше студентов было привито от гриппа, тем ниже заболеваемость.

Коэффициент контингенции всегда бывает меньше коэффициента ассоциации и дает более корректную оценку тесноты связи.

Для оценки тесноты связи между признаками, принимающими любое число вариантов значений (категориальные, номинальные признаки), применяется коэффициент взаимной сопряженности Пирсона. Основой изучения связи между категориальными признаками служит таблица сопряженности - двумерное распределение единиц совокупности по признакам. Вся информация о наличии или отсутствии связи содержится в совместных частотах сочетаний признаков.

Информация для оценки этой связи группируется в виде таблицы (например, для трех значений первого признака и двух - второго), табл. 6.10.

Таблица 6.10

Пример таблицы сопряженности

Признак				Итого
	Ъгпц			ЪЪгпц

Обозначения: ту - частоты взаимного сочетания двух атрибутивных признаков; п = YLmy - число наблюдений.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона определяется по формуле

где ср - показатель средней квадратической сопряженности:

Коэффициент взаимной сопряженности принимает значения в интервале и интерпретируется подобно коэффициенту парной линейной корреляции Пирсона.

Пример 6.10. Для изучения влияния условий труда на взаимоотношения в коллективе было проведено выборочное обследование 250 работников предприятия, ответы которых распределились, как представлено в табл. 6.11.

Таблица 6.11

Исходные данные об условиях труда и взаимоотношениях в коллективе

Требуется охарактеризовать связь между исследуемыми показателями с помощью коэффициента взаимной сопряженности Пирсона.

Решение.

Полученное значение коэффициента сопряженности свидетельствует, что связь между условиями труда и взаимоотношениями в коллективе умеренная.