Yksinkertainen algoritmi äärimmäisyyksien löytämiseen..

• Funktion derivaatan löytäminen
• Yhdistä tämä derivaatta nollaan
• Löydämme tuloksena olevan lausekkeen muuttujan arvot (muuttujan arvot, jossa derivaatta muunnetaan nollaksi)
• Jaamme koordinaattiviivan intervalleiksi näillä arvoilla (samaan aikaan emme saa unohtaa katkaisukohtia, joita on myös sovellettava linjaan), kaikkia näitä pisteitä kutsutaan "epäilyttäväksi" pisteeksi ääripäälle
• Laskemme millä näistä intervalleista derivaatta on positiivinen ja millä negatiivinen. Tätä varten sinun on korvattava arvo väliltä derivaatta.

Pisteistä, joita epäillään ääripäästä, on löydettävä tarkasti . Tätä varten tarkastelemme aukkojamme koordinaattiviivalla. Jos derivaatan merkki vaihtuu plussasta miinukseksi kulkiessaan jonkin pisteen läpi, niin tämä piste on enimmäismäärä, ja jos miinuksesta plussaan, niin minimi.

Löytääksesi funktion suurimman ja pienimmän arvon, sinun on laskettava funktion arvo segmentin päissä ja ääripisteissä. Valitse sitten suurin ja pienin arvo.

Harkitse esimerkkiä
Etsimme derivaatan ja rinnastamme sen nollaan:

Käytämme saatuja muuttujien arvoja koordinaattiviivalle ja laskemme derivaatan etumerkin kullakin välillä. No, esimerkiksi ensimmäiseksi-2 , niin derivaatta on-0,24 , toiselle otolle0 , niin derivaatta on2 , ja kolmannen otamme2 , niin derivaatta on-0,24. Laitoimme asianmukaiset merkit.

Näemme, että kulkiessaan pisteen -1 kautta derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussaan, eli se on minimipiste, ja kun kuljetaan 1:n kautta, plus miinus, tämä on maksimipiste.

1°

1°. Funktion ääripään määrittäminen.

Kahden muuttujan funktion maksimi-, minimi-, ääriarvokäsite on samanlainen kuin vastaavat yhden riippumattoman muuttujan funktion käsitteet.

Anna toiminnon z=f(x; y) määritelty jollain alueella D, piste N(x 0;y0) D.

Piste (x 0;y0) kutsutaan pisteeksi enimmäismäärä toimintoja z= f(x;y ), jos sellainen pisteen -naapuri on olemassa (x 0;v 0), että jokaiselle pisteelle (x; y), erilainen (x 0;y0) tämä naapurusto tyydyttää eriarvoisuuden f(x;y )< f(x 0;y0). Kuva 12: N 1 - maksimipiste, a N 2 - funktion minimipiste z=f(x;y ).

Pointti minimi toiminnot: kaikille pisteille (x 0;v 0), muu kuin (x 0;v 0), pisteen d-naapurustosta (x 0;y0) seuraava epätasa-arvo pätee: f(x 0;y 0) >f(x 0;y0).

Samalla tavalla määritetään kolmen tai useamman muuttujan funktion ääriarvo.

Kutsutaan funktion arvo maksimipisteessä (minimi). maksimi (minimi) toimintoja.

Kutsutaan funktion maksimi ja minimi äärimmäinen.

Huomaa, että määritelmän mukaan funktion ääripiste sijaitsee funktion toimialueen sisällä; maksimi ja minimi ovat paikallinen(paikallinen) merkki: funktion arvo pisteessä (x 0;y0) verrataan sen arvoihin riittävän lähellä olevissa kohdissa (x 0;y0). Alueella D Funktiolla voi olla useita ääripäitä tai ei yhtään.

2°. Ekstreemin välttämättömät olosuhteet.

Tarkastellaan funktion ääripään olemassaolon ehtoja.

Geometrisesti tasainen f"y (x 0;y0)= 0 ja f"y (x 0;y 0) = 0 tarkoittaa, että funktion ääripisteessä z = f(x; y) funktiota kuvaavan pinnan tangenttitaso f(x; y), yhdensuuntainen tason kanssa Oh hu koska tangentin tasoyhtälö on z=z0.

Kommentti. Funktiolla voi olla ääriarvo pisteissä, joissa ainakin yhtä osittaisderivaattaista ei ole. Esimerkiksi funktio on maksimi pisteessä NOIN(0;0), mutta sillä ei ole osittaisia ​​derivaattoja tässä vaiheessa.

Piste, jossa funktion ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat z = f(x;y ) ovat yhtä kuin nolla, ts. f"x = 0, f" y= 0, soitettu paikallaan oleva piste toimintoja z.

Kutsutaan paikallaan olevia pisteitä ja pisteitä, joissa ei ole vähintään yhtä osittaista derivaattaa kriittiset kohdat.

Kriittisissä pisteissä funktiolla voi olla ääriarvo tai ei. Osittaisten johdannaisten yhtäläisyys nollaan on välttämätön, mutta ei riittävä ehto ääripään olemassaololle. Harkitse esimerkiksi funktiota z = hu. Sille piste 0(0; 0) on kriittinen (ne katoavat siinä). Kuitenkin ääripää toimii siinä z = xy ei ole, koska pisteen O(0;0) riittävän pienessä ympäristössä on pisteitä, joille z > 0 (pisteet I ja III neljännes) ja z< 0 (pisteet II ja IV neljännes).

Siten funktion ääripisteiden löytämiseksi tietyltä alueelta on tarpeen suorittaa funktion jokainen kriittinen piste lisätutkimuksella.

Kiinteät pisteet löydetään ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä

fx (x, y) \u003d 0, f "y (x, y) \u003d 0

(ääripään välttämättömät ehdot).

Järjestelmä (1) vastaa yhtä yhtälöä df(x, y)=0. Yleensä ääripisteessä P(a, b) toimintoja f(x, y) tai df(x, y)=0, tai df(a, b) ei ole olemassa.

3°. Riittävät olosuhteet ääripäälle. Antaa P(a; b)- toiminnon kiinteä piste f(x, y), eli . df(а, b) = 0. Sitten:

ja jos d2f (a, b)< 0 klo , sitten f(a, b) On enimmäismäärä toimintoja f (x, y);

b) jos d2f (а, b) > 0 klo , sitten f(a, b)On minimi toimintoja f (x,y);

c) jos d2f (a, b) vaihtaa merkkiä sitten f (a, b) ei ole funktion ääriarvo f (x, y).

Yllä olevat ehdot vastaavat seuraavia: anna Ja . Sävellytään syrjivä ∆=AC-B2.

1) jos Δ > 0, niin funktiolla on pisteessä ääriarvo P (a; b) eli maksimi jos A<0 (tai KANSSA<0 ), ja minimi jos A>0(tai С>0);

2) jos Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) Ei;

3) jos Δ = 0, niin kysymys funktion ääripään olemassaolosta pisteessä P(a; b) jää auki (vaatii lisätutkimuksia).

4°. Monen muuttujan funktion tapaus. Kolmen tai useamman muuttujan funktiolle välttämättömät ehdot ääripään olemassaololle ovat samanlaiset kuin ehdot (1) ja riittävät ehdot ovat samanlaiset kuin ehdot a), b), c) 3°.

Esimerkki. Tutki ääripään funktiota z=x³+3xy²-15x-12y.

Ratkaisu. Etsitään osittaiset derivaatat ja laaditaan yhtälöjärjestelmä (1):

Ratkaisemalla järjestelmän saamme neljä kiinteää pistettä:

Etsitään 2. kertaluvun johdannaisia

ja tehdä erottaja ∆=AC - B² jokaiselle paikallaan olevalle pisteelle.

1) Kohdalle: , ∆ = AC-B² = 36-144<0 . Joten pisteessä ei ole ääripäätä.

2) Kohta P2: A = 12, B = 6, C = 12; Δ=144-36>0, A>0. Pisteessä P2 funktiolla on minimi. Tämä minimi on yhtä suuri kuin funktion arvo at x = 2, y = 1: zmin = 8 + 6-30-12 = -28.

3) Kohdalle: A = -6, B = -12, C = -6; A = 36-144<0 . Ei ole äärimmäistä.

4) Kohta P 4: A = -12, B = -6, C = -12; Δ=144-36>0. Pisteessä P4 funktion maksimi on yhtä suuri kuin Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Ehdollinen ääripää. Yksinkertaisimmassa tapauksessa ehdollinen ääripää toimintoja f(x,y) on tämän funktion maksimi tai minimi, joka saavutetaan sillä ehdolla, että sen argumentit liittyvät yhtälöön φ(x,y)=0 (yhteysyhtälö). Löytää funktion ehdollinen ääripää f(x, y) suhteen läsnä ollessa φ(x, y) = 0, muodostavat ns Lagrange-toiminto

F(x ,y )=f(x ,y )+λφ (x ,y ),

missä λ on määrittelemätön vakiotekijä, ja etsi tämän apufunktion tavallinen ääriarvo. Ekstreemin välttämättömät ehdot pelkistetään kolmen yhtälön järjestelmäksi

kolmen tuntemattoman kanssa x, y, λ, josta yleisesti ottaen nämä tuntemattomat voidaan määrittää.

Kysymys ehdollisen ääripään olemassaolosta ja luonteesta ratkaistaan ​​Lagrangen funktion toisen differentiaalin etumerkin tutkimisen perusteella.

testatulle arvojärjestelmälle x, y, λ saatu kohdasta 2 edellyttäen, että dx Ja du liittyy yhtälöön

.

Nimittäin toiminto f(x,y) sisältää ehdollisen maksimiarvon jos d²F< 0 ja ehdollinen minimi jos d²F>0. Erityisesti, jos funktion diskriminantti Δ F(x, y) paikallaan olevassa pisteessä on positiivinen, niin tässä pisteessä on funktion ehdollinen maksimi f(x, y), Jos A< 0 (tai KANSSA< 0), ja ehdollinen minimi, jos A > O(tai С>0).

Vastaavasti kolmen tai useamman muuttujan funktion ehdollinen ääripää löytyy yhden tai useamman yhteysyhtälön (joiden lukumäärän on kuitenkin oltava pienempi kuin muuttujien lukumäärä) läsnä ollessa. Tässä on tarpeen lisätä Lagrange-funktioon niin monta määräämätöntä tekijää kuin on yhteysyhtälöitä.

Esimerkki. Etsi funktion ääripää z = 6-4x-3y edellyttäen, että muuttujat X Ja klo täyttää yhtälön x²+y²=1.

Ratkaisu. Geometrisesti ongelma rajoittuu sovelluksen suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseen z kone z = 6 - 4x - Zu sylinterin leikkauspisteille x2+y2=1.

Luo Lagrange-funktio F(x,y)=6-4x-3y+λ(x2+y2-1).

Meillä on . Tarvittavat ehdot antavat yhtälöjärjestelmän

ratkaisu, jonka löydämme:

.

,

d²F = 2λ (dx²+dy²).

Jos ja sitten d²F > 0, ja siksi tässä vaiheessa funktiolla on ehdollinen minimi. Jos ja sitten d²F<0, ja siksi tässä vaiheessa funktiolla on ehdollinen maksimi.

Täten,

6°. Toiminnon suurimmat ja pienimmät arvot.

Anna toiminnon z=f(x; y) määritelty ja jatkuva rajoitetussa suljetussa verkkotunnuksessa . Sitten se saavuttaa joissain kohdissa hänen suurin M ja vähiten T arvot (ns. globaali äärimmäinen). Nämä arvot saavutetaan funktiolla alueen sisällä sijaitsevissa pisteissä , tai alueen rajalla sijaitsevissa pisteissä.

Toimintoarvot sekä maksimi- ja minimipisteet

Funktion suurin arvo

Funktion pienin arvo

Kuten kummisetä sanoi: "Ei mitään henkilökohtaista." Vain johdannaiset!

Tilastojen tehtävää 12 pidetään melko vaikeana, ja kaikki siksi, että kaverit eivät lukeneet tätä artikkelia (vitsi). Useimmissa tapauksissa syy on huolimattomuudesta.

12 tehtävää on kahta tyyppiä:

1. Etsi korkein/matalin piste (pyytää löytämään "x"-arvot).
2. Etsi ominaisuuden suurin/pienin arvo (pyydetään löytämään "y"-arvot).

Kuinka toimia näissä tapauksissa?

Etsi korkea/matalin piste

1. Vertaa se nollaan.
2. Löytyi tai löytyi "x", ja se on vähimmäis- tai enimmäispiste.
3. Määritä merkit intervallimenetelmällä ja valitse mikä piste tehtävässä tarvitaan.

Tehtävät kokeen yhteydessä:

Etsi funktion maksimipiste

• Otamme johdannaisen:

Aivan oikein, ensin funktio kasvaa, sitten pienenee - tämä on maksimipiste!
Vastaus: -15

Etsi funktion minimipiste

• Muunna ja ota johdannainen:

• Loistava! Ensin funktio pienenee, sitten kasvaa - tämä on minimipiste!

Vastaus: -2

Etsi funktion suurin/pienin arvo

1. Ota ehdotetun funktion derivaatta.
   
2. Vertaa se nollaan.
   
3. Löytynyt "x" on minimi- tai maksimipiste.
   
4. Määritä merkit intervallimenetelmällä ja valitse mikä piste tehtävässä tarvitaan.
5. Tällaisissa tehtävissä asetetaan aina aukko: kappaleen 3 x:t on sisällytettävä tähän aukkoon.
6. Korvaa alkuperäisessä yhtälössä saadun maksimi- tai minimipisteen, saamme funktion suurimman tai pienimmän arvon.

Tehtävät kokeen yhteydessä:

Etsi funktion suurin arvo väliltä [−4; −1]

Vastaus: -6

Etsi segmentin funktion suurin arvo

• Funktion suurin arvo on "11" maksimipisteessä (tässä segmentissä) "0".

Vastaus: 11

Johtopäätökset:

1. 70% virheistä on, että kaverit eivät muista mitä vastasivat funktion suurin / pienin arvo, joka sinun täytyy kirjoittaa "y", ja edelleen kirjoita maksimi/minimipiste "x".
2. Onko derivaatalla ratkaisu funktioarvojen etsimiseen? Sillä ei ole väliä, korvaa aukon äärimmäiset kohdat!
3. Vastaus voidaan aina kirjoittaa numerona tai desimaalina. Ei? Vaihda sitten esimerkkiä.
4. Useimmissa tehtävissä saadaan yksi piste ja laiskuus tarkistaa maksimi- tai minimiarvo on perusteltua. Saimme yhden pisteen - voit kirjoittaa vastaukseksi turvallisesti.
5. Ja täällä Kun etsit funktion arvoa, sinun ei pitäisi tehdä tätä! Varmista, että tämä on haluttu piste, muuten raon ääriarvot voivat olla suurempia tai pienempiä.

Tästä artikkelista lukija oppii, mikä on toiminnallisen arvon ääriarvo, sekä sen käytännön ominaisuuksista. Tällaisen käsitteen tutkiminen on erittäin tärkeää korkeamman matematiikan perusteiden ymmärtämiseksi. Tämä aihe on olennainen kurssin syvemmälle tutkimiselle.

Yhteydessä

Mikä on ääripää?

Koulukurssilla annetaan monia määritelmiä "äärimmäisyyden" käsitteelle. Tämän artikkelin tarkoituksena on antaa syvin ja selkein käsitys termistä niille, jotka eivät tiedä asiasta. Joten termi ymmärretään, missä määrin toiminnallinen intervalli saa minimi- tai maksimiarvon tietyssä joukossa.

Ekstreemi on sekä funktion minimi- että maksimiarvo samanaikaisesti. On minimipiste ja maksimipiste, eli kaavion argumentin ääriarvot. Tärkeimmät tieteet, joissa tätä käsitettä käytetään:

• tilastot;
• koneen ohjaus;
• ekonometria.

Ääripisteillä on tärkeä rooli tietyn funktion järjestyksen määrittämisessä. Kuvaajan koordinaattijärjestelmä näyttää parhaimmillaan ääriasennon muutoksen toiminnallisuuden muutoksesta riippuen.

Johdannaisen funktion ääriarvo

On myös sellainen asia kuin "johdannainen". On tarpeen määrittää ääripiste. On tärkeää olla sekoittamatta minimi- tai maksimipisteitä suurimpaan ja pienimpään arvoon. Nämä ovat erilaisia ​​käsitteitä, vaikka ne saattavat näyttää samanlaisilta.

Funktion arvo on tärkein tekijä määritettäessä, kuinka maksimipiste löydetään. Johdannaista ei muodosteta arvoista, vaan yksinomaan sen ääriasemasta tavalla tai toisessa.

Itse derivaatta määritetään ääripisteiden tietojen perusteella, ei suurimman tai pienimmän arvon perusteella. Venäläisissä kouluissa näiden kahden käsitteen välistä rajaa ei vedetä selkeästi, mikä vaikuttaa tämän aiheen ymmärtämiseen yleisesti.

Tarkastellaanpa nyt sellaista asiaa kuin "terävä ääripää". Tähän mennessä on olemassa akuutti minimiarvo ja akuutti maksimiarvo. Määritelmä on annettu venäläisen funktion kriittisten pisteiden luokituksen mukaisesti. Ääripisteen käsite on perusta kriittisten pisteiden löytämiselle kaaviosta.

Sellaisen käsitteen määrittelemiseen käytetään Fermatin lausetta. Se on tärkein ääripisteiden tutkimisessa ja antaa selkeän kuvan niiden olemassaolosta muodossa tai toisessa. Äärimmäisyyden varmistamiseksi on tärkeää luoda tietyt edellytykset kaavion pienenemiselle tai nousulle.

Jotta voit vastata tarkasti kysymykseen "miten löytää maksimipiste", sinun on noudatettava näitä säännöksiä:

1. Tarkan määritelmäalueen löytäminen kaaviosta.
2. Hae funktion ja ääripisteen derivaatta.
3. Ratkaise argumentin alueen standardiepäyhtälöt.
4. Pystyy todistamaan missä funktioissa kuvaajan piste on määritelty ja jatkuva.

Huomio! Funktion kriittisen pisteen etsintä on mahdollista vain, jos on olemassa vähintään toisen asteen derivaatta, jonka takaa ääripisteen läsnäolon suuri osuus.

Toiminnan ääripään välttämätön ehto

Jotta ääriarvo olisi olemassa, on tärkeää, että siinä on sekä minimi- että maksimipisteet. Jos tätä sääntöä noudatetaan vain osittain, ääripään olemassaolon ehtoa rikotaan.

Jokainen toiminto missä tahansa asennossa on erotettava, jotta sen uudet merkitykset voidaan tunnistaa. On tärkeää ymmärtää, että tapaus, jossa piste katoaa, ei ole pääperiaate erotettavissa olevan pisteen löytämisessä.

Terävä ääriarvo, kuten myös funktiominimi, on erittäin tärkeä näkökohta matemaattisen ongelman ratkaisemisessa ääriarvoja käyttämällä. Tämän komponentin ymmärtämiseksi paremmin on tärkeää viitata funktion määrittämisessä oleviin taulukkoarvoihin.

Täydellinen merkityksen tutkiminen

Arvon piirtäminen

1. Arvojen nousu- ja laskupisteiden määrittäminen. 2. Murtopisteiden, ääripisteiden ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiden löytäminen. 3. Prosessi kaavion sijainnin muutosten määrittämiseksi. 4. Kuperuuden ja kuperuuden indeksin ja suunnan määrittäminen ottaen huomioon asymptoottien esiintyminen. 5. Yhteenvetotaulukon luominen tutkimuksesta sen koordinaattien määrittämiseksi. 6. Löytää äärimmäisten ja akuuttien pisteiden kasvu- ja laskuvälit. 7. Käyrän kuperuuden ja koveruuden määritys. 8. Tutkimuksen perusteella kaavion rakentaminen mahdollistaa minimi- tai maksimiarvon.

Pääelementti, kun on tarpeen työskennellä ääriarvojen kanssa, on sen kaavion tarkka rakenne. Koulujen opettajat eivät usein kiinnitä mahdollisimman paljon huomiota niin tärkeään näkökohtaan, joka on koulutusprosessin törkeä rikkomus. Kaavio on rakennettu vain funktionaalisten tietojen tutkimuksen tulosten, terävien ääripäiden määritelmän sekä kaavion pisteiden perusteella. Funktion derivaatan terävät ääripäät näytetään tarkkojen arvojen kuvaajalla käyttämällä standardimenettelyä asymptootien määrittämiseen. Funktion maksimi- ja minimipisteisiin liittyy monimutkaisempi piirtäminen. Tämä johtuu syvemmästä tarpeesta selvittää terävän ääripään ongelma. On myös tarpeen löytää monimutkaisen ja yksinkertaisen funktion derivaatta, koska tämä on yksi tärkeimmistä käsitteistä ääripääongelmassa.

Toiminnallinen ääripää

Yllä olevan arvon löytämiseksi sinun on noudatettava seuraavia sääntöjä:

• määrittää äärimmäisen suhteen tarvittava ehto;
• ottaa huomioon kaavion ääripisteiden riittävä kunto;
• laskea akuutti ääripää.

On myös käsitteitä, kuten heikko minimi ja vahva minimi. Tämä on otettava huomioon määritettäessä ääriarvoa ja sen tarkkaa laskemista. Samaan aikaan terävä toiminnallisuus on kaikkien tarvittavien edellytysten etsiminen ja luominen funktiokaavion kanssa työskentelyyn.

Funktion ääripiste on se piste funktion alueella, jossa funktion arvo saa minimi- tai maksimiarvon. Näissä kohdissa olevia funktioarvoja kutsutaan funktion ääriarvoiksi (minimi ja maksimi)..

Määritelmä. Piste x1 toiminnon laajuus f(x) kutsutaan funktion maksimipiste , jos funktion arvo tässä pisteessä on suurempi kuin funktion arvot tarpeeksi lähellä sitä pisteissä, jotka sijaitsevat sen oikealla ja vasemmalla puolella (eli epäyhtälö f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 enimmäismäärä.

Määritelmä. Piste x2 toiminnon laajuus f(x) kutsutaan funktion minimipiste, jos funktion arvo tässä pisteessä on pienempi kuin funktion arvot tarpeeksi lähellä sitä pisteissä, jotka sijaitsevat sen oikealla ja vasemmalla puolella (eli epäyhtälö f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Tässä tapauksessa funktiolla sanotaan olevan pisteessä x2 minimi.

Sanotaanpa pointti x1 - toiminnon maksimipiste f(x) . Sitten välissä asti x1 toiminta lisääntyy, joten funktion derivaatta on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0 ), ja sen jälkeen x1 toiminto vähenee, joten funktion derivaatta alle nolla ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Oletetaan myös, että kohta x2 - funktion minimipiste f(x) . Sitten välissä asti x2 funktio pienenee ja funktion derivaatta on pienempi kuin nolla ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktio kasvaa ja funktion derivaatta on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0). Tässä tapauksessa myös pisteessä x2 funktion derivaatta on nolla tai sitä ei ole olemassa.

Fermatin lause (välttämätön kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Jos kohta x0 - funktion ääripiste f(x), niin tässä vaiheessa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ( f "(x) = 0 ) tai sitä ei ole olemassa.

Määritelmä. Pisteitä, joissa funktion derivaatta on nolla tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat .

Esimerkki 1 Tarkastellaan funktiota.

Pisteessä x= 0 funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, joten piste x= 0 on kriittinen piste. Kuitenkin, kuten funktion kaaviosta voidaan nähdä, se kasvaa koko määritelmäalueella, joten piste x= 0 ei ole tämän funktion ääripiste.

Siten ehdot, että funktion derivaatta pisteessä on nolla tai sitä ei ole olemassa, ovat välttämättömiä ehtoja ääripäälle, mutta eivät riittäviä, koska voidaan antaa muita esimerkkejä funktioista, joille nämä ehdot täyttyvät, mutta funktio ei ole ääripäätä vastaavassa pisteessä. Siksi on oltava riittävät viitteet, joiden avulla voidaan arvioida, onko tietyssä kriittisessä pisteessä ääriarvo ja kumpi - maksimi vai minimi.

Lause (ensimmäinen riittävä kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Kriittinen piste x0 f(x) , jos funktion derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan tämän pisteen läpi ja jos etumerkki muuttuu "plus":sta "miinus", niin maksimipiste, ja jos "miinuksesta" "plusiksi", niin minimipiste .

Jos lähellä pistettä x0 , sen vasemmalla ja oikealla puolella derivaatta säilyttää etumerkkinsä, mikä tarkoittaa, että funktio joko vain pienenee tai kasvaa vain jossain pisteen ympäristössä x0 . Tässä tapauksessa pisteessä x0 ei ole ääripäätä.

Niin, määrittääksesi funktion ääripisteet, sinun on tehtävä seuraava :

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Yhdistä derivaatta nollaan ja määritä kriittiset pisteet.
3. Merkitse henkisesti tai paperille kriittiset pisteet numeeriselle akselille ja määritä saaduissa intervalleissa funktion derivaatan merkit. Jos derivaatan etumerkki muuttuu "plus":sta "miinus", niin kriittinen piste on maksimipiste, ja jos "miinuksesta" "plussiksi", kriittinen piste on minimipiste.
4. Laske funktion arvo ääripisteissä.

Esimerkki 2 Etsi funktion ääripäät .

Ratkaisu. Etsitään funktion derivaatta:

Yhdistä derivaatta nollaan kriittisten pisteiden löytämiseksi:

.

Koska mille tahansa "x":n arvolle nimittäjä ei ole nolla, vertaamme osoittajan nollaan:

On yksi kriittinen kohta x= 3. Määritämme derivaatan etumerkin tämän pisteen rajoittamissa väleissä:

alueella miinus äärettömyydestä 3 - miinusmerkkiin, eli funktio pienenee,

alueella 3 plus äärettömään - plusmerkki, eli funktio kasvaa.

Eli piste x= 3 on minimipiste.

Etsi funktion arvo minimipisteestä:

Siten funktion ääripiste löytyy: (3; 0) , ja se on minimipiste.

Lause (toinen riittävä kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Kriittinen piste x0 on funktion ääripiste f(x), jos funktion toinen derivaatta tässä pisteessä ei ole nolla ( f ""(x) ≠ 0 ), lisäksi jos toinen derivaatta on suurempi kuin nolla ( f ""(x) > 0 ), niin maksimipiste, ja jos toinen derivaatta on pienempi kuin nolla ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Huomautus 1. Jos jossain vaiheessa x0 sekä ensimmäinen että toinen derivaatta katoavat, niin tässä vaiheessa on mahdotonta arvioida ääripään olemassaoloa toisen riittävän merkin perusteella. Tässä tapauksessa sinun on käytettävä ensimmäistä riittävää kriteeriä funktion ääripäälle.

Huomautus 2. Toinen riittävä kriteeri funktion ääripäälle ei myöskään sovellu, kun ensimmäistä derivaattia ei ole paikallaan olevassa pisteessä (silloin toista derivaattia ei myöskään ole). Tässä tapauksessa on myös välttämätöntä käyttää ensimmäistä riittävää kriteeriä funktion ääripäälle.

Toiminnon ääripäiden paikallinen luonne

Yllä olevista määritelmistä seuraa, että funktion ääriarvo on luonteeltaan paikallinen - tämä on funktion suurin ja pienin arvo verrattuna lähimpiin arvoihin.

Oletetaan, että harkitset tulojasi yhden vuoden ajanjaksolla. Jos ansaitsit toukokuussa 45 000 ruplaa ja huhtikuussa 42 000 ruplaa ja kesäkuussa 39 000 ruplaa, niin toukokuun tulot ovat ansiofunktion maksimi verrattuna lähimpiin arvoihin. Mutta lokakuussa ansaitsit 71 000 ruplaa, syyskuussa 75 000 ruplaa ja marraskuussa 74 000 ruplaa, joten lokakuun tulot ovat ansiofunktion vähimmäisarvo lähellä oleviin arvoihin verrattuna. Ja voit helposti nähdä, että huhti-touko-kesäkuun arvojen maksimi on pienempi kuin syys-loka-marraskuun minimi.

Yleisesti ottaen funktiolla voi olla useita ääriarvoja intervalleilla, ja voi käydä niin, että mikä tahansa funktion minimi on suurempi kuin mikä tahansa maksimi. Joten yllä olevassa kuvassa näkyvälle funktiolle .

Eli ei pidä ajatella, että funktion maksimi ja minimi ovat vastaavasti sen maksimi- ja minimiarvot koko tarkasteltavana olevalla segmentillä. Maksimipisteessä funktiolla on suurin arvo vain verrattuna niihin arvoihin, jotka sillä on kaikissa pisteissä riittävän lähellä maksimipistettä, ja minimipisteessä pienin arvo vain noihin arvoihin verrattuna. että sen kaikissa pisteissä on riittävän lähellä minimipistettä.

Siksi voimme tarkentaa yllä olevaa funktion ääripisteiden käsitettä ja kutsua minimipisteitä paikallisiksi minimipisteiksi ja maksimipisteiksi paikallisiksi maksimipisteiksi.

Etsimme yhdessä toiminnon ääripäätä

Esimerkki 3

Ratkaisu Funktio on määritelty ja jatkuva kokonaislukurivillä. Sen johdannainen esiintyy myös koko numerorivillä. Siksi tässä tapauksessa vain ne, joissa ts. toimivat kriittisinä pisteinä. , mistä ja . Kriittiset pisteet ja jaa funktion koko alue kolmeen monotonisuusväliin: . Valitsemme jokaisesta niistä yhden ohjauspisteen ja etsimme derivaatan etumerkin tästä pisteestä.

Välille referenssipiste voi olla : löydämme . Ottaen pisteen väliltä, ​​saamme , ja ottamalla pisteen väliltä, ​​meillä on . Joten, väliajoissa ja , ja välissä . Ekstreemumin ensimmäisen riittävän merkin mukaan pisteessä ei ole ääripäätä (koska derivaatta säilyttää etumerkkinsä välissä ), ja funktiolla on pisteessä minimi (koska derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussiksi ohittaessaan tämän kohdan kautta). Etsi funktion vastaavat arvot: , ja . Intervallissa funktio pienenee, koska tällä välillä , ja välissä se kasvaa, koska tällä välillä.

Kuvaajan rakenteen selventämiseksi etsitään sen leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Kun saadaan yhtälö, jonka juuret ja eli funktion kuvaajasta löytyy kaksi pistettä (0; 0) ja (4; 0). Rakennamme kaavion käyttämällä kaikkia vastaanotettuja tietoja (katso esimerkin alussa).

Voit käyttää itsetarkistusta laskelmien aikana online-johdannaislaskin .

Esimerkki 4 Etsi funktion ääripiste ja rakenna sen kaavio.

Funktion toimialue on koko lukuviiva pistettä lukuun ottamatta, ts. .

Tutkimuksen lyhentämiseksi voimme käyttää sitä tosiasiaa, että tämä funktio on parillinen, koska . Siksi sen kuvaaja on symmetrinen akselin suhteen Oy ja tutkimus voidaan suorittaa vain ajanjaksolle .

Johdannan löytäminen ja toiminnon kriittiset kohdat:

1) ;

2) ,

mutta funktio kärsii katkoksen tässä vaiheessa, joten se ei voi olla ääripiste.

Siten annetulla funktiolla on kaksi kriittistä pistettä: ja . Kun otetaan huomioon funktion pariteetti, tarkastetaan vain piste ääripään toisella riittävällä merkillä. Tätä varten löydämme toisen derivaatan ja määritä sen merkki osoitteessa : saamme . Koska ja , Sitten on funktion vähimmäispiste, while .

Saadaksesi täydellisemmän kuvan funktion kaaviosta, selvitetään sen käyttäytyminen määritelmäalueen rajoilla:

(tässä symboli osoittaa halun x nollaan oikealla ja x pysyy positiivisena; tarkoittaa samalla tavalla pyrkimystä x nollaan vasemmalla ja x pysyy negatiivisena). Eli jos , niin . Seuraavaksi löydämme

,

nuo. jos sitten .

Funktion kuvaajalla ei ole leikkauspisteitä akseleiden kanssa. Kuva on esimerkin alussa.

Voit käyttää itsetarkistusta laskelmien aikana online-johdannaislaskin .

Jatkamme toiminnon ääripäiden etsimistä yhdessä

Esimerkki 8 Etsi funktion ääripää.

Ratkaisu. Etsi funktion toimialue. Koska epätasa-arvon on oltava voimassa, saamme osoitteesta .

Etsitään funktion ensimmäinen derivaatta.