Koulussa opitut vallankumouksen ruumiit ovat sylinteri, kartio ja pallo.

Jos matematiikan USE-tehtävässä sinun on laskettava kartion tilavuus tai pallon pinta-ala, pidä itseäsi onnekas.

Käytä kaavoja sylinterin, kartion ja pallon tilavuudelle ja pinta-alalle. Kaikki ne ovat pöydässämme. Oppia ulkoa. Tästä stereometrian tuntemus alkaa.

Joskus on hyvä piirtää ylhäältä katsottuna. Tai, kuten tässä ongelmassa, alhaalta.

2. Kuinka monta kertaa lähellä oikeaa rajatun kartion tilavuus nelikulmainen pyramidi, suurempi kuin tähän pyramidiin piirretyn kartion tilavuus?

Kaikki on yksinkertaista - piirrämme näkymän alhaalta. Näemme, että suuremman ympyrän säde on useita kertoja suurempi kuin pienemmän. Molempien kartioiden korkeus on sama. Siksi äänenvoimakkuus isompi kartio tulee olemaan kaksi kertaa niin paljon.

Toinen tärkeä pointti. Muista, että osan B tehtävissä KÄYTÄ vaihtoehtoja matematiikassa vastaus kirjoitetaan kokonaislukuna tai äärellisenä desimaaliluku. Siksi sinun ei pitäisi olla mitään tai vastauksessasi osassa B. Numeron likimääräisen arvon korvaaminen ei myöskään ole välttämätöntä! Sitä on vähennettävä! Juuri tätä varten joissakin tehtävissä tehtävä muotoillaan esimerkiksi seuraavasti: "Etsi sylinterin sivupinnan pinta-ala jaettuna".

Ja missä muualla käytetään kaavoja pyörimiskappaleiden tilavuuden ja pinta-alan suhteen? Tietysti tehtävässä C2 (16). Kerromme sinulle myös siitä.

Tiedämme mikä kartio on, yritetään löytää sen pinta-ala. Miksi tällainen ongelma on ratkaistava? Sinun on esimerkiksi ymmärrettävä kuinka paljon testi menee tehdä vohvelikartio? Tai kuinka monta tiiliä tarvitaan linnan tiilikaton laskemiseen?

Kartion sivupinta-alan mittaaminen ei ole helppoa. Mutta kuvittele sama sarvi kankaaseen käärittynä. Kangaspalan alueen löytämiseksi sinun on leikattava se ja asetettava se pöydälle. Se käy ilmi litteä figuuri, löydämme sen alueen.

Riisi. 1. Kartion leikkaus generatrixia pitkin

Tehdään sama kartion kanssa. "Leikataan" sen sivupinta esimerkiksi mitä tahansa generatriisia pitkin (ks. kuva 1).

Nyt "rullaamme" sivupinnan tasolle. Saamme sektorin. Tämän sektorin keskipiste on kartion yläosa, sektorin säde on yhtä suuri kuin kartion generaattori ja sen kaaren pituus on sama kuin kartion pohjan kehän. Tällaista sektoria kutsutaan kartion sivupinnan kehitykseksi (katso kuva 2).

Riisi. 2. Sivupinnan kehitys

Riisi. 3. Kulman mittaus radiaaneina

Yritetään löytää sektorin alue saatavilla olevien tietojen mukaan. Ensin otetaan käyttöön merkintä: olkoon sektorin yläreunassa oleva kulma radiaaneina (ks. kuva 3).

Kohtaamme usein tehtävien pyyhkäisyn yläosassa olevan kulman. Sillä välin yritetään vastata kysymykseen: eikö tämä kulma voi olla yli 360 astetta? Eli eikö käy ilmi, että pyyhkäisy asettuu päällekkäin? Ei tietenkään. Todistetaan se matemaattisesti. Anna pyyhkäisyn "päällekkäin". Tämä tarkoittaa, että pyyhkäisykaaren pituus on suurempi kuin säteen ympärysmitta. Mutta kuten jo mainittiin, pyyhkäisykaaren pituus on säteen ympärysmitta. Ja kartion pohjan säde on tietysti pienempi kuin esimerkiksi generatrix, koska suorakulmaisen kolmion jalka on pienempi kuin hypotenuusa

Muistetaan sitten kaksi kaavaa planimetrian kurssista: kaaren pituus. Toimialan alue: .

Meidän tapauksessamme roolia esittää generatrix , ja kaaren pituus on yhtä suuri kuin kartion pohjan ympärysmitta, eli. Meillä on:

Lopulta saamme:

Sivupinta-alan lisäksi löytyy myös alue koko pinta. Voit tehdä tämän lisäämällä pohjan sivupinta-alaan. Mutta kanta on ympyrä, jonka säde on , jonka pinta-ala kaavan mukaan on .

Lopulta meillä on: , missä on sylinterin pohjan säde, on generatrix.

Ratkaistaan ​​pari tehtävää annetuilla kaavoilla.

Riisi. 4. Haluttu kulma

Esimerkki 1. Kartion sivupinnan kehitys on sektori, jonka kärjessä on kulma. Määritä tämä kulma, jos kartion korkeus on 4 cm ja pohjan säde on 3 cm (katso kuva 4).

Riisi. 5. Suorakulmainen kolmio muodostaen kartion

Ensimmäisellä toiminnolla Pythagoraan lauseen mukaan löydämme generatriisin: 5 cm (katso kuva 5). Lisäksi tiedämme sen .

Esimerkki 2. Neliö aksiaalinen osa kartio on , korkeus on . Etsi kokonaispinta-ala (katso kuva 6).

Tässä on ongelmia kartioiden kanssa, tila liittyy sen pinta-alaan. Erityisesti joissakin ongelmissa on kysymys alueen muuttamisesta kartion korkeuden tai sen pohjan säteen kasvulla (pienennyksellä). Teoria ongelmanratkaisusta vuonna . Harkitse seuraavia tehtäviä:

27135. Kartion pohjan ympärysmitta on 3, generatrix on 2. Etsi kartion sivupinnan pinta-ala.

Kartion sivupinnan pinta-ala on:

Tietojen liittäminen:

75697. Kuinka monta kertaa kartion sivupinnan pinta-ala kasvaa, jos sen generatriksia kasvatetaan 36 kertaa ja pohjan säde pysyy samana?

Kartion sivupinnan pinta-ala:

Generatrix kasvaa 36 kertaa. Säde pysyy samana, mikä tarkoittaa, että pohjan ympärysmitta ei ole muuttunut.

Joten muokatun kartion sivupinnan pinta-ala näyttää tältä:

Siten se kasvaa 36-kertaiseksi.

*Riippuvuus on suoraviivainen, joten tämä ongelma voidaan helposti ratkaista suullisesti.

27137. Kuinka monta kertaa kartion sivupinnan pinta-ala pienenee, jos sen pohjan säde pienenee 1,5 kertaa?

Kartion sivupinnan pinta-ala on:

Säde pienenee 1,5 kertaa, eli:

Havaittiin, että sivupinta-ala pieneni 1,5 kertaa.

27159. Kartion korkeus on 6, generatriisi on 10. Etsi sen kokonaispinnan pinta-ala jaettuna pi:llä.

Kartion koko pinta:

Etsi säde:

Korkeus ja generatriisi tunnetaan, Pythagoraan lauseella lasketaan säde:

Täten:

Jaa tulos Pi:llä ja kirjoita vastaus muistiin.

76299. Kartion kokonaispinta-ala on 108. Kartion pohjan suuntaisesti piirretään leikkaus, joka jakaa korkeuden kahtia. Etsi katkaistun kartion kokonaispinta-ala.

Osio kulkee keskikorkeuden läpi pohjan suuntaisesti. Joten katkaistun kartion kannan ja generatrixin säde on 2 kertaa pienempi kuin säde ja alkuperäisen kartion generatrix. Kirjoitetaan, mikä on leikkauskartion pinta-ala:

Sai hänet liikkeelle 4 kertaa vähemmän aluetta alkuperäisen pinta, eli 108:4 = 27.

* Koska alkuperäinen ja leikattu kartio ovat samanlaisia ​​kappaleita, oli myös mahdollista käyttää samankaltaisuusominaisuutta:

27167. Kartion pohjan säde on 3, korkeus 4. Laske kartion kokonaispinta-ala jaettuna pi:llä.

Kartion kokonaispinnan kaava on:

Säde tunnetaan, generatriisi on löydettävä.

Pythagoraan lauseen mukaan:

Täten:

Jaa tulos Pi:llä ja kirjoita vastaus muistiin.

Tehtävä. Kartion sivupinta-ala nelinkertaistuu lisää aluetta perusteita. Löytää mitä on yhtä suuri kuin kosini kartion generatrixin ja kannan tason välinen kulma.

Kartion pohjan pinta-ala on:

Eli kosini on yhtä suuri kuin:

Vastaus: 0,25

Päätä itse:

27136. Kuinka monta kertaa kartion sivupinnan pinta-ala kasvaa, jos sen generatriksia kasvatetaan 3 kertaa?

27160. Kartion sivupinnan pinta-ala on kaksi kertaa pohjan pinta-ala. Etsi kulma kartion generatrixin ja kannan tason välillä. Kerro vastauksesi asteina. .

27161. Kartion kokonaispinta-ala on 12. Kartion pohjan suuntaisesti piirretään leikkaus, joka jakaa korkeuden kahtia. Etsi katkaistun kartion kokonaispinta-ala.

Siinä kaikki. Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander.

*Jaa tietoja sivustosta ystävien kanssa sosiaalisten verkostojen kautta.

Kartion pinta-ala (tai yksinkertaisesti kartion pinta) on yhtä suuri kuin pohjan ja sivupinnan pinta-alojen summa.

Kartion sivupinnan pinta-ala lasketaan kaavalla: S = πR l, jossa R on kartion kannan säde ja l- kartion generatrix.

Koska kartion pohjan pinta-ala on πR 2 (ympyrän pinta-alana), kartion koko pinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin : πR2 + πR l= πR (R + l).

Kartion sivupinnan pinta-alan kaavan saaminen voidaan selittää tällaisella päättelyllä. Olkoon piirustuksessa kartion sivupinnan kehitys. Jaa kaari AB mahdolliseen lisää yhtä suuret osat ja yhdistä kaikki jakopisteet kaaren keskipisteeseen ja viereiset toisiinsa jänteillä.

Saamme sarjan yhtä suuret kolmiot. Kunkin kolmion pinta-ala on Ah / 2, missä a- kolmion pohjan pituus, a h- hänen korkea.

Kaikkien kolmioiden pinta-alojen summa on: Ah / 2 n = anh / 2, missä n on kolmioiden lukumäärä.

klo suuret numerot jaot, kolmioiden pinta-alojen summa tulee hyvin lähelle kehitysaluetta, eli kartion sivupinnan pinta-alaa. Kolmioiden kantojen summa, ts. an, tulee hyvin lähelle kaaren AB pituutta, eli kartion kannan kehää. Kunkin kolmion korkeus tulee hyvin lähelle kaaren sädettä, eli kartion generatriisia.

Pienet erot näiden määrien koossa huomioimatta, saadaan kaava kartion sivupinnan pinta-alalle (S):

S=C l / 2, jossa C on kartion pohjan ympärysmitta, l- kartion generatrix.

Tietäen, että C \u003d 2πR, missä R on kartion kannan ympyrän säde, saadaan: S \u003d πR l.

Huomautus. Kaavassa S = C l / Kuvassa 2 on annettu täsmällisen, ei likimääräisen, yhtäläisyyden merkki, vaikka edellä esitetyn päättelyn perusteella tätä yhtäläisyyttä voisi pitää likimääräisenä. Mutta lukiossa lukio on todistettu, että tasa-arvo

S=C l / 2 on tarkka, ei likimääräinen.

Lause. Kartion sivupinta on yhtä suuri kuin pohjan kehän ja generatrixin puolen tulo.

Merkitään kartioon (kuva) joitain oikea pyramidi ja merkitä kirjaimilla R ja l numerot, jotka ilmaisevat tämän pyramidin kannan kehän pituuden ja apoteemin.

Sitten sivupinta se ilmaistaan ​​tuotteella 1/2 R l .

Oletetaan nyt, että kantaan kirjoitetun monikulmion sivujen lukumäärä kasvaa loputtomasti. Sitten kehä R taipumus rajaan, joka on otettu pohjan kehän pituudeksi C ja apoteemiksi l on kartiogeneraattori rajana (koska ΔSAK tarkoittaa, että SA - SK
1 / 2 R l, pyrkii 1/2 C rajaan L. Tämä raja on kartion sivupinnan arvo. Merkitsemällä kartion sivupintaa kirjaimella S, voimme kirjoittaa:

S = 1/2 C L = C 1/2L

Seuraukset.
1) Koska C \u003d 2 π R, sitten kartion sivupinta ilmaistaan ​​kaavalla:

S = 1/2 2π R L= π RL

2) Saamme kartion täyden pinnan, jos lisäämme sivupinnan perusalueeseen; siksi, kun koko pinta merkitään T:llä, meillä on:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Lause. Sivupinta katkaistu kartio on yhtä suuri kuin emästen ja generatriisin ympärysmittojen puolen summan tulo.

Merkitään katkaistuun kartioon (kuva) jokin säännöllinen katkaistu pyramidi ja merkitä kirjaimilla r, r 1 ja l numerot, jotka ilmaisevat samoissa lineaarisissa yksiköissä tämän pyramidin alemman ja ylemmän kannan ympärysmittojen pituudet ja apoteemin.

Tällöin piirretyn pyramidin sivupinta on 1/2 ( p + p 1) l

Kun piirretyn pyramidin sivupintojen lukumäärää kasvaa rajattomasti, kehät R ja R 1 pyrkii rajoihin, jotka on otettu kantajen ympyröiden pituuksiksi C ja C 1 ja apoteemiksi l rajana on katkaistun kartion generatriisi L. Tästä johtuen piirretyn pyramidin sivupinnan arvo pyrkii rajaan, joka on yhtä suuri kuin (С + С 1) L. Tätä rajaa pidetään katkaistun kartion sivupinnan arvona. Merkitsemällä katkaistun kartion sivupintaa kirjaimella S, meillä on:

S \u003d 1/2 (C + C 1) L

Seuraukset.
1) Jos R ja R 1 tarkoittavat alemman ja ylemmän kannan ympyröiden säteitä, katkaistun kartion sivupinta on:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Jos puolisuunnikkaan OO 1 A 1 A (kuva), jonka pyörimisestä saadaan katkaistu kartio, piirretään keskiviiva BC, saamme:

BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Siten,

S = 2 π BC L,

eli katkaistun kartion sivupinta on yhtä suuri kuin keskimääräisen poikkileikkauksen ja generatrixin kehän tulo.

3) Katkaistun kartion kokonaispinta T ilmaistaan ​​seuraavasti:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)