Emme valitse matematiikkaa hänen ammattinsa, ja hän valitsee meidät.

Venäläinen matemaatikko Yu.I. Manin

Modulo-yhtälöt

Koulumatematiikan vaikeimpia ratkaistavia ongelmia ovat yhtälöt, jotka sisältävät muuttujia moduulimerkin alla. Tällaisten yhtälöiden menestyksellinen ratkaiseminen edellyttää moduulin määritelmän ja perusominaisuuksien tuntemista. Luonnollisesti opiskelijoilla tulee olla valmiuksia ratkaista tämän tyyppisiä yhtälöitä.

Peruskäsitteet ja ominaisuudet

Reaaliluvun moduuli (absoluuttinen arvo). merkitty ja se määritellään seuraavasti:

Moduulin yksinkertaiset ominaisuudet sisältävät seuraavat suhteet:

Huomautus, että kaksi viimeistä ominaisuutta pätevät mille tahansa parilliselle asteelle.

Myös jos , missä , sitten ja

Monimutkaisemmat moduuliominaisuudet, joita voidaan käyttää tehokkaasti yhtälöiden ratkaisemisessa moduuleilla, on muotoiltu seuraavien lauseiden avulla:

Lause 1.Kaikille analyyttisille toiminnoille ja epätasa-arvoa

Lause 2. Tasa-arvo on sama kuin eriarvoisuus.

Lause 3. Tasa-arvo vastaa eriarvoisuutta.

Harkitse tyypillisiä esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Yhtälöt, jotka sisältävät muuttujia moduulimerkin alla.

Yhtälöiden ratkaiseminen moduulilla

Koulumatematiikan yleisin menetelmä yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla on menetelmä, moduulin laajennuksen perusteella. Tämä menetelmä on yleinen, sen soveltaminen voi kuitenkin yleensä johtaa erittäin hankalia laskelmiin. Tässä suhteessa opiskelijoiden tulee olla tietoisia myös muista, tehokkaampia menetelmiä ja tekniikoita tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi. Erityisesti, täytyy olla taidot soveltaa lauseita, annettu tässä artikkelissa.

Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö. (yksi)

Päätös. Yhtälö (1) ratkaistaan ​​"klassisella" menetelmällä - moduulin laajennusmenetelmällä. Tätä varten katkaisemme numeerisen akselin pisteitä ja väliajoin ja harkitse kolmea tapausta.

1. Jos , niin , , ja yhtälö (1) saa muodon . Tästä se seuraa. Tässä , joten löydetty arvo ei ole yhtälön (1) juuri.

2. Jos , sitten yhtälöstä (1) saadaan tai .

Siitä lähtien yhtälön (1) juuri.

3. Jos , sitten yhtälö (1) saa muodon tai . Ota huomioon, että .

Vastaus: ,.

Ratkaistaessamme seuraavia yhtälöitä moduulilla, hyödynnämme aktiivisesti moduulien ominaisuuksia tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen tehokkuuden lisäämiseksi.

Esimerkki 2 ratkaise yhtälö.

Päätös. Siitä lähtien ja niin se seuraa yhtälöstä. Tässä suhteessa, , , ja yhtälöstä tulee. Täältä saamme. Kuitenkin , joten alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 3 ratkaise yhtälö.

Päätös. Siitä lähtien . Jos sitten , ja yhtälöstä tulee.

Täältä saamme.

Esimerkki 4 ratkaise yhtälö.

Päätös.Kirjoitetaan yhtälö uudelleen vastaavaan muotoon. (2)

Tuloksena oleva yhtälö kuuluu tyypin yhtälöihin.

Lauseen 2 huomioon ottaen voidaan todeta, että yhtälö (2) vastaa epäyhtälöä . Täältä saamme.

Vastaus:.

Esimerkki 5 Ratkaise yhtälö.

Päätös. Tällä yhtälöllä on muoto. Joten, Lauseen 3 mukaan, tässä meillä on eriarvoisuus tai .

Esimerkki 6 ratkaise yhtälö.

Päätös. Oletetaan, että. Kuten , sitten annettu yhtälö saa toisen asteen yhtälön muodon, (3)

missä . Koska yhtälöllä (3) on yksi positiivinen juuri ja sitten . Tästä saamme kaksi alkuperäisen yhtälön juuria: ja .

Esimerkki 7 ratkaise yhtälö. (4)

Päätös. Yhtälöstä lähtienvastaa kahden yhtälön yhdistelmää: ja , silloin yhtälöä (4) ratkaistaessa on tarkasteltava kahta tapausta.

1. Jos , niin tai .

Täältä saamme , ja .

2. Jos , niin tai .

Siitä lähtien .

Vastaus: , , , .

Esimerkki 8ratkaise yhtälö . (5)

Päätös. Siitä lähtien ja sitten . Tästä ja yhtälöstä (5) seuraa, että ja , so. tässä meillä on yhtälöjärjestelmä

Tämä yhtälöjärjestelmä on kuitenkin epäjohdonmukainen.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 9 ratkaise yhtälö. (6)

Päätös. Jos nimeämme ja yhtälöstä (6) saadaan

Tai . (7)

Koska yhtälö (7) on muotoa , tämä yhtälö vastaa epäyhtälöä . Täältä saamme. Siitä lähtien tai .

Vastaus:.

Esimerkki 10ratkaise yhtälö. (8)

Päätös.Lauseen 1 mukaan voimme kirjoittaa

(9)

Ottaen huomioon yhtälön (8) päätämme, että molemmat epäyhtälöt (9) muuttuvat yhtäläisiksi, ts. on yhtälöjärjestelmä

Lauseen 3 mukaan yllä oleva yhtälöjärjestelmä on kuitenkin sama kuin epäyhtälöjärjestelmä

(10)

Ratkaisemalla epäyhtälöllisyysjärjestelmän (10) saamme . Koska epäyhtälöjärjestelmä (10) vastaa yhtälöä (8), alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri .

Vastaus:.

Esimerkki 11. ratkaise yhtälö. (11)

Päätös. Olkoon ja , sitten yhtälö (11) merkitsee tasa-arvoa .

Tästä seuraa, että ja . Tässä meillä on siis epätasa-arvojärjestelmä

Ratkaisu tähän eriarvoisuusjärjestelmään ovat ja .

Vastaus: ,.

Esimerkki 12.ratkaise yhtälö. (12)

Päätös. Yhtälö (12) ratkaistaan ​​moduulien peräkkäisen laajennuksen menetelmällä. Harkitse useita tapauksia tehdäksesi tämän.

1. Jos , niin .

1.1. Jos , sitten ja , .

1.2. Jos sitten . Kuitenkin , niin sisään Tämä tapaus yhtälöllä (12) ei ole juuria.

2. Jos , niin .

2.1. Jos , sitten ja , .

2.2. Jos , sitten ja .

Vastaus: , , , , .

Esimerkki 13ratkaise yhtälö. (13)

Päätös. Koska yhtälön (13) vasen puoli on ei-negatiivinen, niin ja . Tässä suhteessa , ja yhtälö (13)

ottaa muodon tai .

Tiedetään, että yhtälö vastaa kahden yhtälön yhdistelmää ja , jonka saamme ratkaisemaan, . Kuten , niin yhtälöllä (13) on yksi juuri.

Vastaus:.

Esimerkki 14 Ratkaise yhtälöjärjestelmä (14)

Päätös. Siitä lähtien ja , sitten ja . Siksi yhtälöjärjestelmästä (14) saadaan neljä yhtälöjärjestelmää:

Yllä olevien yhtälöjärjestelmien juuret ovat yhtälöjärjestelmän (14) juuret.

Vastaus: ,, , , , , , .

Esimerkki 15 Ratkaise yhtälöjärjestelmä (15)

Päätös. Siitä lähtien . Tässä suhteessa yhtälöjärjestelmästä (15) saadaan kaksi yhtälöjärjestelmää

Ensimmäisen yhtälöjärjestelmän juuret ovat ja , ja toisesta yhtälöjärjestelmästä saamme ja .

Vastaus: , , , .

Esimerkki 16 Ratkaise yhtälöjärjestelmä (16)

Päätös. Järjestelmän (16) ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että .

Siitä lähtien . Tarkastellaan järjestelmän toista yhtälöä. Sikäli kuin, sitten, ja yhtälöstä tulee, , tai .

Jos korvaamme arvonjärjestelmän (16) ensimmäiseen yhtälöön, sitten , tai .

Vastaus: ,.

Ongelmanratkaisumenetelmien syvempään tutkimiseen, liittyvät yhtälöiden ratkaisuun, jotka sisältävät muuttujia moduulimerkin alla, voit neuvoa opetusohjelmia suositellun kirjallisuuden luettelosta.

1. Matematiikan tehtäväkokoelma teknisiin korkeakouluihin hakijoille / Toim. MI. Scanavi. - M .: Maailma ja koulutus, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: monimutkaisempia tehtäviä. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 s.

3. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: epätyypilliset menetelmät ongelmien ratkaisemiseen. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 s.

Onko sinulla kysymyksiä?

Saadaksesi ohjaajan apua - rekisteröidy.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Tochilkina Julia

Työssä esitellään erilaisia ​​menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla.

Ladata:

Esikatselu:

Kunnan budjettikoulutuslaitos

"Yliopisto nro 59"

Modulo-yhtälöt

Abstrakti työ

Esitetty 9. luokan oppilas

MBOU "Secondary School No. 59", Barnaul

Tochilkina Julia

Valvoja

Zakharova Ludmila Vladimirovna,

matematiikan opettaja

MBOU "Secondary School No. 59", Barnaul

Barnaul 2015

Johdanto

Olen yhdeksännellä luokalla. Tänä lukuvuonna minun on suoritettava peruskoulun kurssin loppututkinto. Valmistautuaksemme kokeeseen ostimme D. A. Maltsevin matematiikan kokoelman. Luokka 9 Selailemalla kokoelmaa löysin yhtälöitä, jotka sisältävät paitsi yhden, myös useita moduuleja. Opettaja selitti minulle ja luokkatovereilleni, että tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan "sisättyjen moduulien" yhtälöiksi. Tämä nimi vaikutti meille epätavalliselta ja ratkaisu ensi silmäyksellä melko monimutkaiselta. Näin ilmestyi työni aihe "Moduuliyhtälöt". Päätin perehtyä aiheeseen syvällisemmin, varsinkin kun siitä on minulle hyötyä lukuvuoden lopussa suoritettaessa kokeita ja uskon tarvitsevani sitä luokilla 10 ja 11. Kaikki yllä oleva määrittelee valitsemani aiheen merkityksen.

Tavoite:

1. Harkitse erilaisia ​​menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla.
2. Opi ratkaisemaan itseisarvon etumerkin sisältäviä yhtälöitä eri menetelmillä

Aiheen käsittelyä varten laadittiin seuraavat tehtävät:

Tehtävät:

1. Opiskella teoreettista materiaalia aiheesta "Reaaliluvun moduuli".
2. Harkitse yhtälöiden ratkaisumenetelmiä ja vahvista tehtävien ratkaisemisen kautta saatua tietoa.
3. Käytä hankittua tietoa erilaisten moduulin merkin sisältävien yhtälöiden ratkaisemisessa lukiossa

Tutkimuksen kohde:menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla

Opintojen aihe:modulo yhtälöt

Tutkimusmenetelmät:

Teoreettinen : tutkimusaiheen kirjallisuuden tutkiminen;

Internet - tiedot.

Analyysi kirjallisuuden tutkimisessa saadut tiedot; tulokset, jotka saadaan ratkaisemalla yhtälöitä moduulin kanssa eri tavoin.

Vertailu yhtälöiden ratkaisutavat, aihe niiden käytön rationaalisuudesta erilaisten yhtälöiden ratkaisemisessa moduulin avulla.

"Alamme ajatella, kun törmäämme johonkin." Paul Valerie.

1. Käsitteet ja määritelmät.

Moduulin käsitettä käytetään laajalti monissa koulumatematiikan kurssin osissa, esimerkiksi tutkittaessa likimääräisen luvun absoluuttisia ja suhteellisia virheitä; Geometriassa ja fysiikassa tutkitaan vektorin ja sen pituuden (vektorimoduulin) käsitteitä. Moduulin käsitettä käytetään korkeakouluissa opiskelevilla korkeamman matematiikan, fysiikan ja teknisten tieteiden kursseilla.

Sana "moduuli" tulee latinan sanasta "modulus", joka tarkoittaa käännöksessä "mitta". Tällä sanalla on monia merkityksiä, ja sitä ei käytetä vain matematiikassa, fysiikassa ja tekniikassa, vaan myös arkkitehtuurissa, ohjelmoinnissa ja muissa täsmätieteissä.

Uskotaan, että termiä ehdotti Newtonin opiskelija Kots. Moduulikyltin esitteli 1800-luvulla Weierstrass.

Arkkitehtuurissa moduuli on tietylle arkkitehtoniselle rakenteelle määritetty aloitusmittayksikkö.

Insinöörityössä tämä on tekniikan eri aloilla käytetty termi, joka tarkoittaa erilaisia ​​kertoimia ja määriä, esimerkiksi kimmomoduulia, sitoutumismoduulia ...

Matematiikassa moduulilla on useita merkityksiä, mutta käsittelen sitä luvun itseisarvona.

Määritelmä 1: Reaaliluvun moduuli (absoluuttinen arvo). a itse numeroa kutsutaan jos a ≥0 tai päinvastainen luku - ja jos a nollamoduuli on nolla.

Kun yhtälöitä ratkaistaan ​​moduulilla, on kätevää käyttää moduulin ominaisuuksia.

Harkitse 5,6,7 ominaisuuden todisteita.

Lausuma 5. Tasa-arvo │ on totta, jos av ≥ 0.

Todiste. Todellakin, kun tämän yhtälön molemmat osat on neliöity, saamme │ a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ - │²,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av │ + b², josta │ av │ = av

Ja viimeinen tasa-arvo on totta av ≥0.

Lause 6. Yhtälö │ a-c │=│ a │+│ c │ on totta milloin av ≤0.

Todiste. Sen todistamiseksi riittää tasa-arvo

│ a + in │=│ a │+│ in │ korvaa in kirjaimella - in, sitten a (-in) ≥0, mistä av ≤0.

Lause 7. Yhtälö │ a │+│ in │= a + in suoritettu klo a ≥0 ja b ≥0.

Todiste . Tarkastellaan neljää tapausta a ≥ 0 ja b ≥ 0; a ≥0 ja b a arvossa ≥0; a sisään a ≥0 ja b ≥0.

(a-c) ≥0.

Geometrinen tulkinta

|a| on koordinaattiviivalla oleva etäisyys pisteestä, jossa on koordinaatti a , koordinaattien alkupisteeseen.

|-a| |a|

A 0 a x

Geometrinen tulkinta merkityksestä |a| vahvistaa selvästi, että |-a|=|a|

Jos 0, niin koordinaattiviivalla on kaksi yhtä kaukana nollasta pistettä a ja -a, joiden moduulit ovat yhtä suuret.

Jos a=0, niin koordinaattiviivalla |a| edustaa piste 0.

Määritelmä 2: Moduuliyhtälö on yhtälö, joka sisältää muuttujan itseisarvon merkin alla (moduulimerkin alla). Esimerkki: |x +3|=1

Määritelmä 3: Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen juurten löytämistä tai sen todistamista, ettei juuria ole.

2. Ratkaisumenetelmät

Moduulin määritelmästä ja ominaisuuksista seuraavat tärkeimmät menetelmät yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla:

1. Moduulin "laajentaminen" (eli määritelmän käyttäminen);
2. Käyttämällä moduulin geometrista merkitystä (ominaisuus 2);
3. Graafinen ratkaisumenetelmä;
4. Vastaavien muunnosten käyttö (ominaisuudet 4.6);
5. Muuttujan substituutio (tämä käyttää ominaisuutta 5).
6. intervallimenetelmä.

Ratkaisin melko suuren määrän esimerkkejä, mutta esittelen työssäni vain muutaman, mielestäni tyypillisiä, eri tavoin ratkaistuja esimerkkejä, koska loput kopioivat toisiaan ja ymmärtääkseni kuinka ratkaista yhtälöitä moduulia, kaikkia ratkaistuja esimerkkejä ei tarvitse ottaa huomioon.

YHTÄLÖIDEN RATKAISU | f(x)| = a

Tarkastellaan yhtälöä | f(x)| = a, ja R

Tällainen yhtälö voidaan ratkaista määrittämällä moduuli:

Jos a silloin yhtälöllä ei ole juuria.

Jos a= 0, yhtälö on ekvivalentti f(x)=0.

Jos a>0, niin yhtälö on ekvivalentti joukkoon

Esimerkki. Ratkaise yhtälö |3x+2|=4.

Päätös.

|3x+2|=4, sitten 3x+2=4,

3x+2= -4;

X = -2,

X = 2/3

Vastaus: -2;2/3.

YHTÄLÖIDEN RATKAISU MODUULIN GEOMETRISILLÄ OMINAISUUKSILLE.

Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö /x-1/+/x-3/=6.

Päätös.

Tämän yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa, että etsitään kaikki sellaiset pisteet numeeriselta akselilta Ox, joista jokaiselle etäisyyksien summa siitä pisteisiin, joiden koordinaatit 1 ja 3 on yhtä suuri kuin 6.

Ei mikään viivan pisteistäei täytä tätä ehtoa, koska määritettyjen etäisyyksien summa on 2. Tämän segmentin ulkopuolella on kaksi pistettä: 5 ja -1.

1 1 3 5

Vastaus: -1;5

Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Päätös.

Merkitse x 2 + x-5 \u003d a, sitten / a / + / a-4 /=10. Etsitään x-akselilta pisteet siten, että kullekin niistä pisteisiin, joiden koordinaatit ovat 0 ja 4, etäisyyksien summa on 10. Tämä ehto täyttyy -4 ja 7.

3 0 4 7

Joten x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 = 3 Vastaus: -4; -2; yksi; 3.

YHTÄLÖIDEN RATKAISU | f(x)| = | g(x)|.

1. Alkaen | a |=|b |, jos a=b, sitten yhtälö muotoa | f(x)| = | g(x )| on sama kuin aggregaatti

Esimerkki1.

Ratkaise yhtälö | x–2| = |3 - x |.

Päätös.

Tämä yhtälö vastaa kahta yhtälöä:

x - 2 \u003d 3 - x (1) ja x - 2 \u003d -3 + x (2)

2 x = 5 -2 = -3 - väärin

X = 2,5 yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Vastaus: 2.5.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Päätös.

Koska yhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, niinneliöinti on vastaava muunnos:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 - 3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 - 3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x2-18)=0,

6x-22=0 tai 2x2-18=0;

X = 22/6, x = 3, x = -3.

X = 11/3

Vastaus: -3; 3; 11/3.

NÄKYMÄN YHTÄLÖIDEN RATKAISU | f(x)| = g(x).

Ero näiden yhtälöiden ja| f(x)| = a siinä, että oikea puoli on myös muuttuja. Ja se voi olla sekä positiivista että negatiivista. Siksi sinun on varmistettava, että se ei ole negatiivinen, koska moduuli ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku (ominaisuus№1 )

1 tapa

Yhtälön ratkaisu | f(x)| = g(x ) pelkistetään yhtälöiden ratkaisujen joukkoonja epätasa-arvon oikeellisuuden tarkistaminen g(x )>0 tuntemattoman löydetyille arvoille.

2-suuntainen (moduulimääritelmän mukaan)

Alkaen | f(x)| = g (x), jos f (x) = 0; | f(x)| = - f(x) jos f(x)

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö |3 x –10| = x - 2.

Päätös.

Tämä yhtälö vastaa kahden järjestelmän yhdistelmää:

O t e t: 3; 4.

MUOTON YHTÄLÖIDEN RATKAISU |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisu perustuu moduulin määritelmään. Jokaiselle funktiolle f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) on tarpeen löytää määritelmäalue, sen nollakohdat ja epäjatkuvuuspisteet, jotka jakavat yleisen määritelmäalueen intervalleiksi, joissa kussakin funktiot f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) pitää kylttinsä. Lisäksi moduulin määritelmää käyttämällä saadaan jokaiselle löydetylle alueelle yhtälö, joka on ratkaistava tietyllä aikavälillä. Tätä menetelmää kutsutaan "intervallimenetelmä»

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö |x-2|-3|x+4|=1.

Päätös.

Etsitään pisteet, joissa alimoduulilausekkeet ovat yhtä suuria kuin nolla

x-2=0, x+4=0,

x = 2; x = -4.

Jaetaan numeroviiva väliin x

Yhtälön ratkaisu pelkistetään kolmen järjestelmän ratkaisuksi:

Vastaus: -15, -1.8.

GRAAFISET MENETELMÄT YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN SISÄLTÄÄN MODUULIMERKKI.

Graafinen tapa ratkaista yhtälöitä on likimääräinen, koska tarkkuus riippuu valitusta yksikkösegmentistä, kynän paksuudesta, kulmista, joissa viivat leikkaavat jne. Mutta tämän menetelmän avulla voit arvioida, kuinka monta ratkaisua tietyllä yhtälöllä on.

Esimerkki. Ratkaise graafisesti yhtälö |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Päätös. Tehdään funktioiden kuvaajia yhteen koordinaattijärjestelmään

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| ja y = 9.

Graafin rakentamiseksi on tarpeen ottaa tämä funktio huomioon jokaisella intervallilla (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞)

Vastaus: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Käytimme myös ekvivalenttien muunnosmenetelmää yhtälöiden | ratkaisemisessa f(x)| = | g(x)|.

YHTÄLÖT "KOMPLEKSIN MODUULILLA"

Toinen yhtälötyyppi on yhtälöt, joilla on "monimutkainen" moduuli. Tällaiset yhtälöt sisältävät yhtälöt, joissa on "moduulit moduulissa". Tämän tyyppiset yhtälöt voidaan ratkaista eri menetelmillä.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Päätös.

Moduulin määritelmän mukaan meillä on:

Ratkaistaan ​​ensimmäinen yhtälö.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Ratkaistaan ​​toinen yhtälö.

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 ja | x | = 1,

x = 3; x = 1.

O n e t: 1; 3; 7.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö |2 – |x + 1|| = 3.

Päätös.

Ratkaistaan ​​yhtälö ottamalla käyttöön uusi muuttuja.

Anna | x + 1| = y , sitten |2 – y | = 3, siis

Tehdään käänteinen korvaus:

(1) | x + 1| = -1 - ei ratkaisuja.

(2) | x + 1| = 5

A n e t: -6; 4.

Esimerkki3.

Kuinka monta juurta yhtälöllä on | 2 | x | -6 | = 5 - x?

Päätös. Ratkaistaan ​​yhtälö käyttämällä ekvivalenssikaavioita.

Yhtälö | 2 | x | -6 | = 5 -x vastaa järjestelmää:

Modulus on lausekkeen itseisarvo. Ainakin jotenkin moduulin määrittelemiseksi on tapana käyttää suoria sulkumerkkejä. Parillisten hakasulkeiden sisällä oleva arvo on arvo, joka otetaan modulo. Minkä tahansa moduulin ratkaisuprosessi koostuu samojen suorien hakasulkujen avaamisesta, joita matemaattisessa kielessä kutsutaan modulaarisiksi hakasulkeiksi. Niiden paljastaminen tapahtuu tiettyjen sääntöjen mukaan. Lisäksi moduulien ratkaisujärjestyksessä on myös moduulisuluissa olleiden lausekkeiden arvojoukot. Useimmissa tapauksissa moduulia laajennetaan siten, että alimoduulina oleva lauseke saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, mukaan lukien arvon nolla. Jos aloitamme moduulin määritellyistä ominaisuuksista, niin prosessissa muodostuu erilaisia ​​yhtälöitä tai epäyhtälöitä alkuperäisestä lausekkeesta, jotka on sitten ratkaistava. Selvitetään kuinka moduulit ratkaistaan.

Ratkaisuprosessi

Moduulin ratkaisu alkaa kirjoittamalla alkuperäinen yhtälö moduulin kanssa. Vastataksesi kysymykseen kuinka ratkaista yhtälöt moduulilla, sinun on avattava se kokonaan. Tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi moduulia laajennetaan. Kaikki modulaariset lausekkeet on otettava huomioon. On tarpeen määrittää, millä sen koostumukseen sisältyvien tuntemattomien määrien arvoilla suluissa oleva modulaarinen lauseke katoaa. Tätä varten riittää, että moduulisuluissa oleva lauseke rinnastetaan nollaan ja lasketaan sitten tuloksena olevan yhtälön ratkaisu. Löydetyt arvot on kirjattava. Samalla tavalla sinun on myös määritettävä kaikkien tämän yhtälön kaikkien moduulien tuntemattomien muuttujien arvo. Seuraavaksi on tarpeen käsitellä kaikkien muuttujien olemassaolon tapausten määrittelyä ja huomioon ottamista lausekkeissa, kun ne eroavat arvosta nolla. Tätä varten sinun on kirjoitettava jokin epäyhtälöjärjestelmä, joka vastaa kaikkia alkuperäisen epäyhtälön moduuleja. Epäyhtälöt on laadittava niin, että ne kattavat kaikki muuttujan käytettävissä olevat ja mahdolliset arvot, jotka lukuviivalta löytyvät. Sitten sinun on piirrettävä visualisointia varten tämä sama numeroviiva, jolle voit laittaa kaikki saadut arvot tulevaisuudessa.

Lähes kaiken voi nyt tehdä verkossa. Moduuli ei ole poikkeus säännöistä. Voit ratkaista sen verkossa yhdellä monista nykyaikaisista resursseista. Kaikki ne muuttujan arvot, jotka ovat nollamoduulissa, ovat erityinen rajoitus, jota käytetään modulaarisen yhtälön ratkaisuprosessissa. Alkuperäisessä yhtälössä on laajennettava kaikki käytettävissä olevat modulaariset hakasulkeet ja muutettava lausekkeen etumerkkiä siten, että halutun muuttujan arvot ovat samat kuin numerorivillä näkyvät arvot. Tuloksena oleva yhtälö on ratkaistava. Muuttujan arvo, joka saadaan yhtälön ratkaisemisen yhteydessä, on tarkistettava moduulin itsensä asettaman rajoituksen suhteen. Jos muuttujan arvo täyttää ehdon täysin, se on oikein. Kaikki juuret, jotka saadaan yhtälön ratkaisemisen aikana, mutta jotka eivät sovi rajoituksiin, on hylättävä.

Tämä online-matematiikan laskin auttaa sinua ratkaise yhtälö tai epäyhtälö moduuleilla. Ohjelma varten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen moduuleilla ei vain anna vastausta ongelmaan, se johtaa yksityiskohtainen ratkaisu selityksineen, eli näyttää tuloksen saamisprosessin.

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukiolaisille valmistautuessaan kokeisiin ja kokeisiin, kun he testaavat tietoja ennen yhtenäistä valtionkoetta, vanhemmille hallitsemaan monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Näin voit toteuttaa omaa ja/tai nuorempien veljien tai sisarusten koulutusta samalla kun koulutustasoa ratkaistavissa tehtävissä nostetaan.

|x| tai abs(x) - moduuli x

Syötä yhtälö tai epäyhtälö moduuleilla

Ratkaise yhtälö tai epäyhtälö

Havaittiin, että joitain tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, ja ohjelma ei ehkä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript on poistettu käytöstä selaimessasi.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota, ole hyvä sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Yhtälöt ja epäyhtälöt moduuleilla

Peruskoulun algebran kurssilla voit kohdata yksinkertaisimmat yhtälöt ja epäyhtälöt moduuleilla. Niiden ratkaisemiseksi voit käyttää geometrista menetelmää, joka perustuu siihen tosiasiaan, että \(|x-a| \) on etäisyys numeroviivalla pisteiden x ja a välillä: \(|x-a| = \rho (x;\; a) ) \). Esimerkiksi yhtälön \(|x-3|=2 \) ratkaisemiseksi sinun on löydettävä lukuviivalta pisteet, jotka ovat 2:n etäisyydellä pisteestä 3. Tällaisia ​​pisteitä on kaksi: \(x_1=1 \) ja \(x_2=5 \) .

Epäyhtälön ratkaiseminen \(|2x+7|

Mutta tärkein tapa ratkaista yhtälöitä ja epäyhtälöitä moduuleilla liittyy niin sanottuun "moduulilaajennukseen määritelmän mukaan":
jos \(a \geq 0 \), niin \(|a|=a \);
if \(a Moduuleilla varustettu yhtälö (epäyhtälö) pelkistyy joukoksi yhtälöjä (epäyhtälöitä), jotka eivät sisällä moduulin etumerkkiä.

Yllä olevan määritelmän lisäksi käytetään seuraavia väitteitä:
1) Jos \(c > 0 \), yhtälö \(|f(x)|=c \) vastaa yhtälöjoukkoa: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.\)
2) Jos \(c > 0 \), niin epäyhtälö \(|f(x)| 3) Jos \(c \geq 0 \), niin epäyhtälö \(|f(x)| > c \) on vastaa epäyhtälöiden joukkoa: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Jos epäyhtälön molemmat puolet \(f(x) ESIMERKKI 1. Ratkaise yhtälö \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Jos \(x-1 \geq 0 \), niin \(|x-1| = x-1 \) ja annetusta yhtälöstä tulee
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \nuoli oikealle x^2 +2x -8 = 0 \).
Jos \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \nuoli oikealle x^2 -2x -4 = 0 \).
Näin ollen annettua yhtälöä tulisi tarkastella erikseen kussakin mainitussa kahdessa tapauksessa.
1) Olkoon \(x-1 \geq 0 \), ts. \(x \geq 1 \). Yhtälöstä \(x^2 +2x -8 = 0 \) löydämme \(x_1=2, \; x_2=-4\). Ehto \(x \geq 1 \) täyttyy vain arvolla \(x_1=2\).
2) Olkoon \(x-1 Vastaus: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ESIMERKKI 2. Ratkaise yhtälö \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

Ensimmäinen tapa(moduulin laajennus määritelmän mukaan).
Väittelemällä kuten esimerkissä 1 päättelemme, että annettua yhtälöä on tarkasteltava erikseen kahdella ehdolla: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) tai \(x^2-6x+7

1) Jos \(x^2-6x+7 \geq 0 \), niin \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ja annetusta yhtälöstä tulee \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Nuoli oikealle 3x^2-23x+30=0 \). Ratkaisemalla tämän toisen asteen yhtälön saamme: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Selvitetään, täyttääkö arvo \(x_1=6 \) ehdon \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Tätä varten korvaamme ilmoitetun arvon toisen asteen epäyhtälöllä. Saamme: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), ts. \(7 \geq 0 \) on oikea epäyhtälö. Tästä syystä \(x_1=6 \) on annetun yhtälön juuri.
Selvitetään, täyttääkö arvo \(x_2=\frac(5)(3) \) ehdon \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Tätä varten korvaamme ilmoitetun arvon toisen asteen epäyhtälöllä. Saamme: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), ts. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) on virheellinen epäyhtälö. Joten \(x_2=\frac(5)(3) \) ei ole annetun yhtälön juuri.

2) Jos \(x^2-6x+7 Arvo \(x_3=3\) täyttää ehdon \(x^2-6x+7, arvo \(x_4=\frac(4)(3) \) täyttää eivät täytä ehtoa \ (x^2-6x+7 Eli annetulla yhtälöllä on kaksi juuria: \(x=6, \; x=3 \).

Toinen tapa. Annettu yhtälö \(|f(x)| = h(x) \), sitten \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right. \)
Molemmat yhtälöt on ratkaistu yllä (ensimmäisellä menetelmällä annetun yhtälön ratkaisemiseksi), niiden juuret ovat seuraavat: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3) \). Näiden neljän arvon ehto \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) täyttyy vain kahdella: 6 ja 3. Näin ollen annetulla yhtälöllä on kaksi juuria: \(x=6, \; x=3 \ ).

Kolmas tapa(graafinen).
1) Piirretään funktio \(y = |x^2-6x+7| \). Ensin muodostetaan paraabeli \(y = x^2-6x+7\). Meillä on \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Funktion \(y = (x-3)^2-2 \) kuvaaja saadaan funktion \(y = x^2 \) kaaviosta siirtämällä sitä 3 asteikkoyksikköä oikealle ( x-akseli) ja 2 skaalausyksikköä alaspäin (y-akselia pitkin). Suora x=3 on meitä kiinnostavan paraabelin akseli. Ohjauspisteiksi tarkempaa piirtämistä varten on kätevää ottaa piste (3; -2) - paraabelin huippu, piste (0; 7) ja sille symmetrinen piste (6; 7) suhteessa akseliin paraabelista.
Luodaksesi nyt funktion \(y = |x^2-6x+7| \) kaavion, sinun on jätettävä ennalleen ne rakennetun paraabelin osat, jotka eivät sijaitse x-akselin alapuolella, ja peilattava osa paraabeli, joka sijaitsee x-akselin alapuolella x-akselin ympärillä.
2) Piirretään lineaarinen funktio \(y = \frac(5x-9)(3) \). Pisteet (0; –3) ja (3; 2) on kätevää ottaa tarkastuspisteiksi.

On olennaista, että suoran ja abskissa-akselin leikkauspisteen piste x = 1,8 sijaitsee oikealla puolella paraabelin vasemmasta leikkauspisteestä abskissa-akselin kanssa - tämä on piste \(x=3-\sqrt (2) \) (koska \(3-\sqrt(2 ) 3) Piirustuksen perusteella kaaviot leikkaavat kaksi pistettä - A (3; 2) ja B (6; 7). Korvaa näiden pisteiden abskissat x \u003d 3 ja x \u003d 6 annetussa yhtälössä, varmistamme, että molemmat muut arvot antavat oikean numeerisen yhtälön. Joten hypoteesimme vahvistettiin - yhtälöllä on kaksi juurta: x \u003d 3 ja x \u003d 6. Vastaus: 3; 6.

Kommentti. Graafinen menetelmä kaikesta tyylikkyydestään huolimatta ei ole kovin luotettava. Tarkastetussa esimerkissä se toimi vain, koska yhtälön juuret ovat kokonaislukuja.

ESIMERKKI 3. Ratkaise yhtälö \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

Ensimmäinen tapa
Lausekkeesta 2x–4 tulee 0 pisteessä x = 2 ja lausekkeesta x + 3 pisteessä x = –3. Nämä kaksi pistettä jakavat numeroviivan kolmeen väliin: \(x

Tarkastellaan ensimmäistä väliä: \((-\infty; \; -3) \).
Jos x Tarkastellaan toista väliä: \([-3; \; 2) \).
Jos \(-3 \leq x Harkitse kolmatta väliä: \( Vastaus: raon pituus on 6.№3 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa kokonaislukuratkaisujen lukumäärä: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Vastaus: 4 kokonaista ratkaisua.№4 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa suurin juuri:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1,2 \u003d
≈ 1,4

Vastaus: x = 3.

Harjoitukset: №12. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa koko juuri: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa kokonaislukuratkaisujen lukumäärä: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Ratkaise yhtälö, osoita vastauksessa kokonaisluku, joka ei ole yhtälön juuri:

Kappale 5. Yhtälöt muotoa │F(x)│= │G(x)│

Koska yhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, ratkaisuun sisältyy kaksi tapausta: osamodulaariset lausekkeet ovat etumerkillisesti yhtä suuria tai vastakkaisia. Siksi alkuperäinen yhtälö vastaa kahden yhtälön yhdistelmää: │ F(x)│= │ G(x)│
Esimerkkejä: №1. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa koko juuri: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
Vastaus: kokonaisluvun juuri x = 4.№2. Ratkaise yhtälö: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
Vastaus: x = 2.№3 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien tulo:




Yhtälön juuret 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1,2 \u003d - 1±√5 / 4 Vastaus: juurien tulo on 0,25. Harjoitukset: №15 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa koko ratkaisu: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa pienempi juuri: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . Ratkaise yhtälö, kirjoita vastaukseen juurien summa:

Osa 6. Esimerkkejä epästandardien yhtälöiden ratkaisemisesta

Tässä osiossa tarkastellaan esimerkkejä epästandardeista yhtälöistä, joiden ratkaisussa lausekkeen itseisarvo paljastuu määritelmän mukaan. Esimerkkejä:

№1. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien summa: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
Vastaus: juurien summa on 1 №2. . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa pienempi juuri: x 2 - 4x
- 5 = 0
Vastaus: pienempi juuri x = - 5. №3. Ratkaise yhtälö:

Vastaus: x = -1. Harjoitukset: №18. Ratkaise yhtälö ja kirjoita juurien summa: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Ratkaise yhtälö: x 2 - 3x \u003d

№20. Ratkaise yhtälö:

Kappale 7. Yhtälöt muotoa │F(x)│+│G(x)│=0

On helppo nähdä, että tämän tyyppisen yhtälön vasemmalla puolella on ei-negatiivisten suureiden summa. Siksi alkuperäisellä yhtälöllä on ratkaisu silloin ja vain, jos molemmat termit ovat samanaikaisesti nolla. Yhtälö vastaa yhtälöjärjestelmää: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Esimerkkejä: №1 . Ratkaise yhtälö:
Vastaus: x = 2. №2. Ratkaise yhtälö: Vastaus: x = 1. Harjoitukset: №21. Ratkaise yhtälö: №22 . Ratkaise yhtälö, kirjoita vastaukseen juurien summa: №23 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa ratkaisujen lukumäärä:

Osa 8. Muodon yhtälöt

Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään intervallimenetelmää. Jos se ratkaistaan ​​moduulien peräkkäisellä laajentamisella, saamme n järjestelmäsarjoja, mikä on erittäin hankalaa ja hankalaa. Tarkastellaan intervallimenetelmän algoritmia: 1). Etsi muuttuvia arvoja X, jonka jokainen moduuli on yhtä suuri kuin nolla (alimoduulilausekkeiden nollia):
2). Löydetyt arvot on merkitty numeroviivalle, joka on jaettu intervalleihin (välien lukumäärä vastaavasti on yhtä suuri kuin n+1 ) 3). Määritä millä merkillä kukin moduuli paljastuu kullakin saadulla aikavälillä (ratkaisua tehdessäsi voit käyttää numeroviivaa merkitsemällä siihen merkit) 4). Alkuperäinen yhtälö vastaa joukkoa n+1 järjestelmät, joissa kussakin muuttujan jäsenyys ilmoitetaan X yksi intervalleista. Esimerkkejä: №1 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa suurin juuri:
yksi). Etsitään alimoduulilausekkeiden nollat: x = 2; x = -3 2). Merkitsemme löydetyt arvot numeroriville ja määritämme, millä merkillä kukin moduuli paljastuu saaduilla aikaväleillä:
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- ei ratkaisuja Yhtälöllä on kaksi juuria. Vastaus: suurin juuri on x = 2. №2. Ratkaise yhtälö, kirjoita vastaukseen koko juuri:
yksi). Etsitään alimoduulilausekkeiden nollat: x = 1,5; x = -1 2). Merkitsemme löydetyt arvot numeroriville ja määritämme millä merkillä kukin moduuli paljastuu saaduilla aikaväleillä: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
Viimeisellä järjestelmällä ei ole ratkaisuja, joten yhtälöllä on kaksi juuria. Yhtälöä ratkaiseessasi sinun tulee kiinnittää huomiota toisen moduulin edessä olevaan "-"-merkkiin. Vastaus: kokonaisluvun juuri x = 7. №3. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien summa: 1). Etsitään alimoduulilausekkeiden nollat: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Merkitsemme löydetyt arvot numeroriville ja määritämme, millä merkillä kukin moduuli paljastuu saaduilla aikaväleillä: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Yhtälöllä on kaksi juuria x = 0 ja 2. Vastaus: juurien summa on 2. №4 . Ratkaise yhtälö: 1). Etsitään alimoduulilausekkeiden nollat: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Määritetään merkki, jolla jokaista moduulia laajennetaan saaduilla aikaväleillä. 3).
Yhdistämme kolmen ensimmäisen järjestelmän ratkaisut. Vastaus: ; x = 5.
Harjoitukset: №24. Ratkaise yhtälö:
№25. Ratkaise yhtälö, kirjoita vastaukseen juurien summa: №26. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa pienempi juuri: №27. Ratkaise yhtälö, anna vastauksesi suurempi juuri:

Osa 9. Yhtälöt, jotka sisältävät useita moduuleja

Useita moduuleja sisältävät yhtälöt olettavat absoluuttisten arvojen läsnäolon alimoduulilausekkeissa. Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemisen perusperiaate on moduulien peräkkäinen paljastaminen, alkaen "ulkoisesta". Ratkaisun aikana käytetään kohdissa 1, 3 käsiteltyjä tekniikoita.

Esimerkkejä: №1. Ratkaise yhtälö:
Vastaus: x = 1; - yksitoista. №2. Ratkaise yhtälö:
Vastaus: x = 0; 4; - 4. №3. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien tulo:
Vastaus: Juurien tulo on 8. №4. Ratkaise yhtälö:
Merkitse väestöyhtälöitä (1) ja (2) ja harkitse jokaisen ratkaisua erikseen suunnittelun helpottamiseksi. Koska molemmat yhtälöt sisältävät useamman kuin yhden moduulin, on kätevämpää suorittaa vastaava siirtyminen järjestelmäjoukkoon. (1)

(2)


Vastaus:
Harjoitukset: №36. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien summa: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. Ratkaise yhtälö, jos juuria on useampi kuin yksi, merkitse vastauksessa juurien summa: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. Ratkaise yhtälö: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien lukumäärä: 2 │ sin x │ = √2 №40 . Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien lukumäärä:

Osa 3. Logaritmiset yhtälöt.

Ennen seuraavien yhtälöiden ratkaisemista on tarpeen tarkastella logaritmien ja logaritmisen funktion ominaisuuksia. Esimerkkejä: №1. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien tulo: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ -1

Tapaus 1: jos x ≥ - 1, niin log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – täyttää ehdon x ≥ - 1 2. tapaus: jos x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – täyttää ehdon x - 1
Vastaus: Juurien tulo on 15.
№2. Ratkaise yhtälö, ilmoita vastauksessa juurien summa: lg
O.D.Z.

Vastaus: juurien summa on 0,5.
№3. Ratkaise yhtälö: log 5
O.D.Z.

Vastaus: x = 9. №4. Ratkaise yhtälö: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Käytetään kaavaa siirtymiseen toiseen kantaan. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Etsitään alimoduulilausekkeiden nollat: x = 25; x \u003d Nämä luvut jakavat sallittujen arvojen alueen kolmeen väliin, joten yhtälö vastaa kolmen järjestelmän kokonaisuutta.
Vastaus :)