§ 1 Kokonais- ja murto-rationaaliyhtälöt

Tällä oppitunnilla analysoimme sellaisia ​​käsitteitä kuin rationaalinen yhtälö, rationaalinen lauseke, kokonaislukulauseke, murtoluku. Harkitse rationaalisten yhtälöiden ratkaisua.

Rationaalinen yhtälö on yhtälö, jossa vasen ja oikea puoli ovat rationaalisia lausekkeita.

Rationaalisia ilmaisuja ovat:

Murtoluku.

Kokonaislukulauseke koostuu luvuista, muuttujista ja kokonaislukupotenssista käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakamisoperaatioita muulla kuin nollalla.

Esimerkiksi:

Murtolukulausekkeissa on jako muuttujalla tai lauseke muuttujalla. Esimerkiksi:

Murtolukulauseke ei ole järkevä kaikille siihen sisältyvien muuttujien arvoille. Esimerkiksi ilmaisu

kohdassa x = -9 se ei ole järkevää, koska kohdassa x = -9 nimittäjä menee nollaan.

Tämä tarkoittaa, että rationaalinen yhtälö voi olla kokonaisluku ja murtoluku.

Kokonaislukuinen rationaalinen yhtälö on rationaalinen yhtälö, jonka vasen ja oikea puoli ovat kokonaislukulausekkeita.

Esimerkiksi:

Murto-rationaalinen yhtälö on rationaalinen yhtälö, jossa joko vasen tai oikea puoli ovat murto-osalausekkeita.

Esimerkiksi:

§ 2 Koko rationaalisen yhtälön ratkaisu

Harkitse kokonaisen rationaalisen yhtälön ratkaisua.

Esimerkiksi:

Kerro yhtälön molemmat puolet siihen sisältyvien murtolukujen nimittäjien pienimmällä yhteisellä nimittäjällä.

Tätä varten:

1. Etsi nimittäjille 2, 3, 6 yhteinen nimittäjä. Se on 6;

2. etsi jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin. Tee tämä jakamalla yhteinen nimittäjä 6 kullakin nimittäjällä

murto-osan lisäkerroin

murto-osan lisäkerroin

3. kerro murtolukujen osoittajat niitä vastaavilla lisäkertoimilla. Siten saamme yhtälön

joka vastaa tätä yhtälöä

Avataan vasemmalla olevat sulut, siirretään oikea osa vasemmalle vaihtamalla termin etumerkki siirron aikana päinvastaiseksi.

Annamme polynomin samanlaiset ehdot ja saamme

Näemme, että yhtälö on lineaarinen.

Ratkaisemalla sen huomaamme, että x = 0,5.

§ 3 Murto-rationaalisen yhtälön ratkaisu

Harkitse murto-rationaalisen yhtälön ratkaisua.

Esimerkiksi:

1. Kerro yhtälön molemmat puolet siihen sisältyvien rationaalisten murtolukujen nimittäjien pienimmällä yhteisellä nimittäjällä.

Etsi yhteinen nimittäjä nimittäjille x + 7 ja x - 1.

Se on yhtä suuri kuin heidän tulonsa (x + 7) (x - 1).

2. Etsitään jokaiselle rationaaliselle murtoluvulle lisäkerroin.

Tätä varten jaamme yhteisen nimittäjän (x + 7) (x - 1) kullakin nimittäjällä. Murtolukujen lisäkerroin

on yhtä kuin x - 1,

murto-osan lisäkerroin

on yhtä kuin x+7.

3. Kerro murtolukujen osoittajat niitä vastaavilla lisäkertoimilla.

Saamme yhtälön (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), joka vastaa tätä yhtälöä

4. Vasen ja oikea kertovat binomiaalin binomialilla ja saat seuraavan yhtälön

5. Siirrämme oikean osan vasemmalle vaihtamalla kunkin termin etumerkkiä siirrettäessä vastakkaiseen:

6. Esitämme polynomin samankaltaiset jäsenet:

7. Voit jakaa molemmat osat -1:llä. Saamme toisen asteen yhtälön:

8. Kun se on ratkaistu, löydämme juuret

Koska yhtälössä

vasen ja oikea osa ovat murto-lausekkeita ja murto-lausekkeissa joillekin muuttujien arvoille nimittäjä voi kadota, sitten on tarkistettava, eikö yhteinen nimittäjä katoa, kun x1 ja x2 löytyy.

Kohdassa x = -27 yhteinen nimittäjä (x + 7)(x - 1) ei katoa, kun x = -1 yhteinen nimittäjä on myös nollasta poikkeava.

Siksi sekä juuret -27 että -1 ovat yhtälön juuria.

Kun ratkaistaan ​​murto-rationaalinen yhtälö, on parempi ilmoittaa välittömästi sallittujen arvojen alue. Eliminoi ne arvot, joissa yhteinen nimittäjä menee nollaan.

Harkitse toista esimerkkiä murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemisesta.

Ratkaistaan ​​esimerkiksi yhtälö

Jaamme yhtälön oikealla puolella olevan murto-osan nimittäjä tekijöiksi

Saamme yhtälön

Etsi yhteinen nimittäjä nimittäjille (x - 5), x, x (x - 5).

Se on lauseke x (x - 5).

Etsitään nyt yhtälön sallittujen arvojen alue

Tätä varten yhdistämme yhteisen nimittäjän nollaan x (x - 5) \u003d 0.

Saamme yhtälön, jonka ratkaisemalla huomaamme, että kohdassa x \u003d 0 tai kohdassa x \u003d 5 yhteinen nimittäjä katoaa.

Joten x = 0 tai x = 5 ei voi olla yhtälömme juuria.

Nyt voit löytää lisää kertoimia.

Lisäkerroin rationaalisille murtoluvuille

murtolukujen lisäkerroin

tulee olemaan (x - 5),

ja murto-osan lisäkerroin

Kerromme osoittajat vastaavilla lisätekijöillä.

Saamme yhtälön x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Avataan sulut vasemmalla ja oikealla, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Siirretään termejä oikealta vasemmalle muuttamalla siirrettävien ehtojen merkkiä:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Ja samankaltaisten termien tuomisen jälkeen saamme toisen asteen yhtälön x2 - 3x - 10 \u003d 0. Kun se on ratkaistu, löydämme juuret x1 \u003d -2; x2 = 5.

Mutta olemme jo havainneet, että kohdassa x = 5 yhteinen nimittäjä x(x - 5) katoaa. Siksi yhtälömme juuri

on x = -2.

§ 4 Oppitunnin yhteenveto

Tärkeää muistaa:

Kun ratkaiset murto-rationaaliyhtälöitä, sinun on toimittava seuraavasti:

1. Etsi yhtälöön sisältyvien murtolukujen yhteinen nimittäjä. Lisäksi, jos murtolukujen nimittäjät voidaan kertoa, kerro ne ja etsi sitten yhteinen nimittäjä.

2. Kerro yhtälön molemmat puolet yhteisellä nimittäjällä: etsi lisätekijät, kerro osoittajat lisäkertoimilla.

3. Ratkaise tuloksena oleva kokonaisyhtälö.

4. Jätä sen juurista pois ne, jotka kääntävät yhteisen nimittäjän nollaan.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Toimittajana Telyakovsky S.A. Algebra: oppikirja. 8 solulle. Yleissivistävä koulutus toimielimet. - M.: Koulutus, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. Luokka 8: kahdessa osassa. Osa 1: Proc. yleissivistävää koulutusta varten toimielimet. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Algebran oppituntien kehitys: luokka 8. - M .: VAKO, 2010.
4. Algebra luokka 8: tuntisuunnitelmat oppikirjan mukaan Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Opettaja, 2005.

Yksinkertaisesti sanottuna nämä ovat yhtälöitä, joissa on vähintään yksi, jonka nimittäjässä on muuttuja.

Esimerkiksi:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Esimerkki ei murto-rationaaliset yhtälöt:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Miten murto-rationaaliset yhtälöt ratkaistaan?

Tärkein asia, joka on muistettava murto-rationaalisissa yhtälöissä, on, että sinun on kirjoitettava niihin. Ja kun olet löytänyt juuret, muista tarkistaa niiden hyväksyttävyys. Muuten voi ilmaantua vieraita juuria, ja koko ratkaisua pidetään virheellisenä.

Algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi:

Kirjoita ja "ratkaise" ODZ.

Kerro yhtälön jokainen termi yhteisellä nimittäjällä ja pienennä tuloksena olevia murtolukuja. Nimittäjät katoavat.

Kirjoita yhtälö avaamatta sulkuja.

Ratkaise tuloksena oleva yhtälö.

Tarkista löydetyt juuret ODZ:lla.

Kirjoita vastaukseksi ylös juuret, jotka läpäisivät testin vaiheessa 7.

Älä muista algoritmia, 3-5 ratkaistua yhtälöä - ja se muistaa itsestään.

Esimerkki . Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Päätös:

Vastaus: \(3\).

Esimerkki . Etsi murto-rationaalisen yhtälön \(=0\) juuret

Päätös:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Kirjoitamme ylös ja "ratkaisemme" ODZ:n. Laajenna \(x^2+7x+10\) kaavaan: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Onneksi \(x_1\) ja \(x_2\) olemme jo löytäneet.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Ilmeisesti murtolukujen yhteinen nimittäjä: \((x+2)(x+5)\). Kerromme koko yhtälön sillä.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Vähennämme murto-osia
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Kiinnikkeiden avaaminen
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Annamme samanlaiset ehdot
\(2x^2+9x-5=0\)		Yhtälön juurten löytäminen
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Yksi juurista ei mahdu ODZ:n alle, joten vastauksena kirjoitamme vain toisen juuren.

Vastaus: \(\frac(1)(2)\).

Esitimme yllä olevan yhtälön §:ssä 7. Ensin muistellaan, mikä on rationaalinen lauseke. Tämä on algebrallinen lauseke, joka koostuu luvuista ja muuttujasta x käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja eksponentiooperaatioita luonnollisella eksponentilla.

Jos r(x) on rationaalinen lauseke, yhtälöä r(x) = 0 kutsutaan rationaaliseksi yhtälöksi.

Käytännössä on kuitenkin kätevämpää käyttää hieman laajempaa tulkintaa termistä "rationaalinen yhtälö": tämä on yhtälö muotoa h(x) = q(x), missä h(x) ja q(x) ovat rationaalisia ilmaisuja.

Toistaiseksi emme pystyneet ratkaisemaan yhtään rationaalista yhtälöä, vaan vain sellaisen, joka erilaisten muunnosten ja päättelyjen seurauksena pelkistyi lineaarinen yhtälö. Nyt mahdollisuutemme ovat paljon suuremmat: pystymme ratkaisemaan rationaalisen yhtälön, joka pelkistyy paitsi lineaariseen
mu, vaan myös toisen asteen yhtälölle.

Muista kuinka ratkaisimme rationaalisia yhtälöitä aiemmin ja yritä muodostaa ratkaisualgoritmi.

Esimerkki 1 ratkaise yhtälö

Päätös. Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon

Tässä tapauksessa, kuten tavallista, käytämme sitä tosiasiaa, että yhtälöt A \u003d B ja A - B \u003d 0 ilmaisevat samaa suhdetta A:n ja B:n välillä. Tämä antoi meille mahdollisuuden siirtää termi yhtälön vasemmalle puolelle vastakkainen merkki.

Suoritetaan muunnoksia yhtälön vasemmalle puolelle. Meillä on

Muista tasa-arvoehdot murto-osia nolla: jos ja vain jos kaksi relaatiota täyttyy samanaikaisesti:

1) murto-osan osoittaja on nolla (a = 0); 2) murto-osan nimittäjä on eri kuin nolla).
Kun yhtälön (1) vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittaja on nolla, saadaan

On vielä tarkistettava, että toinen edellä mainittu ehto täyttyy. Suhde tarkoittaa yhtälölle (1), että . Arvot x 1 = 2 ja x 2 = 0,6 täyttävät esitetyt suhteet ja toimivat siksi yhtälön (1) juurina ja samalla annetun yhtälön juurina.

1) Muunnetaan yhtälö muotoon

2) Suoritetaan tämän yhtälön vasemman puolen muunnokset:

(muutti samanaikaisesti merkkejä osoittajassa ja
murtoluvut).
Siten annettu yhtälö saa muodon

3) Ratkaise yhtälö x 2 - 6x + 8 = 0. Etsi

4) Tarkista löydetyt arvot kunto . Numero 4 täyttää tämän ehdon, mutta numero 2 ei. Joten 4 on annetun yhtälön juuri ja 2 on ulkopuolinen juuri.
Vastaus: 4.

2. Rationaalisten yhtälöiden ratkaisu ottamalla käyttöön uusi muuttuja

Uuden muuttujan käyttöönottotapa on sinulle tuttu, olemme käyttäneet sitä useammin kuin kerran. Osoitetaan esimerkein, kuinka sitä käytetään rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisessa.

Esimerkki 3 Ratkaise yhtälö x 4 + x 2 - 20 = 0.

Päätös. Esittelemme uuden muuttujan y \u003d x 2. Koska x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, niin annettu yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

y 2 + y - 20 = 0.

Tämä on toisen asteen yhtälö, jonka juuret löydämme käyttämällä tunnettua kaavat; saamme y 1 = 4, y 2 = - 5.
Mutta y \u003d x 2, mikä tarkoittaa, että ongelma on pelkistetty kahden yhtälön ratkaisemiseen:
x2 = 4; x 2 \u003d -5.

Ensimmäisestä yhtälöstä huomaamme, että toisella yhtälöllä ei ole juuria.
Vastaus:.
Yhtälöä, jonka muoto on ax 4 + bx 2 + c \u003d 0, kutsutaan bikvadraattiseksi yhtälöksi ("bi" - kaksi, eli ikään kuin "kaksi neliö" yhtälö). Juuri ratkaistu yhtälö oli täsmälleen kaksikvadraattinen. Mikä tahansa kaksikvadraattinen yhtälö ratkaistaan ​​samalla tavalla kuin esimerkin 3 yhtälö: otetaan käyttöön uusi muuttuja y \u003d x 2, tuloksena oleva toisen asteen yhtälö ratkaistaan ​​muuttujan y suhteen ja palautetaan sitten muuttujaan x.

Esimerkki 4 ratkaise yhtälö

Päätös. Huomaa, että sama lauseke x 2 + 3x esiintyy tässä kahdesti. Siksi on järkevää ottaa käyttöön uusi muuttuja y = x 2 + Zx. Tämä antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa yhtälö uudelleen yksinkertaisempaan ja miellyttävämpään muotoon (mikä itse asiassa on tarkoitus ottaa käyttöön uusi muuttuja- ja tallennus on helpompaa
, ja yhtälön rakenne selkiytyy):

Ja nyt käytämme algoritmia rationaalisen yhtälön ratkaisemiseen.

1) Siirretään kaikki yhtälön ehdot yhteen osaan:

= 0
2) Muunnetaan yhtälön vasen puoli

Joten, olemme muuntaneet annetun yhtälön muotoon

3) Yhtälöstä - 7y 2 + 29y -4 = 0 löydämme (olemme jo ratkaisseet melko paljon toisen asteen yhtälöitä, joten ei välttämättä aina kannata antaa yksityiskohtaisia ​​laskelmia oppikirjassa).

4) Tarkistetaan löydetyt juuret ehdolla 5 (y - 3) (y + 1). Molemmat juuret täyttävät tämän ehdon.
Joten, uuden muuttujan y toisen asteen yhtälö on ratkaistu:
Koska y \u003d x 2 + Zx ja y, kuten olemme todenneet, ottaa kaksi arvoa: 4 ja, - meidän on vielä ratkaistava kaksi yhtälöä: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Ensimmäisen yhtälön juuret ovat luvut 1 ja -4, toisen yhtälön juuret ovat numerot

Tarkastetuissa esimerkeissä tapa ottaa uusi muuttuja käyttöön oli, kuten matemaatikot haluavat sanoa, tilanteeseen sopiva, eli se vastasi hyvin sitä. Miksi? Kyllä, koska sama lauseke esiintyi yhtälötietueessa selvästi useita kertoja ja tämä lauseke oli järkevää merkitä uudella kirjaimella. Mutta näin ei aina ole, joskus uusi muuttuja "näkyy" vain muunnosprosessissa. Juuri näin tapahtuu seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 5 ratkaise yhtälö
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Päätös. Meillä on
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Joten annettu yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Nyt on "ilmennyt" uusi muuttuja: y = x 2 - Zx.

Sen avulla yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon y (y + 2) \u003d 24 ja sitten y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Tämän yhtälön juuret ovat numerot 4 ja -6.

Palaamalla alkuperäiseen muuttujaan x saadaan kaksi yhtälöä x 2 - Zx \u003d 4 ja x 2 - Zx \u003d - 6. Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; toisella yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: 4, - 1.

Oppitunnin sisältö oppitunnin yhteenveto tukikehys oppituntiesitys kiihdyttävät menetelmät interaktiiviset tekniikat Harjoitella tehtävät ja harjoitukset itsetutkiskelu työpajat, koulutukset, tapaukset, tehtävät kotitehtävät keskustelukysymykset opiskelijoiden retoriset kysymykset Kuvituksia ääni, videoleikkeet ja multimedia valokuvat, kuvat grafiikka, taulukot, kaaviot huumori, anekdootit, vitsit, sarjakuvat, vertaukset, sanonnat, ristisanatehtävät, lainaukset Lisäosat abstrakteja artikkelit sirut uteliaille pinnasängyt oppikirjat perus- ja lisäsanasto muut Oppikirjojen ja oppituntien parantaminenkorjata oppikirjan virheet päivittää oppikirjan fragmentti innovaation elementtejä oppitunnilla vanhentuneen tiedon korvaaminen uudella Vain opettajille täydellisiä oppitunteja kalenterisuunnitelma vuodelle keskusteluohjelman metodologiset suositukset Integroidut oppitunnit

Tutustutaan rationaalisiin ja murto-rationaalisiin yhtälöihin, annetaan niiden määritelmät, annetaan esimerkkejä ja analysoidaan myös yleisimmät ongelmatyypit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rationaalinen yhtälö: määritelmä ja esimerkit

Rationaalisiin ilmaisuihin tutustuminen alkaa koulun 8. luokalla. Tällä hetkellä algebratunneilla opiskelijat alkavat yhä useammin kohdata tehtäviä, joissa on yhtälöitä, jotka sisältävät rationaalisia lausekkeita muistiinpanoissaan. Virkistetään muistiamme siitä, mitä se on.

Määritelmä 1

rationaalinen yhtälö on yhtälö, jonka molemmat puolet sisältävät rationaalisia lausekkeita.

Useista käsikirjoista löytyy toinen sanamuoto.

Määritelmä 2

rationaalinen yhtälö- tämä on yhtälö, jonka vasemman puolen tietue sisältää rationaalisen lausekkeen ja oikealla on nolla.

Määritelmät, jotka olemme antaneet rationaalisille yhtälöille, ovat samanarvoisia, koska ne tarkoittavat samaa asiaa. Sanojemme oikeellisuuden vahvistaa se tosiasia, että kaikille rationaalisille ilmauksille P ja K yhtälöt P = Q ja P − Q = 0 ovat vastaavia ilmaisuja.

Siirrytään nyt esimerkkeihin.

Esimerkki 1

Rationaaliset yhtälöt:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rationaaliset yhtälöt, kuten muun tyyppiset yhtälöt, voivat sisältää minkä tahansa määrän muuttujia yhdestä useaan. Aluksi tarkastelemme yksinkertaisia ​​esimerkkejä, joissa yhtälöt sisältävät vain yhden muuttujan. Ja sitten alamme vähitellen monimutkaista tehtävää.

Rationaaliset yhtälöt on jaettu kahteen suureen ryhmään: kokonaisluku- ja murtoluku. Katsotaanpa, mitkä yhtälöt pätevät kuhunkin ryhmään.

Määritelmä 3

Rationaalinen yhtälö on kokonaisluku, jos sen vasemman ja oikean osan tietue sisältää kokonaisia ​​rationaalisia lausekkeita.

Määritelmä 4

Rationaalinen yhtälö on murtoluku, jos toinen tai molemmat sen osat sisältävät murtoluvun.

Murto-rationaaliset yhtälöt sisältävät välttämättä jaon muuttujalla tai muuttuja on läsnä nimittäjässä. Tällaista jakoa ei ole kirjoitettaessa kokonaislukuyhtälöitä.

Esimerkki 2

3 x + 2 = 0 ja (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0, 5 ovat kokonaisia ​​rationaalisia yhtälöitä. Tässä yhtälön molemmat osat esitetään kokonaislukulausekkeina.

1 x - 1 = x 3 ja x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1): 5 ovat murto-osan rationaalisia yhtälöitä.

Kaikki rationaaliset yhtälöt sisältävät lineaariset ja toisen asteen yhtälöt.

Kokonaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Tällaisten yhtälöiden ratkaisu pelkistyy yleensä niiden muuntamiseen vastaaviksi algebrallisiksi yhtälöiksi. Tämä voidaan saavuttaa suorittamalla yhtälöiden vastaavat muunnokset seuraavan algoritmin mukaisesti:

• ensin saamme nollan yhtälön oikealle puolelle, tätä varten on tarpeen siirtää yhtälön oikealla puolella oleva lauseke sen vasemmalle puolelle ja muuttaa etumerkkiä;
• sitten muunnetaan yhtälön vasemmalla puolella oleva lauseke vakiomuotoiseksi polynomiksi.

Meidän on saatava algebrallinen yhtälö. Tämä yhtälö on sama kuin alkuperäinen yhtälö. Helppojen tapausten avulla voimme ratkaista ongelman pelkistämällä koko yhtälön lineaariseksi tai neliöllisiksi. Yleisessä tapauksessa ratkaisemme algebrallisen asteyhtälön n.

Esimerkki 3

On tarpeen löytää koko yhtälön juuret 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Päätös

Muunnetaan alkuperäinen lauseke saadaksemme sitä vastaavan algebrallisen yhtälön. Tätä varten siirrämme yhtälön oikealla puolella olevan lausekkeen vasemmalle puolelle ja muutamme merkin päinvastaiseksi. Tuloksena saamme: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Nyt muunnamme vasemman puolen lausekkeen vakiomuotoiseksi polynomiksi ja suoritamme tarvittavat toimenpiteet tällä polynomilla:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Onnistuimme pelkistämään alkuperäisen yhtälön ratkaisun muodon toisen asteen yhtälön ratkaisuksi x 2 − 5 x − 6 = 0. Tämän yhtälön diskriminantti on positiivinen: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tämä tarkoittaa, että todellisia juuria on kaksi. Etsitään ne toisen asteen yhtälön juurten kaavalla:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 tai x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 tai x 2 = - 1

Tarkastetaan ratkaisun aikana löytämämme yhtälön juurien oikeellisuus. Tämä luku, jonka saimme, korvataan alkuperäisellä yhtälöllä: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 ja 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Ensimmäisessä tapauksessa 63 = 63 , toisessa 0 = 0 . Juuret x=6 ja x = −1 ovat todellakin esimerkkiehdon yhtälön juuret.

Vastaus: 6 , − 1 .

Katsotaanpa mitä "koko yhtälön teho" tarkoittaa. Tulemme usein törmäämään tähän termiin niissä tapauksissa, joissa meidän on esitettävä koko yhtälö algebrallisena. Määritellään käsite.

Määritelmä 5

Kokonaislukuyhtälön aste on algebrallisen yhtälön aste, joka vastaa alkuperäistä koko yhtälöä.

Jos katsot yhtälöitä yllä olevasta esimerkistä, voit määrittää: koko tämän yhtälön aste on toinen.

Jos kurssimme rajoittuisi toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen, niin aiheen pohdiskelu voisi olla valmis tähän. Mutta kaikki ei ole niin yksinkertaista. Kolmannen asteen yhtälöiden ratkaiseminen on täynnä vaikeuksia. Ja neljännen asteen yläpuolella oleville yhtälöille ei ole olemassa yleisiä kaavoja juurille. Tässä suhteessa kokonaisten kolmannen, neljännen ja muiden asteiden yhtälöiden ratkaiseminen edellyttää useiden muiden tekniikoiden ja menetelmien käyttöä.

Yleisimmin käytetty tapa ratkaista kokonaisia ​​rationaaliyhtälöitä perustuu faktorointimenetelmään. Toimintojen algoritmi tässä tapauksessa on seuraava:

• siirrämme lausekkeen oikealta puolelta vasemmalle niin, että nolla jää tietueen oikealle puolelle;
• edustamme vasemmalla olevaa lauseketta tekijöiden tulona ja siirrymme sitten useiden yksinkertaisempien yhtälöiden joukkoon.

Esimerkki 4

Etsi ratkaisu yhtälölle (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Päätös

Siirrämme lausekkeen tietueen oikealta puolelta vasemmalle puolelle vastakkaisella merkillä: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. Vasemman puolen muuntaminen vakiomuotoiseksi polynomiksi on epäkäytännöllistä, koska tämä antaa meille neljännen asteen algebrallisen yhtälön: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Muuntamisen helppous ei oikeuta kaikkia tällaisen yhtälön ratkaisemiseen liittyviä vaikeuksia.

On paljon helpompi mennä toiseen suuntaan: otamme pois yhteisen tekijän x 2 − 10 x + 13 . Siten pääsemme muodon yhtälöön (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Nyt korvaamme tuloksena olevan yhtälön kahden toisen asteen yhtälön joukolla x 2 − 10 x + 13 = 0 ja x 2 − 2 x − 1 = 0 ja löytää niiden juuret erottimen avulla: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Vastaus: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Samalla tavalla voimme käyttää uuden muuttujan käyttöönoton menetelmää. Tämän menetelmän avulla voimme siirtyä vastaaviin yhtälöihin, joiden tehot ovat pienemmät kuin alkuperäisessä koko yhtälössä.

Esimerkki 5

Onko yhtälöllä juuret? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Päätös

Jos nyt yritämme pelkistää kokonaisen rationaalisen yhtälön algebralliseksi, saamme asteen 4 yhtälön, jolla ei ole rationaalisia juuria. Siksi meidän on helpompi mennä toiseen suuntaan: ota käyttöön uusi muuttuja y, joka korvaa yhtälön lausekkeen x 2 + 3 x.

Nyt työskentelemme koko yhtälön kanssa (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Siirrämme yhtälön oikean puolen vasemmalle puolelle vastakkaisella merkillä ja suoritamme tarvittavat muunnokset. Saamme: y 2 + 4 y + 3 = 0. Etsitään toisen asteen yhtälön juuret: y = −1 ja y = −3.

Tehdään nyt käänteinen korvaus. Saamme kaksi yhtälöä x 2 + 3 x = − 1 ja x 2 + 3 x = - 3 . Kirjoitetaan ne uudelleen muotoon x 2 + 3 x + 1 = 0 ja x 2 + 3 x + 3 = 0. Käytämme toisen yhtälön juurien kaavaa löytääksemme ensimmäisen saadun yhtälön juuret: - 3 ± 5 2 . Toisen yhtälön diskriminantti on negatiivinen. Tämä tarkoittaa, että toisella yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Vastaus:- 3 ± 5 2

Korkean asteen kokonaislukuyhtälöt törmäävät ongelmissa melko usein. Niitä ei tarvitse pelätä. Sinun on oltava valmis soveltamaan epätyypillistä menetelmää niiden ratkaisemiseen, mukaan lukien useita keinotekoisia muunnoksia.

Murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu

Aloitamme tämän ala-aiheen tarkastelun algoritmilla, jolla ratkaistaan ​​murto-rationaaliset yhtälöt muotoa p (x) q (x) = 0 , missä p(x) ja q(x) ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita. Muiden murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu voidaan aina pelkistää esitetyn muotoisten yhtälöiden ratkaisuksi.

Yleisimmin käytetty menetelmä yhtälöiden p (x) q (x) = 0 ratkaisemiseksi perustuu seuraavaan lauseeseen: numeerinen murtoluku u v, missä v on luku, joka eroaa nollasta, on yhtä suuri kuin nolla vain tapauksissa, joissa murtoluvun osoittaja on nolla. Yllä olevan väitteen logiikkaa noudattaen voimme väittää, että yhtälön p (x) q (x) = 0 ratkaisu voidaan pelkistää kahden ehdon täyttymiseen: p(x)=0 ja q(x) ≠ 0. Tämän päälle rakennetaan algoritmi muotoa p (x) q (x) = 0 olevien murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi:

• löydämme koko rationaalisen yhtälön ratkaisun p(x)=0;
• tarkistamme, täyttyykö ehto ratkaisun aikana löydetyille juurille q(x) ≠ 0.

Jos tämä ehto täyttyy, niin löydetty juuri. Jos ei, niin juuri ei ole ratkaisu ongelmaan.

Esimerkki 6

Etsi yhtälön 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 juuret .

Päätös

Kyseessä on murto-rationaalinen yhtälö muotoa p (x) q (x) = 0 , jossa p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Aloitetaan lineaarisen yhtälön ratkaiseminen 3 x - 2 = 0. Tämän yhtälön juuri on x = 2 3.

Tarkastetaan löytynyt juuri, täyttääkö se ehdon 5 x 2 - 2 ≠ 0. Voit tehdä tämän korvaamalla lausekkeen numeerisen arvon. Saamme: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Edellytys täyttyy. Se tarkoittaa sitä x = 2 3 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus: 2 3 .

On toinenkin vaihtoehto murto-rationaaliyhtälöiden p (x) q (x) = 0 ratkaisemiseksi. Muista, että tämä yhtälö vastaa koko yhtälöä p(x)=0 alkuperäisen yhtälön muuttujan x sallittujen arvojen alueella. Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää seuraavaa algoritmia yhtälöiden p(x) q(x) = 0 ratkaisemisessa:

• ratkaise yhtälö p(x)=0;
• etsi muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue;
• otamme juuret, jotka sijaitsevat muuttujan x sallittujen arvojen alueella, alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön halutuiksi juuriksi.

Esimerkki 7

Ratkaise yhtälö x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Päätös

Ensin ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö x 2 − 2 x − 11 = 0. Sen juurten laskemiseksi käytämme parillisen toisen kertoimen juurikaavaa. Saamme D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 ja x = 1 ± 2 3 .

Nyt voimme löytää alkuperäisen yhtälön x:n ODV:n. Nämä ovat kaikki numeroita x 2 + 3 x ≠ 0. Se on sama kuin x (x + 3) ≠ 0, josta x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Tarkastetaan nyt, ovatko ratkaisun ensimmäisessä vaiheessa saadut juuret x = 1 ± 2 3 muuttujan x hyväksyttävien arvojen alueella. Katsotaan mitä tulee sisään. Tämä tarkoittaa, että alkuperäisellä murto-rationaalisella yhtälöllä on kaksi juuria x = 1 ± 2 3 .

Vastaus: x = 1 ± 2 3

Toinen kuvattu ratkaisumenetelmä on yksinkertaisempi kuin ensimmäinen tapauksissa, joissa muuttujan x sallittujen arvojen alue ja yhtälön juuret löytyvät helposti p(x)=0 irrationaalinen. Esimerkiksi 7 ± 4 26 9 . Juuret voivat olla rationaalisia, mutta niillä on suuri osoittaja tai nimittäjä. Esimerkiksi, 127 1101 ja − 31 59 . Tämä säästää aikaa kunnon tarkistamiseen. q(x) ≠ 0: ODZ:n mukaan on paljon helpompi sulkea pois juuret, jotka eivät sovi.

Kun yhtälön juuret p(x)=0 ovat kokonaislukuja, on tarkoituksenmukaisempaa käyttää ensimmäistä kuvatuista algoritmeista muotoa p (x) q (x) = 0 olevien yhtälöiden ratkaisemiseen. Koko yhtälön juurten löytäminen nopeammin p(x)=0 ja tarkista sitten, täyttyykö ehto heidän osaltaan q(x) ≠ 0, etkä löydä ODZ:tä ja ratkaise sitten yhtälö p(x)=0 tällä ODZ:llä. Tämä johtuu siitä, että tällaisissa tapauksissa on yleensä helpompi tehdä tarkistus kuin löytää ODZ.

Esimerkki 8

Etsi yhtälön juuret (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Päätös

Aloitamme tarkastelemalla koko yhtälöä (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ja löytää sen juuret. Tätä varten käytämme yhtälöiden ratkaisumenetelmää tekijöiden jakamisen kautta. Osoittautuu, että alkuperäinen yhtälö vastaa neljän yhtälön joukkoa 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, joista kolme on lineaarisia ja yksi on neliö. Löydämme juuret: ensimmäisestä yhtälöstä x = 12, toisesta x=6, kolmannesta - x \u003d 7, x \u003d - 2, neljännestä - x = −1.

Tarkastetaan saadut juuret. Määrittele OHS Tämä tapaus se on meille vaikeaa, koska tätä varten meidän on ratkaistava viidennen asteen algebrallinen yhtälö. On helpompi tarkistaa ehto, jonka mukaan yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan nimittäjä ei saa kadota.

Korvaa vuorostaan ​​juuret muuttujan x tilalle lausekkeessa x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 ja laske sen arvo:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Suoritetun tarkastuksen avulla voimme todeta, että alkuperäisen murto-rationaaliyhtälön juuret ovat 1 2 , 6 ja − 2 .

Vastaus: 1 2 , 6 , - 2

Esimerkki 9

Etsi murto-rationaalisen yhtälön 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 juuret.

Päätös

Aloitetaan yhtälöstä (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Etsitään sen juuret. Meidän on helpompi esittää tämä yhtälö neliö- ja lineaaristen yhtälöiden yhdistelmänä 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 ja x − 2 = 0.

Käytämme neliöyhtälön juurien kaavaa juurten löytämiseen. Saamme kaksi juuria x = 7 ± 69 10 ensimmäisestä yhtälöstä ja toisesta x=2.

Juurien arvon korvaaminen alkuperäiseen yhtälöön olosuhteiden tarkistamiseksi on meille melko vaikeaa. On helpompi määrittää muuttujan x LPV. Tässä tapauksessa muuttujan x DPV on kaikki luvut, paitsi ne, joiden ehto täyttyy x 2 + 5 x − 14 = 0. Saamme: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Tarkastetaan nyt, kuuluvatko löytämämme juuret x-muuttujan hyväksyttävien arvojen alueelle.

Juuret x = 7 ± 69 10 - kuuluvat, joten ne ovat alkuperäisen yhtälön juuria, ja x=2- ei kuulu, joten se on vieras juuri.

Vastaus: x = 7 ± 69 10 .

Tarkastellaan erikseen tapauksia, joissa muotoa p (x) q (x) = 0 olevan murto-rationaaliyhtälön osoittaja sisältää luvun. Tällaisissa tapauksissa, jos osoittaja sisältää muun luvun kuin nolla, yhtälöllä ei ole juuria. Jos tämä luku on nolla, yhtälön juuri on mikä tahansa luku ODZ:stä.

Esimerkki 10

Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Päätös

Tällä yhtälöllä ei ole juuria, koska yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittaja sisältää nollasta poikkeavan luvun. Tämä tarkoittaa, että millekään x:n arvolle ongelman ehdossa annetun murto-osan arvo ei ole nolla.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 11

Ratkaise yhtälö 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Päätös

Koska murto-osan osoittaja on nolla, yhtälön ratkaisu on mikä tahansa x:n arvo ODZ-muuttujasta x.

Nyt määritellään ODZ. Se sisältää kaikki x-arvot, joille x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Yhtälöratkaisut x 4 + 5 x 3 = 0 ovat 0 ja − 5 , koska tämä yhtälö vastaa yhtälöä x 3 (x + 5) = 0, ja se puolestaan ​​vastaa kahden yhtälön joukkoa x 3 = 0 ja x + 5 = 0 missä nämä juuret näkyvät. Tulemme siihen tulokseen, että haluttu hyväksyttävien arvojen alue on mikä tahansa x , paitsi x=0 ja x = -5.

Osoittautuu, että murto-rationaalisessa yhtälössä 0 x 4 + 5 x 3 = 0 on ääretön määrä ratkaisuja, jotka ovat mitä tahansa lukuja paitsi nolla ja -5.

Vastaus: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Puhutaan nyt mielivaltaisen muodon murto-rationaalisista yhtälöistä ja niiden ratkaisemismenetelmistä. Ne voidaan kirjoittaa nimellä r(x) = s(x), missä r(x) ja s(x) ovat rationaalisia lausekkeita, ja ainakin yksi niistä on murtoluku. Tällaisten yhtälöiden ratkaisu pelkistetään muotoa p (x) q (x) = 0 olevien yhtälöiden ratkaisuksi.

Tiedämme jo, että voimme saada ekvivalentin yhtälön siirtämällä lausekkeen yhtälön oikealta puolelta vasemmalle päinvastaisella merkillä. Tämä tarkoittaa, että yhtälö r(x) = s(x) vastaa yhtälöä r (x) − s (x) = 0. Olemme myös jo keskustelleet siitä, kuinka rationaalinen lauseke muunnetaan rationaaliseksi murtoluvuksi. Tämän ansiosta voimme helposti muuttaa yhtälön r (x) − s (x) = 0 sen identtiseksi rationaaliseksi murto-osaksi muotoa p (x) q (x) .

Joten siirrymme alkuperäisestä murto-rationaalisesta yhtälöstä r(x) = s(x) yhtälöön muotoa p (x) q (x) = 0 , jonka olemme jo oppineet ratkaisemaan.

On huomattava, että tehdessäsi siirtymiä r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) = 0 ja sitten arvoon p(x)=0 emme välttämättä ota huomioon muuttujan x kelvollisten arvojen alueen laajenemista.

On varsin realistista, että alkuperäinen yhtälö r(x) = s(x) ja yhtälö p(x)=0 muutosten seurauksena ne lakkaavat olemasta vastaavia. Sitten yhtälön ratkaisu p(x)=0 voi antaa meille vieraita juuria r(x) = s(x). Tältä osin jokaisessa tapauksessa on tarpeen suorittaa tarkastus jollakin edellä kuvatuista menetelmistä.

Aiheen tutkimisen helpottamiseksi olemme yleistäneet kaikki tiedot algoritmiksi muodon murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi r(x) = s(x):

• siirrämme lausekkeen oikealta puolelta vastakkaisella merkillä ja saamme nollan oikealle;
• muunnamme alkuperäisen lausekkeen rationaaliseksi murtoluvuksi p (x) q (x) , suorittaen peräkkäin operaatioita murtoluvuilla ja polynomeilla;
• ratkaise yhtälö p(x)=0;
• paljastamme vieraat juuret tarkistamalla niiden kuuluvuuden ODZ:hen tai korvaamalla alkuperäisen yhtälön.

Visuaalisesti toimintaketju näyttää tältä:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → keskeyttäneiden r o n d e r o n s

Esimerkki 12

Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö x x + 1 = 1 x + 1 .

Päätös

Siirrytään yhtälöön x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Muunnetaan yhtälön vasemmalla puolella oleva murto-rationaalinen lauseke muotoon p (x) q (x) .

Tätä varten meidän on vähennettävä rationaaliset murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi ja yksinkertaistettava lauseke:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Löytääksemme yhtälön - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 juuret, meidän on ratkaistava yhtälö − 2 x − 1 = 0. Saamme yhden juuren x = - 1 2.

Meidän tehtävämme on suorittaa tarkistus millä tahansa menetelmällä. Tarkastellaanpa niitä molempia.

Korvaa tuloksena oleva arvo alkuperäiseen yhtälöön. Saamme -1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Olemme tulleet oikeaan numeeriseen yhtäläisyyteen − 1 = − 1 . Se tarkoittaa sitä x = − 1 2 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Nyt tarkistamme ODZ:n kautta. Määritetään muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue. Tämä on koko lukujoukko, paitsi −1 ja 0 (jos x = −1 ja x = 0, murto-osien nimittäjät häviävät). Juuri, jonka saimme x = − 1 2 kuuluu ODZ:lle. Tämä tarkoittaa, että se on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus: − 1 2 .

Esimerkki 13

Etsi yhtälön x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x juuret.

Päätös

Käsittelemme murto-rationaalista yhtälöä. Siksi toimimme algoritmin mukaan.

Siirretään lauseke oikealta puolelta vasemmalle päinvastaisella merkillä: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Suoritetaan tarvittavat muunnokset: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Tulemme yhtälöön x=0. Tämän yhtälön juuri on nolla.

Tarkistetaan, onko tämä juuri vieras alkuperäiselle yhtälölle. Korvaa alkuperäisen yhtälön arvo: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kuten näet, tuloksena oleva yhtälö ei ole järkevä. Tämä tarkoittaa, että 0 on ulkopuolinen juuri ja alkuperäisellä murto-rationaaliyhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: ei juuria.

Jos emme ole sisällyttäneet algoritmiin muita vastaavia muunnoksia, tämä ei tarkoita ollenkaan, etteikö niitä voisi käyttää. Algoritmi on universaali, mutta se on suunniteltu auttamaan, ei rajoittamaan.

Esimerkki 14

Ratkaise yhtälö 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Päätös

Helpoin tapa on ratkaista annettu murto-rationaalinen yhtälö algoritmin mukaan. Mutta on toinenkin tapa. Mietitäänpä sitä.

Vähennä oikeasta ja vasemmasta osasta 7, saamme: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Tästä voidaan päätellä, että lausekkeen vasemman puolen nimittäjässä tulee olla yhtä suuri kuin oikean puolen luvun käänteisluku, eli 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Vähennä molemmista osista 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analogisesti 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, josta 1 5 - x 2 \u003d 1 3 ja edelleen 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Tarkastetaan, ovatko löydetyt juuret alkuperäisen yhtälön juuria.

Vastaus: x = ± 2

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Jatkamme keskustelua yhtälöiden ratkaisu. Tässä artikkelissa keskitymme rationaaliset yhtälöt ja periaatteet rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla. Ensin selvitetään, millaisia ​​yhtälöitä kutsutaan rationaalisiksi, määritetään kokonaislukuiset rationaaliset ja murto-rationaaliset yhtälöt ja annamme esimerkkejä. Seuraavaksi hankimme algoritmeja rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseen ja tietysti tarkastelemme tyypillisten esimerkkien ratkaisuja kaikkine tarvittavin selityksin.

Sivulla navigointi.

Äänitettyjen määritelmien perusteella annamme useita esimerkkejä rationaalisista yhtälöistä. Esimerkiksi x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , ovat kaikki rationaalisia yhtälöitä.

Esitetyistä esimerkeistä voidaan nähdä, että rationaaliset yhtälöt, kuten myös muun tyyppiset yhtälöt, voivat olla joko yhdellä muuttujalla tai kahdella, kolmella jne. muuttujia. Seuraavissa kappaleissa puhumme rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta yhdessä muuttujassa. Yhtälöiden ratkaiseminen kahdella muuttujalla ja niiden suuri määrä ansaitsee erityistä huomiota.

Sen lisäksi, että rationaaliset yhtälöt jaetaan tuntemattomien muuttujien lukumäärällä, ne jaetaan myös kokonaislukuihin ja murtolukuihin. Annetaan vastaavat määritelmät.

Määritelmä.

Rationaalista yhtälöä kutsutaan koko, jos sen vasen ja oikea osa ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita.

Määritelmä.

Jos ainakin yksi rationaalisen yhtälön osista on murtoluku, niin yhtälöä kutsutaan murto-osa rationaalista(tai murto-rationaalinen).

On selvää, että kokonaislukuyhtälöt eivät sisällä jakoa muuttujalla, päinvastoin murto-rationaaliset yhtälöt sisältävät välttämättä jakamisen muuttujalla (tai muuttujalla nimittäjässä). Joten 3 x+2=0 ja (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 ovat kokonaisia ​​rationaalisia yhtälöitä, joiden molemmat osat ovat kokonaislukulausekkeita. A ja x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ovat esimerkkejä murto-rationaalisista yhtälöistä.

Tämän kappaleen lopuksi kiinnittäkäämme huomiota siihen, että tällä hetkellä tunnetut lineaariyhtälöt ja toisen asteen yhtälöt ovat kokonaisia ​​rationaalisia yhtälöitä.

Kokonaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Yksi tärkeimmistä lähestymistavoista kokonaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on niiden pelkistäminen ekvivalentiksi algebralliset yhtälöt. Tämä voidaan aina tehdä suorittamalla seuraavat yhtälön vastaavat muunnokset:

• ensin, lauseke alkuperäisen kokonaislukuyhtälön oikealta puolelta siirretään vasemmalle puolelle päinvastaisella merkillä, jotta oikealle puolelle saadaan nolla;
• sen jälkeen yhtälön vasemmalla puolella tuloksena oleva vakiomuoto.

Tuloksena on algebrallinen yhtälö, joka vastaa alkuperäistä koko yhtälöä. Joten yksinkertaisimmissa tapauksissa kokonaisten yhtälöiden ratkaisu pelkistetään lineaaristen tai toisen asteen yhtälöiden ratkaisuksi ja yleisessä tapauksessa - n-asteen algebrallisen yhtälön ratkaisuksi. Selvyyden vuoksi analysoidaan esimerkin ratkaisua.

Esimerkki.

Etsi koko yhtälön juuret 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Päätös.

Pelkistetään tämän yhtälön ratkaisu vastaavan algebrallisen yhtälön ratkaisuksi. Tätä varten siirrämme ensin lausekkeen oikealta puolelta vasemmalle, minkä seurauksena pääsemme yhtälöön 3 (x+1) (x-3)-x (2 x-1)+3=0. Ja toiseksi, muunnamme vasemmalle puolelle muodostetun lausekkeen vakiomuodon polynomiksi tekemällä tarvittavat: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Näin ollen alkuperäisen kokonaislukuyhtälön ratkaisu pelkistetään toisen asteen yhtälön x 2 −5·x−6=0 ratkaisuksi.

Laske sen diskriminantti D=(-5) 2-4 1 (-6)=25+24=49, se on positiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä on kaksi todellista juuria, jotka löydämme toisen asteen yhtälön juurien kaavasta:

Ollaksemme täysin varmoja, tehdään tarkistaa yhtälön löydetyt juuret. Ensin tarkistamme juuren 6, korvaamme sen muuttujan x sijasta alkuperäisessä kokonaislukuyhtälössä: 3 (6+1) (6-3)=6 (2 6-1)-3, joka on sama, 63=63 . Tämä on kelvollinen numeerinen yhtälö, joten x=6 on todellakin yhtälön juuri. Nyt tarkistamme juuren −1 , meillä on 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, mistä, 0 = 0 . Kun x=−1, alkuperäinen yhtälö muuttui myös todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi, joten x=−1 on myös yhtälön juuri.

Vastaus:

6 , −1 .

Tässä on myös huomattava, että termi "koko yhtälön teho" liittyy kokonaisen yhtälön esittämiseen algebrallisen yhtälön muodossa. Annamme vastaavan määritelmän:

Määritelmä.

Koko yhtälön aste kutsua sitä vastaavan algebrallisen yhtälön astetta.

Tämän määritelmän mukaan koko edellisen esimerkin yhtälöllä on toinen aste.

Tähän voitaisiin päättää kokonaisten rationaalisten yhtälöiden ratkaisu, jos ei yksi, mutta .... Kuten tiedetään, toista korkeamman asteen algebrallisten yhtälöiden ratkaisuun liittyy merkittäviä vaikeuksia, ja neljännen asteen yhtälöille ei ole olemassa yleisiä kaavoja juurille. Siksi kokonaisten kolmannen, neljännen ja korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi on usein turvauduttava muihin ratkaisumenetelmiin.

Tällaisissa tapauksissa joskus lähestymistapa ratkaista kokonaisia ​​rationaalisia yhtälöitä perustuu faktorointimenetelmä. Samalla noudatetaan seuraavaa algoritmia:

• Ensin he pyrkivät saamaan nollan yhtälön oikealle puolelle, tätä varten he siirtävät lausekkeen koko yhtälön oikealta puolelta vasemmalle;
• sitten tuloksena oleva vasemmalla puolella oleva lauseke esitetään useiden tekijöiden tulona, ​​jonka avulla voit siirtyä useiden yksinkertaisempien yhtälöiden joukkoon.

Yllä oleva algoritmi koko yhtälön ratkaisemiseksi tekijöiden jakamisen kautta vaatii yksityiskohtaisen selityksen esimerkin avulla.

Esimerkki.

Ratkaise koko yhtälö (x 2 -1) (x 2 -10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Päätös.

Ensin, kuten tavallista, siirrämme lausekkeen yhtälön oikealta puolelta vasemmalle, unohtamatta muuttaa etumerkkiä, saamme (x 2 -1) (x 2 -10 x+13) - 2 x (x 2 −10 x+13) = 0 . Tässä on aivan ilmeistä, että tuloksena olevan yhtälön vasenta puolta ei kannata muuttaa vakiomuotoiseksi polynomiksi, koska se antaa muodon neljännen asteen algebrallisen yhtälön. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, jonka ratkaisu on vaikea.

Toisaalta on selvää, että x 2 −10·x+13 löytyy tuloksena olevan yhtälön vasemmalta puolelta ja edustaa sitä tulona. Meillä on (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x -1) = 0. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä koko yhtälöä ja se voidaan puolestaan ​​korvata kahden toisen asteen yhtälön joukolla x 2 −10·x+13=0 ja x 2 −2·x−1=0 . Niiden juurien löytäminen tunnetuilla juurikaavoilla diskriminantin kautta ei ole vaikeaa, juuret ovat samanarvoisia. Ne ovat alkuperäisen yhtälön halutut juuret.

Vastaus:

Se on hyödyllinen myös kokonaisten rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. menetelmä uuden muuttujan käyttöönottamiseksi. Joissakin tapauksissa se sallii siirtymisen yhtälöihin, joiden aste on pienempi kuin alkuperäisen kokonaislukuyhtälön aste.

Esimerkki.

Etsi rationaalisen yhtälön todelliset juuret (x 2 +3 x+1) 2 +10 = -2 (x 2 +3 x -4).

Päätös.

Koko tämän rationaalisen yhtälön pelkistäminen algebralliseksi yhtälöksi ei ole lievästi sanottuna kovin hyvä idea, koska tässä tapauksessa tulemme tarpeeseen ratkaista neljännen asteen yhtälö, jolla ei ole rationaalisia juuria. Siksi sinun on etsittävä toinen ratkaisu.

Tästä on helppo nähdä, että voit ottaa käyttöön uuden muuttujan y ja korvata sillä lausekkeen x 2 +3 x. Tällainen korvaus johtaa meidät koko yhtälöön (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , joka siirrettyään lausekkeen −2 (y−4) vasemmalle ja sen jälkeen muodostetun lausekkeen muunnoksen siellä pelkistyy yhtälöön y 2 +4 y+3=0 . Tämän yhtälön y=−1 ja y=−3 juuret ovat helposti löydettävissä, ne voidaan löytää esimerkiksi Vietan lauseen käänteislauseen perusteella.

Siirrytään nyt uuden muuttujan käyttöönoton menetelmän toiseen osaan, eli käänteisen korvauksen tekemiseen. Käänteisen substituution suorittamisen jälkeen saadaan kaksi yhtälöä x 2 +3 x=−1 ja x 2 +3 x=−3 , jotka voidaan kirjoittaa uudelleen muotoiksi x 2 +3 x+1=0 ja x 2 +3 x+3 =0. Toisen yhtälön juurten kaavan mukaan löydämme ensimmäisen yhtälön juuret. Ja toisella toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, koska sen diskriminantti on negatiivinen (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Vastaus:

Yleisesti ottaen, kun käsittelemme korkean asteen kokonaislukuyhtälöitä, meidän on aina oltava valmiita etsimään epästandardia menetelmää tai keinotekoista tekniikkaa niiden ratkaisemiseksi.

Murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu

Ensinnäkin on hyödyllistä ymmärtää kuinka ratkaista murto-osan rationaaliset yhtälöt muotoa , jossa p(x) ja q(x) ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita. Ja sitten näytämme kuinka pelkistää jäljellä olevien murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu esitetyn muodon yhtälöiden ratkaisuksi.

Yksi yhtälön ratkaisumenetelmistä perustuu seuraavaan lauseeseen: numeerinen murtoluku u / v, jossa v on nollasta poikkeava luku (muuten kohtaamme , jota ei ole määritelty), on nolla jos ja vain jos sen osoittaja on nolla, niin on, jos ja vain jos u=0 . Tämän väitteen nojalla yhtälön ratkaisu pelkistetään kahden ehdon p(x)=0 ja q(x)≠0 täyttymiseen.

Tämä johtopäätös on yhdenmukainen seuraavan kanssa algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi. Ratkaista muodon murto-rationaalinen yhtälö

• ratkaise koko rationaalinen yhtälö p(x)=0 ;
• ja tarkista täyttyykö ehto q(x)≠0 jokaiselle löydetylle juurelle, while
• jos tosi, tämä juuri on alkuperäisen yhtälön juuri;
• jos ei, niin tämä juuri on ulkopuolinen, eli se ei ole alkuperäisen yhtälön juuri.

Analysoidaan esimerkkiä soinnillisen algoritmin käytöstä rationaalisen murtoyhtälön ratkaisemisessa.

Esimerkki.

Etsi yhtälön juuret.

Päätös.

Tämä on murto-rationaalinen yhtälö muotoa , jossa p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0 .

Tällaisten murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisualgoritmin mukaan meidän on ensin ratkaistava yhtälö 3·x−2=0 . Tämä on lineaarinen yhtälö, jonka juuri on x=2/3.

Jäljelle jää tarkistaa tämä juuri eli tarkistaa, täyttääkö se ehdon 5·x 2 −2≠0 . Korvaamme lausekkeen 5 x 2 −2 luvun 2/3 x:n sijaan, saamme . Ehto täyttyy, joten x=2/3 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus:

2/3 .

Murto-rationaalisen yhtälön ratkaisua voidaan lähestyä hieman eri kohdasta. Tämä yhtälö vastaa alkuperäisen yhtälön muuttujan x koko yhtälöä p(x)=0. Eli voit seurata tätä algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi :

• ratkaise yhtälö p(x)=0 ;
• etsi ODZ-muuttuja x ;
• ota juuret, jotka kuuluvat sallittujen arvojen alueelle - ne ovat alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön haluttuja juuria.

Ratkaistaan ​​esimerkiksi murto-rationaalinen yhtälö tällä algoritmilla.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö.

Päätös.

Ensin ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö x 2 −2·x−11=0 . Sen juuret voidaan laskea parillisen toisen kertoimen juurikaavalla D 1 =(−1) 2 −1 (−11) = 12, ja .

Toiseksi, löydämme alkuperäisen yhtälön muuttujan x ODZ:n. Se koostuu kaikista luvuista, joille x 2 +3 x≠0 , mikä on sama x (x+3)≠0 , josta x≠0 , x≠−3 .

On vielä tarkistettava, sisällytetäänkö ensimmäisessä vaiheessa löydetyt juuret ODZ:hen. Ilmeisesti kyllä. Siksi alkuperäisellä murto-rationaalisella yhtälöllä on kaksi juuria.

Vastaus:

Huomaa, että tämä lähestymistapa on kannattavampi kuin ensimmäinen, jos ODZ on helposti löydettävissä, ja se on erityisen hyödyllistä, jos yhtälön p(x)=0 juuret ovat irrationaalisia, esimerkiksi , tai rationaalisia, mutta melko suurella osoittaja ja/tai nimittäjä, esimerkiksi 127/1101 ja -31/59 . Tämä johtuu siitä, että tällaisissa tapauksissa ehdon q(x)≠0 tarkistaminen vaatii huomattavia laskentaponnisteluja, ja on helpompi sulkea pois ODZ:stä ulkopuoliset juuret.

Muissa tapauksissa yhtälöä ratkaistaessa, varsinkin kun yhtälön p(x)=0 juuret ovat kokonaislukuja, on edullisempaa käyttää ensimmäistä yllä olevista algoritmeista. Eli on suositeltavaa etsiä välittömästi koko yhtälön p(x)=0 juuret ja sitten tarkistaa, täyttyykö ehto q(x)≠0 niille, eikä etsiä ODZ:tä ja ratkaista sitten yhtälö. p(x)=0 tällä ODZ:llä. Tämä johtuu siitä, että tällaisissa tapauksissa on yleensä helpompi tehdä tarkistus kuin löytää ODZ.

Harkitse kahden esimerkin ratkaisua havainnollistamaan määrättyjä vivahteita.

Esimerkki.

Etsi yhtälön juuret.

Päätös.

Ensin löydämme koko yhtälön juuret (2 x-1) (x-6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, käännetty käyttämällä murtoluvun osoittajaa. Tämän yhtälön vasen puoli on tulo, ja oikea puoli on nolla, joten yhtälön faktorointimenetelmän mukaan tämä yhtälö vastaa neljän yhtälön joukkoa 2 x−1=0 , x−6= 0, x 2 −5 x+ 14=0, x+1=0. Kolme näistä yhtälöistä on lineaarisia ja yksi on neliö, voimme ratkaista ne. Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme x=1/2, toisesta - x=6, kolmannesta - x=7, x=−2, neljännestä - x=−1.

Löydetyistä juurista on melko helppo tarkistaa, ettei alkuperäisen yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan nimittäjä katoa, eikä ODZ:n määrittäminen ole niin helppoa, koska sen on ratkaistava viidennen asteen algebrallinen yhtälö. Siksi kieltäydymme etsimästä ODZ:tä juurien tarkistamisen puolesta. Tätä varten korvaamme ne vuorotellen lausekkeen muuttujan x sijasta x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, saatu vaihdon jälkeen, ja vertaa niitä nollaan: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (-2)+112=-720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Siten 1/2, 6 ja −2 ovat alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön haluttuja juuria ja 7 ja −1 ovat ulkopuolisia juuria.

Vastaus:

1/2 , 6 , −2 .

Esimerkki.

Etsi murto-rationaalisen yhtälön juuret.

Päätös.

Ensin löydämme yhtälön juuret (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Tämä yhtälö vastaa kahden yhtälön joukkoa: neliö 5·x 2 −7·x−1=0 ja lineaarinen x−2=0 . Toisen yhtälön juurten kaavan mukaan löydämme kaksi juuria ja toisesta yhtälöstä saamme x=2.

On melko epämiellyttävää tarkistaa, eikö nimittäjä katoa löydetyistä x:n arvoista. Ja muuttujan x hyväksyttävien arvojen alueen määrittäminen alkuperäisessä yhtälössä on melko yksinkertaista. Siksi toimimme ODZ:n kautta.

Tässä tapauksessa alkuperäisen murto-rationaaliyhtälön muuttujan x ODZ koostuu kaikista luvuista, paitsi niistä, joille ehto x 2 +5·x−14=0 täyttyy. Tämän toisen asteen yhtälön juuret ovat x=−7 ja x=2, josta päätämme ODZ:stä: se koostuu kaikista x:istä siten, että .

On vielä tarkistettava, kuuluvatko löydetyt juuret ja x=2 sallittujen arvojen alueelle. Juuret - kuuluvat, joten ne ovat alkuperäisen yhtälön juuria, ja x=2 ei kuulu, joten se on ulkopuolinen juuri.

Vastaus:

On myös hyödyllistä tarkastella erikseen tapauksia, joissa muodon murto-rationaalinen yhtälö sisältää luvun osoittajassa, eli kun p (x) esitetään jollakin luvulla. Jossa

• jos tämä luku on eri kuin nolla, yhtälöllä ei ole juuria, koska murto-osa on nolla silloin ja vain, jos sen osoittaja on nolla;
• jos tämä luku on nolla, yhtälön juuri on mikä tahansa luku ODZ:stä.

Esimerkki.

Päätös.

Koska yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittajassa on nollasta poikkeava luku, ei x:lle tämän murtoluvun arvo voi olla nolla. Siksi tällä yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus:

ei juuria.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö.

Päätös.

Tämän rationaalisen murto-yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittaja on nolla, joten tämän murtoluvun arvo on nolla mille tahansa x:lle, jolle se on järkevää. Toisin sanoen tämän yhtälön ratkaisu on mikä tahansa x:n arvo tämän muuttujan DPV:stä.

On vielä määritettävä tämä hyväksyttävien arvojen alue. Se sisältää kaikki sellaiset arvot x, joille x 4 +5 x 3 ≠0. Yhtälön x 4 +5 x 3 \u003d 0 ratkaisut ovat 0 ja -5, koska tämä yhtälö vastaa yhtälöä x 3 (x + 5) \u003d 0, ja se puolestaan ​​vastaa yhdistelmää kahdesta yhtälöstä x 3 \u003d 0 ja x +5=0 , josta nämä juuret ovat näkyvissä. Siksi haluttu hyväksyttävien arvojen alue on mikä tahansa x, paitsi x=0 ja x=−5.

Näin ollen murto-rationaalisella yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, jotka ovat mitä tahansa lukuja paitsi nolla ja miinus viisi.

Vastaus:

Lopuksi on aika puhua mielivaltaisten murto-osien rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta. Ne voidaan kirjoittaa muodossa r(x)=s(x) , missä r(x) ja s(x) ovat rationaalisia lausekkeita ja ainakin yksi niistä on murtoluku. Tulevaisuudessa sanomme, että heidän ratkaisunsa rajoittuu meille jo tutun muotoisten yhtälöiden ratkaisemiseen.

Tiedetään, että termin siirto yhtälön yhdestä osasta toiseen päinvastaisella merkillä johtaa ekvivalenttiin yhtälöön, joten yhtälö r(x)=s(x) on yhtälö r(x)−s. (x) = 0.

Tiedämme myös, että mikä tahansa voi olla identtinen tämän lausekkeen kanssa. Siten voidaan aina muuntaa yhtälön r(x)−s(x)=0 vasemmalla puolella oleva rationaalinen lauseke muodon identtiseksi yhtä suureksi rationaaliseksi murto-osaksi.

Joten siirrymme alkuperäisestä murto-rationaalisesta yhtälöstä r(x)=s(x) yhtälöön ja sen ratkaisu, kuten yllä selvisimme, pelkistyy yhtälön p(x)=0 ratkaisemiseksi.

Mutta tässä on otettava huomioon se tosiasia, että kun r(x)−s(x)=0 korvataan arvolla , ja sitten p(x)=0, muuttujan x sallittujen arvojen alue voi laajentua. .

Siksi alkuperäinen yhtälö r(x)=s(x) ja yhtälö p(x)=0, johon päädyimme, eivät välttämättä ole ekvivalentteja, ja ratkaisemalla yhtälön p(x)=0 saadaan juuret jotka ovat alkuperäisen yhtälön vieraita juuria r(x)=s(x) . Vieraat juuret voidaan tunnistaa ja olla sisällyttämättä vastaukseen joko tarkistamalla tai tarkistamalla niiden kuuluvuus alkuperäisen yhtälön ODZ:hen.

Teemme yhteenvedon näistä tiedoista algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi r(x)=s(x). Murto-rationaalisen yhtälön r(x)=s(x) ratkaisemiseksi täytyy

• Saat nollan oikealle siirtämällä lauseketta oikealta päinvastaisella merkillä.
• Suorita toimenpiteitä yhtälön vasemmalla puolella olevilla murtoluvuilla ja polynomeilla, jolloin se muunnetaan muodon rationaaliseksi murto-osaksi.
• Ratkaise yhtälö p(x)=0 .
• Tunnista ja sulje pois vieraat juuret, mikä tehdään korvaamalla ne alkuperäiseen yhtälöön tai tarkistamalla niiden kuuluvuus alkuperäisen yhtälön ODZ:hen.

Selvyyden vuoksi näytämme koko murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisuketjun:
.

Käydään läpi useiden esimerkkien ratkaisut ratkaisun yksityiskohtaisen selityksen kanssa selventääksemme annettua tietolohkoa.

Esimerkki.

Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö.

Päätös.

Toimimme juuri saadun ratkaisualgoritmin mukaisesti. Ja ensin siirrämme termit yhtälön oikealta puolelta vasemmalle, minkä seurauksena siirrymme yhtälöön .

Toisessa vaiheessa meidän on muutettava tuloksena olevan yhtälön vasemmalla puolella oleva murto-rationaalinen lauseke murto-osan muotoon. Tätä varten pelkistetään rationaaliset murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi ja yksinkertaistetaan tuloksena olevaa lauseketta: . Joten tulemme yhtälöön.

Seuraavassa vaiheessa meidän on ratkaistava yhtälö −2·x−1=0 . Etsi x=−1/2 .

On vielä tarkistettava, onko löydetty luku −1/2 alkuperäisen yhtälön ulkopuolinen juuri. Voit tehdä tämän tarkistamalla tai etsimällä alkuperäisen yhtälön ODZ-muuttujan x. Esitellään molemmat lähestymistavat.

Aloitetaan tarkistuksella. Korvaamme luvun −1/2 muuttujan x sijaan alkuperäiseen yhtälöön, saamme , joka on sama, −1=−1. Korvaus antaa oikean numeerisen yhtälön, joten x=−1/2 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Nyt näytämme kuinka algoritmin viimeinen vaihe suoritetaan ODZ:n kautta. Alkuperäisen yhtälön sallittujen arvojen alue on kaikkien lukujen joukko paitsi −1 ja 0 (kun x=-1 ja x=0, murto-osien nimittäjät häviävät). Edellisessä vaiheessa löydetty juuri x=−1/2 kuuluu ODZ:hen, joten x=−1/2 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus:

−1/2 .

Tarkastellaanpa toista esimerkkiä.

Esimerkki.

Etsi yhtälön juuret.

Päätös.

Meidän on ratkaistava murto-rationaalinen yhtälö, käydään läpi kaikki algoritmin vaiheet.

Ensin siirrämme termin oikealta puolelta vasemmalle, saamme .

Toiseksi muutetaan vasemmalle puolelle muodostettu lauseke: . Tuloksena saamme yhtälön x=0 .

Sen juuri on ilmeinen - se on nolla.

Neljännessä vaiheessa on vielä selvitettävä, eikö löydetty juuri ole alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön ulkopuolinen. Kun se korvataan alkuperäisellä yhtälöllä, lauseke saadaan. Ilmeisesti siinä ei ole järkeä, koska se sisältää jaon nollalla. Mistä päätämme, että 0 on ulkopuolinen juuri. Siksi alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.

7, joka johtaa yhtälöön. Tästä voimme päätellä, että lausekkeen vasemman puolen nimittäjässä on oltava yhtä suuri kuin oikealta puolelta, eli . Nyt vähennetään kolmion molemmista osista: . Analogisesti mistä ja edelleen.

Tarkistus osoittaa, että molemmat löydetyt juuret ovat alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön juuria.

Vastaus:

Bibliografia.

• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: Luokka 9: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2009. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.