Korkeimman asteen yhtälö positiivisilla juurilla. Korkeamman asteen yhtälöt Yhtälöiden n ratkaisumenetelmät

Harkitse ratkaisemaan yhtälöitä, joissa on yksi aste korkeampi muuttuja kuin toinen.

Yhtälön P(x) = 0 aste on polynomin P(x) aste, ts. suurin sen termien potenssit nollasta poikkeavalla kertoimella.

Joten esimerkiksi yhtälöllä (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 on viides aste, koska sulujen avaamisen ja vastaavien tuomisen jälkeen saadaan viidennen asteen ekvivalentti yhtälö x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0.

Muista säännöt, joita tarvitaan toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Lausunnot polynomin juurista ja sen jakajista:

1. N:nnen asteen polynomin juurten määrä ei ylitä lukua n, ja multiplisisyyden m juuret esiintyvät tasan m kertaa.

2. Parittoman asteen polynomilla on ainakin yksi reaalijuuri.

3. Jos α on Р(х) juuri, niin Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), missä Q n – 1 (x) on polynomi, jonka aste on (n – 1) .

5. Kokonaislukukertoimien pelkistetyllä polynomilla ei voi olla rationaalisia murtojuuria.

6. Kolmannen asteen polynomille

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d yksi kahdesta asiasta on mahdollista: joko se hajoaa kolmen binomiaalin tuloksi

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), tai hajoaa binomiaalin ja neliötrinomin tuloksi P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. Mikä tahansa neljännen asteen polynomi laajenee kahden neliötrinomin tuloksi.

8. Polynomi f(x) on jaollinen polynomilla g(x) ilman jäännöstä, jos on olemassa polynomi q(x) siten, että f(x) = g(x) q(x). Polynomien jakamiseen sovelletaan "nurkalla jakamisen" sääntöä.

9. Jotta polynomi P(x) olisi jaollinen binomilla (x – c), on välttämätöntä ja riittävää, että luku c on P(x):n juuri (Seuraus Bezoutin lauseeseen).

10. Vietan lause: Jos x 1, x 2, ..., x n ovat polynomin todelliset juuret

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, niin seuraavat yhtälöt pätevät:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Esimerkkien ratkaisu

Esimerkki 1

Etsi jäännös sen jälkeen, kun olet jakanut P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 luvulla (x - 1/3).

Ratkaisu.

Bezoutin lauseen seuraamuksen mukaan: "Polynomin jakaminen binomiaalilla (x - c) on yhtä suuri kuin polynomin arvo c:ssä." Etsitään P(1/3) = 0. Jäännös on siis 0 ja luku 1/3 on polynomin juuri.

Vastaus: R = 0.

Esimerkki 2

Jaa "kulma" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 luvulla (x + 2). Etsi jäännösosa ja epätäydellinen osamäärä.

Ratkaisu:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

X 2-2 x

Vastaus: R = 3; osamäärä: 2x 2 - x.

Perusmenetelmät korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseen

1. Uuden muuttujan käyttöönotto

Menetelmä uuden muuttujan tuomiseksi on jo tuttu bikvadraattisten yhtälöiden esimerkistä. Se koostuu siitä, että yhtälön f (x) \u003d 0 ratkaisemiseksi otetaan käyttöön uusi muuttuja (substituutio) t \u003d x n tai t \u003d g (x) ja f (x) ilmaistaan t:n kautta, jolloin saadaan uusi yhtälö r (t). Ratkaise sitten yhtälö r(t), etsi juuret:

(t1, t2, …, tn). Sen jälkeen saadaan n yhtälön joukko q(x) = t 1, q(x) = t 2, ... , q(x) = t n, josta löydetään alkuperäisen yhtälön juuret.

Esimerkki 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Ratkaisu:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Vaihto (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Käänteinen vaihto:

x 2 + x + 1 = 2 tai x 2 + x + 1 = 1;

x2 + x-1 = 0 tai x2 + x = 0;

Vastaus: Ensimmäisestä yhtälöstä: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, toisesta: 0 ja -1.

2. Faktoriointi ryhmittelymenetelmällä ja lyhennetyt kertolaskukaavat

Tämän menetelmän perusta ei myöskään ole uusi ja koostuu termien ryhmittelystä siten, että jokainen ryhmä sisältää yhteisen tekijän. Tätä varten sinun on joskus käytettävä keinotekoisia temppuja.

Esimerkki 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Ratkaisu.

Kuvittele - 3x 2 = -2x 2 - x 2 ja ryhmä:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 tai x 2 + x - 3 \u003d 0.

Vastaus: Ensimmäisessä yhtälössä ei ole juuria, toisesta: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Faktorisointi epämääräisten kertoimien menetelmällä

Menetelmän ydin on, että alkuperäinen polynomi hajotetaan tekijöiksi, joiden kertoimet ovat tuntemattomia. Tuntemattomat laajennuskertoimet löydetään käyttämällä ominaisuutta, että polynomit ovat yhtä suuret, jos niiden kertoimet ovat yhtä suuret samoilla potenssilla.

Esimerkki 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Ratkaisu.

Kolmannen asteen polynomi voidaan jakaa lineaaristen ja neliötekijöiden tuloksi.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Järjestelmän ratkaiseminen:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, so.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Yhtälön (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 juuret on helppo löytää.

Vastaus: -1; -2.

4. Menetelmä juuren valitsemiseksi suurimmalla ja vapaalla kertoimella

Menetelmä perustuu lauseiden soveltamiseen:

1) Mikä tahansa polynomin kokonaislukujuuri kokonaislukukertoimilla on vapaan termin jakaja.

2) Jotta pelkistymätön murtoluku p / q (p on kokonaisluku, q on luonnollinen) olisi kokonaislukukertoimien yhtälön juuri, on välttämätöntä, että luku p on vapaan termin a 0 kokonaislukujakaja, ja q on suurimman kertoimen luonnollinen jakaja.

Esimerkki 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Ratkaisu:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Siten p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Kun olet löytänyt yhden juuren, esimerkiksi - 2, löydämme muut juuret käyttämällä kulmalla jakoa, määrittelemättömien kertoimien menetelmää tai Hornerin kaaviota.

Vastaus: -2; 1/2; 1/3.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista yhtälöitä?
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Algebrallisia yhtälöitä ratkaistaessa on usein tarpeen kertoa polynomi. Polynomin kertominen merkitsee sen esittämistä kahden tai useamman polynomin tulona. Käytämme joitain menetelmiä polynomien laajentamiseen melko usein: yhteisen tekijän poistaminen, lyhennettyjen kertolaskujen käyttö, täysneliön korostaminen, ryhmittely. Katsotaanpa lisää menetelmiä.

Joskus polynomia laskettaessa seuraavat lausunnot ovat hyödyllisiä:

1) jos polynomilla, jolla on kokonaislukukerroin, on rationaalinen juuri (jossa on redusoitumaton murtoluku, niin on vapaan termin jakaja ja suurimman kertoimen jakaja:

2) Jos jollakin tavalla valitaan astepolynomin juuri, niin polynomi voidaan esittää muodossa, jossa astepolynomi

Polynomi voidaan löytää joko jakamalla polynomi binomiaalisella "sarakkeella" tai ryhmittelemällä vastaavasti polynomin termit ja poimimalla niistä tekijä tai määrittelemättömien kertoimien menetelmällä.

Esimerkki. Kerroin polynomi

Ratkaisu. Koska kerroin kohdassa x4 on yhtä suuri kuin 1, niin tämän polynomin rationaaliset juuret ovat olemassa ja ovat luvun 6 jakajia, eli ne voivat olla kokonaislukuja ±1, ±2, ±3, ±6. Tätä polynomia merkitään P4(x). Koska Р Р4 (1) = 4 ja Р4 (-4) = 23, luvut 1 ja -1 eivät ole polynomin PA (x) juuria. Koska P4(2) = 0, niin x = 2 on polynomin P4(x) juuri, ja siksi tämä polynomi on jaollinen binomilla x - 2. Siksi x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2x4 -2x3x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6x2 - 2x

Siksi P4(x) = (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). Koska xz - Zx2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), sitten x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x - 3) (x2 + 1).

Parametrien syöttötapa

Joskus polynomia laskettaessa parametrin lisäämismenetelmä auttaa. Tämän menetelmän olemus selitetään seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Ratkaisu. Tarkastellaan polynomia parametrilla a: x3 - (a + 1)x2 + a2, joka muuttuu annetuksi polynomiksi, kun a = √3. Kirjoitamme tämän polynomin neliötrinomiksi suhteessa a: ar - ax2 + (x3 - x2).

Koska tämän kolminomaisen neliön juuret suhteessa a:een ovat a1 = x ja a2 = x2 - x, niin yhtälö a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) on tosi. Siksi polynomi x3 - (√3 + 1)x2 + 3 hajoaa tekijöiksi √3 - x ja √3 - x2 + x, ts.

x3 - (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

Menetelmä uuden tuntemattoman esittelyyn

Joissain tapauksissa korvaamalla polynomin Pn(x) lauseke f(x) y:n kautta saadaan y:n suhteen polynomi, joka voidaan jo helposti kertoa. Sitten, kun y on korvattu f(x):llä, saadaan polynomin Pn(x) kertoimia.

Esimerkki. Kerroin polynomin x(x+1)(x+2)(x+3)-15.

Ratkaisu. Muunnetaan tämä polynomi seuraavasti: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Merkitse x2 + 3x y:llä. Sitten meillä on y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1) 2 - 16 = (y + 1 + 4) (y + 1 - 4)= (y + 5) (y - 3).

Siksi x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5)(x2 + 3x - 3).

Esimerkki. Kerroin polynomin (x-4)4+(x+2)4

Ratkaisu. Merkitse x - 4 + x + 2 = x - 1 y:llä.

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 = (y - 3) 4 + (y + 3) 4 = y4 - 12 v3 + 54 v3 - 108 v + 81 + y4 + 12 y3 + 54 v2 + 108 v + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(y2 + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).

Eri menetelmien yhdistelmä

Usein polynomia laskettaessa joudutaan soveltamaan peräkkäin useita edellä käsitellyistä menetelmistä.

Esimerkki. Kerroin polynomin x4 - 3x2 + 4x-3.

Ratkaisu. Ryhmittelyn avulla kirjoitetaan polynomi uudelleen muotoon x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Soveltamalla koko neliön valintamenetelmää ensimmäiseen hakasulkeeseen, meillä on x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 1 x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Täysneliökaavaa käyttämällä voimme nyt kirjoittaa, että x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.

Lopuksi neliöiden erotuskaavaa soveltamalla saadaan, että x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2) -x + 1).

§ 2. Symmetrinen yhtälöt

1. Kolmannen asteen symmetriset yhtälöt

Yhtälöitä, joiden muoto on ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0, a ≠ 0 (1), kutsutaan kolmannen asteen symmetrisiksi yhtälöiksi. Koska ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (b-a) x + a), yhtälö (1) vastaa yhtälösarja x + 1 \u003d 0 ja ax2 + (b-a) x + a \u003d 0, jota ei ole vaikea ratkaista.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

Ratkaisu. Yhtälö (2) on kolmannen asteen symmetrinen yhtälö.

Koska 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) = (x + 1) (3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1) (3x2 + x + 3) , yhtälö (2) vastaa yhtälöjoukkoa x + 1 = 0 ja 3x3 + x +3=0.

Ensimmäisen yhtälön ratkaisu on x = -1, toisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Vastaus: x = -1.

2. Neljännen asteen symmetriset yhtälöt

Tyyppiyhtälö

(3) kutsutaan neljännen asteen symmetriseksi yhtälöksi.

Koska x \u003d 0 ei ole yhtälön (3) juuri, jakamalla yhtälön (3) molemmat osat x2:lla, saadaan yhtälö, joka vastaa alkuperäistä (3):

Kirjoitetaan yhtälö (4) muotoon:

Tässä yhtälössä teemme korvauksen, sitten saamme toisen asteen yhtälön

Jos yhtälöllä (5) on 2 juuria y1 ja y2, niin alkuperäinen yhtälö vastaa yhtälöjoukkoa

Jos yhtälöllä (5) on yksi juuri у0, niin alkuperäinen yhtälö vastaa yhtälöä

Lopuksi, jos yhtälöllä (5) ei ole juuria, niin alkuperäisellä yhtälöllä ei myöskään ole juuria.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Tämä yhtälö on neljännen asteen symmetrinen yhtälö. Koska x \u003d 0 ei ole sen juuri, jakamalla yhtälö (6) x2:lla, saadaan vastaava yhtälö:

Ryhmittele termit, kirjoitamme yhtälön (7) uudelleen muotoon tai muotoon

Olettaen, että saamme yhtälön, jolla on kaksi juuria y1 = 2 ja y2 = 3. Siksi alkuperäinen yhtälö on ekvivalentti yhtälöjoukon kanssa

Tämän joukon ensimmäisen yhtälön ratkaisu on x1 = 1 ja toisen ratkaisu on u.

Siksi alkuperäisellä yhtälöllä on kolme juuria: x1, x2 ja x3.

Vastaus: x1=1.

§3. Algebralliset yhtälöt

1. Yhtälön asteen vähentäminen

Jotkut algebralliset yhtälöt, korvaamalla niissä olevan polynomin yhdellä kirjaimella, voidaan pelkistää algebrallisiksi yhtälöiksi, joiden aste on pienempi kuin alkuperäisen yhtälön aste ja joiden ratkaisu on yksinkertaisempi.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Merkitään, niin yhtälö (1) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Viimeisellä yhtälöllä on juuret ja siksi yhtälö (1) vastaa yhtälöjoukkoa ja. Tämän joukon ensimmäisen yhtälön ratkaisu on ja Toisen yhtälön ratkaisu on

Yhtälön (1) ratkaisut ovat

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Kerrotaan yhtälön molemmat puolet 12:lla ja merkitään,

Saamme yhtälön Kirjoitamme tämän yhtälön uudelleen muotoon

(3) ja merkitsemällä kirjoitamme uudelleen yhtälön (3) muotoon Viimeisellä yhtälöllä on juuret ja siksi saadaan, että yhtälö (3) vastaa kahden yhtälön ja neljän) joukkoa.

Joukon (4) ratkaisut ovat ja, ja ne ovat yhtälön (2) ratkaisuja.

2. Muodon yhtälöt

Yhtälö

(5) joissa on annettu numeroita, voidaan pelkistää bikvadraattiseksi yhtälöksi käyttämällä tuntemattoman korvaamista, eli korvausta

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Merkitään, eli teemme muuttujien muutoksen tai Sitten yhtälö (6) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon tai kaavaa käyttäen muotoon

Koska toisen yhtälön juuret ovat ja sitten yhtälön (7) ratkaisut ovat yhtälöjoukon ja ratkaisut. Tällä yhtälöjoukolla on kaksi ratkaisua ja siksi yhtälön (6) ratkaisut ovat ja

3. Muodon yhtälöt

Yhtälö

(8) jossa luvut α, β, γ, δ ja Α ovat sellaisia, että α

Esimerkki 4. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Tehdään tuntemattomien muutos, eli y=x+3 tai x = y – 3. Sitten yhtälö (9) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, eli muodossa

(y2-4)(y2-1)=10(10)

Bikvadraattisella yhtälöllä (10) on kaksi juuria. Siksi yhtälöllä (9) on myös kaksi juurta:

4. Muodon yhtälöt

Yhtälö, (11)

Missä ei ole juurta x = 0, joten jakamalla yhtälö (11) x2:lla, saadaan vastaava yhtälö

Joka tuntemattoman korvaamisen jälkeen kirjoitetaan uudelleen toisen asteen yhtälön muodossa, jonka ratkaiseminen ei ole vaikeaa.

Esimerkki 5. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Koska h \u003d 0 ei ole yhtälön (12) juuri, jakamalla se x2:lla, saadaan vastaava yhtälö

Kun muutos tehdään tuntemattomaksi, saadaan yhtälö (y+1)(y+2)=2, jolla on kaksi juuria: y1 = 0 ja y1 = -3. Siksi alkuperäinen yhtälö (12) vastaa yhtälöjoukkoa

Tällä kokoelmalla on kaksi juurta: x1= -1 ja x2 = -2.

Vastaus: x1= -1, x2 = -2.

Kommentti. tyyppiyhtälö,

Joka voidaan aina pelkistää muotoon (11) ja lisäksi ottamalla huomioon α > 0 ja λ > 0 muotoon.

5. Muodon yhtälöt

Yhtälö

,(13) jossa luvut α, β, γ, δ ja Α ovat sellaisia, että αβ = γδ ≠ 0, voidaan kirjoittaa uudelleen kertomalla ensimmäinen hakasulku toisella ja kolmas neljännellä muodossa eli yhtälössä (13) kirjoitetaan nyt muodossa (11), ja sen ratkaisu voidaan suorittaa samalla tavalla kuin yhtälön (11) ratkaisu.

Esimerkki 6. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Yhtälöllä (14) on muoto (13) , joten kirjoitamme sen uudelleen muotoon

Koska x = 0 ei ole ratkaisu tähän yhtälöön, jakamalla sen molemmat puolet x2:lla, saadaan vastaava alkuperäinen yhtälö. Muuttamalla muuttujia saadaan toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisu on ja. Siksi alkuperäinen yhtälö (14) on ekvivalentti yhtälöjoukon u kanssa.

Tämän joukon ensimmäisen yhtälön ratkaisu on

Tämän ratkaisujoukon toisella yhtälöllä ei ole. Joten alkuperäisellä yhtälöllä on juuret x1 ja x2.

6. Muodon yhtälöt

Yhtälö

(15) jossa luvut a, b, c, q, A ovat sellaiset, että sillä ei ole juuria x = 0, joten yhtälö (15) jaetaan x2:lla. saamme sitä vastaavan yhtälön, joka tuntemattoman korvaamisen jälkeen kirjoitetaan uudelleen toisen asteen yhtälön muotoon, jonka ratkaiseminen ei ole vaikeaa.

Esimerkki 7. Yhtälön ratkaisu

Ratkaisu. Koska x \u003d 0 ei ole yhtälön (16) juuri, jakamalla sen molemmat osat x2:lla, saadaan yhtälö

, (17) vastaa yhtälöä (16). Tehtyään tuntemattoman muutoksen voimme kirjoittaa yhtälön (17) uudelleen muotoon

Neliöyhtälöllä (18) on 2 juuria: y1 = 1 ja y2 = -1. Siksi yhtälö (17) vastaa yhtälöjoukkoa ja (19)

Yhtälöjoukolla (19) on 4 juuria: ,.

Ne ovat yhtälön (16) juuret.

§ neljä. Rationaaliset yhtälöt

Yhtälöitä, joiden muoto on = 0, jossa H(x) ja Q(x) ovat polynomeja, kutsutaan rationaalisiksi.

Kun yhtälön H(x) = 0 juuret on löydetty, on tarkistettava, mitkä niistä eivät ole yhtälön Q(x) = 0 juuria. Nämä juuret ja vain ne ovat yhtälön ratkaisuja.

Harkitse joitakin menetelmiä yhtälön, jonka muoto on = 0, ratkaisemiseksi.

1. Muodon yhtälöt

Yhtälö

(1) tietyin edellytyksin numerot voidaan ratkaista seuraavasti. Ryhmittelemällä yhtälön (1) termit kahdella ja summaamalla kukin pari, on saatava osoittajapolynomeihin ensimmäisen tai nolla-asteen polynomit, jotka eroavat vain numeeristen tekijöiden osalta, ja nimittäjiin - trinomit, joissa on samat kaksi termiä, jotka sisältävät x:n, muuttujien muutoksen jälkeen yhtälöllä on joko muoto (1), mutta pienempi määrä termejä tai se vastaa kahden yhtälön yhdistelmää, joista toinen on ensimmäisen asteen yhtälö, ja toinen on yhtälö muotoa (1), mutta pienemmällä määrällä termejä.

Esimerkki. ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Ryhmittelemällä yhtälön (2) vasemmalle puolelle ensimmäinen termi viimeiseen ja toinen toiseksi viimeiseen, kirjoitetaan yhtälö (2) muotoon

Summaamalla kunkin sulussa olevat termit, kirjoitamme yhtälön (3) uudelleen muotoon

Koska yhtälölle (4) ei ole ratkaisua, jakamalla tämä yhtälö saadaan yhtälö

, (5) vastaa yhtälöä (4). Tehdään muutos tuntemattomaan, niin yhtälö (5) kirjoitetaan uudelleen muotoon

Siten yhtälön (2) ratkaisu, jossa on viisi termiä vasemmalla puolella, pelkistetään yhtälön (6) ratkaisuksi, joka on samanmuotoinen, mutta vasemmalla puolella on kolme termiä. Summaamalla kaikki yhtälön (6) vasemmalla puolella olevat termit kirjoitamme sen uudelleen muotoon

Yhtälölle on myös ratkaisuja. Mikään näistä luvuista ei katoa yhtälön (7) vasemmalla puolella olevaa rationaalisen funktion nimittäjää. Siksi yhtälöllä (7) on nämä kaksi juuria, ja siksi alkuperäinen yhtälö (2) vastaa yhtälöjoukkoa

Tämän joukon ensimmäisen yhtälön ratkaisut ovat

Tämän joukon toisen yhtälön ratkaisut ovat

Siksi alkuperäisellä yhtälöllä on juuret

2. Muodon yhtälöt

Yhtälö

(8) tietyin ehdoin lukuihin voidaan ratkaista seuraavasti: on tarpeen valita kokonaislukuosa jokaisesta yhtälön murto-osasta, eli korvata yhtälö (8) yhtälöllä

Pienennä se muotoon (1) ja ratkaise se sitten edellisessä kappaleessa kuvatulla tavalla.

Esimerkki. ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Kirjoitamme yhtälön (9) muotoon tai muotoon

Kun suluissa olevat termit summataan, kirjoitetaan yhtälö (10) muotoon

Tehdessään muutoksen tuntemattomaan kirjoitamme yhtälön (11) muotoon

Summaamalla yhtälön (12) vasemmalla puolella olevat termit, kirjoitamme sen uudelleen muotoon

On helppo nähdä, että yhtälöllä (13) on kaksi juuria: ja. Siksi alkuperäisellä yhtälöllä (9) on neljä juuria:

3) Muodon yhtälöt.

Muotoa (14) oleva yhtälö tietyissä olosuhteissa lukuihin voidaan ratkaista seuraavasti: laajentamalla (jos tämä tietysti on mahdollista) jokainen yhtälön (14) vasemmalla puolella oleva murto-osa yksinkertaisten murtolukujen summaksi

Vähennä yhtälö (14) muotoon (1) ja suoritettuasi tuloksena olevan yhtälön termien sopivan uudelleenjärjestelyn, ratkaise se kohdassa 1 kuvatulla menetelmällä.

Esimerkki. ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Siitä lähtien ja kertomalla yhtälön (15) jokaisen murtoluvun osoittaja kahdella ja huomioimalla, että yhtälö (15) voidaan kirjoittaa

Yhtälö (16) on muotoa (7). Ryhmittelemme termit uudelleen tässä yhtälössä, kirjoitamme sen uudelleen muotoon tai muotoon

Yhtälö (17) vastaa yhtälöjoukkoa ja

Joukon (18) toisen yhtälön ratkaisemiseksi teemme muutoksen tuntemattomaan. Sitten se kirjoitetaan uudelleen muotoon tai muotoon

Laske yhteen kaikki yhtälön (19) vasemmalla puolella olevat termit ja kirjoita se uudelleen muotoon

Koska yhtälöllä ei ole juuria, yhtälöllä (20) ei myöskään ole niitä.

Joukon (18) ensimmäisellä yhtälöllä on yksi juuri Koska tämä juuri sisältyy joukon (18) toisen yhtälön ODZ:hen, se on joukon (18) ainoa juuri ja siten alkuperäinen yhtälö.

4. Muodon yhtälöt

Yhtälö

(21) tietyin edellytyksin numeroissa ja A:ssa, kun jokainen termi on esitetty lomakkeen vasemmalla puolella, se voidaan pienentää muotoon (1).

Esimerkki. ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö (22) muotoon tai muotoon

Siten yhtälö (23) pelkistetään muotoon (1). Nyt ryhmittelemällä ensimmäinen termi viimeiseen ja toinen kolmanteen, kirjoitamme yhtälön (23) uudelleen muotoon

Tämä yhtälö vastaa yhtälösarjaa ja. (24)

Viimeksi asetettu yhtälö (24) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

Tälle yhtälölle on ratkaisuja, ja koska se sisältyy joukon (30) toisen yhtälön ODZ:hen, joukolla (24) on kolme juuria: Kaikki ne ovat alkuperäisen yhtälön ratkaisuja.

5. Muodon yhtälöt.

Muodon yhtälö (25)

Tietyissä olosuhteissa numeroissa, korvaamalla tuntematon, voidaan pelkistää muodon yhtälö

Esimerkki. ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Koska se ei ole yhtälön (26) ratkaisu, niin jakamalla kunkin vasemmalla olevan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla, kirjoitamme sen uudelleen muotoon

Tehtyään muuttujien muutoksen, kirjoitamme yhtälön (27) uudelleen muotoon

Yhtälön (28) ratkaiseminen on ja. Siksi yhtälö (27) on ekvivalentti yhtälöjoukon u kanssa. (29)

"Menetelmiä korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi"

( Kiselevskyn lukemat)

Matematiikan opettaja Afanasyeva L.A.

MKOU Verkhnekarachanskaya lukio

Gribanovskin alue, Voronežin alue

2015

Yleiskoulussa hankittu matemaattinen koulutus on olennainen osa yleissivistystä ja nykyajan ihmisen yleistä kulttuuria.

Kuuluisa saksalainen matemaatikko Courant kirjoitti: ”Yli kahden tuhannen vuoden ajan jonkin verran, ei liian pinnallista, matematiikan tietämystä oli välttämätöntä. olennainen osa jokaisen koulutetun ihmisen älylliseen luetteloon." Ja tämän tiedon joukossa ei viimeinen sija kuulu kyvylle ratkaista yhtälöitä.

Jo muinaisina aikoina ihmiset ymmärsivät, kuinka tärkeää oli oppia ratkaisemaan algebrallisia yhtälöitä. Noin 4000 vuotta sitten babylonialaiset tiedemiehet hallitsivat toisen asteen yhtälön ratkaisun ja ratkaisivat kahden yhtälön järjestelmiä, joista toinen oli toisen asteen yhtälö. Yhtälöiden avulla ratkaistiin erilaisia maanmittaus-, arkkitehtuuri- ja sotilasasioiden ongelmia, niihin pelkistettiin monia ja erilaisia käytännön ja luonnontieteen kysymyksiä, koska matematiikan tarkka kieli mahdollistaa yksinkertaisesti ilmaista faktoja ja suhteita, jotka tavallisella kielellä ilmaistuna saattaa tuntua hämmentävältä ja monimutkaiselta. Yhtälö on yksi matematiikan tärkeimmistä käsitteistä. Yhtälöiden ratkaisumenetelmien kehittäminen alkaen matematiikan tieteenä syntymästä, pitkään aikaan oli algebran pääaine. Ja nykyään matematiikan tunneilla, koulutuksen ensimmäisestä vaiheesta lähtien, kiinnitetään paljon huomiota erilaisten yhtälöiden ratkaisemiseen.

Ei ole olemassa universaalia kaavaa n:nnen asteen algebrallisen yhtälön juurien löytämiseksi. Monet tietysti keksivät houkuttelevan idean etsiä mitä tahansa tutkintoa n kaavoja, jotka ilmaisevat yhtälön juuret sen kertoimilla, eli ratkaiseisivat yhtälön radikaaleilla. "Synkkä keskiaika" osoittautui kuitenkin mahdollisimman synkäksi käsiteltävän ongelman suhteen - seitsemän kokonaiseen vuosisataan kukaan ei löytänyt vaadittuja kaavoja! Vasta 1500-luvulla italialaiset matemaatikot onnistuivat menemään pidemmälle - löytämään kaavoja n =3 ja n =4 . Samaan aikaan Scipio Dal Ferro, hänen oppilaansa Fiori ja Tartaglia käsittelivät kysymystä 3. asteen yhtälöiden yleisestä ratkaisusta. Vuonna 1545 julkaistiin italialaisen matemaatikon D Cardanon kirja "Suuri taide tai algebran säännöistä", jossa muiden algebran kysymysten ohella tarkastellaan yleisiä menetelmiä kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi sekä menetelmää niiden ratkaisemiseksi. 4. asteen yhtälöt, jonka hänen oppilaansa L. Ferrari löysi. F. Viet piti täydellisen esityksen 3. ja 4. asteen yhtälöiden ratkaisuun liittyvistä kysymyksistä. Ja 1800-luvun 20-luvulla norjalainen matemaatikko N. Abel osoitti, että 5. ja korkeamman asteen yhtälöiden juuria ei voida ilmaista radikaalien kautta.

Ratkaisujen löytäminen yhtälöön koostuu yleensä yhtälön korvaamisesta vastaavalla. Yhtälön korvaaminen vastaavalla perustuu neljän aksiooman soveltamiseen:

1. Jos samoja arvoja kasvatetaan samalla numerolla, tulokset ovat yhtä suuret.

2. Jos sama luku vähennetään yhtäläisistä arvoista, tulokset ovat yhtä suuret.

3. Jos samat arvot kerrotaan samalla luvulla, tulokset ovat yhtä suuret.

4. Jos samat arvot jaetaan samalla luvulla, tulokset ovat yhtä suuret.

Koska yhtälön P(x) = 0 vasen puoli on n:nnen asteen polynomi, on hyödyllistä muistaa seuraavat lauseet:

Lausunnot polynomin juurista ja sen jakajista:

1. N:nnen asteen polynomin juurten määrä ei ylitä lukua n, ja multiplisisyyden m juuret esiintyvät tasan m kertaa.

2. Parittoman asteen polynomilla on ainakin yksi reaalijuuri.

3. Jos α on Р(х) juuri, niin Р n (х) = (х - α)·Q n - 1 (x), missä Q n - 1 (x) on polynomi, jonka aste on (n - 1) .

4. Mikä tahansa polynomin kokonaislukujuuri kokonaislukukertoimilla on vapaan termin jakaja.

5. Kokonaislukukertoimien pelkistetyllä polynomilla ei voi olla rationaalisia murtojuuria.

6. Kolmannen asteen polynomille

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d yksi kahdesta asiasta on mahdollista: joko se hajoaa kolmen binomiaalin tuloksi

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), tai hajoaa binomiaalin ja neliötrinomin tuloksi P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. Mikä tahansa neljännen asteen polynomi laajenee kahden neliötrinomin tuloksi.

8. Polynomi f(x) on jaollinen polynomilla g(x) ilman jäännöstä, jos on olemassa polynomi q(x) siten, että f(x) = g(x) q(x). Polynomien jakamiseen sovelletaan "nurkalla jakamisen" sääntöä.

9. Jotta polynomi P(x) olisi jaollinen binomilla (x – c), on välttämätöntä ja riittävää, että c on P(x):n juuri (Seuraus Bezoutin lauseeseen).

10. Vietan lause: Jos x 1, x 2, ..., x n ovat polynomin todelliset juuret

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, niin seuraavat yhtälöt pätevät:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Esimerkkien ratkaisu

Esimerkki 1 . Etsi jäännös sen jälkeen, kun olet jakanut P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 luvulla (x - 1/3).

Ratkaisu. Bezoutin lauseen seuraamuksen mukaan: "Polynomin jakaminen binomiaalilla (x - c) on yhtä suuri kuin polynomin arvo c:ssä." Etsitään P(1/3) = 0. Jäännös on siis 0 ja luku 1/3 on polynomin juuri.

Vastaus: R = 0.

Esimerkki 2 . Jaa "kulma" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 luvulla (x + 2). Etsi jäännösosa ja epätäydellinen osamäärä.

Ratkaisu:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

X 2-2x

Vastaus: R = 3; osamäärä: 2x 2 - x.

Perusmenetelmät korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseen

1. Uuden muuttujan käyttöönotto

Menetelmä uuden muuttujan lisäämiseksi on niin, että yhtälön f (x) \u003d 0 ratkaisemiseksi otetaan käyttöön uusi muuttuja (substituutio) t \u003d x n tai t \u003d g (x) ja f (x) ilmaistaan t:n kautta. , saadaan uusi yhtälö r (t) . Ratkaise sitten yhtälö r(t), etsi juuret: (t 1 , t 2 , …, t n). Sen jälkeen saadaan n yhtälön joukko q(x) = t 1, q(x) = t 2, ... , q(x) = t n, josta löydetään alkuperäisen yhtälön juuret.

Esimerkki;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Ratkaisu: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Vaihto (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Käänteinen vaihto:

x 2 + x + 1 = 2 tai x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 tai x 2 + x \u003d 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, toisesta: 0 ja -1.

Uuden muuttujan käyttöönoton menetelmä löytää sovelluksen ratkaisussa palautettavissa yhtälöt, eli yhtälöt, jotka ovat muotoa a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0, joissa yhtälön ehtojen kertoimet ovat tasaisin välein alusta ja lopusta , ovat tasavertaisia.

2. Faktoriointi ryhmittelymenetelmällä ja lyhennetyt kertolaskukaavat

Tämän menetelmän perustana on ryhmitellä termit siten, että jokainen ryhmä sisältää yhteisen tekijän. Tätä varten sinun on joskus käytettävä keinotekoisia temppuja.

Esimerkki: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Ratkaisu. Kuvittele - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 ja ryhmä:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 tai x 2 + x - 3 \u003d 0.

Ensimmäisessä yhtälössä ei ole juuria toisesta: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Faktorisointi määrittelemättömien kertoimien menetelmällä

Esimerkki: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Ratkaisu. Kolmannen asteen polynomi voidaan jakaa lineaaristen ja neliötekijöiden tuloksi.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

Järjestelmän ratkaiseminen:

saamme

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Yhtälön (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 juuret on helppo löytää.

Vastaus: -1; -2.

4. Menetelmä juuren valitsemiseksi suurimmalla ja vapaalla kertoimella

Menetelmä perustuu lauseiden soveltamiseen:

1) Mikä tahansa polynomin kokonaislukujuuri kokonaislukukertoimilla on vapaan termin jakaja.

Esimerkki: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.

Ratkaisu:

2: p = ±1, ±2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Siten p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Kun olet löytänyt yhden juuren, esimerkiksi - 2, löydämme muut juuret käyttämällä kulmalla jakoa, määrittelemättömien kertoimien menetelmää tai Hornerin kaaviota.

Vastaus: -2; 1/2; 1/3.

5. Graafinen menetelmä.

Tämä menetelmä koostuu kaavioiden piirtämisestä ja funktioiden ominaisuuksien käyttämisestä.

Esimerkki: x 5 + x - 2 = 0

Esitetään yhtälö muodossa x 5 \u003d - x + 2. Funktio y \u003d x 5 kasvaa ja funktio y \u003d - x + 2 pienenee. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä x 5 + x - 2 \u003d 0 on yksi juuri -1.

6. Yhtälön kertominen funktiolla.

Joskus algebrallisen yhtälön ratkaisua helpottaa suuresti kertomalla sen molemmat osat jollakin funktiolla - polynomilla tuntemattomassa. Samanaikaisesti on muistettava, että ylimääräisiä juuria voi esiintyä - polynomin juuret, jolla yhtälö kerrottiin. Siksi täytyy joko kertoa polynomilla, jolla ei ole juuria ja saada vastaava yhtälö, tai kertoa polynomilla, jolla on juuret, ja sitten jokainen näistä juurista on korvattava alkuperäisellä yhtälöllä ja määritettävä, onko tämä luku sen juuri.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Ratkaisu: Kun yhtälön molemmat puolet kerrotaan polynomilla X 2 + 1, jolla ei ole juuria, saadaan yhtälö:

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
vastaa yhtälöä (1). Yhtälö (2) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

X 10 + 1 = 0 (3)
On selvää, että yhtälöllä (3) ei ole todellisia juuria, joten yhtälöllä (1) ei ole niitä.

Vastaus: ei ole ratkaisuja.

Yllä olevien menetelmien lisäksi korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi on muitakin. Esimerkiksi täysneliön valinta, Hornerin kaavio, murto-osan esitys kahden murtoluvun muodossa. Yleisimmistä korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmistä, joita käytetään useimmin, he käyttävät: menetelmää yhtälön vasemman puolen tekijöihin;

muuttujan korvausmenetelmä (menetelmä uuden muuttujan käyttöönottamiseksi); graafinen tapa. Esittelemme nämä menetelmät 9. luokan oppilaille opiskellessaan aihetta ”Koko yhtälö ja sen juuret”. Viimeisten julkaisuvuosien oppikirjassa Algebra 9 (kirjoittajat Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk ja muut) tärkeimpiä menetelmiä korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi tarkastellaan riittävän yksityiskohtaisesti. Lisäksi osiossa "Niille, jotka haluavat tietää lisää" on mielestäni esitetty materiaalia helposti saavutettavissa olevalla tavalla polynomin juuren ja kokonaisen yhtälön kokonaislukujuurten lauseiden soveltamisesta korkeampien yhtälöiden ratkaisemiseen. astetta. Hyvin valmistautuneet opiskelijat tutkivat tätä materiaalia kiinnostuneena ja esittelevät sitten ratkaistut yhtälöt luokkatovereilleen.

Melkein kaikki, mikä meitä ympäröi, liittyy tavalla tai toisella matematiikkaan. Fysiikan, tekniikan ja tietotekniikan saavutukset vain vahvistavat tämän. Ja mikä on erittäin tärkeää - monien käytännön ongelmien ratkaisu liittyy erilaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, jotka sinun on opittava ratkaisemaan.

Teoksen teksti on sijoitettu ilman kuvia ja kaavoja.
Teoksen täysi versio löytyy "Työtiedostot"-välilehdeltä PDF-muodossa

Johdanto

Korkeamman asteen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen yhden tuntemattoman kanssa on yksi vaikeimmista ja vanhimmista matemaattisista ongelmista. Antiikin merkittävimmät matemaatikot käsittelivät näitä ongelmia.

N:nnen asteen yhtälöiden ratkaiseminen on tärkeä tehtävä myös nykymatematiikalle. Kiinnostus niitä kohtaan on melko suuri, koska nämä yhtälöt liittyvät läheisesti sellaisten yhtälöiden juurien etsimiseen, joita ei oteta huomioon matematiikan koulujen opetussuunnitelmassa.

Ongelma: opiskelijoiden kyvyttömyys ratkaista korkeamman asteen yhtälöitä eri tavoin estää heitä valmistautumasta menestyksekkäästi matematiikan ja matematiikan olympialaisten loppututkintoon, harjoittelemaan matematiikan erikoisluokassa.

Yllä olevat tosiasiat päätettiin merkityksellisyys työstämme "Ylempien asteiden yhtälöiden ratkaisu".

Yksinkertaisimpien n:nnen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmien hallussapito lyhentää tehtävän suorittamiseen kuluvaa aikaa, josta työn tulos ja oppimisprosessin laatu riippuvat.

Tavoite: tutkia tunnettuja menetelmiä korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi ja tunnistaa niistä helpoimmin käytännön sovelluksiin.

Tämän tavoitteen perusteella seuraava tehtävät:

Tutkia kirjallisuutta ja Internet-resursseja tästä aiheesta;

Tutustu tähän aiheeseen liittyviin historiallisiin faktoihin;

Kuvaa erilaisia tapoja ratkaista korkeamman asteen yhtälöitä

vertaa kunkin vaikeusastetta;

Tutustuttaa luokkatovereihin menetelmiä korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi;

Luo yhtälösarja kunkin tarkastellun menetelmän käytännön soveltamiseksi.

Tutkimuksen kohde- korkeamman asteen yhtälöt yhdellä muuttujalla.

Tutkimusaihe- tapoja ratkaista korkeamman asteen yhtälöitä.

Hypoteesi: ei ole olemassa yleistä tapaa ja yhtä algoritmia, joka mahdollistaa ratkaisujen löytämisen n:nnen asteen yhtälöihin äärellisessä määrässä vaiheita.

Tutkimusmenetelmät:

- bibliografinen menetelmä (tutkimusaiheen kirjallisuuden analyysi);

- luokitusmenetelmä;

- laadullisen analyysin menetelmä.

Teoreettinen merkitys tutkimus koostuu korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmien systematisoimisesta ja niiden algoritmien kuvaamisesta.

Käytännön merkitys- esitetty materiaali tästä aiheesta ja opetusmateriaalin kehittäminen opiskelijoille tästä aiheesta.

1. KORKEEMMAN VOIMAN YHTÄLÄT

1.1 N:nnen asteen yhtälön käsite

Määritelmä 1. N:nnen asteen yhtälö on muodon yhtälö

a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, missä kertoimet a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n - kaikki reaaliluvut ja ,a 0 ≠ 0 .

Polynomi a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n:tä kutsutaan n:nnen asteen polynomiksi. Kertoimet erotetaan nimillä: a 0 - vanhempi kerroin; a n on vapaajäsen.

Määritelmä 2. Tietyn yhtälön ratkaisut tai juuret ovat kaikki muuttujan arvot X, jotka muuttavat tämän yhtälön todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi tai jolle polynomi a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n menee nollaan. Sellainen muuttuva arvo X kutsutaan myös polynomin juureksi. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen juurten löytämistä tai sen toteamista, että niitä ei ole.

Jos a 0 = 1, niin tällaista yhtälöä kutsutaan pelkistetyksi kokonaislukuiseksi rationaaliseksi yhtälöksi n th tutkinnon.

Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöitä varten on Cardano- ja Ferrari-kaavat, jotka ilmaisevat näiden yhtälöiden juuret radikaaleilla. Kävi ilmi, että käytännössä niitä käytetään harvoin. Jos siis n ≥ 3 ja polynomin kertoimet ovat mielivaltaisia reaalilukuja, yhtälön juurien löytäminen ei ole helppoa. Monissa erikoistapauksissa tämä ongelma kuitenkin ratkaistaan loppuun asti. Tarkastellaanpa joitain niistä.

1.2 Historiallisia faktoja korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemisesta

Universaali kaava algebrallisen yhtälön juurten löytämiseksi n ei tutkintoa. Monet tietysti keksivät houkuttelevan idean löytää kaavoja mille tahansa n:n potenssille, joka ilmaisi yhtälön juuret sen kertoimilla, eli ratkaisisi yhtälön radikaaleilla.

Vasta 1500-luvulla italialaiset matemaatikot onnistuivat siirtymään pidemmälle - löytämään kaavoja n \u003d 3 ja n \u003d 4. Samanaikaisesti Scipio, Dahl, Ferro ja hänen oppilaansa Fiori ja Tartaglia pohtivat kysymystä 3. asteen yhtälöiden yleinen ratkaisu.

Vuonna 1545 julkaistiin italialaisen matemaatikon D. Cardanon kirja "Suuri taide tai algebran säännöistä", jossa muiden algebran kysymysten ohella tarkastellaan yleisiä menetelmiä kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi sekä menetelmää ratkaisemaan 4. asteen yhtälöitä, jotka hänen oppilaansa L. Ferrari löysi.

F. Viet esitti täydellisen esityksen kysymyksistä, jotka liittyvät 3. ja 4. asteen yhtälöiden ratkaisuun.

Norjalainen matemaatikko N. Abel osoitti 1800-luvun 20-luvulla, että viidennen asteen yhtälöiden juuria ei voida ilmaista radikaalien kautta.

Tutkimuksen aikana paljastui, että nykytiede tietää monia tapoja ratkaista n:nnen asteen yhtälöitä.

Tuloksena sellaisten korkea-asteisten yhtälöiden ratkaisumenetelmien etsimisestä, joita ei voida ratkaista koulun opetussuunnitelmassa käsitellyillä menetelmillä, ovat Vieta-lauseen soveltamiseen (asteyhtälöille) perustuvia menetelmiä. n>2), Bezoutin lauseet, Hornerin kaaviot sekä Cardanon ja Ferrarin kaava kuutio- ja kvartsiyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Työssä esitellään meille löydökseksi muodostuneita yhtälöiden ratkaisumenetelmiä ja niiden tyyppejä. Näitä ovat - epämääräisten kertoimien menetelmä, täyden asteen jako, symmetriset yhtälöt.

2. INTEGROITUJEN KORKEEMMAN TEHOJEN YHTÄLÖIDEN RATKAISU INTEGROITETUJEN KERROINTEN KANSSA

2.1 3. asteen yhtälöiden ratkaisu. Formula D. Cardano

Harkitse muodon yhtälöitä x 3 +px+q=0. Muunnamme yleisen yhtälön muotoon: x 3 +px 2 +qx+r=0. Kirjataan muistiin summakuution kaava; Lisätään se alkuperäiseen yhtälöön ja korvataan se y. Saamme yhtälön: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0. Muutosten jälkeen meillä on: y 2 +py + q=0. Nyt kirjoitetaan summakuution kaava uudelleen:

(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b+3ab 2 +b 3 = a 3 +b 3 + 3ab (a + b), vaihda ( a+b) päällä x, saamme yhtälön x 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. Nyt on selvää, että alkuperäinen yhtälö vastaa järjestelmää: ja ratkaisemalla järjestelmän saamme:

Olemme saaneet kaavan yllä olevan 3. asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Se kantaa italialaisen matemaatikon Cardanon nimeä.

Harkitse esimerkkiä. Ratkaise yhtälö: .

Meillä on R= 15 ja q= 124, sitten Cardanon kaavalla lasketaan yhtälön juuri

Johtopäätös: tämä kaava on hyvä, mutta ei sovellu kaikkien kuutioyhtälöiden ratkaisemiseen. Se on kuitenkin kookas. Siksi sitä käytetään harvoin käytännössä.

Mutta se, joka hallitsee tämän kaavan, voi käyttää sitä ratkaiseessaan kolmannen asteen yhtälöitä kokeessa.

2.2 Vietan lause

Matematiikan kurssilta tiedämme tämän toisen asteen yhtälön lauseen, mutta harvat tietävät, että sitä käytetään myös korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Harkitse yhtälöä:

kerro yhtälön vasen puoli, jaa ≠ 0:lla.

Muunnamme yhtälön oikean puolen muotoon

; Tästä seuraa, että voimme kirjoittaa järjestelmään seuraavat yhtälöt:

Vietan johtamat kaavat toisen asteen yhtälöille ja meidän osoittamamme 3. asteen yhtälöille pätevät myös korkeamman asteen polynomeille.

Ratkaistaan kuutioyhtälö:

Johtopäätös: tämä menetelmä on universaali ja tarpeeksi helppo oppilaille ymmärtää, koska Vietan lause on heille tuttu koulun opetussuunnitelmasta n. = 2. Samaan aikaan yhtälöiden juurten löytämiseksi tämän lauseen avulla tarvitaan hyvät laskennalliset taidot.

2.3 Bezoutin lause

Tämä lause on nimetty 1700-luvun ranskalaisen matemaatikon J. Bezoutin mukaan.

Lause. Jos yhtälö a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, jossa kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja ja vapaa termi on eri kuin nolla, on kokonaislukujuuri, niin tämä juuri on vapaan termin jakaja.

Kun otetaan huomioon, että n:nnen asteen polynomi on yhtälön vasemmalla puolella, lauseella on toinen tulkinta.

Lause. Kun jaetaan n:nnen asteen polynomi suhteessa x binomiiksi x-a loppuosa on yhtä suuri kuin osingon arvo milloin x = a. (kirje a voi merkitä mitä tahansa reaali- tai imaginaarilukua, ts. mikä tahansa kompleksiluku).

Todiste: päästää f(x) tarkoittaa mielivaltaista n:nnen asteen polynomia muuttujan x suhteen ja anna, kun se jaetaan binomiaalilla ( x-a) tapahtui yksityisesti q(x), ja loput R. Se on selvää q(x) tulee jokin polynomi (n - 1) aste suhteellisesti x, ja loput R tulee olemaan vakioarvo, ts. itsenäinen x.

Jos loput R oli ensimmäisen asteen polynomi x:ssä, tämä tarkoittaisi, että jakoa ei suoritettu. Niin, R alkaen x ei riipu. Jaon määritelmän mukaan saamme identiteetin: f(x)=(x-a)q(x)+R.

Tasa-arvo on totta mille tahansa x:n arvolle, joten se pätee myös x=a, saamme: f(a)=(a-a)q(a)+R. Symboli fa) tarkoittaa polynomin f arvoa (x) klo x=a, q(a) ilmaisee arvoa q(x) klo x=a. Loput R pysyi entisellään R alkaen x ei riipu. Työ ( x-a) q(a) = 0, koska kerroin ( x-a) = 0, ja kerroin q(a) on tietty määrä. Siksi tasa-arvosta saamme: f(a)=R, h.t.d.

Esimerkki 1 Etsi polynomin jaon jäännösosa x 3 - 3x 2 + 6x- 5 per binomi

x- 2. Bezout-lauseen mukaan : R=f(2) = 23-322 + 62 -5 = 3. Vastaus: R= 3.

Huomaa, että Bézoutin lause ei ole niin tärkeä sinänsä, vaan seuraustensa vuoksi. (Liite 1)

Tarkastellaanpa joitakin menetelmiä soveltaa Bezoutin lausetta käytännön ongelmien ratkaisemiseen. On huomattava, että kun yhtälöitä ratkaistaan Bezout-lauseen avulla, on välttämätöntä:

Etsi kaikki vapaan termin kokonaislukujakajat;

Etsi näistä jakajista vähintään yksi yhtälön juuri;

Jaa yhtälön vasen puoli arvolla (Ha);

Kirjoita jakajan ja osamäärän tulo yhtälön vasemmalle puolelle;

Ratkaise tuloksena oleva yhtälö.

Harkitse esimerkkiä yhtälön x ratkaisemisesta 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

Ratkaisu: etsi vapaan termin jakajat ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Laske arvot x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6 = 0. Jaa yhtälön vasen puoli arvolla ( X- 1). Suoritamme jaon "kulmalla", saamme:

Johtopäätös: Bezoutin lause, yksi tavoista, joita tarkastelemme työssämme, tutkitaan koulun ulkopuolisten toimintojen ohjelmassa. Sitä on vaikea ymmärtää, koska sen hallitsemiseksi sinun on tiedettävä kaikki sen seuraukset, mutta samalla Bezout-lause on yksi kokeen opiskelijoiden tärkeimmistä avustajista.

2.4 Hornerin suunnitelma

Polynomin jakaminen binomilla x-α voit käyttää erityistä yksinkertaista temppua, jonka englantilaiset 1600-luvun matemaatikot keksivät ja jota myöhemmin kutsutaan Hornerin järjestelmäksi. Yhtälöiden juurten löytämisen lisäksi Hornerin kaavio helpottaa niiden arvojen laskemista. Tätä varten on välttämätöntä korvata muuttujan arvo polynomilla Pn (x) = a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ a n -1 x+a n. (yksi)

Tarkastellaan polynomin (1) jakoa binomialla x-α.

Ilmaisemme epätäydellisen osamäärän b kertoimet 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ miljardia -1 ja loput r polynomin Pn( x) ja numero α. b 0 =a 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, miljardia -1 =

= α miljardia -2 +a n -1 = α miljardia -1 +a n .

Horner-kaavion mukaiset laskelmat esitetään seuraavan taulukon muodossa:

	a 0	a 1	a 2 ,
	b 0 =a 0	b 1 = α b 0 +a 1	b 2 = α b 1 +a 2		r = a b n-1 +a n

Koska r = Pn(α), silloin α on yhtälön juuri. Jotta voidaan tarkistaa, onko α monijuuri, Hornerin kaaviota voidaan soveltaa jo osamäärään b 0 x+ b 1 x+…+ miljardia -1 taulukon mukaan. Jos sarakkeessa alle bn -1 saamme jälleen 0, joten α on monijuuri.

Harkitse esimerkkiä: ratkaise yhtälö X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

Sovelletaan yhtälön vasempaan puoleen yhtälön vasemmalla puolella olevan polynomin kertoimia, Hornerin kaaviota.

Ratkaisu: etsi vapaan termin jakajat ± 1; ±2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Osamäärän kertoimet ovat luvut 1, 5, 6 ja jäännös on r = 0.

tarkoittaa, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

Täältä: X- 1 = 0 tai X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Vastaus: 1,- 2, - 3.

Johtopäätös: olemme siis osoittaneet yhdessä yhtälössä, että käytetään kahta erilaista polynomien laskentatapaa. Mielestämme Hornerin järjestelmä on käytännöllisin ja taloudellisin.

2.5 4. asteen yhtälöiden ratkaisu. Ferrari menetelmä

Cardanon oppilas Ludovic Ferrari löysi tavan ratkaista 4. asteen yhtälö. Ferrari-menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta.

Vaihe I: muodon yhtälö esitetään kahden neliötrinomin tulona; tämä johtuu siitä, että yhtälö on 3. asteen ja vähintään yhden ratkaisun.

Vaihe II: tuloksena saadut yhtälöt ratkaistaan tekijöiden jakamisen avulla, mutta tarvittavan faktoroinnin löytämiseksi on ratkaistava kuutioyhtälöt.

Ideana on esittää yhtälöt muodossa A 2 =B 2, missä A= x 2+s,

B-lineaarinen funktio x. Sitten on vielä ratkaistava yhtälöt A = ±B.

Selvyyden vuoksi harkitse yhtälöä: Erottelemme 4. asteen, saamme: Mille tahansa d ilmeestä tulee täydellinen neliö. Lisää saamamme yhtälön molemmille puolille

Vasemmalla puolella on täysi neliö, voit poimia d niin, että (2):n oikeasta puolesta tulee täydellinen neliö. Kuvittele, että olemme saavuttaneet tämän. Sitten yhtälömme näyttää tältä:

Juuren löytäminen myöhemmin ei ole vaikeaa. Valitse oikea d on välttämätöntä, että (3):n oikean puolen diskriminantti katoaa, ts.

Joten löytää d, on tarpeen ratkaista tämä 3. asteen yhtälö. Tätä apuyhtälöä kutsutaan päättäväinen.

Löydämme helposti solventin kokonaislukujuuren: d= 1

Korvaamalla yhtälön (1) saamme

Johtopäätös: Ferrari-menetelmä on universaali, mutta monimutkainen ja hankala. Samalla, jos ratkaisualgoritmi on selkeä, voidaan tällä menetelmällä ratkaista 4. asteen yhtälöt.

2.6 Määrittämättömien kertoimien menetelmä

Neljännen asteen yhtälön ratkaisemisen onnistuminen Ferrari-menetelmällä riippuu siitä, ratkaisemmeko liuottimen - 3. asteen yhtälön, mikä, kuten tiedämme, ei aina ole mahdollista.

Epämääräisten kertoimien menetelmän ydin on, että arvataan, minkä tyyppisiksi tekijöiksi tietty polynomi hajoaa, ja näiden tekijöiden (myös polynomien) kertoimet määritetään kertomalla tekijät ja vertaamalla kertoimet samoilla potenssilla. muuttuja.

Esimerkki: ratkaise yhtälö:

Oletetaan, että yhtälömme vasen puoli voidaan jakaa kahdeksi neliötrinomiksi kokonaislukukertoimilla siten, että identtinen yhtälö on tosi

On selvää, että niiden edessä olevien kertoimien on oltava yhtä suuria kuin 1 ja vapaiden termien on oltava yhtä suuria + 1, toisessa on 1.

Kertoimet vastakkain X. Merkitään ne a ja ja niiden määrittämiseksi kerromme molemmat yhtälön oikealla puolella olevat trinomit.

Tuloksena saamme:

Kertoimien tasaus samoilla potenssilla X tasa-arvon (1) vasemmalla ja oikealla puolella saamme järjestelmän löytämiseksi ja

Ratkaisemme tämän järjestelmän

Joten yhtälömme on yhtälö

Ratkaisemalla sen saamme seuraavat juuret: .

Epämääräisten kertoimien menetelmä perustuu seuraaviin väittämiin: mikä tahansa yhtälön neljännen asteen polynomi voidaan hajottaa kahden toisen asteen polynomin tuloksi; kaksi polynomia ovat identtisesti yhtä suuret, jos ja vain jos niiden kertoimet ovat yhtä suuret samoilla potenssilla X.

2.7 Symmetrinen yhtälöt

Määritelmä. Muotoa olevaa yhtälöä kutsutaan symmetriseksi, jos yhtälön vasemmalla puolella olevat ensimmäiset kertoimet ovat yhtä suuret kuin ensimmäiset oikeanpuoleiset kertoimet.

Näemme, että ensimmäiset kertoimet vasemmalla ovat yhtä suuret kuin ensimmäiset oikeanpuoleiset kertoimet.

Jos tällaisella yhtälöllä on pariton aste, niin sillä on juuri X= - 1. Seuraavaksi voimme alentaa yhtälön astetta jakamalla se arvolla ( x+ yksi). Osoittautuu, että kun symmetrinen yhtälö jaetaan ( x+ 1) saadaan parillisen asteen symmetrinen yhtälö. Todiste kertoimien symmetriasta on esitetty alla. (Liite 6) Tehtävänämme on opetella ratkaisemaan parillisen asteen symmetrisiä yhtälöitä.

Esimerkiksi: (1)

Ratkaisemme yhtälön (1), jaamme sillä X 2 (keskiasteelle) = 0.

Ryhmittelemme termit symmetrisesti

) + 3(x+ . Merkitse klo= x+ , neliötetään molemmat osat, joten = klo 2 Joten 2( klo 2 tai 2 klo 2 + 3 ratkaisee yhtälön, saamme klo = , klo= 3. Seuraavaksi palaamme korvaamiseen x+ = ja x+ = 3. Saamme yhtälöt ja Ensimmäisellä ei ole ratkaisua, ja toisella on kaksi juuria. Vastaus:.

Johtopäätös: tämän tyyppistä yhtälöä ei usein kohdata, mutta jos törmäät siihen, se voidaan ratkaista helposti ja yksinkertaisesti ilman hankalia laskelmia.

2.8 Täyden tutkinnon irrotus

Harkitse yhtälöä.

Vasen puoli on summan (x + 1) kuutio, ts.

Poimimme molemmista osista kolmannen asteen juuren: , niin saamme

Missä on ainoa juuri.

TUTKIMUKSEN TULOKSET

Työn tuloksena päädyimme seuraaviin johtopäätöksiin:

Tutkitun teorian ansiosta tutustuimme erilaisiin menetelmiin kokonaisten korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi;

D. Cardanon kaavaa on vaikea käyttää ja se antaa suuren todennäköisyyden tehdä virheitä laskennassa;

− L. Ferrarin menetelmä mahdollistaa neljännen asteen yhtälön ratkaisun pelkistämisen kuutioon;

− Bezoutin lausetta voidaan soveltaa sekä kuutioyhtälöihin että neljännen asteen yhtälöihin; se on ymmärrettävämpää ja havainnollistavampaa, kun sitä sovelletaan yhtälöiden ratkaisemiseen;

Hornerin menetelmä auttaa merkittävästi vähentämään ja yksinkertaistamaan laskelmia yhtälöiden ratkaisemisessa. Juurien löytämisen lisäksi Hornerin kaavio helpottaa yhtälön vasemmalla puolella olevien polynomien arvojen laskemista;

Erityisen mielenkiintoista oli yhtälöiden ratkaiseminen epämääräisten kertoimien menetelmällä, symmetristen yhtälöiden ratkaisu.

Tutkimustyön aikana todettiin, että opiskelijat tutustuvat yksinkertaisimpiin korkeimman asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmiin matematiikan valinnaisilla luokilla 9. tai 10. luokasta alkaen sekä matkustusmatematiikan erikoiskursseilla. koulut. Tämä tosiasia todettiin MBOU:n "Secondary School No. 9" -koulun matematiikan opettajille ja opiskelijoille, jotka osoittavat lisääntynyttä kiinnostusta "matematiikkaa" kohtaan.

Suosituimmat korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät, joita kohdataan olympia-, kilpailutehtävien ratkaisussa ja opiskelijoiden tenttiin valmistautumisen seurauksena, ovat menetelmät, jotka perustuvat Bezoutin lauseen soveltamiseen, Hornerin kaavioon ja uuden muuttujan käyttöönottoon. .

Tutkimustyön tulosten esittely, ts. tapoja ratkaista yhtälöitä, joita ei opita matematiikan koulun opetussuunnitelmassa, kiinnostuneet luokkatoverit.

Johtopäätös

Opiskelu- ja tieteellistä kirjallisuutta opiskellut Internet-resurssit nuorisokasvatusfoorumeilla

Harkitse ratkaisemaan yhtälöitä, joissa on yksi aste korkeampi muuttuja kuin toinen.

Yhtälön P(x) = 0 aste on polynomin P(x) aste, ts. suurin sen termien potenssit nollasta poikkeavalla kertoimella.

Muista säännöt, joita tarvitaan toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Lausunnot polynomin juurista ja sen jakajista:

1. N:nnen asteen polynomin juurten määrä ei ylitä lukua n, ja multiplisisyyden m juuret esiintyvät tasan m kertaa.

2. Parittoman asteen polynomilla on ainakin yksi reaalijuuri.

3. Jos α on Р(х) juuri, niin Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), missä Q n – 1 (x) on polynomi, jonka aste on (n – 1) .

5. Kokonaislukukertoimien pelkistetyllä polynomilla ei voi olla rationaalisia murtojuuria.

6. Kolmannen asteen polynomille

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d yksi kahdesta asiasta on mahdollista: joko se hajoaa kolmen binomiaalin tuloksi

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), tai hajoaa binomiaalin ja neliötrinomin tuloksi P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. Mikä tahansa neljännen asteen polynomi laajenee kahden neliötrinomin tuloksi.

8. Polynomi f(x) on jaollinen polynomilla g(x) ilman jäännöstä, jos on olemassa polynomi q(x) siten, että f(x) = g(x) q(x). Polynomien jakamiseen sovelletaan "nurkalla jakamisen" sääntöä.

9. Jotta polynomi P(x) olisi jaollinen binomilla (x – c), on välttämätöntä ja riittävää, että luku c on P(x):n juuri (Seuraus Bezoutin lauseeseen).

10. Vietan lause: Jos x 1, x 2, ..., x n ovat polynomin todelliset juuret

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, niin seuraavat yhtälöt pätevät:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Esimerkkien ratkaisu

Esimerkki 1

Etsi jäännös sen jälkeen, kun olet jakanut P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 luvulla (x - 1/3).

Ratkaisu.

Bezoutin lauseen seuraamuksen mukaan: "Polynomin jakaminen binomiaalilla (x - c) on yhtä suuri kuin polynomin arvo c:ssä." Etsitään P(1/3) = 0. Jäännös on siis 0 ja luku 1/3 on polynomin juuri.

Vastaus: R = 0.

Esimerkki 2

Jaa "kulma" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 luvulla (x + 2). Etsi jäännösosa ja epätäydellinen osamäärä.

Ratkaisu:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

X 2-2 x

Vastaus: R = 3; osamäärä: 2x 2 - x.

Perusmenetelmät korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseen

1. Uuden muuttujan käyttöönotto

(t1, t2, …, tn). Sen jälkeen saadaan n yhtälön joukko q(x) = t 1, q(x) = t 2, ... , q(x) = t n, josta löydetään alkuperäisen yhtälön juuret.

Esimerkki 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Ratkaisu:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Vaihto (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Käänteinen vaihto:

x 2 + x + 1 = 2 tai x 2 + x + 1 = 1;

x2 + x-1 = 0 tai x2 + x = 0;

Vastaus: Ensimmäisestä yhtälöstä: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, toisesta: 0 ja -1.

2. Faktoriointi ryhmittelymenetelmällä ja lyhennetyt kertolaskukaavat

Esimerkki 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Ratkaisu.

Kuvittele - 3x 2 = -2x 2 - x 2 ja ryhmä:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 tai x 2 + x - 3 \u003d 0.

Vastaus: Ensimmäisessä yhtälössä ei ole juuria, toisesta: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Faktorisointi epämääräisten kertoimien menetelmällä

Esimerkki 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Ratkaisu.

Kolmannen asteen polynomi voidaan jakaa lineaaristen ja neliötekijöiden tuloksi.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Järjestelmän ratkaiseminen:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, so.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Yhtälön (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 juuret on helppo löytää.

Vastaus: -1; -2.

4. Menetelmä juuren valitsemiseksi suurimmalla ja vapaalla kertoimella

Menetelmä perustuu lauseiden soveltamiseen:

1) Mikä tahansa polynomin kokonaislukujuuri kokonaislukukertoimilla on vapaan termin jakaja.

Esimerkki 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Ratkaisu:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Siten p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Kun olet löytänyt yhden juuren, esimerkiksi - 2, löydämme muut juuret käyttämällä kulmalla jakoa, määrittelemättömien kertoimien menetelmää tai Hornerin kaaviota.

Vastaus: -2; 1/2; 1/3.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista yhtälöitä?
Saadaksesi ohjaajan apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Portaali opiskelijalle. Itseharjoittelu

AIHEESEEN LIITTYVÄT ARTIKKELIT