Se, että monet neliöjuuret ovat irrationaalisia lukuja, ei vähennä niiden merkitystä, varsinkin lukua $\sqrt2$ käytetään hyvin usein erilaisissa teknisissä ja tieteellisissä laskelmissa. Tämä luku voidaan laskea kussakin tapauksessa tarvittavalla tarkkuudella. Voit saada tämän numeron niin monella desimaalilla kuin sinulla on kärsivällisyyttä.

Esimerkiksi luku $\sqrt2$ voidaan määrittää kuuden desimaalin tarkkuudella: $\sqrt2=1,414214$. Tämä arvo ei ole kovin erilainen todellinen arvo, koska 1,414214 $ \ kertaa 1,414214=2,000001237796 $. Tämä vastaus eroaa 2:sta hieman yli miljoonasosalla. Siksi $\sqrt2$:n arvoa, joka vastaa $1,414214$, pidetään varsin hyväksyttävänä enemmistön ratkaisulle käytännön tehtäviä. Siinä tapauksessa, että vaaditaan suurempaa tarkkuutta, niin monta ei ole vaikea saada merkittäviä lukuja desimaalipilkun jälkeen tässä tapauksessa tarpeen mukaan.

Kuitenkin, jos osoitat harvinaista itsepäisyyttä ja yrität poimia Neliöjuuri numerosta $\sqrt2$, kunnes saavutat tarkan tuloksen, et koskaan lopeta työtäsi. Se on loputon prosessi. Riippumatta siitä, kuinka monta desimaalipistettä saat, niitä tulee aina muutama lisää.

Tämä tosiasia voi hämmästyttää sinua yhtä paljon kuin $\frac13$:n kääntäminen äärettömäksi desimaaliluvuksi $0,333333333…$ ja niin edelleen loputtomasti tai $\frac17$ muuttaminen $0,142857142857142857…$:ksi ja niin edelleen äärettömästi. Ensi silmäyksellä saattaa vaikuttaa siltä, ​​että nämä äärettömät ja irrationaaliset neliöjuuret ovat samaa luokkaa olevia ilmiöitä, mutta näin ei suinkaan ole. Loppujen lopuksi näillä äärettömillä murtoluvuilla on murtolukuvastine, kun taas $\sqrt2$:lla ei ole vastaavaa. Ja miksi, tarkalleen? Asia on siinä, että $\frac13$ ja $\frac17$ desimaalivastine sekä ääretön luku muut murtoluvut ovat jaksollisia äärelliset murtoluvut.

Samanaikaisesti $\sqrt2$:n desimaalivastaava on ei-jaksollinen murtoluku. Tämä väite pätee myös kaikkiin ir rationaalinen luku.

Ongelmana on, että mikä tahansa desimaali, joka on 2:n neliöjuuren likiarvo, on ei jaksollinen murto-osa . Riippumatta siitä, kuinka pitkälle etenemme laskelmissa, mikä tahansa saamamme murto-osa on ei-jaksollinen.

Kuvittele murto-osa suuri määrä ei-jaksolliset numerot desimaalipilkun jälkeen. Jos yhtäkkiä miljoonannen numeron jälkeen koko desimaalien sarja toistetaan, niin desimaali- jaksollinen ja sille on vastine kokonaislukujen suhteen muodossa. Jos murto-osassa, jossa on valtava määrä (miljardeja tai miljoonia) ei-jaksollisia desimaalipaikkoja, on jossain vaiheessa loputon sarja toistuvia numeroita, esimerkiksi $…55555555555…$, tämä tarkoittaa myös, että tämä murto-osa on jaksollinen ja sillä on vastaava luku. sille kokonaislukujen lukujen suhteen muodossa.

Kuitenkin niiden desimaalien vastineet ovat täysin ei-jaksollisia, eivätkä ne voi muuttua jaksollisiksi.

Tietysti saa kysyä seuraava kysymys: "Ja kuka voi tietää ja sanoa varmasti, mitä tapahtuu murto-osalle, vaikkapa biljoonan merkin jälkeen? Kuka voi taata, että murto-osa ei muutu jaksolliseksi? On olemassa tapoja kiistattomasti todistaa, että irrationaaliset luvut ovat ei-jaksollisia, mutta tällaiset todistukset vaativat monimutkaisia ​​matemaattisia laitteita. Mutta jos se yhtäkkiä kävisi niin irrationaalinen luku tulee jaksollinen murto-osa, tämä tarkoittaisi perustan täydellistä romahtamista matemaattiset tieteet. Ja itse asiassa tämä on tuskin mahdollista. Tämä ei ole vain sinun heittämistäsi rystysten päälle puolelta toiselle, vaan tässä on monimutkainen matemaattinen teoria.

Että jos he tuntevat sarjateorian, niin ilman sitä ei voida ottaa käyttöön metamaattisia käsitteitä. Lisäksi nämä ihmiset uskovat, että se, joka ei käytä sitä kaikkialla, on tietämätön. Jättäkäämme näiden ihmisten mielipiteet heidän omalletunnolleen. Ymmärrämme paremmin, mitä ääretön jaksollinen murto-osa on ja kuinka käsitellä sitä meille, kouluttamattomille ihmisille, jotka eivät tunne rajoja.

Jaa 237 viidellä. Ei, sinun ei tarvitse käyttää laskinta. Muistetaan paremmin keskikoulu (tai jopa ala-aste?) ja jaetaan sarake:

No, muistatko? Sitten voit ryhtyä hommiin.

Käsitteellä "murto" matematiikassa on kaksi merkitystä:

1. Ei-kokonaisluku.
2. Ei-kokonaisluvun merkintämuoto.

Murtolukuja on kahta tyyppiä - siinä mielessä kaksi tapaa kirjoittaa ei-kokonaislukuja:

1. Yksinkertainen (tai pystysuora) murto-osia, kuten 1/2 tai 237/5.
2. Desimaalit, kuten 0,5 tai 47,4.

Huomaa, että murto-merkinnän käyttö ei yleensä tarkoita sitä, että kirjoitettu on murtoluku, esimerkiksi 3/3 tai 7,0 - ei murtolukuja sanan ensimmäisessä merkityksessä, mutta tietysti toisessa merkityksessä , murtoluvut.

Matematiikassa on yleensä ammoisista ajoista lähtien hyväksytty desimaalitili, ja siksi desimaalimurtoluvut ovat kätevämpiä kuin yksinkertaiset, eli murto desimaalinimittäjä(Vladimir Dal. Sanakirja elossa Hieno venäjän kieli. "Kymmenen").

Ja jos näin on, niin haluan tehdä minkä tahansa pystysuoran murtoluvun desimaalilukuna ("vaakasuuntainen"). Ja tätä varten sinun tarvitsee vain jakaa osoittaja nimittäjällä. Ota esimerkiksi murto-osa 1/3 ja yritä tehdä siitä desimaali.

Täysin kouluttamatonkin huomaa: ei väliä kuinka kauan kestää, he eivät eroa: näin kolmiot ilmestyvät loputtomiin. Joten kirjoitetaan se muistiin: 0,33... Tarkoitamme "lukua, joka saadaan, kun jaat 1:llä 3", tai lyhyesti sanottuna "kolmasosa". Luonnollisesti kolmasosa on murto-osa sanan ensimmäisessä merkityksessä ja "1/3" ja "0,33 ..." ovat murto-osia sanan toisessa merkityksessä, eli tietuelomakkeet numero, joka on numerorivillä niin kaukana nollasta, että jos lykkäät sitä kolme kertaa, saat yhden.

Yritetään nyt jakaa 5 kuudella:

Kirjoita se uudelleen: 0,833 ... Tarkoitamme "lukua, joka saadaan, kun jaat 5:llä 6", tai lyhyesti sanottuna "viisi kuudesosaa". Tässä syntyy kuitenkin hämmennystä: tarkoittaako se 0,83333:a (ja sitten kolminkertaiset toistuvat) vai 0,833833:a (ja sitten 833 toistetaan). Siksi ellipsillä varustettu tietue ei sovi meille: ei ole selvää, mistä toistuva osa alkaa (sitä kutsutaan "jaksoksi"). Siksi otamme pisteen suluissa seuraavasti: 0, (3); 0,8(3).

0, (3) ei vain on yhtä suuri kolmasosa on on yksi kolmasosa, koska keksimme nimenomaan tämän merkinnän edustamaan tätä numeroa muodossa desimaaliluku.

Tämä merkintä on ns ääretön jaksollinen murto-osa tai vain jaksollinen murto-osa.

Aina kun jaamme yhden luvun toisella, jos emme saa äärellistä murtolukua, saamme äärettömän jaksollisen murtoluvun, toisin sanoen joskus lukusarjat alkavat toistaa. Miksi näin on, voidaan ymmärtää puhtaasti spekulatiivisesti, kun tarkastellaan huolellisesti jakoalgoritmia sarakkeen avulla:

Rastimerkeillä merkityistä paikoista niitä ei voi saada koko ajan eri parit numeroita (koska tällaisia ​​pareja on periaatteessa äärellinen joukko). Ja heti kun sellainen pari ilmestyy sinne, joka oli jo olemassa, ero on myös sama - ja sitten koko prosessi alkaa toistaa itseään. Tätä ei tarvitse tarkistaa, koska on aivan selvää, että kun samat toimet toistetaan, tulokset ovat samat.

Nyt kun ymmärrämme hyvin olemus jaksollinen murtoluku, yritetään kertoa kolmasosa kolmella. Kyllä, siitä tulee tietysti yksi, mutta kirjoitetaan tämä murto desimaalimuodossa ja kerrotaan sarakkeella (ellipsistä johtuvaa epäselvyyttä ei esiinny täällä, koska kaikki desimaalipilkun jälkeiset luvut ovat samat):

Ja taas huomaamme, että yhdeksän, yhdeksän ja yhdeksän ilmestyvät desimaalipilkun jälkeen koko ajan. Eli käyttämällä käänteisesti hakasulkujen merkintää, saamme 0, (9). Koska tiedämme, että kolmanneksen ja kolmen tulo on yksikkö, niin 0, (9) on niin outo muoto yksikön kirjoittamisesta. Tätä merkintätapaa ei kuitenkaan kannata käyttää, koska yksikkö on kirjoitettu täydellisesti ilman pistettä, kuten näin: 1.

Kuten näet, 0,(9) on yksi niistä tapauksista, joissa kokonaisluku kirjoitetaan murtolukuna, kuten 3/3 tai 7.0. Eli 0, (9) on murto-osa vain sanan toisessa merkityksessä, mutta ei ensimmäisessä merkityksessä.

Joten ilman rajoituksia ja rivejä selvitimme, mikä 0, (9) on ja kuinka käsitellä sitä.

Mutta muista kuitenkin, että itse asiassa olemme älykkäitä ja opiskellut analyysiä. Itse asiassa on vaikea kiistää, että:

Mutta kenties kukaan ei kiistä sitä tosiasiaa vastaan, että:

Kaikki tämä on tietysti totta. Todellakin, 0,(9) on sekä pelkistetyn sarjan summa että osoitetun kulman kaksinkertaistettu sini, ja luonnollinen logaritmi Eulerin numerot.

Mutta kumpikaan, toinen tai kolmas ei ole määritelmä.

Sanoa, että 0,(9) on äärettömän sarjan 9/(10 n) summa, kun n on suurempi kuin yksi, on sama kuin sanoa, että sini on äärettömän Taylor-sarjan summa:

Tämä on melko oikein, ja tämä on tärkeä tosiasia laskennalliseen matematiikkaan, mutta tämä ei ole määritelmä, ja mikä tärkeintä, se ei tuo henkilöä lähemmäksi ymmärtämistä olemus sinus. Tietyn kulman sinin olemus on, että se on vain asenne vastakkaiseen kulmaan katetri hypotenuusaan.

No, jaksollinen murtoluku on vain desimaaliluku, joka saadaan kun sarakkeella jaettuna sama numerosarja toistetaan. Tässä ei ole analyysiä ollenkaan.

Ja tässä herää kysymys: missä yleisesti otimme numeron 0,(9)? Mitä jaamme sarakkeella saadaksemme sen? Tällaisia ​​lukuja ei todellakaan ole, kun jaettuna sarakkeessa toisilla, meillä olisi loputtomasti esiintyviä yhdeksöitä. Mutta onnistuimme saamaan tämän luvun kertomalla sarakkeen 0, (3) 3:lla? Ei oikeastaan. Loppujen lopuksi sinun on kerrottava oikealta vasemmalle, jotta numeroiden siirrot voidaan ottaa oikein huomioon, ja teimme tämän vasemmalta oikealle hyödyntäen taitavasti sitä, että siirtoja ei tapahdu missään. Siksi 0,(9) kirjoittamisen legitimiteetti riippuu siitä, tunnustammeko tällaisen sarakkeella kertomisen laillisuuden vai emme.

Siksi voidaan yleisesti sanoa, että merkintä 0,(9) on virheellinen - ja olla jossain määrin oikeassa. Kuitenkin, koska merkintä a ,(b ) hyväksytään, on rumaa jättää se pois kun b = 9; on parempi päättää, mitä tällainen tietue tarkoittaa. Joten jos hyväksymme merkinnän 0,(9) ollenkaan, tämä merkintä tarkoittaa tietysti numeroa yksi.

On vain lisättävä, että jos käyttäisimme esimerkiksi kolmiosaista lukujärjestelmää, jakamalla yksikkösarakkeen (1 3) kolminkertaisella (10 3) saamme 0,1 3 (se lukee "nolla piste yksi kolmasosa") , ja kun 1 jaetaan kahdella, se olisi 0,(1) 3 .

Joten murto-tietueen jaksollisuus ei ole jokin murto-luvun objektiivinen ominaisuus, vaan vain sivuvaikutus käyttämällä yhtä tai toista numerojärjestelmää.

Kuten tiedetään, rationaalilukujen joukko (Q) sisältää kokonaislukujoukot (Z), joka puolestaan ​​sisältää joukon luonnollisia lukuja (N). Rationaaliluvut sisältävät kokonaislukujen lisäksi murtolukuja.

Miksi sitten koko rationaalilukujen joukkoa pidetään joskus äärettöminä desimaalilukuina? Loppujen lopuksi ne sisältävät murtolukujen lisäksi kokonaislukuja ei-jaksolliset murtoluvut.

Tosiasia on, että kaikki kokonaisluvut, samoin kuin mikä tahansa murto-osa, voidaan esittää äärettömänä jaksollisena desimaalilukuna. Eli kaikille rationaalisille luvuille voidaan käyttää samaa merkintää.

Miten ääretön jaksollinen desimaali esitetään? Siinä toistuva numeroryhmä desimaalipilkun jälkeen otetaan suluissa. Esimerkiksi 1,56(12) on murtoluku, jossa numeroryhmä 12 toistuu, eli murto-osan arvo on 1,561212121212... ja niin edelleen ilman loppua. Toistuvaa numeroryhmää kutsutaan pisteeksi.

Tässä muodossa voimme kuitenkin esittää mitä tahansa lukua, jos katsomme sen jaksoksi lukua 0, joka myös toistuu ilman loppua. Esimerkiksi luku 2 on sama kuin 2.00000... Siksi se voidaan kirjoittaa äärettömänä jaksollisena murtolukuna, eli 2,(0).

Sama voidaan tehdä mille tahansa äärelliselle murtoluvulle. Esimerkiksi:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Käytännössä äärellisen murtoluvun muuntamista äärettömäksi jaksolliseksi murtoluvuksi ei kuitenkaan käytetä. Siksi äärelliset jakeet ja äärettömät jaksolliset jakeet erotetaan. Siten on oikein sanoa, että rationaaliset luvut sisältävät

• kaikki kokonaisluvut,
• viimeiset jakeet,
• äärettömät jaksolliset murtoluvut.

Samalla he yksinkertaisesti muistavat, että kokonaisluvut ja äärelliset murtoluvut voidaan esittää teoriassa äärettöminä jaksollisina murtolukuina.

Toisaalta äärellisten ja äärettömien murtolukujen käsitteitä voidaan soveltaa desimaalimurtolukuihin. Jos puhumme tavallisista murtoluvuista, niin sekä äärelliset että äärettömät desimaaliluvut voidaan esittää yksiselitteisesti tavallisena murtolukuna. Joten tavallisten murtolukujen näkökulmasta jaksolliset ja äärelliset murtoluvut ovat yksi ja sama. Lisäksi kokonaislukuja voidaan esittää myös yhteisenä murtolukuna, jos kuvittelemme, että jaamme tämän luvun 1:llä.

Kuinka esittää ääretön desimaaliluku tavanomaisena? Yleisimmin käytetty algoritmi on:

1. Ne tuovat murto-osan muotoon niin, että desimaalipilkun jälkeen on vain piste.
2. Kerro ääretön jaksollinen murtoluku 10:llä tai 100:lla tai ... niin, että pilkku siirtyy oikealle yhdellä pisteellä (eli yksi piste on kokonaislukuosassa).
3. Alkuperäinen murto-osa (a) rinnastetaan muuttujaan x, ja murto-osa (b), joka saadaan kertomalla luvulla N, on yhtä suuri kuin Nx.
4. Vähennä x Nx:stä. Vähennä a b:stä. Eli ne muodostavat yhtälön Nx - x \u003d b - a.
5. Yhtälöä ratkaistaessa käy ilmi murtoluku.

Esimerkki äärettömän jaksollisen desimaaliluvun muuntamisesta tavalliseksi murtoluvuksi:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x - 10x = 113,3333... - 11,3333...
90x=102
x=

On olemassa toinenkin rationaaliluvun 1/2 esitysmuoto, joka eroaa muotoa 2/4, 3/6, 4/8 jne. olevista esityksistä. Tarkoitamme esitystä 0,5:n desimaalimurtolukuna. Joillakin murtoluvuilla on äärellinen desimaaliesitys, esim.

kun taas muiden murtolukujen desimaaliesitykset ovat äärettömiä:

Nämä äärettömät desimaalit saadaan vastaavista rationaalisista murtoluvuista jakamalla osoittaja nimittäjällä. Esimerkiksi murto-osan 5/11 tapauksessa jakamalla 5.000... luvulla 11 saadaan 0.454545...

Millä rationaalisilla murtoluvuilla on äärelliset desimaaliesitykset? Ennen kuin vastaat tähän kysymykseen yleisessä tapauksessa, harkitse konkreettinen esimerkki. Otetaan vaikka viimeinen desimaaliluku 0,8625. Tiedämme sen

ja että mikä tahansa äärellinen desimaaliluku voidaan kirjoittaa rationaalisena desimaalilukuna, jonka nimittäjä on 10, 100, 1000 tai jokin muu potenssi 10.

Pienentämällä oikeanpuoleisen murto-osan pelkistämättömäksi murtoluvuksi saamme

Nimittäjä 80 saadaan jakamalla 10 000 luvulla 125 - suurin yhteinen jakaja 10 000 ja 8625. Siksi laajentuessa päätekijät luvut 80, kuten luvut 10 000, sisältävät vain kaksi alkutekijää: 2 ja 5. Jos emme aloittaisi 0,8625:stä, vaan millä tahansa muulla äärellisellä desimaaliluvulla, niin tuloksena olevalla redusoitumattomalla rationaalisella murtoluvulla olisi myös tämä ominaisuus. Toisin sanoen nimittäjän b hajottaminen alkutekijöiksi voisi sisältää vain alkuluvut 2 ja 5, koska b on jakaja joidenkin teho 10, ja . Tämä seikka osoittautuu ratkaisevaksi, nimittäin seuraava yleinen lausunto pätee:

Pelkistymättömällä rationaalisella murtoluvulla on äärellinen desimaaliesitys silloin ja vain, jos luvulla b ei ole alkujakajat, henkilökohtainen alkaen 2 ja 5.

Huomaa, että tässä tapauksessa b:n alkujakajien joukossa ei tarvitse olla sekä 2:ta että 5:tä: se voi olla jaollinen vain yhdellä niistä tai ei jaollinen niillä ollenkaan. Esimerkiksi,

tässä b on yhtä suuri kuin 25, 16 ja 1. Olennaista on, että b:llä ei ole muita jakajia kuin 2 ja 5.

Yllä oleva lause sisältää lausekkeen jos ja vain jos. Toistaiseksi olemme osoittaneet vain sen osan, joka koskee liikevaihtoa vasta silloin. Me osoitimme, että rationaaliluvun laajennus desimaaliluvuksi on äärellinen vain, jos b:llä ei ole muita alkujakajia kuin 2 ja 5.

(Toisin sanoen, jos b on jaollinen muulla alkuluvulla kuin 2:lla ja 5:llä, niin redusoitumaton murto-osa ei sisällä desimaalilauseketta.)

Sanaan viittaava lauseen osa sanoo sitten, että jos kokonaisluvulla b ei ole muita alkujakajia f kuin 2 ja 5, niin pelkistymätön rationaalinen murtoluku voidaan esittää äärellisellä desimaaliluvulla. Tämän todistamiseksi meidän on otettava mielivaltainen redusoitumaton rationaalinen murto-osa, jolle b:llä ei ole muita alkujakajia paitsi 2 ja 5, ja varmista, että vastaava desimaaliluku on äärellinen. Mietitään ensin esimerkkiä. Anna olla

Desimaalilaajennuksen saamiseksi muunnetaan tämä murto-osa murtoluvuksi, jonka nimittäjä on kymmenen kokonaislukupotenssi. Tämä voidaan saavuttaa kertomalla osoittaja ja nimittäjä:

Yllä olevaa keskustelua voidaan laajentaa yleinen tapaus seuraavalla tavalla. Oletetaan, että b on muotoa , jossa tyyppi on ei-negatiiviset kokonaisluvut (ts. positiivisia lukuja tai nolla). Kaksi tapausta on mahdollista: joko pienempi tai yhtä suuri (tämä ehto on kirjoitettu ) tai suurempi (joka on kirjoitettu ). Kun kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla

Jo sisään ala-aste opiskelijat käsittelevät murtolukuja. Ja sitten ne näkyvät kaikissa aiheissa. On mahdotonta unohtaa toimia näillä numeroilla. Siksi sinun on tiedettävä kaikki tiedot tavallisista ja desimaaliluvuista. Nämä käsitteet ovat yksinkertaisia, tärkeintä on ymmärtää kaikki järjestyksessä.

Miksi murtolukuja tarvitaan?

Ympäröivä maailma koostuu kokonaisista esineistä. Osakkeita ei siis tarvita. Mutta jokapäiväinen elämä työntää jatkuvasti ihmisiä työskentelemään esineiden ja esineiden osien kanssa.

Esimerkiksi suklaa koostuu useista viipaleista. Harkitse tilannetta, jossa sen laatta muodostuu kahdestatoista suorakulmiosta. Jos jaat sen kahteen osaan, saat 6 osaa. Se jaetaan hyvin kolmeen osaan. Mutta ne viisi eivät pysty antamaan kokonaista määrää suklaaviipaleita.

Muuten, nämä viipaleet ovat jo murto-osia. Ja niiden edelleen jakaminen johtaa monimutkaisempien lukujen ilmestymiseen.

Mikä on "murto"?

Tämä on numero, joka koostuu yhden osista. Ulkoisesti se näyttää kahdelta numerolta, jotka on erotettu vaakaviivalla tai kauttaviivalla. Tätä ominaisuutta kutsutaan murto-osaksi. Yläreunaan (vasemmalle) kirjoitettua numeroa kutsutaan osoittajaksi. Alhaalla (oikealla) oleva on nimittäjä.

Itse asiassa murtopalkki osoittautuu jakomerkiksi. Toisin sanoen osoittajaa voidaan kutsua osingoksi ja nimittäjää jakajaksi.

Mitkä ovat murtoluvut?

Matematiikassa niitä on vain kahdenlaisia: tavalliset ja desimaalimurtoluvut. Koululaiset tutustutaan ensin ala-aste, kutsuen niitä yksinkertaisesti "fraktioiksi". Toinen oppii 5. luokalla. Silloin nämä nimet ilmestyvät.

Yleisiä murtolukuja ovat kaikki ne, jotka on kirjoitettu kahdeksi pylvällä erotettuna numerona. Esimerkiksi 4/7. Desimaaliluku on luku, jonka murto-osalla on paikkamerkintä ja se erotetaan kokonaisluvusta pilkulla. Esimerkiksi 4.7. Opiskelijoiden on tehtävä selväksi, että nämä kaksi esimerkkiä ovat täysin erilaisia ​​​​lukuja.

Joka yksinkertainen murto-osa voidaan kirjoittaa desimaalilukuna. Tämä väite on melkein aina totta käänteinen suunta. On olemassa sääntöjä, joiden avulla voit kirjoittaa desimaaliluvun tavallisena murtolukuna.

Mitä alalajeja tämän tyyppisillä fraktioilla on?

Parempi aloittaa klo aikajärjestyksessä koska niitä tutkitaan. Yleiset murtoluvut tulevat ensin. Niistä voidaan erottaa 5 alalajia.

Oikea. Sen osoittaja on aina pienempi kuin nimittäjä.

Väärä. Sen osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä.

Vähennettävä/vähentämätön. Se voi olla joko oikein tai väärin. Toinen asia on tärkeä, onko osoittajalla ja nimittäjällä yhteisiä tekijöitä. Jos on, niin niiden oletetaan jakavan molemmat osat murtoluvusta, eli vähentävän sitä.

Sekoitettu. Kokonaisluku määrätään sen tavalliseen oikeaan (virheelliseen) murto-osaan. Ja se seisoo aina vasemmalla.

Komposiitti. Se muodostuu kahdesta fraktiosta, jotka on jaettu toisiinsa. Eli siinä on kolme murto-osaa kerralla.

Desimaaliluvuilla on vain kaksi alalajia:

lopullinen, eli sellainen, jossa murto-osa on rajoitettu (sillä on loppu);

ääretön - luku, jonka numerot desimaalipilkun jälkeen eivät pääty (ne voidaan kirjoittaa loputtomasti).

Kuinka muuntaa desimaali tavalliseksi?

Jos tämä on äärellinen luku, käytetään sääntöön perustuvaa assosiaatiota - kuten kuulen, niin kirjoitan. Eli sinun on luettava se oikein ja kirjoitettava se ylös, mutta ilman pilkkua, mutta murto-osalla.

Vinkkinä vaaditusta nimittäjästä muista, että se on aina yksi ja muutama nolla. Jälkimmäinen on kirjoitettava niin monta kuin on kyseessä olevan luvun murto-osan numeroita.

Kuinka muuntaa desimaalimurtoluvut tavallisiksi, jos niiden koko osa puuttuu, eli se on yhtä suuri kuin nolla? Esimerkiksi 0,9 tai 0,05. Määritetyn säännön soveltamisen jälkeen käy ilmi, että sinun on kirjoitettava nolla kokonaislukua. Mutta sitä ei ole ilmoitettu. Jäljelle jää vain murto-osien kirjoittaminen. Ensimmäisen numeron nimittäjä on 10, toisen - 100. Eli ilmoitetuissa esimerkeissä on numerot vastauksina: 9/10, 5/100. Lisäksi jälkimmäinen osoittautuu mahdolliseksi pienentää viidellä. Siksi sen tulos on kirjoitettava 1/20.

Kuinka tehdä desimaalista tavallinen murtoluku, jos sen kokonaislukuosa on eri kuin nolla? Esimerkiksi 5.23 tai 13.00108. Molemmat esimerkit lukevat kokonaislukuosan ja kirjoittavat sen arvon. Ensimmäisessä tapauksessa tämä on 5, toisessa 13. Sitten sinun on siirryttävä murto-osaan. Niiden kanssa on tarpeen suorittaa sama toimenpide. Ensimmäisellä numerolla on 23/100, toisella 108/100000. Toista arvoa on pienennettävä uudelleen. Vastaus on tällainen sekoitettuja fraktioita: 5 23/100 ja 13 27/25000.

Kuinka muuntaa ääretön desimaali yhteiseksi murtoluvuksi?

Jos se on ei-jaksollinen, tällaista toimenpidettä ei voida suorittaa. Tämä tosiasia johtuu siitä, että jokainen desimaalimurto muunnetaan aina joko lopulliseksi tai jaksolliseksi.

Ainoa asia, jonka tällaisella murtoluvulla saa tehdä, on pyöristää se. Mutta silloin desimaaliluku on suunnilleen yhtä suuri kuin tämä ääretön. Se voidaan muuttaa jo tavalliseksi. Mutta päinvastainen prosessi: muuntaminen desimaaliksi - ei koskaan anna alkuperäistä arvoa. Toisin sanoen äärettömiä ei-jaksollisia murtolukuja ei käännetä tavallisiksi murtoluvuiksi. Tämä on muistettava.

Kuinka kirjoittaa ääretön jaksollinen murto tavallisen muodossa?

Näissä numeroissa desimaalipilkun jälkeen tulee aina yksi tai useampi numero, jotka toistuvat. Niitä kutsutaan jaksoiksi. Esimerkiksi 0,3(3). Tässä "3" kaudella. Ne luokitellaan rationaalisiksi, koska ne voidaan muuntaa tavallisiksi jakeiksi.

Ne, jotka ovat kohdanneet jaksottaisia ​​murtolukuja, tietävät, että ne voivat olla puhtaita tai sekoitettuja. Ensimmäisessä tapauksessa piste alkaa välittömästi pilusta. Toisessa murto-osa alkaa millä tahansa numerolla, ja sitten toisto alkaa.

Sääntö, jolla sinun on kirjoitettava ääretön desimaali tavallisen murtoluvun muodossa, on erilainen näille kahdelle numerotyypille. Puhtaat jaksolliset murtoluvut on melko helppoa kirjoittaa tavallisiksi murtoluvuiksi. Kuten viimeisetkin, ne on muunnettava: kirjoita piste osoittajaan, jolloin numero 9 on nimittäjä toistuen niin monta kertaa kuin pisteessä on numeroita.

Esimerkiksi 0,(5). Numerossa ei ole kokonaislukuosaa, joten sinun on siirryttävä välittömästi murto-osaan. Kirjoita osoittajaan 5 ja nimittäjään 9. Eli vastaus on murtoluku 5/9.

Sääntö yhteisen desimaalimurtoluvun kirjoittamisesta, joka on sekamurto.

Katso ajanjakson pituus. Niin paljon 9:llä on nimittäjä.

Kirjoita nimittäjä muistiin: ensin yhdeksän, sitten nollat.

Osoittajan määrittämiseksi sinun on kirjoitettava kahden luvun ero. Kaikki desimaalipilkun jälkeiset numerot pienennetään pisteen kanssa. Vähennettävä - se on ilman pistettä.

Esimerkiksi 0,5(8) - kirjoita jaksollinen desimaaliluku yhteiseksi murtoluvuksi. Pistettä edeltävä murto-osa on yksinumeroinen. Nollasta tulee siis yksi. Jaksossa on myös vain yksi numero - 8. Eli on vain yksi yhdeksän. Eli nimittäjään on kirjoitettava 90.

Jos haluat määrittää osoittajan luvusta 58, sinun on vähennettävä 5. Osoittautuu, että 53. Sinun on esimerkiksi kirjoitettava vastaukseksi 53/90.

Miten yleiset murtoluvut muunnetaan desimaaliluvuiksi?

eniten yksinkertainen vaihtoehto selviää numero, jonka nimittäjässä on luku 10, 100 ja niin edelleen. Sitten nimittäjä yksinkertaisesti hylätään ja murtoluvun ja väliin kokonaisia ​​osia laitetaan pilkku.

On tilanteita, joissa nimittäjä muuttuu helposti 10:ksi, 100:ksi jne. Esimerkiksi luvut 5, 20, 25. Riittää, kun ne kerrotaan 2:lla, 5:llä ja 4:llä. On vain tarpeen kertoa paitsi nimittäjä, myös osoittaja samalla numerolla.

Kaikissa muissa tapauksissa yksinkertainen sääntö on hyödyllinen: jaa osoittaja nimittäjällä. Tässä tapauksessa saatat saada kaksi vastausta: lopullinen tai jaksollinen desimaaliluku.

Operaatiot yhteisten murtolukujen kanssa

Yhteenlasku ja vähennyslasku

Oppilaat tuntevat heidät aikaisemmin kuin muut. Ja ensin murtoluvuilla samat nimittäjät ja sitten erilainen. Yleiset säännöt voidaan supistaa sellaiseksi suunnitelmaksi.

Etsi nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen.

polttaa lisäkertoimia kaikkiin tavallisiin murtolukuihin.

Kerro osoittajat ja nimittäjät niille määritetyillä tekijöillä.

Lisää (vähennä) murtolukujen osoittajat ja jätä yhteinen nimittäjä ennalleen.

Jos minuutin osoittaja on pienempi kuin aliosa, sinun on selvitettävä, onko meillä sekaluku vai oikea murtoluku.

Ensimmäisessä tapauksessa kokonaislukuosan on otettava yksi. Lisää nimittäjä murtoluvun osoittajaan. Ja sitten vähennyslasku.

Toisessa - on tarpeen soveltaa vähennyssääntöä pienemmästä numerosta suurempaan. Eli vähennä minuutin moduuli aliosan moduulista ja laita "-"-merkki vastaukseksi.

Katso tarkkaan yhteen- (vähennys) tulosta. Jos saat väärän osan, sen oletetaan valitsevan koko osa. Eli jaa osoittaja nimittäjällä.

Kerto- ja jakolasku

Niiden toteuttamiseksi murtolukuja ei tarvitse pienentää yhteinen nimittäjä. Tämä helpottaa toimiin ryhtymistä. Mutta heidän on silti noudatettava sääntöjä.

Kun kerrotaan tavallisia murtolukuja, on otettava huomioon osoittajien ja nimittäjien numerot. Jos jollakin osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen tekijä, niin niitä voidaan vähentää.

Kerro osoittajat.

Kerro nimittäjät.

Jos saat pienennettävän murto-osan, sitä on tarkoitus yksinkertaistaa uudelleen.

Jakamisen yhteydessä sinun on ensin korvattava jako kertolaskulla ja jakaja (toinen murtoluku) sanoilla vastavuoroinen(vaihda osoittaja ja nimittäjä).

Jatka sitten kuten kertolaskussa (alkaen kohdasta 1).

Tehtävissä, joissa sinun täytyy kertoa (jakaa) kokonaisluvulla, jälkimmäinen on tarkoitus kirjoittaa muodossa väärä murtoluku. Eli nimittäjällä 1. Jatka sitten edellä kuvatulla tavalla.



Toiminnot desimaalien kanssa

Yhteenlasku ja vähennyslasku

Tietysti voit aina muuttaa desimaalin yhteiseksi murtoluvuksi. Ja toimi jo kuvatun suunnitelman mukaan. Mutta joskus on mukavampaa toimia ilman tätä käännöstä. Sitten niiden yhteen- ja vähennyssäännöt ovat täsmälleen samat.

Tasaa numeroiden lukumäärä luvun murto-osassa, eli desimaalipilkun jälkeen. Määritä siihen puuttuva määrä nollia.

Kirjoita murtoluvut niin, että pilkku on pilkun alla.

Lisää (vähentä) kuten luonnolliset luvut.

Poista pilkku.

Kerto- ja jakolasku

On tärkeää, että sinun ei tarvitse liittää tähän nollia. Murtoluvut on jätettävä sellaisiksi kuin ne on annettu esimerkissä. Ja sitten mennään suunnitelmien mukaan.

Kertomista varten sinun on kirjoitettava murtoluvut peräkkäin kiinnittämättä huomiota pilkkuihin.

Kerro kuten luonnolliset luvut.

Kirjoita vastaukseen pilkku laskemalla vastauksen oikeasta päästä niin monta numeroa kuin niitä on molempien tekijöiden murto-osissa.

Jakamista varten sinun on ensin muunnettava jakaja: tee se luonnollinen luku. Eli kerro se 10:llä, 100:lla jne. riippuen siitä, kuinka monta numeroa on jakajan murto-osassa.

Kerro osinko samalla luvulla.

Jaa desimaali luonnollisella luvulla.

Laita vastaukseen pilkku sillä hetkellä, kun koko osan jako päättyy.



Entä jos yhdessä esimerkissä on molemmat murtotyypit?

Kyllä, matematiikassa on usein esimerkkejä, joissa sinun on suoritettava operaatioita tavallisille ja desimaaliluvuille. Näihin ongelmiin on kaksi mahdollista ratkaisua. Sinun on punnittava numerot objektiivisesti ja valittava paras.

Ensimmäinen tapa: edusta tavallisia desimaaleja

Se sopii, jos jaettaessa tai muuntamalla saadaan lopulliset jakeet. Jos vähintään yksi numero antaa jaksollisen osan, tämä tekniikka on kielletty. Siksi, vaikka et haluaisi työskennellä tavallisten murtolukujen kanssa, sinun on laskettava ne.

Toinen tapa: kirjoita desimaalilukuja tavallisena

Tämä tekniikka on kätevä, jos desimaalipilkun jälkeisessä osassa on 1-2 numeroa. Jos niitä on enemmän, voit saada erittäin suuren tavallisen jakeen ja desimaalimerkinnät avulla voit laskea tehtävän nopeammin ja helpommin. Siksi on aina tarpeen arvioida tehtävä järkevästi ja valita yksinkertaisin ratkaisutapa.