Ongelmalause 2:

Annettu funktio, joka on määritelty ja jatkuva jollain aikavälillä . On löydettävä funktion suurin (pienin) arvo tällä aikavälillä.

Teoreettinen perusta.
Lause (toinen Weierstrassin lause):

Jos funktio on määritelty ja jatkuva suljetulla aikavälillä, se saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa tällä välillä.

Funktio voi saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa joko intervallin sisäisissä pisteissä tai sen rajoilla. Havainnollistetaan kaikki mahdolliset vaihtoehdot.

Selitys:
1) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa intervallin vasemmalla reunalla pisteessä ja minimiarvonsa intervallin oikealla reunalla pisteessä .
2) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä (tämä on maksimipiste) ja minimiarvonsa intervallin oikealla rajalla pisteessä.
3) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa intervallin vasemmalla reunalla pisteessä ja minimiarvonsa pisteessä (tämä on minimipiste).
4) Funktio on vakio välissä, ts. se saavuttaa minimi- ja maksimiarvonsa missä tahansa välin kohdassa, ja minimi- ja maksimiarvot ovat samat.
5) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä ja minimiarvonsa pisteessä (huolimatta siitä, että funktiolla on sekä maksimi että minimi tällä välillä).
6) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä (tämä on maksimipiste) ja minimiarvonsa pisteessä (tämä on minimipiste).
Kommentti:

"Maksimi" ja "maksimiarvo" ovat eri asioita. Tämä seuraa maksimin määritelmästä ja lauseen "maksimiarvo" intuitiivisesta ymmärtämisestä.

Algoritmi ongelman ratkaisemiseksi 2.



4) Valitse saaduista arvoista suurin (pienin) ja kirjoita vastaus muistiin.

Esimerkki 4:

Määritä funktion suurin ja pienin arvo segmentillä.
Päätös:
1) Etsi funktion derivaatta.

2) Etsi stationaariset pisteet (ja pisteet, jotka epäilevät ääripäätä) ratkaisemalla yhtälö . Kiinnitä huomiota pisteisiin, joissa ei ole kaksipuolista äärellistä derivaatta.

3) Laske funktion arvot kiinteissä pisteissä ja intervallin rajoilla.

4) Valitse saaduista arvoista suurin (pienin) ja kirjoita vastaus muistiin.

Tämän janan funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä, jossa on koordinaatit.

Tämän janan funktio saavuttaa minimiarvonsa pisteessä, jossa on koordinaatit.

Voit tarkistaa laskelmien oikeellisuuden katsomalla tutkittavan funktion kaaviota.


Kommentti: Funktio saavuttaa maksimiarvonsa maksimipisteessä ja minimiarvon janan rajalla.

Erikoistapaus.

Oletetaan, että haluat löytää jonkin segmentin funktion enimmäis- ja vähimmäisarvon. Algoritmin ensimmäisen kappaleen suorittamisen jälkeen, ts. johdannaista laskettaessa käy selväksi, että esimerkiksi se ottaa vain negatiiviset arvot koko tarkasteltavasta segmentistä. Muista, että jos derivaatta on negatiivinen, funktio on laskeva. Huomasimme, että funktio pienenee koko aikavälillä. Tämä tilanne on esitetty artikkelin alussa olevassa kaaviossa nro 1.

Toiminto pienenee intervalliin, ts. sillä ei ole ääripisteitä. Kuvasta näkyy, että funktio ottaa pienimmän arvon segmentin oikealta reunalta ja suurimman arvon vasemmalta. jos intervallin derivaatta on kaikkialla positiivinen, funktio kasvaa. Pienin arvo on segmentin vasemmalla reunalla, suurin on oikealla.

Olkoon funktio $z=f(x,y)$ määritelty ja jatkuva jossain rajoitetussa suljetussa verkkotunnuksessa $D$. Olkoon annetulla funktiolla tällä alueella äärelliset ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat (lukuun ottamatta mahdollisesti äärellistä määrää pisteitä). Kahden muuttujan funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi tietyllä suljetulla alueella tarvitaan yksinkertaisen algoritmin kolme vaihetta.

Algoritmi funktion $z=f(x,y)$ suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi suljetussa verkkotunnuksessa $D$.

1. Etsi funktion $z=f(x,y)$ kriittiset pisteet, jotka kuuluvat alueeseen $D$. Laske funktioarvot kriittisissä pisteissä.
2. Tutki funktion $z=f(x,y)$ käyttäytymistä tason $D$ rajalla etsimällä mahdollisten maksimi- ja minimiarvojen pisteet. Laske funktioarvot saaduissa pisteissä.
3. Valitse kahdessa edellisessä kappaleessa saaduista funktioarvoista suurin ja pienin.

Mitkä ovat kriittiset kohdat? näytä piilota

Alla kriittiset kohdat tarkoittaa pisteitä, joissa molemmat ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat yhtä suuria kuin nolla (eli $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ja $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) tai ainakin yhtä osittaista johdannaista ei ole olemassa.

Usein kutsutaan pisteitä, joissa ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat yhtä kuin nolla kiinteitä pisteitä. Siten kiinteät pisteet ovat kriittisten pisteiden osajoukko.

Esimerkki #1

Etsi funktion $z=x^2+2xy-y^2-4x$ maksimi- ja minimiarvo suljetulla alueella, jota rajoittavat rivit $x=3$, $y=0$ ja $y=x +1 $.

Noudatamme yllä olevaa, mutta ensin käsittelemme tietyn alueen piirtämistä, jota merkitään kirjaimella $D$. Meille annetaan kolmen suoran yhtälöt, jotka rajoittavat tätä aluetta. Suora $x=3$ kulkee y-akselin suuntaisen pisteen $(3;0)$ kautta (akseli Oy). Suora $y=0$ on abskissa-akselin (Ox-akselin) yhtälö. No, rakentaaksesi suoran $y=x+1$ etsitään kaksi pistettä, joiden kautta piirretään tämä suora. Voit tietysti korvata pari mielivaltaista arvoa $x$:n sijasta. Esimerkiksi korvaamalla $x=10$, saamme: $y=x+1=10+1=11$. Olemme löytäneet pisteen $(10;11)$, joka sijaitsee viivalla $y=x+1$. On kuitenkin parempi löytää pisteet, joissa suora $y=x+1$ leikkaa suorien $x=3$ ja $y=0$. Miksi se on parempi? Koska laskemme pari lintua yhdellä iskulla: saamme kaksi pistettä suoran $y=x+1$ muodostamisesta ja samalla selvitämme missä pisteissä tämä suora leikkaa muita viivoja, jotka rajoittavat annettua alueella. Suora $y=x+1$ leikkaa suoran $x=3$ pisteessä $(3;4)$ ja suoran $y=0$ - pisteessä $(-1;0)$. Jotta ratkaisun kulku ei sotkeutuisi apuselityksillä, laitan kysymyksen näiden kahden pisteen saamisesta muistiinpanoon.

Miten pisteet $(3;4)$ ja $(-1;0)$ saatiin? näytä piilota

Aloitetaan suorien $y=x+1$ ja $x=3$ leikkauspisteestä. Halutun pisteen koordinaatit kuuluvat sekä ensimmäiselle että toiselle riville, joten tuntemattomien koordinaattien löytämiseksi sinun on ratkaistava yhtälöjärjestelmä:

$$ \vasen \( \begin(tasattu) & y=x+1;\\ & x=3. \end(tasattu) \oikea. $$

Tällaisen järjestelmän ratkaisu on triviaali: korvaamalla $x=3$ ensimmäiseen yhtälöön saadaan: $y=3+1=4$. Piste $(3;4)$ on viivojen $y=x+1$ ja $x=3$ haluttu leikkauspiste.

Etsitään nyt suorien $y=x+1$ ja $y=0$ leikkauspiste. Jälleen laadimme ja ratkaisemme yhtälöjärjestelmän:

$$ \vasen \( \begin(tasattu) & y=x+1;\\ & y=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Korvaamalla $y=0$ ensimmäiseen yhtälöön saadaan: $0=x+1$, $x=-1$. Piste $(-1;0)$ on viivojen $y=x+1$ ja $y=0$ (abskissa-akseli) haluttu leikkauspiste.

Kaikki on valmis rakentamaan piirustuksen, joka näyttää tältä:

Setelin kysymys näyttää ilmeiseltä, koska kuvasta näkyy kaikki. On kuitenkin syytä muistaa, että piirustus ei voi toimia todisteena. Kuva on vain havainnollistava selvyyden vuoksi.

Alueemme asetettiin käyttämällä sitä rajoittavia suorayhtälöitä. On selvää, että nämä viivat määrittelevät kolmion, eikö niin? Vai eikö se ole aivan ilmeistä? Tai ehkä meille annetaan eri alue, jota rajoittavat samat viivat:

Tietysti ehto sanoo, että alue on suljettu, joten esitetty kuva on väärä. Mutta tällaisten epäselvyyksien välttämiseksi on parempi määritellä alueet eriarvoisuuksilla. Olemme kiinnostuneita linjan $y=x+1$ alla olevasta koneen osasta? Ok, joten $y ≤ x+1$. Alueemme pitäisi sijaita viivan $y=0$ yläpuolella? Hienoa, joten $y ≥ 0$. Muuten, kaksi viimeistä epäyhtälöä on helppo yhdistää yhdeksi: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(tasattu) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(tasattu) \oikea. $$

Nämä epäyhtälöt määrittelevät verkkotunnuksen $D$ ja määrittelevät sen yksiselitteisesti ilman epäselvyyksiä. Mutta kuinka tämä auttaa meitä alaviitteen alussa olevassa kysymyksessä? Se auttaa myös :) Meidän on tarkistettava, kuuluuko piste $M_1(1;1)$ alueeseen $D$. Korvataan $x=1$ ja $y=1$ tätä aluetta määrittelevään epäyhtälöjärjestelmään. Jos molemmat epäyhtälöt täyttyvät, piste on alueen sisällä. Jos ainakin yksi epäyhtälöistä ei täyty, piste ei kuulu alueelle. Niin:

$$ \left \( \begin(tasattu) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(tasattu) \oikea. \;\; \left \( \begin(tasattu) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(tasattu) \oikea.$$

Molemmat eriarvoisuudet ovat totta. Piste $M_1(1;1)$ kuuluu alueeseen $D$.

Nyt on vuoro tutkia funktion käyttäytymistä toimialueen rajalla, ts. mene. Aloitetaan suoralla $y=0$.

Suora $y=0$ (abskissa-akseli) rajoittaa aluetta $D$ ehdolla $-1 ≤ x ≤ 3$. Korvaa $y=0$ annettuun funktioon $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Tuloksena oleva yhden muuttujan $x$ korvausfunktio merkitään $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nyt funktiolle $f_1(x)$ meidän on löydettävä suurimmat ja pienimmät arvot välillä $-1 ≤ x ≤ 3$. Etsi tämän funktion derivaatta ja vertaa se nollaan:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Arvo $x=2$ kuuluu segmenttiin $-1 ≤ x ≤ 3$, joten lisäämme pisteluetteloon myös $M_2(2;0)$. Lisäksi laskemme funktion $z$ arvot segmentin $-1 ≤ x ≤ 3$ päissä, ts. pisteissä $M_3(-1;0)$ ja $M_4(3;0)$. Muuten, jos piste $M_2$ ei kuuluisi tarkasteltavaan segmenttiin, silloin ei tietenkään tarvitsisi laskea funktion $z$ arvoa siinä.

Lasketaan siis funktion $z$ arvot pisteissä $M_2$, $M_3$, $M_4$. Voit tietysti korvata näiden pisteiden koordinaatit alkuperäisessä lausekkeessa $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Esimerkiksi pisteelle $M_2$ saamme:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Laskelmia voidaan kuitenkin hieman yksinkertaistaa. Tätä varten on syytä muistaa, että segmentillä $M_3M_4$ meillä on $z(x,y)=f_1(x)$. Selitän sen yksityiskohtaisesti:

\begin(tasattu) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(tasattu)

Tietenkään ei yleensä tarvita tällaisia ​​yksityiskohtaisia ​​tietueita, ja tulevaisuudessa alamme kirjoittaa kaikki laskelmat lyhyemmällä tavalla:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Käännytään nyt suoralle $x=3$. Tämä viiva rajoittaa verkkotunnusta $D$ ehdolla $0 ≤ y ≤ 4$. Korvaa $x=3$ annettuun funktioon $z$. Tällaisen korvauksen seurauksena saamme funktion $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Funktiolle $f_2(y)$ on löydettävä suurin ja pienin arvo väliltä $0 ≤ y ≤ 4$. Etsi tämän funktion derivaatta ja vertaa se nollaan:

$$ f_(2)^(")(y)=-2v+6;\\ -2v+6=0; \; y=3. $$

Arvo $y=3$ kuuluu segmenttiin $0 ≤ y ≤ 4$, joten lisäämme $M_5(3;3)$ aiemmin löydettyihin pisteisiin. Lisäksi on tarpeen laskea funktion $z$ arvo janan $0 ≤ y ≤ 4$ päissä olevista pisteistä, ts. pisteissä $M_4(3;0)$ ja $M_6(3;4)$. Pisteessä $M_4(3;0)$ olemme jo laskeneet $z$:n arvon. Lasketaan funktion $z$ arvo pisteissä $M_5$ ja $M_6$. Haluan muistuttaa, että segmentillä $M_4M_6$ meillä on $z(x,y)=f_2(y)$, joten:

\begin(tasattu) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(tasattu)

Ja lopuksi harkitse $D$:n viimeistä rajaa, ts. rivi $y=x+1$. Tämä viiva rajaa alueen $D$ ehdolla $-1 ≤ x ≤ 3$. Korvaamalla $y=x+1$ funktioon $z$, saamme:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Jälleen kerran meillä on yhden muuttujan $x$ funktio. Ja jälleen, sinun on löydettävä tämän funktion suurin ja pienin arvo segmentiltä $-1 ≤ x ≤ 3 $. Etsi funktion $f_(3)(x)$ derivaatta ja vertaa se nollaan:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Arvo $x=1$ kuuluu väliin $-1 ≤ x ≤ 3$. Jos $x=1$, niin $y=x+1=2$. Lisätään pisteluetteloon $M_7(1;2)$ ja selvitetään mikä on funktion $z$ arvo tässä vaiheessa. Janan $-1 päissä olevat pisteet ≤ x ≤ 3$, ts. Pisteitä $M_3(-1;0)$ ja $M_6(3;4)$ tarkasteltiin aiemmin, olemme jo löytäneet niistä funktion arvon.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Ratkaisun toinen vaihe on valmis. Meillä on seitsemän arvoa:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Käännytään. Valitsemalla suurimmat ja pienimmät arvot niistä numeroista, jotka saatiin kolmannessa kappaleessa, meillä on:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Ongelma on ratkaistu, jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus: $z_(min) = -4; \; z_(max)=6$.

Esimerkki #2

Etsi funktion $z=x^2+y^2-12x+16y$ suurin ja pienin arvo alueelta $x^2+y^2 ≤ 25$.

Rakennetaan ensin piirustus. Yhtälö $x^2+y^2=25$ (tämä on annetun alueen rajaviiva) määrittää ympyrän, jonka keskipiste on origossa (eli pisteessä $(0;0)$) ja jonka säde on 5. Epäyhtälö $x^2 +y^2 ≤ 25$ toteuttaa kaikki mainitun ympyrän sisällä ja päällä olevat pisteet.

Toimimme eteenpäin. Etsitään osittaiset derivaatat ja selvitetään kriittiset pisteet.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2v+16. $$

Ei ole pisteitä, joissa löydettyjä osittaisia ​​derivaattoja ei olisi olemassa. Selvitetään missä kohdissa molemmat osittaiset derivaatat ovat yhtä aikaa nolla, ts. löytää paikallaan olevia pisteitä.

$$ \left \( \begin(tasattu) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(tasattu) \oikea. \;\; \left \( \begin(tasattu) & x =6;\\ & y=-8.\end(tasattu) \oikea.$$

Saimme kiinteän pisteen $(6;-8)$. Löytynyt piste ei kuitenkaan kuulu alueeseen $D$. Tämä on helppo näyttää ilman, että edes turvaudutaan piirtämiseen. Tarkastetaan, päteekö epäyhtälö $x^2+y^2 ≤ 25$, joka määrittelee verkkotunnuksemme $D$. Jos $x=6$, $y=-8$, niin $x^2+y^2=36+64=100$, ts. epäyhtälö $x^2+y^2 ≤ 25$ ei täyty. Johtopäätös: piste $(6;-8)$ ei kuulu alueeseen $D$.

Siten $D$:n sisällä ei ole kriittisiä pisteitä. Jatketaan, kohti. Meidän on tutkittava funktion käyttäytymistä tietyn alueen rajalla, ts. ympyrässä $x^2+y^2=25$. Voit tietysti ilmaista $y$:lla $x$ ja korvata tuloksena olevan lausekkeen funktiollamme $z$. Ympyräyhtälöstä saamme: $y=\sqrt(25-x^2)$ tai $y=-\sqrt(25-x^2)$. Korvaamalla esimerkiksi $y=\sqrt(25-x^2)$ annettuun funktioon, saamme:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Lisäratkaisu on täysin identtinen edellisen esimerkin nro 1 funktion käyttäytymisen tutkimuksen kanssa alueen rajalla. Tässä tilanteessa mielestäni on kuitenkin järkevämpää käyttää Lagrangen menetelmää. Olemme kiinnostuneita vain tämän menetelmän ensimmäisestä osasta. Lagrange-menetelmän ensimmäisen osan soveltamisen jälkeen saamme pisteet, joissa tutkitaan funktiota $z$ minimi- ja maksimiarvoille.

Kokoamme Lagrange-funktion:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Etsimme Lagrange-funktion osittaiset derivaatat ja muodostamme vastaavan yhtälöjärjestelmän:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2v+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (tasattu) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(tasattu) \ oikea. \;\; \left \( \begin(tasattu) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( tasattu)\right.$$

Tämän järjestelmän ratkaisemiseksi osoitetaan heti, että $\lambda\neq -1$. Miksi $\lambda\neq -1$? Yritetään korvata $\lambda=-1$ ensimmäisessä yhtälössä:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x = 6; \; 0=6. $$

Tuloksena oleva ristiriita $0=6$ sanoo, että arvo $\lambda=-1$ on virheellinen. Lähtö: $\lambda\neq -1$. Ilmaistaan ​​$x$ ja $y$ muodossa $\lambda$:

\begin(tasattu) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(tasattu)

Uskon, että tässä käy ilmi, miksi määritimme erityisesti $\lambda\neq -1$ -ehdon. Tämä tehtiin lausekkeen $1+\lambda$ sovittamiseksi nimittäjiin ilman häiriöitä. Toisin sanoen on varmistettava, että nimittäjä on $1+\lambda\neq 0$.

Korvataan $x$ ja $y$ saadut lausekkeet järjestelmän kolmanteen yhtälöön, ts. $x^2+y^2=25$:ssa:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Tuloksena olevasta yhtälöstä seuraa, että $1+\lambda=2$ tai $1+\lambda=-2$. Siksi meillä on kaksi parametrin $\lambda$ arvoa, nimittäin: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Vastaavasti saamme kaksi arvoparia $x$ ja $y$:

\begin(tasattu) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(tasattu)

Saimme siis kaksi pistettä mahdollisesta ehdollisesta ääripäästä, ts. $M_1(3;-4)$ ja $M_2(-3;4)$. Etsi funktion $z$ arvot pisteistä $M_1$ ja $M_2$:

\begin(tasattu) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(tasattu)

Meidän tulee valita suurimmat ja pienimmät arvot niistä, jotka saimme ensimmäisessä ja toisessa vaiheessa. Mutta sisään Tämä tapaus valinta on pieni :) Meillä on:

$$z_(min) = -75; \; z_(max)=125. $$

Vastaus: $z_(min) = -75; \; z_(max) = 125 $.

Prosessi funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämiseksi segmentiltä muistuttaa kiehtovaa lentoa kohteen ympäri (funktion kaavio) helikopterilla, jossa ammutaan pitkän kantaman tykistä tietyissä pisteissä ja valitaan jostakin. Nämä pisteet ovat erittäin erityisiä kontrollilaukauksia. Pisteet valitaan tietyllä tavalla ja tiettyjen sääntöjen mukaan. millä säännöillä? Puhumme tästä lisää.

Jos toiminto y = f(x) jatkuva segmentillä [ a, b] , niin se saavuttaa tämän segmentin vähiten ja korkeimmat arvot . Tämä voi tapahtua joko sisällä ääripisteet tai jakson päissä. Siksi löytää vähiten ja funktion suurimmat arvot , jatkuva segmentillä [ a, b], sinun on laskettava sen arvot kokonaisuudessaan kriittiset kohdat ja segmentin päissä ja valitse sitten niistä pienin ja suurin.

Olkoon esimerkiksi tarpeen määrittää funktion maksimiarvo f(x) segmentillä [ a, b] . Voit tehdä tämän etsimällä sen kaikki kriittiset kohdat [ a, b] .

Kriittinen piste kutsutaan pisteeksi, jossa funktio määritetty, ja hän johdannainen on joko nolla tai sitä ei ole olemassa. Sitten sinun tulee laskea funktion arvot kriittisissä pisteissä. Ja lopuksi on verrattava funktion arvoja kriittisissä pisteissä ja segmentin päissä ( f(a) ja f(b) ). Suurin näistä luvuista on segmentin funktion suurin arvo [a, b] .

Löytämisen ongelma funktion pienimmät arvot .

Etsimme yhdessä funktion pienintä ja suurinta arvoa

Esimerkki 1. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 2] .

Päätös. Löydämme tämän funktion derivaatan. Yhdistä derivaatta nollaan () ja saat kaksi kriittistä pistettä: ja . Tietyn segmentin funktion pienimmän ja suurimman arvon löytämiseksi riittää, että lasketaan sen arvot janan päissä ja pisteessä , koska piste ei kuulu segmenttiin [-1, 2] . Nämä funktioarvot ovat seuraavat: , , . Tästä seuraa, että pienin funktion arvo(merkitty punaisella alla olevassa kaaviossa), joka on yhtä suuri kuin -7, saavutetaan janan oikeaan päähän - pisteessä , ja suurin(myös punainen kaaviossa), on yhtä suuri kuin 9, - kriittisessä pisteessä .

Jos funktio on jatkuva tietyllä aikavälillä ja tämä intervalli ei ole jana (mutta on esimerkiksi intervalli; intervallin ja janan välinen ero: intervallin rajapisteet eivät sisälly väliin, mutta segmentin rajapisteet sisällytetään segmenttiin), niin funktion arvojen joukossa ei välttämättä ole pienintä ja suurinta. Joten esimerkiksi alla olevassa kuvassa esitetty funktio on jatkuva ]-∞, +∞[, eikä sillä ole suurinta arvoa.

Kuitenkin millä tahansa aikavälillä (suljettu, avoin tai ääretön) seuraava jatkuvien funktioiden ominaisuus pätee.

Esimerkki 4. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 3] .

Päätös. Löydämme tämän funktion derivaatan osamäärän derivaatana:

.

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa meille yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu väliin [-1, 3] . Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Verrataan näitä arvoja. Johtopäätös: yhtä suuri kuin -5/13, pisteessä ja suurin arvo yhtä suuri kuin 1 pisteessä .

Jatkamme funktion pienimmän ja suurimman arvon etsimistä yhdessä

On opettajia, jotka funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämisestä eivät anna opiskelijoille monimutkaisempia esimerkkejä kuin juuri tarkastelut, eli niitä, joissa funktio on polynomi tai murtoluku, osoittaja ja joiden nimittäjä on polynomi. Mutta emme rajoita tällaisiin esimerkkeihin, koska opettajien joukossa on ystäviä, jotka haluavat saada opiskelijat ajattelemaan kokonaan (johdannaisten taulukko). Siksi käytetään logaritmia ja trigonometristä funktiota.

Esimerkki 6. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Päätös. Löydämme tämän funktion johdannaisen muodossa tuotteen johdannainen :

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Kaikkien toimien tulos: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin 0, pisteessä ja pisteessä ja suurin arvo yhtä kuin e² , kohdassa .

Esimerkki 7. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Päätös. Löydämme tämän funktion johdannaisen:

Yhdistä derivaatta nollaan:

Ainoa kriittinen piste kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Johtopäätös: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin , pisteessä ja suurin arvo, yhtä suuri kuin , pisteessä .

Sovelletuissa äärimmäisissä ongelmissa pienimpien (suurimpien) funktioarvojen löytäminen on pääsääntöisesti vähennetty minimiin (maksimi). Mutta itse minimit tai maksimit eivät ole suurempaa käytännön mielenkiintoa, vaan argumentin arvot, joilla ne saavutetaan. Sovellettuja ongelmia ratkaistaessa syntyy lisävaikeus - funktioiden kokoaminen, jotka kuvaavat tarkasteltavaa ilmiötä tai prosessia.

Esimerkki 8 Säiliö, jonka tilavuus on 4 ja joka on suuntaissärmiön muotoinen neliömäisellä pohjalla ja ylhäältä avoin, on tinattava. Mitkä pitäisi olla säiliön mitat, jotta se peittyy mahdollisimman vähän materiaalia?

Päätös. Anna olla x- pohjapuoli h- säiliön korkeus, S- sen pinta-ala ilman kantta, V- sen tilavuus. Säiliön pinta-ala ilmaistaan ​​kaavalla, ts. on kahden muuttujan funktio. Ilmaista S yhden muuttujan funktiona käytämme sitä tosiasiaa, että mistä . Korvaa löydetyn lausekkeen h kaavaan S:

Tarkastellaan tätä funktiota ääripäälle. Se on määritelty ja differentioituva kaikkialla ]0:ssa, +∞[ , ja

.

Yhdistämme derivaatan nollaan () ja löydämme kriittisen pisteen. Lisäksi, kun derivaatta ei ole olemassa, mutta tämä arvo ei sisälly määritelmäalueeseen, eikä se siksi voi olla ääripiste. Joten, - ainoa kriittinen kohta. Tarkastetaan ääripään olemassaolo toisella riittävällä kriteerillä. Etsitään toinen derivaatta. Kun toinen derivaatta on suurempi kuin nolla (). Tämä tarkoittaa, että kun toiminto saavuttaa minimin . Koska tämä minimi - tämän funktion ainoa ääriarvo, se on sen pienin arvo. Joten säiliön pohjan sivun tulee olla 2 m ja sen korkeus.

Esimerkki 9 Kappaleesta A, joka sijaitsee rautatien varrella, pisteeseen Kanssa, kaukana siitä l, tavarat on kuljetettava. Painoyksikön kuljetuskustannus etäisyysyksikköä kohti rautateitse on yhtä suuri kuin ja maantiellä se on yhtä suuri kuin . Mihin pisteeseen M rautatie olisi pidettävä valtatie kuljettaa rahtia MUTTA sisään Kanssa oli edullisin AB rautatien oletetaan olevan suora)?

Funktion suurin (pienin) arvo on suurin (pienin) hyväksytty ordinaatan arvo tarkasteluvälillä.

Jotta voit löytää funktion suurimman tai pienimmän arvon, sinun on:

1. Tarkista, mitkä kiinteät pisteet sisältyvät annettuun segmenttiin.
2. Laske funktion arvo janan päissä ja kiinteissä pisteissä vaiheesta 3 alkaen
3. Valitse saaduista tuloksista suurin tai pienin arvo.

Jotta voit löytää enimmäis- tai vähimmäispisteet, sinun on:

1. Etsi funktion $f"(x)$ derivaatta
2. Etsi kiinteät pisteet ratkaisemalla yhtälö $f"(x)=0$
3. Kerroin funktion derivaatta.
4. Piirrä koordinaattiviiva, aseta sille kiinteät pisteet ja määritä derivaatan etumerkit saaduilla väleillä lauseen 3 merkinnällä.
5. Etsi maksimi- tai minimipisteet säännön mukaan: jos derivaatta muuttaa jossain pisteessä etumerkkiä plussasta miinukseen, niin tämä on maksimipiste (jos miinuksesta plussaan, niin tämä on minimipiste). Käytännössä intervalleilla on kätevää käyttää nuolien kuvaa: välissä, jossa derivaatta on positiivinen, nuoli piirretään ylöspäin ja päinvastoin.

Taulukko joidenkin perusfunktioiden johdannaisista:

Toiminto	Johdannainen
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Erottamisen perussäännöt

1. Summan ja erotuksen derivaatta on yhtä suuri kuin kunkin termin derivaatta

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Etsi derivaatta funktiosta $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Summan ja erotuksen derivaatta on yhtä suuri kuin kunkin termin derivaatta

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Tuotteen johdannainen.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Etsi derivaatta $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Osamäärän derivaatta

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Etsi derivaatta $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin ulkoisen funktion derivaatan ja sisäisen funktion derivaatan tulo

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Etsi funktion $y=2x-ln⁡(x+11)+4$ minimipiste

1. Etsi funktion ODZ: $x+11>0; x>-11 $

2. Etsi funktion $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ derivaatta

3. Etsi liikkumattomat pisteet vertaamalla derivaatta nollaan

$(2x+21)/(x+11)=0$

Murto-osa on nolla, jos osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla

$2x+21=0; x≠-11 $

4. Piirrä koordinaattiviiva, aseta sille kiinteät pisteet ja määritä derivaatan etumerkit saaduilla väleillä. Tätä varten korvaamme derivaatan minkä tahansa luvun äärioikealta alueelta, esimerkiksi nollan.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Minimipisteessä derivaatan etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi, joten $-10.5$ piste on minimipiste.

Vastaus: -10,5 dollaria

Etsi funktion $y=6x^5-90x^3-5$ maksimiarvo segmentistä $[-5;1]$

1. Etsi funktion $y′=30x^4-270x^2$ derivaatta

2. Yhdistä derivaatta nollaan ja etsi stationaariset pisteet

$30x^4-270x^2=0$

Otetaan yhteinen kerroin $30x^2$ suluista

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Aseta jokainen kerroin nollaksi

$x^2=0 ; x-3 = 0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Valitse kiinteät pisteet, jotka kuuluvat annettuun segmenttiin $[-5;1]$

Kiinteät pisteet $x=0$ ja $x=-3$ sopivat meille

4. Laske funktion arvo janan päissä ja paikallaan olevissa pisteissä kohdasta 3

Tämän palvelun avulla voit etsi funktion suurin ja pienin arvo yksi muuttuja f(x) ratkaisun suunnittelulla Wordissa. Jos funktio f(x,y) on annettu, on siksi löydettävä kahden muuttujan funktion ääriarvo. Löydät myös funktion lisäys- ja laskuvälit.

Etsi funktion suurin ja pienin arvo

y=

segmentillä [ ;]

Sisällytä teoria

Toiminnon syöttösäännöt:

Tarvittava ehto yhden muuttujan funktion ääripäälle

Yhtälö f "0 (x *) \u003d 0 on välttämätön ehto yhden muuttujan funktion ääripäälle, eli pisteessä x * funktion ensimmäisen derivaatan täytyy kadota. Se valitsee kiinteät pisteet x c, joissa funktio ei kasva eikä vähene.

Riittävä ehto yhden muuttujan funktion ääripäälle

Olkoon f 0 (x) kahdesti differentioituva joukkoon D kuuluvan x:n suhteen. Jos pisteessä x * ehto täyttyy:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tällöin piste x * on funktion paikallisen (globaalin) minimin piste.

Jos pisteessä x * ehto täyttyy:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Piste x * on paikallinen (globaali) maksimi.

Esimerkki #1. Etsi funktion suurin ja pienin arvo: segmentistä .
Päätös.

Kriittinen piste on yksi x 1 = 2 (f'(x)=0). Tämä piste kuuluu segmenttiin . (Piste x=0 ei ole kriittinen, koska 0∉).
Laskemme funktion arvot segmentin päissä ja kriittisessä pisteessä.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Vastaus: f min = 5/2, kun x = 2; f max = 9 kohdassa x = 1

Esimerkki #2. Etsi käyttämällä korkeamman asteen derivaattoja funktion y=x-2sin(x) ääriarvo.
Päätös.
Etsi funktion derivaatta: y’=1-2cos(x) . Etsitään kriittiset pisteet: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Löydämme y''=2sin(x), laskemme , joten x= π / 3 +2πk, k∈Z ovat funktion minimipisteet; , joten x=- π / 3 +2πk, k∈Z ovat funktion maksimipisteitä.

Esimerkki #3. Tutki pisteen x=0 läheisyydessä olevaa ääriarvofunktiota.
Päätös. Tässä on löydettävä funktion ääripää. Jos äärisumma x=0 , niin selvitä sen tyyppi (minimi tai maksimi). Jos löydettyjen pisteiden joukossa ei ole x = 0, laske funktion arvo f(x=0).
On huomioitava, että kun tietyn pisteen kummallakin puolella oleva derivaatta ei muuta etumerkkiään, mahdolliset tilanteet eivät ole käytetty edes differentioituvien funktioiden kohdalla: voi käydä niin, että mielivaltaisen pienelle naapurustolle pisteen toisella puolella x 0 tai molemmilla puolilla derivaatta muuttaa merkkiä. Näissä kohdissa täytyy soveltaa muita menetelmiä ääripään funktioiden tutkimiseen.