Kolminkertainen kuperkeikka merijahdit painolasti on sijoitettu matalalle, mikä ei anna niiden kallistua voimakkaasti ja yleensä kaatua. Kuitenkin tapahtuu, että jahti lentää edelleen kuperkeitä, kuin painolastiton ioli, ja tämä tapahtuu vain täällä - suurella eteläisellä valtamerellä. Tiedän

Kahden toiminnon tehtävien joukossa on joukko tehtäviä, jotka ratkaistaan yhtenäisyys. Tällaisten ongelmien ratkaisemisessa lasten tulisi käytännössä oppia suoraan suhteessa olevien määrien ominaisuudet.

Otetaan esimerkiksi ongelma: Höyrylaiva matkasi 40 km kahdessa tunnissa. Kuinka monta kilometriä laiva kulkee 4 tunnissa samalla nopeudella? Tässä tehtävässä tunnetaan kaksi aika-arvoa ja yksi etäisyysarvo, jotka vastaavat ensimmäistä aika-arvoa; Tiedetään, että liikkeen nopeus ei muutu, on löydettävä toinen etäisyyden arvo.

Tarkastellaan erilaisia ​​tapoja ratkaista tämä ongelma, kirjoitetaan ratkaisu vasemmalle ja sen perustelut oikealle.

I ratkaisumenetelmä - menetelmä pelkistämiseksi suoraan yksikköön

oraaliliuos

2 tuntia - 40 km
1 tunti - 20 km
4 tuntia - 80 km

Kirjallinen päätös

1) 40 km: 2 = 20 km
2) 20 km x 4 = 80 km

Ajan numeerinen arvo, jonka kaksi arvoa tunnetaan, pienennetään yhdeksi.

klo tasainen vauhti jos aikaa lyhennetään 2 kertaa, etäisyys pienenee 2 kertaa, jos sitä lisätään sitten 4 kertaa, etäisyys kasvaa 4 kertaa.

Toinen ratkaisumenetelmä on käänteispelkistysmenetelmä yksikköön.

oraaliliuos

40 km - 2 tuntia = 120 min.
1 km - 3 min.
4 tuntia (240 min) – 80 km

Kirjallinen päätös

1) 120 min. : 40 = 3 min.
2) 240 min. : 3 min. = 80 (km)

Etäisyyden numeerinen arvo pienennetään yhdeksi, jonka yksi arvo on tiedossa ja toinen tuntematon.

Vakionopeudella 1 km polun kattaminen kestää 40 kertaa vähemmän aikaa kuin 40 km polun kattaminen, eli 3 minuuttia, ja 4 tunnissa (240 minuutissa) höyrylaiva kattaa yhtä monta kertaa enemmän kilometriä kuin 240 minuuttia. yli 3 min.

Kolmas tapa ratkaista on tapa löytää suhde.

Lyhyt muistio tehtävän ehdoista:

2 tuntia - 40 km
4 tuntia - x

1) 4 tuntia: 2 tuntia = 2
2) 40 km x 2 = 80 km

Vakionopeudella, kuinka monta kertaa aika pitenee, kuljettu matka kasvaa saman verran

IV menetelmä ratkaisu - menetelmä löytää numeerinen arvo vakioarvo.

Lyhyt kuvaus tehtävän ehdoista

2 tuntia - 40 km
4 tuntia -?

1) 40 km: 2 = 20 km
2) 20 km x 4 = 80 km

Kun tätä ongelmaa ratkaistaan, menetelmä IV osuu yhteen menetelmän I kanssa.

4 tunnissa kuljetun matkan selvittämiseksi sinun on kerrottava nopeus, joka saadaan jakamalla matka vastaavalla aika-arvolla, uudella aika-arvolla.

Sovelletaan menetelmää vakioarvon numeerisen arvon löytämiseksi toiseen ongelmaan:

Laiva kulki 40 km nopeudella 20 km/h. Kuinka monta kilometriä laiva kulkee samassa ajassa nopeudella 30 km/h?

Ratkaisu. Tämän tehtävän ehdon mukaan aika on vakioarvo.

1) Kuinka monta tuntia laivalla kesti matkustaa 40 km?

40 km: 20 km = 2 (tuntia)

2) Kuinka monta kilometriä höyrylaiva kulkee 2 tunnissa uudella nopeudella?

30 km x 2 - 60 km

Vastaus: 60 km.

Kun tätä ongelmaa ratkaistaan, menetelmä vakion numeerisen arvon löytämiseksi eroaa menetelmästä, jolla pelkistetään suora yksikkö. Tämä voidaan nähdä vertaamalla yllä olevaa menetelmää menetelmään suora pelkistys yhtenäisyyteen.

Mahdollisuus soveltaa yhtä tai toista menetelmää ongelmien ratkaisemiseksi yksinkertaisella kolmoissäännöllä kokonaislukujen operaatioiden puitteissa riippuu numeeristen tietojen ominaisuuksista. Joten esimerkiksi menetelmää suhteen löytämiseksi voidaan soveltaa vain, jos numerot ilmaisevat kahta erilaisia ​​merkityksiä samansuuruiset, ovat toistensa kerrannaisia.

Menetelmä selän pienentämiseksi yhtenäisyyteen sitä on kätevä käyttää ratkaistaessa ongelmia, joissa on löydettävä tuntematon määrän tai ajan arvo. Siksi perusluokkien aritmeettisissa oppikirjoissa yksinkertaisen kolmoissäännön tehtävät valitaan ryhmissä niiden ratkaisumenetelmien mukaan. Samanaikaisesti nykyisen ohjelman mukaan yksikköön suoran ja käänteisen pelkistyksen menetelmillä ratkaistut tehtävät luokitellaan luokkaan II ja suhdelukumenetelmällä ratkaistut tehtävät luokkaan IV.

On syytä uskoa, että helpoin suhdelukumenetelmällä ratkaistavista tehtävistä voidaan ottaa käyttöön II luokalla, jossa opiskelijat jo ratkaisevat yksinkertaisia ​​tehtäviä useita vertailuja varten. Vakioarvon numeerisen arvon etsintämenetelmällä ratkaistavia ongelmia ei ole olemassa olevissa aritmeettisissa oppikirjoissa, ja ne on hyödyllistä tarjota ratkaisuksi jo luokalla II.

Näiden tehtävien ratkaisua opetettaessa tulee luottaa opiskelijoiden aiemmin hankkimaan kykyyn ratkaista yksinkertaisia ​​kerto- ja jakolaskutehtäviä, joissa on selvitettävä yhden kolmesta toisiinsa liittyvästä suuresta, esim. , selvitä kustannukset tuotteiden hinnan ja määrän mukaan, määrä hinnan ja kustannusten mukaan, hinta kustannusten ja määrän mukaan.

Lasten hyvä tieto määrien välisestä suhteesta toimii perustana, jonka pohjalta he hallitsevat ongelmien ratkaisun ykseyteen pelkistysmenetelmällä.

Voit selittää opiskelijoille suhteen löytämisen visuaalisia apuvälineitä(Kuva 22). Olkoon ongelma ratkaistava: 2 kirjekuorta postimerkeillä maksoi 9 kopekkaa. Kuinka paljon näitä 6 kirjekuorta maksaa?

Näiden pareittain ryhmiteltyjen kirjekuorien kuvan katsominen auttaa oppilaita ymmärtämään, että kirjekuoriparien määrän lisääminen useita kertoja merkitsee niiden arvon nousua saman verran.

riisi. 22

Oppilaat esittävät kysymyksen: kuinka monta kertaa 6 kirjekuorta on enemmän kuin 2 kirjekuorta? - He löytävät vastauksen, joka on 3 kertaa enemmän, ja selvittävät 6 kirjekuoren kustannukset kertomalla 9 kopeikalla. 3. päivänä.

Tehtävien yhteinen harkinta ja itsenäinen työ Jos lapset muuttavat suoria tehtäviä käänteisiksi, he ymmärtävät paremmin, kuinka ne ratkaistaan.

Esimerkiksi 3 kupin tehtävä maksaa 6 ruplaa. Paljonko 5 kuppia maksaa? korvaamalla haluttu luku löydetyllä numerolla ja yksi tiedoista halutulla numerolla voidaan muuntaa seuraaviksi käänteistehtäviksi:

1. 5 kuppia maksaa 10 ruplaa. Paljonko 3 kuppia maksaa?
2. 3 kuppia maksoi 6 ruplaa. Kuinka monta näistä kupeista voit ostaa 10 ruplalla?
3. 5 kuppia maksaa 10 ruplaa. Kuinka monta näistä kupeista voit ostaa 6 ruplalla?

Alkuperäisen ja ensimmäisen muunnetun ongelman ratkaisu suoritetaan suora pelkistysmenetelmä ykseyteen, toisen ja kolmannen ratkaisu - takaisin yhtenäisyyteen.

Kolmas osa

SUHTEET JA SUHTEET.

SUHTEIDEN AVULLA RATKAISUT TEHTÄVÄT JA
YKSI VÄHENTÄMISMENETELMÄLLÄ.

OSA VIII..

§ 50. Monimutkainen kolmoissääntö.

2661. 45 muurarille maksettiin 216 ruplaa kuuden päivän työstä; Kuinka paljon 30 muurarin pitäisi työskennellä 8 päivän ajan?

2662. 5 pumppua pumppasivat 1800 ämpäriä vettä 3 tunnissa. Kuinka paljon vettä pumpataan 4 samanlaisella pumpulla 4 tunnissa?

2663. 25 työntekijää kaivoi 36 sylin pituisen kanavan 12 päivässä. Minkä pituisen kanavan voisi kaivaa 15 samanlaista työntekijää 10 päivässä?

2664. 100 ruplan pääoma 12 kuukaudessa tuo 6 ruplaa voittoa. Kuinka paljon voittoa 8600 ruplan pääoma tuo 4 kuukaudessa?

2665. Suorakaiteen muotoiselta pellolta, 40 sazhens pitkä ja 30 sazhens leveä, korjattiin 6 neljäsosaa 2 neljäsosaa kauraa. Kuinka monta kauraa korjattiin toiselta pellolta, joka on 96 sylaa pitkä ja 50 sylaa leveä, jos molempien peltojen kylvö- ja sadonkorjuuolosuhteet olivat samat?

2666. 15 mekkopariin käytettiin 45 arshina 1 arsin leveää kangasta. 14 tuumaa. Kuinka leveä oli toinen kangas, jos se maksoi 60 arshinia 10 saman mekkoparin kohdalla?

2667 .18 työntekijää, jotka työskentelivät 7 tuntia päivässä, suoritti osan työstä 30 päivässä ja sai tästä 201 ruplaa. 60 kop. 14 työntekijää, jotka työskentelivät päivittäin 4 tuntia, sai 67,2 ruplaa muusta työstä. Olettaen, että molempien osapuolten työntekijän tuntipalkka oli sama, määritä kuinka monta päivää toinen työntekijöiden osapuoli työskenteli.

2668. 420 puutan tavaran kuljetuksesta rautateitse 24 verstin matkalla maksettiin 2 ruplaa. 52 kopekkaa. Tämän laskelman mukaan 50 punnan tavaran kuljettamisesta Nikolaev-rautatietä pitkin Pietarista Moskovaan olisi pitänyt maksaa 7 ruplaa. 61 1/4 kop. Etsi tämän tien pituus.

2669. 155 toisen luokan matkustajalippua, jotka kuljetettiin junalla Pariisista Roueniin, maksoivat 1488 frangia. Kun tiedät, että 4 kilometrin matkalle otetun 10 toisen luokan lipun hinta on 3 frangia ja 16 kilometriä 15 verstiä, ilmaise Pariisin ja Rouenin välisen rautatien pituus versteissä.

2670. Jos rautalankaa valmistavan koneen pyörä pyörii 60 kierrosta minuutissa, tämä kone tuottaa 240 arhia. lanka 3 tuntia 20 minuuttia. Kuinka kauan hänellä kestää tehdä 33 1/8 sylaa lankaa, jos pyörä tekee 41 2/3 kierrosta minuutissa?

2671. Suorakaiteen muotoiselta pellolta, joka on 125 sazhens pitkä ja 0,08 versta leveä, korjattiin 12 1/2 neljäsosaa vehnästä; näin ollen laskelma osoitti itsekuuden tuoton. Toiselta suorakaiteen muotoiselta pellolta, jonka pituus on 0,3 (9) verstaa, korjattiin 8 1/3 neljäsosaa vehnästä, mikä vastasi viiden satoa. Olettaen, että molempien peltojen kylvöolosuhteet olivat samat, määritä toisen pellon leveys.

2672. Kivilaatta, 5,3 jalkaa pitkä, 0,8 jalkaa leveä ja 2 5/8 tuumaa paksu, painaa 4,2 kiloa. Toinen samaa kiveä oleva laatta kuin ensimmäinen painaa 7 puuta 35 puntaa ja on 15 tuumaa leveä ja 2 tuumaa paksu. Kuinka pitkä toinen levy on?

2673 . Rautanauha, 2 arshinia pitkä, 1 1/2 tuumaa leveä ja 2/3 tuumaa paksu, painaa 0,4375 puntaa. Kuinka paljon rautanauha painaa, joka on 2 jalkaa pitkä, 1 3/7 tuumaa leveä ja 0,16666 ... jalkaa paksu?

2674. 36 työntekijää, jotka työskentelivät päivittäin 12 tuntia ja 30 minuuttia, rakensivat puutalon 30 päivässä. Kuinka monta tuntia päivässä 27 työntekijän täytyy työskennellä rakentaakseen saman talon 50 päivässä?

2675. Käytävän pituus on 6 sazhens. 2 arsh. 9 1/7 tuumaa, leveys 1,4 (9) sazhens. ja korkeus 5, (3) jaardia (jaardi-englannin pituusmitta). Käytävässä oleva ilmakehän ilma painaa 17 kiloa. 34 lbs. Käytävän vieressä olevan huoneen täyttävä ilma painaa 11,9 kiloa. Kun tiedät, että 0,58 (3) jaardia = 0,75 arsia ja että huoneen korkeus on 5 5/7 araa ja leveys 0,945 korkeudesta, laske tämän huoneen pituus.

2676. Talon portaiden valaistuksesta 6 kaasusuihkulla, jotka paloivat 40 iltaa, 6 tuntia ja 12 minuuttia joka ilta, maksettiin kaasuyhtiölle 22 ruplaa. 32 kopekkaa. Toisessa portaassa 5 samanlaista sarvea paloi 60 iltaa, joista maksettiin 27 ruplaa. Kuinka monta tuntia joka ilta kaasua paloi toisessa portaassa?

2677 . Neljälle lampulle, jotka sytytettiin joka ilta 7 1/2 tuntia, kului 2,25 puntaa kerosiinia 30 illan aikana. Kuinka monena iltana kuluu 1,8 kiloa kerosiinia, jos 5 tällaista lamppua sytytetään joka ilta 4 tunnin ja 30 minuutin ajan?

2678 . 32 muuraria, jotka työskentelivät päivittäin 8 1/2 tuntia, pystyttivät 42 päivässä tiiliseinän, jonka pituus oli 10 sazhens, 7 1/2 tuumaa paksu ja 1 sazhen 3,5 jalkaa korkea. Kuinka monessa päivässä 40 muuraria, jotka ovat yhtä vahvoja kuin ensimmäinen ja jotka työskentelevät päivittäin 6,8 tuntia, laskevat tiiliseinän, jonka pituus on 15 sazhens, 0,9375 arshins paksu ja 2 1/2 arshins korkea?

2679. Pituus postitie Vitebskin ja Orelin välinen etäisyys on 483 verstaa; yksi matkustaja kulki tämän matkan 7 päivässä, ollessaan kaupungissa 10 tuntia joka päivä ja matkustaen saman määrän maileja tunnissa. Toinen matkustaja lähti Vitebskistä Mogileviin ja oli tien päällä joka päivä 12 tuntia, matkaan neljässä päivässä. Kuinka monta verstiä Witsbskistä Mogileviin, jos tiedetään, että toinen matkustaja kulki 10 verstiä samaan aikaan kuin ensimmäinen matkustaja 23 verstiä?

2680. Tiili (klinkkeri), 0,375 arshins pitkä, 3 tuumaa leveä ja 1 1/2 tuumaa paksu, painaa 10 kiloa 38,4 puolaa. Kuinka paljon neliön muotoinen marmoripala painaa, joka on 8,75 tuumaa pitkä, 2 1/4 tuumaa leveä ja 2 tuumaa paksu, ja marmorin tiedetään olevan 1 1/2 kertaa raskaampaa kuin tiili?

2681. 25 kutojaa, jotka työskentelevät 8 1/3 tuntia päivässä, kutoivat 32 päivässä 120 arshina pellavaa, 1 arshin leveä. 5 1/3 tuumaa. Kuinka monessa päivässä 40 kutojaa, jotka työskentelevät päivittäin 4 tuntia ja 10 minuuttia, kutoo 320 arshina pellavaa, jonka leveys on 0,75 arshinia?

2682. 1200 ruplan pääoma 8 kuukaudessa toi 40 ruplaa voittoa; mihin aikaan 100 ruplaa. tuo 5 ruplaa. saapui?

2683. 30 000 ruplan pääoma 7 1/2 kuukaudessa toi 1125 ruplaa voittoa. Kuinka paljon voittoa kukin tämän pääoman 100 ruplaa tuo yhden vuoden aikana?

2684. 24 400 ruplan pääoma 10 kuukaudelle toi 1 525 ruplaa voittoa. Millaista pääomaa pitää olla, jotta se, ollessaan liikkeessä samoilla ehdoilla kuin ensimmäinen, tekisi 1250 ruplaa voittoa 2 1/2 kuukaudessa?

2685. 54 kaivuria, jotka työskentelivät 10 tuntia päivässä, tekivät kasan 33 päivässä, 124 sylaa pitkä, 1 sylaa leveä 2 1/2 arshins ja 6 3/4 jalkaa korkea. Kuinka monta kaivuria pitää palkata, jotta he tekevät päivittäin 7 1/2 tuntia työskennellessä 30 päivässä pengerryksen, pituus 0,31 verstaa, 7 1/3 arsh sprin. ja korkeus 3 6/7 arshins?

2686. 48 kaivuria, jotka työskentelevät päivittäin 9 tuntia ja 20 minuuttia, tekivät 55 päivässä maavallin, 40 1/3 sylaa pitkä, 4 1/2 arshins leveä ja 7 arshins korkea. Minkä korkeuden 40 kaivuria saavuttaa 64 päivässä työskennellen päivittäin 6 tuntia ja 45 minuuttia, jos kuilun pituus on 44 sylaa ja leveys 1 sylaa?

2687 . 14 sazhens mäntypolttopuita käytettiin asunnon lämmittämiseen 6 uunilla 2 kuukautta ja 10 päivää. Kuinka kauan kestää 10 sazhens koivupolttopuuta lämmittää asunto, jossa on 8 kiukaa, jos jokaisen takan lämpömäärän pitäisi olla sama kuin ensimmäisessä asunnossa ja jos 9 sazhens mäntypolttopuuta antaa yhtä paljon lämpöä kuin 7 1/2 sylaa koivua?

2688. Suorakaiteen muotoiselta pellolta, jonka pituus oli 2 verstiä ja leveys 1 1/2 versta ja jonka sato oli sam-27, korjattiin niin paljon sokerijuurikasta, että siitä uutettiin tehtaalla 937 1/2 puntaa sokeria. . Toiselta pellolta, jonka leveys oli 400 sazhenia ja jonka sato oli 18 sam, korjattiin sokerijuurikas, josta uutettiin 250 kiloa sokeria. Olettaen, että kylvöolosuhteet ja juurikkaan laatu molemmilla pelloilla olivat samat, laske toisen pellon pituus.

2689. 4 kirjuria, jotka työskentelivät päivittäin 7 1/2 tuntia, kopioivat 225 arkkia 15 päivässä, keskimäärin 32 riviä kullakin sivulla. Kuinka monta kirjanoppinutta on palkattava, jotta he voisivat työskennellä päivittäin 5 tuntia ja 20 minuuttia kopioida 64 lehteä 9 päivässä ja sijoittaa jokaiselle sivulle keskimäärin 36 riviä?

2690. 3 putkea 4 1/2 tunnin aikana täytti säiliön, 1 noki pituudeltaan. 2 arshinia, 1,5 arshinia leveä ja 3 2/3 jalkaa syvä. Mihin syvyyteen 4 putkea täyttävät toisen säiliön 5,4 tunnissa, jos tämän säiliön pituus on 1 noki. 2 5/8 jalkaa, 1,2 aria leveä, ja jos jokainen ensimmäisistä putkista kaataa 16 ämpäriä vettä samanaikaisesti, mihin viimeisistä putkista kaataa 9 ämpäriä?

2691 . 22 kutojaa, jotka työskentelivät 10 tuntia päivässä, valmistivat 120 pellavaa 30 päivässä. Kuinka monta tällaista kutojaa on palkattava, jotta he voivat työskennellä 7 1/2 tuntia päivässä 40 päivässä valmistaa 300 pellavaa, ja kunkin kappaleen pituuden tulee olla 1 1/10 kertaa ensimmäinen, ja leveyden tulee olla 0,8(3) ensimmäisen leveyden?

2692. Tietyn määrän sotilaiden ruokaan saadaan viljaa 60 päiväksi, jos jokaiselle sotilaalle annetaan 2 1/2 puntaa päivässä. Kuinka moneksi päiväksi 3/4 tästä määrästä riittää, jos sotilaiden määrää vähennetään 3/8 edellisestä ja kunkin päivittäistä annosta lisätään 1,25 puntaa.?

2693. Viisitoista työntekijää ja 12 työntekijää, jotka työskentelivät päivittäin 10 tuntia ja 30 minuuttia, poistivat leivän pellolta 12 päivässä. Kuinka monta päivää 21 työntekijää ja 8 työntekijää, jotka työskentelevät 8,4 tuntia päivässä, poistavat pellolta leivän, jonka pituus on suhteessa ensimmäisen pituuteen 0,3: 1 / 5 ja jonka leveys on suhteessa leveyteen ensimmäisestä, kuten 0, 51: 0,5(6) - jos tiedetään, että miehen vahvuus liittyy naisen vahvuuteen, kuinka 0,2(6) : 0,1(9)?

2694. Veden pumppaamiseen uima-altaalta toimitettiin 3 isoa ja 5 pientä pumppua, jotka yhdessä toimien pystyivät kaatamaan kaiken veden pois 6 tunnissa. 2 1/2 tunnin yhteisvaikutuksen jälkeen kaksi suurta pumppua heikkenivät ja korvattiin välittömästi viidellä pienellä. Kun tiedät, että jokaisen pienen pumpun voimakkuus on suhteessa kunkin suuren pumpun voimakkuuteen, kuinka 2 1 / 2: 4 1 / 6 määrittää, kuinka monta tuntia kului veden pumppaamiseen altaalta.

2695. Talon seinän rakentamiseen käytettiin 4215 tiiliä, joista jokainen oli 10 1/2 tuumaa pitkä ja 5,25 tuumaa leveä. ja 2 5/8 tuumaa paksu. Toisen seinän rakentamiseen käytettiin tiiliä, joista jokainen oli 5 1/2 tuumaa pitkä, 3 1/3 tuumaa leveä ja 1 1/4 tuumaa paksu. Kuinka monta näistä tiilistä rakennetaan toinen seinä, jos sen pituus on 0,8 (3) ensimmäisen seinän pituus, paksuus 1,1 kertaa ensimmäisen seinän paksuus ja korkeus on 0. (5) korkeus ensimmäisestä seinästä?

2696. 25 henkilöä, jotka työskentelivät päivittäin 5 tuntia, onnistuivat tekemään 0,27 osan työstä 15 päivässä. Kuinka monta henkilöä on palkattava lisää, jotta he, opiskelevat yhdessä ensimmäisen kanssa 8 1/3 tuntia päivässä, voivat tehdä loput samat työt 20 päivässä?

Ei ole tarpeeksi vahvaa ilmaisua, jota keskiaikaisen aritmeettisen laskentatavan laatijat niukkasivat ylistämään kolmoissääntöä. "Tuo linja on kolminkertaisesti kiitettävä ja paras linja kaikista muista linjoista." "Filosofit kutsuvat sitä kultaiseksi viivaksi." Saksalaisissa oppikirjoissa häntä kutsuttiin "ennen kaikkea ylistyttäväksi", se on "kauppiaiden avain". Samalla tavalla ranskalaisten keskuudessa se tunnettiin nimellä règle dorée - kultainen sääntö. Se vastusti koko algebran tiedettä.

Miksi sitten niin kohtuuttomia kiitosta annetaan osastolle, joka meidän aikanamme on tottunut olemaan vaatimattomampi paikka? On erittäin mielenkiintoista selvittää tämä, ja otamme vapauden palata hieman taaksepäin ja antaa lyhyen kuvauksen tavoitteista, joita aritmetiikka on ajanut muinaisista ajoista lähtien.

Kaikki alkuvaiheessa oleva tiede syntyy käytännön tarpeista ja pyrkii puolestaan ​​tyydyttämään niitä. Sitten, riippuen olosuhteista, joissa se kehittyy, tiede saa joskus melko nopeasti, joskus hitaammin teoreettisen värin ja vaikuttaa kasvatuksellisesti niitä tutkiviin, ts. parantaa heidän henkisiä kykyjään: mieltä, tunnetta ja tahtoa: hitaasti kasvaessaan tiede pysyy pitkään taitojen johtajana, antaa vain taitoa, antaa ihmiselle mekaanisia taitoja ja antaa hänelle mekaanisuuden piirteitä. Molemmat suunnat testattiin aritmeettisesti. Toisaalta kreikkalaiset tutkijat näkivät aritmetiikassa ennen kaikkea kasvatuksellisen elementin; he kysyivät jatkuvasti "miksi?". ja "miksi?", etsien aina syitä ja johtopäätöksiä; kreikkalaisten koulujen oppilaat syventyivät tieteen olemukseen, ajattelivat sitä, ja siksi tutkimus vaikutti heihin kasvattavalla ja kehittävällä tavalla. Toisaalta hindut katsoivat aretiikkaa pikemminkin taiteen puolelta, he eivät pitäneet kysymyksestä "miksi?", mutta heidän pääkysymyksensä oli aina: "miten se tehdään?" Hindujen suunta siirtyi arabeille ja sieltä keskiaikaiseen Eurooppaan. Siinä se sai äärimmäisen sydämellisen vastaanoton, ja sen maaperä osoittautui varsin kiitolliseksi: kansojen suuren muuttoliikkeen ja lakkaamatta jatkuvien sotien jälkeen ei ollut mitään syytä edes ajatella tarkan, toistuvan, abstrakti tiede, ja silloin, kun piti rajoittua sen soveltavaan osaan, riitti vain opettaa "miten tehdä" eikä "miksi tehdä se". Ja niin käytännöllinen väritys jäi aritmeettisen taakse pitkäksi aikaa, lähes nykypäivään, samalla sen tutkiminen oli suppeasti mekaanista: ilman johtopäätöksiä, selityksiä, perusteisiin syventymättä; kaikkialla oppikirjoissa oli "tee tämä", "sinun täytyy tehdä tämä", ja opiskelijan piti vain vahvistaa tapaus ja hakea sitä; meidän Magnitskyllamme on myös joukko tunnusomaisia ​​ilmaisuja "näe katso", "katso keksintö"; oletetaan, että näiden ilmaisujen joukossa hänellä on "ajattele ja tule", mutta kuinka tarkalleen ajatellaan, vihjeitä annetaan hyvin vähän. Aritmetiikan käytännön merkityksen mukaisesti siinä korostettiin ja arvostettiin erityisesti kaikkea, mikä voisi tuoda välitöntä hyötyä, tuottaa tuloja.

"Joka tietää tämän viisauden", sanoo venäläinen aritmetiikka 1600-luvulla, "voi olla hallitsijan kanssa suuressa kunniassa ja palkassa; Tämän viisauden mukaan vieraat käyvät kauppaa valtioissa ja kaikenlaisilla tavaroilla ja kaupoilla, he tuntevat voiman ja kaikenlaiset painot ja mitat, ja maallisessa asetelmassa ja merivirrassa he ovat pahan taitavia, ja he tietävät tili mistä tahansa luettelon numerosta.

Mutta mikä osa aritmetiikkaa voi antaa enemmän käytännönläheisiä, suoraan sovellettavia taitoja kuin ongelmanratkaisu? Siksi kaikki keskiaikaisten kirjailijoiden ponnistelut kohdistuivat mahdollisimman monen ongelman ja samalla monipuolisen arkisisällön keräämiseen. Tässä oli ongelmia myyntiin ja ostoon liittyen, vekseleistä ja koroista, sekoittamisesta, vaihdosta; monimuotoisuus oli kauheaa, eikä koko ongelmamassaa ollut mahdollista ratkaista. Ryhmittääkseen ainakin vähän ja ottaakseen käyttöön jonkin järjestelmän ja järjestyksen, he yrittivät jakaa kaikki tehtävät osastojen tai tyyppien mukaan. Tämä idea on tietysti hyvä, mutta se toteutettiin yleensä erittäin epäonnistuneesti ja tehtäviä ei jaettu niiden ratkaisumenetelmien mukaan, kuten pitäisi, vaan niiden sisällön mukaan, eli ulkonäön mukaan. ; Esimerkiksi erityinen ongelma oli jänistä jahtaavien koirien, puiden, tyttöjen jne.

Sisällön mukaan jaoteltujen ongelmien ratkaisu ei tuonut juuri mitään hyötyä, koska se ei ainakaan auttanut ratkaisun ymmärtämistä paremmin. Ja muinaisten kirjailijoiden mielestä sitä tuskin tarvittiin ymmärtää.

"Se ei ole mitään", mentori tapasi lohduttaa oppilaitaan: "että et ymmärrä mitään, et ymmärrä myöskään paljon eteenpäin."

Ymmärtämisen sijaan suositeltiin, ettei lähde vetämään, vaan opetella ulkoa kaikki, mitä kysyttiin, ja sitten yrittää soveltaa sitä tapaukseen, eli esimerkeihin, ja kaikki ymmärryksen voima keskittyi päätelmän ymmärtämisen sijaan. säännöstä, mutta vaatimattommasta, siitä, kuinka yleissääntöä sovelletaan esimerkkeihin.

Ja niin kolmoissääntö oli erinomainen ja erityisen huomion arvoinen monessa suhteessa. Ensinnäkin hänen tehtäviensä kirjo on melko laaja, toiseksi itse sääntö ilmaistaan ​​melko yksinkertaisesti ja selkeästi, ja kolmanneksi tämän säännön soveltaminen oli suhteellisen helppoa. Kaikista näistä ansioista hänelle annettiin nimi "kulta", "kauppiaiden avain" jne.

Kolminkertainen sääntö sai alkunsa hinduilta, joissa sen tehtävät ratkaistiin suurimmaksi osaksi ykseyttämällä. Arabitutkija Alkhvarizmi (800-luvulla jKr.) piti sitä algebran ansioksi. Leonardo Fibonacci, 1200-luvun italialainen R. X:n mukaan omistaa erityisen osion kolmoissäännölle otsikon alla: ad majorem guisam, jossa annetaan tehtäviä tavaroiden arvon laskemiseksi. Esimerkki: 100 rotuli (Pisan-paino) maksaa 40 liiraa, mitä 5 rotuli maksaa? Ehto kirjoitettiin näin:

Tämän ongelman ratkaisemiseen määrätty sääntö seuraavassa järjestyksessä: 40:n tulo 5:llä jaettuna 100:lla.

Kolminkertaiseen sääntöön on kiinnitetty erityistä huomiota 1500-luvulta lähtien, eli siitä lähtien, kun Euroopan kauppa ja teollisuus lähtivät välittömästi eteenpäin tärkeiden keksintöjen ja uusien maiden löytämisen ansiosta. Mutta tämä ei estänyt meitä kehittämästä tätä lukua täysin epätyydyttävällä tavalla, ainakaan meidän näkökulmastamme. Ensinnäkin sääntö määritettiin puhtaasti ulkoisesti: "tehtävä koostuu kolmesta numerosta ja antaa itselleen neljännen numeron, aivan kuin jos laittaisit kolme talon kulmaa, niin tämä määrittää neljännen kulman; toinen luku on kerrottava kolmannella, ja mitä tapahtuu, ja jaettava sitten ensimmäisellä numerolla. Tällainen määritelmä ei voinut muuta kuin johtaa epäjohdonmukaisuuteen, ja ennen kaikkea kysymys oli: mitä pitäisi pitää ensimmäisenä numerona, ja voidaanko kolmoissäännöllä ratkaista kolmea annettua numeroa koskevia ongelmia? Oppikirjat eivät pitäneet tarpeellisena selvittää tätä väärinkäsitystä. Lisäksi tehtäviä ei ratkaistu pelkästään kokonaislukujen, vaan myös murtolukujen avulla, ja muussa aritmetiikassa ne järjestettiin niin epäjohdonmukaisesti, että murtolukuja kolmoissäännössä murtolukuja koskevat luvut sijoitettiin aikaisemmin, koska koko kolmoissääntö meni ennen murtolukujen aritmetiikkaa.

Kolmoissäännön jälkeen kokonaisluvuilla ja murtoluvuilla erityinen sääntö"pienentäminen", jossa selitettiin kuinka on mahdollista pienentää tiettyjä lukuja, ja sitten "refleksiivinen" sääntö jo meni; se oli hyvin sekava osasto, johon kuuluivat käänteissuhteiset kysymykset, eivätkä oppikirjojen kirjoittajat pystyneet millään tavalla erottamaan, mitkä ongelmat kuuluivat tähän ryhmään; opetuslasten täytyi luottaa omiin arvauksiinsa ja tyytyä kekseliäisyyteen. XV ja XXII vuosisadalla. selitys annettiin seuraavasti: "Jos viljamitta maksaa 1½ markkaa, niin 1 markalla annetaan kaksi puuta leipää; kuinka monta kiloa leipää annetaan markkaa kohden, jos viljamitta maksaa 1¾ markkaa; ratkaista kolminkertaisella säännöllä, käy ilmi

mutta ymmärtäväinen ymmärtää, että kun viljan hinta nousee, he antavat vähemmän leipää, ei enemmän, joten kysymys on käännettävä, se on

Magnitsky (1703) tulkitsee samanlaisessa hengessä

"On palautussääntö, kun toimeksiannossa on tarpeen laittaa kolmas lista ensimmäisen sijasta: se on välttämätöntä siviilitapauksissa, ikään kuin perseestä puhuttaessa: eräs herrasmies kutsui puusepän ja määräsi pihan. Ja hän kysyi, kuinka monen päivän kuluttua hän rakentaa esipihansa, vastasi hän kolmessakymmenessä päivässä. mutta isännän pitää rakentaa koko juttu 5 päivässä, ja tätä varten hän kysyi puusepän pakkauksilta, kuinka monta ihmistä kannattaa ottaa, jotta voit rakentaa heidän kanssaan pihan viidessä päivässä, ja se puuseppä kysyy hämmentyneenä sinulta. aritmeettisesti: kuinka monta ihmistä hän ansaitsee rakentaakseen hänelle tuon pihan 5 päivässä, ja jos aloitat luomisen kolminkertaisen säännön järjestyksen mukaan; sitten todella virhe; mutta se ei sovi sinulle: 30-20-5, mutta sen muuttaminen istumaksi: 5-20-30; 30X20=600; 600: 5 = 120".

Kolminkertaista sääntöä seurasi viisi ja sen jälkeen seitsemän. On helppo arvata, että kyseessä ovat monimutkaisen kolmoissäännön erikoistapaukset, juuri silloin kun 5 tai 7 datan mukaan, jotka ovat suhteellisesti riippuvaisia ​​toisistaan, 6. tai 8. vastaava luku löytyy, toisin sanoen: viisinkertainen sääntö vaatii 2 mittasuhdetta, ja seitsemäs on kolme. Viiden sääntö selitettiin 1700-luvulla seuraavasti:

he tekevät sellaisia ​​laskelmia, joita ei voida tehdä toisen säännön mukaan; Siinä annetaan 5 numeroa, ja kuudes haluttu numero löytyy niistä; esimerkiksi joku laittoi sata ruplaa kiertoon, ja he toivat hänelle 7 ruplaa voittoa, kysymys on kuinka paljon voittoa hän saisi 100 ruplalla. 5 vuoden ajan;

ratkaistaan ​​näin: 100-1-7-1000-5, kerro kaksi vasenta numeroa ja kerro myös 3 oikeaa numeroa ja jaa viimeinen tuote ensimmäisellä, vastaus on 350, joten monet voiton ruplat antavat 1000 ruplaa. 5 vuoden sisällä.

Yksinkertainen ja monimutkainen kolmoissääntö levitettiin yleensä 1500-1700-luvuilla. joukoksi pieniä osastoja, joilla oli tehtävien sisällöstä riippuen hyvin monimutkaisia ​​nimiä. Tässä ovat nämä nimet Magnitskyn mukaan: "kolminkertainen kaupan sääntö", eli ostettujen tavaroiden kustannusten laskeminen; b "kolminkertainen kauppa ostojen ja myynnin suhteen" - sama kuin edellinen, mutta vain monimutkaisempi; c "kolminkertainen kauppa vihanneksilla ja kyltillä", kun joudut tekemään vähennyksen ruoista ja kuorista yleensä; d "voitosta ja tappiosta"; e "kysymysartikkeli kolmoissäännössä", siinä sisällöltään hyvin monipuolisia tehtäviä, suurimmaksi osaksi käänteisellä suhteella; f "ajalla kyseenalainen artikkeli", jossa pyydetään laskemaan työn kesto, polut jne.

1800-luvun alussa Bazedov ehdotti uutta muutosta kolminkertaiseen sääntöön ja jälleen samaan mekaanisen, tiedostamattoman tavan suuntaan. Tämä saksankielinen opettaja asetti itselleen tavoitteeksi yksinkertaistaa ongelmien ratkaisua kolmoissäännöllä entisestään vähentämällä niiden ratkaisun päättelyä ja korvaamalla sen valmiin kaavan kirjoittamisella. Hän neuvoo järjestämään annetut numerot 2 sarakkeeseen: vasemmalle kirjoitetaan tuntematon määrä ja kaikki ne numerot, jotka tulisi sisällyttää kaavan osoittajiin, ja oikeaan - kaikki tekijät, jotka muodostavat nimittäjän. Esimerkki: 1200 ihmisen ruokaan 4 kuukauden ajan tarvitaan 2400 senttiä jauhoja; kuinka monta ihmistä 4000 senttiä tulee ulos 3 kuukaudessa? Kirjoitamme 2 saraketta:

ja saada vastauskaava

Miksi luvut 1200, 4000 ja 4 sisältyvät osoittajaan ja 2400 ja 3 nimittäjään? Tähän voidaan vastata seuraavalla säännöllä: osoittaja sisältää luvun, joka on homogeeninen halutun kanssa, eli tässä tapauksessa luvun 1200; lisäksi se sisältää myös kaikki ne toisen ehdon numerot (4000 4), jotka ovat suoraan verrannollisia haluttuun; jos ne ovat kääntäen verrannollisia, kuten esimerkissä 3, niin ne korvataan 1. ehdon vastaavilla luvuilla (4.).

Siinä kaikki, mitä voimme sanoa kolmoissäännön historiallisesta kehityksestä. Kaikesta sanotusta voidaan vetää aikamme sopiva johtopäätös. Keskiaikainen aritmetiikka, jolla oli taipumus antaa vain sääntöjä ja jättää tekemättä johtopäätöksiä, ja sen mekaaninen kysymysten ratkaisu vaikutti liikaa koko myöhempään. kouluelämä, ja niin suuri, että jälkiä siitä näkyy joka vaiheessa jopa meidän aikanamme. Vaikka kuinka kovasti yritämme karistaa perinteitä, vapautua tottumuksista, ne tarttuvat meihin liian lähelle ja houkuttelevat meihin liian voimakkaasti, jotta ne heitettäisiin jäljettömiin. Koulumme syyllistyy edelleen aritmetiikkaan, ilman riittävää tietoisuuden osallistumista. Kolmoissääntö on hyvä todiste tästä. Usein unohtaa keskiarvomme ja alakoulu että sen tarkoituksena on antaa yleissivistävä koulutus, ei kouluttaa kirjanpitäjiä, virkailijoita, kirjanpitäjiä jne. Samaan aikaan italialaisten ja saksalaisten käsityömenetelmät, jotka eivät pyrkineet kehittämään ihmistä, vaan tekemään hänestä laskukoneen , käytetään usein myös nyt. Miksi kaikki nämä säännöt: kolminkertainen, seokset jne.? Mitä tarkoitusta niiden pitäisi palvella? Niiden tulee olla johtopäätös ratkaistuista ongelmista, eivätkä ne edeltää ongelmien ratkaisua; on haitallista ratkaista ongelmia aiemmin opitun säännön mukaan, mutta vastaus on yritettävä saada vapaasti henkilökohtaisesti. Sanalla sanoen, sääntöä ei pidä ymmärtää reseptin muodossa, joka riittää muistamaan, jotta sen mukaan voidaan valmistaa erilaisia ​​​​monimutkaisia ​​​​ratkaisuja; mutta niitä tulee arvostaa vain päätelmänä, johon opiskelija tulee: jos opiskelija ei voi tehdä tätä johtopäätöstä, se tarkoittaa, että ongelmiin otetaan vähän tai niitä ei järjestetä systemaattisesti, ja tämä virhe on korjattava järjestelmällisemmällä ongelmien järjestely; jos opiskelija ei tee niin täydellistä ja yksityiskohtaista johtopäätöstä kuin opettaja haluaisi, on parempi olla tyytyväinen häneen kuin pakottaa hänet oppimaan oppikirjan määräämä sääntö: se unohdetaan pian, eikä sillä ole kehittävä vaikutus, koska matemaattisen johtopäätöksen välttämättömän laadun tulee olla riippumattomuus, mutta tietoisuuden välttämätön edellytys on oltava läheinen yhteys kurssin kaikkien osien välillä, minkä vuoksi ei voi olla paikkaa mekaaniselle työntölle päähän. erilliset palat sulautuvat muistiin.

Shvetsov K.I., BEVZ G.P.
KÄSIKIRJA ALKUMATERIAASTA
Aritmetiikka, ALGEBRA, 1965


1. Yksinkertainen kolmoissääntö. Suhteellisten suureiden ongelmista yleisimmät ovat niin sanotun yksinkertaisen kolmoissäännön ongelmat. Näissä tehtävissä annetaan kolme numeroa, joista on määritettävä neljäs, suhteessa niihin.

Tehtävä 1. 10 pulttia painaa 4 kg. Kuinka paljon 25 näistä pulteista painaa? Tällaiset tehtävät voidaan ratkaista useilla tavoilla.

Ratkaisu I (pelkistämällä yksikköön).

1) Kuinka paljon yksi pultti painaa?

4 kg: 10 = 0,4 kg.

2) Kuinka paljon 25 pulttia painaa?

0,4 kg 25 = 10 kg.

Liuos II (suhdemenetelmä). Koska pulttien paino on suoraan verrannollinen niiden lukumäärään, painojen suhde on yhtä suuri kuin kappaleiden (pulttien) suhde. Merkitsemällä haluttua painoa kirjaimella x, saamme osuuden:

X : 4 = 25: 10,

(kg)

Voit väittää näin: 25 pulttia on 2,5 kertaa enemmän kuin 10 pulttia. Siksi ne ovat myös 2,5 kertaa painavampia kuin 4 kg:

4 kg 2,5 = 10 kg.

Vastaus. 25 pulttia painaa 10 kg.

Ongelma 2. Ensimmäinen vaihde tekee 50 rpm. Toinen vaihde, yhdistettynä ensimmäiseen, tekee 75 rpm. Selvitä toisen pyörän hampaiden lukumäärä, jos ensimmäisen hampaiden lukumäärä on 30.

Ratkaisu (pelkistämällä yksikköön). Molemmat verkotetut hammaspyörät liikkuvat minuutissa samalla hammasmäärällä, joten pyörien kierrosluku on kääntäen verrannollinen niiden hampaiden lukumäärään.

50 kierrosta - 30 hammasta

75 kierrosta - X hammas.

X : 30 = 50: 75; (hampaat).

Voit myös väittää näin: toinen pyörä tekee 1,5 kertaa enemmän kierrosta kuin ensimmäinen (75: 50 \u003d 1,5). Siksi sen hampaat ovat 1,5 kertaa pienemmät kuin ensimmäisellä:

30: 1,5 = 20 (hampaat).

Vastaus. 20 hammasta.

2. Monimutkainen kolmoissääntö. Tehtävät, joissa useiden (useampien kuin kahden) suhteellisten suureiden vastaavien arvojen tietylle sarjalle on löydettävä yhden niistä arvo, joka vastaa toista jäljellä olevien määrien annettujen arvojen sarjaa, ne ovat kutsutaan tehtäviksi monimutkaiselle kolmoissäännölle.

Tehtävä. 5 pumppua pumppasivat 1800 ämpäriä vettä 3 tunnissa. Kuinka paljon vettä 4 tällaista pumppua pumppaa ulos 4 tunnissa?

5 meille. 3 tuntia - 1800 ved.

4 meille. 4 h - X ved.

1) Kuinka monta ämpäriä vettä yksi pumppu pumppaa pois 3 tunnissa?

1800: 5 = 360 (ämpärit).

2) Kuinka monta ämpäriä vettä yksi pumppu pumppaa ulos 1 tunnissa?

360: 3 = 120 (ämpäri).

3) Kuinka paljon vettä pumpataan ulos 4 pumpusta 1 tunnissa?

120 4 = 480 (ämpäri).

4) Kuinka paljon vettä 4 pumppua pumppaa ulos 4 tunnissa?

480 4 = 1920 (ämpäri).

Vastaus. 1920 kauhat

Lyhennetty ratkaisu numeerisen kaavan mukaan:

(ämpärit).

Tehtävä. Jaa luku 100 kahteen osaan suoraan suhteessa numeroihin 2 ja 3,

Tämä tehtävä tulee ymmärtää seuraavasti: jaa 100 kahteen osaan siten, että ensimmäinen liittyy toiseen 2-3:na. Jos haluamme numeroita kirjaimilla X 1 ja X 2, tämä ongelma voidaan muotoilla seuraavasti. löytö X 1 ja X 2 sellasta

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.