सामान्य रैखिककरण विधि

ज्यादातर मामलों में, छोटे विचलन या विविधताओं की विधि का उपयोग करके गैर-रैखिक निर्भरताओं को रैखिक बनाना संभव है। पर विचार करने के लिए, आइए स्वचालित नियंत्रण प्रणाली (चित्र। 2.2) में कुछ लिंक की ओर मुड़ें। इनपुट और आउटपुट मात्रा को X1 और X2 द्वारा दर्शाया जाता है, और बाहरी गड़बड़ी को F(t) द्वारा दर्शाया जाता है।

आइए मान लें कि लिंक को फॉर्म के कुछ गैर-रैखिक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

इस तरह के एक समीकरण को संकलित करने के लिए, आपको तकनीकी विज्ञान की उपयुक्त शाखा (उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, यांत्रिकी, हाइड्रोलिक्स, आदि) का उपयोग करने की आवश्यकता है जो इस विशेष प्रकार के उपकरण का अध्ययन करती है।

रैखिककरण का आधार यह धारणा है कि लिंक डायनेमिक्स समीकरण में शामिल सभी चर के विचलन पर्याप्त रूप से छोटे हैं, क्योंकि यह पर्याप्त रूप से छोटे खंड पर है कि वक्रतापूर्ण विशेषता को एक सीधी रेखा खंड द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस मामले में चर के विचलन को उनके मूल्यों से स्थिर प्रक्रिया में या सिस्टम की एक निश्चित संतुलन स्थिति में मापा जाता है। उदाहरण के लिए, स्थिर प्रक्रिया को चर X1 के एक स्थिर मान की विशेषता है, जिसे हम X10 के रूप में निरूपित करते हैं। विनियमन की प्रक्रिया में (चित्र। 2.3), चर X1 में वे मान होंगे जहां स्थिर मान X10 से चर X 1 के विचलन को दर्शाता है।

इसी तरह के संबंध अन्य चर के लिए पेश किए जाते हैं। विचाराधीन मामले के लिए, हमारे पास ˸ और भी है।

सभी विचलन पर्याप्त रूप से छोटे माने जाते हैं। यह गणितीय धारणा समस्या के भौतिक अर्थ का खंडन नहीं करती है, क्योंकि स्वचालित नियंत्रण के विचार के लिए आवश्यक है कि नियंत्रण प्रक्रिया के दौरान नियंत्रित चर के सभी विचलन पर्याप्त रूप से छोटे हों।

लिंक की स्थिर स्थिति X10, X20 और F0 के मानों से निर्धारित होती है। तब स्थिर अवस्था के लिए समीकरण (2.1) को रूप में लिखा जाना चाहिए

आइए टेलर श्रृंखला में समीकरण (2.1) के बाईं ओर का विस्तार करें

जहां डी उच्च क्रम की शर्तें हैं। आंशिक व्युत्पन्न के लिए सूचकांक 0 का अर्थ है कि व्युत्पन्न लेने के बाद, सभी चरों के स्थिर मूल्य को इसके व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

सूत्र (2.3) में उच्च क्रम की शर्तों में वर्गों, घनों और विचलन की उच्च डिग्री के साथ-साथ विचलन के उत्पादों द्वारा गुणा किए गए उच्च आंशिक डेरिवेटिव शामिल हैं। वे स्वयं विचलन की तुलना में एक उच्च क्रम से छोटे होंगे, जो पहले क्रम से छोटे हैं।

समीकरण (2.3) एक लिंक डायनेमिक्स समीकरण है, ठीक (2.1) की तरह, लेकिन एक अलग रूप में लिखा गया है। आइए हम इस समीकरण में उच्च-क्रम के छोटे को छोड़ दें, जिसके बाद हम स्थिर-अवस्था समीकरण (2.2) को समीकरण (2.3) से घटाते हैं। नतीजतन, हम छोटे विचलन में लिंक गतिशीलता के निम्नलिखित अनुमानित समीकरण प्राप्त करते हैं˸

इस समीकरण में, सभी चर और उनके व्युत्पन्न रैखिक रूप से, यानी पहली डिग्री में प्रवेश करते हैं। सभी आंशिक व्युत्पन्न कुछ स्थिर गुणांक हैं, इस घटना में कि निरंतर मापदंडों वाले सिस्टम की जांच की जा रही है। यदि सिस्टम में चर पैरामीटर हैं, तो समीकरण (2.4) में चर गुणांक होंगे। आइए हम केवल अचर गुणांकों के मामले पर विचार करें।

सामान्य रैखिककरण विधि - अवधारणा और प्रकार। "सामान्य रैखिककरण विधि" 2015, 2017-2018 श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं।

हार्मोनिक रैखिककरण (हार्मोनिक संतुलन) की विधि आपको गैर-रैखिक स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों में संभावित आत्म-दोलनों के अस्तित्व और मापदंडों के लिए शर्तों को निर्धारित करने की अनुमति देती है। स्व-दोलन सिस्टम के चरण स्थान में सीमा चक्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। सीमा चक्र अंतरिक्ष को विभाजित करते हैं (आमतौर पर - बहुआयामी) नम और भिन्न प्रक्रियाओं के डोमेन पर। स्व-दोलन के मापदंडों की गणना के परिणामस्वरूप, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि वे किसी दिए गए सिस्टम के लिए स्वीकार्य हैं या सिस्टम मापदंडों को बदलना आवश्यक है।

विधि अनुमति देती है:

एक अरेखीय प्रणाली की स्थिरता के लिए शर्तें निर्धारित करें;

निकाय के मुक्त दोलनों की आवृत्ति और आयाम ज्ञात कीजिए;

स्व-दोलन के आवश्यक मापदंडों को सुनिश्चित करने के लिए सुधारात्मक सर्किटों को संश्लेषित करें;

मजबूर दोलनों की जांच करें और गैर-रैखिक स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों में क्षणिक प्रक्रियाओं की गुणवत्ता का मूल्यांकन करें।

हार्मोनिक रैखिककरण विधि की प्रयोज्यता के लिए शर्तें।

1) विधि का प्रयोग करते समय, यह माना जाता है कि रैखिकप्रणाली का हिस्सा स्थिर या तटस्थ है।

2) गैर-रैखिक लिंक के इनपुट पर सिग्नल हार्मोनिक सिग्नल के आकार के करीब है। इस प्रावधान को कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

चित्रा 1 गैर-रैखिक एसीएस के ब्लॉक आरेख दिखाता है। सर्किट में श्रृंखला से जुड़े लिंक होते हैं: एक गैर-रैखिक लिंक y=F(x) और एक रैखिक

वें, जो अंतर समीकरण द्वारा वर्णित है

y = F(g - x) = g - x के लिए हमें एक रैखिक निकाय की गति का समीकरण प्राप्त होता है।

मुक्त आवाजाही पर विचार करें, अर्थात। जी (टी) 0 के लिए। फिर,

मामले में जब सिस्टम में स्व-दोलन होते हैं, सिस्टम की मुक्त गति आवधिक होती है। समय के साथ गैर-आवधिक आंदोलन सिस्टम के कुछ अंतिम स्थिति (आमतौर पर, विशेष रूप से प्रदान किए गए सीमक पर) के रुकने के साथ समाप्त होता है।

एक गैर-रैखिक तत्व के इनपुट पर आवधिक संकेत के किसी भी रूप के साथ, इसके आउटपुट पर सिग्नल में मौलिक आवृत्ति के अलावा, उच्च हार्मोनिक्स शामिल होंगे। यह धारणा कि सिस्टम के गैर-रेखीय भाग के इनपुट पर संकेत को हार्मोनिक माना जा सकता है, अर्थात,

x(t)@a×sin(wt),

जहां w=1/T, T प्रणाली के मुक्त दोलनों की अवधि है, इस धारणा के बराबर है कि प्रणाली का रैखिक भाग प्रभावी रूप से है फिल्टरसिग्नल के उच्च हार्मोनिक्स y(t) = F(x (t))।

सामान्य स्थिति में, जब एक हार्मोनिक सिग्नल x(t) का एक गैर-रेखीय तत्व इनपुट पर कार्य करता है, तो आउटपुट सिग्नल को फूरियर रूपांतरित किया जा सकता है:

फूरियर श्रृंखला गुणांक

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, हम C 0 = 0 सेट करते हैं, अर्थात, फलन F(x) मूल के संबंध में सममित है। ऐसी सीमा आवश्यक नहीं है और विश्लेषण द्वारा की जाती है। गुणांक C k 0 की उपस्थिति का अर्थ है कि, सामान्य स्थिति में, सिग्नल का गैर-रेखीय परिवर्तन परिवर्तित सिग्नल के चरण बदलाव के साथ होता है। विशेष रूप से, यह अस्पष्ट विशेषताओं (विभिन्न प्रकार के हिस्टैरिसीस लूप के साथ) के साथ गैर-रैखिकताओं में होता है, दोनों देरी और, कुछ मामलों में, चरण अग्रिम.

प्रभावी फ़िल्टरिंग की धारणा का अर्थ है कि सिस्टम के रैखिक भाग के आउटपुट पर उच्च हार्मोनिक्स के आयाम छोटे होते हैं, अर्थात,

इस शर्त की पूर्ति इस तथ्य से सुगम होती है कि कई मामलों में पहले से ही गैर-रेखीयता के उत्पादन में पहले से ही हार्मोनिक्स के आयाम पहले हार्मोनिक के आयाम से काफी कम हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, इनपुट पर एक हार्मोनिक सिग्नल के साथ एक आदर्श रिले के आउटपुट पर

y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))

कोई भी हार्मोनिक्स नहीं हैं, और तीसरे हार्मोनिक का आयाम तीन बारपहले हार्मोनिक के आयाम से कम

चलो करें दमन की डिग्री का आकलनएसीएस के रैखिक भाग में सिग्नल के उच्च हार्मोनिक्स। ऐसा करने के लिए, हम कई धारणाएँ बनाते हैं।

1) ACS के मुक्त दोलनों की आवृत्ति कटऑफ आवृत्ति के लगभग बराबरइसका रैखिक भाग। ध्यान दें कि एक गैर-रेखीय स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के मुक्त दोलनों की आवृत्ति एक रैखिक प्रणाली के मुक्त दोलनों की आवृत्ति से काफी भिन्न हो सकती है, ताकि यह धारणा हमेशा सही न हो।

2) हम एसीएस ऑसीलेशन इंडेक्स को एम = 1.1 के बराबर लेते हैं।

3) कटऑफ फ़्रीक्वेंसी (w s) के आसपास के LAH का ढलान -20 dB/dec है। एलएएच के इस खंड की सीमाएं संबंधों द्वारा दोलन सूचकांक से संबंधित हैं

4) आवृत्ति w अधिकतम LPH अनुभाग के साथ संयुग्मित हो रही है, ताकि जब w> w अधिकतम LAH ढलान कम से कम माइनस 40 dB/dec हो।

5) गैर-रैखिकता - विशेषता y = sgn(x) के साथ एक आदर्श रिले ताकि इसके गैर-रैखिकता आउटपुट पर केवल विषम हार्मोनिक्स मौजूद हो।

तीसरे हार्मोनिक की आवृत्तियाँ w 3 \u003d 3w c, पाँचवाँ w 5 \u003d 5w c,

एलजीडब्ल्यू 3 = 0.48+एलजीडब्ल्यू सी ,

एलजीडब्ल्यू 5 = 0.7+एलजीडब्ल्यू सी।

आवृत्ति w अधिकतम = 1.91w s, lgw अधिकतम = 0.28+lgw s। कोने की आवृत्ति कटऑफ आवृत्ति से 0.28 दशक दूर है।

सिग्नल के उच्च हार्मोनिक्स के आयामों में कमी के रूप में वे सिस्टम के रैखिक भाग से गुजरते हैं तीसरे हार्मोनिक के लिए होगा

एल 3 \u003d -0.28 × 20- (0.48-0.28) × 40 \u003d -13.6 डीबी, यानी 4.8 गुना,

पांचवें के लिए - एल 5 \u003d -0.28 × 20- (0.7-0.28) × 40 \u003d -22.4 डीबी, यानी 13 बार।

नतीजतन, रैखिक भाग के आउटपुट पर संकेत हार्मोनिक के करीब होगा

यह मानने के बराबर है कि सिस्टम एक कम पास फिल्टर है।

फ़ंक्शन Z \u003d cp (X, X 2, ..., के संबंध में) एक्सजे,अपने तर्कों की प्रणाली के संबंध में अरेखीय, ऊपर तैयार किए गए सूत्रीकरण में समस्या का समाधान, एक नियम के रूप में, केवल रैखिककरण विधि के आधार पर लगभग प्राप्त किया जा सकता है। रैखिककरण विधि का सार यह है कि एक गैर-रैखिक फ़ंक्शन को किसी रैखिक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और फिर, पहले से ज्ञात नियमों के अनुसार, इस रैखिक फ़ंक्शन की संख्यात्मक विशेषताओं को पाया जाता है, उन्हें गैर- की संख्यात्मक विशेषताओं के लगभग बराबर माना जाता है। रैखिक प्रकार्य।

आइए एक यादृच्छिक तर्क के फ़ंक्शन के उदाहरण का उपयोग करके इस पद्धति के सार पर विचार करें।

यदि यादृच्छिक चर Z एक दिया हुआ फलन है

यादृच्छिक तर्क X, फिर इसके संभावित मान जेडतर्क के संभावित मूल्यों से जुड़े एक्सएक ही तरह का एक समारोह, अर्थात्।

(उदाहरण के लिए, यदि Z = sin X, तो जेड= सिनएक्स)।

हम बिंदु के पड़ोस में एक टेलर श्रृंखला में फ़ंक्शन (3.20) का विस्तार करते हैं एक्स= m , अपने आप को केवल विस्तार के पहले दो पदों तक सीमित रखते हुए, और हम मान लेंगे कि

तर्क के संबंध में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान (3.20) एक्सपर एक्स = टी एक्स.

यह धारणा दिए गए फलन (3.19) को रैखिक फलन द्वारा प्रतिस्थापित करने के समतुल्य है

गणितीय अपेक्षाओं और भिन्नताओं पर प्रमेयों के आधार पर, हम संख्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए गणना सूत्र प्राप्त करते हैं एमजेडईमैं रूप में

ध्यान दें कि विचाराधीन मामले में, मानक विचलन r की गणना सूत्र द्वारा की जानी चाहिए

(व्युत्पन्न का मापांक यहां लिया गया है क्योंकि यह

नकारात्मक हो सकता है।)

एक गैर-रैखिक फ़ंक्शन की संख्यात्मक विशेषताओं को खोजने के लिए रैखिककरण विधि का अनुप्रयोग

यादृच्छिक तर्कों की एक मनमानी संख्या इसकी गणितीय अपेक्षा को निर्धारित करने के लिए गणना सूत्रों की ओर ले जाती है, जिसका रूप है

एक्स 2, ..., एक्स एन)तर्कों से एक्स।तथा एक्स।क्रमशः, बिंदु पर संकेतों को ध्यान में रखते हुए गणना की गई वूएक्स, एम ^, टी एक्सपी,यानी उनके सभी तर्कों को बदलकर एक्स वी एक्स 2, ..., एक्स एनउनकी गणितीय अपेक्षाएँ।

फैलाव के निर्धारण के लिए सूत्र (3.26) के साथ डी?आप फॉर्म के गणना सूत्र का उपयोग कर सकते हैं

कहाँ पे जी एक्स x - यादृच्छिक तर्कों का सहसंबंध गुणांक एक्स।

जैसा कि स्वतंत्र (या कम से कम असंबद्ध) यादृच्छिक तर्कों के एक गैर-रेखीय कार्य पर लागू होता है, सूत्र (3.26) और (3.27) का रूप होता है

यादृच्छिक तर्कों के गैर-रैखिक कार्यों के रैखिककरण पर आधारित सूत्र उनकी संख्यात्मक विशेषताओं को केवल लगभग निर्धारित करना संभव बनाते हैं। गणना की सटीकता कम है, दिए गए फ़ंक्शन रैखिक से भिन्न होते हैं और तर्कों का फैलाव अधिक होता है। प्रत्येक विशिष्ट मामले में संभावित त्रुटि का अनुमान लगाना हमेशा संभव नहीं होता है।

इस पद्धति द्वारा प्राप्त परिणामों को परिष्कृत करने के लिए, एक गैर-रेखीय फ़ंक्शन के विस्तार में संरक्षण पर आधारित तकनीक न केवल रैखिक, बल्कि विस्तार के कुछ बाद के शब्दों (आमतौर पर द्विघात) का भी उपयोग किया जा सकता है।

इसके अलावा, यादृच्छिक तर्कों के एक गैर-रेखीय कार्य की संख्यात्मक विशेषताओं को तर्कों की प्रणाली के दिए गए वितरण के लिए इसके वितरण के कानून की प्रारंभिक खोज के आधार पर निर्धारित किया जा सकता है। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि ऐसी समस्या का विश्लेषणात्मक समाधान अक्सर बहुत जटिल होता है। इसलिए, यादृच्छिक तर्कों के गैर-रैखिक कार्यों की संख्यात्मक विशेषताओं को खोजने के लिए, सांख्यिकीय मॉडलिंग की विधि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

विधि का आधार परीक्षणों की एक श्रृंखला का अनुकरण है, जिनमें से प्रत्येक में का एक निश्चित सेट होता है एक्स आई, एक्स 2आई, ..., xniयादृच्छिक तर्क मान एक्स वी एक्स 2 ,..., एक्स एनउनके संयुक्त वितरण के अनुरूप सेट से। दिए गए संबंध (3.24) की सहायता से प्राप्त मान संबंधित मानों में बदल जाते हैं जेडजांच किए गए फ़ंक्शन Z. परिणामों के अनुसार जेड वी जेड 2, ..., जेड।, ..., zkसब प्रतिइस तरह के परीक्षण, वांछित संख्यात्मक विशेषताओं की गणना गणितीय आँकड़ों के तरीकों से की जाती है।

उदाहरण 3.2.रैखिककरण विधि के आधार पर, गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर के मानक विचलन का निर्धारण करें

1. सूत्र (3.20) से हम प्राप्त करते हैं

2. प्राथमिक फलनों के अवकलजों की तालिका का प्रयोग करते हुए, हम पाते हैं:

और बिंदु पर इस व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें :

3. सूत्र (3.23) से हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 3.3। रैखिककरण विधि के आधार पर, गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर के मानक विचलन का निर्धारण करें

1. सूत्र (3.25) से हम प्राप्त करते हैं

2. आइए दो यादृच्छिक तर्कों के फलन के लिए सूत्र (3.27) लिखें

3. तर्कों के संबंध में Z फलन का आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए एक्स 1 और एक्स 2:

और बिंदु पर उनके मूल्यों की गणना करें (m Xi ,टी x2):

4. Z प्रसरण की गणना के लिए प्राप्त आंकड़ों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं डीज़ू= 1. इसलिए, u r = 1.

अवकल समीकरणों को निम्नलिखित विधियों द्वारा रैखिक किया जा सकता है:

1. कार्य क्षेत्र के गैर-रैखिक कार्य को टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया गया है।

2. रेखांकन के रूप में दिए गए अरैखिक फलन कार्यशील तल में सीधी रेखाओं द्वारा रेखीयकृत होते हैं।

3. आंशिक व्युत्पन्न को सीधे निर्धारित करने के बजाय, चर को मूल गैर-रेखीय समीकरणों में पेश किया जाता है।

,

. (33)

4. यह विधि न्यूनतम वर्ग विधि द्वारा गुणांकों के निर्धारण पर आधारित है।

, (34)

कहाँ पे - वायवीय एक्ट्यूएटर का समय स्थिर;

- वायवीय एक्ट्यूएटर का गियर अनुपात;

- वायवीय एक्चुएटर का भिगोना गुणांक।

एसीएस तत्वों की आंतरिक संरचना ग्राफ़ के ब्लॉक आरेखों का उपयोग करके सबसे सरल रूप से निर्धारित की जाती है। ग्राफ़ में जाने-माने ब्लॉक आरेखों के विपरीत, चर समय के रूप में इंगित किए जाते हैं, और आर्क या तो पैरामीटर या विशिष्ट लिंक के स्थानांतरण कार्यों को दर्शाते हैं। उनके बीच एक समान संबंध है।

मिमी गैर-रैखिक तत्व

पहले अध्याय में मानी जाने वाली रैखिककरण विधियां तब लागू होती हैं जब एलएसए ऑब्जेक्ट में शामिल गैर-रैखिकता कम से कम एक बार अलग-अलग होती है या ऑपरेटिंग बिंदु के करीब कुछ पड़ोस की एक छोटी सी त्रुटि के साथ स्पर्शरेखा द्वारा अनुमानित होती है। गैर-रैखिकताओं का एक पूरा वर्ग है जिसके लिए दोनों शर्तें संतुष्ट नहीं हैं। आमतौर पर ये महत्वपूर्ण गैर-रैखिकताएं हैं। इनमें शामिल हैं: पहली तरह के असंततता बिंदुओं के साथ चरण, टुकड़े-टुकड़े रैखिक और बहु-मूल्यवान कार्य, साथ ही शक्ति और अनुवांशिक कार्य। सिस्टम में तार्किक-बीजगणितीय संचालन के निष्पादन को प्रदान करने वाले सीसीएम के उपयोग ने नई प्रकार की रैखिकताओं को जन्म दिया है, जिन्हें विशेष तर्क का उपयोग करके निरंतर चर के माध्यम से दर्शाया जाता है।

इस तरह की गैर-रैखिकताओं के गणितीय विवरण के लिए, रैखिककरण गुणांक के आधार पर समतुल्य स्थानांतरण कार्यों का उपयोग किया जाता है, जो किसी दिए गए इनपुट सिग्नल के प्रजनन त्रुटि के औसत वर्ग को कम करके प्राप्त किया जाता है। गैर-रैखिकता के इनपुट पर आने वाले इनपुट संकेतों का आकार मनमाना हो सकता है। व्यवहार में, हार्मोनिक और यादृच्छिक प्रकार के इनपुट सिग्नल और उनके अस्थायी संयोजन सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। तदनुसार, रैखिककरण विधियों को हार्मोनिक और स्थैतिक कहा जाता है।

समकक्ष हस्तांतरण कार्यों का वर्णन करने के लिए सामान्य विधि ne

आवश्यक गैर-रैखिकताओं का पूरा वर्ग दो समूहों में विभाजित है। पहले समूह में एकल-मूल्यवान गैर-रैखिकताएं शामिल हैं, जिसमें इनपुट के बीच संबंध और सप्ताहांत सदिश संकेत केवल अरैखिकता की स्थिर विशेषता के रूप पर निर्भर करते हैं
.

.

इस मामले में, इनपुट संकेतों के एक निश्चित रूप के साथ:

.

रैखिककरण मैट्रिक्स का उपयोग करना
आप आउटपुट सिग्नल का अनुमानित मूल्य पा सकते हैं:

.

से (42) यह इस प्रकार है कि एकल-मूल्यवान गैर-रैखिकता के रैखिककरण गुणांक के मैट्रिक्स वास्तविक मात्रा और उनके समकक्ष हस्तांतरण कार्य हैं:

.

दूसरे समूह में दो-मूल्यवान (बहु-मूल्यवान) गैर-रैखिकताएं शामिल हैं, जिसमें इनपुट और आउटपुट सिग्नल के बीच संबंध न केवल स्थिर विशेषता के आकार पर निर्भर करता है, बल्कि इनपुट सिग्नल के इतिहास से भी निर्धारित होता है। इस स्थिति में, व्यंजक (42) को इस प्रकार लिखा जाएगा:

.

इनपुट आवधिक संकेत के प्रागितिहास के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए, हम न केवल संकेत को ही ध्यान में रखेंगे , लेकिन इसके परिवर्तन की दर, अंतर भी .

इनपुट संकेतों के लिए:

इनपुट सिग्नल का अनुमानित मान होगा:

कहाँ पे
तथा
- दो-मूल्यवान गैर-रैखिकता के हार्मोनिक रैखिककरण के गुणांक;

- सही हार्मोनिक पर दोलन अवधि;

- हार्मोनिक फ़ंक्शन।

समतुल्य स्थानांतरण फ़ंक्शन:

अधिक सामान्य रूप की गैर-रैखिकताएं हैं:

,

,

कहाँ पे
तथा
- हार्मोनिक रैखिकरण के गुणांक;

हार्मोनिक संख्या है।

आवधिक रैखिकरण गुणांक मैट्रिक्स . इसे ध्यान में रखते हुए, दो दो-मूल्यवान nonlinearities के हस्तांतरण समारोह को हस्तांतरण समारोह के साथ सादृश्य द्वारा दर्शाया जा सकता है

उपयोग करते हुए, हम एकल-मूल्यवान और दो-मूल्यवान गैर-रैखिकताओं के स्थानांतरण फ़ंक्शन की गणना के लिए एक सामान्यीकृत सूत्र को परिभाषित करते हैं।

एकल-मूल्यवान गैर-रैखिकता के मामले में, रैखिककरण गुणांक का मैट्रिक्स , वेक्टर के मापदंडों के आधार पर
, हम इस तरह से चुनते हैं कि सटीक . के बीच चुकता अंतर के माध्य मान को रैखिक किया जा सके और अनुमानित
इनपुट संकेत:

परिवर्तन, सरलीकरण, तरकीबें और बढ़ी हुई सतर्कता के बाद, हमें मैट्रिक्स की एक प्रणाली के रूप में समतुल्य स्थानांतरण फ़ंक्शन मिलता है:
,
.

,

पर
,
.

.

एकल-मूल्यवान गैर-रैखिकता के लिए रैखिककरण गुणांक निर्धारित करें। जब साइनसॉइडल सिग्नल का पहला हार्मोनिक इसके इनपुट पर आता है:

कहाँ पे
.

.

समीकरण (56) एकल-मूल्यवान गैर-रैखिकता के लिए पहला हार्मोनिक रैखिककरण कारक है, यह समतुल्य स्थानांतरण फ़ंक्शन को परिभाषित करता है
.

भविष्य में, सबसे सरल गैर-रैखिकता के रैखिककरण गुणांक को निर्धारित करने के लिए सूत्र की तुलना जब उनके इनपुट पर आवधिक संकेत लागू होते हैं: साइनसॉइडल, त्रिकोणीय, हम परिणामी समकक्ष हस्तांतरण कार्यों का उपयोग करने की समीचीनता दिखाएंगे।

रैखिककरण गुणांक निर्धारित किया जाता है
,
.

,

.

उदाहरण। जब एक साइनसॉइडल सिग्नल का पहला हार्मोनिक इसके इनपुट में प्रवेश करता है और इसमें एक इनपुट होता है, तो दो-मूल्यवान गैर-रैखिकता के रैखिककरण गुणांक का निर्धारण करें। मैट्रिक्स (60) की प्रणाली से, हम प्राप्त करते हैं:

,

.

इस उदाहरण में, हम इनपुट सिग्नल को इस प्रकार लिखते हैं:

,

.

जब दो-मूल्यवान गैर-रैखिकता के लिए सामान्य समकक्ष कार्य होता है:

. .

पर

चावल। 2.2. एटीएस लिंक

ज्यादातर मामलों में, छोटे विचलन या विविधताओं की विधि का उपयोग करके गैर-रैखिक निर्भरताओं को रैखिक बनाना संभव है। इस पर विचार करने के लिए, आइए स्वचालित नियंत्रण प्रणाली (चित्र। 2.2) में एक निश्चित लिंक की ओर मुड़ें। इनपुट और आउटपुट मात्रा को एक्स 1 और एक्स 2 द्वारा दर्शाया जाता है, और बाहरी गड़बड़ी को एफ (टी) द्वारा दर्शाया जाता है।

आइए मान लें कि लिंक को फॉर्म के कुछ गैर-रैखिक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

इस तरह के समीकरण को संकलित करने के लिए, आपको तकनीकी विज्ञान की उपयुक्त शाखा (उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, यांत्रिकी, हाइड्रोलिक्स, आदि) का उपयोग करने की आवश्यकता है जो इस विशेष प्रकार के उपकरण का अध्ययन करती है।

रैखिककरण का आधार यह धारणा है कि लिंक डायनेमिक्स समीकरण में शामिल सभी चर के विचलन पर्याप्त रूप से छोटे हैं, क्योंकि यह पर्याप्त रूप से छोटे खंड पर है कि वक्रतापूर्ण विशेषता को एक सीधी रेखा खंड द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस मामले में चर के विचलन को उनके मूल्यों से स्थिर प्रक्रिया में या सिस्टम की एक निश्चित संतुलन स्थिति में मापा जाता है। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, एक स्थिर प्रक्रिया को चर X 1 के एक स्थिर मान की विशेषता होती है, जिसे हम X 10 के रूप में निरूपित करते हैं। नियमन की प्रक्रिया में (चित्र। 2.3), चर X 1 में वे मान होंगे जहाँ
X 10 के स्थिर मान से चर X 1 के विचलन को दर्शाता है।

लेकिन

चावल। 2.3. लिंक विनियमन प्रक्रिया

अन्य चर के लिए कर अनुपात पेश किए जाते हैं। विचाराधीन मामले के लिए, हमारे पास: और
.

आगे, आप लिख सकते हैं:
;
तथा
, इसलिये
तथा

सभी विचलन पर्याप्त रूप से छोटे माने जाते हैं। यह गणितीय धारणा समस्या के भौतिक अर्थ का खंडन नहीं करती है, क्योंकि स्वचालित नियंत्रण के विचार के लिए आवश्यक है कि नियंत्रण प्रक्रिया के दौरान नियंत्रित चर के सभी विचलन पर्याप्त रूप से छोटे हों।

लिंक की स्थिर स्थिति X 10 , X 20 और F 0 के मानों से निर्धारित होती है। तब स्थिर अवस्था के लिए समीकरण (2.1) को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

आइए टेलर श्रृंखला में समीकरण (2.1) के बाईं ओर का विस्तार करें

जहां उच्च क्रम की शर्तें हैं। आंशिक व्युत्पन्न के लिए सूचकांक 0 का अर्थ है कि व्युत्पन्न लेने के बाद, सभी चरों के स्थिर मान को इसके व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए
.

सूत्र (2.3) में उच्च क्रम की शर्तों में वर्गों, घनों और विचलन की उच्च डिग्री के साथ-साथ विचलन के उत्पादों द्वारा गुणा किए गए उच्च आंशिक डेरिवेटिव शामिल हैं। वे स्वयं विचलन की तुलना में एक उच्च क्रम से छोटे होंगे, जो पहले क्रम से छोटे हैं।

समीकरण (2.3) एक लिंक डायनेमिक्स समीकरण है, ठीक (2.1) की तरह, लेकिन एक अलग रूप में लिखा गया है। आइए हम इस समीकरण में उच्च क्रम के छोटे को छोड़ दें, जिसके बाद हम स्थिर अवस्था समीकरण (2.2) को समीकरण (2.3) से घटाते हैं। परिणामस्वरूप, हम छोटे विचलनों में निम्नलिखित अनुमानित लिंक गतिकी समीकरण प्राप्त करते हैं:

इस समीकरण में, सभी चर और उनके व्युत्पन्न रैखिक रूप से, यानी पहली डिग्री में प्रवेश करते हैं। सभी आंशिक व्युत्पन्न कुछ स्थिर गुणांक हैं, इस घटना में कि निरंतर मापदंडों वाले सिस्टम की जांच की जा रही है। यदि सिस्टम में चर पैरामीटर हैं, तो समीकरण (2.4) में चर गुणांक होंगे। आइए हम केवल अचर गुणांकों के मामले पर विचार करें।

समीकरण प्राप्त करना (2.4) किया गया रैखिककरण का लक्ष्य है। स्वचालित नियंत्रण के सिद्धांत में, सभी लिंक के समीकरणों को लिखने की प्रथा है ताकि आउटपुट मान समीकरण के बाईं ओर हो, और अन्य सभी शर्तें दाईं ओर स्थानांतरित हो जाएं। इस मामले में, समीकरण के सभी पदों को आउटपुट मान पर गुणांक द्वारा विभाजित किया जाता है। परिणामस्वरूप, समीकरण (2.4) का रूप लेता है

जहां निम्नलिखित संकेतन पेश किया गया है

. (2.6)

इसके अलावा, सुविधा के लिए, सभी अंतर समीकरणों को अंकन के साथ ऑपरेटर रूप में लिखने की प्रथा है

तब अवकल समीकरण (2.5) को रूप में लिखा जा सकता है

इस रिकॉर्ड को लिंक डायनेमिक्स समीकरण का मानक रूप कहा जाएगा।

गुणांक टी 1 और टी 2 में समय - सेकंड का आयाम है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि समीकरण (2.8) के सभी पदों का आयाम समान होना चाहिए, और उदाहरण के लिए, आयाम (या px 2) x 2 प्रति सेकंड के आयाम से ऋणात्मक प्रथम शक्ति तक भिन्न होता है (
) इसलिए, गुणांक T 1 और T 2 कहलाते हैं समय स्थिरांक .

गुणांक k 1 में इनपुट के आयाम से विभाजित आउटपुट मान का आयाम होता है। यह कहा जाता है संचरण अनुपात संपर्क। उन लिंक के लिए जिनके आउटपुट और इनपुट मानों का आयाम समान है, निम्नलिखित शब्दों का भी उपयोग किया जाता है: लाभ - एक लिंक के लिए जो एक एम्पलीफायर है या इसकी संरचना में एक एम्पलीफायर है; गियर अनुपात - गियरबॉक्स, वोल्टेज डिवाइडर, स्केलिंग डिवाइस आदि के लिए।

स्थानांतरण गुणांक लिंक के स्थिर गुणों की विशेषता है, क्योंकि स्थिर अवस्था में
. इसलिए, यह छोटे विचलन पर स्थिर विशेषता की स्थिरता को निर्धारित करता है। यदि हम लिंक की संपूर्ण वास्तविक स्थिर विशेषता को चित्रित करते हैं
, तो रैखिककरण देता है
या
. संचरण गुणांक k 1 ढलान की स्पर्शरेखा होगी उस बिंदु C पर स्पर्शरेखा (चित्र 2.3 देखें), जिससे छोटे विचलन x 1 और x 2 मापा जाता है।

यह इस आंकड़े से देखा जा सकता है कि समीकरण का उपरोक्त रैखिककरण नियंत्रण प्रक्रियाओं के लिए मान्य है जो एबी विशेषता के ऐसे खंड को कैप्चर करता है, जिस पर टेंगेंट वक्र से थोड़ा अलग होता है।

इसके अलावा, रैखिककरण की एक और, चित्रमय विधि इस से अनुसरण करती है। यदि स्थिर विशेषता और बिंदु सी ज्ञात हैं, जो स्थिर स्थिति को निर्धारित करता है जिसके चारों ओर विनियमन प्रक्रिया होती है, तो लिंक समीकरण में स्थानांतरण गुणांक निर्भरता के अनुसार ड्राइंग से ग्राफिक रूप से निर्धारित किया जाता है k 1 = tg ड्राइंग के पैमाने और आयाम x 2 को ध्यान में रखते हुए। कई मामलों में ग्राफिकल रेखीयकरण विधि अधिक सुविधाजनक हो जाता है और तेजी से लक्ष्य की ओर जाता है।

गुणांक k 2 का आयाम लाभ k के 1 गुना समय के आयाम के बराबर है। इसलिए, समीकरण (2.8) को प्राय: के रूप में लिखा जाता है

कहाँ पे
समय स्थिर है।

पी

चावल। 2.4. स्वतंत्र उत्तेजना मोटर

समय स्थिरांक टी 1, टी 2 और टी 3 लिंक के गतिशील गुणों को निर्धारित करते हैं। इस मुद्दे पर नीचे विस्तार से विचार किया जाएगा।

कारक k 3 बाह्य विक्षोभ के लिए लाभ है।

रैखिककरण के एक उदाहरण के रूप में, उत्तेजना सर्किट की तरफ से नियंत्रित एक इलेक्ट्रिक मोटर पर विचार करें (चित्र। 2.4)।

एक अंतर समीकरण खोजने के लिए जो उत्तेजना घुमाव पर वोल्टेज वृद्धि में गति वृद्धि से संबंधित है, हम उत्तेजना सर्किट में इलेक्ट्रोमोटिव बलों (ईएमएफ) के संतुलन के कानून, आर्मेचर सर्किट में ईएमएफ के संतुलन के कानून और कानून लिखते हैं मोटर शाफ्ट पर क्षणों का संतुलन:

;

.

दूसरे समीकरण में, सरलता के लिए, आर्मेचर परिपथ में स्व-प्रेरण ईएमएफ के संगत पद को छोड़ दिया जाता है।

इन सूत्रों में, आर बी और आर आई उत्तेजना सर्किट और आर्मेचर सर्किट के प्रतिरोध हैं; और - इन सर्किटों में धाराएं; यू वी और यू मैं इन सर्किटों पर लागू वोल्टेज हैं; वी उत्तेजना घुमाव के घुमावों की संख्या है; - चुंबकीय प्रवाह; Ω मोटर शाफ्ट के घूर्णन की कोणीय गति है; एम बाहरी ताकतों से प्रतिरोध का क्षण है, जे इंजन की जड़ता का कम क्षण है; सी ई और सी एम - आनुपातिकता के गुणांक।

आइए मान लें कि उत्तेजना वाइंडिंग पर लागू वोल्टेज में वृद्धि की उपस्थिति से पहले, एक स्थिर स्थिति थी, जिसके लिए समीकरण (2.10) निम्नानुसार लिखे जाएंगे:

(2.11)

यदि अब उत्तेजना वोल्टेज में वृद्धि होगी यू बी = यू बी0 + Δयू बी, फिर सिस्टम की स्थिति निर्धारित करने वाले सभी चर भी वृद्धि प्राप्त करेंगे। नतीजतन, हमारे पास होगा: = І В0 + ; = 0 + ; मैं मैं \u003d मैं I0 + मैं; = 0 + ।

हम इन मानों को (2.10) में प्रतिस्थापित करते हैं, उच्च-क्रम वाले छोटे को त्याग देते हैं और प्राप्त करते हैं:

(2.12)

समीकरणों (2.11) को समीकरणों (2.12) से घटाने पर, हमें विचलनों के लिए समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है:

(2.13)

पर

चावल। 2.5. चुंबकीयकरण वक्र

इन समीकरणों ने प्रवाह वृद्धि और उत्तेजना वर्तमान वृद्धि के बीच आनुपातिकता का गुणांक पेश किया
विद्युत मोटर के चुंबकीयकरण वक्र से निर्धारित होता है (चित्र 2.5)।

सिस्टम का संयुक्त समाधान (2.13) देता है

स्थानांतरण गुणांक कहां है, ,

; (2.15)

उत्तेजना सर्किट का विद्युत चुम्बकीय समय स्थिरांक, s,

(2.16)

जहां एल बी = ए बी उत्तेजना सर्किट के आत्म-प्रेरण का गतिशील गुणांक है; इंजन का विद्युत चुम्बकीय समय स्थिरांक, s,

. (2.17)

भाव (2.15) - (2.17) से यह देखा जा सकता है कि विचाराधीन प्रणाली अनिवार्य रूप से गैर-रैखिक है, क्योंकि स्थानांतरण गुणांक और समय "स्थिर" वास्तव में स्थिर नहीं हैं। उन्हें केवल एक निश्चित मोड के लिए स्थिर माना जा सकता है, बशर्ते कि स्थिर-अवस्था के मूल्यों से सभी चर के विचलन छोटे हों।

एक दिलचस्प विशेष मामला है जब स्थिर अवस्था में U B0 = 0; मैं बी0 = 0; 0 = 0 और Ω 0 = 0. तब सूत्र (2.14) रूप लेता है

. (2.18)

इस मामले में, स्थिर विशेषता इंजन त्वरण में वृद्धि से संबंधित होगी
और उत्तेजना सर्किट में वोल्टेज वृद्धि।