एक अरेखीय समीकरण का हल खोजने का क्या अर्थ है? सरल पुनरावृत्तियों की विधि द्वारा अरैखिक समीकरणों को हल करना - सार

अरैखिक समीकरणों के संख्यात्मक हल के तरीके

एक विज्ञान के रूप में गणित व्यावहारिक समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के संबंध में उत्पन्न हुआ: जमीन पर माप, नेविगेशन, आदि। नतीजतन, गणित संख्यात्मक गणित था और इसका लक्ष्य एक संख्या के रूप में समाधान प्राप्त करना था। लागू समस्याओं के संख्यात्मक समाधान में हमेशा गणितज्ञों की दिलचस्पी रही है। अतीत के सबसे बड़े प्रतिनिधियों ने अपने अध्ययन में प्राकृतिक घटनाओं का अध्ययन किया, उनका गणितीय विवरण प्राप्त किया, अर्थात्। उनका गणितीय मॉडल और उनका शोध। जटिल मॉडलों के विश्लेषण के लिए समस्याओं को हल करने के लिए विशेष, आमतौर पर संख्यात्मक तरीकों के निर्माण की आवश्यकता होती है। इनमें से कुछ विधियों के नाम से संकेत मिलता है कि वे अपने समय के सबसे बड़े वैज्ञानिकों द्वारा विकसित किए गए थे। ये न्यूटन, यूलर, लोबचेवस्की, गॉस, चेबीशेव, हरमाइट की विधियां हैं।

वर्तमान समय को गणित के अनुप्रयोगों के तीव्र विस्तार की विशेषता है, जो मुख्य रूप से कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के निर्माण और विकास से जुड़ा है। 40 वर्षों से कम समय में कंप्यूटरों के उद्भव के परिणामस्वरूप, आधुनिक कंप्यूटरों पर संचालन की गति 0.1 ऑपरेशन प्रति सेकंड से मैनुअल गिनती के साथ 10 ऑपरेशन प्रति सेकंड तक बढ़ गई है।

आधुनिक कंप्यूटरों की सर्वशक्तिमानता के बारे में व्यापक राय इस धारणा को जन्म देती है कि गणितज्ञों ने समस्याओं के संख्यात्मक समाधान से जुड़ी सभी परेशानियों से छुटकारा पा लिया है, और उन्हें हल करने के लिए नए तरीकों का विकास अब इतना महत्वपूर्ण नहीं है। वास्तव में, स्थिति अलग है, क्योंकि विकास की जरूरतें, एक नियम के रूप में, विज्ञान के कार्यों से पहले निर्धारित की जाती हैं जो इसकी क्षमताओं के कगार पर हैं। गणित के अनुप्रयोग के विस्तार ने विज्ञान की विभिन्न शाखाओं का गणितीकरण किया: रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र, जीव विज्ञान, भूविज्ञान, भूगोल, मनोविज्ञान, चिकित्सा, प्रौद्योगिकी, आदि।

ऐसी दो परिस्थितियाँ हैं जिनके कारण शुरू में विज्ञान के गणितीकरण की इच्छा हुई:

सबसे पहले, केवल गणितीय विधियों का उपयोग भौतिक दुनिया की एक या दूसरी घटना के अध्ययन के लिए मात्रात्मक चरित्र देना संभव बनाता है;

दूसरी बात, और यह मुख्य बात है, सोचने का गणितीय तरीका ही एक वस्तु बनाता है। शोध की इस पद्धति को कम्प्यूटेशनल प्रयोग कहा जाता है - अध्ययन पूरी तरह से उद्देश्यपूर्ण है।

हाल ही में, एक और कारक सामने आया है जो ज्ञान के गणितीकरण की प्रक्रियाओं पर एक मजबूत प्रभाव डालता है। यह कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का तेजी से विकास है। सामान्य रूप से वैज्ञानिक, इंजीनियरिंग और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग पूरी तरह से उनके गणितीकरण पर आधारित है।

गणितीय मॉडल।

जटिल समस्याओं के अध्ययन के लिए आधुनिक तकनीक, आमतौर पर कंप्यूटर की सहायता से, अध्ययन की जा रही समस्या के गणितीय मॉडल के निर्माण और विश्लेषण पर आधारित होती है। आमतौर पर, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग, जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, में कई चरण होते हैं: एक समस्या निर्धारित करना, एक गणितीय मॉडल (समस्या का गणितीय सूत्रीकरण), एक संख्यात्मक विधि विकसित करना, एक संख्यात्मक विधि को लागू करने के लिए एक एल्गोरिदम विकसित करना, विकसित करना एक प्रोग्राम, एक प्रोग्राम डिबग करना, गणना करना, परिणामों का विश्लेषण करना।

इसलिए, किसी भी वैज्ञानिक या इंजीनियरिंग समस्या को हल करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग अनिवार्य रूप से एक वास्तविक प्रक्रिया या घटना से उसके गणितीय मॉडल में संक्रमण के साथ जुड़ा हुआ है। इस प्रकार, वैज्ञानिक अनुसंधान और इंजीनियरिंग अभ्यास में मॉडलों का अनुप्रयोग गणितीय मॉडलिंग की कला है।

एक मॉडल को आमतौर पर एक प्रतिनिधित्व या भौतिक रूप से महसूस की गई प्रणाली कहा जाता है जो किसी दिए गए घटना की मुख्य सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को पुन: पेश करता है।

गणितीय मॉडल के लिए मुख्य आवश्यकताएं विचाराधीन परिघटना की पर्याप्तता हैं, अर्थात। यह घटना की विशिष्ट विशेषताओं को पर्याप्त रूप से प्रतिबिंबित करना चाहिए। साथ ही, इसमें तुलनात्मक सरलता और शोध की पहुंच होनी चाहिए।

गणितीय मॉडल अध्ययन के तहत घटना की घटना और कुछ गणितीय निर्माणों में इसके परिणामों के बीच निर्भरता को दर्शाता है। अक्सर, निम्नलिखित गणितीय अवधारणाओं का उपयोग इस तरह के निर्माण के रूप में किया जाता है: फ़ंक्शन, कार्यात्मक, ऑपरेटर, संख्यात्मक समीकरण, साधारण अंतर समीकरण, आंशिक अंतर समीकरण।

गणितीय मॉडल को विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है: स्थिर और गतिशील, केंद्रित और वितरित; नियतात्मक और संभाव्य।

अरैखिक समीकरण के मूल ज्ञात करने की समस्या पर विचार करें

समीकरण के मूल (1) x के वे मान हैं जो प्रतिस्थापित करते समय इसे एक पहचान में बदल देते हैं। केवल सरलतम समीकरणों के लिए सूत्रों के रूप में समाधान खोजना संभव है, अर्थात। विश्लेषणात्मक रूप। अधिक बार समीकरणों को अनुमानित तरीकों से हल करना आवश्यक होता है, जिनमें से सबसे व्यापक, कंप्यूटर के आगमन के संबंध में, संख्यात्मक तरीके हैं।

अनुमानित तरीकों से जड़ों को खोजने के लिए एल्गोरिदम को दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है। सबसे पहले, जड़ों के स्थान का अध्ययन किया जाता है और उनका पृथक्करण किया जाता है। एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें समीकरण का एक मूल है या मूल x 0 का प्रारंभिक सन्निकटन है। इस समस्या को हल करने का सबसे आसान तरीका f(x) फलन के ग्राफ का अध्ययन करना है। सामान्य स्थिति में, इसे हल करने के लिए, गणितीय विश्लेषण के सभी साधनों को शामिल करना आवश्यक है।

समीकरण (1) के कम से कम एक मूल के पाए गए अंतराल पर अस्तित्व बोलजानो स्थिति से निम्नानुसार है:

एफ (ए) * एफ (बी)<0 (2)

यह भी माना जाता है कि दिए गए अंतराल पर फलन f(x) निरंतर है। हालाँकि, यह स्थिति दिए गए अंतराल पर समीकरण के मूलों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर नहीं देती है। यदि फ़ंक्शन की निरंतरता की आवश्यकता को इसकी एकरसता की आवश्यकता के साथ पूरक किया जाता है, और यह पहले व्युत्पन्न की साइन-स्थिरता से होता है, तो हम किसी दिए गए सेगमेंट पर एक अद्वितीय रूट के अस्तित्व का दावा कर सकते हैं।

जड़ों का स्थानीयकरण करते समय, इस प्रकार के समीकरण के मूल गुणों को जानना भी महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, बीजीय समीकरणों के कुछ गुणों को याद करें:

वास्तविक गुणांक कहां हैं।

a) डिग्री n के समीकरण की n जड़ें होती हैं, जिनमें वास्तविक और जटिल दोनों हो सकते हैं। जटिल जड़ें जटिल संयुग्म युग्म बनाती हैं और इसलिए, समीकरण में ऐसे मूलों की संख्या सम होती है। n के विषम मान के लिए, कम से कम एक वास्तविक मूल है।
बी) सकारात्मक वास्तविक जड़ों की संख्या गुणांक के अनुक्रम में चर संकेतों की संख्या से कम या उसके बराबर है। समीकरण (3) में x को -x से बदलने पर आप उसी तरह ऋणात्मक मूलों की संख्या का अनुमान लगा सकते हैं।

समीकरण (1) को हल करने के दूसरे चरण में, प्राप्त प्रारंभिक सन्निकटन का उपयोग करके, एक पुनरावृत्त प्रक्रिया का निर्माण किया जाता है जो कुछ पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ रूट के मूल्य को परिष्कृत करना संभव बनाता है। पुनरावृत्ति प्रक्रिया में प्रारंभिक सन्निकटन के क्रमिक परिशोधन शामिल हैं। ऐसे प्रत्येक चरण को पुनरावृत्ति कहा जाता है। पुनरावृति प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, समीकरण की जड़ों के अनुमानित मूल्यों का एक क्रम मिलता है। यदि यह क्रम n के बढ़ने पर मूल x के वास्तविक मान तक पहुँचता है, तो पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण करती है। कहा जाता है कि एक पुनरावृत्त प्रक्रिया को कम से कम क्रम m में अभिसरण करने के लिए कहा जाता है यदि निम्न शर्त पूरी होती है:

जहाँ >0 कुछ अचर है। यदि m=1 , तो कोई प्रथम-क्रम अभिसरण की बात करता है; m=2 - द्विघात के बारे में, m=3 - घन अभिसरण के बारे में।

पुनरावृत्त चक्र समाप्त हो जाते हैं, यदि किसी अनुमेय त्रुटि के लिए, निरपेक्ष या सापेक्ष विचलन के मानदंड पूरे होते हैं:

या अवशिष्ट की लघुता:

यह कार्य न्यूटन की विधि का उपयोग करके अरेखीय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के अध्ययन के लिए समर्पित है।

गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए कई अलग-अलग तरीके हैं, उनमें से कुछ नीचे प्रस्तुत किए गए हैं:

1)पुनरावृत्ति विधि. पुनरावृत्ति द्वारा एक गैर-रैखिक समीकरण को हल करते समय, हम समीकरण का उपयोग x=f(x) के रूप में करते हैं। तर्क x 0 और सटीकता ई का प्रारंभिक मान सेट किया गया है। समाधान x 1 का पहला सन्निकटन x 1 \u003d f (x 0) से प्राप्त होता है, दूसरा - x 2 \u003d f (x 1) , आदि। सामान्य स्थिति में, i+1 सन्निकटन सूत्र xi+1 =f(xi) द्वारा पाया जाता है। हम इस प्रक्रिया को |f(xi)|>e तक दोहराते हैं। पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए शर्त |f"(x)|
2)न्यूटन की विधि. न्यूटन विधि द्वारा एक गैर-रेखीय समीकरण को हल करते समय, तर्क x 0 और सटीकता ई का प्रारंभिक मान सेट किया जाता है। फिर, बिंदु (x 0, F (x 0)) पर हम ग्राफ F (x) पर एक स्पर्शरेखा खींचते हैं। ) और भुज x 1 के साथ स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें। बिंदु (x 1, F (x 1)) पर हम फिर से एक स्पर्शरेखा बनाते हैं, वांछित समाधान x 2, आदि का अगला सन्निकटन पाते हैं। हम इस प्रक्रिया को तब तक दोहराते हैं जब तक |F(xi)| > ई. भुज अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु (i + 1) को निर्धारित करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं

x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i)।

स्पर्शरेखा विधि F(x 0) F""(x)>0, आदि के लिए अभिसरण स्थिति।

3). द्विभाजन विधि।समाधान तकनीक को सूत्र के अनुसार आधे में प्रारंभिक अनिश्चितता अंतराल के क्रमिक विभाजन में घटा दिया गया है

सी से \u003d ए से + इन टू / 2.

दो परिणामी खंडों में से आवश्यक एक को चुनने के लिए, परिणामी खंडों के सिरों पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना आवश्यक है और उस पर विचार करें जिस पर फ़ंक्शन अपना संकेत बदल देगा, अर्थात स्थिति f ( ए के) * एफ (के में)<0.

खंड को विभाजित करने की प्रक्रिया तब तक की जाती है जब तक कि वर्तमान अनिश्चितता अंतराल की लंबाई निर्दिष्ट सटीकता से कम न हो, अर्थात k - a k में< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). राग विधि. विधि का विचार यह है कि उस खंड पर एक जीवा का निर्माण किया जाता है जो फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ के चाप के सिरों को अनुबंधित करता है, और बिंदु c, एब्सिस्सा अक्ष के साथ जीवा का प्रतिच्छेदन , को जड़ का अनुमानित मान माना जाता है

सी = ए - (एफ (ए) एक्स (ए-बी)) / (एफ (ए) - एफ (बी)),

सी \u003d बी - (एफ (बी) × (ए-बी)) / (एफ (ए) - एफ (बी))।

अगला सन्निकटन अंतराल पर या ए, बी, सी बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों के संकेतों के आधार पर मांगा जाता है

x* हे यदि f(c) H f(a) > 0 ;

एक्स * ओ अगर एफ (सी) एक्स एफ (बी)< 0 .

यदि f "(x) साइन को नहीं बदलता है, तो c \u003d x 1 को निरूपित करते हुए और a या b को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में देखते हुए, हमें एक निश्चित दाएं या बाएं बिंदु के साथ कॉर्ड विधि के पुनरावृत्त सूत्र मिलते हैं।

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), f "(x) H f "(x)\u003e 0 के साथ;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), f के साथ "(x) H f "(x)< 0 .

जीवा विधि का अभिसरण रैखिक है

बीजीय और अनुवांशिक समीकरण। रूट स्थानीयकरण के तरीके।

अरेखीय समीकरण का सबसे सामान्य रूप:

एफ (एक्स)=0 (2.1)

समारोह कहाँ है एफ (एक्स)एक परिमित या अनंत अंतराल [ए, बी] पर परिभाषित और निरंतर है।

परिभाषा 2.1. कोई भी संख्या जो किसी फ़ंक्शन को उलट देती है एफ (एक्स)शून्य को समीकरण का मूल (2.1) कहा जाता है।

परिभाषा 2.2. किसी संख्या को k-वें गुणन का मूल कहा जाता है, यदि एक साथ फलन एफ (एक्स)इसके डेरिवेटिव (k-1) तक - वें क्रम सहित शून्य के बराबर हैं:

परिभाषा 2.3. एक जड़ को सरल जड़ कहते हैं।

एक चर वाले गैर-रेखीय समीकरणों को बीजीय और अनुवांशिक में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा 2.4 . समीकरण (2.1) को बीजीय कहा जाता है यदि फलन F(x) बीजीय है।

बीजगणितीय परिवर्तनों द्वारा, किसी भी बीजीय समीकरण से, कोई व्यक्ति विहित रूप में एक समीकरण प्राप्त कर सकता है:

समीकरण के वास्तविक गुणांक कहाँ हैं, x अज्ञात है।

बीजगणित से ज्ञात होता है कि प्रत्येक बीजीय समीकरण में कम से कम एक वास्तविक या दो जटिल संयुग्म मूल होते हैं।

परिभाषा 2.5. समीकरण (2.1) को अनुवांशिकी कहा जाता है यदि फलन F(x) बीजीय नहीं है।

समीकरण को हल करना (2.1) का अर्थ है:

1. निर्धारित करें कि समीकरण की जड़ें हैं या नहीं।
2. समीकरण के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
3. दी गई सटीकता के साथ समीकरण के मूलों का मान ज्ञात कीजिए।

व्यवहार में आने वाले समीकरणों को अक्सर विश्लेषणात्मक तरीकों से हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों का उपयोग किया जाता है।

एक संख्यात्मक विधि का उपयोग करके समीकरण की जड़ खोजने के लिए एल्गोरिथ्म में दो चरण होते हैं:

1) विभागया स्थानीयकरणजड़, अर्थात् एक रूट वाला अंतराल सेट करना:
2) स्पष्टीकरणक्रमिक सन्निकटन की विधि द्वारा मूल मान।

रूट स्थानीयकरण के तरीके। रूट पृथक्करण एल्गोरिथ्म का सैद्धांतिक आधार एक निरंतर कार्य के मध्यवर्ती मूल्यों पर कॉची प्रमेय है।

प्रमेय 2.1. यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) खंड [ए, बी] और एफ (ए) \u003d ए, एफ (बी) \u003d बी पर निरंतर है, तो ए और बी के बीच स्थित किसी भी बिंदु सी के लिए है एक बिंदु कि।

परिणाम। यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) खंड [a, b] पर निरंतर है और इसके सिरों पर विभिन्न संकेतों के मान लेता है, तो इस खंड पर समीकरण f (x) की कम से कम एक जड़ होती है। \u003d 0.

मान लीजिए किसी फलन की परिभाषा और निरंतरता का क्षेत्र एक परिमित खंड है [ए, बी]. खंड को में विभाजित करें एनभागों: ,

बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की क्रमिक रूप से गणना करते हुए, हमें ऐसे खंड मिलते हैं जिनके लिए शर्त संतुष्ट होती है:

वे। , या, । इन खंडों में कम से कम एक जड़ होती है।

प्रमेय 2.2. यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) खंड पर निरंतर है [a; b), f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

जड़ों को अलग करने के लिए, आप फ़ंक्शन के ग्राफ़ का भी उपयोग कर सकते हैं पर= एफ (एक्स)।समीकरण (2.1) के मूल वे मान हैं एक्स,जिस पर फंक्शन y=f(x) का ग्राफ x-अक्ष को काटता है। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का निर्माण, कम सटीकता के साथ भी, आमतौर पर समीकरण (2.1) की जड़ों के स्थान का एक विचार देता है। यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) को प्लॉट करना कठिनाई का कारण बनता है, तो मूल समीकरण (2.1) को रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए c1(x)= सी 2 (एक्स)ताकि कार्यों के रेखांकन पर= c1(x)तथा पर= सी 2 (एक्स)काफी सरल थे। इन आलेखों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज समीकरण (2.1) के मूल होंगे।

उदाहरण 1समीकरण x 2 -2cosx=0 की जड़ों को अलग करें।

समाधान। आइए जड़ों को अलग करने के दो तरीकों पर विचार करें।

ए) ग्राफिकल तरीका। आइए समीकरण को x 2 =2cosx के रूप में फिर से लिखें और एक ही निर्देशांक प्रणाली (चित्र 5) में y=x 2 और y=2cosx कार्यों का एक ग्राफ बनाएं। चूंकि ये ग्राफ़ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, इसलिए समीकरण के दो मूल मूल बिंदु (-/2; 0) और (0; /2) पर सममित रूप से स्थित हैं।
बी) विश्लेषणात्मक विधि। होने देना एफ (एक्स) =एक्स 2 -2cosx। इसलिये एफ (एक्स)एक सम फलन है, यह x के केवल गैर-ऋणात्मक मानों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। असमानता के कारण 2cosx2

यौगिक च"(एक्स)=2(x+sinx). अंतराल पर (0;/2) च"(एक्स)>0 इसलिए, एफ (एक्स)यहाँ नीरस रूप से वृद्धि होती है और इसका ग्राफ अक्ष को पार कर सकता है एक्सएक बिंदु से अधिक नहीं। नोटिस जो च(0)=- 2<0, аएफ(/2)=(/2) 2>0. इसका अर्थ है कि समीकरण का एक धनात्मक मूल अंतराल (0; /2) पर पड़ा है। चूँकि फलन सम है, समीकरण का एक ऋणात्मक मूल भी होता है, जो धनात्मक के सममित होता है। अब चलिए जड़ के शोधन की ओर बढ़ते हैं। संयुक्त रूट शोधन विधि को लागू करने के लिए, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि च "" (एक्स) on (0; /2) चिन्ह को सुरक्षित रखता है, और स्पर्शरेखा विधि को लागू करने के लिए मूल का प्रारंभिक सन्निकटन चुनें। इसे शर्त को पूरा करना होगा: एफ (एक्स) एफ "" (एक्स)>0. इसलिये च "" (एक्स)=2(1+cosx) पर धनात्मक है, तो /2 को स्पर्शरेखा विधि में मूल के प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में लिया जा सकता है। इसलिए, कोई डाल सकता है एक्स=/21,570796, एक्स 1 = 0 (एल्गोरिदम आरेख देखें)। हमारे मामले में, कॉर्ड विधि एक नुकसान के साथ जड़ का अनुमानित मूल्य देगी, और स्पर्शरेखा विधि - एक अतिरिक्त के साथ।

रूट शोधन के एक पुनरावृत्त चरण पर विचार करें। मूल्यों की गणना करें एफ(0), एफ(/2), एफ"(/ 2)। नए मूल्य एक्स 1 तथा एक्ससूत्रों द्वारा क्रमशः खोजें:

|x-x 1 |=0.387680.4>10 -4 =।

निर्दिष्ट सटीकता हासिल नहीं की गई है, और गणना जारी रखी जानी चाहिए।

इसलिए, आवश्यक सटीकता के साथ रूट का अनुमानित मूल्य तीन पुनरावृत्तियों के परिणामस्वरूप पाया गया और लगभग 1.0217 के बराबर है।

फलन के ग्राफ की सममिति के कारण एफ (एक्स)दूसरी जड़ का मान लगभग -1.0217 के बराबर है।

जड़ स्पष्टीकरण।

समस्या का निरूपण . आइए मान लें कि समीकरण (2.1) का वांछित मूल अलग हो गया है, अर्थात। खंड [ए; बी], जिसमें समीकरण की एक और केवल एक जड़ है। इस खंड के किसी भी बिंदु को मूल के अनुमानित मान के रूप में लिया जा सकता है। इस सन्निकटन की त्रुटि लंबाई से अधिक नहीं है [एक; बी]।नतीजतन, किसी दिए गए सटीकता के साथ रूट के अनुमानित मूल्य को खोजने की समस्या खंड [ए; बी] (बी - एक<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей जड़ शोधन।

संख्यात्मक विधियों का विवरण। संख्यात्मक तरीके कुछ समस्याओं के समाधान खोजना संभव बनाते हैं, पहले से जानते हुए कि प्राप्त परिणामों की गणना एक निश्चित त्रुटि के साथ की जाएगी, इसलिए, कई संख्यात्मक तरीकों के लिए, "सटीकता के स्तर" को पहले से जानना आवश्यक है कि परिणामी समाधान के अनुरूप होगा।

इस संबंध में, फॉर्म के बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या (3.1)

विशेष रुचि है, क्योंकि एक घन समीकरण के मूल ज्ञात करने के सूत्र काफी जटिल होते हैं। यदि एक बहुपद की जड़ों को खोजना आवश्यक है, जिसकी डिग्री, उदाहरण के लिए, 5 है, तो कोई संख्यात्मक तरीकों की मदद के बिना नहीं कर सकता है, खासकर जब से ऐसे बहुपद की संभावना प्राकृतिक (या पूर्णांक, या सटीक जड़ों के साथ होती है। "छोटा" भिन्नात्मक भाग) काफी छोटा है, और 4 से अधिक डिग्री के समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए कोई सूत्र नहीं हैं। वास्तव में, आगे के सभी कार्यों को कम कर दिया जाएगा जड़ों का स्पष्टीकरण, जिनके अंतराल लगभग पहले से ज्ञात हैं। इन "अनुमानित" जड़ों को खोजने का सबसे आसान तरीका ग्राफिकल विधियों का उपयोग करना है।

बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए, कई संख्यात्मक विधियाँ हैं: पुनरावृत्ति विधि, जीवा और स्पर्शरेखा की विधि, अर्ध विभाजन विधि, सेकेंट विधि।

द्विभाजन विधि("एक खंड को आधे में विभाजित करने की विधि" के रूप में भी जाना जाता है) भी पुनरावर्ती है, अर्थात। प्राप्त परिणामों को ध्यान में रखते हुए पुनरावृत्ति का प्रावधान करता है।

अर्ध-विभाजन की विधि का सार इस प्रकार है:

- फलन F(x) दिया गया है;
- अनुमेय त्रुटि क्यू निर्धारित की जाती है;
- कुछ अंतराल [ए, बी] परिभाषित किया गया है, जिसमें वास्तव में समीकरण का समाधान होता है।

1) हम निर्देशांक E के मान की गणना करते हैं, खंड के मध्य को लेकर, अर्थात।

ई \u003d (ए + बी) / 2 (3.2)

2) एफ (ए), एफ (बी), एफ (ई) के मूल्यों की गणना करें और निम्नलिखित जांच करें: यदि एफ (ई)> क्यू, तो रूट निर्दिष्ट सटीकता के साथ पाया जाता है। अगर एफ (ई)
3) बिंदु 1 पर जाएं।

सरल पुनरावृत्तियों की विधि (क्रमिक सन्निकटन की विधि)। हम समीकरण (2.1) को एक समान समीकरण से बदलते हैं

एक्स = (एक्स) (3.3)

विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है, उदाहरण के लिए

एक्स = एक्स + सीएफ (एक्स), सी 0। (3.4)

आइए मान लें कि समीकरण (3.3) के मूल का कुछ प्रारंभिक सन्निकटन चुना गया है। हम सूत्रों द्वारा एक संख्यात्मक अनुक्रम को परिभाषित करते हैं

एक्स एन+1 =(x एन ), एन = 0,1,2,… (3.5)

इस तरह के अनुक्रम को पुनरावृत्त कहा जाता है।

यदि x 0 और बाद के सभी सन्निकटन x n , nN वाले खंड पर, फ़ंक्शन (x) का एक सतत व्युत्पन्न "(x) और |"(x)|q है<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

इस असमानता से, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि सरल पुनरावृत्ति की विधि के अभिसरण की दर q के मान पर निर्भर करती है: छोटा q, तेजी से अभिसरण।

इसलिए, व्यवहार में, सरल पुनरावृत्ति की विधि द्वारा जड़ों को खोजने पर, समीकरण (2.1) को रूप (3.3) में इस तरह से प्रस्तुत करना वांछनीय है कि रूट के पड़ोस में व्युत्पन्न "(x) संभवतः हो निरपेक्ष मान में छोटा। इसके लिए, सूत्र से पैरामीटर c का कभी-कभी उपयोग किया जाता है (3.4)।

न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि)। यदि एक पर्याप्त रूप से अच्छा प्रारंभिक सन्निकटन ज्ञात है जिसके लिए निम्नलिखित असमानता है:

तो आप न्यूटन के सूत्र का उपयोग करके समीकरण की एकमात्र जड़ की गणना कर सकते हैं

प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में, आप अंतराल की सीमाओं का उपयोग कर सकते हैं, और:

अगर चालू।

इस पद्धति के प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, गणना की मात्रा द्विभाजन और पुनरावृत्तियों के तरीकों की तुलना में अधिक है, क्योंकि न केवल फ़ंक्शन का मूल्य, बल्कि इसके व्युत्पन्न को भी खोजना आवश्यक है। हालांकि, न्यूटन की विधि के अभिसरण की दर बहुत अधिक है।

प्रमेय। आज्ञा देना समीकरण की जड़ हो, अर्थात्। , और निरंतर है। फिर जड़ का एक पड़ोस होता है जैसे कि यदि प्रारंभिक सन्निकटन इस पड़ोस से संबंधित है, तो न्यूटन की विधि के लिए मूल्यों का अनुक्रम अभिसरण करता है। मूल के वें सन्निकटन की त्रुटि का अनुमान सूत्र द्वारा लगाया जा सकता है:

जहां खंड पर दूसरे व्युत्पन्न के मापांक का सबसे बड़ा मूल्य है, खंड पर पहले व्युत्पन्न के मापांक का सबसे छोटा मूल्य है।

रोक नियम:

जीवा और स्पर्शरेखा की विधि (संयुक्त)। यह विधि किसी फ़ंक्शन के एक योजनाबद्ध ग्राफ़ के निर्माण पर आधारित है, जो एब्सिस्सा अक्ष के साथ इसके चौराहे के अंतराल को निर्धारित करती है, और फिर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में निर्मित जीवा और स्पर्शरेखा का उपयोग करके इस अंतराल को "संपीड़ित" करती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अलग-अलग जीवा विधि (कमी के साथ जड़ का मान देता है) और स्पर्शरेखा विधि (अतिरिक्त के साथ) भी हैं। हालांकि, संयुक्त विधि का लाभ माना खंड के "दो तरफा संपीड़न" में निहित है।

निम्नलिखित मामले पर विचार करें:

- फलन F(x) दिया गया है और उसका ग्राफ बनाया गया है;
- अनुमेय त्रुटि Q निर्धारित है
- ग्राफ के आधार पर, एक खंड को परिभाषित किया जाता है, जिस पर फ़ंक्शन का ग्राफ एब्सिस्सा अक्ष को काटता है, इसलिए, इस खंड पर विचाराधीन बहुपद की जड़ है (हम इसे ए द्वारा निरूपित करते हैं)

आगे की एल्गोरिथ्म निम्नलिखित क्रियाओं के लिए कम हो गई है:

1) हम बिंदु F(b) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा बनाते हैं
2) हम सूत्र (3.9) के अनुसार एब्सिस्सा अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के चौराहे के एक्स-निर्देशांक की गणना करते हैं और इसे बी द्वारा निरूपित करते हैं "
3) हम बिंदुओं F(a) और F(b) से गुजरने वाले फलन के ग्राफ के लिए एक जीवा बनाते हैं।
4) हम सूत्र (2) के अनुसार भुज अक्ष के साथ जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदु की गणना करते हैं और इसे a" से निरूपित करते हैं।

इस प्रकार, हमें एक नया खंड मिलता है, जिसमें (एक जीवा और एक स्पर्शरेखा की परिभाषा के अनुसार) अभी भी समीकरण A का हल है।

अब हम खंड को एक नए खंड के रूप में लेते हैं और चरण 1-4 दोहराते हैं जब तक कि अंतर F(b)-F(a) प्रारंभिक एम्बेडेड त्रुटि Q से कम न हो जाए। हम यह भी ध्यान दें कि इसके बाद अंकगणितीय माध्य लेने की सिफारिश की जाती है एफ वांछित समाधान (ए) और एफ (बी) के रूप में।

इस प्रकार, यदि जीवा (स्पर्शरेखा) अधिक के साथ जड़ का मान देता है, तो इस जड़ को नई दाहिनी सीमा के रूप में लिया जाता है, और यदि कमी के साथ, तो बाईं ओर। दोनों ही मामलों में, सटीक मूल जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं और भुज अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के बीच स्थित है।

जीवाओं और स्पर्श रेखाओं की विधि पर टिप्पणी।चूँकि समस्या के समाधान के लिए फलन F(x) का व्युत्पन्न ज्ञात करना आवश्यक है, जीवा और स्पर्शरेखा की विधि को प्रोग्राम स्तर पर लागू करना काफी कठिन है, क्योंकि एक कंप्यूटर की "समझ" के लिए सामान्य रूप में डेरिवेटिव की गणना के नियम काफी बोझिल हैं; बहुपद की प्रत्येक डिग्री के लिए सीधे व्युत्पन्न निर्दिष्ट करते समय, कंप्यूटर मेमोरी गंभीर रूप से लोड हो जाती है, जो काम को धीमा कर देती है, और फ़ंक्शन को सेट करती है और तदनुसार, प्रोग्राम कोड में सीधे इसका व्युत्पन्न अस्वीकार्य है। हालांकि, इस पद्धति का उपयोग करते हुए, अंतराल का जड़ से अभिसरण सबसे जल्दी होता है, खासकर अगर जीवा और स्पर्शरेखा की विधि को द्विभाजन विधि के साथ जोड़ा जाता है, क्योंकि नए खंड का मध्य अक्सर पूरी तरह से संतोषजनक समाधान देता है।

सेकेंट विधि। व्युत्पन्न को एक अनुमानित व्यंजक के साथ प्रतिस्थापित करके न्यूटन की विधि से सेकेंट विधि प्राप्त की जा सकती है - अंतर सूत्र:

फॉर्मूला (3.8) दो पिछले सन्निकटन यू का उपयोग करता है। इसलिए, किसी दिए गए प्रारंभिक मूल्य के लिए, अगले सन्निकटन की गणना करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, सूत्र द्वारा व्युत्पन्न के अनुमानित प्रतिस्थापन के साथ न्यूटन विधि द्वारा

सेकेंड विधि का एल्गोरिदम:

1) प्रारंभिक मान और त्रुटि दी गई है। गणना करना

2) के लिए एन= 1,2, ….. जबकि शर्त संतुष्ट है, हम सूत्र (3.8) द्वारा गणना करते हैं।

समस्या का निरूपण

जड़ पृथक्करण

जड़ शोधन

1.2.3.2. पुनरावृत्ति विधि

1.2.3.4. राग विधि

समस्या का निरूपण

बीजीय समीकरण

( 1.2.1-1)

ट्रान्सेंडैंटल समीकरण

(1.2.1-2)

जड़ों का पुनरावृत्त शोधन।

जड़ों को अलग करने के चरण में, सबसे कम संभव खंड खोजने की समस्या हल हो जाती है, जिसमें समीकरण की एक और केवल एक जड़ होती है।

रूट शोधन चरण का उद्देश्य किसी दिए गए सटीकता के साथ रूट के अनुमानित मूल्य की गणना करना है। इस मामले में, रूट के क्रमिक सन्निकटन की गणना के लिए पुनरावृत्त विधियों का उपयोग किया जाता है: x 0 , x 1 , ..., x n , ..., जिसमें प्रत्येक अनुवर्ती सन्निकटन x n+1 की गणना पिछले x n के आधार पर की जाती है। प्रत्येक चरण को एक पुनरावृत्ति कहा जाता है। यदि अनुक्रम x 0 , x 1 , ..., x n , … के रूप में n ® की सीमा मूल के मान के बराबर है, तो पुनरावृत्ति प्रक्रिया को अभिसरण कहा जाता है।

जड़ों को अलग और परिष्कृत करने के कई तरीके हैं, जिनकी चर्चा हम नीचे करेंगे।

जड़ पृथक्करण

समीकरण का मूल f(x)=0 खंड पर अलग (स्थानीयकृत) माना जाता है यदि इस खंड पर इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं। समीकरण की जड़ों को अलग करने के लिए, फ़ंक्शन f(x) के स्वीकार्य मानों की सीमा को काफी संकीर्ण खंडों में विभाजित करना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक में केवल एक रूट होता है। अस्तित्व ग्राफिकतथा विश्लेषणात्मकजड़ पृथक्करण के तरीके।

जड़ शोधन

खंड द्वारा अलग की गई सटीकता के साथ समीकरण की जड़ को परिष्कृत करने का कार्य मूल के ऐसे अनुमानित मूल्य को खोजना है जिसके लिए असमानता . यदि समीकरण में एक नहीं, बल्कि कई जड़ें हैं, तो प्रत्येक अलग किए गए मूल के लिए शोधन चरण किया जाता है।

आधा विभाजन विधि

समीकरण f(x)=0 के मूल को खंड पर अलग होने दें, अर्थात, इस खंड पर एक ही मूल है, और इस खंड पर कार्य निरंतर है।

द्विभाजन विधि आपको नेस्टेड खंडों , , …,,… का अनुक्रम प्राप्त करने की अनुमति देती है, जैसे कि f(a i).f(b i)< 0 , जहां i=1,2,…,n, और प्रत्येक बाद के खंड की लंबाई पिछले एक की लंबाई की आधी है:

रूट के अज्ञात मान के आस-पास खंड का अनुक्रमिक संकुचन कुछ चरणों में निष्पादन सुनिश्चित करता है एनअसमानताएं |बी एन - ए एन |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

मूल के अनुमानित मान के रूप में लिया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इसका मध्यबिंदु

द्विभाजन विधि में, पुनरावृति से पुनरावृत्ति तक, प्रारंभिक खंड की लंबाई लगातार आधे से कम हो जाती है (चित्र 1.2.3-1)। इसलिए, nवें चरण में, परिणाम की त्रुटि का निम्नलिखित अनुमान मान्य है:

( 1.2.3-1)

जहां रूट का सटीक मान है, x n n वें चरण पर रूट का अनुमानित मान है।

दी गई सटीकता के साथ परिणामी त्रुटि अनुमान की तुलना करते हुए, हम आवश्यक चरणों की संख्या का अनुमान लगा सकते हैं:

(1.2.3-2)

यह सूत्र से देखा जा सकता है कि मूल्य में कमी इ(सटीकता में वृद्धि) गणना की मात्रा में उल्लेखनीय वृद्धि की ओर जाता है, इसलिए, व्यवहार में, अर्ध-विभाजन विधि का उपयोग जड़ की अपेक्षाकृत खुरदरी खोज के लिए किया जाता है, और इसका और शोधन अन्य, अधिक कुशल तरीकों का उपयोग करके किया जाता है। .

चावल। 1.2.3-2. द्विभाजन विधि एल्गोरिथ्म की योजना

द्विभाजन एल्गोरिथ्म की योजना अंजीर में दिखाई गई है। 1.2.3-2. उपरोक्त एल्गोरिथ्म मानता है कि समीकरण f(x) के बाईं ओर एक सॉफ्टवेयर मॉड्यूल के रूप में डिज़ाइन किया गया है।

उदाहरण 1.2.3-1। समीकरण x 3 +x-1=0 के मूल को =0.1 की सटीकता के साथ निर्दिष्ट करें, जो खंड पर स्थानीयकृत है।

परिणाम तालिका 1.2.3-3 का उपयोग करके आसानी से प्रस्तुत किए जाते हैं।

तालिका 1.2.3-3

क	एक	बी	च (ए)	च (बी)	(ए+बी)/2	च ((ए+बी)/2)	एक को	बी के
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

चौथे पुनरावृत्ति के बाद, खंड की लंबाई |b 4 -a 4 | = |0.688-0.625| = 0.063 मान से कम हो गया है इ, इसलिए, रूट के अनुमानित मूल्य के लिए, आप इस खंड के मध्य का मान ले सकते हैं: x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0.656 .

x = 0.656 बिंदु पर फलन f(x) का मान f(0.656) = -0.062 . है .

पुनरावृत्ति विधि

पुनरावृत्ति विधि में समीकरण f(x)=0 को समतुल्य समीकरण x=j(x) से बदलना शामिल है। यदि समीकरण के मूल को खंड पर अलग किया जाता है, तो प्रारंभिक सन्निकटन x 0 н के आधार पर,आप रूट के सन्निकटन का क्रम प्राप्त कर सकते हैं

एक्स 1 \u003d जे (एक्स 0), एक्स 2 \u003d जे (एक्स 1), ..., , ( 1.2.3-3)

जहाँ फलन j(x) को पुनरावृत्त फलन कहा जाता है।

सरल पुनरावृत्ति विधि के लिए अभिसरण की स्थिति निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है।

जड़ देंएक्स* समीकरणएक्स = जे (एक्स) एक खंड पर अलगऔर नियम के अनुसार सन्निकटन के अनुक्रम का निर्माण कियाएक्स एन \u003d जे (एक्स एन -1) . फिर यदि अनुक्रम के सभी सदस्यएक्स एन = जे (एक्स एन -1) н और ऐसा हैक्यू(0 कि सबके लिएएक्स प्रदर्शन किया|जे'(एक्स)| = क्यू<1, तो यह क्रम अभिसारी है और अनुक्रम की सीमा मूल का मान हैएक्स* , अर्थात। प्रारंभिक सन्निकटन की परवाह किए बिना पुनरावृत्ति प्रक्रिया समीकरण की जड़ में परिवर्तित हो जाती है।

इस प्रकार, यदि पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण की शर्त संतुष्ट है, तो अनुक्रम x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ,…, सूत्र x n +1 = j(x n) का उपयोग करके प्राप्त किया गया है। ), जड़ के सटीक मान में परिवर्तित हो जाता है:

xн के लिए शर्त j(x)н का अर्थ है कि सभी सन्निकटन x 1 , x 2 , …, x n ,…, पुनरावृत्त सूत्र द्वारा प्राप्त, उस खंड से संबंधित होना चाहिए जहां रूट अलग किया गया है।

पुनरावृत्ति विधि की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, शर्त

प्रति संख्या क्यूसबसे बड़ा मान ले सकते हैं |j"(x)| , और पुनरावृत्तियों की प्रक्रिया असमानता तक जारी रहनी चाहिए

(1.2.3-5)

व्यवहार में, एक सरलीकृत त्रुटि अनुमान सूत्र का अक्सर उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि 0

|एक्स एन -1 - एक्स एन | £.

पुनरावृत्त सूत्र x n +1 = j(x n) का उपयोग करके आप किसी भी डिग्री सटीकता के साथ समीकरण f(x)=0 के मूल का मान प्राप्त कर सकते हैं .

पुनरावृति विधि का ज्यामितीय चित्रण. X0Y तल पर, हम फलन y=x और y=j(x .) के आलेखों को आलेखित करते हैं ). समीकरण x=j(x) का मूल फलन y = j(x) के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है ) और प्रत्यक्ष y=x. आइए कुछ प्रारंभिक सन्निकटन x 0 н लेते हैं। वक्र y \u003d j (x) पर यह बिंदु A 0 \u003d j (x 0) से मेल खाता है। अगले सन्निकटन को खोजने के लिए, बिंदु A 0 से सीधी रेखा y \u003d x (बिंदु B 1) के साथ चौराहे तक एक सीधी क्षैतिज रेखा खींचें और वक्र (बिंदु A 1) के साथ चौराहे के लंबवत को कम करें, अर्थात, एक्स 1 \u003d जे (एक्स 0) . इसी तरह निर्माण को जारी रखते हुए, हमारे पास एक टूटी हुई रेखा ए 0, बी 1, ए 1, बी 2, ए 2 ... .., x n ("सीढ़ी") से रूट X* तक। अंजीर से। 1.2.3-3a यह देखा जा सकता है कि प्रक्रिया समीकरण के मूल में परिवर्तित हो जाती है।

अब वक्र y = j(x) के दूसरे रूप पर विचार करें (चित्र 1.2.6b)। इस स्थिति में, टूटी हुई रेखा A 0 , B 1 , A 1 , B 2 , A 2 ... में एक "सर्पिल" का रूप होता है। हालाँकि, इस मामले में, अभिसरण भी देखा जाता है।

यह देखना आसान है कि पहले मामले में व्युत्पन्न 0 . की स्थिति को संतुष्ट करता है< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>-एक। इस प्रकार, यह स्पष्ट है कि यदि |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню.

अब उन मामलों पर विचार करें जहां |j'(x) |> 1. अंजीर में। 1.2.3-4a मामले को दिखाता है जब j'(x)>1, और अंजीर में। 1.2.3-4b - जब j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण में सुधार करने के तरीके. समीकरण f(x) से x=j(x) में संक्रमण में फलन j(x) को निरूपित करने के लिए दो विकल्पों पर विचार करें।

1. मान लें कि फ़ंक्शन j(x) रूट के पड़ोस में अवकलनीय और एकरस है, और एक संख्या k £ |j'(x)| होने दें, जहां k 1 (यानी, प्रक्रिया अलग हो जाती है)। आइए हम समीकरण x=j(x) को इसके समकक्ष समीकरण x=Y(x .) से बदलें ) , कहाँ पे वाई (एक्स) = 1/जे (एक्स)(चलो उलटा कार्य पर चलते हैं)। फिर

जिसका अर्थ है q=1/k< 1 и процесс будет сходиться.

2. हम फलन j(x) को j(x) = x - lf(x) के रूप में निरूपित करते हैं, जहाँ l गुणांक है , बराबर नहीं

शून्य। अभिसरण की प्रक्रिया के लिए, यह आवश्यक है कि
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), जहाँ m 1 और M 1 н के लिए f'(x) (m 1 =min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|) के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं, अर्थात्। 0£ मी 1 £ f¢(x) £ M 1 £1। फिर

और प्रक्रिया अभिसरण होगी, पुनरावर्ती सूत्र का रूप है

अगर f¢(x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

पैरामीटर λ भी नियम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

यदि , तो , और यदि , तो , कहाँ .

पुनरावृत्ति विधि के एल्गोरिथ्म की योजना अंजीर में दिखाई गई है। 1.2.3-5.

मूल समीकरण f(x)=0 को पुनरावृत्तियों के लिए सुविधाजनक रूप में बदल दिया गया है: मूल समीकरण f(x) के बाईं ओर और एल्गोरिथम में पुनरावृत्त फ़ंक्शन fi(x) को अलग सॉफ़्टवेयर मॉड्यूल के रूप में डिज़ाइन किया गया है।

चावल। 1.2.3-5. पुनरावृत्ति विधि एल्गोरिथम आरेख

उदाहरण 1.2.3-2। समीकरण 5x - 8∙ln(x) - 8 =0 के मूल को 0.1 की सटीकता के साथ परिशोधित करें, जो खंड पर स्थानीयकृत है।

हम समीकरण को पुनरावृत्तियों के लिए सुविधाजनक रूप में लाते हैं:

इसलिए, समीकरण के मूल के अनुमानित मान के लिए, हम x 3 =3.6892 का मान लेते हैं, जो गणना की आवश्यक सटीकता प्रदान करता है। इस बिंदु पर f(x 3)=0.0027.

राग विधि

तार विधि की ज्यामितीय व्याख्याइस प्रकार है
(चित्र 1.2.3-8)।

आइए अंक ए और बी के माध्यम से एक सीधी रेखा खंड बनाएं। अगला सन्निकटन x 1 0x अक्ष के साथ जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है। आइए एक सीधी रेखा खंड के समीकरण का निर्माण करें:

चलो y = 0 डालते हैं और मान x = x 1 (एक और सन्निकटन) पाते हैं:

हम रूट का अगला सन्निकटन प्राप्त करने के लिए गणना प्रक्रिया दोहराते हैं - x 2 :

हमारे मामले में (चित्र 1.2.11) और कॉर्ड विधि का परिकलन सूत्र इस तरह दिखेगा

यह सूत्र तब मान्य होता है जब बिंदु b को एक निश्चित बिंदु के रूप में लिया जाता है, और बिंदु a प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है।

एक अन्य मामले पर विचार करें (चित्र 1.2.3-9), जब .

इस मामले के लिए सीधी रेखा समीकरण का रूप है

अगला सन्निकटन x 1 y = 0 . पर

फिर इस मामले के लिए जीवा की विधि के लिए पुनरावर्ती सूत्र का रूप है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जीवा विधि में निश्चित बिंदु के लिए, खंड का अंत चुना जाता है जिसके लिए शर्त f (x) f¢¢ (x)>0 संतुष्ट होती है।

इस प्रकार, यदि बिंदु a को एक निश्चित बिंदु के रूप में लिया जाता है , तब x 0 = b प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है, और इसके विपरीत।

जीवाओं के सूत्र का उपयोग करके समीकरण f(x)=0 के मूल की गणना सुनिश्चित करने वाली पर्याप्त स्थितियां स्पर्शरेखा विधि (न्यूटन की विधि) के समान होंगी, लेकिन प्रारंभिक सन्निकटन के बजाय, एक निश्चित बिंदु चुना जाता है। राग विधि न्यूटन की विधि का एक संशोधन है। अंतर यह है कि न्यूटन विधि में अगला सन्निकटन 0X अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु है, और जीवा की विधि में - 0X अक्ष के साथ जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदु - सन्निकटन से जड़ तक अभिसरण होता है विभिन्न पक्ष।

कॉर्ड विधि की त्रुटि का अनुमान व्यंजक द्वारा निर्धारित किया जाता है

(1.2.3-15)

जीवाओं की विधि द्वारा पुनरावृत्ति प्रक्रिया की समाप्ति की स्थिति

(1.2.3-16)

अगर एम 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ इ।

उदाहरण 1.2.3-4। 10 -4 की सटीकता के साथ एक खंड पर अलग किए गए समीकरण e x - 3x = 0 के मूल को निर्दिष्ट करें।

आइए अभिसरण की स्थिति की जाँच करें:

इसलिए, a=0 को एक निश्चित बिंदु के रूप में चुना जाना चाहिए, और x 0 \u003d 1 को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में लिया जाना चाहिए, क्योंकि f (0) \u003d 1> 0 और f (0) * f "(0)> 0 .

सूत्र का उपयोग करके प्राप्त गणना परिणाम
1.2.3-14 तालिका 1.2.3-4 में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका 1.2.3-4

चावल। 1.2.3-10. तार विधि एल्गोरिथ्म की योजना

अरैखिक समीकरण है

1) बीजीय या अनुवांशिक समीकरण

2) बीजीय समीकरण

3) त्रिकोणमितीय समीकरण

4) ट्रान्सेंडैंटल समीकरण

विषय 1.2. अरैखिक समीकरणों को हल करने के तरीके

समस्या का निरूपण

जड़ पृथक्करण

1.2.2.1. जड़ों का ग्राफिक पृथक्करण

1.2.2.2. जड़ों की विश्लेषणात्मक शाखा

जड़ शोधन

1.2.3.1. आधा विभाजन विधि

1.2.3.2. पुनरावृत्ति विधि

1.2.3.3. न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि)

1.2.3.4. राग विधि

1.2.3.5. अरैखिक समीकरणों को हल करने की विधियों की तुलना

1.2.4. "गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के तरीके" विषय पर परीक्षण कार्य

समस्या का निरूपण

गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण और सबसे आम समस्याओं में से एक अज्ञात के साथ एक समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने की समस्या है, जिसे सामान्य रूप में f(x) = 0 के रूप में दर्शाया जा सकता है। फ़ंक्शन के रूप के आधार पर f( x), बीजीय और अनुवांशिक समीकरण प्रतिष्ठित हैं। बीजीय समीकरणवे समीकरण कहलाते हैं जिनमें फलन f(x) का मान nवें अंश का बहुपद है:

f (x) \u003d P (x) \u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0। ( 1.2.1-1)

कोई भी गैर-बीजीय समीकरण कहलाता है ट्रान्सेंडैंटल समीकरण. ऐसे समीकरणों में फलन f(x) निम्न में से कम से कम एक कार्य है: घातांक, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, या प्रतिलोम त्रिकोणमितीय।

समीकरण f (x) \u003d 0 का हल जड़ों का समुच्चय है, अर्थात स्वतंत्र चर के ऐसे मान जिनके लिए समीकरण एक पहचान में बदल जाता है। हालांकि, कुछ प्रकार के समीकरणों के लिए जड़ों का सटीक मान केवल विश्लेषणात्मक रूप से पाया जा सकता है। विशेष रूप से, बीजीय समीकरण के हल को व्यक्त करने वाले सूत्र केवल उन समीकरणों के लिए प्राप्त किए जा सकते हैं जो चौथी डिग्री से अधिक नहीं हैं। ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों का सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए और भी कम अवसर हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जड़ों के सटीक मूल्यों को खोजने की समस्या हमेशा सही नहीं होती है। इसलिए, यदि समीकरण के गुणांक अनुमानित संख्याएं हैं, तो जड़ों के परिकलित मूल्यों की सटीकता निश्चित रूप से मूल डेटा की सटीकता से अधिक नहीं हो सकती है। ये परिस्थितियाँ हमें सीमित सटीकता (अनुमानित मूल) के साथ समीकरण की जड़ों को खोजने की संभावना पर विचार करने के लिए मजबूर करती हैं।

किसी दिए गए सटीकता (> 0) के साथ एक समीकरण की जड़ को खोजने की समस्या को हल माना जाता है यदि एक अनुमानित मूल्य की गणना की जाती है, जो मूल के सटीक मूल्य से अधिक नहीं से भिन्न होता है ई

(1.2.1-2)

समीकरण के अनुमानित मूल को खोजने की प्रक्रिया में दो चरण होते हैं:

1) जड़ों का पृथक्करण (जड़ों का स्थानीयकरण);

वे समीकरण जिनमें अज्ञात फलन होते हैं जो एक से अधिक घात तक बढ़ाए जाते हैं, अरैखिक कहलाते हैं।
उदाहरण के लिए, y=ax+b एक रैखिक समीकरण है, x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 गैर-रैखिक है (आमतौर पर F(x)=0 के रूप में लिखा जाता है)।

गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली एक या अधिक चर के साथ कई गैर-रेखीय समीकरणों का एक साथ समाधान है।

कई तरीके हैं अरेखीय समीकरणों को हल करनाऔर गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियाँ, जिन्हें आमतौर पर 3 समूहों में वर्गीकृत किया जाता है: संख्यात्मक, चित्रमय और विश्लेषणात्मक। विश्लेषणात्मक तरीके समीकरणों के समाधान के सटीक मूल्यों को निर्धारित करना संभव बनाते हैं। ग्राफिकल तरीके सबसे कम सटीक होते हैं, लेकिन जटिल समीकरणों में सबसे अनुमानित मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं, जिससे भविष्य में आप समीकरणों के अधिक सटीक समाधान खोजना शुरू कर सकते हैं। गैर-रैखिक समीकरणों के संख्यात्मक समाधान में दो चरणों से गुजरना शामिल है: जड़ का पृथक्करण और एक निश्चित निर्दिष्ट सटीकता के लिए इसका शोधन।
जड़ों का पृथक्करण विभिन्न तरीकों से किया जाता है: ग्राफिक रूप से, विभिन्न विशेष कंप्यूटर प्रोग्रामों का उपयोग करके, आदि।

आइए एक विशिष्ट सटीकता के साथ जड़ों को परिष्कृत करने के कई तरीकों पर विचार करें।

पुनरावृत्ति संख्या

च (एक्स 1 )

|एक्स-एक्स 1 |

आधा विभाजन विधि।

आधा विभाजन विधि का सार अंतराल को आधा (с=(a+b)/2) में विभाजित करना और अंतराल के उस हिस्से को त्यागना है जिसमें कोई जड़ नहीं है, यानी। शर्त एफ (ए) एक्सएफ (बी)

चित्र एक। अरैखिक समीकरणों को हल करने में अर्ध विभाजन विधि का प्रयोग करना।

एक उदाहरण पर विचार करें।

आइए खंड को 2 भागों में विभाजित करें: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0.5.
यदि उत्पाद F(a)*F(x)>0, तो खंड a की शुरुआत x (a=x) में स्थानांतरित हो जाती है, अन्यथा, खंड b का अंत बिंदु x (b=x) पर स्थानांतरित हो जाता है ) हम परिणामी खंड को फिर से आधे में विभाजित करते हैं, आदि। सभी गणना नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं।

रेखा चित्र नम्बर 2। गणना परिणाम तालिका

गणना के परिणामस्वरूप, हम आवश्यक सटीकता को ध्यान में रखते हुए, x=-0.946 . के बराबर मान प्राप्त करते हैं

राग विधि।

कॉर्ड विधि का उपयोग करते समय, एक खंड निर्दिष्ट किया जाता है, जिसमें निर्दिष्ट सटीकता के साथ केवल एक रूट होता है ई। खंड a और b में बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा (तार) खींची जाती है, जिसमें निर्देशांक होते हैं (x(F(a); y(F(b)))। अगला, भुज अक्ष के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु (बिंदु z) निर्धारित किया जाता है।
अगर एफ (ए) एक्सएफ (जेड)

चित्र 3. गैर-रैखिक समीकरणों को हल करने में जीवाओं की विधि का उपयोग करना।

एक उदाहरण पर विचार करें।समीकरण x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 को e . के भीतर हल करना आवश्यक है

सामान्य तौर पर, समीकरण इस तरह दिखता है: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

खंड के सिरों पर F(x) का मान ज्ञात कीजिए:

एफ(-1) = - 0.2>0;

आइए दूसरे व्युत्पन्न F''(x) = 6x-0.4 को परिभाषित करें।

एफ ''(-1)=-6.4
एफ ''(0)=-0.4

खंड के सिरों पर, स्थिति F(-1)F''(-1)>0 देखी जाती है, इसलिए, समीकरण की जड़ निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

सभी गणना नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं।

चित्र 4. गणना परिणाम तालिका

स्पर्शरेखा विधि (न्यूटन)

यह विधि ग्राफ़ पर स्पर्शरेखाओं के निर्माण पर आधारित है, जो अंतराल के किसी एक छोर पर खींची जाती हैं। X-अक्ष (z1) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पर, एक नई स्पर्शरेखा बनाई जाती है। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक प्राप्त मान वांछित सटीकता पैरामीटर e (F(zi) के साथ तुलनीय नहीं हो जाता है।

चित्र 5. अरेखीय समीकरणों को हल करने में स्पर्शरेखा (न्यूटन) की विधि का उपयोग करना।

एक उदाहरण पर विचार करें।समीकरण x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 को e . के भीतर हल करना आवश्यक है

सामान्य तौर पर, समीकरण इस तरह दिखता है: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

आइए पहले और दूसरे डेरिवेटिव को परिभाषित करें: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

एफ ''(-1)=-6-0.4=-6.4
एफ ''(0)=-0.4
शर्त F(-1)F''(-1)>0 पूरी होती है, इसलिए गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

जहाँ x0=b, F(a)=F(-1)=-0.2

सभी गणना नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं।

चित्र 6. गणना परिणाम तालिका

अरैखिक समीकरण के मूल ज्ञात करने की समस्या पर विचार करें

एफ (ए) * एफ (बी)<0 (2)

वास्तविक गुणांक कहां हैं।

a) डिग्री n के समीकरण की n जड़ें होती हैं, जिनमें वास्तविक और जटिल दोनों हो सकते हैं। जटिल जड़ें जटिल संयुग्म युग्म बनाती हैं और इसलिए, समीकरण में ऐसे मूलों की संख्या सम होती है। n के विषम मान के लिए, कम से कम एक वास्तविक मूल है।
बी) सकारात्मक वास्तविक जड़ों की संख्या गुणांक के अनुक्रम में चर संकेतों की संख्या से कम या उसके बराबर है। समीकरण (3) में x को -x से बदलने पर आप उसी तरह ऋणात्मक मूलों की संख्या का अनुमान लगा सकते हैं। पुनरावृत्ति न्यूटन द्विभाजन अरैखिक

या अवशिष्ट की लघुता:

विभाग: एएसओआईआईयू

प्रयोगशाला कार्य

विषय पर: एक गैर-रेखीय समीकरण की जड़ ढूँढना। गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के तरीके

मॉस्को, 2008

एक अरेखीय समीकरण की जड़ ढूँढना

1. समस्या का विवरण

मान लीजिए कि एक फलन दिया गया है जो अपने कई व्युत्पन्नों के साथ निरंतर है। समीकरण के सभी या कुछ वास्तविक मूल ज्ञात करना आवश्यक है

यह कार्य कई उप-कार्यों में विभाजित है। सबसे पहले, जड़ों की संख्या निर्धारित करना, उनकी प्रकृति और स्थान की जांच करना आवश्यक है। दूसरा, जड़ों का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए। तीसरा, उनमें से हमारे लिए रुचि की जड़ें चुनें और आवश्यक सटीकता के साथ उनकी गणना करें ई। पहले और दूसरे कार्य, एक नियम के रूप में, विश्लेषणात्मक या चित्रमय तरीकों से हल किए जाते हैं। मामले में जब समीकरण (1) की केवल वास्तविक जड़ों की तलाश की जाती है, तो फ़ंक्शन मानों की एक तालिका संकलित करना उपयोगी होता है। यदि तालिका के दो पड़ोसी नोड्स में फ़ंक्शन के अलग-अलग संकेत हैं, तो इन नोड्स के बीच समीकरण की जड़ों की एक विषम संख्या (कम से कम एक) निहित है। यदि ये नोड्स करीब हैं, तो सबसे अधिक संभावना है कि उनके बीच केवल एक ही जड़ है।

जड़ों के अनुमानित अनुमानित मूल्यों को विभिन्न पुनरावृत्त विधियों का उपयोग करके परिष्कृत किया जा सकता है। आइए तीन विधियों पर विचार करें: 1) द्विभाजन की विधि (या खंड को आधे में विभाजित करना); 2) सरल पुनरावृत्ति विधि; और 3) न्यूटन की विधि।

2. समस्या को हल करने के तरीके

2.1 किसी खंड को आधे में विभाजित करने की विधि

अरैखिक समीकरण (1) का मूल ज्ञात करने की सबसे सरल विधि अर्ध विभाजन विधि है।

बता दें कि खंड पर एक सतत कार्य दिया जाता है यदि खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों में अलग-अलग संकेत होते हैं, अर्थात। तो इसका मतलब है कि दिए गए खंड के अंदर विषम संख्या में मूल हैं। चलो, निश्चितता के लिए, केवल एक जड़ है। विधि का सार प्रत्येक पुनरावृत्ति पर खंड की लंबाई को आधा करना है। हम खंड का मध्य पाते हैं (चित्र 1 देखें)। फ़ंक्शन के मान की गणना करें और उस सेगमेंट का चयन करें जिस पर फ़ंक्शन अपना चिह्न बदलता है। नए खंड को फिर से आधे में विभाजित करें। और हम इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि खंड की लंबाई रूट ई की गणना में पूर्व निर्धारित त्रुटि के बराबर न हो। सूत्र (3) के अनुसार कई क्रमिक सन्निकटनों का निर्माण चित्र 1 में दिखाया गया है।

तो, द्विभाजन विधि का एल्गोरिथ्म:

1. दूरी और त्रुटि सेट करें ई।

2. यदि f(a) और f(b) में समान चिन्ह हैं, तो मूल को खोजने और रुकने की असंभवता के बारे में एक संदेश जारी करें।

चित्र एक। f(x)=0 रूप के समीकरण को हल करने के लिए एक खंड को आधे में विभाजित करने की विधि।

3. अन्यथा c=(a+b)/2 . की गणना करें

4. यदि f(a) और f(c) के अलग-अलग चिह्न हैं, तो b=c लगाएं, अन्यथा a=c.

5. यदि नए खंड की लंबाई है, तो मूल c=(a+b)/2 के मान की गणना करें और रुकें, अन्यथा चरण 3 पर जाएं।

चूंकि खंड की लंबाई एन चरणों में 2 एन गुना कम हो जाती है, रूट ई खोजने में दी गई त्रुटि पुनरावृत्तियों में पहुंच जाएगी।

जैसा कि देखा जा सकता है, अभिसरण की दर कम है, लेकिन विधि के लाभों में पुनरावृत्ति प्रक्रिया की सादगी और बिना शर्त अभिसरण शामिल हैं। यदि खंड में एक से अधिक मूल (लेकिन एक विषम संख्या) हैं, तो एक हमेशा मिलेगा।

टिप्पणी। उस अंतराल को निर्धारित करने के लिए जिसमें मूल निहित है, फ़ंक्शन के एक अतिरिक्त विश्लेषण की आवश्यकता होती है, जो या तो विश्लेषणात्मक अनुमानों के आधार पर या ग्राफिकल समाधान विधि के उपयोग पर आधारित होता है। फ़ंक्शन साइन-चेंजिंग स्थिति पूरी होने तक विभिन्न बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की खोज को व्यवस्थित करना भी संभव है

2.2 सरल पुनरावृत्ति विधि

इस पद्धति का उपयोग करते समय, मूल अरैखिक समीकरण (1) को फ़ॉर्म में फिर से लिखा जाना चाहिए

आइए इस समीकरण के मूल को C * के रूप में निरूपित करें। बता दें कि मूल का प्रारंभिक सन्निकटन ज्ञात है। इस मान को समीकरण (2) के दाईं ओर रखने पर, हमें एक नया सन्निकटन प्राप्त होता है

आदि। (n+1)-चरण के लिए, हम निम्नलिखित सन्निकटन प्राप्त करते हैं:

(3)

इस प्रकार, सूत्र (3) के अनुसार, हमें एक अनुक्रम С 0 , С 1 ,…,С n +1 प्राप्त होता है, जो n®¥ पर मूल С * की ओर जाता है। यदि दो क्रमिक पुनरावृत्तियों के परिणाम निकट हैं, अर्थात, स्थिति . तो पुनरावृत्ति प्रक्रिया रुक जाती है

(4)

आइए n®¥ के लिए संख्यात्मक अनुक्रम (C n ) के अभिसरण की स्थिति और दर का अध्ययन करें। अभिसरण की दर की परिभाषा को याद करें। एक अनुक्रम (C n ) सीमा तक अभिसरण करता है С * में क्रम के अभिसरण की दर होती है यदि, n®¥ के लिए, स्थिति

मान लेते हैं कि इसका एक सतत अवकलज है, तो (n+1)-वें पुनरावृति चरण e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C *) पर त्रुटि का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है एक श्रृंखला के रूप में

ई एन+1 »सी एन+1 - सी * = जी¢(सी *) (सी एन-सी *) +¼@ जी¢(सी *) ई एन +¼

इस प्रकार, हम इसे इस शर्त के तहत प्राप्त करते हैं

çg¢(सी *) ç<1(6)

अनुक्रम (3) एक रेखीय गति a=1 के साथ जड़ में अभिसरण करेगा। शर्त (6) सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए एक शर्त है। जाहिर है, विधि की सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि फ़ंक्शन को कितनी अच्छी तरह चुना गया है।

उदाहरण के लिए, वर्गमूल निकालने के लिए, यानी, x \u003d a 2 के रूप के समीकरण को हल करें, आप डाल सकते हैं

एक्स \u003d जी 1 (एक्स) \u003d ए / एक्स (7 ए)

x=g 2 (x)=(x+a/x)/2.(7b)

यह दिखाना आसान है कि

½ जी 1" (सी) ½ = 1,

आधा ग्राम 2" (सी) ½<1.

इस प्रकार, पहली प्रक्रिया (7a) बिल्कुल भी अभिसरण नहीं करती है, जबकि दूसरी (7b) किसी भी प्रारंभिक सन्निकटन C 0>0 के लिए अभिसरण करती है।

चावल। 2. फॉर्म x=g(x) के समीकरण को हल करने के लिए सरल पुनरावृत्तियों की विधि की आलेखीय व्याख्या।

सूत्र द्वारा कई क्रमिक सन्निकटनों का निर्माण (3)

0 , 1 ,…, n = सी *

चित्र 2 में दिखाया गया है।

2.3 न्यूटन की विधि

साहित्य में, इस पद्धति को अक्सर स्पर्शरेखा विधि कहा जाता है, साथ ही रैखिककरण विधि भी। हम प्रारंभिक सन्निकटन С 0 चुनते हैं। आइए मान लें कि मूल * के वास्तविक मान से विचलन 0 छोटा है, फिर, बिंदु 0 पर f(C *) को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एफ (सी *) = एफ (सी 0) + एफ¢ (सी 0) (सी * -सी 0) +¼(8)

यदि f¢(C 0) 0 , तो (8) में हम स्वयं को DC =C-C 0 में रैखिक पदों तक सीमित कर सकते हैं। यह मानते हुए कि f(C *)=0, (9) से हम मूल के लिए निम्नलिखित सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं

सी 1 \u003d सी 0 - एफ (सी 0) / एफ¢ (सी 0)

या (n+1)वें सन्निकटन के लिए

सी एन + 1 = सी एन - एफ (सी एन) / एफ ¢ (सी एन) (9)

पुनरावृत्त प्रक्रिया को समाप्त करने के लिए, दो स्थितियों में से एक का उपयोग किया जा सकता है

çसी एन +1 – सी एन ç

çf(सी एन +1) ç

न्यूटन की विधि के अभिसरण का अध्ययन पिछले मामले की तरह ही किया जाता है। इस शर्त के तहत स्वतंत्र रूप से प्राप्त करें

½f""(सी)/2f"(सी)½<1.

न्यूटन की विधि में द्विघात अभिसरण दर () है।

चावल। 3. f(x)=0 के रूप के समीकरण को हल करने के लिए न्यूटन की विधि की चित्रमय व्याख्या।

सूत्र द्वारा कई क्रमिक सन्निकटनों की रचना (9)

0 , 1 ,…, n = सी *

चित्र 3 में दिखाया गया है।

1. किसी दिए गए फलन के लिए f(x)

समीकरण f(x)=0 की वास्तविक जड़ों की संख्या निर्धारित करें, उनका स्थान और अनुमानित मान (एक ग्राफ बनाएं या मूल्यों की एक तालिका प्रिंट करें)।

· e=0.5*10 -3 की सटीकता के साथ पाए गए जड़ों (कोई भी) में से एक की गणना करें।

गणना के लिए, खंड को आधे में विभाजित करने की विधि का उपयोग करें (पुनरावृत्तियों की संख्या निर्धारित करें), और फिर न्यूटन की विधि (पुनरावृत्ति चरणों की संख्या का निर्धारण) का उपयोग करके उसी मूल को खोजें।

अपने परिणामों की तुलना करें।

कार्य विकल्प

1.x3 -3x 2 +6x - 5 = 0 2.x3 +sinx -12x-1=0

3. x 3 -3x 2-14x - 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0

5. x 2 +4sin x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5

7. x 6 -3x 2 +x - 1 = 0 8. x 3 - 0.1x 2 +0.3x -0.6 = 0

9.10. (x -1) 3 + 0.5e x = 0

11.12.x5 -3x2 + 1 = 0

13. x 3 -4x 2 -10x -10 = 0 14.

15. 16.

19. 20.

23. 24. x 4 - 2.9x 3 +0.1x 2 + 5.8x - 4.2=0

25.x4 +2.83x3 - 4.5x2 -64x-20=0 26.

गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के तरीके

1. समस्या का निरूपण

मान लीजिए कि n गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है:

(1)

सिस्टम (1) को हल करने के लिए कोई सीधा तरीका नहीं है। केवल कुछ मामलों में ही इस प्रणाली को सीधे हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो समीकरणों के मामले में, कभी-कभी एक अज्ञात चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करना संभव होता है और इस प्रकार एक अज्ञात के संबंध में एक गैर-रेखीय समीकरण को हल करने के लिए समस्या को कम करता है।

समीकरणों की प्रणाली (1) को संक्षेप में वेक्टर रूप में लिखा जा सकता है:

. (2)

समीकरण (2) के डोमेन डी में एक या अधिक जड़ें हो सकती हैं। समीकरण की जड़ों के अस्तित्व को स्थापित करने और इन जड़ों के अनुमानित मूल्यों को खोजने के लिए आवश्यक है। जड़ों को खोजने के लिए, आमतौर पर पुनरावृत्त विधियों का उपयोग किया जाता है, जिसमें प्रारंभिक सन्निकटन का चुनाव मौलिक महत्व का होता है। प्रारंभिक सन्निकटन को कभी-कभी भौतिक विचारों से जाना जाता है। दो अज्ञात के मामले में, प्रारंभिक सन्निकटन ग्राफिक रूप से पाया जा सकता है: वक्र f 1 (x 1 , x 2)=0 और f 2 (x 1 , x 2)=0 को समतल (x 1 , x 2) पर प्लॉट करें। ) और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। तीन या अधिक चर (साथ ही जटिल जड़ों के लिए) के लिए, प्रारंभिक सन्निकटन का चयन करने के लिए कोई संतोषजनक तरीके नहीं हैं।

आइए समीकरणों की प्रणाली (1), (2) को हल करने के लिए दो मुख्य पुनरावृत्ति विधियों पर विचार करें - सरल पुनरावृत्ति विधि और न्यूटन की विधि।

2. अरैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने की विधियाँ

2.1 सरल पुनरावृत्ति विधि

आइए हम प्रणाली (1) को रूप में निरूपित करते हैं

(3)

या वेक्टर रूप में:

(4)

सरल पुनरावृत्ति विधि का एल्गोरिथ्म इस प्रकार है। हम कुछ शून्य सन्निकटन चुनते हैं

अगला सन्निकटन सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

या अधिक विस्तार से:

(5)

पुनरावृत्ति प्रक्रिया (5) तब तक जारी रहती है जब तक कि दो क्रमिक पुनरावृत्तियों में सभी अज्ञात में परिवर्तन छोटे नहीं हो जाते, अर्थात।

व्यवहार में, असमानता का उपयोग अक्सर अंतिम स्थिति के बजाय किया जाता है:

(6)

n-आयामी वेक्टर का rms मानदंड कहाँ है , अर्थात।

इस पद्धति का उपयोग करते समय, सफलता काफी हद तक प्रारंभिक सन्निकटन के एक अच्छे विकल्प द्वारा निर्धारित की जाती है: यह वास्तविक समाधान के काफी करीब होनी चाहिए। अन्यथा, पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण नहीं हो सकती है। यदि प्रक्रिया अभिसरण करती है, तो इसकी अभिसरण की दर रैखिक होती है।

2.2. न्यूटन की विधि

अनुवादित साहित्य में, आप न्यूटन-रैफसन पद्धति का नाम पा सकते हैं। यह विधि सरल पुनरावृत्ति विधि की तुलना में बहुत तेजी से परिवर्तित होती है।

मूल का कुछ सन्निकटन ज्ञात कर लें, ताकि

तब मूल प्रणाली (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक टेलर श्रृंखला में बिंदु के आसपास के क्षेत्र में समीकरण (7) का विस्तार करना और विचलन में रैखिक शर्तों तक खुद को सीमित करना, हम प्राप्त करते हैं:

या समन्वय रूप में:

(8)

सिस्टम (8) को फिर से लिखा जा सकता है:

(9)

परिणामी प्रणाली (9) वेतन वृद्धि के संबंध में रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली है

फलन F 1, F 2,…, F n और (9) में उनके व्युत्पन्नों का मान परिकलित किया जाता है

प्रणाली का निर्धारक (9) जैकोबियन जे है:

(10)

समीकरणों की प्रणाली (9) के एक अद्वितीय समाधान के अस्तित्व के लिए, यह शून्य से अलग होना चाहिए। हल प्रणाली (9) के बाद, उदाहरण के लिए, गॉस विधि द्वारा, हम एक नया सन्निकटन पाते हैं:

हम स्थिति (6) की जांच करते हैं। यदि यह संतुष्ट नहीं है, तो हम एक नए सन्निकटन के साथ जैकोबियन (10) को भी ढूंढते हैं और फिर से हल करते हैं (9), इस प्रकार, हम दूसरा सन्निकटन पाते हैं, और इसी तरह।

शर्त (6) के संतुष्ट होते ही पुनरावृत्तियां रुक जाती हैं।

न्यूटन की विधि का उपयोग करते हुए, दी गई सटीकता के साथ गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजें। पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण की जांच करें।

कार्य विकल्प

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