इस खंड में, हम परिकल्पना की संभावना के परीक्षण से संबंधित मुद्दों में से एक पर विचार करेंगे, अर्थात् सैद्धांतिक और सांख्यिकीय वितरण के बीच स्थिरता का मुद्दा।

मान लें कि किसी दिए गए सांख्यिकीय वितरण को कुछ सैद्धांतिक वक्र द्वारा चपटा किया गया है एफ (एक्स)(चित्र 7.6.1)। कोई फर्क नहीं पड़ता कि सैद्धांतिक वक्र कितनी अच्छी तरह चुना गया है, इसके और सांख्यिकीय वितरण के बीच कुछ विसंगतियां अपरिहार्य हैं। प्रश्न स्वाभाविक रूप से उठता है: क्या ये विसंगतियां केवल सीमित संख्या में टिप्पणियों से जुड़ी यादृच्छिक परिस्थितियों के कारण हैं, या वे महत्वपूर्ण हैं और इस तथ्य से संबंधित हैं कि हमने जो वक्र चुना है वह इस सांख्यिकीय वितरण को ठीक से बराबर नहीं करता है। इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, तथाकथित "सहमति मानदंड" का उपयोग किया जाता है।

यादृच्छिक चर के वितरण के नियम

अच्छाई-की-फिट मानदंड लागू करने के पीछे का विचार इस प्रकार है।

इस सांख्यिकीय सामग्री के आधार पर हमें परिकल्पना का परीक्षण करना है एच,इस तथ्य में शामिल है कि यादृच्छिक चर एक्सकुछ निश्चित वितरण कानून का पालन करता है। यह नियम किसी न किसी रूप में दिया जा सकता है: उदाहरण के लिए, वितरण फलन के रूप में एफ (एक्स)या वितरण घनत्व के रूप में एफ (एक्स),या संभावनाओं के एक सेट के रूप में पी टी,कहाँ पे पीटीई- संभावना है कि मूल्य एक्सभीतर गिर जाएगा मैं कुछस्राव होना।

चूँकि इन रूपों से वितरण फलन होता है एफ (एक्स)सबसे सामान्य है और किसी अन्य को निर्धारित करता है, हम परिकल्पना तैयार करेंगे एच,इस तथ्य में शामिल है कि मूल्य एक्सएक वितरण समारोह है ^(d:)।

एक परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार करने के लिए एच,कुछ मात्रा पर विचार करें तुम,सैद्धांतिक और सांख्यिकीय वितरण के बीच विसंगति की डिग्री की विशेषता। मूल्य यूविभिन्न तरीकों से चुना जा सकता है; उदाहरण के लिए, के रूप में यूकोई सैद्धांतिक संभावनाओं के वर्ग विचलन का योग ले सकता है पीटीईसंगत आवृत्तियों से आर*या कुछ गुणांक ("वजन") के साथ समान वर्गों का योग, या सांख्यिकीय वितरण फ़ंक्शन का अधिकतम विचलन एफ * (एक्स)सैद्धांतिक से एफ (एक्स)आदि मान लेते हैं कि मात्रा यूकिसी न किसी रूप में चुना है। जाहिर है, कुछ है यादृच्छिक मूल्य।इस यादृच्छिक चर का वितरण नियम यादृच्छिक चर के वितरण नियम पर निर्भर करता है एक्स,जिन पर प्रयोग किए गए, और प्रयोगों की संख्या से पी।यदि परिकल्पना एचसत्य है, तो मात्रा का वितरण नियम यूमात्रा के वितरण कानून द्वारा निर्धारित एक्स(समारोह एफ (एक्स))और संख्या पी।

आइए मान लें कि यह वितरण कानून हमें ज्ञात है। प्रयोगों की इस श्रृंखला के परिणामस्वरूप, यह पाया गया कि हमने जो उपाय चुना है

सहमति मानदंड

विसंगतियों यूकुछ मूल्य लिया एक।सवाल यह है कि क्या इसे यादृच्छिक कारणों से समझाया जा सकता है, या क्या यह विसंगति बहुत बड़ी है और सैद्धांतिक और सांख्यिकीय वितरण के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर की उपस्थिति को इंगित करती है और इसलिए, परिकल्पना की अनुपयुक्तता एच?इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मान लीजिए कि परिकल्पना एचसही है, और इस धारणा के तहत हम इस संभावना की गणना करते हैं कि, प्रयोगात्मक सामग्री की अपर्याप्त मात्रा से जुड़े यादृच्छिक कारणों के कारण, विसंगति का माप यूप्रयोग में हमारे द्वारा देखे गए मान से कम नहीं होगा तथा,यानी, हम एक घटना की संभावना की गणना करते हैं:

यदि यह संभावना बहुत कम है, तो परिकल्पना एचबहुत प्रशंसनीय नहीं के रूप में खारिज कर दिया जाना चाहिए; यदि यह संभावना महत्वपूर्ण है, तो यह माना जाना चाहिए कि प्रयोगात्मक डेटा परिकल्पना का खंडन नहीं करते हैं एन।

प्रश्न उठता है कि किस प्रकार से विसंगति के माप को £/ चुना जाना चाहिए? यह पता चला है कि इसे चुनने के कुछ तरीकों के लिए, मात्रा के वितरण का नियम यूबहुत ही सरल गुण हैं और, पर्याप्त रूप से बड़े के लिए पीव्यावहारिक रूप से समारोह से स्वतंत्र एफ (एक्स)।यह विसंगति के ऐसे उपाय हैं जो गणितीय आंकड़ों में समझौते के मानदंड के रूप में उपयोग किए जाते हैं।

आइए समझौते के सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले मानदंडों में से एक पर विचार करें - तथाकथित "मानदंड पर?"पियर्सन।

मान लें कि ऐसे स्वतंत्र प्रयोग हैं, जिनमें से प्रत्येक में यादृच्छिक चर एक्सएक निश्चित मूल्य पर ले लिया। प्रयोगों के परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है कअंक और एक सांख्यिकीय श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।

शून्य(बुनियादी)अज्ञात वितरण के रूप के बारे में या ज्ञात वितरण के मापदंडों के बारे में आगे की परिकल्पना को कॉल करें। प्रतिस्पर्धा (विकल्प)परिकल्पना कहलाती है जो शून्य का खंडन करती है।

उदाहरण के लिए, यदि अशक्त परिकल्पना को यह मान लेना है कि यादृच्छिक चर एक्सकानून के अनुसार वितरित किया जाता है, तो प्रतिस्पर्धी परिकल्पना इस धारणा में शामिल हो सकती है कि यादृच्छिक चर एक्सएक अलग कानून के अनुसार वितरित।

सांख्यिकीय मानदंड(या केवल मापदंड) कुछ यादृच्छिक चर कहा जाता है प्रति, जो शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने का कार्य करता है।

एक निश्चित मानदंड चुनने के बाद, उदाहरण के लिए मानदंड , इसके सभी संभावित मूल्यों के सेट को दो गैर-अतिव्यापी उपसमुच्चय में विभाजित किया जाता है: उनमें से एक में मानदंड मान होते हैं जिसके तहत शून्य परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है, और दूसरा - के तहत जिसे स्वीकार किया जाता है।

महत्वपूर्ण क्षेत्रपरीक्षण मूल्यों का समुच्चय है जिसके लिए अशक्त परिकल्पना अस्वीकृत की जाती है। परिकल्पना की स्वीकृति का क्षेत्र मानदंड के मूल्यों के समूह को कहा जाता है जिसके तहत परिकल्पना को स्वीकार किया जाता है। महत्वपूर्ण बिंदु शून्य परिकल्पना की स्वीकृति के क्षेत्र से महत्वपूर्ण क्षेत्र को अलग करने वाले बिंदु कहलाते हैं।

हमारे उदाहरण के लिए, के मान के साथ, नमूने से परिकलित मान परिकल्पना की स्वीकृति के क्षेत्र से मेल खाता है: यादृच्छिक चर को कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। यदि परिकलित मान , तो यह क्रांतिक क्षेत्र में आता है, अर्थात नियम के अनुसार यादृच्छिक चर के वितरण की परिकल्पना अस्वीकृत हो जाती है।

वितरण के मामले में, महत्वपूर्ण क्षेत्र असमानता से निर्धारित होता है, शून्य परिकल्पना का स्वीकृति क्षेत्र असमानता द्वारा निर्धारित किया जाता है।

2.6.3. अच्छाई मानदंड पियर्सन।

जूटेक्निक और पशु चिकित्सा आनुवंशिकी के कार्यों में से एक आवश्यक विशेषताओं के साथ नई नस्लों और प्रजातियों का प्रजनन है। उदाहरण के लिए, प्रतिरक्षा में वृद्धि, रोग प्रतिरोधक क्षमता, या फर के रंग में बदलाव।

व्यवहार में, परिणामों का विश्लेषण करते समय, यह अक्सर पता चलता है कि वास्तविक परिणाम कमोबेश कुछ सैद्धांतिक वितरण कानून के अनुरूप हैं। वास्तविक (अनुभवजन्य) डेटा और सैद्धांतिक (काल्पनिक) डेटा के बीच पत्राचार की डिग्री का आकलन करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, एक अशक्त परिकल्पना सामने रखें: परिणामी जनसंख्या कानून "ए" के अनुसार वितरित की जाती है। प्रस्तावित वितरण कानून के बारे में परिकल्पना का सत्यापन एक विशेष रूप से चयनित यादृच्छिक चर - अच्छाई-की-फिट मानदंड का उपयोग करके किया जाता है।

समरूपता मानदंडअज्ञात वितरण के कथित कानून की परिकल्पना के परीक्षण के लिए मानदंड कहा जाता है।

कई अच्छाई-की-फिट मानदंड हैं: पियर्सन, कोलमोगोरोव, स्मिरनोव, आदि। पियर्सन की अच्छाई का फिट परीक्षण सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाता है।

सामान्य जनसंख्या के वितरण के सामान्य नियम की परिकल्पना के परीक्षण के उदाहरण पर पियर्सन मानदंड के आवेदन पर विचार करें। इसके लिए, हम अनुभवजन्य और सैद्धांतिक (सामान्य वितरण की निरंतरता में गणना की गई) आवृत्तियों की तुलना करेंगे।

सैद्धांतिक और अनुभवजन्य आवृत्तियों के बीच आमतौर पर कुछ अंतर होता है। उदाहरण के लिए:

अनुभवजन्य आवृत्तियाँ 7 15 41 93 113 84 25 13 5

सैद्धांतिक आवृत्तियाँ 5 13 36 89 114 91 29 14 6

दो मामलों पर विचार करें:

सैद्धांतिक और अनुभवजन्य आवृत्तियों के बीच विसंगति यादृच्छिक (महत्वहीन) है, अर्थात। सामान्य कानून के अनुसार अनुभवजन्य आवृत्तियों के वितरण के बारे में एक प्रस्ताव बनाना संभव है;

सैद्धांतिक और अनुभवजन्य आवृत्तियों के बीच विसंगति आकस्मिक (महत्वपूर्ण) नहीं है, अर्थात। सैद्धांतिक आवृत्तियों की गणना सामान्य जनसंख्या के सामान्य वितरण के बारे में गलत परिकल्पना के आधार पर की जाती है।

पियर्सन की अच्छाई-की-फिट मानदंड की सहायता से, सैद्धांतिक और अनुभवजन्य आवृत्तियों के बीच विसंगति को संयोग से निर्धारित करना संभव है या नहीं। सामान्य कानून के अनुसार सामान्य जनसंख्या को वितरित किया जाता है या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए एक निश्चित आत्मविश्वास संभावना के साथ।

तो, आकार n के नमूने के लिए अनुभवजन्य वितरण प्राप्त करें:

विकल्प……

अनुभवजन्य आवृत्तियों ……।

आइए मान लें कि, सामान्य वितरण की धारणा के तहत, सैद्धांतिक आवृत्तियों की गणना की जाती है। महत्व के स्तर पर, शून्य परिकल्पना का परीक्षण करना आवश्यक है: जनसंख्या सामान्य रूप से वितरित की जाती है।

शून्य परिकल्पना के परीक्षण के लिए एक मानदंड के रूप में, हम एक यादृच्छिक चर लेते हैं

(*)

यह मान यादृच्छिक है, क्योंकि विभिन्न प्रयोगों में यह अलग-अलग, पहले अज्ञात मान लेता है। यह स्पष्ट है कि अनुभवजन्य और सैद्धांतिक आवृत्तियों में जितना कम अंतर होता है, मानदंड का मूल्य उतना ही छोटा होता है और, परिणामस्वरूप, यह एक निश्चित सीमा तक अनुभवजन्य और सैद्धांतिक वितरण की निकटता को दर्शाता है।

यह साबित होता है कि, यादृच्छिक चर (*) का वितरण कानून, इस बात की परवाह किए बिना कि आम जनसंख्या किस वितरण कानून के अधीन है, स्वतंत्रता की डिग्री के साथ वितरण कानून की ओर जाता है। इसलिए, यादृच्छिक चर (*) द्वारा निरूपित किया जाता है, और मानदंड को ही "ची-स्क्वायर" अच्छाई-की-फिट परीक्षा कहा जाता है।

आइए हम अवलोकन संबंधी आंकड़ों से परिकलित मानदंड के मान को इस रूप में निरूपित करें। महत्व के दिए गए स्तर और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के लिए मानदंड के सारणीबद्ध महत्वपूर्ण मूल्य निरूपित करते हैं। इस मामले में, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या समानता से निर्धारित की जाती है, जहां नमूने या वर्गों के समूहों (आंशिक अंतराल) की संख्या; - प्रस्तावित वितरण के मापदंडों की संख्या। सामान्य वितरण के दो पैरामीटर हैं - गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन। इसलिए, सामान्य वितरण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या समानता से पाई जाती है

यदि परिकलित मान और तालिका मान असमानता को संतुष्ट करते हैं , सामान्य जनसंख्या के सामान्य वितरण के बारे में शून्य परिकल्पना स्वीकार की जाती है। यदि शून्य परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है और इसके विकल्प की परिकल्पना को स्वीकार कर लिया जाता है (सामान्य जनसंख्या को सामान्य कानून के अनुसार वितरित नहीं किया जाता है)।

टिप्पणी। Pearson's goodness-of-fit परीक्षण का उपयोग करते समय, नमूना आकार कम से कम 30 होना चाहिए। प्रत्येक समूह में कम से कम 5 विकल्प होने चाहिए। यदि समूहों में 5 से कम आवृत्तियाँ हैं, तो उन्हें पड़ोसी समूहों के साथ जोड़ दिया जाता है।

सामान्य तौर पर, ची-स्क्वायर वितरण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को उन मानों की कुल संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिनसे संबंधित उपायों की गणना की जाती है, इन मानों को जोड़ने वाली उन स्थितियों की संख्या को घटाकर, अर्थात। उनके बीच भिन्नता की संभावना को कम करें। सबसे सरल मामलों में, गणना करते समय, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या वर्गों की संख्या के बराबर होगी, एक से कम हो जाएगी। इसलिए, उदाहरण के लिए, डायहाइब्रिड विभाजन के साथ, 4 वर्ग प्राप्त होते हैं, लेकिन केवल प्रथम श्रेणी को असंबंधित प्राप्त किया जाता है, बाद वाले पहले से ही पिछले वाले से जुड़े होते हैं। इसलिए, द्विसंकर विभाजन के लिए, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है।

उदाहरण 1तपेदिक के साथ गायों की संख्या और सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित एक के संदर्भ में समूहों के वास्तविक वितरण के बीच पत्राचार की डिग्री निर्धारित करें, जिसकी गणना सामान्य वितरण पर विचार करते समय की गई थी। प्रारंभिक डेटा को तालिका में संक्षेपित किया गया है:

समाधान।

महत्वपूर्ण वितरण बिंदुओं की तालिका से महत्व के स्तर और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या (परिशिष्ट 4 देखें) से, हम मूल्य पाते हैं . क्यों कि , हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सैद्धांतिक और वास्तविक आवृत्तियों के बीच का अंतर यादृच्छिक है। इस प्रकार, तपेदिक के साथ गायों की संख्या के अनुसार समूहों का वास्तविक वितरण सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित है।

उदाहरण 2मेंडल के नियम के अनुसार खरगोशों के डायहाइब्रिड क्रॉसिंग द्वारा दूसरी पीढ़ी में प्राप्त व्यक्तियों के फेनोटाइप द्वारा सैद्धांतिक वितरण 9: 3: 3: 1 है। सामान्य बालों वाले काले व्यक्तियों को पार करने से खरगोशों के अनुभवजन्य वितरण के पत्राचार की गणना करना आवश्यक है। नीच जानवरों के साथ - अल्बिनो। दूसरी पीढ़ी में पार करते समय, 120 संतानें प्राप्त हुईं, जिनमें छोटे बालों के साथ 45 काले, छोटे बालों वाले 30 काले, छोटे बालों वाले 25 सफेद, 20 सफेद डाउनी खरगोश शामिल थे।

समाधान।संतानों में सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित अलगाव चार फेनोटाइप (9:3:3:1) के अनुपात के अनुरूप होना चाहिए। प्रत्येक वर्ग के लिए सैद्धांतिक आवृत्तियों (लक्ष्यों की संख्या) की गणना करें:

9+3+3+1=16, इसलिए हम उम्मीद कर सकते हैं कि काले शार्टहेयर होंगे ; ब्लैक डाउनी - ; सफेद शार्टहेयर ; सफेद नीच -.

अनुभवजन्य (वास्तविक) फेनोटाइपिक वितरण इस प्रकार था 45; तीस; 25; बीस।

आइए इस सभी डेटा को निम्न तालिका में सारांशित करें:

पियर्सन की अच्छाई-की-फिट परीक्षण का उपयोग करके, हम इसके मूल्य की गणना करते हैं:

एक डाइहाइब्रिड क्रॉस में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या। महत्व स्तर के लिए मूल्य खोजें . क्यों कि , हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सैद्धांतिक और वास्तविक आवृत्तियों के बीच का अंतर आकस्मिक नहीं है। नतीजतन, खरगोशों का परिणामी समूह डायहाइब्रिड क्रॉसिंग के दौरान मेंडल के नियम से फेनोटाइप के वितरण के संदर्भ में विचलित हो जाता है और कुछ कारकों के प्रभाव को दर्शाता है जो संकर की दूसरी पीढ़ी में फेनोटाइप में विभाजन के प्रकार को बदलते हैं।

पियर्सन के ची-स्क्वायर गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण का उपयोग दो सजातीय अनुभवजन्य वितरणों की एक दूसरे के साथ तुलना करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। जिनकी समान वर्ग सीमाएँ हैं। शून्य परिकल्पना यह परिकल्पना है कि दो अज्ञात वितरण फलन समान हैं। ऐसे मामलों में ची-स्क्वायर परीक्षण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

(**)

तुलना किए गए वितरण की मात्रा कहां और हैं; और संगत वर्गों की आवृत्तियाँ हैं।

निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करते हुए दो अनुभवजन्य वितरणों की तुलना पर विचार करें।

उदाहरण 3 कोयल के अंडों की लंबाई दो प्रादेशिक क्षेत्रों में मापी गई। पहले जोन में 76 अंडे () के सैंपल की जांच की गई, दूसरे जोन में 54 () के सैंपल की जांच की गई। निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:

लंबाई (मिमी)
आवृत्तियों
आवृत्तियों									-	-	-

महत्व के स्तर पर, शून्य परिकल्पना का परीक्षण करना आवश्यक है कि अंडे के दोनों नमूने एक ही कोयल की आबादी के हैं।

परिचय

इस विषय की प्रासंगिकता यह है कि बायोस्टैटिस्टिक्स की मूल बातें के अध्ययन के दौरान, हमने माना कि सामान्य जनसंख्या के वितरण का नियम ज्ञात है। लेकिन क्या होगा अगर वितरण कानून अज्ञात है, लेकिन यह मानने का कारण है कि इसका एक निश्चित रूप है (चलो इसे ए कहते हैं), तो अशक्त परिकल्पना की जाँच की जाती है: सामान्य जनसंख्या कानून ए के अनुसार वितरित की जाती है। इस परिकल्पना का परीक्षण किया जाता है विशेष रूप से चयनित यादृच्छिक चर का उपयोग करना - समझौते की कसौटी।

अच्छाई-की-फिट परीक्षण सैद्धांतिक संभाव्यता वितरण के अनुभवजन्य वितरण के पत्राचार के बारे में अनुमानों के परीक्षण के लिए मानदंड हैं। ये मानदंड दो श्रेणियों में आते हैं:

• III सामान्य अच्छाई-की-फिट मानदंड एक परिकल्पना के सबसे सामान्य सूत्रीकरण पर लागू होते हैं, अर्थात् वह परिकल्पना जो देखे गए परिणाम किसी भी प्राथमिक कल्पित संभाव्यता वितरण से सहमत होते हैं।
• III विशेष अच्छाई-की-फिट परीक्षण विशेष शून्य परिकल्पनाओं को दर्शाता है जो संभाव्यता वितरण के एक निश्चित रूप के साथ समझौता करते हैं।

अच्छाई मानदंड

सबसे आम अच्छाई-की-फिट परीक्षण ओमेगा-स्क्वायर, ची-स्क्वायर, कोलमोगोरोव और कोलमोगोरोव-स्मिरनोव हैं।

कोलमोगोरोव, स्मिरनोव, ओमेगा वर्ग के समझौते के गैर-पैरामीट्रिक परीक्षणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालाँकि, वे सांख्यिकीय विधियों के अनुप्रयोग में व्यापक त्रुटियों से भी जुड़े हैं।

तथ्य यह है कि सूचीबद्ध मानदंड पूरी तरह से ज्ञात सैद्धांतिक वितरण के साथ समझौते का परीक्षण करने के लिए विकसित किए गए थे। गणना सूत्र, वितरण तालिकाएँ और महत्वपूर्ण मान व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। कोलमोगोरोव, ओमेगा वर्ग और इसी तरह के मानदंडों का मुख्य विचार अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन और सैद्धांतिक वितरण फ़ंक्शन के बीच की दूरी को मापना है। ये मानदंड वितरण कार्यों के स्थान में दूरियों के रूप में भिन्न हैं।

एक साधारण परिकल्पना के लिए पियर्सन का p2 अच्छाई का फिट परीक्षण

के. पियर्सन का प्रमेय एक सीमित संख्या में परिणामों के साथ स्वतंत्र परीक्षणों को संदर्भित करता है, अर्थात। बर्नौली परीक्षणों के लिए (कुछ हद तक विस्तारित अर्थ में)। यह किसी को यह न्याय करने की अनुमति देता है कि इन परिणामों की आवृत्ति के परीक्षणों की एक बड़ी संख्या में अवलोकन उनकी अनुमानित संभावनाओं के अनुरूप हैं या नहीं।

कई व्यावहारिक समस्याओं में, सटीक वितरण कानून अज्ञात है। इसलिए, मौजूदा अनुभवजन्य कानून के पत्राचार के बारे में एक परिकल्पना को आगे रखा गया है, जो टिप्पणियों के आधार पर बनाया गया है, किसी सैद्धांतिक एक के लिए। इस परिकल्पना के लिए सांख्यिकीय परीक्षण की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामों की पुष्टि या खंडन किया जाएगा।

मान लीजिए X अध्ययनाधीन यादृच्छिक चर है। परिकल्पना H0 का परीक्षण करना आवश्यक है कि यह यादृच्छिक चर वितरण नियम F(x) का पालन करता है। ऐसा करने के लिए, n स्वतंत्र टिप्पणियों का एक नमूना बनाना और उससे एक अनुभवजन्य वितरण कानून F "(x) बनाना आवश्यक है। अनुभवजन्य और काल्पनिक कानूनों की तुलना करने के लिए, फिट की अच्छाई नामक एक नियम का उपयोग किया जाता है। इनमें से एक सबसे लोकप्रिय है के. पियर्सन की फिट की ची-स्क्वायर अच्छाई। इसमें ची-स्क्वायर आंकड़े की गणना की जाती है:

जहां एन अंतराल की संख्या है जिसके अनुसार अनुभवजन्य वितरण कानून बनाया गया था (संबंधित हिस्टोग्राम के स्तंभों की संख्या), मैं अंतराल की संख्या है, पीटी मैं संभावना है कि यादृच्छिक चर का मूल्य गिर जाएगा सैद्धांतिक वितरण कानून के लिए i-th अंतराल, pe i संभावना है कि यादृच्छिक चर का मान अनुभवजन्य वितरण कानून के लिए i-th अंतराल में गिर जाएगा। इसे ची-स्क्वायर वितरण का पालन करना चाहिए।

यदि सांख्यिकीय का परिकलित मान किसी दिए गए महत्व स्तर के लिए k-p-1 डिग्री स्वतंत्रता के साथ ची-वर्ग वितरण मात्रा से अधिक है, तो H0 परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है। अन्यथा, इसे दिए गए महत्व के स्तर पर स्वीकार किया जाता है। यहाँ k प्रेक्षणों की संख्या है, p वितरण नियम के अनुमानित प्राचलों की संख्या है।

आइए नजर डालते हैं आंकड़ों पर:

सरल परिकल्पना के लिए P2 आँकड़ा को पियर्सन का ची-वर्ग आँकड़ा कहा जाता है।

यह स्पष्ट है कि p2 दो r-आयामी सदिशों के बीच कुछ दूरी का वर्ग है: सापेक्ष आवृत्ति वेक्टर (mi/n, …, mr/n) और प्रायिकता वेक्टर (pi ,…, pr)। यह दूरी यूक्लिडियन दूरी से केवल इस मायने में भिन्न होती है कि अलग-अलग निर्देशांक इसे अलग-अलग वजन के साथ दर्ज करते हैं।

आइए हम h2 आँकड़ों के व्यवहार पर उस स्थिति में चर्चा करें जब परिकल्पना H सत्य है और उस स्थिति में जब H गलत है। यदि H सत्य है, तो n > के लिए ch2 का स्पर्शोन्मुख व्यवहार? के. पियर्सन के प्रमेय को इंगित करता है। यह समझने के लिए कि (2.2) का क्या होता है जब H झूठा होता है, ध्यान दें कि, बड़ी संख्याओं के नियम के अनुसार, mi/n > pi के लिए n >?, i = 1,…, r के लिए। इसलिए, n > ? के लिए:

यह मान 0 के बराबर है। इसलिए, यदि H गलत है, तो h2>? (जब एन>?)

यह कहा गया है कि यदि प्रयोग में प्राप्त h2 का मान बहुत बड़ा है तो H को अस्वीकार कर दिया जाना चाहिए। यहाँ, हमेशा की तरह, शब्द "बहुत बड़ा" का अर्थ है कि n2 का प्रेक्षित मान महत्वपूर्ण मान से अधिक है, जिसे इस मामले में ची-वर्ग वितरण तालिकाओं से लिया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रायिकता P(p2 npi p2) एक छोटा मान है और, इसलिए, यह संयोगवश प्रयोग के समान ही प्राप्त होने की संभावना नहीं है, या फ़्रीक्वेंसी वेक्टर और प्रायिकता वेक्टर के बीच और भी अधिक विसंगति है।

के. पियर्सन के प्रमेय की स्पर्शोन्मुख प्रकृति, जो इस नियम को रेखांकित करती है, इसके व्यावहारिक उपयोग में सावधानी की आवश्यकता है। इस पर केवल बड़े n के लिए भरोसा किया जा सकता है। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या n काफी बड़ा है, संभावनाओं को ध्यान में रखना आवश्यक है pi ,…, pr । इसलिए, यह नहीं कहा जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक सौ अवलोकन पर्याप्त होंगे, क्योंकि न केवल n बड़ा होना चाहिए, बल्कि उत्पाद npi , …, npr (अपेक्षित आवृत्तियों) भी छोटा नहीं होना चाहिए। इसलिए, सांख्यिकीय ch2 के लिए ch2 (निरंतर वितरण) का अनुमान लगाने की समस्या, जिसका वितरण असतत है, मुश्किल हो गया। सैद्धांतिक और प्रायोगिक तर्कों के संयोजन ने इस विश्वास को जन्म दिया कि यह सन्निकटन लागू होता है यदि सभी अपेक्षित आवृत्तियों npi>10 हैं। यदि संख्या r (विभिन्न परिणामों की संख्या) बढ़ जाती है, तो इसके लिए सीमा कम हो जाती है (यदि r कई दहाई के क्रम में हो तो 5 या 3 तक)। इन आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए, व्यवहार में कभी-कभी कई परिणामों को संयोजित करना आवश्यक होता है, अर्थात। छोटे आर के साथ बर्नौली योजना पर जाएं।

समझौते की जाँच के लिए वर्णित विधि न केवल बर्नौली परीक्षणों पर लागू की जा सकती है, बल्कि यादृच्छिक नमूनों पर भी लागू की जा सकती है। उनकी टिप्पणियों को पहले समूहबद्ध करके बर्नौली परीक्षणों में परिवर्तित किया जाना चाहिए। वे इसे इस तरह से करते हैं: अवलोकन स्थान को गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया जाता है, और फिर प्रत्येक क्षेत्र के लिए देखी गई आवृत्ति और काल्पनिक संभावना की गणना की जाती है।

इस मामले में, सन्निकटन की पहले से सूचीबद्ध कठिनाइयों में, एक और जोड़ा जाता है - मूल स्थान के उचित विभाजन का विकल्प। साथ ही, इस बात का ध्यान रखा जाना चाहिए कि सामान्य तौर पर, नमूने के प्रारंभिक वितरण के बारे में परिकल्पना के परीक्षण का नियम संभावित विकल्पों के प्रति पर्याप्त रूप से संवेदनशील हो। अंत में, मैं ध्यान देता हूं कि बर्नौली योजना में कमी के आधार पर सांख्यिकीय मानदंड, एक नियम के रूप में, सभी विकल्पों के खिलाफ मान्य नहीं हैं। तो सहमति सत्यापित करने का यह तरीका सीमित मूल्य का है।

अपने शास्त्रीय रूप में कोलमोगोरोव-स्मिरनोव गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण h2 परीक्षण की तुलना में अधिक शक्तिशाली है और इसका उपयोग इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है कि अनुभवजन्य वितरण ज्ञात मापदंडों के साथ किसी भी सैद्धांतिक निरंतर वितरण F(x) से मेल खाता है। बाद की परिस्थिति यांत्रिक परीक्षणों के परिणामों के विश्लेषण में इस मानदंड के व्यापक व्यावहारिक अनुप्रयोग की संभावना पर प्रतिबंध लगाती है, क्योंकि एक नियम के रूप में, यांत्रिक गुणों की विशेषताओं के वितरण फ़ंक्शन के मापदंडों का अनुमान डेटा से लगाया जाता है नमूना ही।

कोलमोगोरोव-स्मिरनोव मानदंड का उपयोग अवर्गीकृत डेटा के लिए या छोटे अंतराल चौड़ाई के मामले में समूहीकृत डेटा के लिए किया जाता है (उदाहरण के लिए, एक बल मीटर के स्केल डिवीजन के बराबर, लोड चक्र काउंटर, आदि)। मान लें कि n नमूनों की एक श्रृंखला का परीक्षा परिणाम यांत्रिक गुण विशेषताओं की एक भिन्नता श्रृंखला है

x1? x2? ...? xi? ...? एक्सएन (3.93)

शून्य परिकल्पना का परीक्षण करना आवश्यक है कि नमूना वितरण (3.93) सैद्धांतिक कानून एफ (एक्स) से संबंधित है।

कोलमोगोरोव-स्मिरनोव मानदंड वितरण फ़ंक्शन के मूल्य से संचित विशेष के अधिकतम विचलन के वितरण पर आधारित है। इसका उपयोग करते समय, आँकड़ों की गणना की जाती है

जो कोलमोगोरोव परीक्षण का एक आँकड़ा है। अगर असमानता

डीएनवीएन? माथा (3.97)

बड़े नमूना आकारों के लिए (n > 35) या

डीएन (वीएन + 0.12 + 0.11 / वीएन)? माथा (3.98)

एन के लिए? 35, शून्य परिकल्पना अस्वीकृत नहीं होती है।

यदि असमानताएँ (3.97) और (3.98) संतुष्ट नहीं हैं, तो वैकल्पिक परिकल्पना स्वीकार की जाती है कि नमूना (3.93) अज्ञात वितरण से संबंधित है।

lb के महत्वपूर्ण मान हैं: л0.1 = 1.22; एल0.05 = 1.36; एल0.01 = 1.63।

यदि फ़ंक्शन एफ (एक्स) के पैरामीटर पहले से ज्ञात नहीं हैं, लेकिन नमूना डेटा से अनुमानित हैं, तो कोलमोगोरोव-स्मिरनोव मानदंड अपनी सार्वभौमिकता खो देता है और इसका उपयोग केवल कुछ विशिष्ट वितरण के साथ प्रयोगात्मक डेटा के अनुपालन की जांच के लिए किया जा सकता है। कार्य।

जब एक शून्य परिकल्पना के रूप में प्रयोग किया जाता है, चाहे प्रयोगात्मक डेटा सामान्य या लॉग-सामान्य वितरण से संबंधित हो, आंकड़ों की गणना की जाती है:

जहां (zi) के लिए लैपलेस फ़ंक्शन का मान है

(zi) = (xi - xср)/s किसी भी नमूना आकार n के लिए कोलमोगोरोव-स्मिरनोव मानदंड को इस प्रकार लिखा जाता है

इस मामले में lb के महत्वपूर्ण मान हैं: л0.1 = 0.82; एल0.05 = 0.89; एल0.01 = 1.04।

यदि परिकल्पना की जाँच *** घातीय वितरण के साथ नमूने के अनुपालन के बारे में की जाती है, जिसके पैरामीटर का अनुमान प्रायोगिक डेटा से लगाया जाता है, तो इसी तरह के आँकड़ों की गणना की जाती है:

मानदंड अनुभवजन्य संभावना

और कोलमोगोरोव-स्मिरनोव मानदंड बनाते हैं।

इस मामले के लिए lb के महत्वपूर्ण मान हैं: 0.1 = 0.99; एल0.05 = 1.09; एल0.01 = 1.31।

वितरण के सैद्धांतिक कानून के अनुभवजन्य वितरण के पत्राचार के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, विशेष सांख्यिकीय संकेतकों का उपयोग किया जाता है - अच्छाई-की-फिट मानदंड (या अनुपालन मानदंड)। इनमें पियर्सन, कोलमोगोरोव, रोमानोव्स्की, यास्त्रेम्स्की, आदि के मानदंड शामिल हैं। फिट मानदंडों की अधिकांश अच्छाई सैद्धांतिक लोगों से अनुभवजन्य आवृत्तियों के विचलन के उपयोग पर आधारित हैं। जाहिर है, ये विचलन जितने छोटे होते हैं, सैद्धांतिक वितरण उतना ही बेहतर होता है (या वर्णन करता है) अनुभवजन्य।

सहमति मानदंड- सैद्धांतिक संभाव्यता वितरण के लिए अनुभवजन्य वितरण के पत्राचार के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए ये मानदंड हैं। ऐसे मानदंड दो वर्गों में विभाजित हैं: सामान्य और विशेष। सामान्य अच्छाई-की-फिट मानदंड एक परिकल्पना के सबसे सामान्य निरूपण पर लागू होते हैं, अर्थात्, इस परिकल्पना के लिए कि देखे गए परिणाम किसी भी प्राथमिक कल्पित संभाव्यता वितरण से सहमत हैं। विशेष अच्छाई-की-फिट परीक्षण विशेष अशक्त परिकल्पनाओं को दर्शाता है जो संभाव्यता वितरण के एक निश्चित रूप के साथ समझौता करते हैं।

स्थापित वितरण कानून के आधार पर समझौता मानदंड, यह स्थापित करना संभव बनाता है कि सैद्धांतिक और अनुभवजन्य आवृत्तियों के बीच विसंगतियों को कब महत्वहीन (यादृच्छिक) के रूप में पहचाना जाना चाहिए, और कब - महत्वपूर्ण (गैर-यादृच्छिक)। यह इस प्रकार है कि अच्छाई-की-फिट मानदंड अनुभवजन्य श्रृंखला में वितरण की प्रकृति के बारे में श्रृंखला को समतल करते समय सामने रखी गई परिकल्पना की शुद्धता को अस्वीकार या पुष्टि करना संभव बनाता है और यह उत्तर देने के लिए कि क्या यह स्वीकार करना संभव है। किसी दिए गए अनुभवजन्य वितरण के लिए कुछ सैद्धांतिक वितरण कानून द्वारा व्यक्त मॉडल।

पियर्सन अच्छाई-की-फिट परीक्षणसी 2 (ची-स्क्वायर) मुख्य अच्छाई-की-फिट मानदंडों में से एक है। अनुभवजन्य और सैद्धांतिक वितरण की आवृत्तियों के बीच विसंगतियों की यादृच्छिकता (महत्व) का आकलन करने के लिए अंग्रेजी गणितज्ञ कार्ल पियर्सन (1857-1936) द्वारा प्रस्तावित:

सैद्धांतिक और अनुभवजन्य वितरण की स्थिरता का आकलन करने के लिए मानदंड सी 2 लागू करने की योजना इस प्रकार है:

1. विसंगति का परिकलित माप निर्धारित किया जाता है।

2. स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या निर्धारित की जाती है।

3. स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n एक विशेष तालिका का उपयोग करके निर्धारित की जाती है।

4. यदि , तो दिए गए महत्व स्तर α और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n के लिए, महत्वहीन (यादृच्छिक) विसंगतियों की परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है। अन्यथा, परिकल्पना को प्राप्त प्रयोगात्मक डेटा के विपरीत नहीं माना जा सकता है, और एक संभावना (1 - α) के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि सैद्धांतिक और अनुभवजन्य आवृत्तियों के बीच विसंगतियां यादृच्छिक हैं।

सार्थक तलआगे रखी गई परिकल्पना की गलत अस्वीकृति की संभावना है, अर्थात। संभावना है कि सही परिकल्पना को खारिज कर दिया जाएगा। सांख्यिकीय अध्ययनों में, हल किए जा रहे कार्यों के महत्व और जिम्मेदारी के आधार पर, महत्व के निम्नलिखित तीन स्तरों का उपयोग किया जाता है:

1) a = 0.1, तब आर = 0,9;

2) ए = 0.05, तब आर = 0,95;

3) ए = 0.01, तब आर = 0,99.

अच्छाई-की-फिट मानदंड c 2 का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित शर्तों का पालन किया जाना चाहिए:

1. अध्ययन की गई जनसंख्या का आयतन काफी बड़ा होना चाहिए ( एन 50), जबकि समूह की आवृत्ति या आकार कम से कम 5 होना चाहिए। यदि इस स्थिति का उल्लंघन होता है, तो पहले छोटी आवृत्तियों (5 से कम) को मर्ज करना आवश्यक है।

2. अनुभवजन्य वितरण में यादृच्छिक चयन के परिणामस्वरूप प्राप्त डेटा शामिल होना चाहिए, अर्थात। उन्हें स्वतंत्र होना चाहिए।

पियर्सन की अच्छाई-की-फिट मानदंड का नुकसान अवलोकन परिणामों को अंतराल में समूहित करने और व्यक्तिगत अंतराल को कम संख्या में टिप्पणियों के साथ संयोजित करने की आवश्यकता से जुड़ी कुछ प्रारंभिक जानकारी का नुकसान है। इस संबंध में, 2 अन्य मानदंडों के साथ मानदंड के अनुसार वितरण के पत्राचार के सत्यापन को पूरक करने की सिफारिश की गई है। यह विशेष रूप से तब आवश्यक होता है जब नमूना का आकार अपेक्षाकृत छोटा होता है ( एन ≈ 100).

आंकड़ों में कोलमोगोरोव की अच्छाई-की-फिट परीक्षा(कोलमोगोरोव-स्मिरनोव गुडनेस-ऑफ-फिट टेस्ट के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या दो अनुभवजन्य वितरण एक ही कानून का पालन करते हैं, या यह निर्धारित करने के लिए कि परिणामी वितरण प्रस्तावित मॉडल का पालन करता है या नहीं। कोलमोगोरोव मानदंड संचित आवृत्तियों या अनुभवजन्य या सैद्धांतिक वितरण की आवृत्तियों के बीच अधिकतम अंतर निर्धारित करने पर आधारित है। कोलमोगोरोव मानदंड की गणना निम्नलिखित सूत्रों के अनुसार की जाती है:

कहाँ पे डीतथा डी- क्रमशः, संचित आवृत्तियों के बीच अधिकतम अंतर ( एफ – एफ) और संचित आवृत्तियों के बीच ( पी – पी) वितरण की अनुभवजन्य और सैद्धांतिक श्रृंखला; एन- जनसंख्या में इकाइयों की संख्या।

λ के मूल्य की गणना करने के बाद, एक विशेष तालिका उस संभावना को निर्धारित करती है जिसके साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि सैद्धांतिक से अनुभवजन्य आवृत्तियों के विचलन यादृच्छिक हैं। यदि संकेत 0.3 तक मान लेता है, तो इसका मतलब है कि आवृत्तियों का पूर्ण संयोग है। बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ, कोलमोगोरोव परीक्षण परिकल्पना से किसी भी विचलन का पता लगाने में सक्षम है। इसका मतलब यह है कि नमूना वितरण और सैद्धांतिक एक के बीच किसी भी अंतर को इसकी मदद से पता लगाया जाएगा यदि बहुत सारे अवलोकन हैं। इस संपत्ति का व्यावहारिक महत्व महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि ज्यादातर मामलों में निरंतर परिस्थितियों में बड़ी संख्या में अवलोकन प्राप्त करना मुश्किल है, वितरण कानून का सैद्धांतिक विचार जिसका नमूना पालन करना चाहिए, हमेशा अनुमानित है, और सांख्यिकीय जांच की सटीकता चुने हुए मॉडल की सटीकता से अधिक नहीं होनी चाहिए।

रोमानोव्स्की की अच्छाई-की-फिट मानदंडपियर्सन मानदंड के उपयोग के आधार पर, अर्थात। पहले से ही पाया गया मान c 2 , और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या:

जहां n भिन्नता की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है।

रोमानोव्स्की मानदंड के लिए तालिकाओं की अनुपस्थिति में सुविधाजनक है। यदि एक< 3, то расхождения распределений случайны, если же >3, तो वे यादृच्छिक नहीं हैं और सैद्धांतिक वितरण अध्ययन के तहत अनुभवजन्य वितरण के लिए एक मॉडल के रूप में काम नहीं कर सकता है।

B. S. Yastremsky ने फिट मानदंड की अच्छाई में इस्तेमाल किया स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या नहीं, बल्कि समूहों की संख्या ( क), समूहों की संख्या और ची-वर्ग मान के आधार पर एक विशेष मान q। यास्त्रेम्स्की का समझौता मानदंडरोमनोवस्की मानदंड के समान अर्थ है और सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

जहाँ c 2 - पियर्सन के समझौते की कसौटी; - समूहों की संख्या; क्यू - गुणांक, 0.6 के बराबर 20 से कम समूहों की संख्या के लिए।

यदि एक लीतथ्य> 3, सैद्धांतिक और अनुभवजन्य वितरण के बीच विसंगतियां यादृच्छिक नहीं हैं, अर्थात। अनुभवजन्य वितरण सामान्य वितरण की आवश्यकताओं को पूरा नहीं करता है। यदि एक लीतथ्य< 3, расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями считаются случайными.

यादृच्छिक चर के स्वतंत्र माप को संसाधित करके, हम एक सांख्यिकीय वितरण फ़ंक्शन F*(x) का निर्माण कर सकते हैं। इस फलन के रूप में कोई इस परिकल्पना को स्वीकार कर सकता है कि वास्तविक सैद्धांतिक बंटन फलन F(x) है। नमूना बनाने वाले स्वतंत्र माप (x 1, x 2,…,x n) को एक काल्पनिक वितरण फ़ंक्शन F(x) के साथ समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर माना जा सकता है।

जाहिर है, फलन F * (x) और F (x) के बीच कुछ विसंगतियां होंगी। प्रश्न उठता है कि क्या ये विसंगतियाँ सीमित नमूने के आकार का परिणाम हैं या इस तथ्य से संबंधित हैं कि हमारी परिकल्पना सही नहीं है, अर्थात। वास्तविक वितरण फलन F(x) नहीं है, बल्कि कुछ अन्य है। इस मुद्दे को हल करने के लिए, सहमति मानदंड का उपयोग किया जाता है, जिसका सार इस प्रकार है। एक निश्चित मान Δ(F, F *) चुना जाता है, जो F * (x) और F(x) कार्यों के बीच विसंगति की डिग्री को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, (F, F *)=Sup|F(x)-F * (x)|, यानी। अंतर के मापांक के x में ऊपरी सीमा।

परिकल्पना को सही मानते हुए, अर्थात्। वितरण फलन F(x) को जानने के बाद, कोई भी यादृच्छिक चर (F, F *) के वितरण नियम का पता लगा सकता है (हम इसे कैसे करना है, इस प्रश्न पर ध्यान नहीं देंगे)। आइए संख्या p 0 को इतना छोटा सेट करें कि इस संभावना के साथ घटना (Δ(F, F *)>Δ 0 ) की प्राप्ति व्यावहारिक रूप से असंभव मानी जाएगी। शर्त से

0 का मान ज्ञात कीजिए। यहाँ f(x) वितरण घनत्व (F,F *) है।

आइए अब परिणामों से (F, F *)= 1 के मान की गणना करें

नमूने, यानी यादृच्छिक चर (एफ, एफ *) के संभावित मूल्यों में से एक का पता लगाएं। अगर 1 0, तो इसका मतलब है कि लगभग असंभव घटना घटी है। इसे इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि हमारी परिकल्पना सही नहीं है। तो, यदि 1 0, तो परिकल्पना अस्वीकृत हो जाती है, और जब 1<Δ 0 , гипотеза может оказаться неверной, но вероятность этого мала.

विसंगति के माप के रूप में (F, F *) कोई भी विभिन्न मान ले सकता है। इसके आधार पर, समझौते के विभिन्न मानदंड प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, कोलमोगोरोव, मिसेस, पियरसन गुडनेस-ऑफ-फिट टेस्ट, या ची-स्क्वायर टेस्ट।

मान लीजिए कि n माप के परिणामों को k अंकों के साथ समूहीकृत सांख्यिकीय श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

निर्वहन (x 0, x 1) (वास्तव में, हम मानते हैं कि माप त्रुटियों को एक निश्चित खंड में समान रूप से वितरित किया जाता है)। तब प्रत्येक सात अंकों के टकराने की प्रायिकता के बराबर होगी। 11 से समूहीकृत श्रृंखला का उपयोग करते हुए, हम Δ(F, F *)= 1 = सूत्र (1) द्वारा परिकलित करते हैं। इस मामले में ।

चूंकि काल्पनिक वितरण कानून में दो अज्ञात पैरामीटर शामिल हैं, α और β - खंड की शुरुआत और अंत, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 7-1-2 = 4 होगी। चयनित प्रायिकता p 0 =10 -3 के साथ काई-वर्ग वितरण तालिका के अनुसार हम Δ 0 =18 पाते हैं। इसलिये 1 >Δ 0 , तो माप त्रुटि के एकसमान वितरण की परिकल्पना को त्यागना होगा।