ग्रंथ सूची विवरण:प्रियमोस्टानोव एस। एम।, लिसोगोरोवा एल। वी। एक वर्गमूल निकालने के तरीके // युवा वैज्ञानिक। - 2017 - नंबर 2.2। - एस. 76-77..02.2019)।



कीवर्ड : वर्गमूल, वर्गमूल निष्कर्षण।

गणित के पाठों में, मैं वर्गमूल की अवधारणा और वर्गमूल निकालने की क्रिया से परिचित हुआ। मुझे वर्गमूल निकालने में दिलचस्पी हो गई है, केवल एक कैलकुलेटर का उपयोग करके वर्गों की एक तालिका का उपयोग करना संभव है, या इसे मैन्युअल रूप से निकालने का कोई तरीका है। मुझे कई तरीके मिले: प्राचीन बेबीलोन का सूत्र, समीकरणों के समाधान के माध्यम से, पूर्ण वर्ग को हटाने की विधि, न्यूटन की विधि, ज्यामितीय विधि, ग्राफिक विधि (,), अनुमान लगाने की विधि, विषम संख्या घटाव विधि।

निम्नलिखित विधियों पर विचार करें:

आइए 27225=5*5*3*3*11*11 विभाज्यता के संकेतों का उपयोग करके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें। इस तरह

1. प्रति कनाडाई विधि।इस तेज़ विधि की खोज 20वीं सदी में कनाडा के अग्रणी विश्वविद्यालयों में से एक में युवा वैज्ञानिकों ने की थी। इसकी सटीकता दो या तीन दशमलव स्थानों से अधिक नहीं है।

जहाँ x से मूल निकालने की संख्या है, c निकटतम वर्ग की संख्या है), उदाहरण के लिए:

=5,92

1. कॉलम।यह विधि आपको किसी भी पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ किसी भी वास्तविक संख्या के मूल का अनुमानित मान ज्ञात करने की अनुमति देती है। विधि के नुकसान में गणना की बढ़ती जटिलता के साथ अंकों की संख्या में वृद्धि शामिल है। रूट को मैन्युअल रूप से निकालने के लिए, एक कॉलम द्वारा विभाजन के समान एक नोटेशन का उपयोग किया जाता है।

स्क्वायर रूट एल्गोरिदम

1. भिन्नात्मक भाग और पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग-अलग विभाजित करें दो संख्याओं के किनारे परहर चेहरे में ( चुम्माभाग - दाएं से बाएं; आंशिक- बाएं से दाएं)। यह संभव है कि पूर्णांक भाग में एक अंक हो, और भिन्नात्मक भाग में शून्य हो।

2. निष्कर्षण बाएं से दाएं शुरू होता है, और हम एक संख्या का चयन करते हैं जिसका वर्ग पहले चेहरे की संख्या से अधिक नहीं होता है। हम इस संख्या का वर्ग करते हैं और इसे पहले फलक में संख्या के नीचे लिखते हैं।

3. हम पहले फलक की संख्या और चयनित पहली संख्या के वर्ग के बीच का अंतर पाते हैं।

4. परिणामी अंतर के लिए हम अगले फलक को ध्वस्त करते हैं, परिणामी संख्या होगी भाज्य. हम बनाते हैं विभक्त. हम उत्तर के पहले चयनित अंक को दोगुना करते हैं (2 से गुणा करते हैं), हमें भाजक के दसियों की संख्या मिलती है, और इकाइयों की संख्या ऐसी होनी चाहिए कि पूरे भाजक द्वारा इसका उत्पाद लाभांश से अधिक न हो। हम उत्तर में चयनित संख्या लिखते हैं।

5. परिणामी अंतर के लिए, हम अगले चेहरे को ध्वस्त करते हैं और एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं। यदि यह चेहरा भिन्नात्मक भाग का फलक निकला है, तो उत्तर में अल्पविराम लगाएं। (चित्र एक।)

इस तरह, आप अलग-अलग सटीकता के साथ संख्याएँ निकाल सकते हैं, उदाहरण के लिए, हज़ारवें हिस्से की सटीकता के साथ। (रेखा चित्र नम्बर 2)

वर्गमूल निकालने के विभिन्न तरीकों को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: प्रत्येक विशिष्ट मामले में, आपको हल करने में कम समय बिताने के लिए सबसे प्रभावी एक का चुनाव करना होगा।

साहित्य:

1. किसेलेव ए। बीजगणित और विश्लेषण के तत्व। भाग एक।-एम.-1928

कीवर्ड: वर्गमूल, वर्गमूल.

व्याख्या: लेख वर्गमूल निकालने के तरीकों का वर्णन करता है, और जड़ों को निकालने के उदाहरण प्रदान करता है।

गणित में, जड़ कैसे लें, इस सवाल को अपेक्षाकृत आसान माना जाता है। यदि हम प्राकृत श्रेणी से संख्याओं का वर्ग करते हैं: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, तो हमें वर्गों की निम्नलिखित श्रृंखलाएँ प्राप्त होती हैं: 1, 4, 9, 16 ... n 2। वर्गों की श्रृंखला अनंत है, और यदि आप इसे करीब से देखते हैं, तो आप देखेंगे कि इसमें बहुत अधिक पूर्णांक नहीं हैं। ऐसा क्यों है, इसके बारे में थोड़ी देर बाद बताया जाएगा।

संख्या का मूल: गणना नियम और उदाहरण

तो, हमने संख्या 2 को चुकता किया, यानी हमने इसे स्वयं से गुणा किया और 4 प्राप्त किया। लेकिन संख्या 4 का मूल कैसे लें? आइए तुरंत कहें कि जड़ें वर्गाकार, घन और किसी भी डिग्री से लेकर अनंत तक हो सकती हैं।

जड़ की डिग्री हमेशा एक प्राकृतिक संख्या होती है, अर्थात इस तरह के समीकरण को हल करना असंभव है: n के 3.6 की शक्ति के लिए जड़।

वर्गमूल

आइए इस प्रश्न पर वापस आते हैं कि 4 का वर्गमूल कैसे निकाला जाए। चूंकि हमने संख्या 2 का वर्ग किया है, इसलिए हम वर्गमूल भी निकालेंगे। 4 के मूल को सही ढंग से लेने के लिए, आपको बस सही संख्या चुनने की आवश्यकता है, जो चुकता होने पर, संख्या 4 देगी। और यह, निश्चित रूप से, 2 है। उदाहरण देखें:

• 2 2 =4
• 4 का मूल = 2

यह उदाहरण काफी सरल है। आइए 64 का वर्गमूल निकालने का प्रयास करें। वह कौन सी संख्या है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर 64 प्राप्त होता है? जाहिर है यह 8 है।

• 8 2 =64
• 64=8 . का मूल

घनमूल

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, जड़ें केवल वर्गाकार नहीं हैं, एक उदाहरण का उपयोग करके हम अधिक स्पष्ट रूप से यह समझाने की कोशिश करेंगे कि घनमूल या तीसरी डिग्री की जड़ कैसे निकाली जाए। क्यूब रूट निकालने का सिद्धांत एक वर्गमूल के समान है, केवल अंतर यह है कि वांछित संख्या को शुरू में एक बार नहीं, बल्कि दो बार गुणा किया गया था। तो, मान लें कि हम निम्नलिखित उदाहरण लेते हैं:

• 3x3x3 = 27
• स्वाभाविक रूप से, संख्या 27 का घनमूल तीन होगा:
• 27 का मूल 3 = 3

मान लीजिए आपको 64 का घनमूल निकालने की आवश्यकता है। इस समीकरण को हल करने के लिए, यह एक संख्या खोजने के लिए पर्याप्त है, जो तीसरी शक्ति तक बढ़ाने पर 64 देगा।

• 4 3 =64
• 64 का मूल 3 = 4

कैलकुलेटर पर किसी संख्या का मूल निकालें

बेशक, कई उदाहरणों को हल करके और छोटी संख्याओं के वर्गों और घनों की एक तालिका को याद करके, अभ्यास द्वारा वर्ग, घन और अन्य डिग्री निकालना सीखना सबसे अच्छा है। भविष्य में, यह समीकरणों को हल करने के लिए समय को बहुत सुविधाजनक और कम करेगा। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कभी-कभी इतनी बड़ी संख्या की जड़ निकालने की आवश्यकता होती है कि सही वर्ग संख्या खोजने के लिए, यदि बिल्कुल भी, तो बहुत काम करना पड़ेगा। वर्गमूल निकालने में एक साधारण कैलकुलेटर बचाव में आएगा। कैलकुलेटर पर रूट कैसे लें? जिस नंबर से आप परिणाम खोजना चाहते हैं, उसे दर्ज करना बहुत आसान है। अब कैलकुलेटर बटनों पर करीब से नज़र डालें। उनमें से सबसे सरल पर भी, रूट आइकन के साथ एक कुंजी होती है। इस पर क्लिक करते ही आपको तैयार रिजल्ट तुरंत मिल जाएगा।

प्रत्येक संख्या को पूर्ण जड़ नहीं माना जा सकता, निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

1859 का मूल = 43.116122…

आप इस उदाहरण को समानांतर में कैलकुलेटर पर हल करने का प्रयास कर सकते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी संख्या एक पूर्णांक नहीं है; इसके अलावा, दशमलव बिंदु के बाद अंकों का सेट परिमित नहीं है। विशेष इंजीनियरिंग कैलकुलेटर द्वारा अधिक सटीक परिणाम दिया जा सकता है, लेकिन पूर्ण परिणाम सामान्य लोगों के प्रदर्शन पर फिट नहीं होता है। और यदि आप पहले शुरू किए गए वर्गों की श्रृंखला को जारी रखते हैं, तो आपको इसमें 1859 की संख्या नहीं मिलेगी, ठीक है क्योंकि जिस संख्या को प्राप्त करने के लिए आपने वर्ग किया है वह पूर्णांक नहीं है।

यदि आपको एक साधारण कैलकुलेटर पर थर्ड डिग्री का रूट निकालने की जरूरत है, तो आपको रूट साइन वाले बटन पर डबल-क्लिक करना होगा। उदाहरण के लिए, आइए ऊपर इस्तेमाल की गई संख्या 1859 लें और उसमें से घनमूल निकालें:

1859 का मूल 3 = 6.5662867…

यही है, अगर संख्या 6.5662867 ... को तीसरी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, तो हमें लगभग 1859 मिलेगा। इस प्रकार, संख्याओं से जड़ें निकालना मुश्किल नहीं है, बस उपरोक्त एल्गोरिदम को याद रखें।

एक वर्गमूल क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह अवधारणा बहुत सरल है। स्वाभाविक, मैं कहूंगा। गणितज्ञ हर क्रिया के लिए प्रतिक्रिया खोजने की कोशिश करते हैं। जोड़ है और घटाव है। गुणा है और विभाजन है। वहाँ वर्ग है ... तो वहाँ भी है वर्गमूल निकालना!बस इतना ही। यह क्रिया ( वर्गमूल लेना) गणित में इस आइकन द्वारा दर्शाया गया है:

आइकन को ही सुंदर शब्द कहा जाता है " मौलिक".

जड़ कैसे निकालें?विचार करना बेहतर है उदाहरण.

9 का वर्गमूल क्या है? और कौन सी संख्या का वर्ग हमें 9 देगा? 3 चुकता हमें 9 देता है! वे:

शून्य का वर्गमूल क्या होता है? कोई बात नहीं! चुकता शून्य क्या संख्या देता है? हाँ, वह स्वयं शून्य देता है! माध्यम:

पकड़ा गया एक वर्गमूल क्या है?तब हम विचार करते हैं उदाहरण:

उत्तर (अव्यवस्था में): 6; एक; चार; 9; 5.

निर्णय लिया? सच में, यह बहुत आसान है!

लेकिन... जब कोई व्यक्ति किसी कार्य को जड़ से देखता है तो वह क्या करता है?

एक व्यक्ति तरसने लगता है ... वह जड़ों की सादगी और हल्केपन में विश्वास नहीं करता है। हालांकि उसे पता लगता है वर्गमूल क्या है...

ऐसा इसलिए है क्योंकि जड़ों का अध्ययन करते समय एक व्यक्ति ने कई महत्वपूर्ण बिंदुओं को नजरअंदाज कर दिया है। फिर ये सनक टेस्ट और परीक्षा का बेरहमी से बदला लेती हैं...

बिंदु एक। जड़ों को नजर से पहचानना चाहिए!

49 का वर्गमूल क्या है? सात? सही! आपको कैसे पता चला कि सात थे? सात का वर्ग और 49 मिला? सही ढंग से! कृपया ध्यान दें कि जड़ निकालें 49 में से हमें उल्टा ऑपरेशन करना था - वर्ग 7! और सुनिश्चित करें कि हम चूकें नहीं। या वे चूक सकते हैं ...

इसमें कठिनाई है जड़ निष्कर्षण. बराबरीकोई भी संख्या बिना किसी समस्या के संभव है। एक कॉलम में संख्या को अपने आप से गुणा करें - और बस इतना ही। लेकिन के लिए जड़ निष्कर्षणऐसी कोई सरल और परेशानी मुक्त तकनीक नहीं है। के लिये उत्तरदयी होना उठानाउत्तर दें और इसे हिट बाय स्क्वेयरिंग के लिए जांचें।

यह जटिल रचनात्मक प्रक्रिया - एक उत्तर चुनना - बहुत सरल है यदि आप याद करनालोकप्रिय संख्याओं के वर्ग। गुणन तालिका की तरह। यदि, मान लें, आपको 4 को 6 से गुणा करने की आवश्यकता है - आप चार को 6 बार नहीं जोड़ते हैं, है ना? उत्तर तुरंत 24 आता है। हालाँकि, सभी के पास यह नहीं है, हाँ ...

जड़ों के साथ स्वतंत्र और सफल कार्य के लिए, 1 से 20 तक की संख्याओं के वर्गों को जानना पर्याप्त है। इसके अलावा, वहांतथा पीछे।वे। आप दोनों को आसानी से नाम देने में सक्षम होना चाहिए, कहते हैं, 11 वर्ग और 121 का वर्गमूल। इस याद को प्राप्त करने के लिए, दो तरीके हैं। सबसे पहले वर्गों की तालिका सीखना है। यह उदाहरणों के साथ बहुत मदद करेगा। दूसरा अधिक उदाहरणों को हल करना है। वर्गों की तालिका को याद रखना बहुत अच्छा है।

और कोई कैलकुलेटर नहीं! केवल सत्यापन के लिए। नहीं तो परीक्षा के दौरान आप बेरहमी से धीमे हो जाएंगे...

इसलिए, वर्गमूल क्या हैऔर कैसे जड़ें निकालें- मुझे लगता है कि यह समझ में आता है। अब आइए जानें कि आप उन्हें किससे निकाल सकते हैं।

बिंदु दो। रूट, मैं तुम्हें नहीं जानता!

आप किन संख्याओं से वर्गमूल निकाल सकते हैं? हाँ, लगभग कोई भी। यह समझना आसान है क्या यह निषिद्ध हैउन्हें निकालें।

आइए इस रूट की गणना करने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, आपको एक संख्या चुननी होगी जो चुकता हमें -4 देगा। हम चुनते हैं।

क्या नहीं चुना गया है? 2 2 +4 देता है। (-2) 2 फिर से +4 देता है! बस... ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो चुकता करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या देगी! भले ही मैं संख्या जानता हूं। लेकिन मैं आपको नहीं बताऊंगा।) कॉलेज जाओ और खुद पता लगाओ।

यही कहानी किसी भी नेगेटिव नंबर की होगी। इसलिए निष्कर्ष:

एक व्यंजक जिसमें एक ऋणात्मक संख्या वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत है - कोई मतलब नहीं! यह एक निषिद्ध ऑपरेशन है। जैसा कि शून्य से विभाजन के रूप में निषिद्ध है। इस तथ्य को ध्यान में रखें!या, दूसरे शब्दों में:

आप ऋणात्मक संख्याओं से वर्गमूल नहीं निकाल सकते!

लेकिन बाकी सब - आप कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, गणना करना संभव है

पहली नज़र में, यह बहुत मुश्किल है। भिन्न उठाओ, लेकिन वर्ग बनाओ ... चिंता मत करो। जब हम जड़ों के गुणों के बारे में बात करते हैं, तो ऐसे उदाहरणों को उसी वर्ग तालिका में घटा दिया जाएगा। जीवन आसान हो जाएगा!

ठीक अंश। लेकिन हम अभी भी इस तरह के भावों में आते हैं:

कोई बात नहीं। सब एक जैसे। दो का वर्गमूल वह संख्या है, जिसका वर्ग करने पर हमें एक ड्यूस प्राप्त होता है। केवल संख्या पूरी तरह से असमान है ... यहाँ यह है:

दिलचस्प बात यह है कि यह भिन्न कभी समाप्त नहीं होता... ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है। वर्गमूल में, यह सबसे आम बात है। वैसे, इसीलिए जड़ वाले व्यंजक कहलाते हैं तर्कहीन. यह स्पष्ट है कि इस तरह के एक अनंत अंश को हर समय लिखना असुविधाजनक है। इसलिए, अनंत भिन्न के बजाय, वे इसे इस तरह छोड़ देते हैं:

यदि, उदाहरण को हल करते समय, आपको कुछ ऐसा मिलता है जो निकालने योग्य नहीं है, जैसे:

फिर हम इसे ऐसे ही छोड़ देते हैं। यह उत्तर होगा।

आपको स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है कि आइकन के नीचे क्या है

बेशक, अगर संख्या की जड़ ली जाती है चिकना, आपको ऐसा करना चाहिए। उदाहरण के लिए प्रपत्र में कार्य का उत्तर

काफी पूरा जवाब।

और, ज़ाहिर है, आपको स्मृति से अनुमानित मूल्यों को जानने की जरूरत है:

यह ज्ञान जटिल कार्यों में स्थिति का आकलन करने में बहुत मदद करता है।

बिंदु तीन। सबसे शातिर।

जड़ों के साथ काम करने में मुख्य भ्रम सिर्फ इस सनक द्वारा लाया जाता है। यह वह है जो आत्म-संदेह देता है ... चलो इस सनक से ठीक से निपटें!

शुरू करने के लिए, हम फिर से उनके चारों का वर्गमूल निकालते हैं। क्या, क्या मैं तुम्हें पहले ही इस जड़ से मिला चुका हूँ?) कुछ नहीं, अब यह दिलचस्प होगा!

4 के वर्ग में क्या अंक देगा? खैर, दो, दो - मैं असंतुष्ट उत्तर सुनता हूं ...

सही। दो। लेकिन घटा दो 4 चुकता देगा ... इस बीच, उत्तर

सही और उत्तर

सबसे बड़ी गलती। इस प्रकार सं.

तो सौदा क्या है?

दरअसल, (-2) 2 = 4. और चार . के वर्गमूल की परिभाषा के तहत घटा दोकाफी उपयुक्त ... यह भी चार का वर्गमूल है।

परंतु! गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में वर्गमूलों पर विचार करने की प्रथा है केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ!यानी शून्य और सभी सकारात्मक। यहां तक ​​कि एक विशेष शब्द गढ़ा गया था: संख्या से एक- ये है गैर नकारात्मकवह संख्या जिसका वर्ग है एक. अंकगणितीय वर्गमूल निकालने पर नकारात्मक परिणाम आसानी से छोड़ दिए जाते हैं। स्कूल में, सभी वर्गमूल - अंकगणित. हालांकि इसका विशेष रूप से उल्लेख नहीं किया गया है।

ठीक है, यह समझ में आता है। नकारात्मक परिणामों के साथ खिलवाड़ न करना और भी बेहतर है... यह अभी भ्रम की स्थिति नहीं है।

द्विघात समीकरणों को हल करते समय भ्रम शुरू होता है। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

समीकरण सरल है, हम उत्तर लिखते हैं (जैसा सिखाया गया है):

यह उत्तर (बिल्कुल सही, वैसे) सिर्फ एक संक्षिप्त संकेतन है दोउत्तर:

रुक रुक! थोड़ा ऊपर मैंने लिखा कि वर्गमूल एक संख्या है हमेशागैर नकारात्मक! और यहाँ एक उत्तर है - नकारात्मक! विकार। यह पहली (लेकिन आखिरी नहीं) समस्या है जो जड़ों के अविश्वास का कारण बनती है ... आइए इस समस्या को हल करें। आइए उत्तर इस प्रकार लिखें (विशुद्ध रूप से समझने के लिए!):

कोष्ठक उत्तर के सार को नहीं बदलते हैं। मैं बस कोष्ठक के साथ अलग हो गया लक्षणसे जड़. अब यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि मूल स्वयं (कोष्ठक में) अभी भी एक गैर-ऋणात्मक संख्या है! और संकेत हैं समीकरण को हल करने का परिणाम. आखिरकार, किसी भी समीकरण को हल करते समय हमें लिखना चाहिए सब x, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही परिणाम देगा। पांच (सकारात्मक!) की जड़ हमारे प्लस और माइनस दोनों के समीकरण के लिए उपयुक्त है।

इस प्रकार सं. अगर तुम बस वर्गमूल लेंआप किसी भी चीज़ से हमेशाप्राप्त एक गैर नकारात्मकनतीजा। उदाहरण के लिए:

क्योंकि यह - अंकगणित वर्गमूल.

लेकिन अगर आप कुछ द्विघात समीकरण हल करते हैं जैसे:

फिर हमेशायह पता चला है दोउत्तर (प्लस और माइनस के साथ):

क्योंकि यह एक समीकरण का हल है।

आशा, वर्गमूल क्या हैआपने अपने अंक के साथ इसे सही पाया। अब यह पता लगाना बाकी है कि जड़ों का क्या किया जा सकता है, उनके गुण क्या हैं। और सनक और पानी के नीचे के बक्से क्या हैं ... क्षमा करें, पत्थर!)

यह सब - अगले पाठों में।

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

जड़ सूत्र। वर्गमूल के गुण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
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और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

पिछले पाठ में हमने जाना कि वर्गमूल क्या होता है। यह पता लगाने का समय है कि क्या हैं जड़ों के लिए सूत्र, क्या हैं मूल गुणऔर इस सब के बारे में क्या किया जा सकता है।

मूल सूत्र, मूल गुण, और मूल के साथ क्रियाओं के नियम- यह अनिवार्य रूप से वही बात है। वर्गमूलों के लिए आश्चर्यजनक रूप से कुछ सूत्र हैं। जो, ज़ाहिर है, प्रसन्न! बल्कि, आप सभी प्रकार के बहुत सारे सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन जड़ों के साथ व्यावहारिक और आत्मविश्वास से काम करने के लिए केवल तीन ही पर्याप्त हैं। बाकी सब कुछ इन्हीं तीनों से प्रवाहित होता है। हालांकि कई लोग जड़ों के तीन सूत्रों में भटक जाते हैं, हां...

आइए सबसे सरल से शुरू करें। वहाँ है वो:

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छात्र हमेशा पूछते हैं: “मैं गणित की परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग क्यों नहीं कर सकता? कैलकुलेटर के बिना किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें? आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें।

कैलकुलेटर की सहायता के बिना किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें?

गतिविधि वर्गमूल निष्कर्षणवर्ग के विपरीत।

√81= 9 9 2 =81

यदि हम किसी धनात्मक संख्या का वर्गमूल लें और परिणाम का वर्ग करें, तो हमें वही संख्या प्राप्त होती है।

छोटी संख्याओं से, जो प्राकृतिक संख्याओं के सटीक वर्ग हैं, उदाहरण के लिए 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, वर्गमूल मौखिक रूप से निकाले जा सकते हैं। आमतौर पर स्कूल में वे बीस तक प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की एक तालिका पढ़ाते हैं। इस तालिका को जानने के बाद, संख्या 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 से वर्गमूल निकालना आसान है। 400 से अधिक संख्याओं से, आप कुछ युक्तियों का उपयोग करके चयन विधि का उपयोग करके निकाल सकते हैं। आइए इस पद्धति पर विचार करने के लिए एक उदाहरण का प्रयास करें।

उदाहरण: संख्या 676 . का मूल निकालें.

हम देखते हैं कि 20 2 \u003d 400, और 30 2 \u003d 900, जिसका अर्थ है 20< √676 < 900.

प्राकृत संख्याओं का सटीक वर्ग 0 पर समाप्त होता है; एक; चार; 5; 6; 9.
संख्या 6 को 4 2 और 6 2 द्वारा दिया गया है।
अत: यदि 676 से मूल लिया जाए तो वह 24 या 26 होता है।

यह जांचना बाकी है: 24 2 = 576, 26 2 = 676।

उत्तर: √676 = 26 .

अधिक उदाहरण: √6889 .

80 2 \u003d 6400, और 90 2 \u003d 8100 के बाद से, फिर 80< √6889 < 90.
संख्या 9 को 3 2 और 7 2 द्वारा दिया जाता है, तो 6889 या तो 83 या 87 है।

जाँच करें: 83 2 = 6889।

उत्तर: √6889 = 83 .

यदि आपको चयन विधि द्वारा हल करना कठिन लगता है, तो आप मूल व्यंजक को गुणनखंडित कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, 893025 . खोजें.

आइए संख्या 893025 का गुणनखंड करें, याद रखें, आपने इसे छठी कक्षा में किया था।

हम पाते हैं: 893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945।

अधिक उदाहरण: 20736. आइए संख्या 20736 का गुणनखंड करें:

हमें 20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 प्राप्त होता है।

बेशक, फैक्टरिंग के लिए विभाज्यता मानदंड और फैक्टरिंग कौशल के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

और अंत में, वहाँ है वर्गमूल नियम. आइए इस नियम को एक उदाहरण के साथ देखें।

गणना √279841.

एक बहु-अंकीय पूर्णांक का मूल निकालने के लिए, हम इसे दाएं से बाएं फलकों में विभाजित करते हैं जिनमें से प्रत्येक में 2 अंक होते हैं (बाएं चरम चेहरे में एक अंक हो सकता है)। इस तरह लिखें 27'98'41

मूल (5) का पहला अंक प्राप्त करने के लिए, हम पहले बाएं फलक (27) में निहित सबसे बड़े सटीक वर्ग का वर्गमूल निकालते हैं।
फिर मूल (25) के पहले अंक का वर्ग पहले फलक से घटाया जाता है और अगले फलक (98) को अंतर के लिए जिम्मेदार (ध्वस्त) किया जाता है।
प्राप्त संख्या 298 के बाईं ओर, वे मूल (10) का दोहरा अंक लिखते हैं, इससे पहले प्राप्त संख्या (29/2 2) के सभी दसियों की संख्या को विभाजित करते हैं, भागफल का अनुभव करते हैं (102 ∙ 2 = 204 298 से अधिक नहीं होना चाहिए और मूल के पहले अंक के बाद (2) लिखें।
फिर परिणामी भागफल 204 को 298 से घटाया जाता है, और अगले पहलू (41) को अंतर (94) के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है।
परिणामी संख्या 9441 के बाईं ओर, वे जड़ के अंकों का दोहरा गुणनफल (52 2 = 104) लिखते हैं, इस गुणनफल से संख्या 9441 (944/104 ≈ 9) के सभी दहाई की संख्या को विभाजित करते हैं, अनुभव भागफल (1049 9 = 9441) 9441 होना चाहिए और इसे मूल के दूसरे अंक के बाद (9) लिख दें।

हमें उत्तर मिला √279841 = 529।

इसी तरह निकालें दशमलव की जड़ें. केवल मूलांक को फलकों में विभाजित किया जाना चाहिए ताकि अल्पविराम चेहरों के बीच हो।

उदाहरण. 0.00956484 का मान ज्ञात कीजिए।

बस याद रखें कि यदि दशमलव भिन्न में दशमलव स्थानों की संख्या विषम है, तो वर्गमूल उसमें से बिल्कुल नहीं निकाला जाता है।

तो, अब आपने जड़ निकालने के तीन तरीके देखे हैं। वह चुनें जो आपको सबसे अच्छा लगे और अभ्यास करें। समस्याओं को हल करने का तरीका जानने के लिए, आपको उन्हें हल करना होगा। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो मेरे पाठों के लिए साइन अप करें।

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