रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के सबसे सरल तरीकों में से एक तकनीक है जो निर्धारकों की गणना पर आधारित है ( क्रैमर का नियम) इसका लाभ यह है कि यह आपको समाधान को तुरंत रिकॉर्ड करने की अनुमति देता है, यह उन मामलों में विशेष रूप से सुविधाजनक है जहां सिस्टम गुणांक संख्याएं नहीं हैं, लेकिन कुछ पैरामीटर हैं। इसका नुकसान बड़ी संख्या में समीकरणों के मामले में गणना की बोझिलता है, इसके अलावा, क्रैमर का नियम उन प्रणालियों पर सीधे लागू नहीं होता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है। ऐसे मामलों में, यह आमतौर पर प्रयोग किया जाता है गॉस विधि.

रैखिक समीकरणों के निकाय जिनके हल समान होते हैं, कहलाते हैं बराबर. जाहिर है, एक रैखिक प्रणाली के समाधान का सेट नहीं बदलेगा यदि कोई समीकरण आपस में बदल दिया जाता है, या यदि समीकरणों में से एक को किसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है, या यदि एक समीकरण को दूसरे में जोड़ा जाता है।

गॉस विधि (अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि) इस तथ्य में निहित है कि, प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, सिस्टम को एक समान चरणबद्ध प्रणाली में घटा दिया जाता है। सबसे पहले, पहले समीकरण की मदद से, एक्ससिस्टम के सभी बाद के समीकरणों में से 1। फिर, दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम समाप्त करते हैं एक्सतीसरे और बाद के सभी समीकरणों में से 2। इस प्रक्रिया, कहा जाता है प्रत्यक्ष गॉस विधि, तब तक जारी रहता है जब तक कि अंतिम समीकरण के बाईं ओर केवल एक अज्ञात रहता है एक्स एन. उसके बाद, इसे बनाया जाता है गाऊसी रिवर्स- अंतिम समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं एक्स एन; उसके बाद, इस मान का उपयोग करते हुए, अंतिम समीकरण से हम गणना करते हैं एक्स एन-1 आदि अंतिम हम पाते हैं एक्सप्रथम समीकरण से 1.

गॉसियन परिवर्तन आसानी से समीकरणों के साथ नहीं, बल्कि उनके गुणांक के मैट्रिक्स के साथ परिवर्तन करके आसानी से किए जाते हैं। मैट्रिक्स पर विचार करें:

बुलाया विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली,क्योंकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के अलावा, इसमें मुक्त सदस्यों का एक कॉलम शामिल है। गॉस विधि प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के प्राथमिक पंक्ति परिवर्तन (!)

उदाहरण 5.1.गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

समाधान. आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और, पहली पंक्ति का उपयोग करके, उसके बाद हम शेष तत्वों को शून्य पर सेट करेंगे:

हमें पहले कॉलम की दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में शून्य मिलता है:

अब हमें दूसरी पंक्ति के नीचे दूसरे कॉलम में सभी तत्वों को शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आप दूसरी पंक्ति को -4/7 से गुणा कर सकते हैं और तीसरी पंक्ति में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नों से निपटने के लिए, हम दूसरे कॉलम की दूसरी पंक्ति में एक इकाई बनाएंगे और केवल

अब, एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए, आपको तीसरे कॉलम की चौथी पंक्ति के तत्व को शून्य करना होगा, इसके लिए आप तीसरी पंक्ति को 8/54 से गुणा कर सकते हैं और इसे चौथे में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नों से निपटने के लिए, हम तीसरी और चौथी पंक्तियों और तीसरे और चौथे कॉलम को स्वैप करेंगे, और उसके बाद ही हम निर्दिष्ट तत्व को रीसेट करेंगे। ध्यान दें कि जब स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो संबंधित चरों की अदला-बदली की जाती है, और इसे याद रखना चाहिए; कॉलम के साथ अन्य प्राथमिक परिवर्तन (एक संख्या से जोड़ और गुणा) नहीं किया जा सकता है!

अंतिम सरलीकृत मैट्रिक्स मूल के बराबर समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाती है:

यहाँ से, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से पाते हैं एक्स 3 = -1; तीसरे से एक्स 4 = -2, दूसरे से एक्स 2 = 2 और पहले समीकरण से एक्स 1 = 1. मैट्रिक्स रूप में, उत्तर को इस प्रकार लिखा जाता है

हमने मामले पर विचार किया है जब सिस्टम निश्चित है, अर्थात। जब एक ही उपाय हो। आइए देखें कि क्या होता है यदि सिस्टम असंगत या अनिश्चित है।

उदाहरण 5.2।गाऊसी पद्धति का उपयोग करके सिस्टम का अन्वेषण करें:

समाधान. हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते और बदलते हैं

हम समीकरणों की एक सरलीकृत प्रणाली लिखते हैं:

यहाँ, पिछले समीकरण में, यह निकला कि 0=4, अर्थात्। अंतर्विरोध। इसलिए, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, अर्थात। वह है असंगत. à

उदाहरण 5.3।गाऊसी पद्धति का उपयोग करके सिस्टम का अन्वेषण और समाधान करें:

समाधान. हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते और बदलते हैं:

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, अंतिम पंक्ति में केवल शून्य प्राप्त हुए। इसका मतलब है कि समीकरणों की संख्या में एक की कमी आई है:

इस प्रकार, सरलीकरण के बाद, दो समीकरण बने रहते हैं, और चार अज्ञात, अर्थात्। दो अज्ञात "अतिरिक्त"। चलो "अनावश्यक", या, जैसा कि वे कहते हैं, मुक्त चर, मर्जी एक्स 3 और एक्सचार । फिर

यह मानते हुए एक्स 3 = 2एकतथा एक्स 4 = बी, हम पाते हैं एक्स 2 = 1–एकतथा एक्स 1 = 2बी–एक; या मैट्रिक्स रूप में

इस प्रकार लिखा हुआ हल कहलाता है सामान्य, चूंकि, पैरामीटर देकर एकतथा बीविभिन्न मूल्यों, सिस्टम के सभी संभावित समाधानों का वर्णन करना संभव है। एक

गॉस विधिरैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणालियों को हल करने के लिए बहुत अच्छा है। अन्य तरीकों की तुलना में इसके कई फायदे हैं:

• सबसे पहले, संगतता के लिए समीकरणों की प्रणाली की पूर्व-जांच की कोई आवश्यकता नहीं है;
• दूसरे, गॉस विधि का उपयोग न केवल SLAE को हल करने के लिए किया जा सकता है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है, बल्कि समीकरणों की प्रणाली भी है जिसमें समीकरणों की संख्या मेल नहीं खाती है अज्ञात चर की संख्या या मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक शून्य के बराबर है;
• तीसरा, गॉस विधि अपेक्षाकृत कम संख्या में कम्प्यूटेशनल संचालन के साथ परिणाम देती है।

लेख की संक्षिप्त समीक्षा।

सबसे पहले, हम आवश्यक परिभाषाएँ देते हैं और कुछ संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

अगला, हम सबसे सरल मामले के लिए गॉस विधि के एल्गोरिथ्म का वर्णन करते हैं, अर्थात रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए, समीकरणों की संख्या जिसमें अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाता है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक नहीं हैं शून्य के बराबर। समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करते समय, गॉस पद्धति का सार सबसे स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, जिसमें अज्ञात चर का क्रमिक उन्मूलन होता है। इसलिए, गॉसियन विधि को अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। आइए हम कई उदाहरणों के विस्तृत समाधान दिखाते हैं।

अंत में, हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के गाऊसी समाधान पर विचार करते हैं, जिनमें से मुख्य मैट्रिक्स या तो आयताकार या पतित है। ऐसी प्रणालियों के समाधान में कुछ विशेषताएं हैं, जिनका हम उदाहरणों का उपयोग करके विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

बुनियादी परिभाषाएँ और संकेतन।

n अज्ञात के साथ p रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें (p n के बराबर हो सकता है):

जहां अज्ञात चर हैं, संख्याएं हैं (वास्तविक या जटिल), स्वतंत्र सदस्य हैं।

यदि एक , तब रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय कहलाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

अज्ञात चरों के मानों का समुच्चय, जिसमें निकाय के सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, कहलाते हैं SLAU निर्णय.

यदि रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय का कम से कम एक हल हो, तो उसे कहते हैं संयुक्त, अन्यथा - असंगत.

यदि किसी SLAE का एक अनूठा समाधान है, तो उसे कहा जाता है निश्चित. यदि एक से अधिक हल हों, तो निकाय कहलाता है ढुलमुल.

कहा जाता है कि सिस्टम में लिखा गया है समन्वय प्रपत्रअगर इसका रूप है
.

में यह प्रणाली मैट्रिक्स फॉर्मअभिलेखों का रूप है, जहां - SLAE का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर के कॉलम का मैट्रिक्स, - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n + 1)-वें कॉलम को फ्री टर्म्स के मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली। आमतौर पर, संवर्धित मैट्रिक्स को अक्षर T द्वारा निरूपित किया जाता है, और मुक्त सदस्यों के स्तंभ को शेष स्तंभों से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

वर्ग मैट्रिक्स A को कहा जाता है पतितयदि इसका सारणिक शून्य है। यदि , तो मैट्रिक्स A को कहा जाता है गैर पतित.

निम्नलिखित बिंदु पर ध्यान दिया जाना चाहिए।

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के साथ निम्नलिखित क्रियाएं की जाती हैं

• दो समीकरण स्वैप करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक मनमाना और गैर-शून्य वास्तविक (या जटिल) संख्या k से गुणा करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों भागों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को एक मनमाना संख्या k से गुणा करके जोड़ें,

तब हमें एक समान प्रणाली मिलती है जिसमें समान समाधान होते हैं (या, मूल की तरह, कोई समाधान नहीं होता है)।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के लिए, इन क्रियाओं का अर्थ होगा पंक्तियों के साथ प्राथमिक परिवर्तन करना:

• दो तारों की अदला-बदली
• मैट्रिक्स T की किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या k से गुणा करना,
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़ना, एक मनमाना संख्या k से गुणा करना।

अब हम गॉस विधि के विवरण के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

गॉस विधि द्वारा रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की सॉल्विंग सिस्टम, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट होता है।

अगर हमें समीकरणों की एक प्रणाली का हल खोजने का काम दिया जाए तो हम स्कूल में क्या करेंगे? .

कुछ ऐसा करेंगे।

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के बाईं ओर पहले समीकरण के बाईं ओर और दाईं ओर दाईं ओर जोड़कर, आप अज्ञात चर x 2 और x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और तुरंत x 1 ढूंढ सकते हैं:

हम सिस्टम के पहले और तीसरे समीकरणों में पाए गए मान x 1 \u003d 1 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि हम निकाय के तीसरे समीकरण के दोनों भागों को -1 से गुणा करते हैं और उन्हें पहले समीकरण के संगत भागों में जोड़ते हैं, तो हम अज्ञात चर x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और x 2 पा सकते हैं:

हम प्राप्त मान x 2 \u003d 2 को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और शेष अज्ञात चर x 3 पाते हैं:

दूसरों ने अन्यथा किया होता।

आइए अज्ञात चर x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल करें और परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों में इस चर को बाहर करने के लिए प्रतिस्थापित करें:

अब आइए x 2 के संबंध में सिस्टम के दूसरे समीकरण को हल करें और तीसरे समीकरण में परिणाम को अज्ञात चर x 2 से बाहर करने के लिए प्रतिस्थापित करें:

यह प्रणाली के तीसरे समीकरण से देखा जा सकता है कि x 3 =3। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं , और पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।

परिचित समाधान, है ना?

यहां सबसे दिलचस्प बात यह है कि दूसरी समाधान विधि अनिवार्य रूप से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है, अर्थात गॉस विधि। जब हमने अज्ञात चरों (पहले x 1 , अगले x 2 ) को व्यक्त किया और उन्हें सिस्टम के बाकी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, तो हमने उन्हें बाहर कर दिया। हमने उस समय तक अपवाद को अंजाम दिया जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल एक अज्ञात चर नहीं बचा। अज्ञातों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. आगे की चाल पूरी होने के बाद, हमारे पास अंतिम समीकरण में अज्ञात चर की गणना करने का अवसर है। इसकी मदद से, अंतिम समीकरण से, हम अगला अज्ञात चर पाते हैं, और इसी तरह। अंतिम समीकरण से पहले समीकरण की ओर बढ़ते हुए अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से खोजने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब हम पहले समीकरण में x 1 को x 2 और x 3 के रूप में व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्नलिखित क्रियाएं समान परिणाम देती हैं:

दरअसल, ऐसी प्रक्रिया हमें अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करने की अनुमति देती है:

गॉस विधि द्वारा अज्ञात चर के उन्मूलन के साथ बारीकियां तब उत्पन्न होती हैं जब सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, SLAU . में पहले समीकरण में, कोई अज्ञात चर x 1 नहीं है (दूसरे शब्दों में, इसके सामने गुणांक शून्य है)। इसलिए, हम इस अज्ञात चर को शेष समीकरणों से बाहर करने के लिए x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं। इस स्थिति से बाहर निकलने का तरीका व्यवस्था के समीकरणों की अदला-बदली करना है। चूंकि हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार कर रहे हैं जिनके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक शून्य से भिन्न होते हैं, वहां हमेशा एक समीकरण मौजूद होता है जिसमें हमें जिस चर की आवश्यकता होती है वह मौजूद होता है, और हम इस समीकरण को उस स्थिति में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता होती है। हमारे उदाहरण के लिए, सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों को स्वैप करने के लिए पर्याप्त है , तो आप x 1 के लिए पहले समीकरण को हल कर सकते हैं और इसे सिस्टम के बाकी समीकरणों से बाहर कर सकते हैं (हालाँकि x 1 पहले से ही दूसरे समीकरण में अनुपस्थित है)।

हमें उम्मीद है कि आपको सार मिल गया होगा।

आइए वर्णन करें गॉस विधि एल्गोरिथ्म।

आइए हमें n रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है जिसमें n अज्ञात चर के रूप में है , और इसके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक को गैर-शून्य होने दें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। हम अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर करते हैं, दूसरे से शुरू करते हुए। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, पहले को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक .

हम उसी परिणाम पर आएंगे यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 व्यक्त करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण को सिस्टम के तीसरे समीकरण से गुणा करें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, दूसरे को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात x 3 के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि इसी तरह से कार्य करते हुए सिस्टम के उस हिस्से के साथ कार्य करते हैं जो चित्र में चिह्नित है

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम पिछले समीकरण से x n की गणना करते हैं, जैसे कि x n के प्राप्त मूल्य का उपयोग करके हम x n-1 को अंतिम समीकरण से पाते हैं, और इसी तरह, हम x 1 को पाते हैं पहला समीकरण।

आइए एक उदाहरण के साथ एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

गाऊसी विधि।

समाधान।

गुणांक ए 11 शून्य से अलग है, तो चलिए गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम के लिए आगे बढ़ते हैं, अर्थात अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से समाप्त करने के लिए, पहले वाले को छोड़कर। ऐसा करने के लिए, दूसरे, तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को क्रमशः गुणा करके जोड़ें, तथा :

अज्ञात चर x 1 को हटा दिया गया है, आइए बहिष्करण x 2 पर चलते हैं। प्रणाली के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, हम दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को गुणा करके जोड़ते हैं तथा :

गॉस विधि के आगे के पाठ्यक्रम को पूरा करने के लिए, हमें अज्ञात चर x 3 को सिस्टम के अंतिम समीकरण से बाहर करने की आवश्यकता है। चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में क्रमशः, तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करके जोड़ें :

आप गॉस विधि का उल्टा कोर्स शुरू कर सकते हैं।

पिछले समीकरण से हमारे पास है ,
तीसरे समीकरण से हमें मिलता है,
दूसरे से
पहले से।

जाँच करने के लिए, आप अज्ञात चर के प्राप्त मूल्यों को समीकरणों की मूल प्रणाली में स्थानापन्न कर सकते हैं। सभी समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, जिसका अर्थ है कि गॉस विधि द्वारा हल सही पाया गया।

उत्तर:

और अब हम इसी उदाहरण के हल को गॉस विधि द्वारा आव्यूह रूप में देंगे।

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें गाऊसी विधि।

समाधान।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है . प्रत्येक कॉलम के ऊपर अज्ञात चर लिखे होते हैं, जो मैट्रिक्स के तत्वों के अनुरूप होते हैं।

गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम में प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक समलम्बाकार रूप में लाना शामिल है। यह प्रक्रिया अज्ञात चर के बहिष्करण के समान है जो हमने सिस्टम के साथ समन्वय रूप में किया था। अब आपको यकीन हो गया होगा।

आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें ताकि दूसरे से शुरू होने वाले पहले कॉलम में सभी तत्व शून्य हो जाएं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में, पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें, और क्रमशः:

अगला, हम परिणामी मैट्रिक्स को रूपांतरित करते हैं ताकि दूसरे कॉलम में, तीसरे से शुरू होने वाले सभी तत्व शून्य हो जाएं। यह अज्ञात चर x 2 को बाहर करने के अनुरूप होगा। ऐसा करने के लिए, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें तथा :

यह अज्ञात चर x 3 को सिस्टम के अंतिम समीकरण से बाहर करने के लिए बनी हुई है। ऐसा करने के लिए, परिणामी मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति के तत्वों में, हम अंतिम पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं :

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है

जो प्रत्यक्ष चाल के बाद पहले प्राप्त हुआ था।

वापस मुड़ने का समय आ गया है। संकेतन के मैट्रिक्स रूप में, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स में परिणामी मैट्रिक्स का ऐसा परिवर्तन शामिल होता है, जिससे मैट्रिक्स को आकृति में चिह्नित किया जाता है

विकर्ण बन गया, अर्थात् रूप धारण कर लिया

कुछ नंबर कहां हैं।

ये परिवर्तन गॉस पद्धति के समान हैं, लेकिन पहली पंक्ति से अंतिम तक नहीं, बल्कि अंतिम से पहली तक की जाती हैं।

तीसरी, दूसरी और पहली पंक्तियों के तत्वों में अंतिम पंक्ति के संगत तत्वों को गुणा करके जोड़ें , इत्यादि क्रमश:

अब दूसरी और पहली पंक्तियों के तत्वों में तीसरी पंक्ति के संगत तत्वों को क्रमशः गुणा और गुणा करते हैं:

गाऊसी विधि के रिवर्स मोशन के अंतिम चरण में, हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को पहली पंक्ति के तत्वों से गुणा करके जोड़ते हैं:

परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है , जिसमें से हम अज्ञात चर पाते हैं।

उत्तर:

टिप्पणी।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस पद्धति का उपयोग करते समय, अनुमानित गणनाओं से बचा जाना चाहिए, क्योंकि इससे बिल्कुल गलत परिणाम हो सकते हैं। हम अनुशंसा करते हैं कि आप दशमलव को गोल न करें। दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न में जाना बेहतर है।

उदाहरण।

गाऊसी विधि द्वारा तीन समीकरणों की प्रणाली को हल करें .

समाधान।

ध्यान दें कि इस उदाहरण में, अज्ञात चरों का एक अलग पदनाम है (x 1 , x 2 , x 3 नहीं, बल्कि x, y, z )। आइए सामान्य भिन्नों पर चलते हैं:

सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात x को हटा दें:

परिणामी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में कोई अज्ञात चर y नहीं है, और y तीसरे समीकरण में मौजूद है, इसलिए, हम दूसरे और तीसरे समीकरण को स्वैप करते हैं:

इस बिंदु पर, गॉस विधि का प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम समाप्त हो गया है (आपको y को तीसरे समीकरण से बाहर करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह अज्ञात चर अब मौजूद नहीं है)।

चलिये वापस चलते हैं।

अंतिम समीकरण से हम पाते हैं ,
अंतिम से


पहले समीकरण से हमारे पास है

उत्तर:

एक्स = 10, वाई = 5, जेड = -20।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है, या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गॉस विधि द्वारा पतित है।

समीकरणों की प्रणाली जिसका मुख्य मैट्रिक्स आयताकार या वर्ग पतित है, का कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक एकल समाधान हो सकता है, या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

अब हम समझेंगे कि कैसे गॉस विधि हमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता या असंगति स्थापित करने की अनुमति देती है, और इसकी संगतता के मामले में, सभी समाधान (या एक एकल समाधान) निर्धारित करें।

सिद्धांत रूप में, ऐसे SLAE के मामले में अज्ञात चर को समाप्त करने की प्रक्रिया समान रहती है। हालांकि, यह कुछ स्थितियों पर विस्तार से ध्यान देने योग्य है जो उत्पन्न हो सकती हैं।

आइए सबसे महत्वपूर्ण कदम पर चलते हैं।

तो, आइए मान लें कि गॉस विधि के फॉरवर्ड रन के पूरा होने के बाद रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली रूप लेती है और कोई भी समीकरण कम नहीं हुआ (इस मामले में, हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि सिस्टम असंगत है)। एक तार्किक प्रश्न उठता है: "आगे क्या करना है"?

हम अज्ञात चर लिखते हैं जो परिणामी प्रणाली के सभी समीकरणों के पहले स्थान पर हैं:

हमारे उदाहरण में, ये x 1 , x 4 और x 5 हैं। सिस्टम के समीकरणों के बाएं हिस्सों में, हम केवल उन शब्दों को छोड़ते हैं जिनमें लिखित अज्ञात चर x 1, x 4 और x 5 होते हैं, हम शेष शर्तों को विपरीत चिह्न के साथ समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम अज्ञात चरों के लिए मनमाना मान निर्दिष्ट करें जो समीकरणों के दायीं ओर हैं, जहां - मनमानी संख्या:

उसके बाद, हमारे SLAE के सभी समीकरणों के सही भागों में संख्याएँ पाई जाती हैं और हम गॉस विधि के रिवर्स कोर्स के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

सिस्टम के अंतिम समीकरण से, हम पाते हैं कि अंतिम समीकरण से, पहले समीकरण से हमें मिलता है

समीकरणों की प्रणाली का समाधान अज्ञात चर के मूल्यों का समूह है

नंबर देना अलग-अलग मान, हमें समीकरणों की प्रणाली के अलग-अलग समाधान मिलेंगे। अर्थात्, हमारे समीकरणों के निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

उत्तर:

कहाँ पे - मनमानी संख्या।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम कई और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

रैखिक बीजीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि।

समाधान।

आइए अज्ञात चर x को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को, क्रमशः, दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, गुणा करके, और तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, बाएँ और दाएँ भागों को जोड़ें। पहला समीकरण, इससे गुणा:

अब हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली के तीसरे समीकरण से y को बाहर करते हैं:

परिणामी SLAE सिस्टम के समतुल्य है .

हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर केवल अज्ञात चर x और y वाले पदों को छोड़ते हैं, और अज्ञात चर z वाले पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आज हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि से निपटते हैं। क्रैमर विधि द्वारा समान SLAE को हल करने के लिए समर्पित पिछले लेख में आप इन प्रणालियों के बारे में पढ़ सकते हैं। गॉस विधि के लिए किसी विशिष्ट ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, केवल देखभाल और निरंतरता की आवश्यकता होती है। इस तथ्य के बावजूद कि गणित के दृष्टिकोण से, स्कूल की तैयारी इसके आवेदन के लिए पर्याप्त है, इस पद्धति में महारत हासिल करना अक्सर छात्रों के लिए कठिनाइयों का कारण बनता है। इस लेख में, हम उन्हें कुछ भी कम करने की कोशिश करेंगे!

गॉस विधि

एम गॉस विधि SLAE (बहुत बड़ी प्रणालियों के अपवाद के साथ) को हल करने के लिए सबसे सार्वभौमिक तरीका है। पहले चर्चा किए गए के विपरीत, यह न केवल उन प्रणालियों के लिए उपयुक्त है जिनके पास एक अद्वितीय समाधान है, बल्कि उन प्रणालियों के लिए भी उपयुक्त है जिनके पास अनंत समाधान हैं। यहां तीन विकल्प हैं।

1. सिस्टम का एक अनूठा समाधान है (सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है);
2. सिस्टम में अनंत समाधान हैं;
3. कोई समाधान नहीं है, सिस्टम असंगत है।

तो, हमारे पास एक प्रणाली है (इसे एक समाधान होने दें), और हम इसे गाऊसी पद्धति का उपयोग करके हल करने जा रहे हैं। यह काम किस प्रकार करता है?

गाऊसी पद्धति में दो चरण होते हैं - प्रत्यक्ष और उलटा।

प्रत्यक्ष गॉस विधि

सबसे पहले, हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मुख्य मैट्रिक्स में मुक्त सदस्यों का एक कॉलम जोड़ते हैं।

गाऊसी पद्धति का संपूर्ण सार प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से दिए गए मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध (या, जैसा कि वे कहते हैं, त्रिकोणीय) रूप में लाना है। इस रूप में, मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के नीचे (या ऊपर) केवल शून्य होना चाहिए।

क्या किया जा सकता है:

1. आप मैट्रिक्स की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं;
2. यदि मैट्रिक्स में समान (या आनुपातिक) पंक्तियाँ हैं, तो आप उनमें से एक को छोड़कर सभी को हटा सकते हैं;
3. आप स्ट्रिंग को किसी भी संख्या से गुणा या भाग कर सकते हैं (शून्य को छोड़कर);
4. शून्य रेखाएं हटा दी जाती हैं;
5. आप एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करके एक स्ट्रिंग में जोड़ सकते हैं।

रिवर्स गॉस विधि

सिस्टम को इस तरह से बदलने के बाद, एक अज्ञात xn ज्ञात हो जाता है, और शेष सभी अज्ञात को उल्टे क्रम में खोजना संभव है, पहले से ज्ञात x को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित करके, पहले वाले तक।

जब इंटरनेट हमेशा हाथ में हो, तो आप गॉस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं ऑनलाइन ।आपको केवल ऑनलाइन कैलकुलेटर में ऑड्स दर्ज करना है। लेकिन आपको स्वीकार करना चाहिए, यह महसूस करना अधिक सुखद है कि उदाहरण कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा नहीं, बल्कि आपके अपने मस्तिष्क द्वारा हल किया गया था।

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

और अब - एक उदाहरण, ताकि सब कुछ स्पष्ट और समझ में आ जाए। मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है, और इसे गॉस विधि द्वारा हल करना आवश्यक है:

सबसे पहले, आइए संवर्धित मैट्रिक्स लिखें:

आइए अब एक नजर डालते हैं इन बदलावों पर। याद रखें कि हमें मैट्रिक्स के त्रिकोणीय रूप को प्राप्त करने की आवश्यकता है। पहली पंक्ति को (3) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें और प्राप्त करें:

फिर तीसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी में जोड़ें:

पहली पंक्ति को (6) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (13) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

वोइला - सिस्टम को उचित रूप में लाया जाता है। यह अज्ञात को खोजने के लिए बनी हुई है:

इस उदाहरण में सिस्टम का एक अनूठा समाधान है। हम एक अलग लेख में समाधान के अनंत सेट के साथ सिस्टम के समाधान पर विचार करेंगे। शायद पहले तो आपको यह नहीं पता होगा कि मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्मेशन के साथ कहां से शुरुआत करें, लेकिन उचित अभ्यास के बाद आप इस पर अपना हाथ रख लेंगे और नट्स की तरह गॉसियन SLAE पर क्लिक करेंगे। और अगर आप अचानक एक एसएलएयू में आते हैं, जो बहुत मुश्किल हो जाता है, तो हमारे लेखकों से संपर्क करें! आप पत्राचार में एक आवेदन छोड़कर कर सकते हैं। हम सब मिलकर किसी भी समस्या का समाधान करेंगे!

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए, जिसे हल किया जाना चाहिए (अज्ञात i के ऐसे मान खोजें जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को एक समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) एक अनूठा समाधान है।

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधि उन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली के समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण, के जो प्रत्येक स्थिति मेंहमें उत्तर की ओर ले चलो! तीनों मामलों में विधि का एल्गोरिथ्म एक ही तरह से काम करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों के लिए निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

विस्तारित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह प्रणाली का मैट्रिक्स है - एक मैट्रिक्स जो केवल अज्ञात के गुणांक से बना है, साथ ही मुक्त शर्तों का एक स्तंभ)गॉस विधि में रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली:

1) साथ ट्रोकीमैट्रिक्स कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान।

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (या हैं) आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं, तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ।

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी इस प्रकार है मिटाना.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति कर सकते हैं गुणा (विभाजित)शून्य के अलावा किसी भी संख्या के लिए।

5) मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" चरणबद्ध रूप में लाएं: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य के बराबर हैं (ऊपर-नीचे की चाल) ) उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:

1) आइए हम रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 पर गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के लिए गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में होता है, और K से गुणा करते हैं। उसके बाद, दूसरे समीकरण से पहले घटाएं ( अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक)। हम दूसरे समीकरण में x 1 पर गुणांक 0 प्राप्त करते हैं। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को घटाते हैं, इसलिए जब तक कि पहले को छोड़कर, अज्ञात x 1 वाले सभी समीकरणों में गुणांक 0 नहीं होगा।

2) अगले समीकरण पर जाएं। मान लें कि यह दूसरा समीकरण है और x 2 पर गुणांक M के बराबर है। सभी "अधीनस्थ" समीकरणों के साथ, हम ऊपर वर्णित अनुसार आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, सभी समीकरणों में "अंडर" अज्ञात x 2 शून्य होगा।

3) हम अगले समीकरण को पास करते हैं और इसी तरह जब तक एक अंतिम अज्ञात और रूपांतरित मुक्त शब्द नहीं रहता।

1. गॉस विधि का "रिवर्स मूव" रैखिक बीजीय समीकरणों ("नीचे-ऊपर" चाल) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना है। अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान मिलता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n \u003d B को हल करते हैं। ऊपर के उदाहरण में, x 3 \u003d 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 - 4 \u003d 1, अर्थात्। x 2 \u003d 5. और इसी तरह जब तक हम सभी अज्ञात नहीं पाते।

उदाहरण।

जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं, हम गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। आइए इसे इस तरह करें:
1 कदम . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है। यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त क्रिया कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

2 कदम . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

3 कदम . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

4 कदम . तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके जोड़ें।

5 कदम . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया है।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। यानी, अगर हमें नीचे (0 0 11 | 23) जैसा कुछ मिला, और, तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्राथमिक के दौरान एक गलती की गई थी परिवर्तन।

हम रिवर्स मूव करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, "नीचे से ऊपर तक" काम करता है। इस उदाहरण में, उपहार निकला:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, इसलिए x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

उत्तर:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

आइए प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से भाग दें।

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाएं, हमारे पास है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 . से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तीसरे समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं, हमें "चरणबद्ध" संवर्धित मैट्रिक्स मिलता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना की प्रक्रिया में जमा हुई त्रुटि के बाद से, हमें x 3 \u003d 0.96, या लगभग 1 मिलता है।

x 2 \u003d 3 और x 1 \u003d -1।

इस तरह से हल करने से आप गणना में कभी भी भ्रमित नहीं होंगे और गणना त्रुटियों के बावजूद आपको परिणाम मिलेगा।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की यह विधि आसानी से प्रोग्राम करने योग्य है और अज्ञात के लिए गुणांक की विशिष्ट विशेषताओं को ध्यान में नहीं रखती है, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

आपकी सफलता की कामना करते है! कक्षा में मिलेंगे! कोई विषय पढ़ाना।

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मान लीजिए कि निकाय दिया गया है, 0। (एक)
गॉस विधिअज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि है।

गॉस विधि का सार (1) को एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ एक प्रणाली में बदलना है, जिससे सभी अज्ञात के मान क्रमिक रूप से (विपरीत) प्राप्त होते हैं। आइए कम्प्यूटेशनल योजनाओं में से एक पर विचार करें। इस सर्किट को सिंगल डिवीजन सर्किट कहा जाता है। तो आइए एक नजर डालते हैं इस डायग्राम पर। मान लीजिए कि 11 ≠0 (प्रमुख तत्व) पहले समीकरण को 11 से विभाजित करता है। प्राप्त
(2)
समीकरण (2) का उपयोग करते हुए, सिस्टम के शेष समीकरणों से अज्ञात x 1 को बाहर करना आसान है (इसके लिए, प्रत्येक समीकरण से समीकरण (2) को घटाना पर्याप्त है जो कि x 1 पर संबंधित गुणांक से पहले गुणा किया जाता है), कि है, पहले चरण में हम प्राप्त करते हैं
.
दूसरे शब्दों में, चरण 1 पर, बाद की पंक्तियों का प्रत्येक तत्व, दूसरी से शुरू होकर, मूल तत्व और पहले स्तंभ और पहली (रूपांतरित) पंक्ति पर उसके "प्रक्षेपण" के उत्पाद के बीच के अंतर के बराबर है।
उसके बाद, पहले समीकरण को छोड़कर, पहले चरण में प्राप्त सिस्टम के बाकी समीकरणों पर, हम एक समान परिवर्तन करेंगे: हम उनमें से एक प्रमुख तत्व के साथ एक समीकरण चुनते हैं और इसका उपयोग x 2 को बाहर करने के लिए करते हैं। शेष समीकरण (चरण 2)।
n चरणों के बाद, (1) के बजाय हमें एक समान प्रणाली मिलती है
(3)
इस प्रकार, पहले चरण में, हम एक त्रिकोणीय प्रणाली (3) प्राप्त करेंगे। इस कदम को आगे कहा जाता है।
दूसरे चरण (रिवर्स मूव) में हम क्रमिक रूप से (3) मानों x n , x n -1 , …, x 1 से पाते हैं।
आइए प्राप्त समाधान को x 0 के रूप में निरूपित करें। तब अंतर ε=b-A x 0 अवशिष्ट कहा जाता है.
यदि =0, तो पाया गया हल x 0 सही है।

गॉस विधि द्वारा गणना दो चरणों में की जाती है:

1. पहले चरण को विधि का प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम कहा जाता है। पहले चरण में, मूल प्रणाली को त्रिकोणीय रूप में परिवर्तित किया जाता है।
2. दूसरे चरण को रिवर्स कहा जाता है। दूसरे चरण में, मूल के बराबर एक त्रिकोणीय प्रणाली हल की जाती है।

गुणांक a 11 , a 22 , ..., प्रमुख तत्व कहलाते हैं।
प्रत्येक चरण में यह माना गया कि अग्रणी तत्व शून्य से भिन्न है। यदि ऐसा नहीं है, तो किसी अन्य तत्व को नेता के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, जैसे कि सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करना।

गॉस विधि का उद्देश्य

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए अभिप्रेत है। समाधान के प्रत्यक्ष तरीकों को संदर्भित करता है।

गॉस विधि के प्रकार

1. शास्त्रीय गॉस विधि;
2. गॉस विधि में संशोधन। गाऊसी पद्धति के संशोधनों में से एक मुख्य तत्व की पसंद के साथ सर्किट है। मुख्य तत्व की पसंद के साथ गॉस विधि की एक विशेषता समीकरणों का ऐसा क्रमपरिवर्तन है जिससे k-वें चरण में प्रमुख तत्व k-वें स्तंभ में सबसे बड़ा तत्व है।
3. जॉर्डन-गॉस विधि;

जॉर्डन-गॉस पद्धति और शास्त्रीय पद्धति के बीच अंतर गॉस विधिजब समाधान की खोज की दिशा मुख्य विकर्ण (पहचान मैट्रिक्स में परिवर्तन) के साथ हो तो आयत नियम लागू करना शामिल है। गॉस विधि में, समाधान की खोज की दिशा स्तंभों के साथ होती है (त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाले सिस्टम में परिवर्तन)।
अंतर स्पष्ट करें जॉर्डन-गॉस विधिउदाहरण के लिए गॉस विधि से।

गॉस समाधान उदाहरण
आइए सिस्टम को हल करें:

गणना की सुविधा के लिए, हम लाइनों को स्वैप करते हैं:

दूसरी पंक्ति को (2) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को 2 . में जोड़ें

दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। पहली पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ें

पहली पंक्ति से हम x 3 व्यक्त करते हैं:
दूसरी पंक्ति से हम x 2 व्यक्त करते हैं:
तीसरी पंक्ति से हम x 1 व्यक्त करते हैं:

जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण
हम जॉर्डनो-गॉस पद्धति का उपयोग करके उसी SLAE को हल करेंगे।

हम क्रमिक रूप से आरई के हल करने वाले तत्व का चयन करेंगे, जो मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर स्थित है।
सक्षम करने वाला तत्व (1) के बराबर है।



एनई \u003d एसई - (ए * बी) / आरई
आरई - सक्षम करने वाला तत्व (1), ए और बी - मैट्रिक्स तत्व एसटीई और आरई के तत्वों के साथ एक आयत बनाते हैं।
आइए तालिका के रूप में प्रत्येक तत्व की गणना प्रस्तुत करें:

एक्स 1	x2	एक्स 3	बी
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

सक्षम करने वाला तत्व (3) के बराबर है।
हल करने वाले तत्व के स्थान पर हमें 1 मिलता है और कॉलम में ही हम शून्य लिखते हैं।
कॉलम बी के तत्वों सहित मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व आयत नियम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
ऐसा करने के लिए, चार संख्याओं का चयन करें जो आयत के शीर्षों पर स्थित हों और हमेशा आरई के सक्षम करने वाले तत्व को शामिल करें।

एक्स 1	x2	एक्स 3	बी
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

सक्षम करने वाला तत्व (-4) है।
हल करने वाले तत्व के स्थान पर हमें 1 मिलता है और कॉलम में ही हम शून्य लिखते हैं।
कॉलम बी के तत्वों सहित मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व आयत नियम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
ऐसा करने के लिए, चार संख्याओं का चयन करें जो आयत के शीर्षों पर स्थित हों और हमेशा आरई के सक्षम करने वाले तत्व को शामिल करें।
आइए तालिका के रूप में प्रत्येक तत्व की गणना प्रस्तुत करें:

एक्स 1	x2	एक्स 3	बी
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

उत्तर: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

गॉस पद्धति का कार्यान्वयन

गॉस विधि कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में लागू की जाती है, विशेष रूप से: पास्कल, सी ++, पीएचपी, डेल्फी, और गॉस विधि का एक ऑनलाइन कार्यान्वयन भी है।

गॉस विधि का उपयोग करना

गेम थ्योरी में गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

गेम थ्योरी में, किसी खिलाड़ी की अधिकतम इष्टतम रणनीति खोजने पर, समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है, जिसे गॉस विधि द्वारा हल किया जाता है।

अंतर समीकरणों को हल करने में गॉस विधि का अनुप्रयोग

किसी अवकल समीकरण के किसी विशेष समाधान की खोज करने के लिए, पहले लिखित विशेष समाधान (y=f(A,B,C,D)) के लिए संबंधित डिग्री के व्युत्पन्न खोजें, जिन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है। इसके अलावा, चर ए, बी, सी, डी को खोजने के लिए, समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है, जिसे गॉस विधि द्वारा हल किया जाता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग में जॉर्डनो-गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

रैखिक प्रोग्रामिंग में, विशेष रूप से, सिंप्लेक्स विधि में, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर एक सिंप्लेक्स तालिका को बदलने के लिए, आयत नियम का उपयोग किया जाता है, जो जॉर्डन-गॉस विधि का उपयोग करता है।