वैकल्पिक विषय का विषय
संख्यात्मक और अक्षर भावों का रूपांतरण
मात्रा 34 घंटे
उच्च गणित शिक्षक
समझौता ज्ञापन "माध्यमिक विद्यालय संख्या 51"
सेराटोव, 2008
वैकल्पिक विषय कार्यक्रम
"संख्यात्मक और अक्षर अभिव्यक्तियों का रूपांतरण"
व्याख्यात्मक नोट
हाल के वर्षों में, स्कूलों में अंतिम परीक्षा, साथ ही विश्वविद्यालयों में प्रवेश परीक्षाएं, परीक्षणों की सहायता से आयोजित की जाती हैं। परीक्षण का यह रूप क्लासिक परीक्षा से अलग है और इसके लिए विशेष तैयारी की आवश्यकता होती है। आज तक विकसित हुए रूप में परीक्षण की एक विशेषता सीमित समय में बड़ी संख्या में प्रश्नों के उत्तर देने की आवश्यकता है, अर्थात यह न केवल पूछे गए प्रश्नों का उत्तर देने के लिए आवश्यक है, बल्कि इसे जल्दी से करने के लिए भी आवश्यक है। इसलिए, विभिन्न तकनीकों, विधियों में महारत हासिल करना महत्वपूर्ण है जो आपको वांछित परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देते हैं।
लगभग किसी भी स्कूल समस्या को हल करते समय, आपको कुछ परिवर्तन करने होंगे। अक्सर, इसकी जटिलता पूरी तरह से जटिलता की डिग्री और परिवर्तनों की मात्रा से निर्धारित होती है जिन्हें करने की आवश्यकता होती है। एक छात्र के लिए किसी समस्या को हल करने में असमर्थ होना असामान्य नहीं है, इसलिए नहीं कि वह यह नहीं जानता कि इसे कैसे हल किया जाए, बल्कि इसलिए कि वह बिना त्रुटियों के उचित समय में सभी आवश्यक परिवर्तन और गणना नहीं कर सकता है।
वैकल्पिक पाठ्यक्रम "संख्यात्मक और पत्र अभिव्यक्तियों का रूपांतरण" हाई स्कूल में गणित में बुनियादी कार्यक्रम का विस्तार और गहरा करता है और इसे कक्षा 11 में अध्ययन के लिए डिज़ाइन किया गया है। प्रस्तावित पाठ्यक्रम का उद्देश्य कम्प्यूटेशनल कौशल और सोच की तीक्ष्णता विकसित करना है। पाठ्यक्रम को उच्च या औसत स्तर के गणितीय प्रशिक्षण वाले छात्रों के लिए डिज़ाइन किया गया है और उन्हें विश्वविद्यालयों में प्रवेश के लिए तैयार करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, ताकि एक गंभीर गणितीय शिक्षा को जारी रखने में योगदान दिया जा सके।
लक्ष्य और लक्ष्य:
उनके साथ संख्याओं और कार्यों के बारे में छात्रों के ज्ञान का व्यवस्थितकरण, सामान्यीकरण और विस्तार;
छात्रों की स्वतंत्रता, रचनात्मक सोच और संज्ञानात्मक रुचि का विकास;
कंप्यूटिंग प्रक्रिया में रुचि का गठन;
विश्वविद्यालयों में प्रवेश के लिए नए नियमों के लिए छात्रों का अनुकूलन।
अपेक्षित परिणाम:
संख्याओं के वर्गीकरण का ज्ञान;
त्वरित गिनती के कौशल और क्षमताओं में सुधार;
विभिन्न समस्याओं को हल करने में गणितीय उपकरण का उपयोग करने की क्षमता;
शैक्षिक और विषयगत योजना
यह योजना 34 घंटे की है। इसे डिप्लोमा के विषय को ध्यान में रखते हुए संकलित किया गया है, इसलिए दो अलग-अलग भागों पर विचार किया जाता है: संख्यात्मक और वर्णमाला के भाव। शिक्षक के विवेक पर, प्रासंगिक विषयों में संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ वर्णमाला के भावों पर विचार किया जा सकता है।
घंटों की संख्या |
||
संख्यात्मक भाव पूर्ण संख्याएं गणितीय प्रेरण की विधि परिमेय संख्या दशमलव आवर्त भिन्न तर्कहीन संख्या जड़ें और डिग्री लघुगणक त्रिकोणमितीय फलन उलटा त्रिकोणमितीय कार्य जटिल आंकड़े "संख्यात्मक भाव" विषय पर परीक्षण करें संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की तुलना करना शाब्दिक भाव रेडिकल के साथ भाव परिवर्तित करना शक्ति अभिव्यक्ति परिवर्तन लघुगणक व्यंजक परिवर्तित करना त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना अंतिम परीक्षण |
पूर्ण संख्या (4h)
संख्या पंक्ति। अंकगणित की मौलिक प्रमेय। एनओडी और एनओसी। विभाज्यता के संकेत गणितीय प्रेरण की विधि।
परिमेय संख्याएं (2h)
एक परिमेय संख्या की परिभाषा। एक अंश की मूल संपत्ति। संक्षिप्त गुणन सूत्र। आवधिक अंश की परिभाषा। दशमलव आवर्त भिन्न से साधारण में बदलने का नियम।
तर्कहीन संख्या। कट्टरपंथी। डिग्री। लघुगणक (6h)
एक अपरिमेय संख्या की परिभाषा। किसी संख्या की अपरिमेयता का प्रमाण। हर में तर्कहीनता से छुटकारा। वास्तविक संख्या। डिग्री गुण। nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल के गुण। लघुगणक की परिभाषा। लघुगणक के गुण।
त्रिकोणमितीय फलन (4h)
संख्या चक्र। मूल कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के संख्यात्मक मान। किसी कोण को डिग्री से रेडियन में बदलना और इसके विपरीत। मूल त्रिकोणमितीय सूत्र। कास्टिंग सूत्र। उलटा त्रिकोणमितीय कार्य। चाप कार्यों पर त्रिकोणमितीय संचालन। चाप कार्यों के बीच बुनियादी संबंध।
जटिल संख्या (2h)
एक जटिल संख्या की अवधारणा। जटिल संख्याओं के साथ संचालन। एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय और घातीय रूप।
इंटरमीडिएट परीक्षण (2h)
संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की तुलना (4h)
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर संख्यात्मक असमानताएँ। संख्यात्मक असमानताओं के गुण। असमानताओं का समर्थन करना। संख्यात्मक असमानताओं को सिद्ध करने के तरीके।
अक्षर भाव (8h)
चर के साथ व्यंजकों को बदलने के नियम: बहुपद; बीजीय अंश; तर्कहीन अभिव्यक्तियाँ; त्रिकोणमितीय और अन्य भाव। पहचान और असमानताओं के प्रमाण। भावों का सरलीकरण।
वैकल्पिक विषय का 1 भाग: "संख्यात्मक भाव"
गतिविधि 1(2 घंटे)
पाठ विषय: पूर्ण संख्याएं
पाठ मकसद:संख्याओं के बारे में छात्रों के ज्ञान को सामान्य बनाना और व्यवस्थित करना; जीसीडी और एनओसी की अवधारणाओं को याद करें; विभाज्यता के संकेतों के बारे में ज्ञान का विस्तार करें; पूर्णांकों में हल की गई समस्याओं पर विचार करें।
कक्षाओं के दौरान
मैं. परिचयात्मक व्याख्यान।
संख्या वर्गीकरण:
पूर्णांक;
पूर्ण संख्याएं;
परिमेय संख्या;
वास्तविक संख्या;
जटिल आंकड़े।
स्कूल में संख्या श्रृंखला से परिचित होना एक प्राकृतिक संख्या की अवधारणा से शुरू होता है। वस्तुओं को गिनने में प्रयुक्त होने वाली संख्याएँ कहलाती हैं प्राकृतिक।प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को N से निरूपित किया जाता है। प्राकृत संख्याओं को अभाज्य और भाज्य में विभाजित किया जाता है। अभाज्य संख्याओं में केवल दो भाजक होते हैं एक और स्वयं संख्या, जबकि भाज्य संख्याओं में दो से अधिक भाजक होते हैं। अंकगणित का मौलिक प्रमेयकहता है: "1 से बड़ी किसी भी प्राकृत संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है (जरूरी नहीं कि अलग-अलग हों), और, इसके अलावा, एक अनोखे तरीके से (कारकों के क्रम तक)।"
दो और महत्वपूर्ण अंकगणितीय अवधारणाएँ प्राकृतिक संख्याओं से जुड़ी हैं: सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) और सबसे छोटा सामान्य गुणक (LCM)। इनमें से प्रत्येक अवधारणा वास्तव में खुद को परिभाषित करती है। कई समस्याओं का समाधान विभाज्यता के संकेतों से सुगम होता है, जिन्हें याद रखना चाहिए।
2 . से विभाज्यता का चिन्ह . एक संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक सम या o हो।
4 चिन्ह से विभाज्यता . एक संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि अंतिम दो अंक शून्य हैं या 4 से विभाज्य संख्या बनाते हैं।
8 से विभाज्यता का चिन्ह। एक संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंक शून्य हों या 8 से विभाज्य संख्या हो।
3 और 9 के लिए विभाज्यता मानदंड। केवल वे संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं जिनके अंकों का योग 3 से विभाज्य है; 9 से - केवल वे जिनमें अंकों का योग 9 से विभाज्य है।
6 से विभाज्यता का चिह्न एक संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।
5 . से विभाज्यता का चिन्ह . 5 से विभाज्य वे संख्याएँ हैं जिनका अंतिम अंक 0 या 5 है।
25 से विभाज्यता का संकेत। 25 से विभाज्य वे संख्याएँ हैं जिनके अंतिम दो अंक शून्य हैं या एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो 25 से विभाज्य है।
10,100,1000 . से विभाज्यता के संकेत. केवल वे संख्याएँ जिनका अंतिम अंक 0 है, 10 से विभाज्य हैं, केवल वे संख्याएँ जिनके अंतिम दो अंक 0 हैं, 100 से विभाज्य हैं, केवल वे संख्याएँ जिनके अंतिम तीन अंक 0 हैं, 1000 से विभाज्य हैं।
11 . से विभाज्यता का चिन्ह . केवल वे संख्याएँ 11 से विभाज्य होती हैं जिनमें विषम स्थानों पर रहने वाले अंकों का योग या तो सम स्थानों पर रहने वाले अंकों के योग के बराबर होता है या 11 से विभाज्य संख्या से भिन्न होता है।
पहले पाठ में, हम प्राकृत और पूर्णांक संख्याओं को देखेंगे। पूरेसंख्याएँ प्राकृत संख्याएँ हैं, उनकी विपरीत संख्याएँ और शून्य। पूर्णांकों के समुच्चय को Z द्वारा निरूपित किया जाता है।
द्वितीय. समस्या को सुलझाना।
उदाहरण 1. गुणनखंडन: क) 899; बी) 1000027।
समाधान: ए);
b) उदाहरण 2. संख्या 2585 और 7975 की GCD ज्ञात कीजिए।
समाधान: आइए यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करें:
अगर https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;
https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">
220 |165 -
165|55 -
उत्तर: जीसीडी (2585,7975) = 55।
उदाहरण 3 गणना करें:
हल: = 1987100011989. दूसरा गुणनफल समान मान के बराबर है। इसलिए, अंतर 0 है।
उदाहरण 4. GCD और LCM संख्याएँ ज्ञात कीजिए a) 5544 और 1404; बी) 198, 504 और 780।
उत्तर: ए) 36; 49896; बी) 6; 360360.
उदाहरण 5. भाग देने पर भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए
ए) 5 से 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;
ग) -529 से (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;
ई) 256 से (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">
समाधान: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">।
बी) 
समाधान: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">।
उदाहरण 7..gif" width="67" height="27 src="> by 17.
समाधान: आइए एक रिकॉर्ड दर्ज करें 
, जिसका अर्थ है कि जब m से विभाजित किया जाता है, तो संख्याएँ a, b, c, ... d वही शेषफल देती हैं।
इसलिए, किसी भी प्राकृतिक k के लिए, होगा
लेकिन 1989=16124+5। माध्यम,
उत्तर: शेषफल 12 है।
उदाहरण 8. 10 से बड़ी सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 24, 45 और 56 से भाग देने पर 1 शेषफल प्राप्त होता है।
उत्तर: एलसीएम (24;45;56)+1=2521।
उदाहरण 9. वह छोटी से छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जो 7 से विभाज्य हो और 3, 4 और 5 से विभाजित करने पर 1 शेषफल प्राप्त हो।
उत्तर: 301. निर्देश। 60k + 1 के रूप की संख्याओं में से, आपको 7 से विभाज्य सबसे छोटी संख्या ज्ञात करनी होगी; के = 5.
उदाहरण 10. दायीं और बायीं ओर 23 एक अंक को नियत करें ताकि परिणामी चार अंकों की संख्या 9 और 11 से विभाज्य हो।
उत्तर : 6237.
उदाहरण 11. संख्या के पीछे तीन अंक इस प्रकार निर्दिष्ट करें कि परिणामी संख्या 7, 8 और 9 से विभाज्य हो।
उत्तर: 304 या 808. संकेत। संख्या को = 789 से विभाजित करने पर 200 का शेषफल मिलता है। इसलिए, यदि आप इसमें 304 या 808 जोड़ते हैं, तो यह 504 से विभाजित हो जाएगा।
उदाहरण 12. क्या 37 से विभाज्य तीन अंकों की संख्या में अंकों को पुनर्व्यवस्थित करना संभव है ताकि परिणामी संख्या भी 37 से विभाज्य हो?
उत्तर: आप कर सकते हैं। नोट..gif" width="61" height="24"> भी 37 से विभाज्य है। हमारे पास A = 100a + 10b + c = 37k है, जहां से c = 37k -100a - 10b। फिर B = 100b + 10c + a = 100b + k - 100a - 10b) + a \u003d 370k - 999a, यानी B 37 से विभाज्य है।
उदाहरण 13. वह संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे भाग देने पर 1108, 1453, 1844 और 2281 से वही शेषफल प्राप्त होता है।
उत्तर: 23. संकेत। किन्हीं दो दी गई संख्याओं का अंतर अभीष्ट संख्या से विभाज्य है। इसका मतलब है कि 1 के अलावा सभी संभावित डेटा अंतरों का कोई भी सामान्य भाजक हमारे लिए उपयुक्त है
उदाहरण 14. 19 को प्राकृत संख्याओं के घनों के अंतर के रूप में निरूपित करें।
उदाहरण 15. एक प्राकृत संख्या का वर्ग चार क्रमागत विषम संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। इस नंबर का पता लगाएं।
उत्तर: 
.
उदाहरण 16..gif" width="115" height="27"> 10 से विभाज्य नहीं है।
उत्तर: ए) दिशा। पहले और अंतिम पदों, दूसरे और अंतिम, आदि को समूहित करके, घनों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करें।
बी) संकेत..gif" चौड़ाई = "120" ऊंचाई = "20">।
4) प्राकृत संख्याओं के सभी युग्म ज्ञात कीजिए जिनका GCD 5 और LCM 105 है।
उत्तर: 5, 105 या 15, 35।
गतिविधि 2(2 घंटे)
पाठ विषय:गणितीय प्रेरण की विधि।
पाठ का उद्देश्य:प्रमाण की आवश्यकता वाले गणितीय कथनों पर विचार करें; छात्रों को गणितीय प्रेरण की विधि से परिचित कराना; तार्किक सोच विकसित करें।
कक्षाओं के दौरान
मैं. गृहकार्य की जाँच करना।
द्वितीय. नई सामग्री की व्याख्या।
स्कूल गणित पाठ्यक्रम में, "अभिव्यक्ति के मूल्य का पता लगाएं" कार्यों के साथ, प्रपत्र के कार्य हैं: "समानता साबित करें"। गणितीय कथनों को सिद्ध करने के लिए सबसे सार्वभौमिक तरीकों में से एक जिसमें "एक मनमाना प्राकृतिक n के लिए" शब्द प्रकट होते हैं, पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि है।
इस पद्धति का उपयोग करने वाले प्रमाण में हमेशा तीन चरण होते हैं:
1) प्रेरण का आधार। n = 1 के लिए कथन की वैधता की जाँच की जाती है।
कुछ मामलों में, इंडक्शन शुरू करने के लिए, आपको कई जांच करनी होगी
प्रारंभिक मूल्य।
2) प्रेरण की धारणा। कथन को किसी के लिए भी सत्य माना जाता है
3) आगमनात्मक कदम। हम अभिकथन की वैधता को सिद्ध करते हैं
इस प्रकार, n = 1 से शुरू होकर, सिद्ध आगमनात्मक चरण के आधार पर, हम सिद्ध किए जा रहे अभिकथन की वैधता प्राप्त करते हैं
एन = 2, 3,… टी। ई. किसी के लिए एन.
आइए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 1: सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत n के लिए संख्या 
7 से विभाज्य है।
प्रमाण: निरूपित करें 
.
चरण 1..gif" width="143" height="37 src="> 7 से विभाज्य है।
चरण 3..gif"चौड़ाई="600"ऊंचाई="88">
अंतिम संख्या 7 से विभाज्य है क्योंकि यह 7 से विभाज्य दो पूर्णांकों के बीच का अंतर है।
उदाहरण 2: समानता साबित करें https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">
https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> से प्राप्त किया जाता है 
n को k = 1 से प्रतिस्थापित करना।
तृतीय. समस्या को सुलझाना
पहले पाठ में, नीचे दिए गए कार्यों (नंबर 1-3) में से कई को बोर्ड पर विश्लेषण के लिए शिक्षक के विवेक पर समाधान के लिए चुना जाता है। दूसरा पाठ 4.5 से संबंधित है; नंबर 1-3 से स्वतंत्र कार्य किया जाता है; नंबर 6 को एक अतिरिक्त के रूप में पेश किया जाता है, बोर्ड पर एक अनिवार्य निर्णय के साथ।
1) सिद्ध कीजिए कि a) 83 से विभाज्य है;
बी) 13 से विभाज्य है;
c) 20801 तक विभाज्य है।
2) साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए:
एक) 
120 से विभाज्य है;
बी) 
27 से विभाज्य है;
में) 
84 से विभाज्य;
जी) 
169 से विभाज्य है;
इ) 
8 से विभाज्य है;
च) 8 से विभाज्य है;
छ) 16 से विभाज्य है;
एच) 
49 से विभाज्य;
तथा) 
41 से विभाज्य है;
प्रति) 
23 से विभाज्य है;
एल) 
13 से विभाज्य है;
एम) 
द्वारा विभाजित ।
3) साबित करें कि:
जी) 
;
4) आउटपुट योग सूत्र https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">।
6) सिद्ध कीजिए कि तालिका की प्रत्येक पंक्ति के सदस्यों का योग
…………….
एक विषम संख्या के वर्ग के बराबर है जिसकी एक पंक्ति में संख्या तालिका की शुरुआत से पंक्ति संख्या के बराबर है।
उत्तर और निर्देश।
1) आइए पिछले पाठ के उदाहरण 4 में प्रस्तुत प्रविष्टि का उपयोग करें।
एक) । अत: 83 . से विभाज्य 
.
बी) क्योंकि 
, फिर ;
. फलस्वरूप, 
.
c) चूंकि, यह साबित करना आवश्यक है कि दी गई संख्या 11, 31 और 61..gif" चौड़ाई = "120" ऊंचाई = "32 src="> से विभाज्य है। 11 और 31 से विभाज्यता इसी तरह सिद्ध होती है।
2) क) आइए हम सिद्ध करें कि यह व्यंजक 3, 8, 5 से विभाज्य है। 3 से विभाज्यता इस तथ्य से होती है कि 
, और तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं में से एक 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src="> से विभाज्य है। 5 से विभाज्यता की जाँच करने के लिए, n = 0,1,2,3,4 मानों पर विचार करना पर्याप्त है।
गणित में स्वीकृत अंकन का उपयोग करके समस्याओं की स्थितियों को लिखने से तथाकथित गणितीय व्यंजकों का उदय होता है, जिन्हें केवल व्यंजक कहा जाता है। इस लेख में हम विस्तार से बात करेंगे संख्यात्मक, शाब्दिक और परिवर्तनशील भाव: हम परिभाषा देंगे और प्रत्येक प्रकार के व्यंजकों के उदाहरण देंगे।
पृष्ठ नेविगेशन।
संख्यात्मक भाव - यह क्या है?
संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से परिचित होना लगभग गणित के पहले पाठ से ही शुरू हो जाता है। लेकिन उनका नाम - संख्यात्मक भाव - वे आधिकारिक तौर पर थोड़ी देर बाद प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एम. आई. मोरो के पाठ्यक्रम का अनुसरण करते हैं, तो यह ग्रेड 2 के लिए गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों पर होता है। वहाँ, संख्यात्मक व्यंजकों का निरूपण इस प्रकार है: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1, आदि। - यह सब है संख्यात्मक भाव, और यदि हम व्यंजक में संकेतित क्रियाएं करते हैं, तो हम पाएंगे अभिव्यक्ति मूल्य.
यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि गणित के अध्ययन के इस चरण में, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को ऐसे रिकॉर्ड कहा जाता है जिनका गणितीय अर्थ होता है, जो संख्याओं, कोष्ठकों और जोड़ और घटाव के संकेतों से बना होता है।
थोड़ी देर बाद, गुणा और भाग से परिचित होने के बाद, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की प्रविष्टियों में "·" और ":" चिह्न शामिल होने लगते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 आदि।
और हाई स्कूल में, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के लिए प्रविष्टियों की विविधता एक पहाड़ से लुढ़कते हुए स्नोबॉल की तरह बढ़ती है। उनमें सामान्य और दशमलव भिन्न, मिश्रित संख्याएँ और ऋणात्मक संख्याएँ, घात, मूल, लघुगणक, साइन, कोसाइन आदि दिखाई देते हैं।
आइए सांख्यिक व्यंजक की परिभाषा में सभी सूचनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करें:
परिभाषा।
संख्यात्मक अभिव्यक्तिसंख्याओं का एक संयोजन है, अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेत, भिन्नात्मक स्ट्रोक, मूल चिह्न (कट्टरपंथी), लघुगणक, त्रिकोणमितीय अंकन, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय और अन्य कार्यों के साथ-साथ कोष्ठक और अन्य विशेष गणितीय प्रतीकों को स्वीकार किए गए नियमों के अनुसार संकलित किया गया है। अंक शास्त्र।
आइए हम स्वरित परिभाषा के सभी घटक भागों की व्याख्या करें।
बिल्कुल कोई भी संख्या संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में भाग ले सकती है: प्राकृतिक से वास्तविक और जटिल भी। यानी संख्यात्मक भावों में मिल सकते हैं
अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों के साथ, सब कुछ स्पष्ट है - ये क्रमशः जोड़, घटाव, गुणा और भाग के संकेत हैं, जिनका रूप "+", "-", "·" और ":" है। संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में, इनमें से एक वर्ण, उनमें से कुछ, या सभी एक साथ, और एक से अधिक बार मौजूद हो सकते हैं। उनके साथ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के उदाहरण यहां दिए गए हैं: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.
जहाँ तक कोष्ठक का संबंध है, वहाँ दोनों संख्यात्मक व्यंजक हैं जिनमें कोष्ठक हैं, और व्यंजक उनके बिना हैं। यदि किसी अंकीय व्यंजक में कोष्ठक हैं, तो वे मूल रूप से हैं
और कभी-कभी संख्यात्मक भावों में कोष्ठकों में कुछ विशिष्ट, अलग से संकेतित विशेष उद्देश्य होते हैं। उदाहरण के लिए, आप संख्या के पूर्णांक भाग को दर्शाने वाले वर्ग कोष्ठक पा सकते हैं, इसलिए संख्यात्मक व्यंजक +2 का अर्थ है कि संख्या 2 को संख्या 1.75 के पूर्णांक भाग में जोड़ा जाता है।
सांख्यिक व्यंजक की परिभाषा से यह भी स्पष्ट है कि व्यंजक में , , log , ln , lg , पदनाम या आदि हो सकते हैं। उनके साथ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के उदाहरण यहां दिए गए हैं: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 और 
.
अंकीय व्यंजकों में विभाजन को के साथ निरूपित किया जा सकता है। इस मामले में, अंशों के साथ संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ होती हैं। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 और 
.
विशेष गणितीय प्रतीकों और अंकन के रूप में जो संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में पाए जा सकते हैं, हम देते हैं। उदाहरण के लिए, आइए एक मापांक के साथ एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति दिखाते हैं 
.
शाब्दिक अभिव्यक्तियाँ क्या हैं?
शाब्दिक अभिव्यक्तियों की अवधारणा संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से परिचित होने के लगभग तुरंत बाद दी जाती है। इस तरह दर्ज किया गया है। एक निश्चित संख्यात्मक अभिव्यक्ति में, संख्याओं में से एक को नीचे नहीं लिखा जाता है, लेकिन इसके स्थान पर एक वृत्त (या एक वर्ग, या कुछ समान) लगाया जाता है, और कहा जाता है कि एक निश्चित संख्या को वृत्त के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जा सकता है। आइए प्रविष्टि को एक उदाहरण के रूप में लें। उदाहरण के लिए, यदि आप एक वर्ग के बजाय संख्या 2 डालते हैं, तो आपको एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति 3 + 2 मिलती है। तो मंडलियों, वर्गों आदि के बजाय। पत्र लिखने के लिए सहमत हुए, और अक्षरों के साथ ऐसे भाव कहलाते थे शाब्दिक भाव. आइए अपने उदाहरण पर लौटते हैं, यदि इस प्रविष्टि में एक वर्ग के बजाय हम अक्षर a डालते हैं, तो हमें फॉर्म 3+a का शाब्दिक व्यंजक मिलता है।
इसलिए, यदि हम एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में अक्षरों की उपस्थिति की अनुमति देते हैं, जो कुछ संख्याओं को दर्शाते हैं, तो हमें तथाकथित शाब्दिक अभिव्यक्ति मिलती है। आइए एक उपयुक्त परिभाषा दें।
परिभाषा।
वह व्यंजक जिसमें अक्षर होते हैं जो कुछ संख्याओं को दर्शाते हैं, कहलाते हैं शाब्दिक अभिव्यक्ति.
इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि एक शाब्दिक अभिव्यक्ति मूल रूप से एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति से भिन्न होती है जिसमें इसमें अक्षर हो सकते हैं। आमतौर पर, शाब्दिक अभिव्यक्तियों में, लैटिन वर्णमाला के छोटे अक्षरों का उपयोग किया जाता है (ए, बी, सी, ...), और कोणों को निरूपित करते समय, ग्रीक वर्णमाला के छोटे अक्षर (α, β, γ, ...)
इसलिए, शाब्दिक व्यंजक संख्याओं, अक्षरों से बना हो सकता है और इसमें सभी गणितीय प्रतीक शामिल हो सकते हैं जो संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में पाए जा सकते हैं, जैसे कि कोष्ठक, मूल चिह्न, लघुगणक, त्रिकोणमितीय और अन्य कार्य, आदि। अलग से, हम इस बात पर जोर देते हैं कि शाब्दिक अभिव्यक्ति में कम से कम एक अक्षर होता है। लेकिन इसमें कई समान या अलग-अलग अक्षर भी हो सकते हैं।
अब हम शाब्दिक अभिव्यक्तियों के कुछ उदाहरण देते हैं। उदाहरण के लिए, a+b अक्षर a और b के साथ एक शाब्दिक अभिव्यक्ति है। यहाँ शाब्दिक व्यंजक 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5 का एक और उदाहरण दिया गया है। और हम एक जटिल रूप की शाब्दिक अभिव्यक्ति का उदाहरण देते हैं: 
.
चर के साथ अभिव्यक्ति
यदि एक शाब्दिक अभिव्यक्ति में एक अक्षर एक मूल्य को दर्शाता है जो किसी एक विशिष्ट मूल्य को नहीं लेता है, लेकिन विभिन्न मूल्यों को ले सकता है, तो इस पत्र को कहा जाता है चरऔर अभिव्यक्ति कहा जाता है परिवर्तनशील अभिव्यक्ति.
परिभाषा।
चर के साथ अभिव्यक्तिएक शाब्दिक अभिव्यक्ति है जिसमें अक्षर (सभी या कुछ) विभिन्न मूल्यों को लेने वाली मात्राओं को दर्शाते हैं।
उदाहरण के लिए, मान लें कि एक्सप्रेशन x 2 −1 में अक्षर x 0 से 10 तक के अंतराल से कोई भी प्राकृतिक मान ले सकता है, फिर x एक वैरिएबल है, और एक्सप्रेशन x 2 −1 वेरिएबल x के साथ एक एक्सप्रेशन है।
यह ध्यान देने योग्य है कि एक अभिव्यक्ति में कई चर हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम x और y को चर मानते हैं, तो व्यंजक 
दो चर x और y के साथ एक व्यंजक है।
सामान्य तौर पर, एक शाब्दिक अभिव्यक्ति की अवधारणा से चर के साथ एक अभिव्यक्ति में संक्रमण 7 वीं कक्षा में होता है, जब वे बीजगणित का अध्ययन करना शुरू करते हैं। इस बिंदु तक, शाब्दिक अभिव्यक्तियों ने कुछ विशिष्ट कार्यों को प्रतिरूपित किया है। बीजगणित में, वे किसी विशिष्ट कार्य के संदर्भ के बिना, अभिव्यक्ति को अधिक सामान्य रूप से देखना शुरू करते हैं, इस समझ के साथ कि यह अभिव्यक्ति बड़ी संख्या में कार्यों के लिए उपयुक्त है।
इस अनुच्छेद के अंत में, आइए एक और बिंदु पर ध्यान दें: शाब्दिक अभिव्यक्ति की उपस्थिति से, यह जानना असंभव है कि इसमें शामिल अक्षर चर हैं या नहीं। इसलिए, कुछ भी हमें इन अक्षरों को चर के रूप में मानने से नहीं रोकता है। इस मामले में, "शाब्दिक अभिव्यक्ति" और "चर के साथ अभिव्यक्ति" शब्दों के बीच का अंतर गायब हो जाता है।
ग्रंथ सूची।
- गणित. 2 कोशिकाएं प्रोक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्था के साथ adj. एक इलेक्ट्रॉन को। वाहक। 2 बजे, भाग 1 / [एम। I. मोरो, M. A. बंटोवा, G. V. Beltyukova और अन्य] - तीसरा संस्करण। - एम .: शिक्षा, 2012। - 96 पी .: बीमार। - (रूस का स्कूल)। - आईएसबीएन 978-5-09-028297-0।
- गणित: अध्ययन करते हैं। 5 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / एन। हां। विलेनकिन, वी। आई। झोखोव, ए। एस। चेस्नोकोव, एस। आई। श्वार्ट्सबर्ड। - 21 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनेमोसिन, 2007. - 280 पी .: बीमार। आईएसबीएन 5-346-00699-0।
- बीजगणित:पाठयपुस्तक 7 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 17 वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 240 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।
- बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
आपकी निजता हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता नीति पढ़ें और यदि आपके कोई प्रश्न हैं तो हमें बताएं।
व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग
व्यक्तिगत जानकारी उस डेटा को संदर्भित करती है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।
जब आप हमसे संपर्क करते हैं तो आपसे किसी भी समय अपनी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।
निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।
हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:
- जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।
हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:
- हमारे द्वारा एकत्र की जाने वाली व्यक्तिगत जानकारी हमें आपसे संपर्क करने और आपको अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं और आने वाली घटनाओं के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
- समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संदेश भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
- हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
- यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।
तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण
हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।
अपवाद:
- इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
- पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।
व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा
हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।
कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना
यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।
एक शाब्दिक व्यंजक (या चर के साथ व्यंजक) एक गणितीय व्यंजक है जिसमें गणितीय संक्रियाओं के अंक, अक्षर और चिह्न होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति शाब्दिक है:
ए+बी+4
शाब्दिक अभिव्यक्तियों का उपयोग करके, आप कानून, सूत्र, समीकरण और कार्य लिख सकते हैं। शाब्दिक अभिव्यक्तियों में हेरफेर करने की क्षमता बीजगणित और उच्च गणित के अच्छे ज्ञान की कुंजी है।
गणित में कोई भी गंभीर समस्या समीकरणों को हल करने में आती है। और समीकरणों को हल करने में सक्षम होने के लिए, आपको शाब्दिक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए।
शाब्दिक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए, आपको बुनियादी अंकगणित का अच्छी तरह से अध्ययन करने की आवश्यकता है: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, गणित के बुनियादी नियम, अंश, भिन्न के साथ क्रियाएं, अनुपात। और सिर्फ पढ़ने के लिए नहीं, बल्कि पूरी तरह से समझने के लिए।
पाठ सामग्रीचर
अक्षर जो शाब्दिक अभिव्यक्तियों में निहित हैं, कहलाते हैं चर. उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में ए+बी+ 4 चर अक्षर हैं एकतथा बी. यदि इन चरों के स्थान पर हम किसी संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं, तो शाब्दिक व्यंजक ए+बी+ 4 एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में बदल जाएगा, जिसका मूल्य पाया जा सकता है।
वे संख्याएँ जो चरों से प्रतिस्थापित होती हैं, कहलाती हैं परिवर्तनशील मान. उदाहरण के लिए, चलिए वेरिएबल के मान बदलते हैं एकतथा बी. मूल्यों को बदलने के लिए बराबर चिह्न का प्रयोग करें
ए = 2, बी = 3
हमने वेरिएबल के मान बदल दिए हैं एकतथा बी. चर एकएक मान असाइन किया गया 2 , चर बीएक मान असाइन किया गया 3 . नतीजतन, शाब्दिक अभिव्यक्ति ए+बी+4एक सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्ति में कनवर्ट करता है 2+3+4 जिसका मूल्य पाया जा सकता है:
जब चर को गुणा किया जाता है, तो वे एक साथ लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रविष्टि अबका अर्थ प्रविष्टि के समान है एक एक्स बी. यदि हम चर के स्थान पर स्थानापन्न करते हैं एकतथा बीनंबर 2 तथा 3 , तो हम 6 . प्राप्त करते हैं
साथ में, आप किसी संख्या के गुणन को कोष्ठक में व्यंजक से भी लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, के बजाय ए × (बी + सी)लिखा जा सकता है ए (बी + सी). गुणन के वितरण नियम को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं a(b + c)=ab+ac.
कठिनाइयाँ
शाब्दिक अभिव्यक्तियों में, आप अक्सर एक अंकन पा सकते हैं जिसमें एक संख्या और एक चर एक साथ लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए 3 ए. वास्तव में, यह संख्या 3 को एक चर से गुणा करने के लिए एक आशुलिपि है। एकऔर यह प्रविष्टि दिखती है 3×a .
दूसरे शब्दों में, अभिव्यक्ति 3 एसंख्या 3 और चर का गुणनफल है एक. संख्या 3 इस काम में कहा जाता है गुणक. यह गुणांक दर्शाता है कि चर को कितनी बार बढ़ाया जाएगा एक. इस अभिव्यक्ति को "के रूप में पढ़ा जा सकता है एकतीन बार या तीन बार एक", या "चर का मान बढ़ाएँ एकतीन बार", लेकिन अक्सर "तीन" के रूप में पढ़ा जाता है एक«
उदाहरण के लिए, यदि चर एकके बराबर है 5 , तो व्यंजक का मान 3 ए 15 के बराबर होगा।
3 x 5 = 15
सरल शब्दों में, गुणांक वह संख्या है जो अक्षर (चर से पहले) से पहले आती है।
उदाहरण के लिए कई अक्षर हो सकते हैं 5abc. यहाँ गुणांक संख्या है 5 . यह गुणांक दर्शाता है कि चरों का गुणनफल एबीसीपांच गुना बढ़ जाता है। इस अभिव्यक्ति को "के रूप में पढ़ा जा सकता है एबीसीपांच गुना" या "अभिव्यक्ति के मूल्य में वृद्धि एबीसीपांच बार" या "पांच" एबीसी «.
यदि चर के बजाय एबीसीसंख्या 2, 3 और 4 को प्रतिस्थापित करें, फिर व्यंजक का मान 5abcके बराबर होगा 120
5 x 2 x 3 x 4 = 120
आप मानसिक रूप से कल्पना कर सकते हैं कि कैसे संख्या 2, 3 और 4 को पहले गुणा किया गया था, और परिणामी मूल्य पांच गुना बढ़ गया:
गुणांक का चिह्न केवल गुणांक को संदर्भित करता है, और चर पर लागू नहीं होता है।
अभिव्यक्ति पर विचार करें −6बी. गुणांक के सामने माइनस 6 , केवल गुणांक पर लागू होता है 6 , और चर पर लागू नहीं होता बी. इस तथ्य को समझने से आप भविष्य में संकेतों के साथ गलतियाँ नहीं कर पाएंगे।
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए −6बीपर बी = 3.
−6बी −6×बी. स्पष्टता के लिए, हम व्यंजक लिखते हैं −6बीविस्तारित रूप में और चर के मान को प्रतिस्थापित करें बी
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए −6बीपर बी = -5
आइए व्यंजक लिखें −6बीविस्तारित रूप में
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए −5ए+बीपर ए = 3तथा बी = 2
−5ए+बीके लिए संक्षिप्त रूप है −5 × ए + बीइसलिए, स्पष्टता के लिए, हम व्यंजक लिखते हैं −5×a+bविस्तारित रूप में और चर के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें एकतथा बी
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
कभी-कभी बिना गुणांक के अक्षर लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए एकया अब. इस मामले में, गुणांक एक है:
लेकिन इकाई परंपरागत रूप से नहीं लिखी जाती है, इसलिए वे सिर्फ लिखते हैं एकया अब
यदि अक्षर से पहले ऋण है, तो गुणांक एक संख्या है −1 . उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति -एकवास्तव में दिखता है -1ए. यह माइनस वन और वेरिएबल का गुणनफल है एक।यह इस तरह निकला:
−1 × a = −1a
यहाँ एक छोटी सी चाल है। अभिव्यक्ति में -एकचर से पहले माइनस एकवास्तव में "अदृश्य इकाई" को संदर्भित करता है न कि चर एक. इसलिए, समस्याओं को हल करते समय आपको सावधान रहना चाहिए।
उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक -एकऔर हमें इसका मान ज्ञात करने के लिए कहा जाता है ए = 2, फिर स्कूल में हमने एक चर के बजाय एक ड्यूस को प्रतिस्थापित किया एकऔर उत्तर प्राप्त करें −2 , वास्तव में इस पर ध्यान केंद्रित नहीं कर रहा था कि यह कैसे निकला। वास्तव में, धनात्मक संख्या 2 . से ऋणात्मक एक का गुणा किया गया था
-ए = -1 × ए
-1 × ए = -1 × 2 = -2
यदि एक व्यंजक दिया जाता है -एकऔर इसका मान ज्ञात करना आवश्यक है ए = -2, फिर हम प्रतिस्थापित करते हैं −2 एक चर के बजाय एक
-ए = -1 × ए
-1 × a = -1 × (−2) = 2
गलतियों से बचने के लिए, पहले अदृश्य इकाइयों को स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है।
उदाहरण 4व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए एबीसीपर ए = 2 , ख = 3तथा सी = 4
अभिव्यक्ति एबीसी 1×ए×बी×सी।स्पष्टता के लिए, हम व्यंजक लिखते हैं एबीसी ए, बीतथा सी
1 एक्स ए एक्स बी एक्स सी = 1 एक्स 2 एक्स 3 एक्स 4 = 24
उदाहरण 5व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए एबीसीपर a=−2 , b=−3तथा सी=−4
आइए व्यंजक लिखें एबीसीविस्तारित रूप में और चर के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें ए, बीतथा सी
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
उदाहरण 6व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए − एबीसीपर a=3 , b=5 और c=7
अभिव्यक्ति − एबीसीके लिए संक्षिप्त रूप है -1×ए×बी×सी।स्पष्टता के लिए, हम व्यंजक लिखते हैं − एबीसीविस्तारित रूप में और चर के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें ए, बीतथा सी
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
उदाहरण 7व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए − एबीसीपर a=−2 , b=−4 और c=−3
आइए व्यंजक लिखें − एबीसीविस्तारित:
−abc = −1 × a × b × c
चरों का मान रखें एक , बीतथा सी
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
गुणांक कैसे निर्धारित करें
कभी-कभी किसी समस्या को हल करने की आवश्यकता होती है जिसमें अभिव्यक्ति के गुणांक को निर्धारित करना आवश्यक होता है। सिद्धांत रूप में, यह कार्य बहुत सरल है। यह संख्याओं को सही ढंग से गुणा करने में सक्षम होने के लिए पर्याप्त है।
एक व्यंजक में गुणांक निर्धारित करने के लिए, आपको इस व्यंजक में शामिल संख्याओं को अलग से गुणा करना होगा, और अक्षरों को अलग से गुणा करना होगा। परिणामी संख्यात्मक कारक गुणांक होगा।
उदाहरण 1 7m×5a×(−3)×n
अभिव्यक्ति में कई कारक होते हैं। यह स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है यदि अभिव्यक्ति विस्तारित रूप में लिखी गई है। यानी काम करता है 7mतथा 5एफॉर्म में लिखें 7×mतथा 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
हम गुणन का साहचर्य नियम लागू करते हैं, जो हमें किसी भी क्रम में गुणनखंडों को गुणा करने की अनुमति देता है। अर्थात्, संख्याओं को अलग-अलग गुणा करें और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करें (चर):
−3 × 7 × 5 × मी × ए × एन = -105मैन
गुणांक है −105 . पूरा होने के बाद, अक्षर भाग को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित किया जाता है:
-105 पूर्वाह्न
उदाहरण 2व्यंजक में गुणांक ज्ञात कीजिए: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
गुणांक 6 है।
उदाहरण 3व्यंजक में गुणांक ज्ञात कीजिए: 
आइए संख्याओं और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करें:
गुणांक -1 है। कृपया ध्यान दें कि इकाई दर्ज नहीं की जाती है, क्योंकि गुणांक 1 आमतौर पर दर्ज नहीं किया जाता है।
ये प्रतीत होने वाले सरल कार्य हमारे साथ एक बहुत ही क्रूर मजाक कर सकते हैं। यह अक्सर पता चलता है कि गुणांक का संकेत गलत तरीके से सेट किया गया है: या तो एक माइनस छोड़ा जाता है या, इसके विपरीत, यह व्यर्थ में सेट होता है। इन कष्टप्रद गलतियों से बचने के लिए इसका अच्छे स्तर पर अध्ययन किया जाना चाहिए।
शाब्दिक अभिव्यक्तियों में शर्तें
जब आप कई संख्याएँ जोड़ते हैं, तो आपको उन संख्याओं का योग प्राप्त होता है। जो संख्याएँ जुड़ती हैं उन्हें पद कहते हैं। उदाहरण के लिए, कई शब्द हो सकते हैं:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
जब किसी व्यंजक में पद होते हैं, तो उसकी गणना करना बहुत आसान होता है, क्योंकि घटाना की तुलना में जोड़ना आसान होता है। लेकिन अभिव्यक्ति में न केवल जोड़, बल्कि घटाव भी हो सकता है, उदाहरण के लिए:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
इस व्यंजक में संख्या 3 और 5 को घटाया जाता है, जोड़ा नहीं जाता। लेकिन कुछ भी हमें घटाव को जोड़ से बदलने से नहीं रोकता है। तब हमें फिर से पदों से युक्त एक व्यंजक प्राप्त होता है:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि संख्या -3 और -5 अब ऋण चिह्न के साथ हैं। मुख्य बात यह है कि इस व्यंजक में सभी संख्याएँ जोड़ चिह्न से जुड़ी हुई हैं, अर्थात व्यंजक एक योग है।
दोनों भाव 1 + 2 − 3 + 4 − 5 तथा 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) समान मान के बराबर हैं - घटा एक
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
इस प्रकार, व्यंजक का मूल्य इस तथ्य से प्रभावित नहीं होगा कि हम घटाव को कहीं जोड़ से बदल देते हैं।
आप घटाव को शाब्दिक अभिव्यक्तियों में जोड़ के साथ भी बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार करें:
7a + 6b - 3c + 2d - 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
चर के किसी भी मान के लिए ए बी सी डीतथा एसभाव 7a + 6b - 3c + 2d - 4s तथा 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) समान मूल्य के बराबर होगा।
आपको इस तथ्य के लिए तैयार रहना चाहिए कि स्कूल में एक शिक्षक या किसी संस्थान में एक शिक्षक उन नंबरों (या चर) को भी कॉल कर सकता है जो वे नहीं हैं।
उदाहरण के लिए, यदि अंतर बोर्ड पर लिखा है ए-बी, तो शिक्षक ऐसा नहीं कहेगा एक minuend है, और बी- कटौती योग्य। वह दोनों चरों को एक सामान्य शब्द कहेंगे - शर्तें. और सभी क्योंकि फॉर्म की अभिव्यक्ति ए-बीगणितज्ञ देखता है कि योग कैसे ए + (-बी). इस मामले में, व्यंजक एक योग बन जाता है, और चर एकतथा (-बी)घटक बन जाते हैं।
समान शब्द
समान शब्दवे शब्द हैं जिनका अक्षर भाग समान है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति पर विचार करें 7ए + 6बी + 2ए. शर्तें 7एतथा 2एएक ही अक्षर भाग है - चर एक. तो शर्तें 7एतथा 2एसमान है।
आमतौर पर, किसी व्यंजक को सरल बनाने या समीकरण को हल करने के लिए समान पदों को जोड़ा जाता है। इस ऑपरेशन को कहा जाता है समान शर्तों में कमी.
समान पदों को लाने के लिए, आपको इन पदों के गुणांकों को जोड़ना होगा, और परिणाम को सामान्य अक्षर वाले भाग से गुणा करना होगा।
उदाहरण के लिए, हम व्यंजक में समान पद देते हैं 3ए + 4ए + 5ए. इस मामले में, सभी शर्तें समान हैं। हम उनके गुणांक जोड़ते हैं और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग - चर द्वारा गुणा करते हैं एक
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
ऐसी शर्तें आमतौर पर दिमाग में दी जाती हैं और परिणाम तुरंत दर्ज किया जाता है:
3a + 4a + 5a = 12a
इसके अलावा, आप इस तरह बहस कर सकते हैं:
उनमें 3 चर a , 4 और चर a और 5 और चर a जोड़े गए थे। नतीजतन, हमें 12 चर मिले a
आइए समान पदों को कम करने के कई उदाहरणों पर विचार करें। यह देखते हुए कि यह विषय बहुत महत्वपूर्ण है, सबसे पहले हम प्रत्येक विवरण को विस्तार से लिखेंगे। इस तथ्य के बावजूद कि यहां सब कुछ बहुत सरल है, ज्यादातर लोग बहुत सारी गलतियाँ करते हैं। ज्यादातर असावधानी के कारण, अज्ञानता के कारण नहीं।
उदाहरण 1 3ए + 2ए + 6ए + 8एक
हम इस अभिव्यक्ति में गुणांक जोड़ते हैं और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करते हैं:
3ए + 2ए + 6ए + 8ए =(3 + 2 + 6 + 8)× ए = 19एक
निर्माण (3 + 2 + 6 + 8) × एआप लिख नहीं सकते, इसलिए हम तुरंत उत्तर लिख देंगे
3 ए + 2 ए + 6 ए + 8 ए = 19 एक
उदाहरण 2व्यंजक में समान पद लाएँ 2ए+ए
दूसरी पारी एकएक गुणांक के बिना लिखा है, लेकिन वास्तव में यह एक गुणांक से पहले है 1 , जो हम इस तथ्य के कारण नहीं देखते हैं कि यह दर्ज नहीं है। तो अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:
2ए + 1ए
अब हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं। यही है, हम गुणांक जोड़ते हैं और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करते हैं:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
आइए संक्षेप में समाधान लिखें:
2ए + ए = 3ए
2ए+ए, आप दूसरे तरीके से बहस कर सकते हैं:
उदाहरण 3व्यंजक में समान पद लाएँ 2ए - ए
आइए घटाव को जोड़ से बदलें:
2ए + (-ए)
दूसरी पारी (-ए)एक गुणांक के बिना लिखा है, लेकिन वास्तव में ऐसा लगता है (-1ए)।गुणक −1 इस तथ्य के कारण फिर से अदृश्य है कि यह दर्ज नहीं है। तो अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:
2a + (−1a)
अब हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं। हम गुणांक जोड़ते हैं और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करते हैं:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
आमतौर पर छोटा लिखा जाता है:
2ए - ए = ए
व्यंजक में समान पदों को लाना 2a−aआप दूसरे तरीके से भी बहस कर सकते हैं:
2 चर थे a , घटाया गया एक चर a , परिणामस्वरूप केवल एक चर a था
उदाहरण 4व्यंजक में समान पद लाएँ 6ए - 3ए + 4ए - 8ए
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
अब हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं। हम गुणांक जोड़ते हैं और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करते हैं
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
आइए संक्षेप में समाधान लिखें:
6a - 3a + 4a - 8a = -a
ऐसे भाव हैं जिनमें समान शब्दों के कई अलग-अलग समूह होते हैं। उदाहरण के लिए, 3ए + 3बी + 7ए + 2बी. इस तरह के भावों के लिए, वही नियम बाकी के लिए लागू होते हैं, अर्थात्, गुणांक जोड़ना और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना। लेकिन गलतियों से बचने के लिए, अलग-अलग पंक्तियों के साथ शब्दों के विभिन्न समूहों को रेखांकित करना सुविधाजनक है।
उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 3ए + 3बी + 7ए + 2बीवे शब्द जिनमें एक चर होता है एक, एक पंक्ति के साथ रेखांकित किया जा सकता है, और वे शब्द जिनमें एक चर होता है बी, दो पंक्तियों के साथ रेखांकित किया जा सकता है:
अब हम समान पद ला सकते हैं। यही है, गुणांक जोड़ें और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करें। यह शर्तों के दोनों समूहों के लिए किया जाना चाहिए: एक चर वाले शब्दों के लिए एकऔर चर वाले पदों के लिए बी.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
फिर से, हम दोहराते हैं, अभिव्यक्ति सरल है, और इसी तरह के शब्द दिमाग में दिए जा सकते हैं:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
उदाहरण 5व्यंजक में समान पद लाएँ 5a - 6a - 7b + b
जहां संभव हो हम घटाव को जोड़ से बदल देते हैं:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
विभिन्न पंक्तियों के साथ समान पदों को रेखांकित करें। चर युक्त शर्तें एकएक पंक्ति के साथ रेखांकित करें, और वेरिएबल वाले शब्द बी, दो पंक्तियों के साथ रेखांकित:
अब हम समान पद ला सकते हैं। यही है, गुणांक जोड़ें और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करें:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
यदि व्यंजक में वर्णानुक्रमिक कारकों के बिना साधारण संख्याएँ हैं, तो उन्हें अलग से जोड़ा जाता है।
उदाहरण 6व्यंजक में समान पद लाएँ 4ए + 3ए -5 + 2बी + 7
जहां संभव हो, घटाव को जोड़ से बदलें:
4a + 3a -5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
आइए हम इसी तरह की शर्तों को प्रस्तुत करते हैं। नंबर −5 तथा 7 शाब्दिक कारक नहीं हैं, लेकिन वे समान शब्द हैं - आपको बस उन्हें जोड़ने की आवश्यकता है। और शब्द 2 बीअपरिवर्तित रहेगा, क्योंकि इस अभिव्यक्ति में केवल एक ही अक्षर कारक है बी,और इसके साथ जोड़ने के लिए कुछ भी नहीं है:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
आइए संक्षेप में समाधान लिखें:
4a + 3a -5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
शर्तों का आदेश दिया जा सकता है ताकि वे शब्द जिनमें एक ही अक्षर भाग हो, अभिव्यक्ति के एक ही भाग में स्थित हों।
उदाहरण 7व्यंजक में समान पद लाएँ 5t+2x+3x+5t+x
चूंकि व्यंजक कई पदों का योग है, यह हमें किसी भी क्रम में इसका मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। इसलिए, वेरिएबल वाले पद टी, व्यंजक की शुरुआत में लिखा जा सकता है, और वेरिएबल वाले पद एक्सअभिव्यक्ति के अंत में:
5t+5t+2x+3x+x
अब हम समान पद जोड़ सकते हैं:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
आइए संक्षेप में समाधान लिखें:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
विपरीत संख्याओं का योग शून्य होता है। यह नियम शाब्दिक भावों के लिए भी काम करता है। यदि व्यंजक में समान पद हैं, लेकिन विपरीत चिह्न हैं, तो आप समान पदों को कम करने के चरण में उनसे छुटकारा पा सकते हैं। दूसरे शब्दों में, बस उन्हें व्यंजक से हटा दें क्योंकि उनका योग शून्य है।
उदाहरण 8व्यंजक में समान पद लाएँ 3t - 4t - 3t + 2t
जहां संभव हो, घटाव को जोड़ से बदलें:
3t -4t -3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
शर्तें 3tतथा (−3t)विपरीत हैं। विपरीत पदों का योग शून्य के बराबर होता है। यदि हम इस शून्य को व्यंजक से हटा दें, तो व्यंजक का मान नहीं बदलेगा, इसलिए हम इसे हटा देंगे। और हम इसे शर्तों के सामान्य विलोपन द्वारा हटा देंगे 3tतथा (−3t)
नतीजतन, हमारे पास अभिव्यक्ति होगी (−4t) + 2t. इस व्यंजक में, आप समान पदों को जोड़ सकते हैं और अंतिम उत्तर प्राप्त कर सकते हैं:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
आइए संक्षेप में समाधान लिखें:
अभिव्यक्ति सरलीकरण
"अभिव्यक्ति को सरल बनाएं" और निम्नलिखित सरलीकृत किया जाने वाला व्यंजक है। अभिव्यक्ति को सरल बनाएंइसका अर्थ है इसे सरल और छोटा बनाना।
वास्तव में, हम पहले ही भिन्नों को कम करते हुए व्यंजकों के सरलीकरण पर विचार कर चुके हैं। कमी के बाद, अंश छोटा और पढ़ने में आसान हो गया।
निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
इस कार्य को शाब्दिक रूप से इस प्रकार समझा जा सकता है: "इस अभिव्यक्ति के साथ आप जो कुछ भी कर सकते हैं वह करें, लेकिन इसे सरल बनाएं" .
इस मामले में, आप भिन्न को कम कर सकते हैं, अर्थात् भिन्न के अंश और हर को 2 से विभाजित करें:
और क्या किया जा सकता है? आप परिणामी अंश की गणना कर सकते हैं। तब हमें दशमलव 0.5 . मिलता है
नतीजतन, अंश को 0.5 तक सरल बनाया गया था।
ऐसी समस्याओं को हल करते समय सबसे पहला सवाल खुद से पूछना चाहिए "क्या किया जा सकता है?" . क्योंकि कुछ चीजें हैं जो आप कर सकते हैं और कुछ चीजें हैं जो आप नहीं कर सकते हैं।
ध्यान में रखने वाली एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि अभिव्यक्ति के सरल होने के बाद अभिव्यक्ति का मूल्य नहीं बदलना चाहिए। आइए अभिव्यक्ति पर वापस आते हैं। यह अभिव्यक्ति एक विभाजन है जिसे किया जा सकता है। इस विभाजन को करने के बाद, हमें इस अभिव्यक्ति का मान मिलता है, जो 0.5 . के बराबर है
लेकिन हमने व्यंजक को सरल बनाया और एक नया सरलीकृत व्यंजक प्राप्त किया। नई सरलीकृत अभिव्यक्ति का मूल्य अभी भी 0.5 . है
लेकिन हमने व्यंजक को परिकलित करके उसे सरल बनाने का भी प्रयास किया। नतीजतन, अंतिम उत्तर 0.5 था।
इस प्रकार, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम अभिव्यक्ति को कैसे सरल करते हैं, परिणामी अभिव्यक्तियों का मूल्य अभी भी 0.5 है। इसका मतलब है कि प्रत्येक चरण में सरलीकरण सही ढंग से किया गया था। अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय हमें यही प्रयास करने की आवश्यकता है - अभिव्यक्ति का अर्थ हमारे कार्यों से प्रभावित नहीं होना चाहिए।
शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना अक्सर आवश्यक होता है। उनके लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के समान ही सरलीकरण नियम लागू होते हैं। आप कोई भी मान्य क्रिया तब तक कर सकते हैं, जब तक कि व्यंजक का मान नहीं बदलता।
आइए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 1अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 5.21 एस × टी × 2.5
इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, आप संख्याओं को अलग-अलग गुणा कर सकते हैं और अक्षरों को अलग-अलग गुणा कर सकते हैं। यह कार्य बहुत कुछ वैसा ही है जैसा हमने तब माना था जब हमने गुणांक निर्धारित करना सीखा था:
5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025वां
तो अभिव्यक्ति 5.21 एस × टी × 2.5करने के लिए सरलीकृत 13.025 वां।
उदाहरण 2अभिव्यक्ति को सरल बनाएं −0.4×(−6.3b)×2
दूसरा काम (-6.3b)हमारे लिए समझने योग्य रूप में अनुवाद किया जा सकता है, अर्थात् फॉर्म में लिखा गया है ( -6.3)×बी ,फिर संख्याओं को अलग-अलग गुणा करें और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करें:
− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b
तो अभिव्यक्ति −0.4×(−6.3b)×2 करने के लिए सरलीकृत 5.04बी
उदाहरण 3अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 
आइए इस अभिव्यक्ति को और अधिक विस्तार से लिखें ताकि स्पष्ट रूप से देखा जा सके कि संख्याएँ कहाँ हैं और अक्षर कहाँ हैं:
अब हम संख्याओं को अलग-अलग गुणा करते हैं और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करते हैं:
तो अभिव्यक्ति करने के लिए सरलीकृत -एबीसी।इस समाधान को छोटा लिखा जा सकता है:
व्यंजकों को सरल करते समय, हल करने की प्रक्रिया में भिन्नों को कम किया जा सकता है, न कि बहुत अंत में, जैसा कि हमने साधारण भिन्नों के साथ किया था। उदाहरण के लिए, यदि हल करने के क्रम में हमें रूप का एक व्यंजक मिलता है, तो अंश और हर की गणना करना और कुछ इस तरह करना आवश्यक नहीं है:
अंश और हर दोनों में कारक चुनकर और इन कारकों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से कम करके एक अंश को कम किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, उपयोग करें, जिसमें हम विस्तार से वर्णन नहीं करते हैं कि अंश और हर में क्या विभाजित किया गया था।
उदाहरण के लिए, अंश में, गुणक 12 और हर में, गुणनखंड 4 को 4 से घटाया जा सकता है। हम चारों को अपने दिमाग में रखते हैं, और 12 और 4 को इस चार से विभाजित करके हम इन संख्याओं के आगे उत्तर लिखते हैं, पहले उन्हें पार कर चुके हैं
अब आप परिणामी छोटे कारकों को गुणा कर सकते हैं। इस मामले में, उनमें से कई नहीं हैं और आप उन्हें अपने दिमाग में गुणा कर सकते हैं:
समय के साथ, आप पा सकते हैं कि किसी विशेष समस्या को हल करते समय, भाव "मोटा" होने लगते हैं, इसलिए यह सलाह दी जाती है कि तेजी से गणना करने की आदत डालें। मन में जो गणना की जा सकती है, उसकी गणना मन में होनी चाहिए। जो जल्दी से काटा जा सकता है उसे जल्दी से काटा जाना चाहिए।
उदाहरण 4अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 
तो अभिव्यक्ति करने के लिए सरलीकृत
उदाहरण 5अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 
हम अलग-अलग संख्याओं और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करते हैं:
तो अभिव्यक्ति करने के लिए सरलीकृत एमएन
उदाहरण 6अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 
आइए इस अभिव्यक्ति को और अधिक विस्तार से लिखें ताकि स्पष्ट रूप से देखा जा सके कि संख्याएँ कहाँ हैं और अक्षर कहाँ हैं:
अब हम संख्याओं को अलग-अलग और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करते हैं। गणना की सुविधा के लिए, दशमलव अंश -6.4 और मिश्रित संख्या को साधारण अंशों में बदला जा सकता है:
तो अभिव्यक्ति करने के लिए सरलीकृत
इस उदाहरण का समाधान बहुत छोटा लिखा जा सकता है। यह इस तरह दिखेगा:
उदाहरण 7अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 
हम संख्याओं को अलग से और अक्षरों को अलग से गुणा करते हैं। गणना की सुविधा के लिए, मिश्रित संख्या और दशमलव भिन्न 0.1 और 0.6 को साधारण भिन्नों में बदला जा सकता है:
तो अभिव्यक्ति करने के लिए सरलीकृत ए बी सी डी. यदि आप विवरण छोड़ते हैं, तो यह समाधान बहुत छोटा लिखा जा सकता है:
ध्यान दें कि अंश कैसे कम किया गया है। नए गुणक, जो पिछले गुणकों को कम करके प्राप्त किए जाते हैं, को भी कम किया जा सकता है।
अब बात करते हैं कि क्या नहीं करना चाहिए। व्यंजकों को सरल बनाते समय, यदि व्यंजक योग है और गुणन नहीं है, तो संख्याओं और अक्षरों को गुणा करने की सख्त मनाही है।
उदाहरण के लिए, यदि आप व्यंजक को सरल बनाना चाहते हैं 5ए + 4बी, तो इसे इस प्रकार नहीं लिखा जा सकता है:
यह इस तथ्य के बराबर है कि यदि हमें दो संख्याओं को जोड़ने के लिए कहा जाए, और हम उन्हें जोड़ने के बजाय गुणा करेंगे।
चर के किसी भी मान को प्रतिस्थापित करते समय एकतथा बीअभिव्यक्ति 5ए+4बीएक साधारण संख्यात्मक अभिव्यक्ति में बदल जाता है। आइए मान लेते हैं चर एकतथा बीनिम्नलिखित अर्थ हैं:
ए = 2, बी = 3
तब व्यंजक का मान 22 . होगा
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
सबसे पहले, गुणा किया जाता है, और फिर परिणाम जोड़े जाते हैं। और यदि हम संख्याओं और अक्षरों को गुणा करके इस व्यंजक को सरल बनाने का प्रयास करें, तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होंगे:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 x 2 x 3 = 120
यह अभिव्यक्ति का एक बिल्कुल अलग अर्थ निकलता है। पहले मामले में यह निकला 22 , दूसरे मामले में 120 . इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति का सरलीकरण 5ए + 4बीगलत तरीके से किया गया था।
व्यंजक को सरल बनाने के बाद, चर के समान मान के साथ इसका मान नहीं बदलना चाहिए। यदि किसी चर मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर एक मान प्राप्त होता है, तो व्यंजक को सरल करने के बाद वही मान प्राप्त करना चाहिए जो सरलीकरण से पहले था।
अभिव्यक्ति के साथ 5ए + 4बीवास्तव में कुछ नहीं किया जा सकता। यह आसान नहीं होता है।
यदि व्यंजक में समान पद हैं, तो उन्हें जोड़ा जा सकता है यदि हमारा लक्ष्य व्यंजक को सरल बनाना है।
उदाहरण 8अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 0.3a−0.4a+a
0.3a - 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a
या छोटा: 0.3a - 0.4a + a = 0.9a
तो अभिव्यक्ति 0.3a−0.4a+aकरने के लिए सरलीकृत 0.9a
उदाहरण 9अभिव्यक्ति को सरल बनाएं −7.5a - 2.5b + 4a
इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, आप समान पद जोड़ सकते हैं:
−7.5a - 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)
या छोटा −7.5a - 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)
शर्त (-2.5 बी)अपरिवर्तित रहा, क्योंकि इसे मोड़ने के लिए कुछ भी नहीं था।
उदाहरण 10अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 
इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, आप समान पद जोड़ सकते हैं:
गुणांक गणना की सुविधा के लिए था।
तो अभिव्यक्ति करने के लिए सरलीकृत
उदाहरण 11.अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 
इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, आप समान पद जोड़ सकते हैं:
तो अभिव्यक्ति के लिए सरलीकृत।
इस उदाहरण में, पहले और अंतिम गुणांक को पहले जोड़ना अधिक समझदारी होगी। इस मामले में, हमें एक संक्षिप्त समाधान मिलेगा। यह इस तरह दिखेगा:
उदाहरण 12.अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 
इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, आप समान पद जोड़ सकते हैं:
तो अभिव्यक्ति करने के लिए सरलीकृत 
.
यह शब्द अपरिवर्तित रहा, क्योंकि इसमें जोड़ने के लिए कुछ भी नहीं था।
यह समाधान बहुत छोटा लिखा जा सकता है। यह इस तरह दिखेगा:
संक्षिप्त समाधान घटाव को जोड़ के साथ बदलने के चरणों को छोड़ देता है और इस बात का विस्तृत रिकॉर्ड है कि अंशों को एक सामान्य हर में कैसे घटाया गया था।
एक और अंतर यह है कि विस्तृत समाधान में उत्तर ऐसा दिखता है , लेकिन संक्षेप में . दरअसल, यह वही अभिव्यक्ति है। अंतर यह है कि पहले मामले में, घटाव को जोड़ से बदल दिया जाता है, क्योंकि शुरुआत में, जब हमने समाधान को विस्तार से लिखा था, तो हमने जहां भी संभव हो घटाव को जोड़ के साथ बदल दिया, और इस प्रतिस्थापन को उत्तर के लिए संरक्षित किया गया था।
पहचान। समान समान भाव
किसी भी व्यंजक को सरल बनाने के बाद, वह सरल और छोटा हो जाता है। यह जाँचने के लिए कि क्या अभिव्यक्ति को सही ढंग से सरल बनाया गया है, यह चर के किसी भी मान को पहले पिछली अभिव्यक्ति में बदलने के लिए पर्याप्त है, जिसे सरल बनाने की आवश्यकता थी, और फिर नए में, जिसे सरल बनाया गया था। यदि दोनों भावों में मान समान है, तो व्यंजक को सही ढंग से सरलीकृत किया जाता है।
आइए सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि व्यंजक को सरल बनाना आवश्यक है 2ए × 7बी. इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, आप संख्याओं और अक्षरों को अलग-अलग गुणा कर सकते हैं:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
आइए देखें कि क्या हमने अभिव्यक्ति को सही ढंग से सरल बनाया है। ऐसा करने के लिए, चर के किसी भी मान को प्रतिस्थापित करें एकतथा बीपहले पहली अभिव्यक्ति के लिए, जिसे सरल बनाने की आवश्यकता थी, और फिर दूसरी के लिए, जिसे सरल बनाया गया था।
चरों के मान दें एक , बीइस प्रकार होगा:
ए = 4, बी = 5
उन्हें पहले व्यंजक में रखें 2ए × 7बी
अब हम वेरिएबल के समान मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं जो सरलीकरण के परिणामस्वरूप हुआ 2ए×7बी, अर्थात् अभिव्यक्ति में 14ab
14ab = 14 x 4 x 5 = 280
हम देखते हैं कि ए = 4तथा ख = 5पहली अभिव्यक्ति का मूल्य 2ए×7बीऔर दूसरी अभिव्यक्ति का मूल्य 14abबराबर
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 x 4 x 5 = 280
किसी भी अन्य मूल्यों के लिए भी ऐसा ही होगा। उदाहरण के लिए, चलो ए = 1तथा ख = 2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28
14ab = 14 x 1 x 2 = 28
इस प्रकार, चर के किसी भी मान के लिए, भाव 2ए×7बीतथा 14abसमान मान के बराबर हैं। ऐसे भाव कहलाते हैं समान रूप से समान.
हम निष्कर्ष निकालते हैं कि व्यंजकों के बीच 2ए×7बीतथा 14abआप एक समान चिह्न लगा सकते हैं, क्योंकि वे समान मान के बराबर हैं।
2a × 7b = 14ab
एक समानता कोई भी अभिव्यक्ति है जो एक समान चिह्न (=) से जुड़ती है।
और फॉर्म की समानता 2a×7b = 14abबुलाया पहचान.
एक पहचान एक समानता है जो चर के किसी भी मूल्य के लिए सही है।
पहचान के अन्य उदाहरण:
ए + बी = बी + ए
ए (बी + सी) = एबी + एसी
ए (बीसी) = (एबी) सी
हाँ, गणित के जिन नियमों का हमने अध्ययन किया, वे सर्वसमिकाएँ हैं।
वास्तविक संख्यात्मक समानताएं भी पहचान हैं। उदाहरण के लिए:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
एक जटिल समस्या को हल करते समय, गणना की सुविधा के लिए, जटिल अभिव्यक्ति को एक सरल अभिव्यक्ति से बदल दिया जाता है जो समान रूप से पिछले एक के बराबर होता है। इस तरह के एक प्रतिस्थापन कहा जाता है अभिव्यक्ति का समान परिवर्तनया केवल अभिव्यक्ति रूपांतरण.
उदाहरण के लिए, हमने अभिव्यक्ति को सरल बनाया 2ए × 7बी, और एक सरल अभिव्यक्ति प्राप्त करें 14ab. इस सरलीकरण को पहचान परिवर्तन कहा जा सकता है।
आपको अक्सर ऐसा कार्य मिल सकता है जो कहता है "साबित करें कि समानता ही पहचान है" और फिर सिद्ध की जाने वाली समानता दी जाती है। आमतौर पर इस समानता में दो भाग होते हैं: समानता के बाएँ और दाएँ भाग। हमारा कार्य समानता के एक हिस्से के साथ समान परिवर्तन करना और दूसरे भाग को प्राप्त करना है। या समानता के दोनों भागों के साथ समान परिवर्तन करें और सुनिश्चित करें कि समानता के दोनों भागों में समान भाव हों।
उदाहरण के लिए, आइए हम सिद्ध करें कि समानता 0.5a × 5b = 2.5abएक पहचान है।
इस समानता के बाएँ पक्ष को सरल कीजिए। ऐसा करने के लिए, संख्याओं और अक्षरों को अलग-अलग गुणा करें:
0.5 × 5 × a × b = 2.5ab
2.5ab = 2.5ab
एक छोटे से पहचान परिवर्तन के परिणामस्वरूप, समानता का बायाँ भाग समानता के दाहिने भाग के बराबर हो गया। तो हमने साबित कर दिया है कि समानता 0.5a × 5b = 2.5abएक पहचान है।
समान परिवर्तनों से, हमने संख्याओं को जोड़ना, घटाना, गुणा करना और भाग देना, भिन्नों को कम करना, समान पदों को लाना और कुछ व्यंजकों को सरल बनाना भी सीखा।
लेकिन ये सभी समान परिवर्तनों से दूर हैं जो गणित में मौजूद हैं। कई और समान परिवर्तन हैं। हम इसे भविष्य में बार-बार देखेंगे।
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
क्या आपको सबक पसंद आया?
हमारे नए Vkontakte समूह में शामिल हों और नए पाठों की सूचनाएं प्राप्त करना शुरू करें
भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण
शक्ति अभिव्यक्ति (शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति) और उनका परिवर्तन
इस लेख में, हम भावों को शक्तियों के साथ बदलने के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो किसी भी प्रकार के भावों के साथ किए जाते हैं, जिसमें शक्ति अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं, जैसे कि कोष्ठक खोलना, समान शब्दों को कम करना। और फिर हम विशेष रूप से डिग्री के साथ अभिव्यक्तियों में निहित परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे: आधार और घातांक के साथ काम करना, डिग्री के गुणों का उपयोग करना, आदि।
पृष्ठ नेविगेशन।
पावर एक्सप्रेशन क्या हैं?
शब्द "शक्ति अभिव्यक्ति" व्यावहारिक रूप से गणित की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में नहीं पाया जाता है, लेकिन यह अक्सर कार्यों के संग्रह में प्रकट होता है, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा और ओजीई के लिए तैयार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, उदाहरण के लिए,। उन कार्यों का विश्लेषण करने के बाद जिनमें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ किसी भी क्रिया को करने की आवश्यकता होती है, यह स्पष्ट हो जाता है कि शक्ति अभिव्यक्तियों को उनकी प्रविष्टियों में डिग्री वाले भावों के रूप में समझा जाता है। इसलिए, अपने लिए, आप निम्नलिखित परिभाषा ले सकते हैं:
परिभाषा।
शक्ति अभिव्यक्तिवे अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें शक्तियाँ हैं।
चलो लाते हैं शक्ति अभिव्यक्ति के उदाहरण. इसके अलावा, हम उनका प्रतिनिधित्व इस अनुसार करेंगे कि एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री से एक वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री पर विचारों का विकास कैसे होता है।
जैसा कि आप जानते हैं, पहले एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की डिग्री के साथ एक परिचित होता है, इस स्तर पर 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 आदि।
थोड़ी देर बाद, एक पूर्णांक घातांक वाली संख्या की घात का अध्ययन किया जाता है, जो ऋणात्मक पूर्णांक घातों के साथ घात व्यंजकों की उपस्थिति की ओर ले जाती है, जैसे कि: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 + c 2 ।
वरिष्ठ कक्षाओं में, वे फिर से डिग्रियों में लौट आते हैं। वहां, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो संबंधित शक्ति अभिव्यक्तियों की उपस्थिति की ओर ले जाती है: 
, , 
आदि। अंत में, अपरिमेय घातांकों वाली डिग्रियों और उनमें समाविष्ट व्यंजकों पर विचार किया जाता है: , .
मामला सूचीबद्ध शक्ति अभिव्यक्तियों तक सीमित नहीं है: आगे चर घातांक में प्रवेश करता है, और उदाहरण के लिए, ऐसे भाव 2 x 2 +1 या हैं 
. और परिचित होने के बाद, घातों और लघुगणक वाले व्यंजक प्रकट होने लगते हैं, उदाहरण के लिए, x 2 lgx −5 x lgx।
इसलिए, हमने इस प्रश्न का पता लगाया कि शक्ति के भाव क्या हैं। इसके बाद, हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे बदलना है।
शक्ति अभिव्यक्तियों के मुख्य प्रकार के परिवर्तन
शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ, आप अभिव्यक्तियों के किसी भी मूल पहचान परिवर्तन को निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को उनके मानों से बदल सकते हैं, समान शब्द जोड़ सकते हैं, इत्यादि। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है। आइए उदाहरण देते हैं।
उदाहरण।
घात व्यंजक 2 3 ·(4 2 −12) के मान की गणना करें।
समाधान।
क्रियाओं के क्रम के अनुसार, हम पहले क्रियाओं को कोष्ठक में करते हैं। वहां, सबसे पहले, हम 4 2 की शक्ति को इसके मान 16 से बदलते हैं (यदि आवश्यक हो तो देखें), और दूसरी बात, हम अंतर की गणना करते हैं 16−12=4 । हमारे पास है 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16−12)=2 3 4.
परिणामी व्यंजक में, हम 2 3 की घात को इसके मान 8 से प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम गुणनफल 8·4=32 की गणना करते हैं। यह वांछित मूल्य है।
इसलिए, 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.
उत्तर:
2 3 (4 2 -12)=32।
उदाहरण।
पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
समाधान।
जाहिर है, इस व्यंजक में समान पद 3 · a 4 · b - 7 और 2 · a 4 · b - 7 हैं, और हम उन्हें कम कर सकते हैं: ।
उत्तर:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
उदाहरण।
एक उत्पाद के रूप में शक्तियों के साथ एक अभिव्यक्ति व्यक्त करें।
समाधान।
कार्य से निपटने के लिए संख्या 9 को 3 2 की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करने और संक्षिप्त गुणन सूत्र के बाद के उपयोग, वर्गों के अंतर की अनुमति देता है: 
उत्तर:
शक्ति अभिव्यक्तियों में निहित कई समान परिवर्तन भी हैं। अगला, हम उनका विश्लेषण करेंगे।
आधार और घातांक के साथ कार्य करना
कुछ अंश ऐसे होते हैं जिनके आधार और/या संकेतक केवल संख्या या चर नहीं होते, बल्कि कुछ भाव होते हैं। उदाहरण के तौर पर, आइए (2+0.3 7) 5−3.7 और (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) लिखें।
इस तरह के भावों के साथ काम करते समय, डिग्री के आधार में अभिव्यक्ति और संकेतक में अभिव्यक्ति दोनों को इसके चर के डीपीवी पर समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ बदलना संभव है। दूसरे शब्दों में, हमें ज्ञात नियमों के अनुसार, हम डिग्री के आधार को अलग से और अलग से - सूचक को परिवर्तित कर सकते हैं। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है जो मूल रूप से समान रूप से समान होती है।
इस तरह के परिवर्तन हमें शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाने या अन्य लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित घात व्यंजक (2+0.3 7) 5−3.7 में, आप आधार और घातांक में संख्याओं के साथ संक्रियाएँ कर सकते हैं, जो आपको 4.1 1.3 की घात तक जाने की अनुमति देगा। और कोष्ठकों को खोलने और डिग्री के आधार में समान पदों को लाने के बाद (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) हमें एक सरल रूप a 2·(x+1) का घातांक व्यंजक प्राप्त होता है ) .
शक्ति गुणों का उपयोग करना
अभिव्यक्तियों को शक्तियों के साथ बदलने के लिए मुख्य उपकरणों में से एक समानताएं हैं जो प्रतिबिंबित करती हैं। आइए मुख्य लोगों को याद करें। किसी भी सकारात्मक संख्या ए और बी और मनमानी वास्तविक संख्या आर और एस के लिए, निम्नलिखित शक्ति गुण धारण करते हैं:
- a r a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (ए बी) आर = ए आर बी आर;
- (ए: बी) आर = ए आर: बी आर;
- (ए आर) एस = ए आर एस।
ध्यान दें कि प्राकृतिक, पूर्णांक और सकारात्मक घातांक के लिए, संख्या a और b पर प्रतिबंध इतने सख्त नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं m और n के लिए, समानता a m ·a n =a m+n न केवल सकारात्मक a के लिए, बल्कि ऋणात्मक संख्याओं के लिए भी, और a=0 के लिए भी सत्य है।
स्कूल में, शक्ति अभिव्यक्तियों के परिवर्तन में मुख्य ध्यान उपयुक्त संपत्ति को चुनने और इसे सही ढंग से लागू करने की क्षमता पर केंद्रित है। इस मामले में, डिग्री के आधार आमतौर पर सकारात्मक होते हैं, जो आपको बिना किसी प्रतिबंध के डिग्री के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है। डिग्री के आधार में चर वाले भावों के परिवर्तन पर भी यही लागू होता है - चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा आमतौर पर ऐसी होती है कि आधार केवल सकारात्मक मान लेते हैं, जो आपको गुणों का स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है डिग्री का। सामान्य तौर पर, आपको अपने आप से लगातार यह पूछने की ज़रूरत है कि क्या इस मामले में डिग्री की किसी भी संपत्ति को लागू करना संभव है, क्योंकि गुणों के गलत उपयोग से ओडीजेड और अन्य परेशानियों का संकुचन हो सकता है। इन बिंदुओं पर विस्तार से चर्चा की गई है और उदाहरणों के साथ डिग्री के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति के परिवर्तन में उदाहरण दिए गए हैं। यहां हम खुद को कुछ सरल उदाहरणों तक सीमित रखते हैं।
उदाहरण।
व्यंजक a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 को आधार a के साथ घात के रूप में व्यक्त करें।
समाधान।
सबसे पहले, हम दूसरे कारक (ए 2) -3 को एक शक्ति को शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति से बदलते हैं: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. इस मामले में, प्रारंभिक शक्ति अभिव्यक्ति 2.5 ·a −6:a −5.5 का रूप लेगी। जाहिर है, यह एक ही आधार के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करने के लिए बनी हुई है, हमारे पास है
ए 2.5 ए -6: ए -5.5 =
एक 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 ।
उत्तर:
ए 2.5 (ए 2) -3: ए -5.5 \u003d ए 2.
पावर एक्सप्रेशन को बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों में बदलते समय शक्ति गुणों का उपयोग किया जाता है।
उदाहरण।
घात व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान।
समानता (a·b) r =a r ·b r , जिसे दाएं से बाएं लागू किया जाता है, आपको मूल व्यंजक से प्रपत्र के गुणनफल तक और आगे जाने की अनुमति देता है। और जब एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करते हैं, तो संकेतक जोड़ते हैं: 
.
मूल अभिव्यक्ति के परिवर्तन को दूसरे तरीके से करना संभव था: 
उत्तर:
.
उदाहरण।
1.5 −a 0.5 −6 घात व्यंजक को देखते हुए, एक नया चर t=a 0.5 दर्ज करें।
समाधान।
डिग्री a 1.5 को 0.5 3 के रूप में दर्शाया जा सकता है और आगे डिग्री (a r) s =a r s में डिग्री के गुण के आधार पर दाएं से बाएं लागू किया जा सकता है, इसे फॉर्म (a 0.5) 3 में परिवर्तित करें। इस तरह, ए 1.5 -ए 0.5 -6=(ए 0.5) 3 -ए 0.5 -6. अब एक नया चर t=a 0.5 पेश करना आसान है, हमें t 3 −t−6 मिलता है।
उत्तर:
टी 3 -टी−6।
घातांक वाले भिन्नों को परिवर्तित करना
पावर एक्सप्रेशन में घात वाले भिन्न हो सकते हैं या ऐसे भिन्नों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। किसी भी प्रकार के भिन्नों में निहित मूल भिन्न रूपांतरणों में से कोई भी ऐसे भिन्नों पर पूरी तरह से लागू होता है। अर्थात्, अंशों में अंशों को कम किया जा सकता है, एक नए हर में घटाया जा सकता है, उनके अंश के साथ अलग से और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है, आदि। उपरोक्त शब्दों को स्पष्ट करने के लिए, कई उदाहरणों के हलों पर विचार करें।
उदाहरण।
पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं 
.
समाधान।
यह शक्ति अभिव्यक्ति एक अंश है। आइए इसके अंश और हर के साथ काम करें। अंश में, हम कोष्ठक खोलते हैं और उसके बाद प्राप्त व्यंजक को घातों के गुणों का उपयोग करके सरल करते हैं, और हर में हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं: 
और हम भिन्न के सामने माइनस लगाकर हर का चिन्ह भी बदलते हैं: 
.
उत्तर:
.
एक नए हर के लिए शक्तियों वाले अंशों को कम करना उसी तरह किया जाता है जैसे तर्कसंगत अंशों को एक नए हर में कम करना। साथ ही एक अतिरिक्त गुणनखंड भी मिलता है और भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाता है। यह क्रिया करते समय, यह याद रखने योग्य है कि नए हर में कमी करने से DPV का संकुचन हो सकता है। ऐसा होने से रोकने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए अतिरिक्त कारक गायब न हो।
उदाहरण।
भिन्नों को एक नए हर में लाएँ: a) हर से a, b) 
भाजक को।
समाधान।
ए) इस मामले में, यह पता लगाना काफी आसान है कि वांछित परिणाम प्राप्त करने में कौन सा अतिरिक्त कारक मदद करता है। यह 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a के बाद से एक गुणक 0.3 है। ध्यान दें कि चर के स्वीकार्य मानों की श्रेणी में (यह सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है), डिग्री 0.3 गायब नहीं होती है, इसलिए, हमें दिए गए अंश के अंश और हर को गुणा करने का अधिकार है इस अतिरिक्त कारक द्वारा: 
ख) हर को अधिक बारीकी से देखने पर, हम पाते हैं कि 
और इस व्यंजक को इससे गुणा करने पर घनों का योग मिलेगा और , अर्थात्, । और यह नया हर है जिसमें हमें मूल भिन्न लाने की आवश्यकता है।
तो हमें एक अतिरिक्त कारक मिला। चर x और y के स्वीकार्य मानों की सीमा पर व्यंजक लुप्त नहीं होता है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं: 
उत्तर:
एक) 
, बी) 
.
अंशों वाले अंशों की कमी में भी कोई नई बात नहीं है: अंश और हर को एक निश्चित संख्या में कारकों के रूप में दर्शाया जाता है, और अंश और हर के समान कारक कम हो जाते हैं।
उदाहरण।
अंश कम करें: ए) 
, बी)।
समाधान।
a) सबसे पहले, अंश और हर को संख्या 30 और 45 से घटाया जा सकता है, जो कि 15 के बराबर है। इसके अलावा, जाहिर है, आप x 0.5 +1 और by . तक कम कर सकते हैं 
. यहाँ हमारे पास क्या है: 
बी) इस मामले में, अंश और हर में समान कारक तुरंत दिखाई नहीं देते हैं। उन्हें प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने होंगे। इस मामले में, वे वर्ग सूत्र के अंतर के अनुसार भाजक को कारकों में विघटित करते हैं: 
उत्तर:
एक) 
बी) 
.
भिन्नों को एक नए हर में कम करना और भिन्नों को कम करना मुख्य रूप से भिन्नों पर संचालन करने के लिए उपयोग किया जाता है। ज्ञात नियमों के अनुसार क्रियाएं की जाती हैं। अंशों को जोड़ने (घटाने) पर, वे एक सामान्य हर में कम हो जाते हैं, जिसके बाद अंश जोड़े (घटाए) जाते हैं, और हर समान रहता है। परिणाम एक अंश है जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हर का गुणनफल है। भिन्न से भाग उसके व्युत्क्रम से गुणा है।
उदाहरण।
चरणों का पालन करें 
.
समाधान।
सबसे पहले, हम अंशों को कोष्ठक में घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें एक सामान्य भाजक के पास लाते हैं, जो है 
, फिर अंशों को घटाएं: 
अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं: 
जाहिर है, शक्ति x 1/2 से कमी संभव है, जिसके बाद हमारे पास है 
.
आप वर्ग अंतर के सूत्र का उपयोग करके हर में घात व्यंजक को भी सरल बना सकते हैं: 
.
उत्तर:
उदाहरण।
पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं 
.
समाधान।
जाहिर है, इस भिन्न को (x 2.7 +1) 2 से घटाया जा सकता है, इससे भिन्न मिलता है 
. यह स्पष्ट है कि x की शक्तियों के साथ कुछ और करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी अंश को एक उत्पाद में परिवर्तित करते हैं। यह हमें समान आधारों के साथ शक्तियों को विभाजित करने की संपत्ति का उपयोग करने का अवसर देता है: 
. और प्रक्रिया के अंत में, हम अंतिम उत्पाद से भिन्न तक जाते हैं।
उत्तर:
.
और हम जोड़ते हैं कि यह संभव है और कई मामलों में घातांक के चिह्न को बदलकर अंश से हर या हर से अंश में ऋणात्मक घातांक वाले कारकों को स्थानांतरित करना वांछनीय है। इस तरह के परिवर्तन अक्सर आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक शक्ति अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
भावों को जड़ों और शक्तियों के साथ परिवर्तित करना
अक्सर उन अभिव्यक्तियों में जिनमें कुछ परिवर्तनों की आवश्यकता होती है, भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री के साथ, जड़ें भी होती हैं। इस तरह की अभिव्यक्ति को वांछित रूप में बदलने के लिए, ज्यादातर मामलों में यह केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक जाने के लिए पर्याप्त है। लेकिन चूंकि डिग्री के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, वे आमतौर पर जड़ों से डिग्री तक जाते हैं। हालांकि, इस तरह के एक संक्रमण को अंजाम देने की सलाह दी जाती है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर के ओडीजेड आपको मॉड्यूल तक पहुंचने या ओडीजेड को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को डिग्री से बदलने की अनुमति देता है (हमने इस पर विस्तार से चर्चा की है लेख, जड़ों से शक्तियों में संक्रमण और इसके विपरीत एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री से परिचित होने के बाद एक तर्कहीन संकेतक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो एक मनमानी वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री की बात करना संभव बनाता है। इस स्तर पर, स्कूल पढ़ना शुरू करता है घातांक प्रकार्य, जो विश्लेषणात्मक रूप से डिग्री द्वारा दिया जाता है, जिसके आधार पर एक संख्या होती है, और संकेतक में - एक चर। इसलिए हमें डिग्री के आधार में संख्याओं वाले घातीय अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ता है, और एक्सपोनेंट में - चर के साथ अभिव्यक्ति, और स्वाभाविक रूप से ऐसे अभिव्यक्तियों के परिवर्तन करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।
यह कहा जाना चाहिए कि संकेतित प्रकार के भावों का परिवर्तन आमतौर पर हल करते समय करना पड़ता है घातीय समीकरणतथा घातीय असमानताएँ, और ये परिवर्तन काफी सरल हैं। अधिकांश मामलों में, वे डिग्री के गुणों पर आधारित होते हैं और ज्यादातर भविष्य में एक नया चर पेश करने के उद्देश्य से होते हैं। समीकरण हमें उन्हें प्रदर्शित करने की अनुमति देगा 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
सबसे पहले, घातांक, जिनके घातांक में कुछ चर (या चर के साथ व्यंजक) और एक संख्या का योग पाया जाता है, को उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बाईं ओर के व्यंजक के पहले और अंतिम पदों पर लागू होता है:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x -2 7 2 x =0.
इसके बाद, समानता के दोनों हिस्सों को अभिव्यक्ति 7 2 x से विभाजित किया जाता है, जो मूल समीकरण के लिए चर x के ODZ पर केवल सकारात्मक मान लेता है (यह इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए एक मानक तकनीक है, हम नहीं हैं इसके बारे में अभी बात कर रहे हैं, इसलिए शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों के बाद के परिवर्तनों पर ध्यान दें): 
अब घातांक वाले भिन्नों को रद्द कर दिया जाता है, जो देता है 
.
अंत में, समान घातांक वाली घातों के अनुपात को अनुपातों की घातों से बदल दिया जाता है, जो समीकरण की ओर ले जाता है 
, जो के बराबर है 
. किए गए परिवर्तन हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति देते हैं, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण के समाधान तक कम कर देता है
